durham research online - core · np-completeness.’, in graph-theoretic concepts in computer...

14
Durham Research Online Deposited in DRO: 25 August 2009 Version of attached file: Accepted Version Peer-review status of attached file: Peer-reviewed Citation for published item: Puricella, A. and Stewart, I. A. (2001) ’A generic greedy algorithm, partially-ordered graphs and NP-completeness.’, in Graph-theoretic concepts in computer science : 27th International Workshop, WG 2001, 14-16 June 2001, Boltenhagen, Germany ; proceedings. Berlin: Springer-Verlag, pp. 306-316. Lecture notes in computer science., 2204 Further information on publisher’s website: http://dx.doi.org/10.1007/3-540-45477-2 2 8 Publisher’s copyright statement: The original publication is available at www.springerlink.com Additional information: Use policy The full-text may be used and/or reproduced, and given to third parties in any format or medium, without prior permission or charge, for personal research or study, educational, or not-for-profit purposes provided that: a full bibliographic reference is made to the original source a link is made to the metadata record in DRO the full-text is not changed in any way The full-text must not be sold in any format or medium without the formal permission of the copyright holders. Please consult the full DRO policy for further details. Durham University Library, Stockton Road, Durham DH1 3LY, United Kingdom Tel : +44 (0)191 334 3042 — Fax : +44 (0)191 334 2971 http://dro.dur.ac.uk

Upload: others

Post on 23-Sep-2020

2 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Durham Research Online - CORE · NP-completeness.’, in Graph-theoretic concepts in computer science : 27th International Workshop, WG 2001, 14-16 June 2001, Boltenhagen, Germany

Durham Research Online

Deposited in DRO:

25 August 2009

Version of attached file:

Accepted Version

Peer-review status of attached file:

Peer-reviewed

Citation for published item:

Puricella, A. and Stewart, I. A. (2001) ’A generic greedy algorithm, partially-ordered graphs andNP-completeness.’, in Graph-theoretic concepts in computer science : 27th International Workshop, WG 2001,14-16 June 2001, Boltenhagen, Germany ; proceedings. Berlin: Springer-Verlag, pp. 306-316. Lecture notes incomputer science., 2204

Further information on publisher’s website:

http://dx.doi.org/10.1007/3-540-45477-228

Publisher’s copyright statement:

The original publication is available at www.springerlink.com

Additional information:

Use policy

The full-text may be used and/or reproduced, and given to third parties in any format or medium, without prior permission or charge, forpersonal research or study, educational, or not-for-profit purposes provided that:

• a full bibliographic reference is made to the original source

• a link is made to the metadata record in DRO

• the full-text is not changed in any way

The full-text must not be sold in any format or medium without the formal permission of the copyright holders.

Please consult the full DRO policy for further details.

Durham University Library, Stockton Road, Durham DH1 3LY, United KingdomTel : +44 (0)191 334 3042 — Fax : +44 (0)191 334 2971

http://dro.dur.ac.uk

Page 2: Durham Research Online - CORE · NP-completeness.’, in Graph-theoretic concepts in computer science : 27th International Workshop, WG 2001, 14-16 June 2001, Boltenhagen, Germany

Durham Research Online

Deposited in DRO: 25 August 2009

Peer-review status: Peer-reviewed

Publication status of attached file: Accepted for publication

Citation for published item: Puricella, A. and Stewart, I. A. (2001) 'A generic greedy algorithm, partially-ordered graphs and NP-completeness.', in Graph-theoretic concepts in computer science. Berlin: Springer-Verlag, pp. 306-316. Lecture notes in computer science. (2204).

Further information on publisher’s website: http://dx.doi.org/10.1007/3-540-45477-2_28

Publisher’s statement: The original publication is available at www.springerlink.com

Use policy The full-text may be used and/or reproduced, and given to third parties in any format or medium, without prior permission or charge, for personal research or study, educational, or not-for-profit purposes provided that :

a full bibliographic reference is made to the original source a link is made to the metadata record in DRO the full-text is not changed in any way

The full-text must not be sold in any format or medium without the formal permission of the copyright holders. Please consult the full DRO policy for further details.

Durham University Library, Stockton Road, Durham DH1 3LY, United Kingdom Tel : +44 (0)191 334 2975 | Fax : +44 (0)191 334 2971

http://dro.dur.ac.uk

Page 3: Durham Research Online - CORE · NP-completeness.’, in Graph-theoretic concepts in computer science : 27th International Workshop, WG 2001, 14-16 June 2001, Boltenhagen, Germany

� ������� ����� ����� ��� �� �����������

����� �� ��������� ������

������� ������� �� ���� �� �������

�������� �� ��������� �� ������� ����

��������� �� ������ ����� �� !"#� ��$�

��������

��� � �� ��� �� �� ������ ����� ������ �� ���������� � ��������� �������� �� �������

������� ���� ��� �������� �� � ����� � ��� ��� ��������� � ����� � ����� ��� ������ �

������ ����� �� ����� �� ���� ������ ���� �� � �� ������ �� ������� � ��������� �

