Du modèle d’équant képlérien au rayonnement gravitationnel en passant par Newton.

Conférence LPMC, UNS. Mercredi 24 février 2010.

Christian BRACCO

UMR Fizeau, Université de Nice Sophia Antipolis,

Syrte, Observatoire de Paris

J.-P. P. et C. B., A simple derivation of Kepler’s law without solving differential equations, European Journal of Physics, 30 (2009) 581-586.

C. B. et J.-P. P., Had Mars not existed: Kepler’s equant model and its physical consequences, European Journal of Physics, 30 (2009), p 1085-1092.

C. B., J.-P. P. et P. Salati, A pedagogical approximation for the gravitational energy radiated by a Keplerian system, American Journal of Physics, 77 (2008), p 886-889.

février

nov.

juillet

mai

juin

déc.

avril

sept.

Soleil moyen

Soleil moyen, soleil vrai ; Équation du temps

I. Introduction : de Pythagore à Copernic

Pythagore : explication du mouvement apparent du soleil par la combinaison de deux mouvements circulaires. (hippopède).

Platon : Quels sont les mouvements circulaires et parfaitement réguliers qu’il convient de prendre pour hypothèses, afin que l’on puisse sauver les apparences présentées par les astres errants ? (« sauver les phénomènes » ).

Tout mouvement propre d’un corps céleste est nécessairement circulaire et uniforme (mouvement dans l’éther – cinquième élément). Mouvement naturel pour les astres. Perfection. Les mouvements s’y reproduisent éternellement.Différent du mouvement des corps terrestres (4 éléments, mouvement vertical ).

Eudoxe de Cnide (408-355). Mathématicien. Disciple de Platon, contemporain d’Aristote. Sphères Homocentriques. Soleil (3); Lune (3): Mercure, Vénus, Mars, Jupiter et Saturne (4)

Aristarque de Samos (310-230 av. J.-C). Système héliocentrique, mouvement diurne de la Terre, axe de rotation incliné sur le plan de l’écliptique … Mouvements circulaires uniformes.

Excentriques et Epicycles. Modèle géocentrique.

C

Périgée

Apogée

Excentrique

+

Hipparque. 130 av. J.-C. Inégalité des saisons. Détermination de l’excentricité. Tables.

+

+C +

Équant

+

Q

S

T

P

T

Date?

Description précise des mouvements des planétaires. Modèle de Ptolémée employé jusqu’au XVIIe siècle pour l’élaboration des tables astronomique

Ptolémée

Almageste. 140 ap. J.-C.

Nicolas Copernic (1473-1543)

Quant à ceux qui imaginèrent les excentriques, bien qu’avec leur aide ils semblent, en grande partie, avoir pu déduire et calculer exactement les mouvements apparents, ils ont cependant admis beaucoup [de choses] qui semblent s’opposer aux principes premiers concernant l’uniformité des mouvements.

Le De Revolutionibus de Copernic est publié l’année même de sa mort.

Transposition du modèle de Ptolémée dans un modèle héliocentrique. Le modèle de Copernic n’est pas plus précis, et utilise plus d’épicycles que Ptolémée.

Plus la planète est loin du Soleil, plus sa période de révolution est grande

Mouvement de la Terre : par effet de parallaxe, mesure des distances dans le système héliocentrique.

2T R

Représentation des orbes

Johannes Kepler (1571-1630)

Au-delà de la « symétrie » qui a motivée Copernic, Kepler cherche une justification à la structure même du système héliocentrique (distances …).

C’est cet effort oxymorique qui permet à Kepler d’être à la fois un des derniers hommes du monde ancien et un des fondateurs du monde nouveau

II. Kepler – le rôle de l’équant. L’équant dans l’enseignement?

Description du cosmos à partir des 5 polyèdres convexes réguliers platoniciens emboités les uns dans les autres :

« La Terre est le cercle qui mesure tout : circonscris-lui le Dodécaèdre. Le cercle comprenant ce dernier sera Jupiter : à Jupiter circonscris le Cube. Le cercle comprenant ce dernier sera Saturne : maintenant inscris l’Icosaèdre à la Terre. Le cercle incrit dans celui-ci sera Vénus. A Vénus inscris l’Octaèdre. Le cercle inscrit dans celui-ci sera Mercure. Tu tien là la raison du nombre des planètes ».

Mesures précises de Tycho Brahé (1’ d’arc), dont Kepler devient l’assistant. Kepler travail sur le problème de la détermination de l’orbite de Mars.

Corriger les observations du mouvement de révolution non uniforme de la Terre en déterminant de la position de la Terre a 3 années martiennes (687 jours) d’intervalle. Modèle d’équant pour la l’orbite terrestre (Vr = cste). Tentative pour Mars.

« Il faut donc qu’il y ait quelque chose de faux dans ce que nous avions supposé [mouvements circulaires, équants, uniformité]. Il était supposé que l’orbite parcourue par la planète était un cercle parfait et qu’il est sur la ligne des apsides un point unique, à une distance précise et constante du centre de l’orbite autour duquel Mars parcourt des angles égaux en des temps égaux. L’une de ces suppositions ou peut-être même les deux sont fausses. Car les observations ne sont pas fausses ».

Après 10 ans de tentatives infructueuses reconnaissance du mouvement elliptique dont le soleil est un foyer (première loi). Le segment soleil-planète balaie des aires égales en des temps égaux (seconde loi) (1609), puis en 1618, carré de la période proportionnel au cube du demi-grand axe (troisième loi).

