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Mtodos Matemticos en Macroeconoma

Alvaro J. Riascos VillegasFacultad de Economa

Universidad de los Andes

Agosto 17 de 2006


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Prefacio

Esta monografa es una introduccin informal a los mtodos matemticosms utilizados en el estudio de economas a lo largo del tiempo. Especficamente,esta se centra en los mtodos de programacin dinmica y el mtodo de Lagrange

para resolver problemas de optimizacin dinmica con o sin incertidumbre y entiempo discreto. Aqu no hay nada original excepto por el esfuerzo que se hahecho para hacer de esta monografa un puente agradable de recorrer entre lostratamientos bsicos de estas tcnicas usualmente relegados a los apndices delos libros de macroeconoma utilizados en un curso del pregrado y los librosms avanzados que se estudian a nivel de doctorado. Mi deuda con los libros yartculos clsicos en el tema es evidente en muchos de los captulos y slo pordescuido no estn referenciados todos los libros y artculos sobre los que mebase para escribir esta monografa. A los autores les pido disculpas y prometocorregir esto en futuras versiones.

Muchas personas me han ayudado directa o indirectamente a mejorar estamonografa. En especial, agradezco los innumerables alumnos que padecieron

las primeras versiones de estas notas en diferentes cursos de macroeconomaavanzada o de mtodos matemticos en macroeconoma. Me refiero a alumnosen la Universidad Javeriana, Universidad de los Andes, Universidad del Valle ydel Instituto de Matemticas Puras y Aplicadas de Ro de Janeiro. De manerams especfica, agradezco a Katherine Aguirre, Andrs Arias, Olga Lucia Briez,Marcela Eslava, Juanita Gonzalez, Franz Hamann, Luisa Estefana Valdz, NiniJohanna Serna y Mauricio Villamizar. Cualquier error es mi responsabilidad.

Finalmente quiero agradecer al Banco de la Repblica por la disponibilidadde tiempo y el ambiente propicio durante el tiempo que estuve en el depar-tamento de investigaciones econmicas donde fue escrita gran parte de estamonografa.

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iv PREFACE


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Captulo 1

Economa Dinmica

En trminos generales la actividad econmica no puede modelarse como unproceso esttico en el tiempo y en condiciones de certidumbre. En la vida real,este proceso es dinmico e incierto y por lo tanto es natural preguntarse hastaque punto la teora del equilibrio general, como la formularon Arrow y Debreupermite describir la toma de decisiones econmicas ms realistas.

Es bien sabido que el modelo bsico de equilibrio general (Arrow-Debreu eninfinitas dimensiones) es lo suficientemente general como para abarcar en trmi-nos ideales esta situacin. En este modelo el espacio de consumo puede tomarsede tal manera que incluya decisiones intertemporales o contingentes a la real-izacin de eventos aleatorios. Basta indexar los diferentes bienes al momentoo evento en el cual son consumidos como cualquier otra caracterstica que losdefine. De hecho, desde el punto de vista terico este abordaje es muy impor-tante. Sin embargo, tambin es evidente que este modelo no explota de maneraexplcita la dimensin temporal del problema ni tampoco reconoce la imposibil-idad, bastante real en la prctica, de diversificacin del riesgo que resulta de larealizacin de los eventos aleatorios.1

En este captulo introduciremos de manera informal los mtodos matemti-cos que sern utilizados en el resto del libro. En la seccin 1.1 estudiaremosel prototipo de modelo que aparece en el estudio de economas dinmicas, elmodelo bsico de crecimiento econmico, que utilizaremos para introducir lasdos tcnicas principales para resolver modelos dinmicos. El primero pertenecea los mtodos de la Programacin Dinmica, seccin 1.2 y el segundo a los deControl ptimo (i.e. el mtodo de Lagrange o, ms generalmente, el mtodo delHamiltoniano), seccin 1.3. La caracterstica fundamental del primer mtodo,

como quedar claro ms adelante, es que explota la naturaleza recursiva delproblema. Es decir, el hecho de que la estructura del problema de decisin esla misma en todos los perodos. El segundo mtodo, explota la geometra delproblema.

1 Existen principalmente dos modelos para el estudio de las economas a lo largo del tiempocon o sin incertidumbre. El modelo de agentes con vidas infinitamente largas y el modelo degeneraciones traslapadas. En este libro nos dedicaremos nicamente al primero.

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2 CAPTULO 1. ECONOMA DINMICA

El modelo bsico de crecimiento es un problema en el cual las decisiones nodependen para nada de eventos aleatorios y en el cual stas son tomadas por unagente representativo (o planificador central) sujeto a una secuencia de restric-ciones de recursos. Ms adelante permitiremos que las decisiones dependan deeventos aleatorios y explicaremos cmo extender los mtodos de la ProgramacinDinmica y Control ptimo al caso estocstico.

1.1. El Modelo Bsico de Crecimiento

El problema que queremos estudiar es el del crecimiento de una economacuando sus agentes deben determinar de manera ptima cunto consumen ycunto ahorran en cada instante del tiempo. La parte ahorrada en cada momen-to se puede invertir en acumulacin de capital para el perodo siguiente, permi-

tindole aumentar su produccin y por lo tanto sus posibilidades de consumo.Un modelo sencillo de crecimiento en un ambiente determinstico (el modelobsico de crecimiento) pero que a la vez ilustra plenamente los mtodos de laProgramacin Dinmica podra especificarse de la siguiente manera (Ramsey[1928], Cass [1965] y Koopmans [1965]).

Supongamos que existen una gran cantidad de agentes idnticos, con vidasinfinitamente largas y que en cada perodo del tiempo deben decidir cmo uti-lizar el nico bien de consumo que se produce en esta economa. Sea yt lacantidad producida de este bien durante el perodo t utilizando como nicoinsumo la cantidad de capital kt. Suponemos que todas las variables son percapita y que la poblacin no crece.

Las posibilidades de produccin de esta economa las representamos a travsde una funcin de produccin neoclsica f(ver Apndices), de tal manera queyt = f(kt). Hacemos las hiptesis habituales sobre f :fes una funcin contin-ua, estrictamente creciente, estrictamente cncava y f(0) = 0.Adems supon-dremos queLim

k0f0(k) (condicin de Inada), y Lim

kf0(k) 0.

En el perodo t el producto se divide entre el consumo en este perodo ct, yla inversin brutait.Es decir:

ct+ it= f(kt), ct, kt 0para todo t (1.1)

Asumimos que el capital se deprecia a una razn constante [0, 1]; luegola dinmica del capital es:

kt+1= (1 )kt+ it (1.2)

Adems, suponemos que cada agente tiene una misma cantidad de capitalinicial k0 0.

Finalmente, los agentes tienen preferencias U sobre todas las secuencias deconsumo; asumimos que dichas preferencias son de la siguiente forma:

U(c0, c1,...) =Xt=0

tu(ct), (0, 1) (1.3)


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1.2. PROGRAMACIN DINMICA 3

Donde u(ct)representa la utilidad del consumo en el mismo instante t,y es un factor que descuenta la utilidad de consumo en el futuro. Implcitamente,hemos supuesto que los agentes le dan ms importancia al presente. Otra posibleinterpretacin dees que representa la probabilidad de no morir de un perodo aotro. As mismo, podramos considerar el mismo problema con un beta diferentecada perodo (t (0, 1)), pero por simplicidad no consideramos ese caso.

La pregunta que queremos responder en esta economa es: Dado un k0 0,cmo deben consumir los agentes a travs del tiempo (c0, c1,...) de tal formaque maximicen su utilidad 1.3, sujeto a la restriccin de recursos 1.1 y a laecuacin 1.2 que describe la evolucin de la nica variable de estado de es-ta economa, kt?. Esta terminologa relacionada con variables de estado, serclara ms adelante. Suponemos que u satisface las mismas propiedades que fyque adems, es acotada (esta ltima garantiza que 1.3 tiene sentido para todasecuencia(c0, c1,...)). Formalmente el problema es:

maxXt=0

tu(ct), (0, 1)

kt+1 = (1 )kt+ it

ct+ it = f(kt), ct, kt 0para todo t.

Este problema lo llamamos el Problema Secuencial.

1.2. Programacin Dinmica

Supongamos que dadok0nosotros conseguimos resolver el problema anteriory el valor mximo de la funcin objetivo lo denotamos por v(k0) (v se llamala funcin valor). Imaginemos ahora el problema del agente representativo unperodo ms tarde. Dada una cantidad de capital inicial k1, el agente represen-tativo debe resolver un problema con la misma estructura del anterior y su valormximo debe ser v(k1), de esta manera, si interpretamos el coeficiente comoun factor que trae a valor presente las utilidades futuras del agente , entoncesv(k1) no es ms que el valor presente de la utilidad mxima que puede con-seguir el agente representativo desde el perodo uno en adelante, dado que en elperodo uno tena una cantidad inicial de capital k1. Si k0 es el capital inicialen el primer perodo, entonces:

u(f(k0) + (1 )k0 k1) + v(k1),

es la utilidad presente dados k1 y k0, y el objetivo del agente representativo esentonces escogerk1. Luego, su problema se reduce a:

maxk1

{u(f(k0) + (1 )k0 k1) + v(k1)}

s.a : 0 k1 f(k0) + (1 )k0


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o equivalentemente,

maxc0

{u(c0) + v((1 )k0+ f(k0) c0)}

s.a : 0 c0 f(k0) + (1 )k0

Luego, v debe satisfacer:

v(k0) = maxc0

{u(c0) + v((1 )k0+ f(k0) c0)}

s.a : 0 c0 f(k0) + (1 )k0

Obsrvese que en la expresin anterior no hay nada especial con el argumentoen los perodos 0 y 1 que no pueda ser usado en los perodos n y n+ 1 paracualquier n. Luego debe ser que para todo perodo n se cumple la ecuacin

funcional:

v(kn) = maxcn

{u(cn) + v((1 )kn+ f(kn) cn)} (1.4)

s.a : 0 cn f(kn) + (1 )kn

As, si conociramos la funcinv, entonces la secuencia ptima{cn}quedaracaracterizada como las soluciones al ltimo problema para cada uno de los pero-dos. La formulacin anterior, en trminos de una ecuacin funcional, pone enevidencia el carcter recursivo del problema. La ecuacin 1.4 la llamaremos laecuacin de Bellman. Olvidndonos de los subndices, vemos que si k es el mon-to de capital en un cierto perodo, entonces el consumo ptimo cen el mismoperodo es la solucin al problema:

v(k) = maxc

u(c) + v((1 )k+ f(k) c)) (1.5)

s.a : 0 c f(k) + (1 )k

Este problema lo llamamos el Problema Funcional asociado al ProblemaSecuencial con el que iniciamos esta seccin. Visto de esta forma, el problemase reduce a encontrar una funcin real vtal que satisfaga el problema 1.5. Unaforma de ver este problema es la siguiente: sea Tuna aplicacin del conjunto defunciones continuas y limitadas sobre R, definida por la siguiente regla: dada g,

T[g] (k) = maxc

{u(c) + g((1 )k+ f(k) c)}

s.a : 0 c f(k) + (1 )k

Ms adelante veremos que el operadorTest bien definido (sta es una apli-cacin sencilla del Teorema del Mximo). Ahora, el problema 1.5 es equivalentea encontrar un punto fijo del operadorT, luego debemos demostrar la existenciadel punto fijo y en lo posible dar un mtodo para encontrarlo.2 La idea consiste

2 Una funcin v es punto fijo de T si T[v] = v.


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en dar una estructura especial al conjunto de las funciones continuas y aco-tadas (una mtrica que lo haga un espacio mtrico completo3 ) y probar que eloperadorTes unacontraccin4 .