����� ����� ����� �� ��� ������ ���� � ����� ���� ��� ���� �� �� ������ �������

� ������������ � ���� ����� �������� �� � ���������� �� ���� ������� �� ��� �� �����

����� ������ �������� � ������� ����� �� ������� ����

� ���� ����

������ �� ��� � ���� �� ���� � �� �������� �� � �������������� ���� �������������� �� � ��� � ����� �� � ���� ������� ������ ������� ��� �� � ������������� � ����� � ������������ � � ������ �� ��� �� �� ������ � � � �� � �� ��� ����� �� � ������ � �� � ��� � ������� �� ����� ��� � �� ����������� �� �� ������� ������� �� ����� ������ � � ���� ��� ! ���� �� �� ����������� �� �� �� � �������������� ���� ������� ������� ���������� �� �� ��� � ��� � ����� ��� � � � ��� �� �� ��������� "�� ���� ������#� � ���� �� ��� �� ������� $ ����� ������������� � ����� � ������������ � � ������ �� ��� �� ���� �� �� �� �� ���� �� ������ ������� � �������� �� ����� � � �� � �� ��� ���� ����� ����������� �� �� ������ ���� � ���� ��� ���% ��� ����� � �� ���� �� &���� ��� '������(� ) ��� ��� *����%�%�� �+� ,������ � & ��� "�%����� �- ��� *����%�%�� �.�� ��� � ��� �� �� � ���� ���� �� �� �� /����� �� ���� ���% �� �� � ���� ��) ��� ��� *����%�%�� �+ ���� �� ���� � �� ������ �� ������� ���� � �� ��� �� ���� �� � � � � � ���� � ���� �� ���� �� ���� ������� � � �� � ������������� � ����� � ������������ � � ������ �� ��� � �� �������

��� �������� ������ � ��� ���� � �� ����� �� ��������� �� � �� ������������� �������

�� ��������������� ������� �� �������� ������� �������� ������ ���� �� ������� ��������

(

Page 4: Durham Research Online - CORE · NP-completeness.’, in Graph-theoretic concepts in computer science : 27th International Workshop, WG 2001, 14-16 June 2001, Boltenhagen, Germany

0� ����� � � ����� ��������� �� ������#� ���% �� ���� �� � ���� � �� ��� ������ ��� ���� ��� � � 1� ���� � �� ����� � �� ������#� � ������ � � ���� �� �� � ����� �� �� �� ���� � ������ � �������� � �������������� ���� ������� ��������� �� ��� � ������ �� � �� � �������� ������ ������� ��� ��� � ������������� � ����� � ������������ � � ������ �� ��� �� �� � ���� ��� �� ����� ��� 2�� � ���� ��� 3��� �� ��� �� ��� ���� �� �� �� � ���� � ��� � � ��� ' �� � ��� ���� � ���� � ���� � ������ � ���� � ���� ����� �� � �������������� ���� ��������������� ��� ��� 3��� �� "�� ���� �� � ��� ��� ��� �� ��� ����� �������� �� �� ���� �� � � ���� � ����� ���� ��� ���� � ��������� ��� �� ���� � �� ������� �� ��� ����� ��� ��� ���� �� ����� � ��� ������� �� � �� ���� �� ���� ���� ��� ��4 �� ��� � ����� ����� � ���%��� ������ � 1� ��� � �� ���% ������ ��� ����� ���� � �� ��� �� ��� ������ � � � �� ��� ���� ����� �� ��� �� ���� ����� �� �� ���� �� � ������ ��� �� ����� �� ������� ������� ���� � ����� � �� ��������� �� �������� � ��� � � �� �� ��� �� �� ��� �� ��� ����� 5�������� ���� �� ������#� � � ��������� �� ������ � ����� � ��������� ������������� �� ����������� ����� � ��� � �������������� ���� ������� ��������

0�� ���� � ���� �� ���� �� ���� � �� � ������ �� �� � � � ������������������ ������� ������� �� � ��� � �������� ��� � � ����� �� � ���� ������������� ������� ��� �� � ������������� � ����� � ������������ � � ������ �� ����� �������� ��� � ��� � � �� � �� ������� � � � � �� � �� ��� � ���� ��� ������ � �� � ����� ������� ��� � �� ����������� �� ���� ����� �� ������ , �� ������� � ����2� � �� ������ �������� ��� ����� �� ��������� �� ���� � ����� ������������� �� � �� ��6 � ��

1� �� ��� �� ��� ������� �� �� ��� � ����� �� ������#� � ���� ��� ������ � � ����� ���� �� ��� �� ��������� � ���� ��� ������� � � �� ��� ���� ������ ��� ������ ������ ��� �� ��� ����� ���� �� � ��� ���� � ���� ���� ������ ��� ��� ����� � � �� ���% �� 7���� ������ �#� 8���� ���� � �� ������� � � �� � ����� �����(� +� -� . ��� ��� � �������� � �� ��� ���� ���% 8�� ���� � �� � ���� �� ) ������ *����%�%�� �+� � ����� � ���� � �� ���� �� � ���� ��4 � �� ������� ������������������ � � ���� �� ��� ��� �� ���� �� ��� ��� � �� ��� ���� ��

