separata matematica.pdf

7/24/2019 Separata matematica.pdf

http://slidepdf.com/reader/full/separata-matematicapdf 1/64

CARRERA PROFESIONALADMINISTRACION DE NEGOCIOS INTERNACIONALES

SEPARATA DE MATEMATICA

El presente documento es una recopilación de información obtenida en libros de autores

prestigiosos y diversos sites de internet. El uso de este material es estrictamente educativo y

sin fines de lucro

Edición de circulación restringida sustentada en la Legislación sobre Derechos del Autor

DECRETO LEGISLATIVO 822

“Artículo 43” Respecto de las obras ya divulgadas lícitamente, es permitido sin autorización del

autor.

La reproducción por medios reprográficos, para la enseñanza o la realización de exámenes de

instituciones educativas, siempre que no haya fines de lucro y en la medida justificada por el

objetivo perseguido, de artículos o de breves extractos de obras lícitamente publicadas, a

condición de que tal utilización se haga conforme a los usos honrados y que la misma no sea

objeto de venta u otra transacción a título oneroso, ni tenga directa o indirectamente fines de

lucro”



SESIÓN 1TEMA: LOS NUMEROS ENTEROS

El conjunto de los números enteros representado por: Z= {…,-3.-2-1, 0, 1, 2, 3…} es una extensión

de los números naturales.

OPERACIONES ENTRE NUMEROS ENTEROS

ADICION

a + b = c, donde a, b y c є Z

a ; b: Sumandos c: Suma

PROPIEDAD: La suma de dos números enteros es otro entero

NOTA: La adición de los números enteros debe contemplar lo siguiente:

a) La suma de dos números enteros positivos es positivo.

Ejemplo: 8 + 4 = 12

b) La suma de dos números enteros negativos es otro negativo.

Ejemplo. -7 + -10 = -17

c) La suma de un número entero positivo y otro negativo será positivo o negativo, de acuerdo al

signo del número mayor.

Ejemplos:

-3 + 8 = 5

-16 + 9 = -7

SUSTRACCION

a – b = c, donde a, b y c є Z

a: Minuendo b: Sustraendo c: Diferencia

PROPIEDAD: Para obtener la diferencia de dos números enteros, al minuendo se

suma el opuesto del sustraendo, es decir:

a – b = a + (-b)

Ejemplos:

-7- 9 = -7 + (-9) = -16

-12 - -16 = -12 + (16) = 4

32 – 8 = 32 + (-8) = 24 15 - -6 = 15 + (6) = 21



MULTIPLICACION

a . b = c, donde a, b y c єZ

a: Multiplicando b: Multiplicador c: Producto

PROPIEDAD: El producto de dos números enteros es otro entero.

NOTA:

1. La multiplicación tiene la siguiente regla de signos:

(+)(+) = + (-) (-) = + (+)(-) = - (-)(+) = -

2. El producto de enteros se puede representar de la siguiente manera:

(a)(b) = a*bEjemplos :

(-5)(-4) = 20

(-3)(7) = -21

(5)(-8) = -40

(-3)(-2)(4)(-6) = -144

(-2)(-1)(5) = 10

POTENCIACION

Es una multiplicación abreviada, es decir:

3.3.3.3.3.3=36

Generalizando tenemos:

a.a.a.a.a……a = a n ; “n” factores

a n = p

a: Base n: Exponente p: Potencia

PROPIEDADES:

1) (-a) EXPONENTE PAR = +p; a Z+

2) (-a) EXPONENTE IMPAR = - p; a Z+

3) (a)0 = 1, donde a ≠0; a Z

4) (a)1= a; a Z

5) (a)EXPONENTE PAR O IMPAR

= +p; a Z+

6) (a)-n =n

1

a

; a Z



RADICACION

Es una operación inversa de la potenciación es decir:

b=an

n: Indice de la raíz a: Radicando o cantidad sub radical. b: Raíz

PROPIEDADES:

DIVISION

El cociente de dos números enteros es otro número entero.

a : b = c, donde a, b, y c є Z, siendo b ≠0

a: Dividendo b: Divisor c: Cociente

NOTA: La regla de signos para la división es la siguiente:

( + ) : ( + ) = +

( - ) : ( - ) = +( + ) : ( - ) = -( - ) : ( + ) = -

Ejemplos:

(+4) : (-2) = -2

(-20) : (-5) = +4

EJERCICIOS

01) -4 + 5 + -7 – 8 + 12 – 8 =

02) -20 + 13 + - 8 + 9 -18 – 20 + 30 – 15 =03) -3 – (5 + -7 + 12) + (-3 + 9 -12 )=

04) (-2 + 5 + 3)(-7 + 4 - 2) =

05) (-125) : (25) =

06) (-64) : (-16) =

07) (-2)2 + (-3)3 – (7)2 + 5 0 =

08) 120 – (4)(5)-(4)(2) + 60 :( -12 : 4)=

( (

2 2 2 209) (6 121 4 : 2) 15 9

10) 14+20 18 2)(3) 16)(3)

11) 90 120 ( 2* 4 3*9 4* 5)

+

-

-

n

n

n

1) a = ±b, "n" par o impar, a z

2) a,b Z, "n" par, a Z

3) a = -b, "n" impar, a Z



2 2 0

3

2 2

12) (-3 (5 * 4 ( 6*3)) ( 4 )

13) ( 2* 4 3* 7 5* 6) (12*5 ( 4) )

14) - 25 : -5 -(-28 :7 -3 * 2 (-5) ) ( 8)

33

2 2 2

2

2 2 3

3 4

15) 625 : 25 1000 900 :30 ( 1)

16) ( 7) ( 121:11 48 :16) ( 20)

17) (-36 : 2 3 :3 ( 50 :10 39 :13))

18) 35 :7 (2* 5 9* 2 6 3 + 4 )

19) 65 :-13 9 *7 -(10 *8 +(-3) ( 2) )

20) Si A 4, B -10, C 2

2

2 2

8, hallar :

A - B - C

(A 4B): C

(A B C)

SESIONES 2 - 4TEMA: LOS NUMEROS RACIONALES

El conjunto de números racionales está definido por:

Q =a

/a Z b Zb

FRACCION: Es una división en forma indicada de dos números enteros, y se expresa así.

b

a, además b≠0

TERMINOS DE UNA FRACCION

b

a

NOTA: Recordar, el numerador indica las partes que se toman de un todo fraccionado. El

denominador representa las partes en que se divide un todo.

Ejemplo:12

7

Numerador

Numerado

son las partes tomadas,de las 12 en que se ha

dividido la unidad



Finalmente diremos, el resto de la anterior fracción es12

5=

12

712

OPERACIONES CON FRACCIONES

ADICION Y SUSTRACCION DE FRACCIONES HOMOGENEAS

Recordemos que las fracciones homogéneas se caracterizan porque tienen el mismo denominador

y se procede a sumar o restar de acuerdo al siguiente esquema:

a c a ± c± =

b b b

Ejemplos:

1) 2 1 2+1 3

+ = = =13 3 3 3

2) 6 2 4

- =9 9 9

ADICION Y SUSTRACCION DE FRACCIONES HETEROGENEAS

Las fracciones heterogéneas se caracterizan por tener diferentes denominadores, para sumar o

restar podemos considerar el siguiente procedimiento:

a c ad ± bc± =

b d bd

NOTA: El esquema anterior se aplica cuando se tienen dos fracciones.

Ejemplos:

3 2 7* 3+5* 2 21+10 31+ = = =

5 7 5* 7 35 35

5 1 3* 5- 9 *1 15 - 9 6- = = =

9 3 9*3 27 27

NOTA: Cuando hay más de dos fracciones se debe obtener el mcm de los denominadores.

Ejemplos:

2 1 2 40+15- 24 31+ - = =

3 4 5 60 60 mcm = 60



-7 -5 -11 -42+-20- (-33) -29+ - = =

2 3 4 12 12mcm=12

MULTIPLICACION DE FRACCIONES

Para esta operación recordar que el producto es igual a la multiplicación de los numeradores sobre

los denominadores:

a c a * c* =

b d b* d

Ejemplo:

3 4 3* 4 12 2* = = =

5 6 5 * 6 30 5

FRACCION DE FRACCION: Recordar que5

2de

7

3=

35

6

7

3

5

2, es decir, la palabra “de” significa

multiplicar fracciones.

POTENCIA DE UNA FRACCION

Al igual que en los números enteros la potenciación es una multiplicación abreviada donde se tiene

un mismo factor que se repite “n” veces:

n n

na a a a ax x .......n veces = = donde b 0; nb b b b b

>0

Ejemplo:2 2

2

2 2 4= =

5 5 25

NOTA:

0b

a si;1

b

a0

Ejemplo:0

-7= 1

9

05

= 16



POTENCIA DE UNA FRACCION CON EXPONENTE NEGATIVO

En este caso se invierten los términos de la fracción y el exponente será positivo.

-n na b=

b a

Ejemplo:-4 4

2 3 81= =

3 2 16

RAIZ DE UNA FRACCION

Una consecuencia de la potenciación es la operación de radicación, tenemos:

n

nn

a a= ; donde b 0

b b

Ejemplos:

4 2=

9 3

38 2

=27 3

DIVISION DE FRACCIONES

El cociente de dos fracciones se obtiene multiplicando al dividendo por el inverso del divisor:

a c a d a * d: = * =

b d b c b* c

Ejemplo:

5 3 5 4 5* 4 20 10: = * = = =6 4 6 3 6*3 18 9

OBSERVACION:

1)

aa c Producto de extremosb: = =

cb d Producto de medios

d

=a * d

b * c



Ejemplo:

33 * 6 18 95 = = =

4 5* 4 20 10

6

2) 1 b

=a a

b

Ejemplo:1 5

=7 7

5

NOTA: Al simplificar fracciones se debe tener en cuenta lo siguiente:

a)z*x

zx = nunca se hace esto

b)a*x

zx= nunca se hace esto

c)zx

zx = nunca se hace esto

d)a*z

z*x = esto es correcto

EJERCICIOS Y PROBLEMAS

1) Efectuar :1

1+1

1+1

1+1

1+3

2) Simplificar:

3

1+ 2 +11

1-35+

11+

31-1

1-2

3) Resuelve:1 5 1

5 - 2 * - 24 7 7



4) Efectuar:

2

3

12+

52P = *

1 1 27

+20 5

5) Resolver:

-2

2

1 1 1 5+ + -

5 13 4 5 12 * *1 2 9 3-2 15

6) Resolver:-1

1 1

-1 13 4* *1 1 1 12-

16 6 18

7) Efectuar:1 1 1 1 1

+ + + +2* 3 3* 4 4*5 5* 6 6* 7

8) Simplificar:

1 1 1 1 1 1- - -

2 3 3 4 4 5*10

1 1 1+ +2*3 3 * 4 4 *5

9) Efectuar:2 1 5

3 +1 - 2 *126 6 8

10)Efectuar: 3

1 1-

52 3:

1 1 12-4 5

11)Resolver:

-12 3

3 +75 56 3

5 - 34 2



12)Efectuar:

1 4 19 : * *

1 5 6

31 1-

8 12

SESIONES: 5 - 7TEMA: EXPRESIONES ALGEBRAICAS

EXPRESION ALGEBRAICA

Es un conjunto de cantidades numéricas y literales relacionadas entre sí por los signos de las

operaciones aritméticas.Las partes de una expresión algebraica separadas por los signos + ó – se llaman términos de la

expresión.

ELEMENTOS DE UN TERMINO ALGEBRAICO

2 5± x y3

MONOMIOS Y POLINOMIOS

MONOMIO: Expresión algebraica que tiene un término algebraico.

BINOMIO: Expresión algebraica que tiene dos términos.

TRINOMIO: Expresión algebraica que tiene tres términos.

POLINOMIO: Expresión algebraica que tiene más de tres términos algebraicos.

TERMINOS SEMEJANTES

Son aquellos términos cuya variable es idéntica.

Ejemplo:

En la expresión: 7x - 8 + 4x + x²- 3 + x + 9 x2

Los términos semejantes son:

7x; 4x; x

-8 ; -3

x2 ; 9 x2

EXPONENTES

VARIABLES

COEFICIENTE

SIGNO



ADICION Y SUSTRACCION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

En los siguientes casos comenzamos por asociar los términos semejantes antes de consolidarlos en

un sólo término.

El uso de la propiedad asociativa y distributiva de la suma permite simplificar las expresiones

semejantes cuando sumamos o restamos expresiones algebraicas.

Ejemplos:

(x + 2x ) +( 3x – 7)= x + 3x+ 2x - 7= 6x - 7

(9x³ -11x ² +18x -1) + (x ² + 6x + 5 ) = 9x³ + -11x² + x ² +18x +6x + -1+ 5

= 9x ³ -10x ² + 24 x + 4

NOTA: Para hallar la diferencia entre dos polinomios al minuendo se le suma el opuesto del

sustraendo, es decir:

A (x) - B (x)= A (x) + [- B (x)]

Ejemplo:

A(x ) = 3x2 – 5x + 9

B (x) = -7x2 + 9x – 1

A(x) – B(x) = ( 3x2 – 5x + 9) + ( 7x

2 – 9x + 1)

A(x) – B (x) = 3x2 – 5x + 9 + 7x2 – 9x + 1

A(x) – B (x) = 10x2 – 14x + 10

MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Para multiplicar expresiones algebraicas nos valemos de la propiedad distributiva y de la propiedad

asociativa.

