Analyse des Signaux

Échantillonnage

Analyse des Signaux

Échantillonnage

Analyse des Signaux

Échantillonnage

Conversion analogique → numérique Version analogique

Version numérique ( ) ( )sinx t t=

kTeTe -0.8372 000102Te -0.7357 001003Te 0.4759 101114Te 0.9694 11111

( ) ( )sinx t t=

Analyse des Signaux

Signal échantillonné

Conversion analogique → numérique Modélisation mathématique

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

ee T ek

e ek

x t x t t x t t kT

x kT t kT

δ δ

δ

+∞

=−∞

+∞

=−∞

= = −

= −

∑

∑

Analyse des Signaux

Représentation mathématiques

Analyse des Signaux

Spectre du signal échantillonné

Analyse des Signaux

Domaine fréquentiel

Multiplication en temps ⇒ convolution en fréquence

( ) ( ) { }( )12

f t g t F G ωπ

⇔ ∗

( ) { }( )12 ee eX X ωω ω δ ωπ

= ∗

( ) ( ) ( )e e ek

x t x kT t kTδ+∞

=−∞

= −∑

( ) ( ){ }( )

( )

21

ee

k

eke

X u u k

X kT

ω δ ω ωπ

ω ω

+∞

=−∞

+∞

=−∞

= ∗ −

= −

∑

∑

Analyse des Signaux

Échantillonnage « rapide »

Analyse des Signaux

Échantillonnage « lente »

Analyse des Signaux

Échantillonnage « insuffisante »

Analyse des Signaux

Échantillonnage « insuffisante »

repliement spectral

Analyse des Signaux

Fréquence de Nyquist

Signal limité en bande

critère de Nyquist

fréquence de Nyquist

( ) max0X Bω ω ω= ∀ > =

2e Bω =

2 2ee

BTπω = ≥

Analyse des Signaux

Théorème de l'échantillonnage

Analyse des Signaux

Théorème de l'échantillonnage

Analyse des Signaux

Théorème de l'échantillonnage

Analyse des Signaux

Théorème de l'échantillonnage

Analyse des Signaux

« Aliasing » en vidéo

Taux d’échantillonnage fixe– 30 images / seconde

Vitesse dans l’image– Contenu spectral est une fonction de « l’action »– Taux d’échantillonnage peut être inadéquat – Quand « l’action » accélère,

le recouvrement du spectre manifeste …

Analyse des Signaux

Film d’une roue …

Taux d’échantillonnage fixe Vitesse de roue qui change

lent

emen

t

Analyse des Signaux

Film d’un roue …

Taux d’échantillonnage fixe Vitesse de roue qui change

lent

emen

t

plus

vite

Analyse des Signaux

Film d’un roue …

Taux d’échantillonnage fixe Vitesse de roue qui change

lent

emen

t

plus

vite

2 éc

hant

illon

spa

r rot

atio

n

Analyse des Signaux

Film d’un roue …

Taux d’échantillonnage fixe Vitesse de roue qui change

lent

emen

t

plus

vite

2 éc

hant

illon

spa

r rot

atio

n

très

vite

elle recule !

Analyse des Signaux

Film d’un roue …

Taux d’échantillonnage fixe Vitesse de roue qui change

lent

emen

t

plus

vite

2 éc

hant

illon

spa

r rot

atio

n

1 éc

hant

illon

par r

otat

ion

très

vite

elle recule ! elle arrête !

Analyse des Signaux

« Aliasing » en vidéo

Taux d’échantillonnage fixe– 30 images / seconde

Vitesse dans l’image– Contenu spectral est une fonction de « l’action »– Taux d’échantillonnage peut être inadéquat – Quand « l’action » accélère,

le recouvrement du spectre manifeste …

http://www.youtube.com/watch?v=Y1yHMy0-4TM

Analyse des Signaux

Interprétation physique

Analyse des Signaux

La voix

Contenu spectral– 300 Hz → 3400 Hz

Radio mobile– fe =8 kHz 1.2kHz de plus que

Nyquist

Analyse des Signaux

Autres …

CD audio– L’oreille 0 Hz → 20,000 Hz– fe = 44.1kHz

Vidéo– Signal de télévision 6 MHz– Échographie 100 Hz

4kHz de plus que Nyquist

Il faut connaître notre signal pour bien choisir le taux d’échantillonnage …

Analyse des Signaux

Reconstruction idéale

Analyse des Signaux

Inverse de l’échantillonnage (?)

