E K O N O M E T R I A

(kurs 10 godz.)

LITERATURA:

1. Statystyka i ekonometria, Byrska-Rąpała A., Kozarkiewicz A., red. nauk. Łucki. Z., Wyd. AGH, Kraków, 2012.

2. Ekonometria i badania operacyjne, [red.] Gruszczyński M., Kuszewski T., Podgórska M., PWN, Warszawa,

2009.

3. Statystyka w zarządzaniu, Aczel A. D., PWN, Warszawa, 2000.

Warto dla początkujących:

1. Zarys metod ekonometrii, Nowak E., PWN, Warszawa, 1997.

PLAN kursu

A. Ekonometria: definicje, pojęcia, przykłady

B. Elementy statystyki matematycznej (zmienna losowa, przedziałowa estymacja parametrów populacji, hipotezy parametryczne)

C. Model ekonometryczny: budowa modelu, weryfikacja, interpretacja parametrów modelu.

Ekonometria: definicje, pojęcia, przykłady

— nauka o mierzeniu związków występujących między zjawiskami lub procesami ekonomicznymi a innymi zjawiskami (ekonomicznymi, przyrodniczymi, technicznymi, demograficznymi i socjologicznymi) w celach poznawczych i dla prognozowania [Bartosiewicz S., 1978]

─ nauka zajmująca się empiryczną weryfikacją praw ekonomicznych [Theil H., 1979]

─ nauka pomocnicza w ramach ekonomii, wykorzystująca narzędzia matematyki, statystyki oraz informatyki do badania ilościowych związków zachodzących między zjawiskami i zmiennymi ekonomicznymi. Jest zbiorem metod opracowanych najczęściej poza ekonomią, ale wykorzystywanych na jej polu.

─ nauka zajmująca się ustalaniem, za pomocą metod matematyczno-statystycznych, ilościowych prawidłowości zachodzących w życiu gospodarczym [własna]

SPECYFICZNE WARUNKI PROWADZENIA BADAŃ EKONOMETRYCZNYCH

brak możliwości powtórzenia eksperymentu, badane zjawisko ekonomiczne jest stabilne, tj. ulega jedynie niewielkim i powolnym zmianom, zjawisko musi być mierzalne, tj. jego cechy muszą być wyrażane liczbowo, można określić czynniki wpływające na jego zachowanie, dostępne są dane statystyczne opisujące zachowanie (w sensie ilościowym) badanego systemu w przeszłości, trudności z danymi: dostępność, ilość, wiarygodność, porównywalność.

NARZĘDZIEM BADAWCZYM EKONOMETRII JEST MODEL EKONOMETRYCZNY

opis fragmentu ekonomicznej rzeczywistości, uwzględniający tylko istotne jej elementy; konstrukcja myślowa, która w uproszczony sposób przedstawia funkcjonowanie lub

zachowanie gospodarki lub jej części – def. dla ekonomii; konstrukcja formalna, która za pomocą pewnego równania lub układu równań przedstawia

zasadnicze powiązania występujące pomiędzy rozpatrywanymi zjawiskami ekonomicznymi [Hellwig Z.].

Model ekonometryczny za pomocą równania/równań przedstawia zależności występujące pomiędzy zmiennymi. ELEMENTY MODELU: • Zmienne, • Parametry • Elementy losowe

n ..., 2, 1,i 10 iii xy

WŁAŚCIWOŚCI MODELU EKONOMETRYCZNEGO:

mierzalność zjawisk;

jednoznaczność formalna w zapisie, odczytywaniu i interpretacji uzyskanych wyników;

jest zasadą, że każde równanie modelu przedstawia mechanizm kształtowania się jednej i tylko jednej zmiennej, to znaczy wyraża relacje, w jakich zmienna ta zmienia się w zależności od wartości, jakie przyjmują inne zmienne odgrywające w danym równaniu rolę przyczyn.

n ..., 2, 1,i 10 iii xy Jeżeli więc model ma przedstawić mechanizm kształtowania się jednej tylko zmiennej, będzie składał się z jednego równania.

