dr. sinan tuncel - wordpress.com...27.12.2013 1 veri yapıları dr. sinan tuncel ağaçlar ağaçlar...

27.12.2013

1

Veri Yapıları

Dr. Sinan TUNCEL

Ağaçlar

Ağaçlar genel bilgi

• Ağaçlar, fizikçi Gustava Kirşof tarafından 1847’de kablo

ağlarındaki elektrik akışını formülize etmek için

kullanılmıştır.

• Kirşof yasaları olarak adlandırılan denklemlerin tamamı

bağımsız olmadığından Kirşof ağaçları kullanarak bu

denklemlerin hangilerinin bağımsız olduğunu belirlemiştir.

• Ağaç terimi, bu çalışmalardan on yıl sonra İngiliz

matematikçi Arthur Cayley tarafından verilmiştir. Cayley

matematik içerisindeki bir problemi incelemek için ağaçlar

üzerine odaklanarak çalışmalar gerçekleştirmiştir. Cayley

kimyadaki izomerleri ağaçları kullanarak incelemiş ve teoriyi

uygulamaya taşımına becerisini göstermiştir.

27.12.2013

2

Ağaçlar genel bilgi

• Ağaçlar, verilerin birbirine sanki bir ağaç yapısı

oluşturuyormuş gibi sanal olarak bağlanmasıyla elde

edilen bir veri modelidir. Ağaç veri modeli daha fazla belek

alanına gereksinim duyar.

• Bağlı listeler, yığınlar ve kuyruklar doğrusal (linear) veri

yapılarıdır. Ağaçlar ise doğrusal olmayan belirli niteliklere

sahip iki boyutlu veri yapılarıdır.

• İçerisinde çevrim (cycle) bulundurmayan bağlantılı grafların

özel bir türüne ağaç adı verilir.

• Ağaçlar bir çok nedenden dolayı graf teorisi içerisinde

önemli bir yere sahiptir. Ayrıca, ağaçlar graf teorisinin birçok

uygulamasında ön plana çıkmaktadır.

Dr.Sinan TUNCEL 3

Nerelerde Kullanılır

Ağaç veri yapısı, günlük yaşamda da karşılaştığımız bir

yapıdır.

• Bir insanın/bitkinin soy ağacı

• hiyerarşik bir yönetimdeki ilişkiler

• şirketlerdeki organizasyon şeması

ağaç veri yapısı kullanılarak kolayca grafiksel olarak

tanımlanabilir.

27.12.2013

3


Ağaç veri yapısı, bilgisayar bilimlerinde önemli yer tutar. Yazılım

dünyasında birçok yerde programcının karşısına çıkar.

• Arama

• Sıralama

• Söz dizim

• Veri sıkıştırma

• Çözümleme (syntax analysis)

• Kod optimizasyonu (code optimization)

• Derleyici gerçekleştirimindeki ara süreçler

• Hiyerarşik veritabanı

• İşletim sistemlerinin dosya sistemi.

• Oyunların olası hamleleri.


27.12.2013

4


7

/ymt

kitaplar kodlar dersler

ymt219 ymt112 ...

1.pdf 2.pdf 1.pdf

2010-2011 eskia.java b.java

ymt219 ymt217 ymt215 ...

1.ppt 1.doc 1.Pdf

Dosya Sistemi

Faydaları

Esneklik : Tek bir amaç için en iyi çözüm ağaç yapısı olmasa da,

çoklu çözümler için ağaç yapısının esnekliği bu yapının avantajı

olarak sayılabilir.

Etkili Arama: Arama sırasında ağacın bazı dalları budanarak arama

yapılması performans artışı sağlar ve bu da verimliliği arttırır.

Ağaç yapısı genellikle bilginin istenilen bölümüne konumlanmak

için genellikle filtreleme aracı olarak kullanılır.

Doğal Temsil: Bilgiyi temsil etmenin doğal bir yoludur.