� ����� ��������

8�� �������� ������� �� ��� � ��������� �� � �� � �� � � �� � �� �9 & �� ���� �� ����� �� �������� �� �� � � � � ��� � ���� ���� �� �� ��� �� �� � � ���� �� ��� � �� � ��� ��� ����� �� �� � �� � ��� ����� � ���� ��������� ������� � �� � � �� � �� ����� � �������� & �� ��� � �� ���� � ������ ��� �� ������ �� ����� �� �� � �� ������ �� ���� ����� ���� ���� ����� ���������� � ��� ��� ��� ������ � �� ��� ����� �� �� �����

) � � � ��� �� ��� �� ����� ) � � � � ����� � � � � � ������ ��� � ���� � ���� � �� �� ��� � � � ��� � � � ���� � �� � , ����� ���� �� ������ ��� �� �� ��� � �� �� ���� �� �� ������� ������ � ������� �� ��� ���� � � � ������

9

Page 5: Durham Research Online - CORE · NP-completeness.’, in Graph-theoretic concepts in computer science : 27th International Workshop, WG 2001, 14-16 June 2001, Boltenhagen, Germany

����� �� ������� ��� �� ��� ���� ���� ������ ����� �� �������� �� ��� � �� � , ����% �� � ������ ��� � � �� ������� � ���� ����� �� ��� �� ��� �� �� �� ����� : ��� ��� ��� � � � � ��� �� � ���� �� � ����� �� �� ��� �� ��� �� ������ � "�� ���� ������� ��� � ��� ���� �� ��� ����� ���� � �� ��� �� ��� ��

/� ��������� ;<==>*��� �� �� �������?

������������

� ����������� �

�� ��������������� ��� � �� � ���� ������������� ���

���� ���������� ��� �� � ��� �� ����� �� � ��

���������� � ����� �� ���������� �� �

�� ��������������� ��� � �� � ����� ������������� ���

��

�������� �

�� � �� � �������� ������ �� �� � � ����� ��������� �� 7��� # ��� ��� ������� �� ������� �� � ����� � �� �� � ���� � �� � �������� ����� ������ � � , ��� ���� � � �� � �� �� ������� ���� �� � ��� 7���4 �# �� � ������ ���� ��������� ;<==>*��� ��� ���� �� ���� �� � ������ ��� � ��� ��� �� ��� ���� ��� �� ���� �� �� ������� ������� ���� �� ���� ���� �� "�� ���� ��� � ��� �� ��������� ;<==>*��� �� ����� � ��������� ��� ����� � � ���� ������� � �� �� � ���� � �� ������ 1� �� �� ��� � �� � � ������ ��� ��� � �� �% � ��������������� �� � �� ��������� ;<==>*��� ����� � ������������� ����� ���� ������������� � �� � �������������� ���� ������� �������� �� �� ���� ����������� � ���� � � �� �� �� ��� �� ��� �� ���� � ������ �� ������ ��� � �

) � � � � ����� �� ����� ��� � � � � ��� �� ��� �� ����� /� ���� �;<==>*������� ��� �� �� �� ���? �� ��� ������� � ��� � ����� �� ��� �� � � �� ����� ���� �� � �� � ������ ��� � �� �� � ���� � �� � ��� � ��� � �� � ���� � �� �$��� �� ��� � ��������� � ���� ������� � ��� ����� �� � ����� �� � ������ �� �� ��������� ;<==>*��� �� ���� ����� �� � ������� �� �� � �� � � � ��� ����� /� ���� � ;<==>*���� �� ��� �� �� �� �� � �� � ��������� ������#� � ���� ������ ��� � ���� � �� �������

������� �� � �� � �������������� ������� ������ ���� �������� ������� ��

�� ����� �� ������ �� ����� � �� �� ����� �� ��� ������� �� ����� �� ������ �������� �� ����� �� ������� ������� ���� �� ������� ����� ������� ����� �� �� ������������

@

Page 6: Durham Research Online - CORE · NP-completeness.’, in Graph-theoretic concepts in computer science : 27th International Workshop, WG 2001, 14-16 June 2001, Boltenhagen, Germany

� � � ��� ���

1� ��� � �� ��� ��� ���� � ����� � � � �� ���� �������� � ���� � � �� � ������� �� � ���� ���� � ;<==>*������� ��� �� ����� ������� � ��� �� �� � ���� ���� �% ��� �� ���� �� �� ��� ������������

������� ��� ������� ����� ������� ����� ������ �������� ����������� �� �����������

����� , � ��� ���� �� %���� ������� � ���� � >�� �� � '����������A��� �>'A�? ���� ������� � �� ���� � ��� �� ��� �� � � �� � ������ ��� � ��� ��� � ���� � �� �$ ��� ���� � ��������� � �� ������� � ��� ����� �� � �� � '����������� ��� �� � ���� � �� � �� �@�

) � �� : ������ �� �� � �� ������� �� >'A �� ��4 � , � � � � ����� ������ � 9� ���� �� � �� � � � �� � �� �(� 9� � � � � �� ��� ���� � : ( ��� � : � B���� ������� �� ���� ������� � � ����� �� ������� ���� � �� ��� ��� �� ;<==>*���������� �� ����� ������� � ��� �� �� � �� /� � �� � � � � � �� �� ��� � � ��

������ ���� ����� �� ? �� � : 9� @� � � � � �� (� � ��� ��� ����

/� �� � �� �� ��

������� ����� ������ ����� ? �� � : 9� @� � � � � �� (�

�������� ������� ? � : 9� @� � � � � �� 9$ � : 9� @� � � � � �� (�

���������� ��� ? � : 9� @� � � � � �� (�

������ ��������� ? � : 9� @� � � � � �� 9�

�������� ����

��� �� �� � �� � � ��

������ ������� ? � : 9� @� � � � � �� 9$ �� � � : 9� @� � � � � �� ($ ��� � �� ��

������ ���� ? � : 9� @� � � � � �� ($ �(� �� ��

��������� �� ? � : 9� @� � � � � �� ($ ��� �� ��

����� ������

�������� ����� ? � : 9� @� � � � � �� 9$ � : 9� @� � � � � �� (�

�������� ������� ? � : 9� @� � � � � �� 9$ � : 9� @� � � � � �� (�

���������� ������ ? � : 9� @� � � � � �� 9�

������������ ��������

���������� ��� ? � : 9� @� � � � � �� (�

������ ��������� ? � : 9� @� � � � � �� 9�

�������� ����

/� ������������ �� �� ������� ���� � �� ��� ��� �� ��������� � �� 8��� (� 9��� @ ����� � ���? � ������ �$ �� � ������� ���� ��$ ��� �� � ������� ������� ��� � � �� � � ���� ��

C

Page 7: Durham Research Online - CORE · NP-completeness.’, in Graph-theoretic concepts in computer science : 27th International Workshop, WG 2001, 14-16 June 2001, Boltenhagen, Germany

12

3

4

5

6

8���� ( & ������ �

v2, 2

v3, 2

v4, 2

v5, 2

w2, 2

u2, 2

w3, 2

u3, 2

w4, 2

u4, 2

u5, 2

v2, 4

v3, 4

v4, 4

v5, 4

w2, 4

u2, 4

w3, 4

u3, 4

w4, 4

u4, 4

u5, 4

v2, 3

v3, 3

v4, 3

v5, 3

w2, 3

u2, 3

w3, 3

u3, 3

w4, 3

u4, 3

u5, 3

v2, 5

v3, 5

v4, 5

v5, 5

w2, 5

u2, 5

w3, 5

u3, 5

w4, 5

u4, 5

u5, 5

w5, 3w5, 4 w5, 5w5, 2 z2 z3 z4

z5

t

x

s

8���� 9 /� ���� �� ���� ������� �� �

v2, 2v3, 2 v4, 2

v5, 2

w2, 2 u2, 2w3, 2 u3, 2

w4, 2 u4, 2

u5, 2

v2, 4 v3, 4v4, 4 v5, 4

w2, 4 u2, 4w3, 4u3, 4

w4, 4 u4, 4

u5, 4

v2, 3 v3, 3 v4, 3 v5, 3

w2, 3 u2, 3w3, 3 u3, 3

w4, 3 u4, 3

u5, 3

v2, 5 v3, 5 v4, 5 v5, 5

w2, 5u2, 5w3, 5 u3, 5w4, 5 u4, 5

u5, 5

w5, 3

w5, 4

w5, 5

w5, 2

z2

z3

z4

z5

t

x

s ’

8���� @ /� ������ ��� � � � ���� ������� �� �

+

Page 8: Durham Research Online - CORE · NP-completeness.’, in Graph-theoretic concepts in computer science : 27th International Workshop, WG 2001, 14-16 June 2001, Boltenhagen, Germany

5��� ���� ��� �� �� �� � � ��������� �� >'A /� � �� � �� � '���������� ���� : ��� ��� ��� � � � � ����� �� : � �� � B����� � �� ��������� ��� �� � �?

��� ���� � ����� � � � � ��������� �

���� ���� ���� �� ��� � � ��� �� � �� 1� �� � ������ �� �� ��������� ;<==>*���� �� �� � �� �� ���� � �� ��� ���� ��������� ���� ��� �� � � �� ���� � ����� �� �� � ���� � �� ���� ����� ����� � � � � ��������

� �� ��� � ��� ����� ' �� ������ �� ��� ���� � �� � � �� �� � ,��� � � � �� �� 8�� 9� ���������

���� ��� � ���% ���� �� ���� ������ �� �� ��� ��� ���� � �� �� ����� ��� �� ������ ���� ��� � 9� ����� ��������� � ���� � �� �� ���� ���� ��� ������ �� � �� � ���� ������ ��� ������ ���� ��� � @�� ����� ������ ���% � ���� �� ���� ��������� ������ ���� ��� � �� (�� � ���% ����� �� ������ ��� �� �� ��� ��� ���� � 8�� � �� � : 9� @� � � � � � � (� � � �� � ���� ��� ��� �� ��� � � ����� �� �� ��������� ;<==>*���� �� �� � ��$ ���� ��� �� � �� ������ �� �� �� � ��������� � �� ������ ' �� � �� � ���% ���� �� ������� �� �� ��� ��� ���� �� �� � �� � ������ �� ����� �� �� ��������� ;<==>*���� �� �� � �� ��� �� � �� ������� �� ���� ��� ��� � : 9� @� � � � � � � ( B��� 2� ����� �� � � ���% ����� �� ������ ��� �� �� ��� ��� ���� � �� ��� �� � �� � ������ �� ����� ��� �� � �� � ���� ���� ��� ��� � : 9� @� � � � � ��( 8������� �� � �� � �� �� ����� ' �� � ���� � �� ��� ����� � � ��������� ��

B��� �� ��� ���� ���� ���� � �� ��� ��� �� � � ��������� �� ��� ������ � �� � ������ �� �� ��������� ;<==>*���� �� �� � �� ���� ����� ���� ���� /� ��� ���� � �� � � ���� �� �� � �� ��� � ��� �� � ���� � � ( �� � ���� ( �� � 5��� ���� ���� ��� �� � �� ���� ���� � � �� � � � ��� �� �� ��� ���� ��� /��� � ��� ���� � ���� � ��� ��� ���� � �� �� �� ��� �� � � ���� �� �� �� �� � � �: �� ' �� � ���� � � � �� �� 8�� 9� �� � ���� � ��� ������ �� �� ��� ������ �� �� � ��� ��� � � ����� �� �� ��������� ;<==>*���� �� �� � �� ) ��� ���� �� ��� � �� ��� ���� ������ � � ,� � � ���% ���� �� �� ��� ��� ���� � �� ������ � �� �� �� ��� � ������ �� �� ��������� ;<==>*���� �� ��� ��� �� � ���� �� ���� ��� �� �� ��� ���� � �� ����� ��� ��� �� �� ��� ���� ��� ,� � � ���% ���� �� �� ��� ��� ���� � �� ������ �� ��� ��� � �� ����� � ������ �� �� ��������� ;<==>*���� �� �� � ��� �� � ���� �� ���� �� � �� � ������ �� ��� ����� ' �� � �� � � ���% ����� �� ������ ��� �� �� ������ ���� � �� ��� � ������ �� �� ��������� ;<==>*���� �� �� � ��� �� � ���� ���� ����� � � � � ���� �� ��� ����� ��� ��� �� � �� � �� /��� �� ��� � �������������$��� �� � ��� � '���������� ��� ��� ���� ( �� � ' �� � ��� �� �� �� � � ��������� �� >'A

&� �� ������������ ���� � �� ��� ��� ���� ��� �� �� ��� �� ���� � ���� � � ������������ � �� � ���� �������

"�� � ������ � �� ���� � ;<==>*������� ��� �� ����� ������� � �� �� � � �� ��� ������������� � ����� � ������������ � � ������ �� ��� , � ��� ������� � ���� ������� �� ��� � ��������

Page 9: Durham Research Online - CORE · NP-completeness.’, in Graph-theoretic concepts in computer science : 27th International Workshop, WG 2001, 14-16 June 2001, Boltenhagen, Germany

& ������� �� � ���� �� � ���� � �� � � �� � � ���� ���� ��� � ����� ������ ������� ����� �� �� �� ���� � � ����� �� � ���� ���� �� � ��� 9 ���� �� � ����� ��� & �������� ����� � � � ������� � �� � ������� ���������� �� �� �� �� �� � ��� � ���� �� � ����� ��� ��� ��� ���� �� � �� � 3������ � ��� � � �� � �� �� ����� �� 1� � ���� �� � ���� �� � ��� ��� ��� ��������� �� � �� �� ���������

) � � : ���� ��� � � � � ��� ��� : ���� ��� � � � � ��� � ��� ��� � �� ������ ��� � �� , ��� � �� � ��� � � �������������� �� ������� , ��� ���� � �� ��� �?

� �� � ����� ��� � �(� 9� � � � ������� ��� ���� ���� �� : ��� ��� ��� � �(� 9� � � � � �� (�� ��� �� ��$ ��

� � � ��� �� : ��� ��� ��� � �(� 9� � � � � ��

/� ����!����� � �� � ���� �� � ���� � �� � �� � �� ������� 5��� ���� � �� ��� ������ �� � 1� � �� � �������� �� � ���� � ����� � ����� �� ����� ���� � ���� �� � ����� ��� �� � � �� ��� : ���� ��� � � � � ���� �� � �� �� � � � �� �� �� ���� �� �� � ���� � �� �� ����� ��� � ����� ��� , � �� � �� � �� � ���������������������� ��� �� �� ����� ����� � ���� ? � �� � �������� �� ��� ��� � � �� � �� � ��� �������� ��� ������ : ���� 1� � �� ������ �� � �� � � � �� � : ����� ��� � �� ��� � �� �

;�� � � ���� � ���� ���� �� � ����� ��� ��� ��� � � � � ��� �� ����!������ �� � �� � �� � �� ���

� ��� � � � � ��

�� �� � �� ��

� � � �� &

��� 2� �� �� �� � ��� � ��� �� ��� � �� ��� � ��

������� � �� � �� � ������� ��������� �� ��������� ��������?