Jeżeli natomiast celem modelu będzie opis mechanizmu kształtowania się kilku zmiennych (k), to musi składać się z kilku równań (k). ),, ,y ,(

),, ,y ,(

),,(

,3,2,11-i3,,2,3

,3,2,11,2,1,2

,3,2,1,1

iiiii

iiiiii

iiii

xxxyfy

xxxyfy

xxxfy

szereg czasowy

dane przekrojowe

dane panelowe

Szereg czasowy – informacje liczbowe przedstawiające stan badanego zjawiska (procesu) w kolejnych momentach (okresach).

Zwyczajowo zmienne przedstawione w formie szeregu czasowego są zapisywane z indeksem t:

Dane przekrojowe - informacje liczbowe przedstawiające stan badanego zjawiska w ustalonym momencie (okresie), ale odnoszą się do różnych obiektów.

Zapisuje się je z indeksem i:

ty

iyix

Dane panelowe – informacje liczbowe dla wielu obiektów, z których każdy jest obserwowany w co najmniej dwóch okresach.

tix , tiy ,

MODELE EKONOMETRYCZNE OPARTE NA RÓŻNYCH DANYCH STATYSTYCZNYCH – PRZYKŁADY

DANE STATYSTYCZNE W MODELU

KLASYFIKACJA MODELI EKONOMETRYCZNYCH

I. Klasyfikacja według wnoszonej informacji: modele przyczynowo-skutkowe

),...,,( 21 kxxxfy y — skutek Xi — przyczyny

Modele te budujemy z danych przekrojowych (różne obiekty w tym samym momencie)

• modele tendencji rozwojowej )(tfy y — analizowane zjawisko t — czas

Modele te budujemy z szeregów czasowych (ten sam obiekt w różnych momentach)

II. Klasyfikacja według stopnia uwzględniania czasu: modele statyczne (na podstawie danych przekrojowych)

modele dynamiczne (na podstawie szeregów czasowych, danych panelowych)

III. Klasyfikacja według liniowości:

• modele liniowe

• modele nieliniowe (konieczna transformacja liniowa)

n ..., 2, 1,i ...22110 ikki xxxy

21

210 xxyi

ETAPY BUDOWY MODELU EKONOMETRYCZNEGO

1. Sformułowanie problemu

a. wybór zmiennych: y, x1, x2,...

b. wybór postaci matematycznej modelu: liniowa, potęgowa,...

2. Zebranie danych statystycznych (różne źródła)

3. Estymacja parametrów modelu:

a. parametrów strukturalnych: a0, a1, a2,...

b. parametrów stochastycznych: s(ai), s(y), R2, R

4. Weryfikacja modelu (przy użyciu hipotez i testów statystycznych)

MODEL BEZ WERYFIKACJI NIE MA ŻADNEJ WARTOŚCI

6. Interpretacja modelu

• wyciągnięcie wniosków dla celów zarządzania (przedsiębiorstwem, gospodarką), stymulowania procesami gospodarczymi (konsumpcji dóbr, itp.), produkcyjnymi (tempo wydobycia ropy/gazu).

ZAŁOŻENIA STANDARDOWEGO MODELU REGRESJI LINIOWEJ

Zmienna objaśniana – y - jest zmienną losową; rozkład tej zmiennej opisuje zbiór wartości, które może ona przyjmować (w danym momencie obserwujemy tylko jedną wartość). Założenie nie dotyczy tej konkretnej wartości lecz procesu generującego tę wartość.

Wartość oczekiwana rozkładu zmiennej y dla obserwacji „i”:

Wariancja yi przy danych x1i, x2i jest stała:

Wariancja mierzy stopień wpływu na zmienną y czynników innych niż x1 i x2 (zmienne pominięte); stałość wariancji implikuje, że dyspersja łącznego wpływu zmiennych pominiętych nie zmienia się w czasie.

Składnik losowy równania

parametry nieznane - ,

n ..., 1,i ),/(

2 1,0

2211021

iiiiii xxxxyE

parametr nieznany -

)x,x/yvar(

2

2

i2i1i

Każdy składnik losowy ma (przy ustalonych x1i, x2i) wartość oczekiwaną równą zero i wariancję .