De esta manera podemos aplicar el Teorema del Punto Fijo para Contrac-ciones y as obtener tanto la existencia de una funcinvque resuelva el problema(4), como un mtodo para encontrarla dado por este mismo teorema.

Sin entrar en mayores detalles por ahora, utilizaremos el Teorema del PuntoFijo para contracciones para resolver el ejemplo siguiente. Informalmente esteteorema nos dice que siTes una contraccin, entonces existe una nicav, puntofijo deTy adems, dado cualquierv0 en el dominio Tse tiene:

lmn

Tn(v0) =v

El mtodo de programacin dinmica afirma que, bajo ciertas condiciones,

v (k0)es el valor mximo del problema secuencial cuando el capital inicial esk0.Adicionalmente, si h es la funcin definida sobre los stocks de capital k tal quec= h(k)es el consumo que resuelve el problema de maximizacin:

maxc

{u(c) + v((1 )k+ f(k) c))}

s.a : 0 c f(k) + (1 )k

para todo k, entonces la secuencia {kt, ct}definida por kt+1=f(kt) h(kt) +(1 )kt, ct = h(kt) es una secuencia que resuelve el problema secuencial. Lafuncin h la llamamos la funcin de poltica. El siguiente caso particular delmodelo bsico de crecimiento ilustra las ideas principales.

Ejemplo 1 (Brock y Mirman [1972]). Sea u(ct) = log(ct), f(kt) = kt donde

(0, 1) y = 1 (la funcin u no satisface todas las hiptesis impuestas an-teriormente (en particular, no es acotada); sin embargo, ms adelante veremoscomo adaptar la teora a este caso) entonces el problema de crecimiento discu-tido hasta ahora se reduce a:

max{ct}

Xt=0

t log(ct)

s.a : kt+1= kt ct, ct, kt 0

El problema funcional asociado es:

v(k) = maxc

{log(c) + v(k c)}

s.a : 0 c k

3 Una mtrica es una funcin d del espacio X Xen los nmeros Reales. La funcin tomados elementos de dicho espacio y les asigna un valor real llamado distancia. Toda mtrica debecumplir con tres condiciones: d(x, x) = 0, d(x, y) = d(y, x) 0y la desigualdad del tringulo.Un espacio mtrico es aquel al que se le ha asignado una mtrica.

Por otra parte, un espacio mtrico completo es aquel en el que toda sucesin de Cauchyconverge (Ver Apndice).

4 Un operador Ten un espacio mtrico hX, dien los Reales, se dice que es una contraccinsi existe (0, 1) tal que: d(T(x) , T(y)) 6 d(x, y)para todo x, y X.


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Para resolver este problema utilizaremos el mtodo dado por el Teorema delPunto Fijo para contracciones. Seav

0= 0, entonces:

v1(k) = maxc

{log(c)}

s.a : 0 c k

este problema tiene la solucin de esquinac= k,luego v1(k) = log(k).Paracalcularv2 resolvemos el problema:

v2(k) = maxc

{log(c) + log(k c)}

s.a : 0 c k

que lo reseulvec= k

1+ , luego

v2(k) =(1 + )log(k) + log 1 + log(1 + ).Ahora de igual forma podemos deducir que:

v3(k) = (1 + + 22)log(k) + 2 log

1 +

+

( + 22)log

+ 22

1 + + 22

log(1 + + 22) log(1 + )

luego en general vemos que vn(k) = An+

n1Pi=0

()i

log(k), donde Anes

una constante que debemos determinar. Se sigue que v(k) = A+ 1log(k)

dondeA es una constante que podemos encontrar simplemente observando quev debe satisfacer:

v(k) = maxc

{log(c) + v(k c)}

s.a : 0 c k

Es decir,

A +

1 log(k) = max

c{log(c) + (A +

1 log(k c))}

s.a : 0 c k

Se puede mostrar que la solucin a este problema esc = (1 )k y v(k) =1

1(log(1 ) + 1 log()) +

1

log(k).De esta forma tenemos que la

variable de estado evoluciona segn esta formula: kt+1 = kty la escogenciaptima para la variable de control, dada la variable de estado, es: ct = (1 )kt.

Como mencionamos anteriormente, la funcin que expresa la escogencia p-tima de las variables de control en trminos de las variables de estado se lla-ma la funcin de poltica. Por lo tanto, en este caso la funcin de poltica esct = (1 )kat


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Una vez resuelto el problema de la existencia, el siguiente paso es describirde la manera ms precisa posible las propiedades de la funcin valor v y de latrayectoria ptima{kt}asociada a la trayectoria ptima del consumo. Si bienalgunas caractersticas de la solucin van a depender de la forma particular delas funciones de produccin y utilidad, otras caractersticas muy importantes secumplen de manera ms general como por ejemplo, la unicidadde la solucinptima y laestabilidad de las trayectorias.

Supongamos que el problema secuencial (excepto por el valor del capitalinicial) tiene una solucin de estado estacionario. Esto es, una solucin en laque todas las variables crecen a una tasa constante e igual a cero, por ejemplokt = k

para todot. El problema de estabilidad consiste en saber si, comenzandocon un valor inicial de capital k0 diferente al valor k, la solucin ptima alproblema secuencial converge con el tiempo a la solucin de estado estacionario.Es decir, si kt k cuando t .

En el ejemplo anterior tenemos que existen dos soluciones de estado esta-cionario. Una corresponde a k = 0y la otra ak = ()

11 . En el primer caso,

es fcil ver que no se cumple la propiedad de estabilidad mientras que en el se-gundo, como (0, 1)si se cumple la propiedad de estabilidad. Posteriormenteestudiaremos esta propiedad para un problema ms general.

Ejemplo 2 (Long y Plosser [1983]) Consideremos el modelo bsico de crec-imiento con oferta laboral. Sea nt (0, 1) la cantidad de trabajo que ofrece elagente representativo ylt la cantidad de tiempo que dedica al ocio. Supongamosque lt+ nt = 1. Seau(ct, lt) = log(ct) + (1 ) log(lt); f(kt, nt) = ktn

1t y

= 1.As, el problema secuencial es:

Max

Xt=0 t( log(ct) + (1 ) log(1 nt))s.a :

kt+1 = ktn

1t ct


v(k) = maxc,n

{ log(c) + (1 ) log(1 n) + v(kn1 c)} (1.6)

s.a :

0 6 c 6 kn1

0 6 n 6 1

Aplicando la misma metodologa del ejemplo anterior, suponemos que v0 = 0.Es claro que la solucin est en el extremo para el consumo y es interior para

el empleo. Luego podemos escribir el lagrangiano asociado como (obsrvese queeste es un problema de optimizacin esttico):

L= log(kn1) + (1 ) log(1 n)

Las condiciones de primer orden implican que:

n= (1 )

1


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Reemplazando en la restriccin obtenemos:

c= k

(1 )

1

1y por lo tanto la funcinv1(k) es:

v1(k) = log

k

(1 )

1

1!+ (1 )log

1

(1 )

1

=

= log k+ A1

dondeA1 es una constante. Teniendo v1(k) podemos calcularv2(k):

v2(k) = maxc,n { log(c) + (1 ) log(1 n) + log(k

n1

c) + A1}(1.7)s.a :

0 6 c 6 kn1

0 6 n 6 1

Ahora, podemos derivar las condiciones de primer orden con respecto acyn:

[c] :

c

kn1 c= 0

[n] : 1

1 n+

kn1 c(1 )(kn) = 0

Con un poco de lgebra encontramos encontramos:

n = (1 + )(1 )

1 + (1 )

c = k

1 +

(1 + )(1 )

1 + (1 )

1Reemplazando en la ecuacin 1.7 obtenemos:

v2(k) = (1 + )log k+ A2,

donde A2 es una constante. Si continuamos iterando es posible encontrar un

patrn en las iteraciones:vn(k) = (1 + + ... +

n1n1)log k+ An

por lo tant,o un buen candidato a ser punto fijo es:

v=

1 log k+ A


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1.3. EL MTODO DE LAGRANGE 9

Ahora, debemos verificar que efectivamente este candidato es el correcto; reem-plazando en la ecuacin 1.6 y de nuevo escribiendo las condiciones de primerorden obtenemos:

[c] :

c =

(1 ) (kn1 c)

[n] : 1

1 n =

(1 )kn

(1 ) (kn1 c)

Simplificando encontramos estos candidatos a las funciones de poltica:

n = (1 )

1 (+ ) (1.8)

c = (1 )k

(1 )

1 (+ )1

(1.9)

Finalmente, reemplazando en la ecuacin 1.6 obtenemos:

1 log k+ A = log

"(1 )k

(1 )

1 (+ )

1#

+(1 )log

1

(1 )

1 (+ )

+

1

log[k

(1 )

1 (+ )

1(1 )k

(1 )

1 (+ )

1] + A

No es dificil convencerse de que existe una constanteAque resuelve esta ecuacin.Las ecuaciones 1.8 y 1.9 efectivamente son las funciones de poltica que es-tbamos buscando y describen las trayectorias ptimas del consumo c y deltrabajo n. Obsrvece que el nivel de empleo es independiente del estado de laeconomia k. Esto refleja el hecho de que la funcin de utilidad es logartmica enel trabajo y por lo tanto, el efecto ingreso y sustitucin se cancelan.

Sustituyendo el consumo y el trabajo ptimos en la ecuacin de acumulacindel capital, encontramos la trayectoria ptima del capital:

kt+1=

(1 )

1 (+ )

1kt

La inversin ser:

It= kt+1 (1 )kt = kt+1

1.3. El Mtodo de Lagrange

Un mtodo mucho ms antiguo que el de la programacin dinmica y que seutilizaba bastante para resolver problemas con una estructura similar al proble-ma secuencial que hemos estado estudiando, es el conocido como las Ecuaciones


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de Eulero ms generalmente como el Mtodo de Lagrange(este a su vez, es uncaso particular de la teora del control ptimo)5. Una vez ms utilizaremos elmodelo bsico de crecimiento para ilustrar las ideas principales de este mtodo.Obsrvese que el problema de optimizacin en el modelo bsico de crecimientose puede escribir de forma equivalente como:

max{ct}

Xt=0

tu (f(kt) kt+1+ (1 )kt)

s.a :

0 kt+1 f(kt) + (1 )kt

k0 dado.

Para simplificar un poco la notacin introduciremos las siguientes definiciones.

Sea r(kt, kt+1) = u (f(kt) kt+1+ (1 )kt)y (kt) = {k R: 0 k f(kt) + (1 )kt}entonces el problema del modelo bsico de crecimiento es equivalente a:

max{ct,kt}

Xt=0

tr(kt, kt+1)

s.a :

kt+1 (kt)

k0 dado.

