la série de fourier (sf) -...
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Analyse des Signaux
La série de Fourier (sF)
Chapitre 2
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Analyse des Signaux
Équation de synthèse
2
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Analyse des Signaux
Équation d’analyse
3
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Analyse des Signaux
Preuve
4
Supposons que l’équation de synthèse est valide.
Quelles sont les coefficients F(n)?
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Analyse des Signaux
Preuve
5
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Analyse des Signaux
Preuve
6
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Analyse des Signaux
Preuve
7
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Analyse des Signaux
Preuve
8
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Analyse des Signaux
Circulaire ? ! ?
9
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Analyse des Signaux
Particularités 1/2
10
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Analyse des Signaux
Exemple (sF d’une exponentielle, sF d’une cosinus)
11
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Analyse des Signaux
Exemple (sF d’une sinus)
12
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Analyse des Signaux
Particularités 2/2
13
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Analyse des Signaux
Série de Fourier d’une onde carrée 1/3
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Analyse des Signaux
Série de Fourier d’une onde carrée 2/3
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Analyse des Signaux
Fonction sinc
16
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Analyse des Signaux
Série de Fourier d’une onde carrée 3/3
17
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Analyse des Signaux
Synthése d’une onde carrée
18
Construction d’une onde carrée à partir d’une somme d’harmoniques
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Analyse des Signaux
Synthése d’une onde carrée
19
Construction d’une onde carrée à partir d’une somme d’harmoniques
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Analyse des Signaux
Synthése d’une onde carrée
20
Construction d’une onde carrée à partir d’une somme d’harmoniques
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Analyse des Signaux
Synthése d’une onde carrée
21
Construction d’une onde carrée à partir d’une somme d’harmoniques
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Analyse des Signaux
Spectre d’amplitude et de phase
22
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Analyse des Signaux
Exemple - MATLAB
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Analyse des Signaux
En composant un numéro de téléphone
24
1209 1336 1477697
770
852
941
signal en temps
domaine fréquentiel
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Analyse des Signaux
Propriétés de la série de Fourier
Section 2.2
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Analyse des Signaux
Propriétés de la Série de Fourier 1/2
26
symétrie hermitienne
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Analyse des Signaux
Propriétés de la Série de Fourier 1/2
27
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Analyse des Signaux
Propriétés de la Série de Fourier 1/2
28
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Analyse des Signaux
Série de Fourier réelle
29
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Analyse des Signaux
Propriétés de la Série de Fourier 1/2
30
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Analyse des Signaux
En composant un numéro de téléphone
31
1209 1336 1477697
770
852
941
signal en temps
domaine fréquentiel
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Analyse des Signaux
Propriétés de la série de Fourier
Section 2.2
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Analyse des Signaux
Propriétés de la Série de Fourier 1/2
33
symétrie hermitienne
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Analyse des Signaux
Propriétés de la Série de Fourier 1/2
34
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Analyse des Signaux
Propriétés de la Série de Fourier 1/2