Aplicar la propiedad distributiva significa que cada término de una de las expresiones se

multiplicará por cada término de la otra expresión y luego se suman todos esos productos.

Ejemplo: Hallar el producto de:

( x + 2)( 3x -1) = (x)(3x) + (x)(-1) +( 2)(3x) +(2)(-1) = 3x² - x + 6x -2 = 3x ² + 5x – 2

PRODUCTOS ESPECIALES

(a + b)² = a ² +2ab + b ²

(a - b)² = a ² - 2ab + b ²

22 bab)b)(a(a

(x + a)(x + b) = x2+(a + b)x + ab

(ax + b)(cx + d)=acx2+(ad + bc)x + bd



Ejemplos:2 2 2

2

5 2 5 2 5 2

10 5

a) (x +3) = x +2(x)(3)+3

= x + 6x +9

b) (x - 2) = (x ) - (2)(x )(2)+ 2

= x - 4x + 4

2 2 2

2 2 2

c) (x + 6)(x - 6) = x - 6 = x - 36

d) (a-10)(a+10)= a -10 =a -100

2

2

2

2

2

e) (x +6)(x+9)= x +(6+9)x +(6)(9)

= x +15x+ 54

f) (x - 6)(x -10) = x +(-6 -10)x +(-6)(-10)

= x +(-16)x+60

= x -16x+60

EJERCICIOS

1) Dados:2

3 2

P(x) = 4x - 5x + 3

Q(x) = 2x - x + 5;

Hallar: P (x ) + Q (x)

2) Sean:4

4

P(x)= 5x -3x+1

Q(x) = x - 3;

Hallar: P (x) – Q (x)

3) Si :4 3

4 3

P(x) = x - x +3

Q(x) = x - x - 3;

Hallar: 2P(x) – Q (x)

4) Efectuar “E + F”, si: 2

2

E = 1 + x - x

F = x - x -1



5) Efectuar la multiplicación de los siguientes polinomios:2

4 3 2

a)(x - 4x +2)(x -1)

b)(x -8x +4x +5x -5)(4x -3)

2 3 2

c)(x+2y-z)(2x-y+3z)d)(0,3x -0,4y)(0,6x -0,8y)

1 3 5 2e) x - y x - y

2 8 6 5

6) Efectuar en forma directa:2

2

4 3 2

2 2 2

2

a) (a+3) =

b) (b - 4) =

c) (x + 6)(x - 2) =

d) (2x + 5y ) = e) (x + 5)(x - 5) =

f) (3x + 4y ) =

g) (2a - 3b) =

h) (x+ 9)(x -13) =

i) (2x - 3)(5x - 4) =

7) Efectuar:2 2 2 (x+2) - 2(x+1) +x

8) Determinar A+B; si:2

2

A = (x +4) - (x+3)(x+6)

B =(x+7) -(x +11)(x+ 5)

9) Si a-b = b – c = 6; hallar:

2 2 2(a -b) +(b-c) +(a-c)M=

2

10) Si: (a+3b)(a-3b)=0 ; hallar el valor de:

2a

b

11) Si:2 2 a +b = 60

a.b =10 Hallar el valor de:

2(a-b)M=

2

12) Simplificar:

a+b a+c b+cM= + +

c b a;

si : a+b+ c = 0



13) Si:

1 1 4+ =

x y x+ y, hallar:

2 2x + yU =

xy

SESIONES 8 - 11TEMA: ECUACIONES DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE

DEFINICION

Una ecuación de primer grado es aquella cuyo mayor exponente de su variable es uno, verificando

la igualdad para un valor determinado de su incógnita o variable. Una ecuación de primer grado,

reducida, adquiere la siguiente forma:

a x + b = 0, a 0

Esta ecuación se denomina ecuación lineal, donde “x” es la incógnita; a, b єR, (coeficientes).

Ejemplo:

10x + 1 = 4x +2

PRIMER SEGUNDOMIEMBRO MIEMBRO

Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación:

x)2(31241)2(2x12x3

Se sugiere seguir los siguientes pasos:

1) Efectuar primero las operaciones que se encuentran dentro del corchete, es decir:

2x612424x12x3

2) Se reducen los términos semejantes, dentro de los signos de agrupación:

2x7242x33

3) Efectuamos la multiplicación de “3” y “2” por sus respectivos corchetes:

4x1446x9

4) Agrupamos las variables en el lado izquierdo de la igualdad y los términos independientes al lado

derecho, cuidando de cambiar el signo de las mismas:

49144x6x



5) Culminamos las operaciones pendientes:

12x

6) Finalmente la solución de la ecuación estará representada por

2

1x

Ejemplo:Hallar el valor de “x” en la siguiente expresión:

3x3

5x2

4

32x1

Para este caso se sugiere:

a) Multiplicar la igualdad por el común denominador, en este caso 12:

3x3

5x212

4

32x112

luego tendremos:

12(3x)3

5x212

4

32x1212(1)

b) Efectuamos los productos indicados y/o simplificamos:

36x5x)4(23)3(2x12

c) Culminadas las multiplicaciones pendientes, tendremos:

36x20x896x12

d) Finalmente procedemos como en el ejemplo anterior:

91286x20x36x

2186x56x

1350x

50

13x



COSTOS FIJOS Y COSTOS VARIABLES

En la producción de cualquier bien intervienen dos tipos de costos que se conocen como costos

fijos y costos variables.

COSTOS FIJOS: (CF)

Son los costos que un empresario debe tomar en cuenta sin importar la cantidad producida del

artículo; es decir, no depende del nivel de producción.

Ejemplos de costos fijos son las rentas; intereses sobre préstamos; pago de servicios (agua, luz,

teléfono).

COSTOS VARIABLES: (CV)

Son los costos que dependen del nivel de producción; es decir, de la cantidad de artículos

producidos.

Ejemplos de costos fijos son los costos de materiales y la mano de obra.

COSTO TOTAL: (CT)

El costo total esta dado por:

CT = CV + CF

INGRESO: (I)

Es lo que se recibe por la venta de un bien particular y se expresa así:

I = (Pv) . (q)Donde:

I : Ingreso

Pv : Precio de venta por unidad

q : Número de unidades

UTILIDAD (U) La utilidad está dado por:

U = I – CT

Ejemplos:

1) Una empresa fabrica un producto que tiene costos variables de S/. 5 por unidad y costos fijos de

S/. 80.000. Cada unidad tiene un precio de venta de S/. 12. Determine el número de unidades que

deben venderse para que la compañía obtenga utilidades de S/. 60.000.

SOLUCION:

Sea “x” el número de unidades que deben ser vendidas.



DATOS:CV = S/.5x

CF = S/. 80.000

PV = S/. 12xU = S/. 60.000

Como el costo variable por unidad es de S/. 5; en “x” será: 5x

El ingreso: I = (Pv) . (q)

I = 12x (1)

El CT = CV + CF

CT = 5x + 80.000 (2)

Sabemos que: U = I – CT (3)

Reemplazando 1 y 2 en 3

Tenemos: U = 12x – (5x + 80.000)

Por condición del problema U = 60.000

Entonces: 12x – (5x + 80.000) = 60.000

Resolviendo: 12x – 5x – 80.000 = 60.000

7x = 60.000 + 80.000

7x = 140.000

x =140.000

7 = 20.000

RESPUESTA: Se deben de vender 20.000 unidades para obtener 60.000 dólares de utilidades.

2) Un empresario tiene que invertir $ 14.000. Planea invertir parte del dinero en bonos libres de

impuestos con un interés del 6% y el resto en bonos sujetos a impuestos con un interés de 9%.

Desea ganar $ 1.005 por año en intereses de la inversión. Encuentre la cantidad que debe invertir a

cada tasa de interés.

SOLUCIÓN:

Sea “x” la cantidad invertida al 6%; la otra inversión será: (14.000 – x), a una tasa del 9%; en un año.

I1 = 6% x I2 = (14.000 - x) 9%

I1 = 0,06 x I2 = 0,09 (14.000 - x) Como el interés total es igual a $ 1.005 y es igual a:

I = I1 + I2

1.005 = 0,06x + 0,09 (14.000 – x)

1.005 = 0,06x + 1.260 – 0,09x

- 0,06x + 0,09x = 1.260 – 1.005

0,03x = 255

x =

0,03

255

x = 8.500



RESPUESTA: El empresario debe invertir $ 8.500 al 6% y $ 5.500 al 9%.

EJERCICIOS

1) Hallar i en la ecuación: 14.851,72 = 4.000 (1 + i)5

2) En la ecuación hallar “S”: 4.000 = S •5(1.30)

1

3) Hallar “x” en: 64

x

2

x

4) Resuelva la ecuación:1)3(p

39p

1)3(p

33p

1)3(p

15p

5) Hallar “p” en la ecuación: 113.900 = p ( 1 + 0,02 x 17)

6) Hallar “x” en: x3

15

6

x

7) Hallar “x”: 10

10x2

4

x


3x

3

x

5

2x


1x

2

8x

5

32x

10) Hallar “i” en la ecuación: 1.899,77 = 1.800 (1 + i)27

11) Con una calculadora hallar el valor de “x” aproximando el resultado al centésimo: 9,06 x +

3,59 (8x – 5) = 12,07x + 0,5612

12) Hallar el valor de “x”: 022225

x

5

1

5

1

5

1

13) Si se cumple que: a = 1 – b. Hallar: (a2 + b) – (a + b2)

14) Hallar “x” si: 1

104xx

75xx2

2

15) Si: 5

4

ba

ba; Hallar:

b

a

PROBLEMAS

1) Carolina tiene S/. 120 y pierde 3 veces consecutivos 1/2; 1/3 y 1/4, de lo que le iba quedando

¿Con cuanto se queda?

2) Luego de regalar los 2/3 de mi dinero y enseguida perder los 2/17 del resto, me quedaron S/.

450 ¿Cuánto tenía al inicio?

3) Luego de ganar 3 veces consecutivos 1/5 del dinero que iba acumulando tengo 2.160 soles ¿Con

cuánto inicie el juego?



4) Se va a repartir S/. 3.600. Si a Pedro le corresponde 5/9 del total y sólo ha recibido 3/8 de su

parte ¿Cuánto le falta recibir?

5) Mario reparte su fortuna entre sus 4 hijos al mayor le da la mitad; al segundo le da 1/3 del

resto, al tercero le da 1/4 de lo que queda. Si el último recibió S/. 600 ¿Cuánto recibió elsegundo?

6) Compro un terno con los 3/8 de mi dinero y un reloj por S/. 200. Si lo invertido ha sido los 2/5

de mi dinero ¿Cuánto tenía?

7) Di a mi hermano los 2/7 de lo que tenía y a mi primo S/. 38. Si con esto he dispuesto de los 5/8

de mi dinero. ¿Cuánto tenia?

8) Si me pagaran una cantidad que me deben; equivalente a los 2/7 de lo que tengo, podría gastar

S/.30 y me quedarían S/. 150. ¿Cuánto tengo?

9) He recibido S/. 50 después de haber gastado 2/3 de lo que tenia al principio y tengo ahora S/. 4

más que al principio ¿Cuánto tenia?

10) Un padre reparte S/.48 entre sus dos hijos los 3/7 de la parte que dio al mayor equivale a los 3/5

de la parte que dio al menor. ¿Cuánto dio a cada uno?

11) Dos hermanos pagan una deuda que asciende a los 2/5 de S/. 55.000, la parte que pago el

menor equivale a los 2/9 de la parte que pago el mayor ¿Cuánto pago cada uno?

12) Cuando vendo un auto en S/.18.000 gano los 2/7 del costo. ¿En cuánto tendría que venderlo

para ganar los 2/5 del costo?

13) Si gastara los 2/5 de lo que tengo y donara S/. 22 me quedaría con los 2/7 de lo que tengo.

¿Cuánto me queda?

14) Una propiedad es de tres personas al primero corresponde 5/12, al segundo 1/3, y al tercero

1/4, si se vende en S/. 75.000. ¿Cuánto corresponde a cada uno?

15) Si doy a mi hermano los 2/5 de lo que tengo menos S/. 2, me quedarían S/. 11. ¿Cuánto tengo?

16) Suponga que se invierten $ 20.000 al 5% ¿Cuánto dinero adicional debe invertirse al 4% para

producir 4.8% de la cantidad total invertida?

17) Usted recibe como sueldo un cheque por S/. 592 cada semana. Si sus deducciones por

impuestos; retiro; cuota sindical y seguro médico constituyen 26% de su salario ¿Cuál es su

salario semanal antes de las deducciones?

18) Carmen Luján invirtió S/. 20.000 de dos maneras: una parte al 6% y otra al 4%. En total ganó S/.

1.040 en intereses en un año ¿Cuánto invirtió al 4%.

19) José recibió S/. 52.000 por la venta de un terreno. Invirtió una parte al 5% de interés y el resto al

4% de interés. Ganó un total de S/. 2.290 en intereses en un año ¿Cuánto invirtió al 5%?

20) Una compañía fabrica un producto a un costo variable de $ 2,20 por unidad. Si los costos fijos

son de $ 95.000 y si cada unidad se vende a $ 3 ¿Cuántas unidades deben ser vendidas para

que la compañía tenga una utilidad de $ 50.000?