Ahora, supongamos que {kt } es una secuencia que resuelve el problema.Intuitivamente, el valor ptimo kt+1 debe ser solucin al problema:

maxkt+1(k

t

)r(kt , kt+1) + r(kt+1, k

t+2)

Es decir, si la solucin es interior, es necesario que la secuencia satisfaga loque se conoce como las ecuaciones de Euler:

r

kt , kt+1

kt+1

+ r

kt+1, kt+2

kt+1

= 0, t= 0,...

que es una ecuacin en diferencias finitas de segundo orden. Obsrvese que solotenemos una condicin inicial k0, luego debe faltar algo ms para caracterizarcompletamente la solucin, de lo contrario, existirian infinitas soluciones, unapara cadak1. La condicin que est faltando es lacondicin de transversalidad:

limt

tr

kt , k

t+1

ktkt 0 (1.10)

5 Las Ecuaciones de Euler, como su nombre lo indica, se deben al matemtico suizo LeonardEuler (1707-1783). Euler ha sido uno de los cientficos ms prolficos e importantes de lahistoria. Su trabajo en sta rea lo hizo en un contexto continuo, dando inicio a lo que se conocecomo el clculo de variaciones. La Teora del Control ptimo fue desarrollada principalmentepor matemticos rusos en la primera mitad de este siglo, principalmente por Pontryagin ysus colaboradores. La programacin dinmica se debe al matemtico norteamericano RichardBellman quien introdujo el mtodo en una monografa publicada en el ao 1957 (Bellman[1957]).


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1.4. EJERCICIOS Y SOLUCIONES 11

En los prximos captulos discutiremos una interpretacin de esta condicin.Intuitivamente, a lo largo de la trayectoria ptima el valor presente de la utilidadmarginal de una unidad adicional de capital en el infinito no debe ser positiva.

Ejemplo 3 (Brock y Mirman [1972] una vez ms). Aplicando las ecuacionesde Euler al ejemplo de Brock y Mirman obtenemos:

1

kt kt+1

+ k1t+1

kt+1 kt+2

= 0 (1.11)

Es fcil obtener la solucin de estado estacionario a partir de esta ecuacinen diferencias finitas. Sin embargo, no es obvio cmo utilizar la condicin detransversalidad, ecuacin 1.10, para resolver esta ecuacin por fuera del estadoestacionario. De hecho, ms adelante dedicaremos un buen esfuerzo a explotar lacondicin de transversalidad. Por el momento, basta con observar que la anterior

ecuacin se puede reducir a una ecuacin de primer orden. Sea xt = k

t+1

kt ,entonces el sistema es equivalente a:

1 xt+11 xt

xt=

y la condicion de transversalidad se puede reescribir como:

limt

t

1 xt= 0.

Ahora basta con observar que una solucin particular de estas dos ecuacioneses xt = , es decir, kt+1 = kt que genera una dinmica que satisfacesimultaneamente las ecuaciones de Euler y la condicin de transversalidad.

En este captulo hemos hecho un tour por las ideas ms importantes quesurgen en el estudio de las economas a lo largo del tiempo y a las cuales nosdedicaremos a estudiar de una manera ms formal en los prximos captulos.

1.4. Ejercicios y Soluciones

Ejercicio 1 Supongamos que estamos interesados en la solucin de estado esta-cionario del ejemplo 1. Sear la tasa de inters real de la economa y supongaque el factor de descuento es igual a 11+r . Probar que el nivel de consumo enel estado estacionario es una funcin decreciente de la tasa de inters.

Solucin 1 Para mostrar que el consumo en estado estacionario es una funcindecreciente de la tasa de inters, utilizaremos la regla de la cadena:

c

r=

c

r

Del ejemplo 1 sabemos que:

k = () 11 c = (1 )()

11


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Derivandoc con respecto aobtenemos:

c

=

() 1

(1 ) (1 )> 0

Derivandocon respecto ar obtenemos:

r = (1 + r)2 0 pero no parak = 0.

2. Si el capital inicial esta por debajo del capital de estado estacionario, latasa de crecimiento del capital es una funcin decreciente del nivel decapital. Esta es una ilustracin de la hiptesis de convergencia en la teoradel crecimiento

3. Supongamos que f(kt) = Akt donde A es una constante. Mostrar quela dinmica ptima del capital es kt+1 = Akt y la funcin de polticaes ct = (1 )Akt. Utilizando dos valores diferentes de A ilustrar lahiptesis de convergencia condicional: controlando por diferentes parmet-ros fundamentales (A diferentes) mostrar que los pases que estn rela-tivamente ms lejos de su estado estacionario crecen ms rpido que losque estn relativamente ms cerca.

Ejercicio 3 El problema de comerse un pastel (tomado de Stockey Lucas[1989]). Supongamos que tenemos una cantidadx0 de pastel. Cada perodo cor-tamos un poco y nos lo comemos. La utilidad instantnea de comerse un pedazoes igual al logaritmo del tamao del pedazo.

1. Escribir el problema como un problema de programacin dinmica.

2. Encontrar la funcin valor y la funcin de poltica (sugerencia: la funcinvalor es logartmica).

Solucin 2 (Ejercicio 3) Llamemos xt la cantidad de pastel que queda en elperiodot.El pedazo de pastel que nos comemos puede definirse como la diferencia

entre el pastel que tenemos enty el que queda ent + 1. As, el problema puedeser formulado de la siguiente forma:

max{xt}

Xt=0

t ln(xt xt+1)

0 xt+1 xt

x0 dado.


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Para usar una notacin similar a la del captulo, podemos replantear el prob-lema secuencial de la siguiente manera:

maxXt=0

t ln(ct)

0 ct xt yxt+1= xt ct

Dondect es la cantidad de pastel que nos comemos en t.El problema funcional es:

v(xt) = max{ln(ct)+v(xt ct)}

0 ct xt

Utilizando la sugerencia para resolver el problema (o alternativamente, hac-

er algnas iteraciones para convencerse de que esta es un buen candidato),suponemos que la funcin valor es de la forma:

v(xt) = A ln(xt) + B donde A y B constantes.

Las condiciones de primer orden del problema funcional implican:

xt+1=

(1 + A)xt

Substituyendo en la ecuacin funcional:

A ln(xt)+B= v(xt) = ln(xt)+ln1 A

1 + A+A ln A

1 + A + A ln(xt) + BUtilizando el mtodo de coeficientes indeterminados, podemos verificar que A yB son constantes:

A = 1

1

B = ln

1

A

1 + A

+

A ln

A

1 + A

+ B

=

ln(1 )

1 +

ln ()

(1 )2

Luego:

xt+1= xt


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Bibliografa

[1] Bellman, R. (1957). Dynamic Programming. Princeton University Press.

[2] Brock, W.A. Mirman, L. (1972). Optimal Economic Growth and Uncertain-ty: The No Discounting Case. International Economic Review, Vol 14, No.3, pp. 560 - 573.

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[4] Koopmans, T. 1965. On the concept of optimal growth, en: The EconometricApproach to Development Planning (Rand-McNally).

[5] Long, John B, Jr and Plosser, Charles I, 1983. Real Business Cycles Journalof Political Economy, Vol. 91 (1) pp. 39-69.

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15


20/79

16 BIBLIOGRAFA


21/79

Captulo 2

Programacin Dinmica: Elcaso determinstico

El objetivo en esta parte ser formalizar los mtodos presentados en el cap-tulo anterior para un problema lo suficientemente general como para incluiralgunos modelos bastante importantes que se encuentran en la literatura, comopor ejemplo, los modelos de crecimiento y los modelos de ciclos reales.1

El problema tpico (o problema secuencial) que queremos resolver tiene laforma:

sup{ut}

Xt=0

tr(xt, ut)

s.a : xt+1= g (xt, ut) ,ut (xt), t= 0, 1, 2,...

x0 Xdado,

donde xt Rn, ut Rm, X Rn, r y g son funciones de XRm en R yXrespectivamente; y es una correspondencia de X en Rm (ver Apndice).La funcin r la llamamos funcin de retorno (instantneo) y usualmente serla utilidad instantnea del agente representativo. Las variables xt se llamanvariables de estado que tpicamente son el monto de capital o la cantidad deactivos que tiene el agente representativo en el instantet. La funcing describela evolucin de las variables de estado dada una escogencia de las variables utque llamamos variables de control. Finalmente, la correspondencia describe

las posibilidades de escogencia de las variables de control que tiene el agentecuando la economa se encuentra en un estado xt. La idea de todo esto es lasiguiente: las variables xt caracterizan el estado de la economa, es decir, elambiente econmico frente al cual un agente debe tomar una decisin. Como yahabamos sealado, xtpuede ser el monto de capital (como en el modelo bsicode crecimiento) que existe en la economa, lo cual determina las posibilidades de

1 Esta parte est basada en el captulo 4 de Stokey-Lucas [1989].

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18CAPTULO 2. PROGRAMACIN DINMICA: EL CASO DETERMINSTICO

produccin de las firmas y consecuentemente, el nivel de consumo o inversin,en este caso las variables de control, que los agentes pueden escoger. Esto secaptura a travs de la restriccin ut (xt).De esta forma, dado x0 (el estadoinicial de la economa) el agente observa las posibilidades que tiene para escogerel control inicial u0 sabiendo que ste le determinar el estado de la economa(x1 = g (x0, u0)) y las posibilidades de escogencia del control un perodo mastarde (u1 (x1)); y as sucesivamente. Bajo estas restricciones el agente debeprocurar escojer los controles con el fin de maximizar el valor presente de losretornos futuros.

Obsrvese que el ejemplo de Brock y Mirman de las notas anteriores es uncaso particular de este tipo de problemas. Ahxt= kt, ut = ct,r(ct) = log (ct) ,g(kt, ct) =k

t ct, (kt) ={ct : 0 ct k

t} y X=R++.De igual forma, es

fcil ver que el modelo bsico de crecimiento considerado del captulo anterior,tambin es un caso particular del problema secuencial que estamos estudiando

en esta parte.A todoproblema secuencial(PS) como el de arriba, le asociamos unproblema

funcional(PF):

v(x) = supu{r(x, u) + v(g(x, u))}

s.a : u (x).

La funcinh que nos da el valor de u que resuelve el problema anterior paracadax, la llamamosfuncin de poltica (ocorrespondencia de polticasegn seael caso).

Nuestro objetivo es ahora encontrar las condiciones bajo las cuales se cumpleelPrincipio de Optimalidad de Bellman: Sea v la funcin que resuelve el prob-

lema funcional entonces, bajo ciertas condiciones, v(x0) es el valor mximoque puede alcanzar el problema secuencial y si {(xt , u

t )} es tal que: v(x

t ) =

r(xt , ut )+ v(g(x

t , u

t ))parat = 0, 1, 2,..., dondeu

t (x

t ),x

t+1= g (x

t , u

t ) ,

x0= x0entonces,{(xt , u

t )}resuelve el problema secuencial. Ms an, probare-

mos un converso para cada una de las afirmaciones anteriores.Comencemos por hacer algunas hiptesis bsicas para que el problema se-

cuencial tenga sentido.

Definicin 1 Una secuencia de estados y controles{(xt, ut)}t=0,1...,enXRm

es una dinmica factible desdex0 para el problema secuencial, siut (xt) yxt+1 = g (xt, ut) para t = 0, 1, 2,...,. En este caso decimos que la secuencia decontroles{ut}es un plan factible desdex0. El conjunto de todas las dinmicasfactibles desdex0lo denotamos por(x0). Frecuentemente, y abusando un pocodel lenguaje, diremos que{xt}t=0,... es una dinmica factible desdex0.

Las siguientes hiptesis aunque, no las ms generales, sern suficientes paradesarrollar las ideas principales.