35
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Analyse des Signaux
Série de Fourier réelle
36
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Analyse des Signaux
Série de Fourier réelle
37
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Analyse des Signaux
Fonctions paires et impaires
Fonction paire
Fonction impaire
( ) ( )p pf t f t− =
( ) ( )p pf t f t− = −0
0.5
1-1
0 1-1
39
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Analyse des Signaux
Fonctions paires et impaires
Fonction paire
Fonction impaire
paire × paire = paire impaire × impaire = paire paire × impaire = impaire
( ) ( )p pf t f t− =
( ) ( )p pf t f t− = −
40
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Analyse des Signaux
Propriétés de la Série de Fourier 2/2
41
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Analyse des Signaux
Exemples d’utilisation des propriétés 1/7
42
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Analyse des Signaux
Exemples d’utilisation des propriétés 2/7
43
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Analyse des Signaux
Exemples d’utilisation des propriétés 3/7
44
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Analyse des Signaux
Exemples d’utilisation des propriétés 4/7
45
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Analyse des Signaux
Exemples d’utilisation des propriétés 5/7
46
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Analyse des Signaux
Propriétés de la Série de Fourier 2/2
47
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Analyse des Signaux
Exemples
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Analyse des Signaux
2004, Minitest 1, Problème 2
49
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Analyse des Signaux
Exemple
fp(t)
t
0 2 11 1 10 1 2
tt
t
− ≤ < − − ≤ < ≤ <
( )( )
(0) 1 2(2 ) 0 0
1(2 1)
2 1
k
FF k pour k
F kk π
= = ≠ − + = +
53
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Analyse des Signaux
Exemple
fp(t)
t
0 2 11 1 10 1 2
tt
t
− ≤ < − − ≤ < ≤ <
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
F(n)
n
( )( )
(0) 1 2(2 ) 0 0
1(2 1)
2 1
k
FF k pour k
F kk π
= = ≠ − + = +
54
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Analyse des Signaux
Exemple
fp(t)
t
0 2 11 1 10 1 2
tt
t
− ≤ < − − ≤ < ≤ <
( )( )
(0) 1 2(2 ) 0 0
1(2 1)
2 1
k
FF k pour k
F kk π
= = ≠ − + = +
55
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Analyse des Signaux
Exemple
fp(t)
t
0 2 11 1 10 1 2
tt
t
− ≤ < − − ≤ < ≤ <
( )( )
(0) 1 2(2 ) 0 0
1(2 1)
2 1
k
FF k pour k
F kk π
= = ≠ − + = +
56
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Analyse des Signaux
Autres propriétés
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Analyse des Signaux
Fonctions paires et impaires
Fonction paire
Fonction impaire
( ) ( )p pf t f t− =
( ) ( )p pf t f t− = −0
0.5
1-1
0 1-1
58
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Analyse des Signaux
Fonctions paires et impaires
Fonction paire
Fonction impaire
paire × paire = paire impaire × impaire = paire paire × impaire = impaire
( ) ( )p pf t f t− =
( ) ( )p pf t f t− = −
59
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Analyse des Signaux
Fonctions paires et impaires
Fonction paire
Fonction impaire
paire × paire = paire impaire × impaire = paire paire × impaire = impaire
Partie paire
Partie impaire
( ) ( ) ( )p ev odf t f t f t= +
1( ) ( ) ( )2ev p pf t f t f t = + − 1( ) ( ) ( )2od p pf t f t f t = − −
60
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Analyse des Signaux
Fonctions paires et impaires
1( ) ( ) ( )2ev p pf t f t f t = + − 1( ) ( ) ( )2od p pf t f t f t = − −
Partie paire
Partie impaire
0
1
1-1 t
fp(t)
0
0.5
1-1t
f t f t f tev p p( ) ( ) ( )= + -1 2
0
0.5
1-1 t
f t f t f tod p p( ) ( ) ( )= - -1 2
partie paire partie impaire
61
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Analyse des Signaux
( ) ( )( ) ( )
Paire ImpaireRe Im
Arg
F n F n
F n F n
( ) ( ) ( ) réellepf t F n F n∗⇔ = −
62
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Analyse des Signaux
( ) ( )( ) ( )
Paire ImpaireRe Im
Arg
F n F n
F n F n
( ) ( )( ) ( )
Re
Imev
od
f t F n
f t j F n
⇔
⇔
( ) ( ) ( )p ev odf t f t f t= +