��� � �� ������ ��� �� ������ ������� ������$

���� � �� �������� �� ����� ���������$

����� � �� ����"� �� ��� ��� �� �������� ����$ ��

�� � � �� �������������� �������

��� ������� ����� ������� ����� ������ �������� �� �� �����������

����� 8�� �� ����� � � � � �� �� ���� � ;<==>*������� ��� �� ����� �������� � �� �� � /� �� ��� � ��� �� ���������� ����������� �� ����� ������� ����� 1� ������� ���� ������� ��� ����� ������� ����� ��������� �� �� � ����� ��� � ���� �� ���� ����� �� ��� 2� �� � �� � ��� 2� �� � �� ��� � � � ��������������� ��� �� � �� ��������� �� ����� ���� � � ��� 2� �� �� �� ����������� ) � �� ���� ���� � ���� � $ ���� ���

�� : ����� ? � �� � ����� ������� ���� ��������� ���

) � ��� ��� � � � � �� � �� ���� �� � ����� ��� �� � ��� � � ��������� �� ���

��� � � � ��� 1� ������� ���� � ��� ��� 2� �� �� : ���� � ���� � � � � ����

-

Page 10: Durham Research Online - CORE · NP-completeness.’, in Graph-theoretic concepts in computer science : 27th International Workshop, WG 2001, 14-16 June 2001, Boltenhagen, Germany

) � � : ��� ��� � � �� ���� �� � ����� ��� �� �� � ����� �� � � �� � ���� �� ����� � � � � �� � ���� �� � ���� ���� � � � ���� > ��� �� �� �� ������� �� ������� � �� �� � ���� � �� ��� � �� � � � � � ��� !� ���� ��� ����� �� ������� ���� � �������� � �� ��� ��� �� �� � � �� � ���� �� ��� �� �� ���� ������� �� � ��� �� �� ���� ���� � ����� � � � � �� ��� �� �� � ���� ��

/� ��� �� ������� � � �� �� �� ���� � �� � � ��� ���� �� ���� �;<==>*������� ��� �� ����� ������� � ��� �� �� � ��� ������ ��� �� ����� � � ��� �� � ��� ����� ��� ��� � �� � ������� � �� /� �� � 9 /��� ������� �� ������� ����� �� �� �� � � �� �� �� ������� ���� � �� ��� ��� �� � ����� �� ������� �� ��� ��

, ���� ����� �� ������������ �� �� ���� � ���� ��� ��� � 8�� ��� ���� ��� � ���� � � �� � � � � ��� �� ��� �� ������� �� � ����� � �� �� � ���� � ��� "�� ���� �� ��� � ���� �������� �� � ��� �� �� ��� �� ���� �� �� �� � ������ � �� � � �� �� � ��� ���� ���� ��� �� �� �� �� �� ��� � ����

A��� ( 8�� ��� � �� � � �� �� � ������ � ��� �� ��� ����� �� �� �������� � ����� ���� ���� ��� � �� ���3����� B��� �� � ������� ���� D� "�� ���� �� � �� �� � �� D� �������� �� �� � ���� � �� �� ����� � ���� �� �� ������� ��� �� � �������3���� ��� � �� �� � ���� � �� �� &� ���� ���� ��� � �� ����� ��� ������� � D���������� �� � �� ��� �

A��� 9 , � ��� ��� �� ��� � �� D�� �� � � ��� �� ��� ���� �� �� � ����� ��� ����� �� �� �������� � ���� � ��� ���� � ���� ���� ��� � �� ���3����� "�� ���� ��� ����� �� � � ����� �� �� ���� �� ���� � � ��� ����� ��� �������

A��� @ , ��� ���3���� ��� � �� ��� ��� � � � � �� �� ������ ��� ����� �� �� ���� �������� �������

/� ������ ��� � � � �������� �� � ��� �� ��� � ���� ����� �� ������ ��� � �� ������ ��� � � ��� �� ��� ���� �� /� ��� �� ��� � �������� ��? ��� � ���� � �� ��

���� �� � ���� � �� ��� ��� �� ����$ ������ � �� ��� � ���� � �� �� ��� � �� ����$������ � �� ��� � ���� � �� ��� ��� � � � � �� 1� �� � ��� ���� � ��� � ��� � �� � ���� ��� ��� ��� �� ����� ��� ���� � �� �� ��� �� ��� � , ������ ��� ���� ��� ����� � ���� �� � �� ��������� �� �� ���� �� ���� � �� � �� �� ��� �� ��� � ���� � �� � � �� � > ��� �� � �� � �� �� � �� ���� � �� � �� �� ���� ��� ����� �� ��� � ��� �� � �� � �� �� � �� ��� �� � �� �� ���� ��� %���� �� � 0�������������� ��� � �������� � �� 8�� C

, ���� ��� ���� ��� � ���� �� � �� � �� �� � ����� � �� �� ���� ��� ����� �� ��������������� ��� �� ����� � �� �� ��� ������������

����� � #�� ����� � ��������� �� ��� ������ �� ��$��� ������ �� ��� � �������� ��� ������ �� ��$��� ������ �� ���� ���� � ��$��� ���� �� ���� �� ��� ��� � � � � ������"�� ��

����� /� ���� �� � ����� ��� �� � ������� �� ��� ��� � � � � �� ��� �� � ���� �� ���� �� � ����� ��� �� �� ��� � �� ��� � ���� ��� ���� B����� � �� ��� 2� �� � �� � ���� �� � ����� �� �� ��� � ��� � ���� �� ���� &�� ����� ��� �� � ��

.

