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物理学序論２ （電磁気学入門）

第２講 151009

クーロンの法則

ガウスの法則（導入）

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重ね合わせの原理： （重要な法則） 複数の電荷の作る電場は、個々の電荷の作る電場の重ね合わせ （ベクトル和） (成り立たない例：水素原子に働く力: 2原子間は引力、3原子間には力が働かない。)

重ね合わせの例：２個（３個）の電荷の作る電場

クーロンの法則：全空間における電荷分布が分かれば、

r 地点にある電荷qに及ぼす力は

電場の導入：ある地点での電場がわかれば、その地点の電荷に働く力がわかる。

静電場を解くためのマクスウェル方程式

連続分布の極限

r(r): 電荷密度

電場に対する

マクスウェルの方程式

の一般解

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クーロンの法則：例１： 重力でも成立した法則 （再証明はあとで）

１）球対称性のある電荷分布

１a）一様に帯電した球殻もしくは球が，外部に及ぼす力は，

それらの電荷が中心の一点に集まったときの力に等しい

1b）一様に帯電した球殻の内部に及ぼす力の合力はゼロに

等しい．

2）重力はポテンシャルから微分で導ける

。

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クーロンの法則：例２： 線積分の例： 直線電荷分布による電場。

微小線素 Dz→dzにある電荷の寄与を

計算し足し上げる。（重ねあわせの原理）

対称性を使えば

z 方向の成分は相殺して消える

h 方向の成分のみ足せばよい。

応用例では，

どんな対称性があるか？

を見極めることが重要

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*2) ldz が電荷の次元を持つので，

線電荷の単位は[C/m]である．

例題1: 計算のまとめ

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クーロンの法則：例３： 面積分： 円盤状面電荷分布による電場

dq:微小電荷，s:面電荷密度, 単位:[C/m2]

全電荷 Q = spR2

無限大の平面電荷分布の作る電場

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一個の電荷による

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電場と電位（ポテンシャル）

電場ベクトルをつなげた線を電気力線という．

電圧（ポテンシャル）（後述） はスカラー場．等高線で描く

（電気力線は交わらない。）

＋２ｑ電荷からは

２倍の電気力線が出て、

半分が -qに吸い込まれる

電気力線の本数： N=Q/e０

電場の強さ ＝電気力線の密度

点電荷から距離 r 離れたところでは：

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S1: 面上の全ての点で電場は外向き。 EndS は正。ガウス積分は正

S2: 面上の全ての点で電場は内向き。 EndS は負。ガウス積分は負

S3: 面内に電荷が無いので Q=0。 外向き成分と内向き成分が打ち消す。

S4: 面内にある総電荷はゼロ。外向き成分と内向き成分の和はゼロとなるはず

電磁気学で遭遇する最初の難関！

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ポイント１： 公式を暗記するのではなくその組み立て方を理解しよう．

例： リーマン積分の作りかた

微小面積要素

ベクトル

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図では S → A

青線は電気力線

（ ）← とりあえずスキップ

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上から見たときの流速度線 (v) で表すベクトル場

ポイント２： 電気と数学2面攻略を避け，知っている現象（絵）で数学を書き直す

ベクトル場を流体の速度ベクトル場とみなすと，物理的イメージが理解しやすい

電気力線 流体の速度ベクトル， 本数 流束（ フラックス：単位時間の流量） (電束*という) 電場の強さ E ＝ 電気力線密度 流束密度 電荷 水源， Q/e0 : 単位時間の湧き出し水量

(負の源は吸い込み口) En ＝ 電気力線密度の面に垂直な成分 面を通る単位面積単位時間あたりの流量（流速密度の定義） ＊ 専門用語として電束密度 D = e0 E がある．ここでの電束定義とは e0 だけ異なる．

← これをフラックスと言うこともある

水源池

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(a) 水源 (source) が中にある場合

閉曲面を通り流出する総水量は，

閉曲面の形や大きさにかかわらず

水源の放出する総水量に等しい

(b) 水源が外にある場合

閉曲面を出入りする総水量はゼロ．

（流入量＝流出量）

水源池

池

点状の湧き口からの流体が，流線に沿った流管を通るときの速度ベクトルの変化を理解する

長い管（1次元空間）を通るとき (v = 一定で平行)

平面（2次元空間）ならば，円状に広がる （v ∝ 1/r）． (川幅が狭ければ急流

3次元空間ならば球状に広がる (v ∝1/r2） 広ければゆっくり流れる大河)

