dupin indicatriz, direcciones asintóticas y líneas

12/08/12 Dupin indicatriz, direcciones asintóticas y líneas

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DUPIN indicatriz, DIRECCIONES Y LÍNEAS ASINTÓTICAS

Dupin indicatriz de una superficie en unpunto. Consideremos un sistema de coordenadas xy en

donde el eje x representa la dirección de curvatura mínimo k 1 y

el eje Y representa la dirección de máxima curvatura k 2 en un

punto P de una superficie S. La indicatriz Dupin de la superficie

en el punto P depende del valor del total (gaussiana) curvaturaK = k 1 k 2 en el punto P como sigue:

K> 0. La indicatriz de Dupin es la elipse

| K 1 | x 2 + | k 2 | y 2 = 1

Ver fig. 1.

K <0. La indicatriz de Dupin es un conjunto de hipérbolas

conjugadas

k 1 x 2 + k 2 y 2 = 1

k 1 x 2 + k 2 y 2 = -1

Ver fig. 2.

K = 0. La indicatriz Dupin es un conjunto de líneas paralelas que

corresponde a una de las formas

x 2 = | 1 / k 1 | oy 2 = | 1 / k 2 |

Ver fig. 3.

Ahora vamos a examinar estos tres casos en los detalles.

Caso 1. K> 0. k 1 y k 2 tienen el mismo signo, la superficie en el

punto P es en forma de cuenco, y el punto P es un punto elíptico. Supongamos que k 1 y k 2 son ambos



positivos. A continuación, la indicatriz de Dupin en el punto P es la elipse

1) k 1 x 2 + k 2 y 2 = 1

se muestra en la fig. 1. Vamos a calcular la distancia r desde el origen al punto A. La ecuación de la recta

OA es

2) y = x tan α.

Encontramos las coordenadas (x, y) del punto A. Mediante la resolución de las ecuaciones 1) y 2)

simultáneamente Si sustituimos 2) en 1) se obtiene

La distancia r está dada por

y desde

k 1 (α) = k 1 cos 2 α + k 2 el pecado 2 α,

donde k n (α) es la curvatura normal en el punto P en la dirección α, tenemos

donde ρ n (α) es el radio de curvatura normal en la dirección α. La OA x e intercepta yy Ob son



donde ρ 1 y ρ 2 son los radios de curvatura normal correspondiente a k 1 y k 2 .

Caso 2. K <0. k 1 y k 2 son de signos opuestos, la superficie en el punto P es en forma de montura, y el

punto P es un punto hiperbólico. La indicatriz Dupin es un conjunto de conjugado hipérbolas

k 1 x 2 + k 2 y 2 = 1

k 1 x 2 + k 2 y 2 = -1

se muestra en la fig. 2. Como en el caso 1, y por el mismo tipo de análisis, los valores de r, OA y OB son

Las dos asíntotas de las hipérbolas son líneas que representan las direcciones en las que k n (α) = 0. A

medida que aumenta ángulo y pasa sobre una asíntota un pasaje se produce a partir de una hipérbola a laotra, junto con un cambio de signo de k n (α).

Caso 3. K = 0. O k 1 = 0 o k 2 = 0, la superficie en el punto P es un cilindro parabólico, y el punto P es

un punto parabólico. Si k 1 = 0 la indicatriz Dupin es un conjunto de líneas paralelas que corresponde a la

ecuación

y 2 = | 1 / k 2 |.

Si k 2 = 0 la indicatriz Dupin es un conjunto de líneas paralelas que corresponde a la ecuación

x 2 = | 1 / k 1 |.

Como en los otros casos, y por el mismo tipo de análisis, los valores de r, y OA son



Descripción general. Estos tres casos representan el locii diferente a la que la ecuación

k 1 x 2 + k 2 y 2 = 1

puede dar lugar en función de las diferentes combinaciones posibles de los signos y valores de las constantes

k 1 y k 2 . La indicatriz Dupin de una superficie S en un punto P es un dispositivo para comprender mejor en

el carácter de la superficie cerca de P. La curva de intersección de S y un plano cercano paralelo al plano

tangente en P es aproximadamente similar a la indicatriz Dupin . En el caso de un punto hiperbólico lasuperficie S se extiende a ambos lados del plano tangente por lo que necesita para intersectar la superficie

con dos planos cerrar al plano tangente, paralelo a ella, una a cada lado. Si S se encuentra totalmente en un

lado de la intersección plano tangente por un solo plano es adecuado.

Direcciones asintótica. una dirección en un punto P sobre una superficie para que

1) L-du- 2 + 2 M + N du dv dv 2 = 0

se denomina una dirección asintótica . Debido a que el denominador de

es definida positiva, las direcciones asintóticas son también las direcciones en las que k n = 0. En un punto

elíptico no hay direcciones asintóticas, en un punto hiperbólico hay dos direcciones asintóticas distintos, en un

punto parabólico hay una dirección asintótica y en un punto plana cada dirección es asintótico.

Líneas asintótica. Una curva sobre una superficie que es tangente a una dirección asintótica en cada

punto se denomina una línea asintótica . Así, una curva en un elemento de superficie es una línea asintótica

si y sólo si en cada punto de la curva de la dirección de la tangente a la curva satisface 1). En un punto

hiperbólico ecuación 1) tiene dos factores reales distintas de la forma Adu + bdv = 0, lo que puede

considerarse como primeras ecuaciones diferenciales de las líneas asintóticas.

Teorema 1. Las curvas de U y V de coordenadas sobre un elemento de superficie son líneas asintóticas si y

sólo si en cada punto L = N = 0.



Referencias.

1. Graustein. Geometría Diferencial.

2. Lipschutz. Geometría Diferencial

3. Santiago / Santiago. Diccionario de Matemáticas.

4. Struik. Conferencias sobre la geometría diferencial clásica.

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