( ) ( ) ( ) réellepf t F n F n∗⇔ = −
63
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Analyse des Signaux
Fonctions paires et impaires
1( ) ( ) ( )2ev p pf t f t f t = + − 1( ) ( ) ( )2od p pf t f t f t = − −
Partie paire
Partie impaire
0
1
1-1 t
fp(t)
0
0.5
1-1t
f t f t f tev p p( ) ( ) ( )= + -1 2
0
0.5
1-1 t
f t f t f tod p p( ) ( ) ( )= - -1 2
partie paire partie impaire
73
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Analyse des Signaux
Fonctions paires et impaires
1( ) ( ) ( )2ev p pf t f t f t = + − Partie paire
74
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Analyse des Signaux
Fonctions paires et impaires
1( ) ( ) ( )2od p pf t f t f t = − − Partie impaire
75
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Analyse des Signaux
76
![Page 64: La série de Fourier (sF) - wcours.gel.ulaval.cawcours.gel.ulaval.ca/2016/a/GEL2001/default/4notes/chap2.pdf · Analysedes Signaux Série de Fourier d’une onde carrée 3/3 17. Analysedes](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052516/5b9977d309d3f294728bf300/html5/thumbnails/64.jpg)
Analyse des Signaux
( ) ( )( ) ( )
Paire ImpaireRe Im
Arg
F n F n
F n F n
( ) ( )( ) ( )
Re
Imev
od
f t F n
f t j F n
⇔
⇔
( ) ( ) ( )p ev odf t f t f t= +
( ) ( ) ( ) réellepf t F n F n∗⇔ = −
77
![Page 65: La série de Fourier (sF) - wcours.gel.ulaval.cawcours.gel.ulaval.ca/2016/a/GEL2001/default/4notes/chap2.pdf · Analysedes Signaux Série de Fourier d’une onde carrée 3/3 17. Analysedes](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052516/5b9977d309d3f294728bf300/html5/thumbnails/65.jpg)
Analyse des Signaux
78
![Page 66: La série de Fourier (sF) - wcours.gel.ulaval.cawcours.gel.ulaval.ca/2016/a/GEL2001/default/4notes/chap2.pdf · Analysedes Signaux Série de Fourier d’une onde carrée 3/3 17. Analysedes](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052516/5b9977d309d3f294728bf300/html5/thumbnails/66.jpg)
Analyse des Signaux
79
![Page 67: La série de Fourier (sF) - wcours.gel.ulaval.cawcours.gel.ulaval.ca/2016/a/GEL2001/default/4notes/chap2.pdf · Analysedes Signaux Série de Fourier d’une onde carrée 3/3 17. Analysedes](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052516/5b9977d309d3f294728bf300/html5/thumbnails/67.jpg)
Analyse des Signaux
80
![Page 68: La série de Fourier (sF) - wcours.gel.ulaval.cawcours.gel.ulaval.ca/2016/a/GEL2001/default/4notes/chap2.pdf · Analysedes Signaux Série de Fourier d’une onde carrée 3/3 17. Analysedes](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052516/5b9977d309d3f294728bf300/html5/thumbnails/68.jpg)
Analyse des Signaux
81
![Page 69: La série de Fourier (sF) - wcours.gel.ulaval.cawcours.gel.ulaval.ca/2016/a/GEL2001/default/4notes/chap2.pdf · Analysedes Signaux Série de Fourier d’une onde carrée 3/3 17. Analysedes](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052516/5b9977d309d3f294728bf300/html5/thumbnails/69.jpg)
Analyse des Signaux
82
![Page 70: La série de Fourier (sF) - wcours.gel.ulaval.cawcours.gel.ulaval.ca/2016/a/GEL2001/default/4notes/chap2.pdf · Analysedes Signaux Série de Fourier d’une onde carrée 3/3 17. Analysedes](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052516/5b9977d309d3f294728bf300/html5/thumbnails/70.jpg)
Analyse des Signaux
83
![Page 71: La série de Fourier (sF) - wcours.gel.ulaval.cawcours.gel.ulaval.ca/2016/a/GEL2001/default/4notes/chap2.pdf · Analysedes Signaux Série de Fourier d’une onde carrée 3/3 17. Analysedes](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052516/5b9977d309d3f294728bf300/html5/thumbnails/71.jpg)
Analyse des Signaux
84
![Page 72: La série de Fourier (sF) - wcours.gel.ulaval.cawcours.gel.ulaval.ca/2016/a/GEL2001/default/4notes/chap2.pdf · Analysedes Signaux Série de Fourier d’une onde carrée 3/3 17. Analysedes](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052516/5b9977d309d3f294728bf300/html5/thumbnails/72.jpg)
Analyse des Signaux
85
![Page 73: La série de Fourier (sF) - wcours.gel.ulaval.cawcours.gel.ulaval.ca/2016/a/GEL2001/default/4notes/chap2.pdf · Analysedes Signaux Série de Fourier d’une onde carrée 3/3 17. Analysedes](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052516/5b9977d309d3f294728bf300/html5/thumbnails/73.jpg)