21) Una empresa fabrica un producto que tiene costos variables a $ 6 por unidad y costos fijos de $

80.000. Cada unidad tiene un precio de venta de $ 10. Determine el número de unidades que

deben venderse para que la compañía obtenga utilidades de $ 60.000?



22) Un total de $ 10.000 fue invertido en dos bancos comerciales A y B. Al final del primer año A y B

redituaron 6 y 5.75% respectivamente sobre las inversiones originales ¿Cuál fue la cantidad

original por banco si en total ganó $ 588.75 en intereses al año?

23) En una clase de matemática para la administración bancaria hay 52 estudiantes. Si el número dechicos es 7 más que el doble de chicas determina el número de chicas en la clase.

ECUACIONES CON DOS VARIABLES

Es un conjunto de dos ecuaciones de primer grado que presenta la siguiente expresión:

ax+by=c

ex+ fy=d

)2(

)1(

Donde: “x”; “y” son las variables o incógnitas, a; b; c; e; f son los coeficientes.

Ejemplo: 4x + 5y = 335

9x + 14y = 850

VARIABLES: “x” e “y”

COEFICIENTES: 4; 5; 9; 14; 335; 850

A este conjunto de ecuaciones se le llama sistema de dos ecuaciones lineales en las variables “x” e“y” que consiste en hallar sus valores, para que al reemplazarlas sean verdaderas simultáneamente.

METODOS DE SOLUCION DE DOS ECUACIONES SIMULTANEAS

METODO DE SUSTITUCION

Se sugieren los siguientes pasos:

1) Se despeja una variable de cualquier ecuación.

2) El valor de la variable en el paso (1), se reemplaza en la otra ecuación y obtenemos una ecuación

de una variable.

Mostraremos este método con el ejercicio anterior:

3x-4y=1

2x +3y =12

)2......(

)1......(

Despejamos “x” en la ecuación (1):

3x = 1 + 4y

x =3

4y1………(3)

Reemplazamos (3) en (2) así:

2x + 3y = 12



21+4y

+3y =123

2(1+4y)+3y =123

MCM: 3

2(1 + 4y) + 9y = 36

2 + 8y + 9y = 36

17y = 36 – 2

17y = 34

y =34

17

y = 2

Reemplazamos el valor de “y” en cualquiera de las ecuaciones dadas (1) ó (2) en nuestro caso loharemos en (1).

3x – 4y = 1

3x – 4(2) = 1

3x – 8 = 1

3x = 1 + 8

3x = 9

x =9

3

x = 3

Cs 3,2

METODO DE IGUALACION

Se procede así:

1) Se despeja una misma incógnita en ambas ecuaciones.

2) Luego se igualan, obteniéndose un valor, que luego será reemplazado en una de las ecuaciones.

Ejemplo:

Resolver el sistema empleando el método de igualación:

3x - 4y =1...................(1)

2x+3y =12.................(2)

Despejamos “x” de (1) y (2)

En (1): x =1+4y

3

En (2): x =12-3y

2



Igualamos ambas expresiones:

1+4y

3 =

12-3y

2

Resolvemos la ecuación hallando “y”

2(1 + 4y) = 3(12 – 3y)

2 + 8y = 36 – 9y

8y + 9y = 36 – 2

17y = 34

y =17

34 = 2

Reemplazamos este valor en (1) ó (2); lo haremos en (1):3x – 4y = 1

3x – 4(2) = 1

3x – 8 = 1

3x = 1 + 8

3x = 9

x =3

9

x = 3

Cs: 2,3

METODO DE REDUCCION

Se sugieren los siguientes pasos:

1. Se igualan los coeficientes de una de las variables de las dos ecuaciones, procurando que sean

inversos aditivos.

2. Al sumar ambas ecuaciones se eliminará una de las incógnitas.

3. Se resuelve la ecuación obtenida en el paso y tenemos el valor de una incógnita.

4. Luego reemplazamos el valor de esta incógnita en cualquiera de las ecuaciones dadas y

obtenemos el valor de la otra variable.

Ejemplo:

Resolver el sistema, empleando el método de reducción:

3x - 4y =1.................(1)

2x+3y =12...............(2)

Vamos a igualar los coeficientes de “y”.

Multiplicando la ecuación (1) por 3: 9x – 12y = 3Multiplicando la ecuación (2) por 4: 8x + 12y = 48



Sumamos la ecuación (1) y (2): 17x = 51

x = 317

51

x = 3

Reemplazando: x = 3 en cualquiera de las ecuaciones: (1) ó (2)

En nuestro caso reemplazaremos en (1).

3x – 4y = 1

3(3) – 4y = 1

9 – 4y = 1

- 4y = 1 – 9

- 4y = - 8

y =8

24

Cs: 3;2

NOTA: Como observarás cualquier método elegido, nos permite obtener el mismo resultado. EJERCICIOS

1. Al resolver:

x + y = 5

x - y = 1 Hallar x-1 + y-1

2. Al resolver:

x + y = 4x - y = 2

Hallar: x + y

3. Si:

2 55x-5y=-

3 3

1 333x - y = -

2 2

Hallar: (x + y)

4. Si:

7u-3v-10=0

35u-6v-1=0

Hallar: u-1

5. Si:

3x-7y=2

2x+3y=9 Calcular: M=

2

y + x

x - y

6. Si:

x + y = 7

y+z=13

z+x=18

Hallar: M =x - z + y

z - x - 2

7. Al resolver:



a + b = 7

b + c = 3

c + d = 4

d + e = 2a + e = 4

Calcular: P =a-b-c

a -d -e

8. Si:2 2x - y = 36

x+y=12 Hallar:

x

y

9. Resolver :2 2x - y =16

x + y = 8 Hallar: xy + yx

10. Dado:

a + b = 7

b+ c= -5

c + d = 8

d + e = 3

a + e = 9

Hallar: M =a.b-c.d

e; si: 2M – 2P + 2K = 6; M = P = K.

11. Al resolver el sistema:

x+y=-5

y+z=-7

x+z=-8

Hallar: (z)3 – (y)3 – (x)2

12. Si se sabe que:

w = a + 3

z= a+6

k=3a

Además M=w+z=z+k. Hallar: “M”

13. Si:

a b a b+ = + =1

4 6 3 9

. Hallar el valor de P =3b -a

14. Resolver:

2x = 9y

7x +27 =18y

15. Resolver:

x + y = 7

x y+ = 3

2 3



16. Resolver:

x y + = -2

3 4

4x 3y

+ = -13 4

17. Resolver:

1x-2y=10

5

33x+ y =27

2

PROBLEMAS

1. Carolina ahorra en billetes de S/. 50 y de S/. 100 para hacer un obsequio a su prima; al abrir su

alcancía logra contar 200 billetes que hacer un total de S/. 1.400; suma con la cual compra el

presente ¿Cuántos billetes de S/. 50 y de S/. 100, ahorró Carolina?

2. Cinco veces lo que tiene A menos tres veces lo que tiene B es igual a S/.7. Tres veces los que

tiene B es igual a S/. 45. ¿Cuánto tiene cada uno?

3. El resultado de una prueba de matemática básica es como sigue: “Los 2/3 de los alumnosaprobados es igual al triple de los desaprobados más 4; si al número de aprobados se quita el

quíntuplo de los desaprobados resulta 2 ¿Cuántos alumnos aprobaron y cuántos desaprobaron?.

4. En un banco que tiene 3 pisos, hay 112 clientes en el primer y segundo piso; 116 en el segundo ytercer piso; 118 en el primer y tercero piso. ¿Cuántos clientes hay en el primer piso?

5. El costo de 5 ejemplares de un libro y 4 lapiceros es de S/. 32; y el costo de 6 ejemplares y 3

lapiceros, ambos del mismo tipo anteriormente mencionados es de S/. 33. Hallar el costo de

cada artículo.

6. Una compañía produce dos modelos de bicicletas, el modelo RQZ y el modelo WRT. El modelo

RQZ requiere 2 horas de ensamblaje y el modelo WRT requiere 3 horas de ensamblaje. Las

partes para el modelo WRT cuestan $ 25 por bicicleta y las partes para el modelo RQZ cuestan $

30 por bicicleta. Si la compañía tiene un total de 34 horas de tiempo para ensamblaje y $ 365

disponibles por día para esos dos modelos ¿Cuántos de cada modelo pueden hacerse en un día?

7. Si al doble de la edad de Naomi sumamos el triple de la de Abril obtenemos 77 años. Si al triplede la edad de Naomi sumamos el doble de la de Abril resulta 78 años. ¿Qué edad tiene cada

una?

8. Tengo S/. 1.650 y deseo comprar zapatos y camisas. Si compro dos camisas y un par de zapatos

me sobran S/. 500, pero si compro un polo y dos pares de zapatos me faltan S/. 500. ¿Cuánto

cuesta cada par de zapatos y cada camisa?

9. Si el mayor de dos números se divide entre el menor, el cociente es 2 y el residuo 2 y si el triple

del menor se divide entre el mayor, el cociente es 1 y el residuo 3. ¿Cuáles son los números?.

10. Hace 4 años, al edad de Andrea era 4 veces la de su hijo y dentro de 9 años excederá en un año

al doble de la de este último. ¿Qué edad tiene cada uno?.



SESIONES 12 - 13TEMA: ECUACIONES CUADRATICAS

DEFINICION

Es una ecuación de la forma: a x2 + b x + c = 0; donde: a, b, c R , a 0

Si al polinomio anterior le faltará alguno de sus términos tendremos una ecuación cuadrática

incompleta

METODOS DE SOLUCION

Si la ecuación es completa se puede aplicar uno de los siguientes métodos:

METODO DEL ASPA

Si la ecuación se puede factorizar y presenta una de las siguientes formas:

x2+bx+c=0 ó ax2+bx+c=0

Las raíces de la ecuación se pueden obtener aplicando el método del aspa.

Recordemos:

1. Se traza un aspa debajo del polinomio.

2. El producto de los extremos nos debe reproducir los términos en x2 y el término independiente.

3. Al multiplicar en aspa los productos obtenidos debe ser igual al término central.4. Se iguala a cero el producto de los binomios obtenidos en forma horizontal, para obtener los dos

valores de la ecuación tomando en cuenta el siguiente teorema:

0b0a0ab

Veamos algunos ejemplos ilustrativos:

1) x2 - 5x + 4 = 0

x -4 = -4x

x -1 = -x

-5x(x - 4)(x - 1) = 0

x - 4 = 0 x = 4

x - 1 = 0 x = 1

2) 01427x220x



4

7x074x

52-x025x

07)-2)(4x(5x

-35x7- 4x

8x2 5x

FORMULA GENERAL

Si la ecuación no se puede factorizar, la formula general permite conocer la solución de la misma

ntediscrimina :4ac-b2a

4acb-bx

2

2

-

OBSERVACIONES

Rx;x4acbSi,3)

xx04acbSi,2)

xx04acbSi,1)

212

21

2

21

2

Además: “a” es el coeficiente de x2 (cuadrático); b es el coeficiente de x (lineal); c es el término

independiente.

Ejemplo:

Resolver la siguiente ecuación:

2x2 + 3x - 1=0;

a = 2; b = 3; c = -1

1,784

7,1 x0,28

4

1,1x

4

4,13

4

173x

4

893x

2(2)1)4(2)((3)3x

21

2



EJERCICIOS

1) Resolver las siguientes ecuaciones mediante factorización:

25x2xe)

032xxd)

0149xxc)

023xxb)

065xxa)

2

2

2

2

2

44xx j)

9x16xi)

0127xxh)

2x245xg)

01x30xf)

2

2

2

2

2

2) Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas empleando la formula general. En caso las

raíces no sean exactas aproximar a dos decimales.

069x3xc)

0128x4xb)

01210x2xa)

2

2

2

53r r f)

12k4ke)

24xxd)

2

2

2

362)5x(xi)

38x8xh)

6k3kg)2

2

52x

3x

1x

7x j) 1

2

35x

7x

8xk)

3

2

5x

1x

2x

13xm)

3) Use una calculadora y la formula cuadrática para encontrar las soluciones aproximadas de las

siguientes ecuaciones:

25,04725625,87x8,06xd)

5,322,79x7,63xc)

0570,492382,74x3xb)

03,7910,14x4,42xa)

2

2

2

2

PROBLEMAS

1) Un fabricante puede vender “x” unidades de un producto cada semana a un precio de “p”

dólares por unidad, donde p = (200-x). Si el costo de produci r estas “x” unidades es: (2.800 +45x) dólares. Hallar:

a) ¿Cuántas unidades deben venderse cada semana para generar un ingreso de $

9.600?

b) ¿A qué precio por unidad se generará un ingreso semanal de $ 9.900?

c) ¿Cuántas unidades debe el fabricante producir y vender cada semana para obtener

una utilidad de $ 3.200?

d) ¿A que precio por unidad el fabricante obtendrá una utilidad semanal de $ 3.150?



2) Cada semana una compañía puede vender “x” unidades se su producto a un precio de “p”dólares cada uno, en donde p = (600-5x). A la compañía le cuesta (8.000+75x) dólares producir

“x” unidades. a) ¿Cuántas unidades debe vender la compañía cada semana para generar un ingreso

de $ 17.500?

b) ¿Qué precio por unidad debe cobrar la compañía para obtener un ingreso semanal

de $ 18.000?

c) ¿Cuántas unidades debe producir y vender cada semana para obtener una utilidad

semanal de $ 5.500?

d) ¿A qué precio por unidad la compañía generará una utilidad semanal de $ 5.750?