Condicin 1 (x) es diferente de vacio para todo x X (i.e., (x)6= paratodox).


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Condicin 2 0y para todox0 X, existeMx0 Rtal que

Pt=0tr(xt, ut)

Mx0 para toda dinmica factible{xt}t=0,1...desdex0.

Anotacin 1 La forma ms comn para garantizar la condicin anterior esutilizando lo que en la literatura se conoce como condicin de no-ponzi. Msadelante volveremos sobre este punto.

Esta condicin asume, implcitamente, que para toda dinmica factible desdex0la suma infinita existe. Adems, en las condiciones anteriores pemitimos quepara ciertas dinmicas fctibles la suma sea .Sin embargo:

Condicin 3 0y para todox0 X, existe una dinmica factible{(xt, ut)}t=0,1,...desdex0y unmx0 Rtal que la secuencia de sumas parciales{Sn}n=0,1,.. , Sn=nPt=0tr(xt, ut) satisfacemx0 Sn para todo n.2

Es claro que si r es acotada y [0, 1) entonces las condiciones 2 y 3 secumplen. En los ejercicios se dan otras condiciones bajo las cuales la condicin2 se cumplen.

Bajo las condiciones anteriores podemos definir la funcinev: X Rdondeev(x0) = sup{(xt,ut)}(x0)

Pt=0

tr(xt, ut). Es decir,ev(x0)es el valor supremo del (PS).Llamamos a la funcinev la funcin valordel problema. La primera relacinimportante entre el (PS) y el (PF) nos la da la siguiente proposicin.

Proposicin 1 Bajo las condiciones 1, 2 y 3,

ev resuelve el PF.

Proof. Sea > 0 , u0 (x0) y x1 = g(x0, u0). Comoev(x1) es el valorsupremo del (PS) con valor inicial x1, entonces existe una dinmica factible

desde x1, {(x1, u1), (x2, u2),...} tal que,Pt=1

t1r(xt, ut) ev(x1) . Ahora{(x0, u0), (x1, u1),...} (x0) luegoev(x0) P

t=0tr(xt, ut) r(x0, u0) + ev(x1) = r(x0, u0) + ev(g(x0, u0)) . Como esto es verdad para todo

>0yu0es cualquier elemento (x0)entonces tenemos queev(x0) r(x0, u0)+ev(g(x0, u0)) para todo u0 (x0) es decir,ev(x0) sup

u0(x0){r(x0, u0) +

ev(g(x0, u0))}. Olvidndonos de los subndices tenemos

ev(x) sup

u(x){r(x, u) +

ev(g(x, u))}. Ahora, para probar la desigualdad contraria, argumentamos dela misma forma: Sea > 0, entonces existe una dinmica factible desde x0,{(x0, u0), (x1, u1),...}tal queev(x0) P

t=0tr(xt, ut)+ r(x0, u0)+ev(x1)+ .

De nuevo comoes arbitrario tenemosev(x0) r(x0, u0)+ ev(x1)luegoev(x0) 2 Hacer este supuesto utilizando todas las dinmicas factibles es ms restrictivo y no se

cumplira para la funcin de utilidad logartmica ni para la funcin de utilidad CES conparmetro


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supu0(x0)

{r(x0, u0)+

ev(g(x0, u0))}. Nuevamente, olvidndonos de los subndices,

obtenemos la desigualdad que nos faltaba.La siguiente proposicin nos da un converso parcial de la anterior y las

condiciones bajo las cuales se cumple una de las afirmaciones del Principio deOptimalidad.

Proposicin 2 Bajo las condiciones 1, 2 y 3, sivresuelve el PF y lmt

tv (xt) =

0 para todo x0 X y dinmica factible{xt} desde x0 (condicin de transver-salidad fuerte),entoncesev= v. Es decir, vresuelve el PS.Proof. Vamos a probar dos cosas. Primero probaremos que v (x0)

Pt=0tr(xt, ut)

para toda dinmica factible desdex0y segundo que para todo >0,existe unadinmica factible {(xt, ut)}t=0,1,..desde x0 tal que v (x0)

Pt=0

tr(xt, ut) + .

Estas dos afirmaciones implican que v es la funcin valor del problema. Parademostrar la primera, comov es solucin del (PF) entonces para toda dinmicafactible{(xt, ut)} (x0) tenemos: v (x0) r (x0, u0) + v(x1) r (x0, u0) +r(x1, u1) +

2v(x1) ....

kP

t=0tr(ut, xt) +

k+1v (xk+1)(aqui utilizamos lmt

tv (xt) 0). Usando

la condicin 2 y haciendo k obtenemos v (x0) Pt=0

tr(xt, ut). Para

demostrar la segunda afirmacin, sea >0 arbitrario y {n}una secuencia de

nmeros reales tal que

Pt=0tt .Como v resuelve el (PF) entonces existe u0tal quev(x0) r(x0, u0) + v(g(x0, u0))+ 0. Seax1= g(x0, u0)y por la mismarazn que arriba, existe u1 (x1) tal que: v(x1) r(x1, u1) + v(x2) + 1.Luego, v(x0) r(x0, u0) +r(x1, u1) +

2v(x2) +0+1. Continuando deesta manera podemos encontrar una dinmica factible {(xt, ut)} (x0) que

satisfaga:v(x0) Pt=0

tr(xt, ut) +Pt=0

tt + lm

ttv (xt) (aqui utilizamos lm

t

tv (xt) 0) Pt=0

tr(xt, ut) + .

Esta proposicin muestra que el problema funcional tiene una nica solucinque satisface la condicin de transversalidad.3 4

3 Para variaciones de esta ltima proposicin cuando la condicin de transversalidad no secumple, ver Stockey-Lucas[1989], ejercicio 4.3.4 En la literatura de optimizacin dinmica el trmino condicin de transversalidad gen-

eralmente se refiere a una condicin necesaria (o suficiente) que se debe cumplir en la solucindel problema. Usaremos esta terminologa.

En la literatura de la Teora del Equilibrio con Mercados Incompletos con horizonte infinitoel trmino generalmente se refiere a restricciones asintticas sobre el nivel de endeudamientoen el que pueden entrar los agentes (Ver Magill y Quinzii [1994]). En este ltimo sentido separece ms a una conndicin de no-ponzi.


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21

Anotacin 2 Intuitivamente lmt

tv (xt)> 0implica que se estn subutilizan-

do los recursos cuando la dinmica factible es{xt}. Si lmtt

v (xt)< 0 ocurrelo contrario. Esta interpretacin sugiere que la condicin de transversalidad esmuy fuerte y por lo tanto no debe ser una condicin necesaria (Ver ejercicio 8).Intuitivamente, uno pensara que esta condicin es, a lo sumo, necesaria a lolargo de una dinmica que resuelve el PS.

Nuestro objetivo ahora es caracterizar los planes ptimos. Es decir, aquel-los planes factibles (si es que alguno existe) que permiten alcanzar el supremodel PS. Obsrvese que un plan factible determina unvocamente una dinmicafactible.

Proposicin 3 Supongamos que se cumplen las condiciones 1, 2 y 3. Sea{(xt , ut )}

una dinmica factible desde x

0 que permite alcanzar el supremo del PS, en-tonces:

ev(xt ) = r (xt , ut ) + ev xt+1 , t= 0, 1, 2,... (2.1)Anotacin 3 Obsrvese que aqu podemos cambiarev porv.Proof. Como (xt , u

t ) alcanza el supremo del (PS) entonces:

Pt=0

tr(xt , ut ) =

r (x0, u0) +

Pt=0

tr(xt+1, ut+1) r (x

0, u

0) +

Pt=0

tr(xt+1, ut+1) para toda

dinmica{(x1

, u1), (x2, u2),...} (x

1

) , luego

Pt=0tr(xt+1, ut+1)

Pt=0tr(xt+1, ut+1),para toda dinmica{(x1, u1), (x2, u2),...} (x

1) . Ahora como{(x

1, u

1), (x

2, u

2),...}

(x1)entoncesev (x1) = Pt=0

tr(xt+1, ut+1). Volviendo a la primera ecuacin ten-

emos entonces:Pt=0

tr(xt , ut ) =r (x

0, u

0) +ev (x1) pero la primera sumatoria

es igual aev (x0)por la definicin de {(xt , ut )} .Esto demuestra la afirmacinparat = 0.Para los otros perodos basta utilizar induccin.

Finalmente tenemos un converso para esta proposicin que nos da las condi-ciones bajo las cuales se cumple la otra afirmacin del Principio de Optimalidad.

Proposicin 4 Bajo las condiciones 1, 2 y 3, si {(xt , ut )} es una dinmi-

ca factible desde x0

que satisface (1) y tal que lmtev(xt ) 0, (condicin detransversalidad dbil) entonces{(xt , ut )}resuelve el PS.Proof. Como{(xt , u

t )}es una dinmica factible desde x

0entonces

Pt=0

tr (xt , ut ) ev(x0). Ahora, sustituyendo k veces en (1) el valor deev(xt ) en trminos deev xt+1 llegamos a: ev(x0) = kP

t=0tr (xt , u

t )+

k+1ev xk+1 y usando quelmsup tev(xt )


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0podemos concluir que

Pt=0tr (xt , u

t ) e

v(x0)luego por la desigualdad anteri-

or, tenemosPt=0

tr (xt , ut ) =ev(x0).

Anotacin 4 Intuitivamente, si a lo largo de una dinmica factible que satis-face(1) no se subutilizan recursos, entonces esta debe ser una dinmica factibleptima para el problema secuencial. El ejercicio9 ilustra el caso de un problemadinmico para el cual existe un plan factible que satisface(1)pero que no es unplan ptimo para el problema secuencial.

Como consecuencia inmediata de las cuatro proposiciones anteriores tenemosel siguiente teorema que resume las relaciones entre el (PS) y el (PF).

Teorema 1 Equivalencia del (PS) y el (PF): Bajo las condiciones 1, 2 y 3 y si

la condicin de transversalidad se satisface, el (PS) y el (PF) tienen las mismassoluciones en trminos de valor y dinmicas ptimas.

Anotacin 5 En ocasiones la escogencia inteligente del espacio de estadosXpuede dar paso a la aplicacin rigurosa del mtodo que hemos explicado. Ver elejemplo 4.

Hasta este punto hemos estudiado la relacin entre el problema funcionaly el problema secuencial, pero an no hemos dado un mtodo para resolverninguno de los dos excepto por el mtodo que introdujimos informalmente en elcaptulo anterior para resolver el problema funcional. La programacin dinmicano tendra tanto valor si no fuera porque para el (PF) existen varios mtodos desolucin. Nos concentraremos aqu en el mtodo ms importante desde el punto

de vista terico y prctico para resolver el problema funcional, pues ste sirvepara demostrar la existencia de soluciones (al igual que sus propiedades msimportantes) y a la vez, motiva algunos mtodos numricos importantes pararesolver el (PF).

Para esto necesitamos pedir un poco ms sobre la correspondencia y lafuncin de retorno r que lo que se pide en las condiciones 1, 2 y 3.

Condicin 4 es una correspondencia de valores compactos (i.e.,(x) escompacto para todo x), continua y(x)6= para todo x.

Condicin 5 (0, 1) y la funcin retorno es acotada y continua sobre elgrafo de.5

Anotacin 6 Bajo estas condiciones el supremo se realiza como un mximo.