Page 11: Durham Research Online - CORE · NP-completeness.’, in Graph-theoretic concepts in computer science : 27th International Workshop, WG 2001, 14-16 June 2001, Boltenhagen, Germany

�������� � �� ���� ���� E ($ ��� �� � �� �������� � �� ���� ��� ' �� � � ��� �� � ������� �� 2��� �� ��� ���� �� � ���� ��� ��� � ����� ��� �������� � �� ���� ���$��� �� � ������ � � �� ���������� �� ��

the partialorder H

the graph G the graph J1

c

d

I0

I1I

m

I*

the partial order H ’ ’

…’

s

vertices of I0

vertices of I*

vertices of , ...,J J2 k

s

t

s

t

I*

the graph G�

I*

I*

I*

I*

I*

I*

s

tI*

I*

’the graph G

I*

I*

I*

I*

I*

I*

s

tI*

I0

I0

I0I0 I0

I0 I0

I0

.

J2

Jk

..

s

t

....

.. ..

8���� C 0�� ����� ������������

����� � ��%� � ������ ���� �� ��� � ���� �� ��� ������ �� ��$��� ������ ������ � ����� ����� �� ������ �� ������ ���� � �� ��� �� ���� ������� ���� ���������� ����� ����"�� ��

����� ) � � � �� ���� �� � ����� �� �� ���������� � , � ��� ��� ���%��� ���� ��� ��� � ���� �� � ����� �� �� ��� �� ��� 2� �� �������� � ������ �� ��� 2� �� ����� E (�$ ��� �� �������� � �� ���� ���

F

Page 12: Durham Research Online - CORE · NP-completeness.’, in Graph-theoretic concepts in computer science : 27th International Workshop, WG 2001, 14-16 June 2001, Boltenhagen, Germany

5��� ���� � �� � �������� �� � /� � ���� � ��� ����� ��� ���� E (� ���� E(� � � � � ���� E ( �� � �� �� ������� ��� ��� � ����� ��� ����� �� ��� �������� � ������ ���� E ( ' �� � �� ������� ��������� �� �� �� �� ���� �� ) ��� C� �� � ���������� � �� ���� ��� !� �� � ���% ���� � �� �� �������� � �� ���� �� ��� �� ������ � � �� �� ���������� �� ��

5��� ���� � �� ��� � �������� �� � /� � �� : ��� ������ : (� ��� � : ����$� �� � �� � �� �� ���� �����E (� &�� ���� �� � ����� �� �� ��6 � �� ���� �

��� ��4 �� ���� ���� � 9� ��� �� ��� : ����� E (� ���� E (� �� �������� �� �� � ������ ��� 2� �� �� ��� ���� �� � ����� �� �� B��� 2� ����� �� �� �������� � ������ �� $ ��� ������ � � �� �� ���������� �� ��

����� � #�� ����� ! ��������� �� ��$��� ������ �� ��� ��� � � � � �� ���� ��� ����

��� �� ��$��� ������ �� �� ����� ���� ����� + ����"�� ��

����� !� �� ���� �� ) ��� +� �� ���� �� ���� ���� �� ������� ����� ���� �� �� �������� � �� ���� ��� !� � ������� �� � ��� �� �� ���� �� ) ��� C� ��������� ���� �� �� �������� � �� ���� �� ��� �� ! ������ � � �� �� ���������� �� ��

/���������� � � � � �� � ��� �� � �� �� ��� �� ���� ������� � �� � �� ��� �� ��� ��� ���� ���� �� � � �� � �� � ��� �� ���� ������� � �� � �� �� ������ �� �� ������ ��� � � � ���� ������� �� � �� �� ��� ��� �

B����� � �� ��������� ;<==>*��� �� ���� ���� � �� ��� ��� /� ������ ��� �� � �������� �� � ��� �� ��� �� ���� � ���� � �� �� ���� ������ ��� � ���� �� ��������� � � /� ������� �� �� ����� � �� �� � ���� � �� � �� �� �� �� ���� � ��) ��� C ��� ���� 2� ���� � �� � �� � �� � �� ������ ��� � �� � �� ����� ����;<==>*��� "�� ���� �� ��������� ;<==>*��� �� ���� ���� � �� ��� ��� �������� ���� �� � � �� ���%��� ���� ������ �� ��� ������ ��� �� ��� �� �� �� �� �� ��������� ;<==>*���� �� �� � �� �� ���� ����� �� �� ���� ���� ���� �� � �

5��� � �� ��� ��������� ����� ���� ����?