3) Una empresa que produce cereal para desayunos encontró que su costo de operación en

dólares es c=40x+150 y sus ingresos en dólares son I=65x-x2

. Para que valor o valores de “x”serán iguales los costos y los ingresos.

4) El ingreso mensual “I” de cierta compañía está dado por I= (800p-7p2) , donde “p” es el precio endólares del producto que fabrica esa compañía. ¿A qué precio el ingreso será de $10 000 si el

precio debe ser mayor de $ 50.

5) El gerente de una tienda de bicicletas sabe que el costo de vender “x” bic icletas es C= (20x + 60)

y el ingreso de vender “x” bicicletas es I = (x2 - 8x). Encuentre el punto de equilibrio de “x”(igualar los ingresos y los costos).

6) Una compañía fabrica los productos “A” y “B”. El costo de producir cada unidad “A” es $2 más

que el de “B”. Los costos de producción de “A” y “B”, son $100 y $ 150 respectivamente, y se

hacen 25 unidades más de “A” que de “B”. ¿Cuántas unidades de cada producto se fabrican?

7) Suponga que unos clientes comprarán “q” unidades de un producto cuando el precio es de (80-

q)/4 dólares cada uno. ¿Cuántas unidades deben ser vendidas a fin de que el ingreso por ventas

sea de $ 400?

8) Una compañía inmobiliaria es propietaria de 90 departamentos, cada uno de los cuales puede

ser rentado en 350 dólares mensuales. Sin embargo por cada 10 dólares mensuales de aumento

en la renta se tendrán dos desocupados sin posibilidades de ser rentados. La compañía quiere

recibir 31.980 dólares mensuales de rentas. ¿Cuál debe ser la renta mensual de cada

departamento?

9. Ud. es el asesor financiero y jefe de una empresa propietaria de un complejo de oficinas que

cuenta con 50 suites. Se puede rentar cada una de estas en $ 400 mensuales. Sin embargo, por

cada $ 20 de aumento por mes habrá dos de ellos desocupados, sin posibilidad de rentarlos. La

compañía desea obtener un total de $ 20.240 mensuales por la renta total del complejo. Se pide

determinar la renta que debe cobrarse por cada suite. ¿Cuál sería su respuesta?

10. La empresa ECABLE brindará servicio de televisión por cable a 4.000 clientes a un costo de $ 32

mensuales. Un estudio de mercado indica que por cada disminución de $ 1, en la tarifa mensual

dará como resultado 350 nuevos clientes. Si la empresa tiene costos de operación de $ 10.000,

el costo de instalación del servicio es de $ 16, además la empresa tiene que pagar un impuesto

equivalente al 15% de los costos de instalación. ¿Cuál es la tarifa más barata que puede

establecer la empresa para que su utilidad sea igual a $ 36.360?



SESIONES 14 - 17LA LINEA RECTA

ECUACIONES DE LA RECTA

LINEA RECTA

Es un conjunto de puntos tal que, tomados de dos en dos darán una misma pendiente sin importar

que pares de puntos se elijan y además las ordenadas de cada punto que la conforman están

relacionadas con sus respectivas abscisas mediante una ecuación de primer grado con dos

variables: “x” e “y”. La ecuación de la recta queda determinada si se conocen dos condiciones:

a) Un punto y la pendiente

b) Dos puntos

0

y L

x

P3 (x3; y3)

P2 (x2; y2)

P1 (x1; y1)

m 21 P P = m 32 P P = m 31 P P = Constante

OBSERVACIÓN:1) Cuando se verifica lo anterior se dice que los puntos son “COLINEALES”. 2) La mayor o menor inclinación de una línea recta con respecto al eje xx´, se denomina PENDIENTE

ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO Y TIENE UNA PENDIENTE

Sea una recta “L” que pasa por el punto P1(x1;y1) y tiene una pendiente “m” su ecuación es:

y - y1 = m(x - x1)

L

x

y

y

y1

xx1

P1 (x1; y1)

P(x, y)

m (pendiente)



DEMOSTRACION

1) Tomamos un punto P(x, y) de la recta “L”.

2) Hallamos su pendiente mediante la siguiente expresión: m =1

1

x x

y y

3) Efectuando: m(x – x1) = y - y1

4) Cambiando miembros: y – y1 = m (x – x1) lqqd

Ejemplo:

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P1 (3; 4) y que tiene una pendiente igual a 2

SOLUCIÓN:

Se debe de observar que como la pendiente m = 2 es positiva la recta L forma un ángulo agudo con

el eje “x”. Aplicando la fórmula:y – y1 = m(x – x1)

y – 4 = 2(x – 3)

RESOLVIENDO: y - 4 = 2x – 6

Transponiendo todo a un solo miembro:

2x – y – 6 + 4 = 0

2x – y – 2 = 0

x

L

y

P1 (3, 4)

m = 2

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

Lo expuesto anteriormente nos permite obtener la ecuación general de la recta cuya expresión es:

Ax + By + C = 0

Cuando la ecuación se escribe así, decimos que está en la forma general donde “A” y “B” no puedenser cero simultáneamente.



NOTA:1) Si tenemos la ecuación general de la recta, el valor de la pendiente será:

Ax + By + C = 0

m = - B A ; B 0

2) La intersección con el eje “y” es.

- B

C

Si C = 0 la recta pasa por el origen

Si B = 0 la recta es vertical

Si A = 0 la recta es horizontal

Ejemplo:

Hallar la ecuación general de la recta que pasa por A(6, 8) y su pendiente es 2.

SOLUCION:

Aplicamos la fórmula (punto – pendiente).

y – y1 = m(x –x1)

Reemplazando:

y – 8 = 2 (x – 6)

Operando:

y – 8 = 2x – 12

Transponiendo y reduciendo:2x – y – 12 + 8 = 0

2x – y – 4 = 0

La ecuación tiene la forma general:

Ax + By + C = 0

2x – y – 4 = 0

La representación gráfica de la ecuación anterior será:

2 X

– Y – 4 = 0

xX

y

A(6, 8)

(0, -4)



OBSERVACION: La pendiente según lo explicado anteriormente se obtiene a partir de la ecuación

general aplicando la fórmula:

m = - B

A

Donde: A = 2; B = - 1

m = - 21

2; m = 2

La intersección con el eje “y” se obtiene aplicando:

- B

C

Así: C = - 4; B = -1

- 4

1

4

Ejemplo:

Dada la ecuación: 4x – 2x + 8 = 0. Hallar su pendiente y la intersección con el eje “Y”.

SOLUCIÓN:4x – 2y + 8 = 0

Identificamos:

A = 4

B = - 2

C = 8Pendiente:

m = - 22

4

B

A

Intersección con “y”:

- 42

8

B

C

ECUACIÓN DE LA RECTA APLICADA A LA ECONOMÍA Y ADMINISTRACIÓN

En su forma más elemental la oferta y demanda se representan mediante dos rectas.

Observa el gráfico:

D E M A N D A : D

O F E

R T A

: Oy

x0

(Precios)

(Cantidades)



La demanda tiene pendiente negativa.

La oferta tiene pendiente positiva

En administración y economía se utiliza solamente el primer cuadrante del plano cartesiano.

En el eje “x” se colocan las cantidades demandadas.

En el eje “y” se colocan los precios

Ejemplo:

A un precio de S/. 12 por unidad, una empresa ofrecerá 4.000 polos al mes, a S/. 14 cada unidad la

misma empresa producirá 9.000 polos al mes. Determina la ecuación de la oferta, suponiendo que

es lineal.

SOLUCIÓN:

1) Construimos un diagrama:

Precios y

Q(9.000;14)

14

P(4.000;12)

12

x4.000 9.000 Cantidades

2) Hallamos la pendiente de la recta que pasa pro los puntos P y Q.

2.500

1

5.000

2

4.0009.000

1214m

3) Hallamos la ecuación de la oferta utilizando la forma (punto – pendiente)

y – y1 = m (x - x1)

4) Reemplazamos (x1, y1) por uno, cualesquiera de los puntos “P” o “Q” en nuestro ejemplo vamos a usar el punto “P” (4.000;12):

y – 12 =2.500

1(x - 4.000)

Efectuando:

2.500 (y – 12) = (x – 4.000)

Efectuando operaciones tenemos:

2.500y – 30.000 = x – 4.000



Haciendo las transposiciones del caos, tenemos:

x – 2.500y – 4.000 + 30.000 = 0

x – 2.500y +26.000 = 0

La ecuación de la oferta de los polos es:

x – 2.500y + 26.000 = 0

Ejemplo:

Se venden 10 calculadoras cuando su precio es de S/. 80 y 20 calculadoras cuando el precio es de

S/. 60 ¿Cuál es la ecuación de la demanda?.

SOLUCIÓN:

1) Trazamos una gráfica:

Precio y

X(Cantidad

Q (20, 60)

P (10, 80)80

60

0 10 20

2) Hallamos la pendiente de la recta que pasa por los puntos P y Q

m = 210

20

1020

8060

3) Hallamos la ecuación de la demanda utilizando la forma (punto – pendiente)

y – y1 = m (x – x1).

4) Reemplazamos (x1;y1) por cualesquiera de los puntos P o Q en nuestro caso lo haremos con el

punto: P (10,80).

y – 80 = - 2 (x – 10)y – 80 = -2x + 20

5) Transponiendo el 2º miembro al primero tenemos:

2x + y – 80 – 20 = 0

2x + y – 100 = 0

6) La ecuación de la demanda de las calculadoras es:

2x + y – 100 = 0



PROBLEMAS

1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (1; –3) y pendiente 2.

2. Se tiene una recta que pasa por los puntos A ( –2; 5) y B (3; –2).Determine su pendiente

3. Dadas las rectas:

L: pasa por (2, –3) y (4, 2)

P: pasa por ( –4, 3) y tiene pendiente –2

Determinar la ecuación de la recta “L” y “P”.

4. Un fabricante de detergentes observa que las ventas son de 10.000 paquetes a la semana

cuando el precio es de S/. 1,20 por paquete; pero cuando el precio se reduce a S/. 1,10 por

paquete, las ventas se incrementan a 12.000 paquetes. Hallar y graficar la ecuación de la

demanda.

5. Un fabricante de televisores advierte que, a un precio de SI. 1.500 por televisor, las ventasascienden a 2.000 televisores al mes. Sin embargo, a SI. 1. 450 por televisor, las ventas son de

2.400 unidades. Determine la ecuación de demanda y trazar la gráfica respectiva.

6. A un precio de SI. 2,50 por unidad, una empresa ofrecerá 8.000 polos al mes; y a un precio de SI.

4,00 por unidad, la misma empresa producirá 14.000 polos al mes. Determine la ecuación de

oferta y trazar la gráfica.

7. A un precio de S/. 5,00 por unidad, una empresa pondrá a la venta 5.000 linternas eléctricas de

plástico cada mes; y al precio de S/. 3,50 cada una, ofrecerá 2.000 unidades. Determine la

ecuación de la oferta para este producto y trazar la línea respectiva.

8. Un fabricante de herramientas puede vender 300 martillos al mes a S/. 2,00 c/u, mientras que

solo puede venderse 2.000 martillos a S/. 2,75 c/u. Determinar y graficar la ecuación de lademanda .

9. Suponga que un fabricante de zapatos colocará en el mercado 50 pares cuando el precio es de

S/. 35 por par y 35 pares cuando cuestan S/. 30. Determinar y graficar la ecuación de la oferta.

10. Suponga que los clientes demandaran 40 unidades de un producto cuando el precio es de S/. 12,

y 25 unidades cuando el precio es de S/. 18. Encontrar la ecuación de la demanda suponiendo

que es lineal, y el precio por unidad cuando son requeridas 30 unidades.

11. Para “x” mil pólizas, una compañía de seguros afirma que su ingreso mensual en dólares esta

dado por : I=125x, y su costo mensual en dólares esta dado por C=100x+5000

a) Trace la grafica de las ecuaciones de ingresos y costos sobre los mismos ejes.b) Encuentre el punto de equilibrio (I=C).

c) A partir de la gráfica estime el ingreso y el costo cuando “x” =100 (100 mil pólizas).

12. El costo de fabricar 100 polos a la semana es de S/. 700 y el de 120 polos es de S/. 800.

Determinar la ecuación de costos.



SESIONES 18 - 20TEMA: LA FUNCION CUADRATICA

FUNCIONES CUADRÁTICAS

Las funciones cuadráticas son aquellas que tienen la siguiente regla de correspondencia.

cbxaxf(x)y 2 con 0a ; siendo a; b; y c constantes

Ejemplos:

a) 310x8xf(x)y 2; siendo a = 8; b = -10; c = 3

b) 82xxf(x)y 2; siendo a = 1; b = -2; c = -8

c) 2xf(x)y ; siendo: a =1; b = 0; c = 0

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA

La gráfica de una función cuadrática: cbxaxf(x)y 2 es una parábola.