2

i

)x,x/y(Ey i2i1iii

PODSTAWOWE POJĘCIA I TERMINY

KORELACJA — fakt powiązania, współzależności, związku zmiennych ze sobą

WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI — liczba określająca siłę i kierunek tego związku

• współczynnik korelacji liniowej dwu zmiennych: r lub rxy

10

11

r

r

Współczynnik r niesie dwie informacje poprzez swój znak i moduł

yyxx

xy

SS

Sr

• współczynnik korelacji liniowej wielu zmiennych (korelacji wielokrotnej lub wielorakiej): R 10 R

2i

iyy yyS

2 i

ixx xxS

yyxxS ii

ixy

KOWARIANCJA

Dla dużej próby n≥30

n

1i

n

1iii

ii yxn

yx

)yy)(xx(n

1)y,xcov(

Dla małej próby n<30

n

1i

n

1iii

ii yx1n

yx

)yy)(xx(1n

1)y,xcov(

Znak kowariancji informuje o charakterze współzmienności (dodatni – kierunki zmian zgodne, ujemny – przeciwne kierunki zmian). Wartość kowariancji w jednostkach, w jakich są zmienne – dlatego ta miara nie może być wykorzystana do porównań (jak współczynnik korelacji)

)y(s)x(s

)y,xcov(rxy

n

1i

2i yy

1n

1s(y)

n

1i

2i xx

1n

1s(x)

statystyczna metoda modelowania związków między zmiennymi; opisuje ją funkcja odzwierciedlająca powiązanie zmiennych (czynników)

Model ekonometryczny ─ za pomocą równania przedstawia zależność występującą pomiędzy

zmiennymi.

a0 — wyraz wolny (stała), współrzędna punktu przecięcia z osią Y

a1 — współczynnik regresji, tangens kąta nachylenia prostej yi

xi

a0

WSPÓŁCZYNNIK REGRESJI — liczba stojąca przy każdej zmiennej xi, określająca jej wpływ na zmienną yi

— składnik losowy N(0, 2)

ii10i xaay

REGRESJA

Metody estymacji równania regresji • metoda najmniejszych kwadratów (MNK) • podwójna MNK

• regresje specjalne: grzbietowa (ridge regression), odporna (robust) itd. • metoda największej wiarygodności

METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW MNK

Estymator wyznaczony MNK jest estymatorem zgodnym, nieobciążonym i najefektywniejszym.

nieobciążony ─ wartość oczekiwana estymatora jest równa szacowanemu parametrowi

zgodny ─ ciąg ocen uzyskanych za pomocą tego estymatora jest stochastycznie zbieżny do szacowanego parametru :

najefektywniejszy ─ estymator o najmniejszej wariancji

)ˆ(E

1}ˆ{P nnlim

n

ZAŁOŻENIA DLA MNK

1. Postać modelu jest liniowa względem parametrów

2. Zmienne objaśniające są wielkościami nielosowymi

3. Składnik losowy jest zmienną losową: E()=0; D2()=const

4. Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg {} jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych

5. Składnik losowy jest nieskorelowany ze zmiennymi objaśniającymi

6. Zmienne objaśniające są wolne od współliniowości.

7. k<n gdzie: k – liczba zmiennych objaśniających; n – liczność próby

MNK na przykładzie modelu dwóch zmiennych

MNK pozwala wyznaczyć współczynniki a0 i a1 prostej, która najlepiej pasuje do punktów empirycznych.

2i10ii10i )xaay(minSSExaay

ii2i1i0

ii10

yxxaxa

yxanaNiewiadome: a0, a1

n

iii minSSE)yy(

1

2

Y

iy

iy

iiyy ˆ

X ix

xaya

)xx(

)yy)(xx(

a

10

i

2i

iii

1

X

Y

x

y

ix

iy

iy

yyi

iiyy ˆ

yyiˆ

2)( yy

i = SSTO (zmienność całkowita)

2)ˆ( yy

i = SSTR (zmienność wyjaśniona)

2)ˆ(

iiyy = SSE (zmienność niewyjaśniona)

(SUMOWANIE OD „1” DO „n” )

2ii

2i

2i )yy()yy()yy(

SSTO = SSTR + SSE

i10i xaay

MIARY DOBROCI MODELU REGRESJI

Współczynnik determinacji

2i

2i2

)yy(

)yy(

SSTO

SSTRr

Współczynnik zbieżności

2i

2ii2

)yy(

)yy(

SSTO

SSE

Błąd standardowy reszt (dla modelu z jedną zmienną

objaśniającą) 2n

)yy(

2n

SSEs

2ii

STATYSTYKA MATEMATYCZNA W EKONOMETRII

Przedmiotem tego działu jest

szacowanie (estymacja) nieznanych parametrów populacji;

wyciąganie wniosków o rozkładzie i parametrach populacji generalnej na

podstawie badania próbki (hipotezy statystyczne).

