大規模組合せ最適化問題に対する 複数の近傍を用いた探索手法 ·...
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大規模組合せ最適化問題に対する複数の近傍を用いた探索手法
大阪工業大学 工学部
電気電子システム工学科
重弘 裕二 増田 達也
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背景
● 組合せ最適化問題● 設計、スケジューリング、割り当て、...● NP 困難(厳密に最適な解を求めるのは難しい)
● 最適化手法● 近傍操作に基づく解探索
– 従来手法● 局所探索法、Simulated Annealing、Tabu 探索法、...
– 提案手法(確率論的観点(!?)から...)● その他
– 遺伝的アルゴリズム、...
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背景
● 組合せ最適化問題● 設計、スケジューリング、割り当て、...● NP 困難(厳密に最適な解を求めるのは難しい)
● 最適化手法● 近傍操作に基づく解探索
– 従来手法● 局所探索法、Simulated Annealing、Tabu 探索法、...
– 提案手法(確率論的観点(!?)から...)● その他
– 遺伝的アルゴリズム、...
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組合せ最適化問題
● (例)巡回セールスマン問題● 都市の位置が与えられたとき、
都市
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組合せ最適化問題
● (例)巡回セールスマン問題● 都市の位置が与えられたとき、全ての都市を通る巡回
路
都市 巡回路
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組合せ最適化問題
● (例)巡回セールスマン問題● 都市の位置が与えられたとき、全ての都市を通る巡回
路の中で、
都市 巡回路
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組合せ最適化問題
● (例)巡回セールスマン問題● 都市の位置が与えられたとき、全ての都市を通る巡回
路の中で、なるべく長さの短いものを求めたい
都市 巡回路
求めたい
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組合せ最適化問題
● (例)巡回セールスマン問題● 都市の位置が与えられたとき、全ての都市を通る巡回
路の中で、なるべく長さの短いものを求めたい● 解:巡回路
都市 巡回路
求めたい
解
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組合せ最適化問題
● (例)巡回セールスマン問題● 都市の位置が与えられたとき、全ての都市を通る巡回
路の中で、なるべく長さの短いものを求めたい● 解:巡回路● 評価値:巡回路の長さ
都市 巡回路
評価値:小 評価値:大求めたい
解
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近傍操作
● 定められた手続きに従って解の一部を変更
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近傍操作
● 定められた手続きに従って解の一部を変更● (例)ランダムに 2 つの都市を選んで
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近傍操作
● 定められた手続きに従って解の一部を変更● (例)ランダムに 2 つの都市を選んで入れ替える
近傍操作
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近傍操作
● 定められた手続きに従って解の一部を変更● (例)ランダムに 2 つの都市を選んで入れ替える
近傍操作
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近傍操作
● 定められた手続きに従って解の一部を変更● (例)ランダムに 2 つの都市を選んで入れ替える
● 近傍解:近傍操作により得られた解
近傍操作
近傍解 近傍解
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近傍操作
● 定められた手続きに従って解の一部を変更● (例)ランダムに 2 つの都市を選んで入れ替える
● 近傍解:近傍操作により得られた解● 評価値の差が小さい解を生成可能
近傍操作
(ランダムに生成した解)
近傍解 近傍解
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近傍操作に基づく解探索
● 限られた手続きを用いて評価値の小さな解を探索
解
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近傍操作に基づく解探索
● 限られた手続きを用いて評価値の小さな解を探索● ランダムな解を生成
解
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近傍操作に基づく解探索
● 限られた手続きを用いて評価値の小さな解を探索● ランダムな解を生成● 解を評価(評価値を求める)
色が明るいほど評価値が小さいことを表す
解
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近傍操作に基づく解探索
● 限られた手続きを用いて評価値の小さな解を探索● ランダムな解を生成● 解を評価(評価値を求める)
– 評価回数が計算量の指標
色が明るいほど評価値が小さいことを表す
解
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近傍操作に基づく解探索
● 限られた手続きを用いて評価値の小さな解を探索● ランダムな解を生成● 解を評価(評価値を求める)
– 評価回数が計算量の指標● 近傍解を生成
色が明るいほど評価値が小さいことを表す
解
近傍操作で生成可能
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近傍操作に基づく解探索
● 限られた手続きを用いて評価値の小さな解を探索● ランダムな解を生成● 解を評価(評価値を求める)
– 評価回数が計算量の指標● 近傍解を生成
色が明るいほど評価値が小さいことを表す
解
近傍操作で生成可能
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従来手法
● 限られた評価回数で、より評価値の小さな解を● 局所探索法
● わかりやすい。これで十分な場合は問題ないが...● メタヒューリスティックス(発見的解法)
● Simulated Annealing、Tabu 探索法、...● アルゴリズムはそれで良いのか? なぜ!?● パラメータはそれで良いのか? なぜ!?
– 冷却スケジュール、タブリスト等
● もちろん、有用性は重要だけど...
● もっと数理的にきちんと(?)考えるべきでは!!
