Déterminer si des points sont alignés.Stéphane Clément

Le cœur du travail du professeur de mathématiques consiste en l’élaboration de réponses à deux questions : qu’enseigner ? (organisation mathématique) ; comment l’enseigner ? (organisation didactique ou organisation de l’étude).

Nous allons regarder la manière de répondre à ces questions dans le cadre des demandes du programme de seconde, en examinant le problème de l’alignement de points dans le plan et en nous intéressant à la place que peuvent y prendre les TICE.

Les programmes.

2. GéométrieL’objectif de l’enseignement de la géométrie plane est de rendre les élèves capables d’étudier un problème dont la résolution repose sur des calculs de distance, la démonstration d’un alignement de points ou du parallélisme de deux droites, la recherche des coordonnées du point d’intersection de deux droites, en mobilisant des techniques de la géométrie plane repérée.

Des problèmes connus.

Problème 1 :

Le dessin ci-contre est un dessin à main levée.Que pensez-vous des points Q, U et A ?

Dans le repère R , RT8,R E8 , on obtient facilement que :

Q 0 ;13 , U 8 ;8 et A 21 ;0

Première technique :

On calcule QU 8 ;−5 et UA 13 ;−8 .On a 8×−8=−64 et 13×−5=−65 donc les vecteurs QU et UA ne sont pas colinéaires et les points Q , U et A ne sont pas alignés.

Deuxième technique :Déterminons l'équation de la droite QA de la forme axb avec :

a=yA− yQxA−xQ

=−1321 (la pente) et b=13 (ordonnée à l'origine).

d'où QA: y=− 1321x13

Les coordonnées de U vérifient-elle cette équation ?

−1321xU13=−13

21×813=169

21≠8 .

U n'appartient pas à la droite (QA) donc les points Q, U et A ne sont pas alignés.

Troisième technique :

Calculons la pente des droites QU et UA : pUA=− 813 et pQU =−8

5Ces deux écritures fractionnaires étant irréductibles et différentes, on a pUA≠ pQU et les points Q , U et A ne sont pas alignés.

Quatrième technique :On a QU=8252=89 , UA=13282=233 et QA=212132=610=2×5×21À la calculatrice on trouve QUUA≈24,6983 et QA≈24,6982 , on peut en déduire que QUUA≠QA et que les points Q , U et A forment un triangle non aplati, c'est à dire ne sont pas

alignés.

Vérification à la calculatrice :Un petit programme a été codé dans la calculatrice (ici sur un graph35+) et permet de vérifier que le résultat est bien celui attendu :

Problème 2 :

Il semblerait que par déconstruction reconstruction d'un même triangle l'aire ne soit pas la même (or cela va à l'encontre du principe de conservation des aires par déconstruction reconstruction, que l'on trouve dans le programme de sixième).

L'absurdité est levée lorsque l'on réalise que les points de l'hypoténuse ne sont pas alignés.Les 4 techniques de l'exercice précédent fonctionnent sans soucis.

Une vérification à la calculatrice confirme.

Problème 3 :

Sur la figure ci-contre, ABCD est un carré, ABE et BCF sont deux triangles équilatéraux.

D, E et F sont-ils alignés ?

Utilisons la première technique :Pour établir que les points sont alignés dans ce problème , en utilisant la théorie disponible, on peut travailler dans le repère A ; AB ; AD .On a alors que :

D 0 ;1 ; E 12; 3

2 ; F 132; 1

2 ; DE 12; 3

2−1 et EF 31

2; 1−3

2 On a :

12×1−3

2 =1−34

et 32−131

2 =−12

312 2

312

2

−32=1−3

4

Les vecteurs étant colinéaires, les points sont alignés.

Vérification :

Problème 4

Soit ABC un triangle rectangle en A tel que BC = 2AB. On construit le triangle équilatéral ADC extérieur à ABC, ainsi que le triangle ABE isocèle en B extérieur à ABC tel que E, B, C soient alignés.

Comment sont placés les points D, A et E ?

Dans un premier temps on peut vouloir montrer que ces points sont alignés.On peut choisir de travailler dans un repère orthonormé (cf fig ci-contre).

La question qui se pose est : les points E , A0 ;0

et D sont-ils alignés ?Dans ce repère, on établi facilement que :B 0 ;1 et C 3 ;0 . Il reste à déterminer les

coordonnées de E et D .