Analyse des Signaux
Théorème de Parseval et le spectre de puissance
Sections 2.3 et 2.4
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Analyse des Signaux
Théorème de Parseval et puissance
87
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Analyse des Signaux
Théorème de Parseval : Preuve
88
![Page 76: La série de Fourier (sF) - wcours.gel.ulaval.cawcours.gel.ulaval.ca/2016/a/GEL2001/default/4notes/chap2.pdf · Analysedes Signaux Série de Fourier d’une onde carrée 3/3 17. Analysedes](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052516/5b9977d309d3f294728bf300/html5/thumbnails/76.jpg)
Analyse des Signaux
Théorème de Parseval : Preuve
89
![Page 77: La série de Fourier (sF) - wcours.gel.ulaval.cawcours.gel.ulaval.ca/2016/a/GEL2001/default/4notes/chap2.pdf · Analysedes Signaux Série de Fourier d’une onde carrée 3/3 17. Analysedes](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052516/5b9977d309d3f294728bf300/html5/thumbnails/77.jpg)
Analyse des Signaux
Théorème de Parseval : Preuve
90
![Page 78: La série de Fourier (sF) - wcours.gel.ulaval.cawcours.gel.ulaval.ca/2016/a/GEL2001/default/4notes/chap2.pdf · Analysedes Signaux Série de Fourier d’une onde carrée 3/3 17. Analysedes](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052516/5b9977d309d3f294728bf300/html5/thumbnails/78.jpg)
Analyse des Signaux
Théorème de Parseval : Preuve
91
![Page 79: La série de Fourier (sF) - wcours.gel.ulaval.cawcours.gel.ulaval.ca/2016/a/GEL2001/default/4notes/chap2.pdf · Analysedes Signaux Série de Fourier d’une onde carrée 3/3 17. Analysedes](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052516/5b9977d309d3f294728bf300/html5/thumbnails/79.jpg)
Analyse des Signaux
Théorème de Parseval : Preuve
92
![Page 80: La série de Fourier (sF) - wcours.gel.ulaval.cawcours.gel.ulaval.ca/2016/a/GEL2001/default/4notes/chap2.pdf · Analysedes Signaux Série de Fourier d’une onde carrée 3/3 17. Analysedes](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052516/5b9977d309d3f294728bf300/html5/thumbnails/80.jpg)
Analyse des Signaux
Théorème de Parseval : Preuve
93
![Page 81: La série de Fourier (sF) - wcours.gel.ulaval.cawcours.gel.ulaval.ca/2016/a/GEL2001/default/4notes/chap2.pdf · Analysedes Signaux Série de Fourier d’une onde carrée 3/3 17. Analysedes](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052516/5b9977d309d3f294728bf300/html5/thumbnails/81.jpg)
Analyse des Signaux
Exemple: spectre de puissance de la porte périodisée
94
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Analyse des Signaux
Exemple: spectre de puissance de la porte périodisée
-4 -3 -2 -1
0
1 2 3 4 5 -5 0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
P(n)
n
( ) ( ) 2P n F n=
95
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Analyse des Signaux
Exemple: spectre de puissance de la porte périodisée
-4 -3 -2 -1
0
1 2 3 4 5 -5 0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
P(n)
n
( )0
0
2 2
20
1
1
1
1 14 2
T
TP f t dt
T
dt
−
−
=
= =
∫
∫
( ) ( ) 2P n F n=
96
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Analyse des Signaux
Spectre de puissance
97
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Analyse des Signaux
Spectre de puissance
Pour fp(t) réelle, le spectre de puissance P(n) est pair
Le spectre de puissance est
– simplement le carré du spectre d’amplitude
– une répartition de puissance dans les harmoniques
98
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Analyse des Signaux
Exemple - MATLAB
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Analyse des Signaux
Instrument musical
En jouent une seule note (fréquence), plusieurs harmoniques sont génères Spectrogramme
– Un spectre pour un intervalle de temps– Le couleur gris indique importance de le coefficient de Fourier– Plusieurs spectres affichées – un pour chaque intervalle du temps
Différents instruments ⇒ différents coefficients
100
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Analyse des Signaux
Instrument musical Spectrogram
101durés des notes
harmoniques
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Analyse des Signaux
Exemple - MATLAB
Installation de l’app filtre_GUI