Ağaç yapısı bir uygulamayı bazen daha kolay uygulanabilir bir hale

dönüştürür.

27.12.2013

5

Ağaç Üzerinde Bazı Tanımlar

Dügüm (node) : Agacın her bir elemanına dügüm adı verilir. Örnekler : A, B, C.

Kök (root) :Agacın en üstteki dügümüne kök (root) adı verilir Düzey 0'daki tek dügüm.

Çocuk (child) : : Bir düğüme doğrudan bağlı (sol ve sagbagı aracılıgı ile baglandıgıdügümler) olan düğümlere o düğümün çocukları denir. B ve C, A'nın çocuklarıdır.

9

A

B C

D E F

G

Derinlik1

2

3

4

Kök

Yaprak

Düğüm

Ara

Düğüm

Yaprak

Düğüm

7 düğümlü ağaç


Kardeş Düğüm (sibling, brother) : Aynı düğüme bağlı (Aynı parent'a sahip) düğümlere denir. Örnekler : B ile C kardestir. D ile E kardestir. H ile I kardestir.

Aile (Parent) : Düğümlerin doğrudan bağlı olduğu düğüme denir (Bir dügüm, sag ve sol bagları ile baglandıgı dügümlerin parent'ıdır) A dügümü, B ve C dügümlerinin parent'ıdır.

Ata: Aile düğümünün üstündeki düğüme ata denir.

Orman: Ağaçlar kümesi

Yol: Bir düğümden başka bir düğüme gidebilmek için üzerinden geçilmesi gereken düğümlerin listesi.

Derece: Bir düğümden alt hiyerarşiye yapılan bağlantıların sayısıdır.

Düzey / Derinlik (depth) : Kök ile düğüm arasındaki yolun üzerinde bulunan düğümlerin sayısıdır. Bir düğümün kök dügümden olan uzaklıgıdır. Örnek : D düğümünün düzeyi veya derinliği 2'dir.

Ağacın derinligi (depth of tree) : En derindeki yaprağın derinliği veya yüksekligi (height).

Yükseklik: Bir düğümün kendi silsilesindeki en uzak mesafedeki yaprak düğüme olan düzey sayısı

27.12.2013

6


Altağaç: Ağacın herhangi bir dalı

Yaprak (leaf) : Sol ve sag bagı bos olan düğümlere yaprak adı verilir. Örnekler : D,G,H,I.

Ancestor (üst dügüm) : Bir düğümün parent'ı birinci ancestor'ıdır. Parent'ın parent'ı

(recursion) ikinci ancestor'ıdır. Kök, kendi hariç tüm dügümlerin ancestor'ıdır.

Descendant (alt dügüm) : Bir düğümün iki çocuğu birinci alt düğümüdür. Onların

çocukları da ikinci alt düğümüdür.

N tane düğümden oluşan bir ağacın kenar sayısı N-1 tanedir.

Ağaçtaki iki düğüm arasında en fazla 1 yol olabilir.

Dr.Sinan TUNCEL 11


12

A

B C

D E F

G

Kök

Tanım kök B D

Çocuk/Derece 2 0 0

Kardeş 1 2 3

Düzey 1 2 3

Aile yok kök C

Ata yok yok Kök

Yol A A, B A,C,D

Derinlik 1 2 3

Yükseklik 4 3 2

27.12.2013

7


Dr.Sinan TUNCEL 13

Ağaçlar

• Ağaç yapıları ikili veya çoklu bağlı listeler ile gerçekleştirilebilir.

• Ağaçlardaki düğümlerden iki veya daha fazla bağ çıkabilir. İkili ağaçlar (binary trees), düğümlerinde en fazla iki bağ içeren (0,1 veya 2) ağaçlardır.

• Ağaç veri modelinde,

bir kök işaretçisi,

sonlu sayıda düğümleri ve onları birbirine bağlayan dalları vardır.

Veri ağacın düğümlerinde tutulur.