Pour le point D :soit I le milieu de [AC ] . Comme ADC est équilatéral I est le pied de la hauteur issue de D .

donc AI perpendiculaire à ID .AD= AI ID

avec AI= 12AC=3

2

et ID=32−32

2

=3−34=9

4= 3

2

On a donc AD 32;−3

2 Par construction E est le symétrique de J par rapport à B . Déterminons les coordonnées de J

le milieu de [BC]. On a : xJ=xBxC

2=3

2 et yJ=yByC

2= 1

2 d'où J 32; 1

2 .

En considérant que B est le milieu de [EM ] , on obtient que AE −32; 3

2 .

On a AD=− AE on en déduit que les points A , D et E sont alignés ou encore que A est le milieu de [DE ] .

Vérification :

Problème 5 Dans un repère orthonormal, on considère les points A4 ; 2 , B 32 ;2 , C 122 ;12 . Ces points sont-ils alignés ?

Calculons les pentes des droites (AB) et (AC).

Ces égalités s'obtiennent très facilement avec une calculatrice moderne (pas forcément formelle) :

Que donne notre programme de vérification ?

Problème 6

Soit ABCD un parallélogramme, I et J les milieux respectifs de [AB] et [AD] et l le point d’intersection de (JB) et (AC).

Démontrer que les points D, L et I sont alignés.

Dans le repère O ; AB ; AD on a I 0,5 ;0 et D 0 ;1 .Déterminons les coordonnées du point L , point d'intersection des droites JB et AC .AC : y= x et JB : y=−0,5 x0,5 . Le système donne rapidement x=−0,5 x0,5 et finalement

L13 ;

13

La droite DI a pour équation y=−2x1 .Pour savoir si le point L est sur cette droite on vérifie que les coordonnées de L vérifient l'équations de

la droite DI . On a : −2x L1=−2 131=1

3= yL .

Problème 7ABCD parallélogramme, E est un point de (AB), F est un point de (AD).La parallèle à (AD) passant par E coupe (CD) en G et la parallèle à (AB) passant par F coupe (BC) en H de tel sorte que (FG) et (EH) soient sécantes.U

Un type de problèmes : À travers ces divers problèmes, on remarque que l'on est confronté au même type de problèmes :

Déterminer s i des points sont alignés.

L’Organisation mathématique :

l’Organisation mathématique autour de ce type de problèmes comprend d’abord des « manières de faire » ce type de problèmes, des techniques.

Quelles techniques a-t-on à notre disposition pour résoudre ce type de problèmes P1 : déterminer si des points sont alignés ?

Technique 1 1 :

• Choisir un repère.• Déterminer les coordonnées des points A, B et C dans le repère choisi.• Calculer les coordonnées de et de .• Déterminer s'ils sont colinéaires.

◦ Si et sont colinéaires alors les points A, B et C sont alignés ; sinon ils ne le sont pas.

Technique 2 2 :

• Choisir un repère.• Déterminer les coordonnées des points A, B et C dans le repère choisi.• On détermine l’équation de la droite (AB) : y =ax+b.• On vérifie que les coordonnées du point C vérifie l’équation de (AB)

Technique 3 3 :

• Choisir un repère.• Déterminer les coordonnées des points A, B et C dans le repère choisi.• On calcule les pentes des droites (AB) et (BC) :• On vérifie si les droites sont parallèles.

Technique 4 :

• Choisir un repère.• Déterminer les coordonnées des points A, B et C dans le repère choisi.• Calculer , et .• Si ou ou , alors les points A, B et C sont alignés.

Elle comprend ensuite des ingrédients qui permettent de justifier, de produire, de rendre intelligible ces techniques : technologie et théorie (on ne distinguera pas ici les deux niveaux et on parlera d’environnement technologico-théorique)

Quel est l’environnement technologico-théorique qui justifie ces techniques, qui permet de les produire ?

Pour la technique 1 : vecteurs et colinéarité.Pour les techniques 2 et 3: équations de droites.Pour la technique 4 : distance entre deux points dont on connait les coordonnées et inégalité triangulaire.Remarque : pour toutes ces techniques, selon la situation, on peut être amené à des calculs de distances ou à déterminer les coordonnées d'un milieu (cf problèmes 3 et 4).On peut remarquer ici que justifier les quatre techniques ci-dessus nécessite de construire une bonne partie de la géométrie plane de seconde. Le type de problèmes P1 est donc générateur d'un parcours d'étude et de recherche.