Es claro que los supuestos 4 y 5 implican 1, 2 y 3. Adems (0, 1), luegobajo estas condiciones se cumple el Teorema de Equivalencia (Teorema 1).

El mtodo que expondremos para resolver el problema funcional nace, comose observ en las notas pasadas, de la identificacin del (PF) con un problema de

5 El grafo de es el conjunto: {(x, y) X Rm :y (x)}


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punto fijo. Informalmente, al (PF) le asociamos un operadorTde cierto espaciode funciones sobre Xen s mismo. Este se define de la siguiente manera: Dadauna funcinfen este espacio de funciones (ms adelante explicaremos cal es),T[f]es la funcin que evaluada enx Xnos da:

T[f] (x) = supu{r(x, u) + v(f(x, u))}

s.a : u (x).

As el PF se reduce a calcular un punto fijo del operadorT .Ahora, bajo elsupuesto 5 es claro queev, y por lo tanto v por la primera proposicin, es unafuncin acotada sobre el conjuntoX,y puesto que el operador Test definido atravs de un problema de maximizacin, entonces sera natural buscar un puntofijo en el espacio de las funciones reales, continuas y acotadas sobreX;Ca(X).Siencontramos un punto fijo del operadorTenCa(X)y por lo tanto una solucindel PF, entonces, por el Teorema de Equivalencia, esta solucin debe ser elvalor supremo del PS. Una vez tenemos la funcin valor podemos proceder aencontrar el plan ptimo, resolviendo paso a paso el problema de maximizacinque aparece en el PF, es decir, encontrando la funcin poltica h. Otra formade encontrar el plan ptimo sera resolviendo el sistema de ecuaciones (1) .Laesperanza en estos procedimientos radica en el siguiente teorema, muy usado enmatemticas.

Teorema 2 (Punto Fijo para Contraccciones): Supongamos que se cumplen 4y 5 y seaCa(X) el espacio de las funciones reales, continuas y acotadas sobreXcon la norma del supremo kk. Entonces el operadorT definido sobreCa(X)es una aplicacin de este espacio en s mismo, T : Ca(X) Ca(X);tiene un

nico punto fijo v y adems para cualquierv0 Ca(X)se tiene:kTn [v0] vk n kv0 vk , n= 0, 1, 2,...

En particular lmn

Tn [v0] = v en la mtrica del supremo. Adicionalmente,

la correspondencia de polticah es de valores compactos y hemicontinua superi-ormente.

Proof.Ver Stokey-Lucas [1989] pgina 79.Usaremos estos resultados para resolver el siguiente modelo de crecimiento

con inversin en capital humano.

Ejemplo 4 (Crecimiento con inversin en capital humano).6 En este modelode crecimiento supondremos que los nicos factores de produccin en cada pero-do son el capital humano ht y el tiempo que el agente representativo dedica al

trabajont. Ms concretamente, la funcin de produccin de esta economa de-pende nicamente del capital humano efectivo en cada perodo: htnt. Es decir,yt = f(htnt), donde f es la funcin f(x) = x, (0, 1). Cambiando sim-plemente las unidades con las que medimos este tiempo, podemos suponer quent [0, 1]. Ahora, la evolucin del capital humano en esta economa depende

6 Tomado de Stokey-Lucas pgina 111. A su vez, este modelo tiene origen en el clsicoartculo de Lucas [1988] y en Usawa [1964].


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01

PHI

1+delta

1-delta

Figura 1

Figura 2.1:

del tiempo dedicado a trabajar, siendo la acumulacin del capital humano menorentre ms tiempo se dedique al trabajo y mayor entre menos tiempo se dediquea ste. Esto refleja el hecho que, para acumular capital humano y aumentar laproductividad, el agente debe dedicar tiempo a esta tarea, por ejemplo estudiandoo capacitndose, dejando entonces de trabajar un poco.7 Una forma de capturar

esta dinmica es la siguiente: Seaht+1 = ht (nt) dondees una funcin de[0, 1] en R+, con estas caractersticas: es continua, estrictamente cncava,estrictamente decreciente y tal que(0) = 1 + , (1) = 1 , donde, 0(figura 1).

7 Por eso decimos que este es un modelo de crecimiento con inversin en capital humano, adiferencia de otros en los que entre ms se trabaja ms se aprende al adquirir mayor experi-encia, etc. Ver ejemplo siguiente (Aprendiendo Haciendo).


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La idea de esta funcin es la siguiente: si el agente decide no trabajar, en-tonces su capital humano se apreciar a una tasa , reflejando esto el hechode que al no trabajar el agente puede dedicar todo su tiempo a estudiar o ca-pacitarse con elfin de incrementar su capital. En el otro extremo, si el agentedecide dedicar todo su tiempo al trabajo, entonces no tendr tiempo para ca-pacitarse y su capital humano se depreciar a una tasa. La concavidad de lafuncin implica que, entre ms tiempo el agente dedique a acumular capital hu-mano, menos acumular de ste en el margen. El agente representativo en estaeconoma puede consumir todo lo que produce y su variable decisin en cadaperodo es cunto tiempo debe dedicarse al trabajo. Sea (0, 1)y supongamosque tiene una utilidad instantnea de consumo: u(c) = c

, donde (0, 1) .Elproblema del agente representativo es entonces:

sup{nt}

Xt=0

tu (f(htnt))

s.a : ht+1= ht (nt)

h0 dado.

En este ejemplo, la variable de control esnt,la variable de estado esht,la fun-cin de retorno esu f, ht+1= g (ht, nt) =ht (nt) , (ht) = {nt: 0 nt 1}yX=R+.Ahora, es fcil probar que se satisfacen las condiciones del Teoremade Equivalencia (Teorema 1). Basta con notar que el capital humano se acumulao desacumula a una tasa mximayrespectivamente, y que por lo tanto:

Xt=0tu (f(htnt))

Xt=0 ((1 + ))t (h0nt)

para toda dinmica factible desdeh0.Ahora, la desigualdad de la derecha es un nmero finito siempre que(1 + )0

8 Ntese que 0 (nt) = n1t 0 (los retornos marginales a la inversin en

capital humano 1 nt, son crecientes).9 La idea de Aprendiendo Haciendo ( Learning by Doing) se debe a Arrow[1962].


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y (, 1) . Ahora si 0 entonces la acumulacin de capital humano esun producto del trabajo. Este es el caso de aprendiendo haciendo.10

La variable de control esnt,la variable de estado esht,la funcin de retornoesu f, ht+1= g (ht, nt) = ht (nt) , (ht) ={nt : 0 nt 1}yX=R+.


v(ht) = sup{nt}

{u (f(htnt)) + v(ht (nt))}

s.a : 0 nt 1

Tenemos la misma forma funcional de la funcin de utilidadu(c) = c

, y de lafuncin de produccinf(nh) = (nh).

Sea v0(h) = 0, entonces es muy fcil ver que vn(ht) = ht

n

Pi=0

()i, y

la funcin de poltica en cada iteracin es nt = 1. Luego la funcin valor denuestro problema es:

v(ht) = ht

1

1

Es fcil ver que en efecto la funcin de poltica es: nt = 1. Luego la dinmicadel capital es: ht+1= ht.Si >1 entonces tenemos crecimiento endgeno.

Anotacin 8 Obsrvese que en los ltimos dos ejemplos no existe una solucinde estado estacionario en las variables en niveles.

Ejemplo 6 Hercowitz-Sampson (1986). Consideremos el modelo bsico de crec-imiento con:

U(c, l) = log(c a(1 l)

)yt = k

tn

1t

kt+1 = kt

itkt

1=kt i

1t , a >0; >1

Primero, vamos a demostrar que la funcin de utilidad es cncava. Para esto,debemos calcular la matriz Hessiana de dicha funcin y determinar si es semi-definida negativa.11 Derivamos primero respecto a cada una de las variables:

U

c = U1(c, l) =

1

c a(1 l)

U

l

= U2(c, l) = a(1 l)1

c a(1 l)

10 Ntese que 0 (nt) = n1t >0 (los retornos a la experienciaes creciente) y

00 (nt) =

( 1)n2t


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Las derivadas parciales de segundo orden nos determinan la siguiente matrizHessiana:

H=

U11(c, l) U12(c, l)U21(c, l) U22(c, l)

=

1(ca(1l))2 a(1l)

1

(ca(1l))2

a(1l)1

(ca(1l))2(1)a(1l)2

(ca(1l)) [a(1l)1]2

(ca(1l))2

Calculamos ahora el determinante de la matrizH:

|H| = ( 1)a(1 l)2

(c a(1 l))3 +

a(1 l)1

2(c a(1 l))4

[a(1 l)1]2

(c a(1 l))4 =

= ( 1)a(1 l)2

(c a(1 l))3 >0

Los menores principales de orden 1 son:

|H1| = U11(c, l) = 1

(c a(1 l))2


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29

y para la segunda condicin:

an1

c an =

(1 ) D1(1 ) kn

(kn1 c)

kn1 c

an1 =

(1 ) D1(1 ) kn (c an)

akn an1c=

(1 ) D1(1 ) knc (1 ) D1(1 ) ak

n

(ak + (1 ) D1(1 ) ak) n =

(1 ) D1(1 ) kn + an1

kn1 (1 ) D1an( 1 ) D1+ 1

(( 1 ) D1+ 1) (ak

+ (1 ) D1(1 ) ak

) n

=(1 ) D1(1 ) k

2n12 + 2 (1 )2 D21(1 ) ak

n +

ank a2n21(1 ) D1

(( 1 ) D1+ 1) (ak + (1 ) D1(1 ) ak

) n =

(1 ) D1(1 ) k2n

12 +

2 (1 )

2D21(1 ) + ak

n

a2(1 ) D1n21

(+ (1 )) ak = (1 ) k2n1 a2n(1)

0 = (1 ) k2n2(1) (+ (1 )) akn1 a2

Tenemos as

n1k =(+ (1 )) a

q((+ (1 )) a)2 4 (1 ) a2

2 (1 )

=(+ (1 )) a

q2a2 + 2(1 ) a2 + (1 )2 a2 4 (1 ) a2

2 (1 )

= a + (1 ) a a (1 ) a

2 (1 )

= a

1

Conclumos que:

n =

a

1 k

11

=

a

1

11

k 1++ = 2k

2

c = 1k1


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Sustituyendo estas expresiones en la ecuacin de Bellman

D0+ D1ln k = max( ln 1k1 a2k2+

h

D0+ D1ln

k12 k

k(1)2 1k11i )

= ln [1 a2 ] + 1ln k+ D0+

(1 ) D1ln12 k

(1)1 +

1k1

+ D1ln (k)

= ln [1 a2 ] + 1ln k+ D0+

(1 ) D1ln12 1

+ (1 ) D11ln k+ D1ln (k)

= ln [1 a2 ] + D0+ (1 ) D1ln

12 1

+

(1+ D1((1 )1+ ))ln k

Conclumos

D0 = ln [1 a2 ] + D0+ (1 ) D1ln

12 1

D1 = 1+ D1((1 )1+ )

De aqu

D1 D1((1 )1+ ) = 1

D1 = 1

1 ((1 )1+ )

Por lo tanto

D0= ln [1 a

2 ] (1 ((1 )1+ )) + (1 )

1ln 12 1

(1 ) (1 ((1 )1+ ))

Con algo de lgebrafinalmente obtenemos:

D0+ D1ln kt = D0+ D1(1 )ln(12 1) +

+ln(1 a2) + (1+ D1(+ 1(1 ))) ln kt

Viendo esta expresin, las constantes D deben cumplir las siguientes condi-ciones:

D0 = D0+ D1(1 )ln(12 1) + ln(1 a

2)

D1 = 1+ D1(+ 1(1 ))

Al resolver este sistema de dos ecuaciones y dos incgnitas, obtenemos:

D0 = 1(1 )

2 ln12 1

(1 1(1 ))(1 )

D1 = 1

1 1(1 )


35/79

31

Efectivamente la funcin propuesta cumple con las caractersticas necesariaspara ser una funcin valor.