上図の全てにおいて，流量保存則は( v1dS1=v2dS2 )と表される ．

dS1/R1=dS2/R2 (中図) → v ∝ 1/r) , dS1/R12 = dS2/R2

2 (右図) → v ∝1/r2）

泉＝湧き出し口

池

ガウスの法則 の流体解釈

フラックス： 流れに垂直な面を通る単位時間あたりの流量を

流束(フラックス)という．単位面積あたりの流量を流速密度という．

図中の左の断面を通る流束は vDS，右断面を通る流束は v’nDS’ であるが

両者は等しい． 面を傾けたときは法線成分をかける．

流線に沿った流束管を考えると，側面では vn=0 となる．

この場合，流束管を囲む全閉曲面Sを通過する全流束はゼロとなる．

閉曲面内に流体の湧き出し口があれば右辺はゼロでない． 流束保存を(微小距離 Dx に適用して) 式で書くと

1次元： v’=v→ v(x+Dx)=v(x) → ∂v/∂x=0 ３次元に拡張→

側面壁 ST vn = 0

vn = -v

ポイント３：類推の試行： 流体の従う基本原則を頭に入れる．

Dx

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とりあえずスキップ

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１）ガウスの法則からクーロンの法則を導く

電荷Qを中心とする半径 r の球面をガウス面として選ぶ

電場は面に垂直であり，かつ対称性により球面上で一定値をとる (図参照)

２）クーロンの法則からガウスの法則を導く

ガウスの法則とクーロンの法則は数学的に同等であることの証明

心構えができたところで，本番に挑戦しよう

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ガウスの法則を流体イメージでとらえるため，流管として電荷を始点とし

流線(電気力線)に沿った四角錐を二カ所で切断した四面体を考える．

ガウスの法則をクーロンの法則から導く

ステッップ (2-1a)

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電荷が閉曲面の外にあれば四角錐と

面Sで囲まれる部分 DS について面積分は0

ガウスの法則をクーロンの法則から導く

ステッップ (2-1b)

面Sで区切られる微小四角錐の集合で

体積Vを作れば

閉曲面は微小四角錐体の入り口と出口の

総和なので面積分は０

閉曲面 S に囲まれた 体積 V

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電荷が閉曲面 S の中にあるときは，

S を S1 と S2 に分ける．

S2＝S+S1 の寄与は上と同じく０

S1 の寄与はクーロンの法則を使えば

ガウスの法則をクーロンの法則から導く

ステップ(2-２)

ステップ(2-3)

電荷が多数あるとき（ie: 電気力線が曲がっているとき） 重ねあわせの原理により，左辺と右辺が足し算されるのみ

注1： ガウスの法則は万有引力を含む任意の逆二乗法則で成り立つ．

注2：電場を決めるには，体積内の電荷と外の電荷分布両方が必要であり，

一般的にはガウスの法則のみから決めることはできない．

しかし，対称性の良い場合には決められることがある．

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１）ガウスの法則からクーロンの法則を導く

電荷Qを中心とする半径 r の球面をガウス面として選ぶ

電場は面に垂直であり，かつ対称性により球面上で一定値をとる (図参照)

２）クーロンの法則からガウスの法則を導く

(2-1) 一個の電荷が閉曲面の外にある場合

(a) 閉曲面を貫く微小四角錐体部分の面積分は０になる ．

(b) 閉曲面Sを包む体積Vを微小四角錐体の集合に分ければ，

閉曲面は微小四角錐体の入り口と出口の総和なので面積分は０.

(2-2) 一個の電荷が閉曲面の中にある場合

閉曲面 S を電荷を中心とする小球面 S1 とそれ以外の S2 に分ける

閉曲面 S2 の面積分は (2-1)により０

閉曲面 S1 の面積分は

(2-3) 重ねあわせの原理により，任意の電荷分布(ie 任意の電気力線分布)で成立

注1： ガウスの法則は万有引力を含む任意の逆二乗法則で成り立つ．

注2：電場を決めるには，体積内の電荷と外の電荷分布両方が必要であり，

一般的にはガウスの法則のみから決めることはできない．

しかし，対称性の良い場合には決められることがある．

ガウスの法則とクーロンの法則は数学的に同等である証明（まとめ）

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立体角：2次元の角度

y

極座標の場合