Esta parábola se abre hacia arriba o hacia abajo según sea positivo o negativo el

coeficiente del término cuadrático. Ver figuras: 01 y 02

Si: cbxaxf(x)y 2 Si: cbxaxf(x)y 2

(FIG: 01) (FIG: 02)

OBSERVACIONES

a) La parábola es simétrica con respecto a una recta vertical llamada eje de simetría y pasa por el

punto más bajo y más alto de la parábola.

b) El punto de intersección de la parábola con su eje de simetría es el vértice de la parábola.

c) Cuando a > 0 el vértice de la parábola está en el punto más bajo, (fig. 01)

d) Cuando a < 0 el vértice de la parábola está en el punto más alto, (fig. 02)



Cálculo del vértice de una parábola:

Sea cbxaxf(x)y 2 una función cuadrática cuya gráfica es una parábola; su vértice (v) se

obtiene a partir de:

V=2a

bf ;

2a

b ò V=

a4

2b-c;

2a

b

En donde el valor óptimo (máximo o mínimo) de la función se alcanza en:

2a

bx ;

2a

bf y

2a

bx (x óptimo) 2a

bx (x óptimo)

NOTA:

Y max se obtiene reemplazando x optimo en la función f(x)

Y min se obtiene reemplazando x optimo en la función f(x)

Ejemplo:

Hallar las coordenadas del vértice de la parábola 14x4xy 2

SOLUCION

Según lo establecido anteriormente tenemos:

V2a

bf ;

2a

b en donde : a = 4; b = -4; c = 1

El vértice está en:2

1

8

4

2(4)

4

2a

bx

012112

4

141

2

14

2

14

2

12

f y



Luego: V= ;02

1 son las coordenadas del vértice.

INTERCEPTOS CON LOS EJES COORDENADOS

a) Para hallar los interceptos con el eje x o ceros (si son reales) se hallan a partir de:

2a

4acbbx

2

2a

4acbbx

2

b) Para hallar el intercepto con el eje “y” hacemos x =0, entonces y = c

Ejemplo:

Hallar los interceptos con el eje “x” e “y” de la función cuadrática: 14x4xy2

a) Con el eje “x”: a = 4; b = -4; c=1

2

1

8

4

8

04

8

16164)4(

2(4)

4(4)(1)(-4)x

2

2

1

8

4

8

04

8

16164)4(

2(4)

4(4)(1)(-4)x

2

Luego los interceptos o ceros con el eje x son: 1/2; 0

b) Con el eje y, hacemos: x = 0 en 14x4xf(x) 2

114(0)4(0)f(0) 2

Luego el intercepto con el eje “y” es: 1

EJERCICIOS

1) Sin hacer una grafica determine el vértice de cada una de las siguientes parábolas y establezca si

se abren hacia arriba o hacia abajo:

a) 1xxf(x) 2 12

b) 14x2xf(x) 2

c) 56x3xg(x) 2

d)22 2x4x6xf(x)

2) Sin trazar una grafica, determine las intercepciones de cada una de las siguientes parábolas con los

ejes “x” e “y”

a) 68x2xg(x) 2

b) 14xxg(x) 2



3) En cada uno de los problemas que se dan a continuación determine se el vértice de cada función

es un punto máximo o un punto mínimo y encuentre las coordenadas de este punto.- Así mismo

hallar las intersecciones con los ejes y grafique la función.

a) 4xy 2

b)2x

41xy

c) 3xx2

1f(x) 2

d) 44xxf(x) 2

4) En un complejo habitacional que tiene 100 departamentos de dos dormitorios. La ganancia

mensual obtenida por el alquiler de x departamentos esta dada por:

000.501760x-10xp(x) 2

¿Cuántas unidades deben alquilarse para maximizar la ganancia mensual? ¿Cuál es la máxima

ganancia mensual que se puede obtener?

5) La ganancia mensual estimada obtenida por la empresa Cannon al producir y vender X unidades

de impresoras modelo E-4 es:

dòlares240x-0,04xp(x) 2 000.10

Encuentre cuantas impresoras debe producir cada mes para maximizar sus ganancias.

6) El ingreso mensual I (en cientos de dólares) obtenido por la venta de estufas se

relaciona con el precio unitario p(en dólares) mediante la ecuación.

30pp2

1-I(p) 2

a) ¿Cuál precio unitario maximiza el ingreso mensual?

b) Trace la grafica de I

7) Cuando una empresa vende “x” unidades de un producto, sus ganancias son:

28040x-2xp(x) 2

Encuentre:

a) El número de unidades que deben venderse para que la ganancia sea máxima.

b) La ganancia máxima.

8) El administrador de una tienda de cámaras fotográficas ha encontrado que, a un precio (en

dólares) de: p(x) =150-4

xpor cámara, se venden “x” cámaras

a) Hallar una expresión para el ingreso total de la venta de x cámaras (nota: ingreso = precio x

demanda)

b) Hallar el numero de cámaras vendidas que conducen a un ingreso máximo

c) Hallar el ingreso máximo.



SESIONES: 21 - 23TEMA: RAZONES Y PROPORCIONES

RAZON

Es la comparación que existe entre dos cantidades. Esta comparación se puede establecer:

a) Por diferencia b) Por cociente

RAZON ARITMETICA: Es la comparación de dos cantidades mediante una diferencia.

Ejemplo:

La razón aritmética de 28 libros y 10 cuadernos, será:

28 -10 = 18

Se puede afirmar que 28 libros exceden en 18 al número de cuadernos; o, la razón aritmética es

18.

Generalizando: A – B = K (razón)

A: Antecedente

B: Consecuente

RAZON GEOMETRICA: Las cantidades se comparan mediante un cociente.

Ejemplo:

La razón geométrica de 28 libros y 10 cuadernos será:

28 14=

10 5 (razón)

Generalizando:

KB

A(razón), de donde:

A=BK

PROPORCION GEOMETRICA

Es la comparación de dos razones geométricas. Es decir:

d

c

b

a se lee: “a “ es “b” como “c” es a ”d”

a y d, se denominan EXTREMOS de la proporción.

b y c, se denominan MEDIOS de la proporción.



PROPIEDAD FUNDAMENTAL

Si

d

c

b

a entonces ad = bc

El producto de extremos es igual al producto de medios

PROPIEDADES

Sea la proporción geométricad

c

b

a se cumple :

1)

dc

dc

ba

ba 2)

dc

dc

ba

ba

3) d

dc

b

ba 4)

d

dc

b

ba

5) d

c

b

a

db

ca 6)

d

c

b

a

db

ca

EJERCICIOS

1. Hallar los valores “x”, “y” en las siguientes proporciones:

a) 4

y

3

x; si x + y = 35 b)

7

2

y

x; si x + y = 18

c) y

5

x

4; si y – x = 20 d)

5

17

y

yx; si x – y = 105

2. Hallar los valores de “a” y “b”, si:

a) 3

b

2

a; a + b = 25 b)

3

1

b

a; si a + b = 28

c) 3

1

b

a; b – a = 30 d) 2

b

a; 45ba 22

e) ;4

b

5

a 36ba

22

f) ;b

4

a

7 a + b = 88



3. Se tiene que:C

21

B

19

A

17 y además : A+2B+C = 152; Hallar A + B + C

PROBLEMAS

1. En un auditorio hay 400 personas; de las cuales 240 son mujeres. ¿En qué relación se

encuentran el número de hombres y el número de mujeres?

2. Dos números están en la relación de 3 a 4 y su suma es 56. Hallar el mayor de dichos números.

3. Dos números se diferencian en 5; si la razón es 3/2, determinar el número menor.

4. En una caja de caramelos hay de los sabores fresa y limòn. Si por cada caramelo de fresa hay 3

caramelos de limón. ¿Cuántos caramelos de fresa hay; si en total existen 80 caramelos?.

5. En una canasta el número de plátanos es al número de manzanas como 2 es a 1. Si hay dos

docenas de plátanos. Hallar el número de manzanas.6. En un corral por cada 3 patos hay 2 conejos y por cada conejo hay 2 gallinas. Si se tiene 12

patos. Determinar el número de gallinas.

7. En un salón de clases por cada 10 alumnas hay 9 alumnos. Después que se retiran 8 alumnas y

3 alumnos, por cada 4 alumnas hay 5 alumnos. Hallar el número de alumnas que había al

inicio.

8. En una fiesta hay 56 personas entre hombres y mujeres de tal manera que el número de

mujeres es al número de hombres como 3 es a 4. Se retiran 6 mujeres. ¿Cuántos hombres

deben retirarse para que la relación de mujeres a hombres sea de 3 a 5?

9. Luis recibe 240 soles de su padre, enseguida compra un pantalón y dice:”lo que gaste y nogaste están en la relación de 5 a 11. ¿Cuánto le queda luego de hacer la compra?

10. Dos números están en la relación de 2 a 5, pero agregando 175 a uno de ellos y 115 al otro,

ambos resultados son iguales. Hallar el número mayor.

REPARTO PROPORCIONAL

Es la operación que consiste en dividir o repartir una cantidad en partes que sean directamente o

inversamente proporcionales a ciertos números llamados índices de la proporcionalidad.

TIPOS DE REPARTO

REPARTO SIMPLE

El reparto proporcional es simple cuando la división o reparto se hace en base a un conjunto de

números llamados índice de proporcionalidad, puede ser: Directo o inverso

REPARTO SIMPLE DIRECTO

En este tipo de reparto la cantidad a repartir se realiza en forma directamente proporcional (D.P.) a

los números índices.

Ejemplo:Repartir 280 en partes D.P. a los números: 2; 5 y 7.



SOLUCIÓN:

Sean A, B y C las partes a repartir y como son D.P. a los números índices (2, 5 y 7) tenemos:

k7C

5B

2 A

De donde: A = 2k

B = 5k

C = 7k

Como la suma de las partes resulta el todo, tenemos:

A + B + C = 280

Reemplazando: 2k + 5k + 7k = 280

14k = 280

k =14280

k = 20

Luego las partes serán:

A = 2k = 2(20) = 40

B = 5k = 5(20) = 100

C = 7k = 7(20) = 140

REPARTO SIMPLE INVERSO:

En este caso la cantidad que se va a repartir se hace en forma inversamente proporcional a losíndices, invirtiendo los mismos y luego se procede a repartir en forma directa como en el caso

anterior.

PROCEDIMIENTO:

a) Los números índices se invierten.

b) Se saca el MCM de los denominadores (los números índices invertidos)

c) Se multiplican a todos los números índices invertidos por el mcm y por la constante “K”. d) Se efectúa luego el reparto en forma D.P. (directamente proporcional).

Ejemplo: Repartir 380 en forma IP a 2; 5 y10

A = 2 1/2 (10k) 5k

380 B = 5 1/5 (10k) 2k

C = 10 1/10(10k) k

8k

mcm (2;5 y 10 = 10)

Luego: 5k + 2k + k = 380

8k = 380

PARTES D.P. (INDICES) I.P.



k =8

380

k = 47,50

A = 5(47,50) = 237,50 B = 2(47,50) = 95 C = 1(47,50) = 47,50

REPARTO COMPUESTO

Consiste en repartir una cantidad en forma DP e IP a la vez.

PROCEDIMIENTO:

1) El reparto IP se transforma a DP invirtiendo los índices, luego se multiplica por los índices DP

2) Se multiplican luego los productos anteriores por el mcm de los denominadores.

3) El reparto se realiza con los nuevos índices.

Ejemplo:

Repartir 1.288 en forma DP a 2 y 5, a la vez y a la vez IP a 10 y 90

< >

A 2 10 < > 2(1/10)(90) = 18K

1288

B 5 90 < > 5(1/90)(90) = 5K

23Kmcm (10; 90 = 90)

< > : equivale

Luego:

23k = 1.288

K= 5623

1288

Las partes son:

A = 18K = 18( 56) = 1008

B = 5K= 5(56) = 280

PROBLEMAS

1. Al repartir S/. 76.700 en tres partes DP a 3; 5 y 6 e IP a 72 ; 128 ; 200 ; respectivamente.

Determinar ¿Cuál es la diferencia entre las dos mayores partes?

2. Un padre desea repartir una propina de S/. 504 entres sus hijos en forma proporcional a sus

edades que son 15; 9 y 18 años, respectivamente. ¿Cuánto recibirá cada hijo?

3. En una competencia de ciclismo se reparte S/. 2.775 entre los tres primeros puestos en forma

inversamente proporcional al tiempo empleado que fueron 24, 30 y 36 minutos. ¿Qué

cantidad de dinero recibieron cada uno de los primeros puestos?

4. Repartir 5.800 en partes directamente proporcionales a 5, 14 y 20.

DPIPDPPARTES



5. Una persona reparte entre tres niños S/. 3.600 en forma inversamente proporcional a sus

edades, que son 8; 12; 14 años respectivamente ¿Cuánto le tocó a cada uno?

6. Una casa comercial tiene tres deudas en diferentes bancos. Al primero le debe S/.1.800, al

segundo S/. 5.500 y al tercero S/. 3.000. Si su haber es de S/. 4.500. ¿Cuánto abonará a cadabanco?

7. Una empresa tiene un local valorizado en S/.68.000 y dos autos valorizados en S/. 3.500 cada

uno, se decide vender todo para poder cumplir con tres obligaciones, de tal manera que se

repartirá de la siguiente manera al primero 12 partes, al segundo 8 partes y al tercero 4 partes.