� �� ��������� ;<==>*���� �� �� � �� �� ���� ����� �� �� ��� ���� ���� �� � �� ��� ��� ��� ���� � �� � �� �� ��� ��� �� ��� ����� �� � � ��� ���� � $

� �� ��������� ;<==>*��� �� ���� ���� � �� ��� ��� ��� ���� �� � �� � � �� � �

��� ��� �� ��� ����� �� � � �� � ���� � � � $ ���

� �� ������� �� �� ����� � �� �� � ���� � �� � � � �� �� �� ���� �� �������� �� �� ���� ! �� ) ��� �

"�� ���� �� ��������� ����� ��� �� ���� ������ �� �� ��� ��� � �� � �� � �� �� �� �������� �

5��� ���� �� ��������� ;<==>*��� ������ �� � �� � � 1� � �� ���� ���������� � �� ��

� ���� � � � ��� �� �� �� � � ����� ��� � ��� �� � ������ ��

(G

Page 13: Durham Research Online - CORE · NP-completeness.’, in Graph-theoretic concepts in computer science : 27th International Workshop, WG 2001, 14-16 June 2001, Boltenhagen, Germany

������� �� �� ����� � �� �� � ���� � �� � � � ��� /��� ����� �� �� � �������������� � ���� ���� ������� ������ � � ��� � ��������� � �� � � ������ �� ����� ���������� ��� � ����� �� � ��� �� ������� � ' �� � �� � �� � � �� ��� 3��� � ����� � �� � �� ��� ��� �� � �� ����� �� �� ��������� ;<==>*���� �� �� � ��

B��� �� ��� �� �� ��������� ;<==>*���� �� �� � �� ������ � �� � ���� ��� ���� � ��� �� �� ��� �� �� � � �� �$ ��� ���� 2� ���� � � � ��� ����� ��� �� � ������� �� �� ���� �� � ������� �� �� ���� ! �� ) ��� � ' �� � ��) ��� �� � �� ����� �� �� ��������� ;<==>*���

!� ���������� � ������ ���� �� �� � � � �� � ���� � ����� �� �� ���������;<==>*���� �� �� � �� �� ���� ����� �� �� �� � � � �� ����� �� �� ���������� ;<==>*��� �� ���� ���� � �� ��� ���� ��� ���� �� �� ' �� � � ��� �������� � ������� ���� �� �

H��� �� ������ ��� �� ��� � ��� �������� � ��� �� � � ����� �� /� �� � @ ���� �� � ������ � �� ��� � �� �� ��� �� �� �� � <��� � �� ��� ��� � ��� � ������ ���� ��� ���� �� ��� ���� �� ����������� ��� � � ������ �� � ����� �� ������� ��� � ������ � �� ��� ��� �� �� � �� �� �� ��� ���2� � , ��� �� � �� �������� �� ������� �� � � ��� � �� � ������ � �� ��� ��� �� �� �� � �� ������ � ����� � � ��� ���� ��� ���� � ��� � ������ �� ������ ���� ' �� � � ������ �� ���������

��������� � �� � �� � �������������� ������� �������� ����� ������� �� ��

������ ��� �� ������ ������� ������� ��� ������� ����� ������� ����� �������������� �� �� ������� ��� ���

, ������� �� � ���%��� ���� �� ����� � ���� �� �� B�������� - �� ���� ����� � �� ��� �� � ����� ��� � ���� ����� � �� ������ �� ����� �� �� ��� ��� �� �� � � ���� � ;<==>*������� ��� �� ������ �� � ��� � ������� ��������������� ���� � ���� �� ��� � ��

���������

�( / &���� ��� / '������ =�� �� � ���� ��� �� ������������ ���� ��� &���������� �� (C� #����� #'( )�������� �� �� ������ �� '������� �(F.9�9C+I9+C

�9 B ! �� � ������ �� *����������� "�����'������ �(F-@�

�@ � < ;�� � ��� > 5 H������� '������� �� +���������� ? # ���� � ��

������ �� ,&�'����������� 8� ��� �(F-F�

�C & � ;������ ��� , <��� �� ����� &������� #��������� B������� J���� ����� A� �� �(F..�

((

Page 14: Durham Research Online - CORE · NP-completeness.’, in Graph-theoretic concepts in computer science : 27th International Workshop, WG 2001, 14-16 June 2001, Boltenhagen, Germany

�+ H � ) ��� ��� � *����%�%��� /� ��� � � ���� ���� � ��� � � ������ ��� ��� � �� "A����� � � -������ �� '������ �� )���� )������� � �(F.G�9(FI9@G

�� 5 ������� /� � �������������� ���� ������� ������� ���� ��? A������ � � �� ��� "B ����������� (��������� )����� ������ �(F.F� C-I-@

�- / ,������ � / & ��� & "�%������ 0� �� � ����� �� ������� � ����� �� �� �� � ���� �� �� �� ������������� ������� #����� (�������� � �(F.(�(+(I(+@

�. � *����%�%��� "�� �� � ���� ���� �� �� ������� ������ )+#( -������ ��

'������� � �(F.(� @(GI@9-

(9