Ahora podemos determinar la dinmica ptima del capital con las ecuaciones(2). Sustituyndolas en la ecuacin de acumulacin del capital, encontramos:12

kt+1= kt (k

tn

1t ct)

1 =kt (kt

2k

2t

11k

1t )

1

y simplificando,

kt+1= (12 1)

1k+1(1)t = 3k

3t

El prximo ejemplo es bastante importante y estudiado en la literatura.Como ya lo habamos mencionado antes, para la mayora de los problemas deeconoma dinmica es imposible encontrar explcitamente una frmula para lafuncin de poltica y por eso debemos recurrir a mtodos numricos. Un mto-

do bastante importante consiste en reducir el problema original, mediante unaaproximacin, a un problema como el que se discute a continuacin.

Ejemplo 7 (Control ptimo Lineal). La caracterstica fundamental de esteproblema es que la funcin objetivo es cuadrtica y la dinmica de la variablede estado est dada por una funcin lineal. Bajo estas condiciones mostraremosque el control ptimo es una funcin lineal de las variables de estado, razn porla cual el problema lleva este nombre. Concretamente, el problema que queremosresolver es:

supXt=0

t(x0tQxt+ u0tRut+ 2x

0tW ut)

s.a :

xt+1 = Axt+ But, x0 dado,

y dondeR yQson matrices simtricas; definida negativa, y semidefinida neg-ativa respectivamente.1314 Aqui x0 denota el vector transpuesto de x. Existenotras condiciones adicionales para garantizar que este problema tiene soluciny que sta se puede obtener con el mtodo iterativo. Para simplificar las cosassupondremos que estamos en estos casos. El lector puede consultar Ljungqvist ySargent [2004] o Bertsekas y Shreve[1978].

Sea0= 0,luego1(x) = supu

{x0Qx + u0Ru + 2x0W u} .Las condiciones de

primer orden son:15 2u0R+ 2x0W = 0 u = R1W0x 1(x) = x0(Q 12 Recuerde que y c= i13 Recuerde que una matriz A es simtrica si A0 = A. Una matriz simtrica A (m m)

es semidefinida negativa si x0Ax 6 0 para todo m-vector x 6= 0. En el caso de las matricesdefinidas negativasla desigualdad anterior es estricta. Ver Lutkepohl [1993].

14 Obsrvese que restricciones de la forma xt+1 = Axt+ A1xt1+ ... + Apxtp+ But+B1ut1+ ... + Bqutq pueden escribirse en la forma que aqu consideramos.15 Para encontrar las condiciones de primer orden hemos utilizado las siguientes reglas para la

diferenciacin de matrices (ver Lutkepohl: Introduction to Multiple Time Series Analysis.):

Sean y, xdos vectores de dimensin m y Auna matriz m m,entonces y0x

x = x

0yx

=y0 yx0Axx

=x0(A + A0)


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W R1W0)x. Esta primera iteracin nos sugiere que la funcin valor de esteproblema es probablemente una forma cuadrtica.16 Supongamos entonces quej(x) =x

0Pjxpara una matrizPj simtrica. Entonces:

j+1(x) = supu

{x0Qx + u0Ru + 2x0W u + (Ax + Bu)0Pj(Ax + Bu)}

Las condiciones de primer orden son: 2u0R + 2x0W+ B 0PjAx + (x0A0PjB) +2u0B0PjB = 0 u = (R+B

0PjB)1(B 0PjA+W

0)x, siempre queR+B 0PjB sea invertible. Substituyendo en la ecuacin funcional y con algo delgebra llegamos a (dejamos esto como ejercicio):

j+1(x) = x0[(Q + A0PjA (A

0PjB + W)(R + B0PjB)

1(B 0PjA + W0)]x,

en particular:

Pj+1= Q + A0PjA (A0PjB+ W)(R+ B 0PjB)1(B 0PjA + W0).

La anterior ecuacin se denomina la ecuacin de Riccati Iterando esta ecuacinllegamos a una matriz P que caracteriza la funcin valor del problema y lafuncin de poltica:

ut = (R + B0P B)1(B 0P A + W0)xt

Como puede observarse de esta ecuacin, el control ptimo es una funcin linealde las variables de estado.

2.1. Ejercicios y Soluciones

Ejercicio 4 Escribir el modelo bsico de crecimiento y el ejemplo de Long yPlosser en la notacin de este capitulo.

Solucin 3 Para el modelo bsico de crecimiento.

maxXt=0

t log(ct) = maxXt=0

tr(xt, ut)

xt+1 = kt+1= kt + (1 )kt ct = g(xt, ut)

dondeX=R++, xt = kt, ut = ct,y(xt) = {c R: 0 6 c 6 kt + (1 )kt}

Ejercicio 5 Estudiar la estabilidad de la solucin en el ejemplo de Hercowitz-Sampson.

Ejercicio 6 En este ejercicio se dan otra condiciones bajo las cuales se cumplela condicin 2 (Ver De La Croix - Michel [2002], pgima 326). Supongamos quepara todo u U las funciones g(, u) y r(, u) son no decrecientes y adicional-mente para todo x X

16 Si A es simtrica (m m) y x es un m-vector, la funcin x0Ax es llamada una formacuadrticaen x.


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1. g(x) = supu(x)

{g(x, u)} X

2. r(x) = supu(x)

{r(x, u)} R

3. Para todo x0 X existen bx0 y x0 R, x0 > tal que para todasecuencia{xt}t=0,1,... , xt+1= g(xt) tenemos

tx0r(xt) bx0 para todo t.

Probar que bajo las condiciones de este ejercicio se cumple la condicin 2.

Solucin 4 (10) Si xt xt en t, lo cual se cumple en particular para t = 0ya que x0 = x0, tenemos por induccin que se cumple para cualquier t, luego:xt+1 = g (xt, ut) g (xt) g (xt) = xt+1. Por otro lado r (xt, ut) r (xt)

r (xt). Como consecuencia, tenemos que la sucesinST =T

Xt=0t [r (xt, ut) r (xt)]

es no-creciente, ya que cada trmino en la sumatoria es negativo o nulo. (STST1 = T [r (xT, uT) r (xT)] 0). La sucesin ST tiene por lo tanto un

lmite enR {}. Tambien podemos sin prdida de generalidad suponer quer (xt) 0 (es sufienciente con reemplazarr (xt) pormax {0, r (xt)}. utilizando

(3) tenemos BT =TXt=0

tr (xt) TXt=0

t

t0bx0 =

11/0

bx0 . La sucesin creciente

BT tiene entonces un lmite finito, de lo cual deducimos que la sucesin de

sumasfinitasTXt=0

tr (xt, ut)tiene un lmite enR {}.

Ejercicio 7 Utilizando las condiciones del ejercicio anterior, demostrar la Proposi-cin 3 sin imponer la condicin de transversalidad (Ver De La Croix - Michel

[2002]).Solucin 5 (11) Siguiendo el ejercicio 10 tenemos que la sucesin de sumasesfinita.y pertenece aR {}. Mas an estn acotadas por arriba por unaconstante

Xt=0

tr (xt, ut) Xt=0

tr (xt) bx0

1 /0

Para toda trayectoria factible que empiece enxo tenemosXt=0

tr (xt, ut) = r (x0, u0) + Xt=0

tr (xt+1, ut+1)

Ahora tomamos la cota superior dado u0 sobre el conjunto de las trayectorias

factibles para las cualesx1= g (x0, u0),

r (x0, u0) + supXt=1

tr (xt, ut) = r (x0, u0) + ev (g (x0, u0))Luego tomamos la cota superior sobreu0 (x0)y obtenemosev (xt ) = r (xt , ut ) + ev xt+1


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Ejercicio 8 Sobre la proposicin(2) .Considere el siguiente problema de max-imizacin:

maxXt=0

ct

0 ct xt xt+1, xt 0, x06= 0 dado.

Obsrvese que en este problema hemos colocado = 1.

1. Mostrar que para cualquierx0dado, el valor mximo del problema anterioresx0. Es decirev(x) = x. Ahora, supngase que utilizramos el problemafuncional para encontrar esta funcin. El problema funcional asociado es:

v(x) = supc{c + v(x c)}

s.a : 0 c x

2. Verificar que para cualquier constantek , la funcinv(x) = x + k es solu-cin del problema funcional pero no satisface la condicin de transversal-idad (Ayuda: considere la dinmica factible {(x0, 0)} (x0), entonceslmt

tv (xt) = v (x0) = x0+ k 6= 0). Luego, aqu tenemos un caso en el

que no se aplica la proposicin (2) y ms an, este ejemplo muestra quela condicin de transversalidad no es una propiedad necesaria.

Solucin 6 El problema es:

maxXt=0

ct

s.a :

0 ct xt xt+1

x0 6= 0dado.

1. Es claro que el consumo ptimo se da cuandoct= xt xt+1,luegoPt=0

ct =

Pt=0

xt xt+1=x0 x1+ x1 x2+ ...= x0 xn x0 ev(x0) x0.Deotra parte, el plan factible{x0, 0, 0,...}, tiene utilidadx0.Luegoev(x) =xpara todo x.

2. Para probar quev(x) = x + kes una funcin que resuelve el problema fun-cional asociado al problema secuencial basta con substituir y verificar quese cumple la ecuacin funcional para cualquier valor constante de k. Fi-nalmente, es claro que no se cumple la condicin de transversalidad de laproposicin 2. Para ver esto, obsrvese que para que sta se cumpliera de-beramos de tener: lm

ttv(xt) = 0para toda dinmica factible{(xn, cn)}.

En particular, para la dinmica factible {(x0, x0) , (0, 0) , (0, 0) ,...} ten-emos:

lmt

tv(xt) =xt+ k= 0 + k6= 0


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Ejercicio 9 Con relacin al ejercicio anterior, mostrar que la dinmica factible{(x

0, 0)} no es ptimo pero s satisface la ecuacin (1) . (Ayuda: Obsrvese

que la utilidad que le da al agente ese plan es nula, mientras que la mximautilidad posible esx0). Adems, muestre por qu no se cumplen las hiptesis dela proposicin 4.

Anotacin 9 Se sigue de los dos ejercicios anteriores que nuestras condicionesson ms debiles que las del ejercicio 6. No es difcil convencerse que la condicinde transversalidad en De La Croix - Michele [2002] es una consecuencia de lacondicin(3)en el el ejercicio 6.

Solucin 7 (Ejercicio 9)Es fcil ver que la dinmica factible{(x0

, 0) , (x0

, 0) , (x0

, 0) ,...}no es ptima desde el punto de vista del problema secuencial, pues da unautilidad de cero. De otra parte, es fcil ver que esta dinmica factible satis-face el Principio de Optimalidad de Bellman (equacin 2.1) para v(x) = x.Adems, no se cumple la condicin de transversalidad de la proposicin 5, pueslmt

tv(xt) =xt = x06= 0.