Teoria estymacji zajmuje się szacowaniem parametrów populacji generalnej na podstawie próbki statystycznej.

Rodzaje estymacji

• punktowa

• przedziałowa

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

Próbka musi być pobrana w sposób losowy, tzn. każdy element populacji (tj. zbiorowości generalnej) musi mieć jednakową szansę trafienia do próbki.

Estymator jest to zmienna losowa, której realizacjami są wartości powstałe przez pobranie z populacji bardzo wielu próbek. Estymator — jak każda zmienna — ma swoją wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe. Wartość oszacowana (estimate) jest to wartość danego parametru wyznaczona na podstawie jednej, rzeczywiście pobranej próbki.

Pojęcia z teorii estymacji

• parametr populacji – liczbowa charakterystyka całej populacji

• statystyka z próby – liczbowa charakterystyka próby

• estymator (estimator) parametru populacji – statystyka z próby używana do oszacowania tego parametru. Oceną lub szacunkiem parametru jest konkretna wartość liczbowa estymatora z danej próby

• estymacja - podanie wartości oceny nieznanego parametru populacji

• nieobciążony

wartość oczekiwana estymatora jest równa szacowanemu parametrowi

• zgodny (PWL)

prawdopodobieństwo, że jego wartość jest bliska wartości szacowanego parametru, wzrasta wraz ze wzrostem liczebności

• najefektywniejszy estymator o najmniejszej wariancji

Cechy dobrego estymatora

)ˆ(E

Nazwa parametru

Symbol dla populacji

Symbol dla próbki

Wartość średnia Odchylenie standardowe Wariancja Współczynnik regresji

2

x

s s

2

a

CO MOŻE BYĆ PARAMETREM POPULACJI?

Liczba stopni swobody

Jest to liczba określająca ile danych ze zbioru można zmienić bez zagrożenia zmianą wyznaczanego parametru (statystyki).

przy obliczaniu średniej ogólnie

x

1 n kn

ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA PARAMETRU POPULACJI

Przedział ufności jest to przedział, w którym z prawdopodobieństwem 1— znajduje się nieznana wartość parametru populacji

Poziom ufności (1—) jest to prawdopodobieństwo, że nieznana wartość parametru znajduje się w przedziale ufności.

Poziom istotności () jest to prawdopodobieństwo, że nieznana wartość parametru nie znajduje się wewnątrz przedziału ufności.

inne nazwy: margines błędu, poziom krytyczny

Wybór wartości poziomu istotności zależy od badacza, natury problemu i od tego, jak dokładnie chce on weryfikować swoje przypuszczenia o parametrach np. modelu a0 i a1 (weryfikacja hipotez). Najczęściej przyjmuje się α=0,05 (rzadziej 0,1, 0,03, 0,01 lub 0,001).

ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA na przykładzie WARTOŚCI ŚREDNIEJ POPULACJI

Celem jest ustalenie — ile wynosi nieznana wartość :

• estymacja punktowa: = x

• estymacja przedziałowa:

1)n

szx

n

szx(P

22

1)n

stx

n

stx(P

1n,2

1n,2

Dla n>30

Dla n<30

Kwantyle rzędu /2 rozkładu t-Studenta i rozkładu normalnego

• rozkład Studenta jest bardziej płaski, ma dłuższe ogony

• rozkład Studenta jest określony tylko jednym parametrem (liczba stopni swobody)

0,397 0,391 0,388 0,38 0,375 0,36 0,34 0,31 0,275 0,242

0

rozkład normalny z

rozkład Studenta t

=8

z/2 t/2()

