電磁気学 - 東京理科大学電磁気学静電場電荷分布クーロンの法則...

電磁気学

静電場電荷分布クーロンの法則ガウスの法則静磁場定常電流ビオ・サバールの法則アンペールの法則電磁誘導交流ローレンツ力ファラデーの法則電磁波

マックスウェル方程式

光学物質中の電磁波

特殊相対論

誘電体、磁性体、超伝導体

電磁気学

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参考書

理論電磁気学砂川重信演習電磁気学加藤正昭

ファインマン物理学ランダウ・リフシッツ電磁気学



いろいろな電荷分布の電場と電位

30

00

00

02

0

4122

221

41

41

)()(

rrpVp

zVE

lnVE

rqV

rqEq

V

z

r

rrr

rrrr

⋅=

±=±=

−==

==

∇−=

πε

εσ

εσ

σ

ρπελ

ρλ

πελ

πεπε

ρ

双極子

面電荷密度

線電荷密度

点電荷

rrE



電束と Gauss の法則

[ ]/CmNcos 2⋅⋅===Φ ∫ ∫ ∫⊥ SErr

ddSEdSEE φ

00

encl

ερ

=⋅∇=⋅=Φ ∫ Eε

SErrrr QdE

[ ] [ ]

229

0

2

2

0

/CmN10094

1mN

CJ/CC/mF/m

⋅×=

⋅

=

==

.πε

ε

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電荷分布 ⇔電場

)(||)(Vd)( rr

rrrrE ′−

′−′

′= ∫rr

rr

rrr

304

1 ρπε

)( rrρ )( rE rr

dVq

dVd

qd

i

i

S

i

iS

∫∑

∫∫

∑∫

=

⋅∇=⋅

=⋅∇=⋅

00

00

)(

Gauss

ερ

ε

ερ

ε

r

ESE

ESE

r

rrrr

rrrrの法則

Electrostatics 静電気



点磁荷による磁場（クーロンの法則）

[ ]

BqFrqB

qEB

mm

r

m

′=

⋅=

⋅

mAN

4

mA)(

20

πµ

点磁荷

対応

[ ] [ ]N/WbA/m0 HHHB == µ

270 N/A104 −×= πµ

[ ] [ ] [ ]Wbm/ANm))(A(N/A)(

002

0 mmmm qqqq~EH

µµµ =⋅=⋅=点磁荷

対応

[ ] Hq~Frq~H m

mr ′== A/m

41

20µπ

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電磁場中の点電荷の運動方程式

)(qm BvEaFrrrrr

×+==

[ ] [ ] [ ]gauss10000TmA

Nm/sCNB =≡

⋅=

⋅=

=

=

qvF

vE

BlF ×=rr

I BlFrrr

×= dId



定常電流（要素）がつくる静磁場

20

4 rˆq rvB ×

=rr

πµ

20

4 rˆdId rlB ×

=r

r

πµ

rIB

πµ

θ 20=

∫×

= 20

4 rˆdI rlB

rr

πµ

直線電流がつくる磁場

[ ] [ ] BqFrqBqq m

mrmm ′=

⋅=⋅=⋅

mAN

4m/sCmA 2

0

πµ

点磁荷

参照：

Biot-Savartの法則



直線電流がつくる磁場

( ) 22

02322

0 244 axx

aIyx

xdyIBa

a /+

=+

= ∫− πµ

πµ

αθ

θθ tan

costan 2 xaxddyxy ===

( ) ( )

[ ]

xaxxa

xxxd

x

dxxx

dxyx

xdy

a

/

/

a

a /

22

sin2sin1cos

coscos

sincos

costan

22

223

2

223

2

223222

2

2322

→+

=

===

+=

+=

+

∞→

−−

−

−−

∫

∫

∫∫

αθ

θθ

θθ

θθ

θ

θθ

θ

αα

α

α

α

α

α

α

∫×

= 20

4 rˆdI rlB

rr

πµ

ydd rr=l

φ

x

22 yxr +=

rx

=φsin

θ

a

a−

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いろいろな電流分布の磁場

[ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ]

[ ] 202

20

0

0

2

0

0

20

20

20

4mA

41mC

)97(problem282

A/m21C/m

2A

21C/m

4mA

4mA

41C

rˆ

Iq

rˆ

Φ

IBIE

IBIE

rˆIddId

rqBq

rqEq

m

yxxyz

mrmr

rμASdμ

rpp

rlBl

×=⋅==

⋅=⋅

−±=±=

==

×=⋅

=⋅=

rrrrr

rr

rrr

πµ

πε

µσ

εσ

ρπµ

ρλ

πελ

πµ

πµ

πε

θρ

ルのベクトルポテンシャ磁気双極子

ンシャル）の電位（スカラーポテ電気双極子

面電流面電荷

直線電流線電荷

電流要素

点磁荷点電荷

ABrrr

×∇=

Φ∇−=rr

E

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磁束と Gauss の法則[ ]