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提案手法
● 近傍解改善量● 近傍解(近傍操作)により評価値が改善される量
● 近傍操作を再定義● 単位近傍操作の反復
● 最良解改善量● 暫定最良解の評価値が改善される量
– 暫定最良解:解探索の過程において、その時点で最も良い解
● 探索手順● まずは局所探索法の枠組みの中で
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提案手法
● 近傍解改善量● 近傍解(近傍操作)により評価値が改善される量
● 近傍操作を再定義● 単位近傍操作の反復
● 最良解改善量● 暫定最良解の評価値が改善される量
– 暫定最良解:解探索の過程において、その時点で最も良い解
● 探索手順● まずは局所探索法の枠組みの中で
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近傍解改善量
● 元の解と
評価値
解
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近傍解改善量
● 元の解と近傍解の評価値の差
近傍解改善量
評価値
解
近傍解
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近傍解改善量
● 元の解と近傍解の評価値の差
近傍解改善量
評価値
解
近傍解
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近傍解改善量
● 元の解と近傍解の評価値の差
● (仮定)正規分布 /
近傍解改善量
評価値
解
近傍解
確率分布
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近傍解改善量
● 元の解と近傍解の評価値の差
● (仮定)正規分布 /
近傍解改善量
解
評価値
近傍解
解
近傍解
確率分布
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近傍解改善量
● 元の解と近傍解の評価値の差
● (仮定)正規分布 / 平均と標準偏差が一定
近傍解改善量
解
評価値
近傍解
解
同じ形の正規分布
近傍解
確率分布
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近傍操作を再定義
● 「単位近傍操作の反復」
解
近傍解
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近傍操作を再定義
● 「単位近傍操作の反復」を近傍操作と再定義
解
再定義された近傍操作で生成可能
近傍解
近傍解
近傍解
近傍解
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近傍操作を再定義
● 「単位近傍操作の反復」を近傍操作と再定義
解
再定義された近傍操作で生成可能
確率分布
推定
評価値
近傍解
近傍解
近傍解
近傍解
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近傍操作を再定義
● 「単位近傍操作の反復」を近傍操作と再定義● 近傍解の評価値の確率分布を推定
推定
解
再定義された近傍操作で生成可能
確率分布
推定
推定
推定
評価値
近傍解
近傍解
近傍解
近傍解
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最良解改善量
● 近傍操作前後の暫定最良解の評価値の差
評価値
暫定最良解
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最良解改善量
● 近傍操作前後の暫定最良解の評価値の差● 暫定最良解より良い近傍解 → 暫定最良解の更新
評価値
暫定最良解
近傍解
最良解改善量
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最良解改善量
● 近傍操作前後の暫定最良解の評価値の差● 暫定最良解より良い近傍解 → 暫定最良解の更新● 最良解改善量の期待値
– 近傍操作により、どの程度良い解が見つかるのか?
最良解改善量のグラフ
評価値
暫定最良解
近傍解
最良解改善量
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最良解改善量
● 近傍操作前後の暫定最良解の評価値の差● 暫定最良解より良い近傍解 → 暫定最良解の更新● 最良解改善量の期待値
– 近傍操作により、どの程度良い解が見つかるのか?– 確率分布から計算可能
最良解改善量のグラフ
評価値
暫定最良解
近傍解
確率分布
最良解改善量
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探索手順
● まずは局所探索法の枠組みの中で● 「暫定最良解に近傍操作を行い評価する」ことを反復
● 近傍操作を再定義● 最良解改善量の期待値が最大となる近傍操作を選択
● 近傍解の評価値の確率分布を推定● 探索中に得られる近傍解改善量の値を収集● 単位近傍操作の近傍解改善量の平均と分散を推定
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局所探索法の枠組みの中で
● 暫定最良解 s に近傍操作を行い評価
s' を評価
s ← s, s' の良い方
s ← ランダムな解
s を評価
s' ← s の近傍解
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局所探索法の枠組みの中で
● 暫定最良解 s に近傍操作を行い評価
s' を評価
s ← s, s' の良い方
s ← ランダムな解
s を評価
s' ← s の近傍解近傍操作を選択 最良解改善量の
期待値最大
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局所探索法の枠組みの中で
● 暫定最良解 s に近傍操作を行い評価
s' を評価
s ← s, s' の良い方
s ← ランダムな解
s を評価
s' ← s の近傍解近傍操作を選択
統計量を推定 単位近傍操作の近傍解改善量の平均と分散
最良解改善量の期待値最大
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局所探索法の枠組みの中で
● 暫定最良解 s に近傍操作を行い評価
s' を評価
s ← s, s' の良い方
s ← ランダムな解
s を評価
s' ← s の近傍解
観測値を積算
近傍操作を選択
統計量を推定 単位近傍操作の近傍解改善量の平均と分散
最良解改善量の期待値最大
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局所探索法の枠組みの中で
● 暫定最良解 s に近傍操作を行い評価
s' を評価
s ← s, s' の良い方
s ← ランダムな解
s を評価
s' ← s の近傍解
観測値を積算
近傍操作を選択
統計量を推定
近傍操作の回数と近傍解改善量
単位近傍操作の近傍解改善量の平均と分散
最良解改善量の期待値最大
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計算機実験
● 局所探索法と提案手法を実装● Haskell, GNU Scientific Library
● 巡回セールスマン問題に適用● ランダムな座標の10,000都市
● 単位近傍操作:2都市の入れ替え
● 近傍操作– (局所探索法)
単位近傍操作を1,2,4,8,16,32.64回反復…(※)
– (提案手法)最良解改善量の期待値が最大のものを(※)から選択
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実験結果
● 局所探索法(単位近傍操作(1回反復))
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実験結果
● 局所探索法(単位近傍操作1,2回反復)
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実験結果
● 単位近傍操作の反復回数に対し規則的な特徴
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実験結果
● 提案手法は局所探索法よりも良い解に速く到達
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まとめ
● 近傍解改善量の確率分布を仮定・推定● 最良解改善量の期待値を計算● 局所探索法に複数の近傍操作を
● 適切な近傍操作を選択