Ejercicio 10 Completar el paso que se dej como ejercicio en el ejemplo sobreControl ptimo Lineal.

Solucin 8 (14) Tenemos:

vj+1(x) = supu

x0Qx + u0Ru + 2x0W u + (Ax + Bu)0 Pj(Ax + Bu)

y las condiciones de primer orden implican que

u= (R + B 0PjB)1

(B 0PjA + W0) x

Reemplazando tenemos:

vj+1(x) = x0Qx + (R + B 0PjB)1 (B 0PjA + W0) x0 R (R + B 0PjB)1 (B 0PjA + W0) x +

2x0W

(R+ B 0PjB)1

(B 0PjA + W0) x

+

Ax + B

(R + B 0PjB)1

(B 0PjA + W0) x

0

Pj

Ax + B

(R + B 0PjB)1

(B 0PjA + W0) x


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Simplificando obtenemos

vj+1(x) = x0Qx +x0 (B 0PjA + W

0)0

(R + B 0PjB)10

R

(R + B 0PjB)1

(B 0PjA + W0) x

+

2x0W

(R + B 0PjB)1

(B 0PjA + W0) x

+

x0A0 +

x0 (B 0PjA + W

0)0

(R + B 0PjB)10

B0

Pj

Ax + B

(R + B 0PjB)1

(B 0PjA + W0) x

lo cual implica que,

vj+1(x) = x0h

Q + A0PjA (A0PjB+ W) (R + B

0PjB)1

(B 0PjA + W0)i

x

Ejercicio 11 Considere el siguiente problema de maximizacin con persisten-cia de hbitos17

Xt=o

t(ln ct+ ln ct1)

s.s : ct+ kt+1 6 Akt,

donde:0< 0; 0< < 1; k0> 0 dado, yc1 dado.

1. Escribir la ecuacin de Bellman

2. Demuestre que la solucin a dicha ecuacin tiene esta forma:

v(k, c1) = E+ Fln k+ G ln c1

y demostrar que la poltica ptima tiene la forma:

ln kt+1= I+ Hln kt

DondeE,F,G, H, Ison constantes. D frmulas explcitas para estas con-stantes en trminos de los parmetros del problema. Para esto, es necesario

que encuentre la funcin de poltica.

1. La ecuacin de Bellman es:

v(k, c1) = max06c6Ak

{ln c + ln c1+ v(Ak

c)}

17 Tomado de Sargent [1987].


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2. Para verificar que la sugerencia es en efecto resuelve el problema funcional,simplemente substituimos en la ecuacin funcional:

E+Fln k+G ln c1= maxc

{ln c + ln c1+ (E+ Fln(Ak

c) + G ln c)}

Las condiciones de primer orden son:

[c] :1

c

F

Ak c+

G

C =o

Finalmente encontramos que:

c= (1 + G)Ak

(1 + G + F)

Al sustituir esta frmula en la ecuacin de Bellman tenemos:

E+ Fln k+ G ln c1 = ln

(1 + G)Ak

(1 + G + F)

+ ln c1+ E+

+Fln(Ak (1 + G)Ak

(1 + G + F)) + G ln

(1 + G)Ak

(1 + G + F)

Desarrollando algebricamente encontramos:

E+ Fln k+ G ln c1 = (1 + G) ln

(1 + G)A

(1 + G + F)

+ Fln

F A

(1 + G + F)

+

+E+ (1 + G + F) ln k+ ln c1

Las constantes sern:

E = (1 + G) ln

(1 + G)A1 + G + F

+ Fln F A1 + G + F

+ EF = (1 + G + F)

G =

Si sustituimos la frmula de F y simplificamos encontramos los valoresfinales de E y F:

E = 1

1

(1 + )ln(A(1 )) +

(1 + )

1 ln(A)

F =

1 +

1

G =

Estas expresiones me permiten garantizar que efectivamente la funcinarriba mencionada es la funcin valor. Para encontrar la funcin de polticasolo tenemos que sustituir los valores de F y G para obtener:

c= (1 + G)Ak

1 + + 1+1


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La manipulacin algebrica nos da esta funcin de poltica:

c= (1 )Ak

Este valor de c nos permite encontrar la expresin apropiada para el cap-ital, basndonos en la funcin de acumulacin arriba mencionada:

kt+1= Akt (1 )Ak

Con facilidad, se puede ver que:

ln kt+1= ln(A) + ln kt

As,

I = ln(A)H =

Con lo cual la poltica ptima del capital es la expresada en el enunciadodel problema. Para terminar un par de preguntas: Es la solucin vlidaan para < 0 (i.e., formacin de hbitos)? Cmo debemos interpretarestas soluciones?


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Bibliografa

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39


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40 BIBLIOGRAFA


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Captulo 3

Ms ProgramacinDinmica y el Mtodo deLagrange

En esta parte, nos dedicaremos a estudiar algunas propiedades importantesde la funcin valor las cuales nos permitirn usar los mtodos del clculo difer-encial para resolver problemas de economa dinmica. Primero comenzaremoscon algunas propiedades geomtricas como la monotonicidad y concavidad dela funcin valor, y luego pasaremos a la propiedad ms importante que se re-fiere a la diferenciabilidad de sta. Como se podr apreciar ms adelante, esteresultado es por s solo bastante importante, pero adems, aclara las relacionesexistentes entre el mtodo de programacin dinmica y los mtodos basados enel lagrangiano. Para poder hacer esto, es necesario imponer ms restriccionessobre el problema que las impuestas hasta el momento.

3.1. Algunas Propiedades de la Funcin Valor

La primera propiedad que probaremos es que bajo ciertas condiciones lafuncin valor es estrictamente creciente. Para esto necesitamos las hiptesis:

Condicin 6 Para cada u Rm, las funciones r(, u) : X R , g(, u) :X Xson estrictamente creciente y creciente, respectivamente.

Condicin 7 es montona: Es decir, six0

x (x0

) (x).

Proposicin 5 (La funcin valor es estrictamente montona): Suponga que secumplen las condiciones 4, 5, 6 y 7. Entonces la funcin valor es estrictamentecreciente.

Proof.Sea Ca(X)el espacio de las funciones reales, continuas y acotadas conla norma del supremo y Cc(X) Ca(X) el espacio de las funciones reales,

41


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42CAPTULO 3. MS PROGRAMACIN DINMICA Y EL MTODO DE LAGRANGE

continuas,acotadas y crecientes. Es fcil ver que este es un subespacio cerra-do de C

a(X), por lo tanto, es tambien un espacio completo en la norma del

supremo. Por el Teorema de Equivalencia, la funcin valor queda caracterizadacomo la nica solucin del problema funcional enCa(X).Ahora, lo primero quevamos a probar es que si f Ca(X)es creciente, entonces T(f)es una funcinestrictamente creciente:

Seax0 x g(x0, u) g(x, u)para toda u, por la condicin 6 y porque fes creciente

f(g(x0, u)) f(g(x, u)) r(x0, u) +f(g(x0, u))> r(x, u) +f(g(x, u))por la condicin 6

maxu(x)

{r(x, u) + f(g(x0, u))}> maxu(x)

{r(x, u) + f(g(x, u))}

maxu(x0)

{r(x, u) +f(g(x0, u))}> maxu(x)

{r(x, u) +f(g(x, u))}por la condi-

cin 7

T f(x0)> T f(x).Ahora, comoCc(X)es un subespacio cerrado de Ca(X)entonces la funcin

valor v esta en Cc(X) y como T[v] =v entonces v es estrictamente creciente.

Anotacin 10 La proposicin anterior no se aplica al ejemplo de Brock y Mir-man por dos razones. Primero, siX=R+la funcin retorno instantneo no esacotada en el grafo dey segundo, esta funcin no es estrictamente crecienteenx(pues de hecho, no depende dex). El primer problema es fcil de resolvermediante una escogencia inteligente del espacio de estados (ms adelante volver-emos sobre este punto). Para la segunda, obsrvese que sr(, u) : X R esapenas creciente, entonces la conclusin del teorema se puede modificar por: lafuncin valor es creciente (y no necesariamente estrictamente creciente).

Estudiaremos ahora la concavidad de la funcin valor. El resultado principales, bajo ciertas condiciones, la funcin valor es estrictamente cncava y la corre-spondencia de poltica es una funcin contnua. En particular, resulta que bajoestas mismas condiciones, existe un nico plan ptimo que resuelve el problemasecuencial.

Condicin 8 SeaXun conjunto convexo.

Condicin 9 Supongamos que las funcionesr yg son estrictamente cncava ycncava, respectivamente.

Condicin 10 La correspondenciaes convexa:

1. (x)es un conjunto convexo para todo x X.

2. Dado [0, 1], x, x0 Xy x 6= x0, entonces si u (x) y u0 (x0)implica que u + (1 )u0 (x + (1 )x0).

Proposicin 6 (La funcin valor es estrictamente cncava): Bajo las condi-ciones 4, 5, 8, 9 y 10, la funcin valor es estrictamente cncava y la correspon-dencia de poltica es una funcin continua.


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3.1. ALGUNAS PROPIEDADES DE LA FUNCIN VALOR 43

Proof. Por el Teorema de Equivalencia, la funcin valor queda caracterizadapor la solucin al problema funcional. Lo primero que probaremos es que sif Ca(X) es cncava y creciente , entonces T(f) es estrictamente cncava ycreciente: Dados [0, 1], x, x0 Xy x 6=x0,sean u y u0 tales que resuelvenel problema de mximizacin definido por T f(x) y T f(x0) respectivamente.Entonces como u + (1 )u0 (x + (1 )x0)por la condicin 10, tenemosque:

T f(x+ (1 )x0) r(x+ (1 )x0, u+ (1 )u0) + f(g(x+ (1 )x0, u + (1 )u0))>

r(x, u)+(1)r(x0, u0)+ f(g(x, u))+(1)f(g(x0, x)), por la condicin9 y porque fes cncava y creciente.

Ahora, como u y u0 resuelven el problema de mximizacin definido porT f(x)y T f(x0),se sigue que esta ltima expresin es igual a:

T f(x) + (1 )T f(x0).

Basta ahora argumentar de la misma forma que en la proposicin anteriorpara concluir con la prueba de la primera afirmacin: el espacio de las funcionescontinuas, cncavas, crecientes y acotadas, es un subespacio cerrado de Ca(X).

Finalmente, como la funcin valor es estrictamente cncava, entonces la solu-cin al problema de maximizacin que define la funcin de poltica tiene siem-pre una nica solucin, pues la funcin objetivo es estrictamente cncava porla primera parte de esta proposicin y por la condicin 9 y la mximizacinse hace sobre un conjunto convexo por la primera parte de la condicin 10. Lacontinuidad se sigue de que una funcin h.c.s es en efecto una funcin continua(ver Apndice).

Con este resultado estamos casi listos para el Teorema de Diferenciabilidad,que se sigue como una consecuencia inmediata del Teorema de Benveniste -

Scheinkman.1

Por ltimo necesitamos:Condicin 11 Las funcionesr yg son continuamente diferenciables en el in-terior del grafo de.

Condicin 12 2 Sea (x, u) en el interior del grafo de tal que existe unafuncin diferenciable , definida en una vecindad abierta V de x tal que :V Uy para todo x V, (x) (x)yg (x, (x)) = g(x, u).