¿Cuánto le corresponde a cada uno?

8. Repartir 150 en tres partes que sean a la vez directamente proporcionales a 2/3, 4/5 y 2/7 e

inversamente proporcionales a 1/6, 3/10 y 5/14.

9. Una empresa deberá repartir S/. 4.800 entre cuatro empleados tomando en cuenta sus

inasistencias, si estas fueron 2; 4; 6; 8; determinar cuánto le correspondió a cada uno.

10. Una entidad desea realizar una obra benéfica entre cuatro centros educativos, en base a una

puntuación, determinada por el desempeño del equipo de docentes y personal administrativo

que labora en estos centros; la cantidad que se repartirá será S/. 12.000 y el puntaje de cada

centro fue 12, 10; 8 y 6 puntos respectivamente. ¿Cuánto recibió cada centro?

REGLA DE COMPAÑIA

La regla de compañía tiene como finalidad el reparto de ganancias o pérdidas entre los diversos

socios que conforman una sociedad o negocio; es un caso particular del reparto proporcional.

Este reparto es directamente proporcional a los capitales y al tiempo que estuvo cada socio endicho negocio.

Ejemplo:

Tres socios forman una sociedad; el primero aporta S/. 2.000 en dos años; el segundo aporta S/.

3.000 en cuatro años; y el tercero aporta S/. 1.000 en cinco años. ¿Cuánto corresponde a cada

socio, sabiendo que la ganancia es S/. 42.000?

SOLUCION:

Este problema lo resolvemos como los problemas de reparto proporcional.

Sean A; B y C los tres socios.

A = 2 000 2 años 4 000 < > (4k)

G: 42 000 B = 3 000 4 años 12 000 < > (12k)

C = 1 000 5 años 5 000 < > (5k)21k

SOCIOS CAPITALES (C) TIEMPO (T)(C)(T)



< > : equivale

21k = 42 000

K = 200021

42000

SOCIO A : 4K = 4(2 000) = 8 000

SOCIO B : 12K = 12(2 000) = 24 000

SOCIO C : 5K = 5(2 000) = 10 000

PROBLEMAS

1. Katy, Gabriela y María, aportaron S/. 2.100; S/. 700 y S/. 1.400 respectivamente para realizar un

negocio si la ganancia fue S/. 3.600. ¿Cuánto le toca a cada socia por su inversión?

2. Tres amigos se asociaron para invertir en un restaurant aportando cada uno los siguientes

capitales: S/. 40.000; S/. 8.000 y S/. 24.000, si obtuvieron una utilidad de S/. 48.000 y trabajaron

2; 3 y 1 año respectivamente. ¿Cuánto recibe el que aportó mayor capital?

3. En un negocio Luisa, Juana y Fiorella aportaron S/. 3.000; S/. 12.000 y S/. 21.000.

respectivamente; después de tres meses de iniciado el negocio, Juana se retira, si al término de

los 6 meses de iniciada la actividad comercial la utilidad de Fiorella excede a la de Luisa en S/.

2.808. ¿Cuánto de utilidad le corresponde a Juana?

4. Una persona inicia un negocio, con un cierto capital, después de cinco meses acepta un socio el

cual aporta S/. 100 menos que el primero, tres meses después acepta a otro socio el cual

invierte S/. 500, si el negocio duro un año al final del cual el primero y el segundo ganaron S/.

180 y S/. 70, respectivamente. ¿Hallar la ganancia del tercer socio?

5. Tres socios forman un negocio aportando capitales que están en la relación de 2; 3 y 4, si la

utilidad total fue S/. 18.000. Hallar la menor ganancia.

6. Katty, Susan, Carla y Rosa aportaron S/. 8.400; S/. 8.100 y S/. 5.400 respectivamente en un

negocio; si la actividad comercial fracasó las dos primeras pierden S/. 720 menos que lo que

pierden las dos últimas. ¿Cuánto pierde Carla?

7. Se han asociado tres personas aportando la primera S/. 2.000 durante seis meses; la segunda S/.

4.000 durante ocho meses y la tercera S/. 6.000 durante diez meses, al finalizar la operación

obtuvieron una ganancia de S/. 5.200. ¿Cuánto le corresponde a cada socio?

8. Dos socios forman una compañía aportando S/. 2.000 y S/. 5.000 respectivamente. Al cabo de 3

meses ingresa otro socio aportando cierto capital, si el negocio duró año y medio; cuando serepartieron las utilidades le tocó igual parte a los que aportaron mayor capital. ¿Cuál fue el

capital impuesto por el tercer socio?

9. Tres personas forman una sociedad, el primero aportó S/. 6.000, el segundo S/. 4.000 durante 8

meses y el tercero S/. 2.000 durante 14 meses. Al repartir las utilidades de S/.10.000,

proporcionales al capital y el tiempo, el segundo y el tercero recibieron juntos S/. 5.000. ¿Qué

tiempo estuvo colocado el capital del primero?

10. Eduardo inaugura una empresa aportando S/. 5.000; a los 4 meses Desiré aporta los 3/4 de lo

aportado por Eduardo más S/. 1.500; a los 8 meses Rolando aportó 1/5 de lo que habían

aportado los dos socios anteriores. Al cabo de dos años Eduardo tuvo que cerrar la empresa

debido a que perdieron S/. 12.600. Determinar cuánto perdió cada uno?



SESIONES 24 - 26TEMA: REGLA DE TRES

DEFINICION

La regla de tres es el procedimiento que permite hallar un término desconocido en una proporción

geométrica donde intervienen dos o más magnitudes (magnitud es todo aquello que puede ser

medido y expresado mediante un numero y una unidad), que tienen una relación de

proporcionalidad.

La regla de tres puede ser simple o compuesta.

REGLA DE TRES SIMPLE: La regla de tres simple puede ser directa o inversa.

REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA

Las magnitudes son directamente proporcionales.

VALORES: a b

c x

Como son DP, entonces su cociente es constante, es decir:

a c=

b x entonces :

b *cx =

a

Ejemplo:

Si 4 cuadernos cuestan S/. 48. ¿Cuánto costarán 6 cuadernos?.

SOLUCION:4 S/. 48

6 x

A más cuadernos más desembolso de dinero, por lo tanto estas cantidades son directamente

proporcionales.

48*6 288x = = = S/.72

4 4

Seis cuadernos cuestan S/. 72 soles.

REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA

Las magnitudes son inversamente proporcionales.

VALORES m n

p x



Como son inversamente proporcionales IP, el producto de sus valores es constante, es decir:

m * n = p * x, en donde despejando “x”, tenemos:

m*nx =

p

Ejemplo:

Si 6 obreros demoran 20 días para realizar una obra. ¿Cuántos días demorarían 8 obreros en hacer

la misma obra en las mismas condiciones?.

6 ob. 20 D

8 ob. X

A mayor número de obreros entonces, menos número de días tardaran en realizar la obra, por lotanto las cantidades son inversamente proporcionales, entonces:

6 * 20 = 8 * x, donde despejan

Se tardarán 15 días en terminar la obra.

REGLA DE TRES COMPUESTA

En este caso utilizaremos el método de las líneas, el cual considera lo siguiente:

CAUSA: Es todo aquello que realiza o ejecuta una obra, pudiendo ser efectuada por trabajadores,máquinas, etc.

CIRCUNSTANCIA: Es el tiempo, la forma, como se produce o como se fabrica algo.

EFECTO: Es todo lo realizado, lo producido, lo consumido, lo gastado, etc.

PLANTEAMIENTO Y RESOLUCION

La forma más adecuada será la siguiente:

CAUSA CIRCUNSTANCIA EFECTO

a b c

d e x

El valor de “x” se obtiene mediante la siguiente expresión:

(d)(e)(c)x =

(a)(b)

Ejemplo:

Para pavimentar 180 metros de pista, 18 obreros tardan 21 días. ¿Cuántos días se necesitarán para

pavimentar 120 metros de la misma pista con 4 obreros menos?.



CAUSA CIRCUNSTANCIA EFECTO

18 ob 21 d. 180 m.

14 ob x d. 120 m.

18* 21*120 45.360x = = =18

14*180 2.520

PROBLEMAS

1. Por dos horas y media de prácticas en una conocida Institución Financiera ubicada en Lima, un

egresado del IFB ha cobrado S/. 40. ¿Cuánto cobrará por 8 horas?

2. Cinco obreros descargan la arena contenida en un camión en una hora y media. ¿Cuánto

tardarían en hacerlo 2 obreros?

3. Un salón de clases del IFB conformado por 40 alumnos ha decidido realizar un campamento y

han llevado provisiones para 7 días. ¿Para cuántos días habrá comida si se incorpora al

campamento 30 alumnos más?

4. Se ha estimado que debería haber 2 libros de matemáticas por cada 50 alumnos matriculados

en el curso para consulta en la Biblioteca del IFB. ¿Calcula cuántos libros se necesitarán si son

450 los alumnos que llevan este curso?

5. Un Supermercado está vendiendo en oferta 350 gramos de jamonada de ternera a S/.5.00

¿Cuántos kilos podré comprar con S/. 40?6. Un ómnibus de la empresa “Viaje seguro” a la velocidad de 80 km/h se demora 9 horas en

cubrir la ruta Lima-Huarmey. ¿Cuánto tardará un auto en recorrer la misma distancia a 120

km/h.?

7. En España por trabajar 5 días se gana 390 euros. ¿Cuánto ganaré por 20 días de trabajo?

8. En la planta de una conocida marca de cerveza en el Perú su máquina embotelladora llena

1.200 botellas por minuto. ¿Cuántas cajas de cerveza se llenarán en 1 hora y media?

9. Un automóvil de carrera que va a 120 km/h tarda 20 minutos en recorrer una distancia entre

dos ciudades. ¿A qué velocidad debe ir para hacer la misma distancia en 12 minutos?

10. El IFB ha organizado una maratón donde se tiene que recorrer 21 km. un alumno maratonistaha recorrido en los 8 primeros minutos de su carrera 2.4 km. Si mantiene esa misma velocidad

en todo su recorrido, ¿Cuánto tardará en completar toda la carrera?

11. Un padre decide dejar una herencia a sus hijos de tal forma que a cada uno le corresponda una

cantidad proporcional a su edad. Al mayor que tiene 20 años, le da 50.000 dólares. ¿Cuánto le

dará a sus otros dos hijos de 18 y 12 años de edad? ¿A cuánto asciende el monto total de la

herencia?

12. Si ocho secretarias tardan 3 horas para digitar 72 páginas. ¿Cuánto tardarán 6 secretarias para

digitar 90 páginas?

14. Para construir 600 metros de una obra, 30 obreros han trabajado 12 días a razón de 10

h/d. Cuantos días de 6 horas necesitaran 36 obreros de igual rendimiento para hacer 900metros de la misma obra?



15. Cuarenta y cuatro obreros trabajando 10h/d han empleado 12 días para hacer una zanja de

440m. de largo, 2m. de ancho y 1,25m. de profundidad. ¿Cuanto tiempo más emplearan 24

obreros trabajando 8h/d para cubrir otra zanja de 200m. de largo, 3m. de ancho y 1m. de

profundidad?

16. Trabajando 10h/d durante 15 días, 5 hornos consumen 50 toneladas de carbón. ¿Cuántas

toneladas serian necesarias para mantener trabajando 9h/d durante 85 días, 3 hornos más?

17. Se contrato una obra para ser terminada en 20 días por 15 obreros que trabajan 8 h/d. Habían

trabajado ya 2 días, cuando se acordó que la obra quedase terminada 3 días antes del plazo

estipulado para lo cual se contrataron 5 obreros más. Diga si la jornada deberá aumentar o

disminuir y en cuanto.

18. Si 7 excavadoras mueven 882m3 de tierra en 6 horas. ¿Cuántos m3 moverán 10 excavadoras

en 3 horas?

19. Si 15 personas hacen un trabajo en 14 días, trabajando 8 horas diarias, ¿Cuántas personas

serán necesarias para hacer el mismo trabajo en 8 días trabajando 2 horas diarias?

20. Una familia de 4 personas ha pagado por 5 días de vacaciones 460 dólares. ¿Cuánto habrían

pagado 9 personas por 4 días?

21. Una familia de 9 personas ha pagado por 7 días de vacaciones en el Cusco 2.079 dólares. Si una

familia ha estado de vacaciones 6 días y pagado 990 dólares. ¿Cuántas personas tiene la

familia?

22. Diez vacas consumen en 6 días un total de 1.320 kg. de forraje. Si tenemos 1.386 kg. de forraje,

¿Cuántas vacas pueden comer durante 9 días?

23. Dieciséis obreros trabajando 9 horas diarias en 12 días hacen 60 sillas. ¿Cuántos días

necesitarán 40 obreros trabajando una hora diaria menos para hacer un ciento de las mismassillas?

SESIONES 27 - 29

TEMA: PORCENTAJE Y APLICACIONES

POR CIENTO

Es la cantidad que se toma de cada 100 unidades.

Ejemplo:

1) El 4 por ciento será:4

=0,04=4%100

2) El 12% de jóvenes gustan de la gaseosa “A”, significa que de cada 100 jóvenes, 12 prefieren lagaseosa “A”.