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Analyse des Signaux
Exemple - MATLAB
La musique et le voix
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Analyse des Signaux
Aspects Mathématiques
Section 2.5
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Analyse des Signaux
( ) ( ) ω∞
−∞
Φ =∑ 0jn tt F n e
105
( )Φ = ( ) ????t f t
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Analyse des Signaux
Exemple
fp(t)
t
0 2 11 1 10 1 2
tt
t
− ≤ < − − ≤ < ≤ <
( )( )
(0) 1 2(2 ) 0 0
1(2 1)
2 1
k
FF k pour k
F kk π
= = ≠ − + = +
106
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Analyse des Signaux
Convergence de la fonction porte : Reconstruction
107
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Analyse des Signaux
Reconstruction : Qu’est-ce qui se passe ?
108
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Analyse des Signaux
Fonction et distribution porte
109
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Analyse des Signaux
Conditions de convergence et théorèmes
110
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Analyse des Signaux
Conditions de convergence et théorèmes
111
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Analyse des Signaux
Théorème de Fourier
112
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Analyse des Signaux
Vitesse de convergence 1/3
113
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Analyse des Signaux
Vitesse de convergence 2/3
114
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Analyse des Signaux
Vitesse de convergence 3/3
115
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Analyse des Signaux
Continuité des dérivés
Domaine fréquentiel Domaine temporel Vitesse
fp(t) pas continue 1/n
fp (t) continue
fp’ (t) pas continue1/n2
fp (t), fp’ (t) continue
fp"(t) pas continue1/n3
( ) ( )< < et K KA n B nn n
( ) ( )< <2 2 et K KA n B nn n
( ) ( )< <3 3
et K KA n B nn n
116
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Analyse des Signaux
Mini-Tests
2012
2011
117
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Analyse des Signaux
Mini-test1 2014
118
f(t) comme somme des exponentielles complexes ?
f(t) comme somme des fonctions trigonométriques ?
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Analyse des Signaux
Mini-test1 2014
119
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Analyse des Signaux
Mini-test1 2014
120
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Analyse des Signaux
Mini-test1 2014
121
![Page 109: La série de Fourier (sF) - wcours.gel.ulaval.cawcours.gel.ulaval.ca/2016/a/GEL2001/default/4notes/chap2.pdf · Analysedes Signaux Série de Fourier d’une onde carrée 3/3 17. Analysedes](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052516/5b9977d309d3f294728bf300/html5/thumbnails/109.jpg)
Analyse des Signaux
Mini-test1 2014
122
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Analyse des Signaux
Mini-test1 2014
123
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Analyse des Signaux
Mini-test1 2014
124
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Analyse des Signaux
Mini-test1 2014
125
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Analyse des Signaux
Mini-test 2015
126
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Analyse des Signaux
Mini-test 2015
127
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Analyse des Signaux
Mini-test 2015
128
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Analyse des Signaux
Mini-test 2015
129
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Analyse des Signaux
Mini-test 2015
130
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-0.2
0
0.2
n
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
n
A(n)
B(n)
réel
imag
inai
re
1/n
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Analyse des Signaux
Mini-test 2015
131
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-2
-1
0
1
2
n
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
n
A(n)
B(n)
réel
imag
inai
re
1/n2
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Analyse des Signaux
Mini-test 2015
132
π/2−π/2 3π/2
−3π/2
1
-1
fp(t)
( )
( ) ( )
π ππ π
π
− < <= − > >
= +
sin 2 20 2 , 2
2
p
p p
t tf t
t t
f t f t