Conversion analogique à numérique– Pour transmission– Pour mémoire numérique

Conversion numérique à analogique– Écouter …– Voir …

analogique – numérique – analogique– Possible sans perte????

Oui, en principe, si nous respectons le critère de NyquistNon, en réalité, ça prend des composants idéales…

Analyse des Signaux

Graphiquement

analogue

numérique

analogue

filtre passe-bas idéal

Analyse des Signaux

Reconstruction idéale

Conditions– Signal limité en bande (B )– Filtre passe-bas idéal– Échantillonnage plus rapide que le critère de Nyquist

échan.x(t)filtre

passe-bas Β

( )recx txe(t)

Analyse des Signaux

Signal échantillonné

( ) ( ) ( )e e ek

x t x kT t kTδ+∞

=−∞

= −∑

( ) ( )1e e

ke

X X kT

ω ω ω+∞

=−∞

= −∑

Analyse des Signaux

Après filtrage

Filtre passe-bas idéal

Signal reconstruit – domaine fréquentiel

Signal reconstruit – domaine temporel

( ) ( )Rect 2eH T Bω ω=

( ) ( ) ( )1rec e

ke

X X k HT

ω ω ω ω+∞

=−∞

= − ⋅∑

( ) ( ) ( ) ( )rec e ek

x t x kT t kT h tδ+∞

=−∞

= − ∗∑

multiplication

convolution

( ) ( ) ( )2 Sa 2 Sa 22

e eBT BTh t t B t Bπ π

= =

Analyse des Signaux

Interpolation temporelle

Évaluation de la convolution

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Saee e e e

k k

BT Btx kT t kT h t x kT t kTδ δ

π

+∞ +∞

=−∞ =−∞

− ∗ = − ∗∑ ∑

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Sa

2 Sa

erec e e

k

e eke

BTx t x kT Bt kBT

B x kT B t kT

π

ω

+∞

=−∞

+∞

=−∞

= −

= −

∑

∑

coefficients courbes continues somme infinie

Analyse des Signaux

La reconstruction

courbes continues

coefficients

signal original

somme infinie

cont

inu

écha

ntill

onné

reco

nstr

uit

Analyse des Signaux

Graphiquement

bande passante = B

bande passante = Be

( ) ( ) ( )Sa2

ee e

kx t x kT t kTω+∞

=−∞

= − ∑

Analyse des Signaux

Résumé

échantillonnage ⇒ spectre répété éviter recouvrement ⇒

critère de Nyquist reconstruction idéale

– Signal limité en bande (B )– Filtre passe-bas idéal– Be>B (critère de Nyquist)

échan.x(t)filtre

passe-bas Β

( )recx txe(t)

Analyse des Signaux

Échantillonnage de signaux à bande étroite

Analyse des Signaux

Signal à bande étroite

Signal où

largeur de bande << fréquence centrale

Exemple: signaux avec porteuse

– Moins d’atténuation aux hautes fréquences

cωcω−

B

X b gcB ω

Analyse des Signaux

Fréquence de Nyquist

Énorme pour les signaux à bande étroite

– Taux d’information n’est pas élevé– Électronique très chère

cωcω−

X b g

2 2c Bω +

Analyse des Signaux

Solution …

Ramener le spectre en bande de base

2 1 2ω ω+2 1ωB−B− −2 1 2ω ω −2 1ω

ω1−ω 2 ω 2−ω1

B

X b g

modulation par cos(ω1t)

Analyse des Signaux

Signal en bande de base

Éliminer les hautes fréquences

Signal à échantillonner

2 1 2ω ω+2 1ωB−B− −2 1 2ω ω −2 1ω

B−B

2 2Nyquist cBω ω=

Analyse des Signaux

Envoi du signal

Comment retourner le signal à ωc?

– Processus inverse …• Moduler par cosinus

• Couper le spectre

2ω1ω2ω− 1ω−

X b g

2ω1ω2ω− 1ω−

Filtre passe-bande

Analyse des Signaux

Filtrage pratique

éviter les filtres avec coupures prononcées

B + ∆ω

ω1−ω 2 ω 2−ω1

Y ωb g

∆ω− −B ∆ω −∆ω

ω ω1 − ∆

2 2Nyquist Bω ω= + ∆

Analyse des Signaux

Reconstruction pratique

Comment et pourquoi éviter le recouvrement du spectre

Analyse des Signaux

Repliement duspectre

Signaloriginal

Signalrestitué

ω e 2−ω e 2

Repliement du spectre

Taux d’échantillonnage trop faible

Spectre modifié

Analyse des Signaux

Filtrage de garde

Couper le spectre pour respecter le taux d’échantillonnage réduit

Spectre modifié

Signaloriginal

Signal restituéaprès

échantillonnage

−ω u

filtrage degarde

ω u

Analyse des Signaux

Repliement vs. filtrage de garde

Signal original

Signal restitué

filtrage de garde

Repliement duspectre

Signaloriginal

Signalrestitué

ω e 2−ω e 2

Quel spectre modifié est meilleur ?