Rozkład normalny standaryzowany, z Rozkład Studenta, t

Parametry rozkładu , Średnia 0 0 Wariancja 1 /2

• tablica rozkładu Studenta pokazuje kwantyle rzędu dla danego (wartości t odpowiadające założonemu poziomowi istotności dla danej liczby stopni swobody)

PRZEDZIAŁY UFNOŚCI DLA PARAMETRÓW MODELU REGRESJI

1)a(sta)a(sta(P 12n;2/1112n;2/1

Interpretacja przedziału ufności jest następująca: Z prawdopodobieństwem 1 rzeczywista wartość parametru a1 jest liczbą z przedziału.

Innymi słowy, z prawdopodobieństwem wyznaczony przedział nie pokrywa rzeczywistej wartości parametru (może to wynikać z niewłaściwie dobranej próby statystycznej, na podstawie której szacowano parametr a1).

a1 oszacowana wartości współczynnika regresji

s(a1) błąd oszacowania współczynnika regresji

WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

Hipoteza statystyczna to każde przypuszczenie dotyczące populacji generalnej wysnute na podstawie próbki statystycznej: Ponieważ przy posługiwaniu się próbką nigdy nie ma pewności, stawia się dwie wykluczające się hipotezy:

• hipotezę zerową H0

• hipotezę alternatywną H1 (Ha) Weryfikacja: • polega na sprawdzeniu, która z nich jest prawdziwa, a która fałszywa • posługujemy się testami statystycznymi (z, t, 2, F i inne)

Kolejność czynności przy weryfikacji hipotez:

1. Sformułowanie H0 i H1 (H0: =4,0 H1: 4,0; lub >4,0; lub <4,0) 2. Przyjęcie poziomu błędu I rodzaju ( = 0,05) 3. Dobranie testu weryfikującego (statystyki, sprawdzianu hipotezy Zn) w zależności od rodzaju hipotezy 4. Ustalenie obszaru krytycznego testu (odczytanie wartości krytycznej statystyki weryfikującej z tablic dla przyjętego poziomu : ztabl, zkr, z) 5. Obliczenie wartości statystyki na podstawie próbki (zobl) 6. Porównanie dwu statystyk i podjęcie decyzji o przyjęciu lub odrzuceniu hipotezy H0

7. Interpretacja podjętej decyzji

dotyczą parametrów populacji generalnej, które oznaczymy ogólnym symbolem hipoteza zerowa polega na przyjęciu, że nieznane jest równe 0

weryfikacja prawdziwości tej hipotezy polega na sprawdzeniu, czy wartość 0 znajduje się w przedziale ufności parametru

Trzy sytuacje przy weryfikacji hipotez

0100:: HH1.

2.

3.

0100:: HH

0100:: HH

HIPOTEZY PARAMETRYCZNE

0100:: HHDla przypadku:

/2 /2

—z/2 z/2

1

Przedział przyjęcia H0: —z/2<zobl< z/2

Przedziały odrzucenia H0:

zobl< — z/2 oraz zobl> z/2 czyli |zobl|> z/2

Dla n>30 — stosujemy statystykę z [o rozkładzie normalnym N(0;1)]

Pobieramy próbkę i liczymy

H0: = 0

H1: 0

Reguła decyzyjna

Odrzucamy H0, jeżeli

|tobl|>t/2, =n-1

HIPOTEZY PARAMETRYCZNE na podstawie ŚREDNIEJ DLA POPULACJI

n

s

xz 0

obl

Dla n<30 — stosujemy statystykę t [o rozkładzie Studenta]

Pobieramy próbkę i liczymy

n

s

xt 0obl

Reguła decyzyjna

Odrzucamy H0, jeżeli

|zobl|>z/2

Przykład. W celu sprawdzenia, czy nowy lek jest lepszy od dotychczasowego, zbadano jego skuteczność na 6 chorych, mierząc współczynnik odbudowy czerwonych ciałek krwi: 6,3; 7,8; 8,1; 8,3; 8,7 i 9,4. Lek używany dotychczas daje wartość współczynnika na poziomie 8,3. Sprawdź hipotezę przy poziomie istotności 0,01.