OBSERVACIONES :

1. El resultado de hallar el por ciento de un número se denomina porcentaje:

Ejemplo: 5% de 280 =5

*280

100

= 0.05(280) = 14



2. Si una cantidad disminuye o aumenta en “a%”, entonces tenemos:

(100 - a)%

(100 +a)%

Ejemplo:

Si una cantidad aumenta en 18% se tiene 118%

Si una cantidad disminuye en 7% se tiene 93%

DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS

El primer descuento (o aumento) se aplica a la cantidad inicial y a partir del segundo descuento (o

aumento), se aplica a la cantidad que ha quedado del descuento (o aumento) anterior:

U

U

ab A = a+b+ %100

abD = a+b- %

100

Ejemplos:

Determinar el aumento y descuento único del 5% más el 3%

U

U

5*3 A = 5+3+ % = 8,15%

100

5*3D = 5+3- % = 7,85%

100

FIJACIÓN DE PRECIOS

Toda empresa debe fijar un precio a sus productos o servicios.

Precio de venta es la cantidad de dinero que se cobra por un producto y/o servicio, incluye el

impuesto de ley (IGV=19%)

Para fijar el precio se debe tener en cuenta todos los costos asociados con la producción ycomercialización del producto, el que se expresa por unidad de producto, y luego se le agrega un

margen de utilidad con el fin de obtener una ganancia. La ganancia puede expresarse también

como un porcentaje del costo o del valor de venta.

COSTO + MARGEN DE UTILIDAD (%) = VALOR DE VENTAVALOR DE VENTA + I.G.V. = PRECIO DE VENTA

PROBLEMAS

1) Hallar el 18% de 1800

2) Hallar el 0,008% de 0,2



3) Hallar el 20% del 40% de 1600

4) Hallar el 53% de 200

5) Hallar el 0,08% de 0,05% de 40.000

6) ¿Cuándo recibiré más? :

Si me dan el 17% de 200

Si me dan el 0,08% de 40 000

Si me dan los 5/6 % DE 3000

7) El 50% del 40% del 30% de 600 es :

8) Una señora lleva 900 naranjas, de las cuales el 20% estaban malogradas y solo pudo vender el

60% de las buenas. ¿Cuántas quedan sin vender?

9) De una manada de 3.500 cabezas de ganado el 18% son vacas y el resto son toros. ¿Qué

cantidad de toros hay?

10)En una fábrica se han hecho 1.000 productos, el 60% de ellos lo hace la maquina “A” y el resto“B”. Si se sabe que el 5% de lo fabricado por “A” son defectuosos y el 4% de “B” también.¿Cuántos defectuosos hay en total?

11)Después de una batalla un general observo que el 5% de sus soldados habían muerto, y el 20%

de los que quedaron vivos estaban heridos, además resultaron 1.216 soldados ilesos. ¿Cuántos

soldados había en total?

12)¿A cómo debo vender lo que me costó S/. 332 para ganar el 17% del valor de venta?

13)Una empresa encuestadora, manifiesta que en el horario que pasan un noticiero 3 de cada 5

televisores encendidos sintonizan dicho programa. ¿Qué % representan dicha sintonía?

14)La población de cierta ciudad fue de 65.200 habitantes, si la tasa de mortalidad fue de 8%.¿Cuántos fallecidos hubo en dicha ciudad?

15)El precio de venta de un horno microondas es S/. 420. El vendedor descuenta el 10%, pero por

una pequeña “YAYA”, rebaja el 5% adicional. ¿Cuánto se pagó finalmente por el horno?

16)En una de las galerías de Gamarra se ofrecen descuentos sucesivos del 20% y 30% en la sección

de ropa. ¿Cuál sería el descuento único?

17)Se vendió una lavadora en S/.4.200 ganando el 14% del costo más el 5% del valor de venta.

¿Cuánto costó la lavadora?.

18)En una fiesta se observa que el 20% de los asistentes son hombres y de las mujeres el 75% están

casadas. Si hay 8 mujeres solteras. ¿Cuántos hombres habían en la fiesta?19)De 60 empleados que hay en una empresa el 40% son mujeres. Cierto día faltó a trabajar el 50%

de las mujeres y el 25% de los varones. ¿Cuántos asistieron a trabajar?

20)Si soledad se retiro del casino con S/.240, habiendo perdido primero el 20% y luego ganando el

50% de lo que le quedaba. ¿Con cuánto fue al casino?

21)Si un televisor tiene un precio que corresponde al 20% menos de otro similar cuyo precio es S/.

1.200.00. ¿Cuál es el precio del primer televisor?

22)Un comerciante dispone de S/. 800.00 para hacer 700 uniformes de una empresa. El metro de

tela cuesta S/. 5. Hay dos clases de uniforme el de hombre y el de mujer. Para el de hombre se

necesitan 2,5 m. y para el de mujer 2 m. El material de tela trabajada cuesta S/. 3,50 para

ambos uniformes. ¿Qué porcentaje del monto inicial queda como ganancia, si la empresa

cuenta con 500 hombres y 200 mujeres?



23)Sobre la venta de cierto articulo existe un impuesto del 10%, y una vez que este impuesto ha

sido cargado se aplica otro impuesto del 4% sobre el total. Si el articulo esta marcado en S/. 250.

¿Cuánto habrá que pagar por el?

24)Un comerciante compra un artículo en S/. 20 y lo vende en S/. 32,5. Expresar la utilidad comoporcentaje del precio de costo y precio de venta.

25)¿A qué precio debe venderse un artículo, sabiendo que su costo fue S/.1.300 y que el margen de

utilidad será del 20% del valor de venta?

26)Encontrar el valor de factura, dado:

a) Precio de lista = S/. 750, con descuento. del 30% y 10%.

b) Precio de lista = S/. 950, con descuento. del 15%, y 5%.

27) Una empresa gráfica tiene un costo por la edición de un diccionario que lanzará próximamente,

es de S/. 15 y el margen de utilidad (MU) que aplican es del 10% de su costo. Hallar el valor de

venta del libro.

28) Una casa de hospedaje sabe que su costo unitario diario, por habitación simple, es de S/. 20 y suMU es de 10% del valor de venta. Hallar el valor de venta de la habitación por día.

29) Un taller de confección de polos publicitarios sabe que su costo unitario es de S/. 40, su MU lo

considera como un 50% del costo. Hallar el precio de venta.

30) Una empresa de producción de componentes para computadoras tiene un costo total de S/.

35.000 y produce 500 artículos, su MU es de 70% del valor de venta. Hallar el valor de venta de

cada unidad.

31) Una empresa vitivinícola tiene costos fijos de S/. 5.000 y costos variables de S/. 10.000. Fabrica

1.500 botellas y establece un MU del 30% del costo. Hallar el precio de venta unitario.

32)La agencia de Publicidad “AKM” tiene los siguientes costos para la instalación de afiches:Alquiler de local S/. 3.000; servicios de luz, agua y teléfono S/. 2.000; insumos publicitarios S/.

1.000; mano de obra S/. 5.000. El Margen de utilidad es del 40% del costo y se confeccionan 800

afiches. Hallar el precio de venta.

33) Para un concierto musical una empresa de espectáculos compró una determinada marca de

refresco en lata a un costo de S/. 2,35 cada unidad y la vendieron a un precio de S/. 4,50. Hallar:

1) El MU sobre el costo.

2) El MU sobre el valor de venta.

34) Un Supermercado vende, en su sección de alimentos preparados, ensaladas a S/. 15,49 por kilo,

aplicando un MU del 125,5 % del costo. Halle el costo del kilogramo de ensalada.

35) Una importadora de vehículos compra un determinado modelo a un costo de $ 8.453,95 y lo

venden con un MU del 37,45% del valor de venta. Hallar el valor de venta.

36) Una fábrica de toallas de baño tiene un costo total de S/. 20.000 y produce 1.000 unidades, su

MU es de 60% del costo, Hallar el valor de venta de cada unidad.

37) Una empresa fabricante de USB de CD tiene un costo total de S/. 10.000 y fabrica 1.600

componentes, su MU es de 10% del costo. Hallar el precio de venta unitario.

38) Una empresa fabrica 200 extinguidores y tiene los siguientes costos: alquiler de local S/. 4.000,

servicios S/. 3.000, en total; materia prima S/. 4 por artículo, mano de obra S/. 5 por artículo. El

margen de utilidad es del 20% del costo. Hallar el precio de venta y el total de IGV pagado.

39) El costo de fabricar un componente electrónico es de S/. 17,60 y se venden con un MU del43,5% del valor de venta.



40) Una distribuidora de duraznos en conserva adquiere un lote exclusivo para preparación de

“aperitivos”. Compra 200 cajas, de 24 unidades cada una, a S/. 80 por caja. Para lacomercialización se agrega un MU del 60% del costo.

a) Calcular el valor de venta unitario (por lata) y el precio de venta unitario.b) Si el 40% del lote se vende a S/. 4,80 por lata, ¿A qué precio se deberían vender el resto de las

latas para lograr el margen inicial sobre todo el lote?

SESIONES 30-31:

EL CAMBIO MONETARIO

En toda sociedad la moneda constituye el instrumento de cambio para la adquisición de bienes o

servicios.

Todo bien es medido en unidades de la unidad monetaria.

NOTAS:1. En las diversas actividades comerciales se le reconoce como un medio para cancelar deudas.

2. Es un medio que nos permite tener dinero en una entidad financiera para alguna necesidad

futura.

3. El Banco Central de Reserva, es el ente autónomo que fija la política monetaria en un país,

asimismo establece las condiciones para el sistema de cambio monetario.

4. EL BCR establece el tipo de cambio monetario en relación a la monea de un país que

generalmente tiene mayor desarrollo, estabilidad económica y baja inflación.

5. Las monedas utilizadas para el tipo de cambio en los últimos años son: El Dólar Americano, el

Marco Alemán, el Yen Japonés, el Franco Suizo, últimamente el Euro, el Yuan

6. La fortaleza de una moneda se presenta cuando el precio aumenta en relación a una monedaextranjera, o el tipo de cambio baja.

7. Una moneda local es fuerte si el tipo de cambio baja. Si el tipo de cambio sube la moneda local

es débil.

PRINCIPALES DIVISAS

MONEDA SIMBOLO COMPRA S/. VENTA S/.

MARCO ALEMAN

DOLAR AMERICANO

EURO

FRANCO SUIZO

LIBRA ESTERLINA

YEN

YUAN

DOLAR HONG KONG



Complete el cuadro anterior con el cambio del día

EJERCICIOS

Resolver los siguientes casos haciendo uso del tipo de cambio del día.

S/. MARCO

A

DOLAR

A

DOLAR

C

YUAN YEN EURO FRANCO

S

LIBRA

EST

FRANCO

SUIZO

100

1.253

3.450

4.657

6.957

6.453

1.046

5.204

6.875

SESIONES 32 - 35

TEMA. EL INTERES SIMPLE

DEFINICION

Es el ingreso o beneficio que percibe el acreedor por el dinero que presta También se puede definir

así:

Ejemplo: Si García recibió un préstamo de Martínez por la suma de S/. 5.200, vencido el plazo de seis

meses, pagó la suma de 6.240. Hallar el interés.

Interés = 6.240 – 5.200 = 1.040

S/. 1.040 es el ingreso o beneficio que percibe Martínez por el dinero prestado a García; esto se llama

“INTERÉS”.

NOTA: El interés se calcula teniendo en cuenta:

La cantidad de dinero prestado ó depositada.

La tasa

El tiempo

Interés = Valor futuro - capital



TASA DE INTERÉS: (i) representa el costo del dinero ajeno y relaciona el beneficio con el capital

prestado ó depositado.

i =Capital

InterésóBeneficio

Para el problema anterior se tiene que la tasa de interés, se calcula así:

i = 20%0,25.200

1.040

Nota: La tasa se da en porcentaje pero para los cálculos financieros se transforma a decimal o tanto

por uno.

INTERÉS SIMPLE

Se dice que una operación financiera se maneja bajo el concepto de interés simple cuando los

intereses liquidados no se suman periódicamente al capital.

Sus características son las siguientes:

1) El capital inicial no varía durante todo el tiempo de la operación financiera ya que los intereses

no se suman al capital inicial.

2) Como consecuencia de lo anterior, la tasa de interés siempre se aplicará sobre el mismo capital,

es decir, sobre el capital inicial.

3) Por la misma razón, puede decirse que los intereses serán siempre iguales en cada período.

FORMULA PARA CALCULAR EL INTERÉS SIMPLE

I=Vani

De esta fórmula se derivan las siguientes fórmulas:

Va =ni

I i =

n.Va

I n=

i.Va

I

Nota: Estas fórmulas no son necesarias que las recuerdes se obtienen despejando de la formula

principal.

Donde:

I = Interés Total

Va = Capital inicial, stock inicial, principal, valor actual…

i = Tasa (expresada en forma decimal), que se aplica al capital.

n = Periodo de tiempo

OBSERVACION :

Siempre debe haber coincidencia, entre la tasa de interés y el tiempo.

Si la tasa es anual, el tiempo debe ser expresado en años.

Si la tasa es mensual el tiempo debe ser expresado en meses.Si la tasa es diaria, el tiempo deberá estar expresado en días.



Ejemplo: Hallar el interés total producido por un depósito de S/. 60.000 colocado durante 1 año y 8

meses con tasa mensual simple del 3%.

SOLUCIÓN:

I = ?