Analyse des Signaux

Placement des filtres …

échan.x(t)filtre

passe-bas

( )x txe(t)

échan.x(t)filtre

passe-bas

( )x tfiltreanti-

repliementxe(t)

Analyse des Signaux

Meilleur dans quel sens?

Harmoniques audio– Apparition de tonalités non supportables

Images– Subjectif – l’image la plus jolie

Impulsions carrés– Lobes secondaires réduits

L’erreur quadratique minimale

Analyse des Signaux

L’erreur quadratique

Signal analogique avant échantillonnage Signal analogique après reconstruction Erreur quadratique entre les deux

Théorème de Parseval

( )x t

( ) ( ) 2e x t x t dt

+∞

−∞

= −∫

( ) ( ) 212

e X X dω ω ωπ

+∞

−∞

= −∫

échan.x(t)filtre

passe-bas ωu

( )x tfiltre? xe(t)

( )x t

Analyse des Signaux

L’erreur quadratique (2)

Deux termes

Erreur minimisée pour

Solution: ne pas changer le contenu dans la bande passante, i.e., le filtrage anti-repliement

( ) ( ) ( ) 221 12 2

u

u u

e X d X X dω

ω ω ω

ω ω ω ω ωπ π≥ −

= + −∫ ∫

( ) ( ) 21 02

u

u

X X dω

ω

ω ω ωπ −

− =∫

1 1 12 2 2

u

u u

e d d dω

ω ω ω

ω ω ωπ π π

+∞

−∞ ≥ −

= = +∫ ∫ ∫

( ) 0X ω =

Analyse des Signaux

Les images

Version analogique – Contenu spectral aux hautes fréquences

Version numérique– Grosseur de fichier à minimiser (e.g. web)– Réduire le fichier équivalent à un échantillonnage moins serré spatialement

Vision humaine– Le recouvrement des fréquences spatiales n’est pas beau!

Analyse des Signaux

Placement des filtres …

échan.x(t) filtre"flou" ( )x txe(t)

échan.x(t)filtre

passe-bas

( )x tfiltreanti-

repliementxe(t)

Analyse des Signaux

Filtrage anti-recouvrement

http://www.helsinki.fi/~ssyreeni/articles/antial/antial

pas de filtrage

Image → A/D → → D/A

filtre anti-recouvrement

Image → Filtre → A/D → → D/A

Image → A/D → → Filtre → D/A

Flou (blur)

Analyse des Signaux

Impulsion carrée

Signal rectangulaire– Spectre infini F(ω) τ

2π/τ−2π/τ

ω0

Analyse des Signaux

-0.2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

t

Rect(t)

Sans filtreantirepliement

Avec filtreantirepliement

échan.x(t)filtre

passe-bas

( )x txe(t)

échan.x(t)filtre

passe-bas

( )x tfiltreanti-

repliementxe(t)

Analyse des Signaux

Reconstruction

échan.x(t)filtre

passe-bas

filtre xxe(t)

ADC

analogique à numérique

DAC

numérique à analogique

Analyse des Signaux

Échantillonnage non-idéal

échan.x(t)filtre

passe-bas

filtre xxe(t)

ADC

analogique à numérique

DAC

numérique à analogique

Analyse des Signaux

Échantillonnage par maintien

Échantillonnage idéal

Échantillonnage non-idéal

( ) ( ) ( )e e ek

x t x kT t kTδ+∞

=−∞

= −∑

( ) ( ) Recte ee e

k

T t kTx t x kTτ τ

+∞

=−∞

− =

∑

( ) ( ) ( ) 1 Recte e e ek

tx t T x kT t kTδτ τ

+∞

=−∞

= − ∗

∑

Analyse des Signaux

Spectre

convolution temporelle ⇒multiplication spectrale

( ) ( )

( )