---------------------------------------------------------------------------------- Standard T Parameter Estimate Error Value ---------------------------------------------------------------------------------- Wyraz wolny 46.49 9.8846 4.7029 Wspł. regresji 52.57 10.2609 5.1231 ---------------------------------------------------------------------------------- = 46,49 + 52,57xi + r=0,88 9,88 10,26 6,84

iy

Hipotezy: H0: 1 = 0 H1: 1 0

Statystyka t: t0,025; (10-2)= 2,306 tobl.= 5,12

Miesiąc Wydatki na

reklamę (X) (mln zł)

Wartość sprzedaży (Y)

(mln zł)

1. 1,2 101

2. 0,8 92

3. 1,0 110

4. 1,3 120

5. 0,7 90

6. 0,8 82

7. 1,0 93

8. 0,6 75

9. 0,9 91

10. 1,1 105

Wpływ wydatków na reklamę a wielkość sprzedaży

Przykład

Porównanie dwóch wariancji

Pobieramy 2 próbki: s21 i s

22

Statystyka Fishera, dana dwoma parametrami: 1, 2

Rozkład F dla

F

f(F)

W ekonometrii będzie nam jeszcze potrzebna statystyka Fishera (rozkład Fishera-Snedecora).

PORÓWNANIE DWÓCH WARIANCJI, test Fishera

Zawsze prawostronny obszar krytyczny testu

H0: 21= 2

2

H1: 21

22

Reguła decyzyjna

Odrzucamy H0, jeżeli...

Fobl>F/2(1, 2)

Próbki: n1 n2

s1 s2

22

21

s

sFobl

TEST FISHERA

F

f(F)

/2 lub

0 F/2 lub F

Gdy s21 > s2

2 1= n1-1 2= n2-1

Gdy s21 < s2

2 1= n2-1 2= n1-1

21

22

s

sFobl =

ANALIZA WARIANCYJNA

umożliwia badanie wpływu czynników niemierzalnych na zmienną Y (czynnikiem może być: metoda nauczania, doświadczenie pracownika, metoda sprzedaży, zależność regresyjna, itp.)

Analiza wariancji jednoczynnikowa

Badaniu podlega wariancja zmiennej Y

zwana całkowitą sumą kwadratów lub zmiennością całkowitą SSTO (Sum of Squares Total)

1n

)yy(

s

n

1i

2i

2y

a w szczególności licznik tego wzoru

n

1i

2i )yy(

SSTO Sum of Squares Total Całkowita suma kwadratów SUMY

KWADRATÓW SSTr SSE

Sum of Squares/Treatment Sum of Squares/Error

Suma kwadratów z działania czynnika Suma kwadratów z błędu

WARIANCJE MSTr MSE

Mean Square/Treatment Mean Square/Error

Średni kwadrat z czynnika Średni kwadrat z błędu

X

Y

x

y

ix

iy

iy

yyi

iiyy ˆ

yyiˆ

2)( yy

i = SSTO (zmienność całkowita)

2)ˆ( yy

i = SSTR (zmienność wyjaśniona równaniem

regresji)

2)ˆ(

iiyy

= SSE (zmienność niewyjaśniona)

2ii

2i

2i )yy(:SSE)yy(:SSTR)yy(:SSTO

SSTO = SSTR + SSE i10i xaay

2i

2ii2

2i

2i2

)yy(

)yy(

SSTO

SSE

)yy(

)yy(

SSTO

SSTRR

Analiza wariancji – model regresji

TABELKA ANOVY

F 0,05; 1; 8 = 5,32

Fobl>F(k-1, n-1) k – ilość parametrów modelu szacowanych MNK

n – liczność próby

Odrzucamy hipotezę zerową współczynnik regresji jest istotny

Przyczyna

zmienności

Suma Kwadratów

SS

(Sum of Squares)

Stopnie swobody

ν (Df)

Średnie kwadraty MS

(Mean Squares)

Statystyka F

Regresja 1226,9 k-1=1 1226,9 F0bl=26,25

Błąd 374,0 n-k=8 46,7

Razem 1600,9 n-1=9

H0: 1 = 0

H1: 1 0

ANALIZA WARIANCJI a testowanie hipotezy o istotności współczynnika regresji

Przykład