Va = S/. 60.000

n = 1 año 8 meses

i = 3% (mensual)

La tasa la convertimos a decimal:

i = 3% = 0,03100

3

Debe haber armonía ó coherencia entre tasa y tiempo.

Veamos:

n = 1 año 8 meses lo llevamos todo a meses (1 año = 12 meses)n = 12 meses + 8 meses = 20 meses

Aplicamos la fórmula:

I=Vani

I = (60.000) (0,03) (20)

I=36.000

El beneficio ó interés será S/. 36.000

El monto a pagar será:

Monto Final = Capital Inicial + InteresesMonto Final = 60.000 + 36.000 = 96.000

Formalizaremos esto mediante una fórmula que nos permite calcular el monto directamente:

MONTO SIMPLE O VALOR FUTURO: Es la suma del capital o valor actual y los el interés. Ahora

encontraremos una formula que nos permitirá calcular el monto directamente.

Sabemos que: VF=Va + I (1)

Pero: I=Van (2)

Reemplazando (2) en (1)

Tenemos: VF = V a + Vani

Sacando factor común “Va” en el 2º miembro tenemos:

VF = Va (1 + ni)Donde:

VF = Monto; Valor final; stock final

Va = Principal; capital

i = Tasa de interés

n = Plazo



Ejemplo: Hallar el monto en el problema anterior aplicando la fórmula:

VF = 60.000 (1 + 0,03.(20))

Efectuando la multiplicación y luego la suma dentro del paréntesis.VF = 60.000 (1 + 0.6)

VF = 60.000 (1.6) = 96.000

Podemos graficar el resultado anterior en un diagrama de flujos.

i=3%=0,03 VF=96.000n=1año 8 meses = 20 meses

Va=60.000

PROBLEMAS

1) Un hombre tomó prestado S/.120 por 5 meses y le cobran el 9% anual de interés ¿Cuánto

interés pagó?.

2) Se pide calcular la tasa de interés simple bimestral a la que estuvo colocado un capital de S/.

5.400 que se transformó en S/. 9.700 al cabo de 2 años 1 mes y 17 días.

3) Sandra tomó prestados S/.3.600 por 9 meses al 11¼ % anual de interés simple.

a) ¿Cuánto será el interés que se deba sobre este principal ?b) ¿Cuánto tiene que liquidar después de 9 meses?

4) Una persona que ahorra puso su capital en un tiempo de 2 años 7 meses y 5 días en una entidad

financiera que pagaba el 0,11% diario. Al finalizar el plazo retiró el capital y los intereses que

éste le había originado invirtiendo todo el monto en un negocio que le paga el 20% trimestral en

un año con los que acumuló S/.80.000. Hallar el capital inicial.

5) Si se carga un interés de S/. 85 sobre un préstamo de S/. 3.000 por 4 meses ¿Cuál es la tasa de

interés?

6) Una inversión paga S/.3,40 de intereses cada 6 meses. Si la tasa es el 8% anual ¿Cuánto importa

el principal si permaneció en el banco 2 años?

7) Encuentre el número de días entre:

a) 15 de marzo y 29 de julio

b) 15 de octubre y 18 marzo

c) 13 de febrero y 7 de julio

8) Una corporación petrolera solicitó un préstamo de S/.1´800.000 con fecha 18 de agosto y

cancela el 13 de octubre del mismo año. El Banco aplica una tasa de interés simple anual de

10,35%. Determine el monto que se cancelará al vencimiento.

9) Calcule el interés simple de un capital de S/. 17.000 soles depositado en una institución

financiera desde el 3 de marzo al 27 de noviembre del mismo año, a una tasa de interés de 3,5%

mensual.



10) Qué capital colocado a una tasa anual del 20% producirá un interés simple de S/. 1.777,77 en el

período comprendido entre el 17 de abril al 17 de agosto del mismo año.

11) Una corporación accede a un préstamo de S/. 4´300.000 que fue desembolsado el 3 de octubre.

Si la tasa de interés simple fijada fue del 20,5% anual y hasta la fecha de cancelación generó S/.79.012,50 de intereses. Hallar la fecha de pago.

12) Se solicitó un préstamo de S/. 2´200.000, que fue desembolsado el día 14 de octubre,

acordándose una tasa de interés del 12% anual que generó hasta la fecha de pago S/.42.533,33,

por concepto de intereses. Determinar la fecha de pago.

13) Si deseo ganar un interés simple de S/. 300 en el período comprendido entre el 4 de abril y 31 de

mayo ¿Qué capital debo colocar en un banco que paga una tasa mensual del 0,28%?

14) ¿Cuál es la tasa de interés simple mensual aplicada para que un capital de S/. 8.000 colocado a 2

años y 6 meses haya ganado S/. 60?

15) ¿Cuál será el capital que habrá producido un interés simple de S/. 850,40 al 12% semestral en 7

trimestres.

16) Un capital de S/. 12.000 ha producido S/. 541,68 de interés simple al 12,5% anual. Determinar el

tiempo de la operación.

17) Un capital de S/. 3.250 se ha incrementado en un 10% por un interés simple del 25% anual.

Hallar el tiempo.

18) El 12 de marzo del 2009 se otorgó un préstamo de S/. 16.000. La tasa anual simple fue de 39%.

El 25 de setiembre del mismo año se pagó el préstamo y sus intereses devengados. Hallar el

total que se pagó.

19) Hallar el capital que colocado hoy al 2% mensual simple, se convertirá en S/. 5.650 luego de

cuatro meses.

20) ¿Cuál es el valor futuro que ha producido un capital de S/. 5.000 del 6 de abril al 26 de junio del

mismo año a una tasa mensual del 0,82%?

21) ¿A qué tasa mensual un capital de S/. 10.000 se habrá convertido en un monto de S/. 11.500 si

el capital original fue colocado a interés simple durante 3 meses?

22) ¿A qué tasa mensual se invirtió un capital de S/. 2.000 colocado a interés simple el 20 de abril

cuyo monto al 18 de junio fue S/. 2.500?.

23) ¿Qué importe debe ser invertido a una tasa de interés del 24% anual para alcanzar un valor

futuro de S/. 3.000 dentro de 45 días?

24) Encuentre el capital que invertido a una tasa del 4% bimestral durante 87 días, ha producido unvalor futuro de S/. 500.

25) Se tiene un valor actual que se divide en tres partes. La primera se coloca al 5% anual; la

segunda al 4% anual y la tercera al 3% anual. Al final del año se retiran S/. 15.926,40. Determinar

las partes, si la primera es igual a los 3/5 de la segunda y la tercera igual a la suma de las dos

anteriores.

26) Un capital colocado durante un cierto plazo al 4% daría un monto de S/. 14.400. Colocado

durante un año menos al 5% el mismo capital daría un interés de S/. 2.400. Calcular el valor

actual y el plazo.

27) Dos valores actuales iguales se colocan de la siguiente manera: el primero en e! banco R&Q al

24% anual durante 85 días; el segundo en el banco S&W durante 60 días al 28 % anual. Por

ambas operaciones se recibió un interés de S/. 500.¿Cuál fue el importe de cada capital?



28) Dos valores actuales difieren en S/. 250. El más elevado se coloca al 6% anual durante 8 meses y

el segundo al 5% anual durante 6 meses. El interés producido por el primer valor actual es el

doble del producido por el segundo. Hallar el primer y segundo valor actual además de sus

intereses.

29) Un valor actual de S/. 5.000 se coloca al 4% anual. Un segundo valor actual de S/. 4.800 es

colocado al 5% anual. Calcular el plazo en que el valor actual del primero será igual al del

segundo.

30) ¿Cuál es el interés de un préstamo por S/. 18.000 a 3 meses al 26,8% anual?

31) ¿Cuál será el valor actual que habrá producido un interés de S/. 800 en 7 trimestres al 26%

anual?

32) ¿Cuál es la tasa de interés mensual para que un capital de S/. 8.000 colocado a 2 años y 6 meses

haya ganado S/. 60?

33) Un capital de S/. 2.000 ha producido un interés de S/. 25 durante 36 días. Calcular la tasa de

interés anual.

34) Un capital de S/. 5.000 se coloca en un banco al 4% mensual durante 8 bimestres indicar el valor

del interés y del monto.

35) Un capital de S/. 800 se transformó en S/. 850 en 2 bimestres. Calcular la tasa de interés

mensual.

36) Cierto capital se transformó en S/. 25.000 en dos trimestres, si se aplicó un 0,35% mensual de

interés. ¿Cuál fue el capital inicial?

37) Indicar el tiempo que estuvo colocado un capital de S/. 3.000 depositado a una tasa anual de

9%, sabiendo que obtuvo una ganancia de S/.400.

38) Calcular el interés producido por un capital de S/. 25.000 invertido durante 4 años a una tasa

del 6% anual.

ECUACION DEL VALOR

La cancelación de una deuda pactada entre un acreedor y un deudor, a un nueva fecha de

cancelación, nos lleva a plantear una ECUACION DEL VALOR, debemos anotar que las obligaciones

pendientes de pago se dirigen hacia la fecha de cancelación ( por lo general), denominada fecha

focal.

Ejemplo:

Un confeccionista contrae una deuda por S/. 18.400, que se cancelará en 8 meses, a una tasa de

interés del 14,5% anual. El deudor acuerda abonar S/. 8.500 a los 4 meses; S/. 6 000 a los 6 meses.

Determinar con cuánto cancelará su deuda.



SOLUCIÓN:

Nos valemos del horizonte temporal:

Tal como se ha señalado debemos dirigir todas las cantidades hacia la fecha de cancelación,

entonces tenemos:

X (2)12

0,14516.000(4)

12

0,14518.500(8)

12

0,145118.400

De lo anterior podemos afirmar que en la ecuación del valor el monto del préstamo por lo ocho

meses, se iguala con los pagos efectuados a los cuatro meses, este capital hasta la cancelación

tendrá un interés por 4 meses hasta la fecha de cancelación igualmente el último pago efectuado

tendrá un interés de dos meses. Continuamos:

X16667)6000(1,02433333)8500(1,048666667)18400(1,09

20178,66 = 8910,83 + 6145,00 + X

20178,66 = 15055,83 + X

X = 5122,83

PROBLEMAS

1. Un pequeño confeccionista accede a un préstamo por S/. 10.500 para ser cancelado en un año,

a un interés del 14,25% anual. Conviene con la entidad financiera abonar S/. 3.500 el cuarto

mes; S/. 3.000 el sétimo mes y S/. 2.000 el noveno mes. Se pide calcular con cuanto cancelará la

obligación.

2. La empresa RGT, recibe un préstamo de S/. 18.400, a una tasa del 16,25% anual. Cancelable en

un año y medio. El deudor acuerda con la financiera, abonar S/. 3.500 a los tres, seis, nueve,

doce, quince meses respectivamente, Determinar con cuanto cancelará la deuda.

3. Un fabricante de zapatillas recibe un préstamo por S/. 15.000, pagaderos en dos años, a una

tasa del 18,35% anual. El deudor desea cancelar está obligación en 4 partes iguales a intervalos

de tiempo iguales, la financiera acepta la propuesta. Calcular a cuanto ascenderán estos pagos.

X

2 meses

6.000

2 meses

8.500

4 meses

18.400

14,5% anual



4. Desiré desea tener su propia empresa y recibe un préstamo de S/. 35.000, deuda que debe ser

cancelada de la siguiente manera el 10% del préstamo al momento de recibir el mismo. En seis

meses S/. 10 000, pasados cuatro meses S/. 12 000.El plazo convenido es dos años y la tasa de

interés 16,45% anual. Determinar con cuánto cancelará el total de la obligación.

5. Ud. recibe un préstamo por S/. 4.000 a 200 días, al 28% anual. Si realiza un pago de S/. 1.500, el

día 100. a)¿Cuál es el monto con que se cancelaría el préstamo?. Si se paga S/. 1.800, el día 80 y

S/. 1.800, el día 160.

6. Una empresa recibe un préstamo de S/. 20.000, cancelable en tres años, abonando S/. 8.000 al

término del 1º y 2do. año. ¿Con cuánto cancela el préstamo si le imponen 1,25% quincenal?.

7. La Cia. M&L, recibe un crédito por S/. 15.000, para ser cancelado en 4 años, y abona S/. 5.000 al

final del 2do y 3er año, si la tasa es 0,85% mensual. Determinar con cuánto cancelará el

préstamo.

8. Una empresa tiene dos obligaciones de S/. 7.500 que vencerá en 2 meses y S/. 6.500 que

vencerá en 4 meses, al 32,5% anual, acude a la entidad financiera para refinanciar y podercancelar todo el importe en un solo monto en 8 meses. Determinar cuál fue el importe final.

9. Una Cia. Tiene una serie de obligaciones de S/. 2.000 que vencerán en 2, 4 y 6 meses, al 38%

anual, y desea cancelar las mismas en el tercer mes. Determinar el importe final cancelado.

10. Un accede a un préstamo por S/. 5.000 para adquirir un artefacto, el mismo que deberá abonar

el 8% al momento de firmar el pagaré, siendo el plazo 18 meses al 12,5% anual, si se abona S/.

1.800 a los 8 meses; S/. 2.000 a los 14 meses. Determinar con cuánto cancelará la obligación.

SESION 36EXAMEN FINAL

separata matematica.pdf

Documents