Sa2

Sa2

ωτω ω ω

ωτ ω ω

+∞

=−∞

+∞

=−∞

= −

= −

∑

∑

r ek

ek

X X k

X k

( ) ( ) ( ) 1 Recte e e ek

tx t T x kT t kTδτ τ

+∞

=−∞

= − ∗

∑

X ωb g

B− B

Analyse des Signaux

Échantillonnage idéale

Autant que le taux de échantillonnage (1/Ts) est plus grand que 2*B, il n’yu a pas de repliement spectrale

Plus que le taux de échantillonnage (1/Ts) est proche de 2*B, plus que les copies du spectres sont rapprochées

Analyse des Signaux

Échantillonnage non-idéale

Plus que τ est mince, plus que sinus sur argument est large Plus que le taux de échantillonnage (1/Ts)

est proche de B, plus que les copiesdu spectres sont rapprochées Sa

2ωτ

Analyse des Signaux

τ vs. Ts

Analyse des Signaux

Exemple – Ts=1 sec, τ=1 ms

Analyse des Signaux

τ vs. Ts

Analyse des Signaux

Spectre périodisé

1 eT

ω

Xe(ω) distorsion Sa(ωτ/2)

taux d’échantillonnage

1 eT

durée d’échantillon

1 τ

( )ωrX

Analyse des Signaux

Reconstruction non-idéal

échan.x(t)filtre

passe-bas

filtre xxe(t)

ADC

analogique à numérique

DAC

numérique à analogique

Analyse des Signaux

Reconstruction non-idéal

( ) ( ) ( )e e ek

f t f kT t kTδ+∞

=−∞

= −∑

valeurs en mémoire

Analyse des Signaux

Reconstruction non-idéal

( ) ( ) ( )e e ek

f t f kT t kTδ+∞

=−∞

= −∑

choix de τ

Analyse des Signaux

Spectre périodisé

ω

Xe(ω) ( )ωrX

Analyse des Signaux

Spectre périodisé

ω

Xe(ω) filtre passe-bas pour éliminer les répétitions

( )ωrX

Analyse des Signaux

Choix de duré de la boite

Choix particulier du duré τ• τ = Te

Les zéros de l’enveloppe coincident avec les copies du spectre …– Atténuation naturelle des copies

Analyse des Signaux

Bloqueur d'ordre 0

Xe(ω)

ω

( ) ( )Sa2ωω ω ω

+∞

=−∞

= −

∑

er e

k

TX X k

( )ωrX

Analyse des Signaux

Compenser pour la distorsion introduit par Sinc Filtrage

– Sortie = entrée × filtre

– Filtre

Filtrage d’égalisation

( ) ( )Sa2r e

k

X X kωτω ω ω+∞

=−∞

= −

∑

( ) 1

Sa2

ωωτ

=

H

Analyse des Signaux

Filtrage d’égalisation

Xe(ω)

ω

( ) ( )[ ]

1 Sa 2

pour 2, 2e

e e

HT

ωω

ω ω ω

=

∈ −

Analyse des Signaux

Chaine de reconstruction

DAC

Analyse des Signaux

Reconstruction non-idéal : oversampling

échan.x(t)filtre

passe-bas

filtre xxe(t)

ADC

analogique à numérique

DAC

numérique à analogique

Analyse des Signaux

Examen Final 2002, Prob. 2

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1ωe=ωNyquist

fréquence en kHz

CD de musique– contenu limités à 20

kHz

Deux choix– ωe=ωNyquist

– ωe=8ωNyquist

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 8000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1ωe=8ωNyquist

fréquence en kHz

Quels sont les avantages de faire un DAC avec un échantillonnage huit fois plus vite que le taux de Nyquist?

Analyse des Signaux

Choix ωe=ωNyquist

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1ω

e=ωNyquist

fréquence en kHz

Distorsion importante

signal remplie la plupart du lobe primaire du sync

Copies du spectre assez fortes

Analyse des Signaux

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 8000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1ω

e=8ω

Nyquist

fréquence en kHz

Choix ωe=8ωNyquist

Très peu de distorsion

signal petit par rapport au lobe primaire du sync

Copies du spectre très atténuées

Analyse des Signaux

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 8000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1ω

e=8ω

Nyquist

fréquence en kHz

Choix ωe=8ωNyquist

Presque pas de distorsion – notre intuition qu’une échantillonnage plus vite doit aider

Les images très atténuées– pas besoin d’un filtre passe-bas

(les images sont déjà très petites) – pas besoin d’un filtre égalisateur

(pas de distorsion à corriger).