Quelle place donner aux TICE dans cette organisation mathématiques ?Deux fonctions ont été mises en évidence et travaillées par des travaux de didactique des mathématiques, notamment ceux d’Yves Chevallard et Michèle Artaud, ce sont les fonctions d’expérimentation et de contrôle. Du point de vue des organisations mathématiques, on a vu ci-dessus le contrôle venir occuper une place prépondérante. (Remarque Michèle Artaud : en fait, là, je suis un peu gênée parce que les deux fonctions doivent être articulées dans une dialectique des médias et des milieux à la fois dans l’OM et dans l’OD ; peut-être que je disais pas ça avant et que j’ai bougé...)

Une place pour un petit algorithme ?Le seul outil que les élèves ont à leur disposition est la calculatrice donc comme outil de vérification, on a deux solutions :

• soit les élèves ont un logiciel de géométrie intégré dans leur calculatrice, ce qui est encore peu le cas.

• soit ils ont déjà programmé un algorithme dans leur calculatrice.

On peut donc penser à faire fabriquer aux élèves ce petit programme dont la fonction sera de vérifier leurs résultats. On voit là une intégration de l’algorithmique conforme aux demandes du programme.

Place des TICE dans l'organisation de l'étude.

Des deux fonctions mises en évidence par les didacticiens (expérimentation et contrôle), c'est l'expérimentation qui vient occuper une place prépondérante.Dans ce qui est observé dans les classes, c'est ce qui trouve le plus facilement une place, le plus souvent de façon ponctuelle et sans que l’on cherche à l’intégrer dans les OM (organisations mathématiques).

Problème 1 :Le dessin ci-contre est un dessin à main levée.Que pensez-vous des points Q, U et A ?

Première rencontre et expérimentation Le première expérimentation consiste à faire avec les instruments de géométrie. On peut être confronté à l'imprécision de tracé ainsi qu'a l'impossibilité de zoomer.

Ci-dessous, une épure de la figure, permet d'établir expérimentalement, le point B n'appartient pas à la droite (QU).Si un doute persiste, on peut réaliser la figure sur un logiciel de géométrie et zoomer :

Il ne reste plus aucun doute.

Il restera aux élèves à établir ce résultat en utilisant la théorie géométrique disponible.

Moment exploratoire : à partir de trace écrites prises lors d'une séance :Lors d'une séance, un professeur avait demandé de « trouver une technique pour déterminer si des points sont alignés ».Ci-dessous, voici les traces écrites du tableau après le premier bilan intermédiaire (traces écrites du tableau prises par le professeur sans que celui-ci ne soit intervenu dans le contenu mathématiques).

Ensuite le professeur a préciser que l'on s'intéresserait aux deux premières propositions plus tard et a demandé de regarder les choses de plus près pour la troisième proposition. Voici les traces écrites du tableau du deuxième bilan.

On voit ici que le quatrième exemple pris par les élèves semble poser problème et que la classe a proposé de regarder avec un logiciel de géométrie. Le logiciel de géométrie pourra permettre d'expérimenter et d'avoir une certitude sur l'alignement des points. Cela évite que le professeur intervienne pour assurer ce type de validations.

Les élèves ont donc ici mis au point une technique. Il reste à regarder sur quels résultats mathématiques elle s'appuie, à faire une synthèse de l'OM produite, à travailler la technique et à évaluer.

De l'algorithme :Pour fabriquer le programme qui servira d'outil de vérification, il nous faut faire un peu d'algorithmique :

Plusieurs outils sont disponibles sur ordinateurs :

Scratch

Algobox

Ici la coquetterie consistant à utiliser un tableur de valeurs pour stocker les coordonnées d'un point est bien sûr pas une obligation ; ça peut dépendre de ce qui aura été fait du point de vu de l’algorithmique dans les thèmes précédents.

Python

Et bien d'autres, avec parmi eux la calculatrice.Pour éviter un problème sur les valeurs approchées, on peut regarder s'il y a égalité à 10−4 .Une technique classique consiste à comparer les parties entières du produit de mille par les valeurs.

Sur AlgoBox : (floor donne la partie entière)

Sur graph35+ et sur TI Int() donne la troncature à l'unité, ce qui revient à la partie entière sur les entiers naturels.

Le seul outil toujours disponible pour les élèves est la calculatrice. C'est donc le seul outil pouvant être intégré dans l'organisation mathématique. Il reste à choisir un outil qui va être utile du point de vue de l'organisation de l'étude (de la même manière que pour le tableur et le programme la table de la calculatrice). Comme outil de l'organisation de l'étude, AlgoBox possède un certain nombre de qualités comme par exemple la possibilité de voir l'exécution d'un programme pas à pas.

Merci à Michèle Artaud (IUFM – Univ Provence) pour ses conseils, sa relecture et ses compléments.