Ejemplo 8 Recordemos el ejemplo de Brock y Mirman. Ahxt = kt, ut = ct,r(ct) = log (ct) , g(kt, ct) =kt ct, (kt) ={ct : 0 ct k

t} yX=R++.Es

fcil ver que dado un stock de capital y un consumo en el interior del grafo dela condicin 12 se cumple.

El siguiente teorema, adems de darnos un resultado sobre la existencia dela derivada de la funcin valor, nos da una frmula muy til para sta. Unaforma de acordarse de la frmula es: escriba el problema funcional y derive aambos lados con respecto a las variables de estado quitando la funcin mximo.

1 Ver Benveniste y Sheinkman [1979].2 Ver De la Croix - Michel [2002], pgina 334. En realidad, es suficiente con que r y gsean

diferenciables en un punto particular. Ver Teorema 3.


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Teorema 3 (Diferenciabilidad de la Funcin Valor): Bajo las condiciones 4, 5,8, 9, 10, 11 y 12; six

0 int(X)yh(x

0) int((x

0)),entonces la funcin valor

es continuamente diferenciable enx0 y su derivada est dada por:

v (x0)

xi=

r (x0, h(x0))

xi+

nXj=1

v(g(x0, h(x0)))

xj

gj(x0, h(x0))

xi,

para todo i= 1, ...n.

Proof.Esta es una version del Teorema de Benveniste-Scheinkman. Ver De laCroix y Michel [2002], pgina 334.

3.2. El Mtodo de LagrangeConsideremos de nuevo el problema secuencial general y definamos el La-

grangiano (truncado) asociado t: X U Rn Rn R

t(xt, ut, t, t+1) = r(xt, ut) + t+1 g (xt, ut) t xt

donde (xt, ut, t, t+1) X U Rn Rn.

Definicin 2 Dada una dinmica factible {(xt, ut)}t=0,1,...desde x0, decimosque la secuencia de precios (sombra) {t}t=0,1,... en R

n, soportan la dinmicafactible{(xt, ut)}t=0,1,...si para todot = 0, 1...,la secuencia{(xt, ut, t, t+1)}t=0,1,...maximizat sobre el conjunto (x0) Rn Rn X U Rn Rn.

Teorema 4 . Sea{(xt , ut )} una dinmica factible desde x0 con xt int(X)para todo t. Entonces bajo las condiciones 8, 9 y 10; {(xt , u

t )}resuelve el prob-

lema secuencial si y solo si:

1. Existe una secuencia de precios{t}t=0,1,...enRn que soportan la dinmi-

ca{(xt , ut )}t=0,1,...y

2. Para toda dinmica factible{(xt, ut)}t=0,1,...desdex0tal quePt=0

tr(xt, ut) 0dado.

donde: 0<


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Solucin 10 El problema determinstico es el siguiente:

maxXt=0

tu(ct)

s.a :

At+1 6 Rt(At ct)

A0 > 0, dado,

donde:0< 0

c1

1 + B(A c)1R1

La condicin de primer orden es la siguiente:

c =B(1 )(A c)R1

Lo que implica:

c= k

1

1 + k1

A

Dondek= B(1 )R1

Sustituyendo en la ecuacin de Bellman este resultado y despus de algunasmanipulaciones, podemos determinar el valor deB:

B =

1 1/

R1

1/1

La funcin de poltica es:

c= 1 1/

R1

1/

AEjercicio 15 Algoritmo de Howard (Ver Sargent [1987]): Hasta ahora, la prin-cipal forma como hemos utilizado el mtodo de la programacin dinmica ha sidopara encontrar la funcin valor, mediante iteraciones, y posteriormente, la fun-cin de poltica. El siguiente algortmo por el contrario, itera sobre la funcin depoltica. La idea es comenzar con una funcin de poltica inicial; dicha funcinde poltica se sustituye en la funcin de retorno. Haciendo la suma, obtenemos


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la funcin valor asociada a esa funcin de poltica. Ahora, utilizamos esta fun-cin valor y la sustituimos en la parte derecha de la ecuacin de Bellman yencontramos la funcin de poltica que resuelve el problema de maximizacin deBellman. Utilizando esta nueva funcin de poltica repetimos el proceso hastaque las nuevas funciones de poltica sean prcticamente iguales.

La intucin es muy sencilla, el primer paso consiste en calcular la utilidadcuando seguimos una funcon de po litica arbitrariafija y que no podemos cam-biar en ningun perodo. En el segundo paso lo que calculamos es el mejor controlen t = 0 dado que a partir de t = 1 estamos atados de las manos y debemosutilizar la regla arbitraria con la que comenzamos. Al repetir el proceso variasveces, lo que buscamos es que la funcin de poltica ptima en tse aprxime ala funcin de poltica ent + 1.

1. Considere el problema de Brock-Mirman:

Xt=o

t ln ct

s.s :

ct+ kt = Ak

k0 dado.

dondeA >0, 1> >0.

Suponga que la dinmica ptima del capital es: kt+1=h0(Akt) para unaconstante h0 (0, 1) . Aplicar el algoritmo de Howard para encontrar elh0 que resuelve el anterior problema.

2. Consideremos el ejemplo sobre control optimo lineal. Si comenzamos conuna funcin de poltica = F0x donde F0 es un vector 1n mostrarque el algortmo de Howard se reduce a iterar las ecuaciones:

Pj = Q + F0jRFj 2W Fj+ (A BFj)

0Pj(A BFj)

Fj+1 = (R + B0PjB)

1(B 0PjA + W0)

Solucin 11 Primera parte. Sustituyendo en la funcin de retorno ct en tr-minos de la funcin de poltica sugerida, tenemos:

J0(k0) =

Xt=0t ln(Akt h0Ak

t) =B0+

1 ln(k0)

DondeB0 es una constante independiente dek0. Obsrvese que el clculo deB0es irrelante para calcular la funcin de poltica que resuelve el problema funcionalcuando utilizamosJ0(k0)como la funcin valor.

Ahora queremos resolver el siguiente problema:

maxk0

{ln(Ak k0) + J0(k0)}


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Que es lo mismo que:

maxk0

ln(Ak k0) +

B0+

1

ln(k0)

Escribiendo las condiciones de primer orden de este problema llegamos a ladinmica ptima del modelo de Brock - Mirman. Es decir, el algoritmo convergeen un paso. Para verificar esto utilizando el algoritmo de Howard, calcule unafuncin de poltica ms. Sea:

J1(k0) =Xt=o

t ln(Akt Akt)

Es fcil demostar que el siguiente problema lo resulelve la misma funcin de

poltica anterior: maxk0

{ln(Ak k0) + J1(k0)}

Luego, hemos llegado a una funcin de poltica invariante utilizando el algoritmopropuesto.


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Bibliografa

[1] Benveniste, L. Scheinkman, J. 1979. On the differentiability of the valuefunction in dynamic models of economics. Econometrica 47: 727-732.

[2] De La Croix, D. Michel, P. 2002. A Theory of Economic Growth. CambridgeUniversity Press.

[3] Michel, P. 1990. Some Clarifications on the Transversality Conditions. Vol58, No. 3, 705-723.

[4] Sargent, T. 1987. Dynamic Macroeconomic Theory. Harvard UniversityPress.

[5] Stokey, N. Lucas, R y Prescott, E. 1989. Recursive Methods in EconomicDynamics. Harvard University Press.

[6] Bellman, R. 1957. Dynamic Programing. Princeton University Press.

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Captulo 4

Economa Dinmica: el casoestocstico

En la teora desarrollada hasta este momento hemos excluido por razonesde simplicidad el carcter incierto sobre el cual se toman la mayora de las de-cisiones econmicas. Por esto queremos decir que, en la mayora de los casos,cuando los diferentes agentes econmicos se ven en la obligacin de tomar unadecisin ellos desconocen por lo menos parcialmente, el ambiente econmico. Porejemplo, las decisiones en el campo de la agricultura dependen estrechamentedel comportamiento climtico. Siendo ste un factor impredecible, los agentesno tienen otra alternativa que tomar sus decisiones contingentes a la realizacinde estos eventos aleatorios. Las decisiones en el mercado burstil son tambin

altamente inciertas. Comprar o no acciones depende del comportamiento futurode los precios, que desde el punto de vista de los agentes, son bastante impre-decibles. Igualmente en la industria, muchas decisiones de inversin dependende la tasa de inters o la tasa de cambio, variables altamente impredecibles. Poresta razn, debemos buscar otra forma de modelar el comportamiento racionalde los agentes (en el sentido de que estos maximizan una funcin de utilidadque refleja sus preferencias sobre las diferentes alternativas), y que lleve en con-sideracin el carcter contingente (o condicional) con el que los agentes debentomar sus decisiones. Una alternativa es suponer que los agentes maximizan lautilidad esperada de sus decisiones, o por ejemplo, el beneficio esperado en elcaso de una firma. Aqu desarrollamos este punto de vista y comenzaremos conla estructura general de estos problemas.1

El primer punto a discutir, que es de vital importancia para nuestro estudio,es la forma de modelar los eventos aleatorios2 . Sin entrar en detalles, supong-amos que tenemos un espacio de probabilidad (,z, P), donde representa elconjunto de todos los acontecimientos o sucesos posibles que puedan tener algu-

1 Estas notas estn basadas en el captulo (2)de Stokey-Lucas [1989].2 Para una introduccin a nivel intermedio a la teora de la probabilidad el lector puede

consultar Carvajal y Riascos [2005].

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60 CAPTULO 4. ECONOMA DINMICA: EL CASO ESTOCSTICO

na relevancia para la actividad econmica; zrepresenta los eventos (conjuntosde sucesos) que pueden ocurrir y P es la probabilidad (objetiva) con la que serealizan estos eventos3 . Ahora, estos resultados posibles, resumidos en el conjun-to ,deben tener una manifestacin muy particular en el ambiente econmicobajo consideracin. Ms concretamente, debemos pensar en la forma como esosresultados afectan el marco analtico sobre el que se va trabajar. La forma usualde hacerlo, es a travs de variables aleatorias definidas sobre este espacio deprobabilidad. Ms especficamente, a travs de un proceso estocstico{t} ,queen cada instante t y para cada realizacin , nos dice cmo afecta ste,nuestro marco analtico (el lector podr encontrar una discusin ms detalladaen el Apndice). Para el tipo de problemas que consideraremos, el efecto de estasrealizaciones se manifiesta en la dinmica que siguen las variables de estado. Enlos ejemplos veremos de manera precisa la forma como pueden manifestarse.

En general, el problema secuencial en un ambiente estocstico tiene tpica-

mente la forma:

sup E

"Xt=0

tr (xt, ut)

#s.a :

xt+1 = g(xt, ut, t+1)

ut (xt)

x0 X, dado,

donde xt Rn, ut Rm, X Rn, t Rl, res una funcin de X Rm enR,g es una funcin de X Rm en Xy es una correspondencia de X en Rm. Mantenemos la interpretacin usual de las funciones, pero es necesario

especificar la estructura del problema de decisin en cada perodo. Las variablesxen este problema van a resumir el ambiente econmico completo sobre el cualse toman las decisiones. Estas son las variables de estado que pueden ser dedos tipos: estados endgenosy estados exgenos(probablemente aleatorios) yque, cuando sea necesario los distingu

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