C S

P

Q

x

r A

2 2 2

0 0 0aire aire sin2 2 2

R R RA P CP A SCP e

CP = R, QC = CS = eR,= ωt, ω= cste.

0R

V

2 2cste,R T R

2

0R KV R r QPr r

2QP SP R

Première loi de Kepler : trajectoires elliptiques

« Loi des vitesses » ?

L’équant : « La clé de l’astronomie »

2, avec .2

K tA K R

(premier ordre en e)

Seconde loi de Kepler : loi des aires

0

0 02

0

1 cos ,

sin ,

1 cos

SP r R e

e

RQP R er

(si K ne dépend que du soleil)

eR 0P

C S

P

Q

x

W

x

y

Hodographe de Hamilton :

Le vecteur vitesse décrit un cercle exentrique de rayon R.

V

V

y

u

r

SPuSP

2 3 3 2= cste,R T R

Accélération :

a est parallèle à CW (i.e à SP ) : centripète

Loi des accélérations :

a

2

*V V QW QC CW

=*V

a a Rt t

2 32 aveca R

r

(Si ne dépend que du soleil)

V est // CP ; W tel que QW // CP.

V QP

QP QW

2 2t R r

Loi des vitesses ou des accélérations ? observations …

Ainsi, et quelque soit le nombre des parties égales du temps qui se sont écoulées depuis l’instant où le mobile, abandonnant le repos, a commencé de descendre, le degré de vitesse acquis au terme des deux premières parties du temps sera le double du degré acquis durant la première partie ; ainsi encore, après la troisième partie, le degré atteint sera le triple… Nous ne nous écarterons pas de la droite raison, si nous admettons que l’intensification de la vitesse est proportionnelle à l’extension du temps …

Si un mobile, partant du repos, tombe avec un mouvement uniformément accéléré, les espaces parcourus, en des temps quelconques, par ce même mobile, sont entre eux en raison double des temps, c'est-à-dire comme les carrés de ces mêmes temps. 

t

2t

3t

1

2

3

1

4

9

Galileo Galilei (1564-1642)

III. Chute des corps, force centrifuge et la méthode algorithmique et géométrique de Newton (revisitée pour l’enseignement).

René Descartes (1596-1650)

Lettre de Descartes à Huygens : «  Sur quoi je considère que la nature du mouvement est telle que, lorsqu’un corps a commencé à se mouvoir, cela suffit pour faire qu’il continue toujours après avec une même vitesse et en même ligne droite, jusqu’à ce qu’il soit arrêté ou détourné par quelque autre cause ». Loi d’inertie.

Mouvement circulaire: «  De même quand on fait tourner une pierre dans une fronde, non seulement elle va tout droit aussitôt qu’elle en est sortie, mais de plus, pendant tout le temps qu’elle y est, elle presse le milieu de la fronde, et fait tendre la corde ; montrant évidemment par là qu’elle a toujours inclination d’aller en droite ligne et qu’elle ne va en rond que par contrainte ».

O+

Fronde.

Mouvement circulaire

Le fil casse: mouvement rectiligne uniforme

Tension du fil.

(Expériences sur la force centrifuge: Huygens (1629-1695))

S

B

A

c

a v

C

Aire (SAB)=Aire (SBC)

Loi des aires (force centrale) : en des durées égales, le rayon vecteur SP balaie des aires égales (seconde loi de Kepler).

2 Cster K K

r

Isaac Newton (1643-1727)

1t

=a v

v = AB

S

B

a

C

r

2= -a urr

= -v urK

ur

uu ur

=v uK

= + (1)v u eK

2v a , r K

v.u Krr

e

2

1 1 cos.u eKr

Les trajectoires des planètes sont des ellipses, dont le Soleil occupe un foyer (Première loi de Kepler).

2, 0 1 ;1 cos

pr = e p K+ e

(hodographe)

vv.u

IV. Rayonnement gravitationnel d’un système binaire (PSR 1913+16)

Poincaré 1905 : la gravitation se propage à c ; 1908 : si la gravitation est assimilée à l’électromagnétisme, il devrait y avoir une décroissance de la période orbitale d’un système binaire par perte d’énergie rayonnée.

Einstein 1918 : ondes gravitationnelles (dans une théorie métrique de la gravitation (RG))

Détection sur PSR 1913+16

Système double d’étoiles à neutrons, T=7.8h

(décroissance de la période orbitale du système)

Prix Nobel 1993, R. Hulse et J. Taylor

2 4P M L G V

1 3P ML V 1 1 2, [ ] , [ ]L V c V G M LV

2 6 4

5AG RP

c

1, 6, 5

Système binaire : - masse réduite

- R rayon de l’orbite circulaire

- période

1 2 1 2m m m m

2T

Puissance gravitationnelle rayonnée P(, R, , G, c) :

Analyse dimensionnelle : M, L, V (ou T)

Rayonnement quadripolaire (RG) : 22P R

32 5A

orbite elliptique?(proche de l’unité)

5 6 2ddWP t AG c V Rt

V R

2 cos 1Na V R a

cos 2r V rV K

3 K aVR r

21 2,a r Gm m

5 6 2 2 6ddWP t AG c V K rt

2 dd

K rt

5 6 2 4ddW AG c V Kr

R rayon de courbure

V ?,R?

2 2, 11 cos

pr p K a ee

2

0d d

2P W

3 2 1 2 2 32 ,T a a

ellipse circP f e P R a

7 22 2 431 1 38

f e e e e

7 2* 2 2 473 371 124 96

f e e e e

0,8%

72 3 363 ,24 8 96

PSR 1913+16 : e = 0,6

Formule de Peters et Matthews

Écart relatif :