[ ] [ ] [ ]m/ANmTWb

Wbcos2 ⋅=⋅=

⋅===Φ ∫ ∫ ∫⊥ SBrr

ddSBdSBB φ

270 N/A104 −×= πµ

00 00 ==⋅∇==⋅=Φ ∫ mmB BQd ρµµrrrr

SB

実験事実：点磁荷（磁気単極子）は存在しない



電流分布 ⇔磁場 )( rB rr)( rj rr

定常電流

[ ] ljvjrr

rrrjrBrrrr

rr

rrrrrr

IdV||

Vd)( ==′−

′−×′′= ∫∫ 2

30 A/m)()(

4ρ

πµ



電流分布 ⇔磁場 )( rB rr)( rj rr

定常電流

[ ] ljvjrr

rrrjrBrrrr

rr

rrrrrr

IdV||

Vd)( ==′−

′−×′′= ∫∫ 2

30 A/m)()(

4ρ

πµ

∫∑∫∫

∫ ∑

⋅=

⋅×∇=⋅

=×∇=⋅

Sj

SBlB

jBlB

rr

rrrrr

rrrrr

dI

dd

Id

ii

ii

00

00

)(Stokes)(

Ampere

µµ

µµ

の定理

の法則



Faraday の電磁誘導の法則

[ ]Vdt

d Bε Φ−=

vBLε =

lBvrrr dε ⋅×= ∫ )(

dtdd BΦ

−=⋅∫ lErr

誘導起電力

磁場が一定、回路が動く

ε回路を貫く磁束が時間変化

磁場が時間変化し、回路は固定

[ ] [ ]s/CJm/AN ⋅Φ=⋅Φ BB

t∂∂

−=×∇BEr

rr

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電荷保存則と変位電流

変位電流dt

dIt

ED

Φ=

∂∂

= 0D0 εεEjr

r

jjEEj

BEj

EjB

jBj

jB

rjr

rnSSrjr

rrrrrrr

rr

rrrr

rr

rrrr

rrrrrrr

rrr

rrrr

rrrrrrr

⋅∇−=∂∂

⋅∇−=⋅∇∂∂

=∂∂

+⋅∇

=×∇⋅∇=∂∂

+⋅∇

∂∂

+=×∇

=⋅∇=×∇⋅∇=⋅∇

=×∇

⋅∇−=∂

∂

=⋅−= ∫∫

ttt

t

t

t,t

t,

dSddt,dVt,dtd

SV

ρεεµ

εµµ

εµµ

µ

µ

ρ

ρ

)(0)(

0)()(

Maxwell-Ampere

00)()(

Ampere

)()(

)()()(

000

000

000

0

0

の法則

の法則

電荷保存則

電荷保存則



マックスウェル方程式

00

enclforlawsGauss'ερ

ε=⋅∇=⋅∫ ESEE

rrrrr QdS

00forlawsGauss' =⋅∇=⋅∫ BSBBrrrrr

Sd

tdtdId

∂∂

+=×∇

Φ

+=⋅∫EjBεlBr

rrrrr000

encl

E00lawsAmpere' εµµµ

tdtdd B

∂∂

−=×∇Φ

−=⋅∫BElEr

rrrrlawsFaraday'

)(qm BvEaFrrrrr

×+==Equation of motion



マックスウェル方程式（点磁荷が存在）

00

enclforlawsGauss'ερ

ε=⋅∇=⋅∫ ESEE

rrrrr QdS

mmSQd ρµµ 00forlawsGauss' =⋅∇=⋅∫ BSBB

rrrrr

tdtdId

∂∂

+=×∇

Φ

+=⋅∫EjBεlBr

rrrrr000

encl

E00lawsAmpere' εµµµ

tdtdId m

Bm ∂

∂−−=×∇−−=⋅∫

BjElEr

rrrrr00lawsFaraday' µ

Φµ

)(qm BvEaFrrrrr

×+==Equation of motion



電磁波（真空中）[ ]N/CcBE = [ ]m)N/(A00 ⋅= cEB µε

[ ]m/s1

00µε=c

)cos(ˆ),( max ωtkxEtx −= jEr )cos(ˆ),( max ωtkxBtx −= kBr

[ ]s)J/(m1 2

0

⋅×= BESrrr

μ[ ]s)J/(m

21

21

2222

max02

max0

0

0

2max

0

maxmaxav ⋅===== cEE

cEBESI εε

µµµ

cEB

cS

dtdp

A 0

1µ

==

[ ]2N/mcI

cSp av

rad == 光の輻射圧（吸収の場合）

光速

ポインティングベクトル（エネルギー流束密度）

光の強度

光の運動量流束密度



水中の直径20μmのポリスチレン球をレーザー光で動かす

レーザー

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水中の直径20μmのポリスチレン球をレーザー光で動かす

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光の輻射圧による微小球のトラップと推進

a

b

Fa

Fb

X

Intensity

nsphere(1.5) > nwater(1.33)

mm/s1

law) s(Stokes’6

mW60s/mN10:m10:

22

2

23-

終端速度

レーザーパワー水の粘性

集光径ポリマー球の半径

vrFcPr

crPr

cIFFF

:Pr

radrad ηπππ

π

η

µ

ηη ==×=×≈=

⋅

≈



光ピンセット（optical tweezers）

F

赤外光（1.06µm）を対物レン

ズで集光し顕微鏡下で微生

物や細胞内器官を非接触で

動かす



(22.5)(general definition of electric flux)

AErr

∫ ∫ ∫ ⋅===Φ ⊥ ddAEdAEE φcos

(Gauss’s law) (22.8)

∫ =⋅=Φ0

encl

εAE QdE

rr

∫ ∫ ∫ =⋅===Φ ⊥0

enclcosε

AE QddAEdAEE

rrφ

rqqU 0

041

πε=

∑=

⋅⋅⋅+++=

i i

i

rqq

rq

rq

rqqU

0

0

3

3

2

2

1

1

0

0

44 πεπε

rq

qUV

00 41

πε== ∑==

i i

i

rq

qUV

00 41

πε

∫=r

dqV04

1πε ∫∫ =⋅=−

b

a

b

aba dlEdVV φcoslEr

221

041

rqq

πF

ε=

0

0

qFEr

r= rE ˆ

41

20 r

qπε

=r

φsinpEτ = Epτrrr

×= Eprr

⋅−=U



xVEx ∂

∂−=

yVE y ∂

∂−= z

VE z ∂∂

−=

∂∂

+∂∂

+∂∂

−=zV

yV

xV kjiE ˆˆˆr



BvFrrr

×= q (27.6)(magnetic flux through a surface)

∫ ∫ ∫ ⋅===Φ ⊥ ABrr

ddABdABB φcos

∫ =⋅ 0ABrr

d

(radius of a circular orbit in a magnetic field)Bq

mvR =

BlF ×=rr

I(magnetic force on a straight wire segment)

(magnetic force on an infinitesimal wire section)BlFrrr

×= dId

(magnitude of torque on a current loop)φsinτ IBA=

(vector torque on a current loop)Bμτrrr

×=

(potential energy for a magnetic dipole)φµ cosBU −=⋅−= Bμrr

(Hall effect)z

yx

EBJ

nq−

=



(magnetic field of a point charge with constant velocity)20 ˆ

4 rq rvB ×

=rr

πµ

(magnetic field of a current element)20 ˆ

4 rdId rlB ×

=

rr

πµ

(a long, straight, current-carrying conductor)rI

Bπ

µ2

0=

(two long, parallel, current-carrying conductors)rII

LF

πµ2

0 ′=

(on the axis of a circular loop )

( ) 2322

20

2 axIaBx

+=

µ

(at the center of circular loops)

aNI

Bx 20µ

=N

(Ampere’s law)∫ =⋅ encl0Id µlB

rr



(Faraday’s law of induction)dt

d Bε Φ−=

(motional emf; length and velocity perpendicular to uniform)vBLε = Br

(motional emf: closed conducting loop)lBvrrr dε ⋅×= ∫ )(

(stationary integration path)dt

dd BΦ

−=⋅∫ lErr

(displacement current)dt

di EΦ= εD

(Gauss’s law for )∫ =⋅0

encl

εQdAE

rrEr

(Gauss’s law for )∫ =⋅ 0AB

rrd

Br

(Ampere’s law)∫

Φ

+=⋅encl

E0C0 dt

did εlB µrr

(Faraday’s law)dt

dd BΦ

−=⋅∫ lErr



(electromagnetic wave in vacuum)cBE =

(electromagnetic wave in vacuum)cEεB 00 µ=

(speed of electromagnetic waves in vacuum)00

1µε

c =

)cos(ˆ),( max ωtkxEtx −= jEr

)cos(ˆ),( max ωtkxBtx −= kBr

(electromagnetic wave in vacuum)maxmax cBE =

(speed of electromagnetic waves in a dielectric)m00m

111KKc

μεKKεμv ===

(Poynting vector in a vacuum)BESrrr

×=0

1μ

(intensity of a sinusoidal wave in a vacuum)2

max02

max0

0

0

2max

0

maxmaxav 2

121

22cEεEε

cEBESI =====

µµµ

(flow rate of electromagnetic momentum)cEB

cS

dtdp

A 0

1µ

==



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