Dallarda ise geçiş koşulları vardır.

Her ağacın bir kök işaretçisi vardır.

Ağaca henüz bir düğüm eklenmemiş ise ağaç boştur ve kök işaretçisi NULL değerini gösterir. Ağaç bu kök etrafında dallanır ve genişler.

Dr.Sinan TUNCEL 14

27.12.2013

8

Ağaç veri modelinin uygulanması

• Sekil de görülen ağacın düğümlerindeki bilgiler sayılardan oluşmuştur.

• Her düğümdeki sol ve sağ bağlar yardımı ile diğer düğümlere ulaşılır. Sol

(leftptr) ve sag (rightptr) baglar bos ("NULL" = "/" = "\") da olabilir.

• Düğüm yapıları değişik türlerde bilgiler içeren veya birden fazla bilgi içeren

ağaçlar da olabilir. veri yapılarındaki ağaçlar kökü yukarıda yaprakları aşağıda

olacak şekilde çizilirler.

Dr.Sinan TUNCEL 15

Kök Node

Yaprak

Node

10

1

2

546

8

11

9

3

13

7

12

Yaprak

Yaprak

Yaprak

YaprakYaprak

Kök

(Binary Tree)

Level

1

2

3

4

5

Ağaç (Tree)

Arama ve sıralama işlemleri için kullanılan İkili Arama Ağacı

(BST: Binary Search Tree) gibi özel ağaç türleri de vardır.

Ağaç yapıları ikili veya çoklu bağlı listeler ile gerçekleştirilebilir.

veri bağ2bağ1

veri veri

27.12.2013

9

17

Ağaçlar

Ağaç tanımı özyinelemelidir:

Bir ağaç iki şekilde olabilir:

a. Boş düğüm kümesi, veya

b. Kök ismi verilen bir düğüm ve 0 veya daha fazla alt-ağacı olan

yapı.

Ağaç veri yapısını gerçekleştirmek için 2 yol vardır.

Bağlantılı liste kullanmak

Dizi kullanmak

18

Ağaç Gerçekleştirimi

Her bir bağlantı için birer bağlantı bilgisi tutulur.

A

B C D

E F

• Problem: Bir sonraki elemanın çocuk sayısını bilmiyoruz.

27.12.2013

10

19

Ağaç Gerçekleştirimi

Daha iyisi: 1. Çocuk/Kardeş GösterimiHer düğümde iki bağlantı bilgisi tutularak hem çocuk hem de yandaki

kardeş tutulabilir.

İstenildiği kadar çocuk/kardeş olabilir.

A

B C D

E F

JAVA Declaration

class AgacDugumu {

int eleman;

AgacDugumu ilkCocuk;

AgacDugumu kardes;

}

İkili Ağaç

İkili Agaç (Binary Tree) :

Kök olarak adlandırılan özel bir düğüm vardır.

– Her düğüm en fazla iki düğüme bağlıdır.

– Kök hariç her düğüm bir daldan gelmektedir.

– Tüm düğümlerden yukarı doğru çıkıldıkça sonuçta köke ulaşılır

İkili Arama Agacı (Binary Search Tree) : Bos olan veya her dügümü

asagıdaki sartlara uyan anahtara sahip bir ikili agaçtır :

• Kökün solundaki alt ağaçlardaki (eger varsa) tüm anahtarlar kökteki

anahtardan küçüktür.

• Kökün sağındaki alt ağaçlardaki (eğer varsa) tüm anahtarlar kökteki

anahtardan büyüktür.

• Sol ve sag alt agaçlar da ikili arama agaçlarıdır.

Dr.Sinan TUNCEL 20

27.12.2013

11

İkili Ağaç

Full binary tree :

i) Her yapragı aynı derinlikte olan

ii) ii) Yaprak olmayan dügümlerin tümünün iki çocugu olan agaç Full

(Strictly) Binary Tree'dir.

iii) Bir full binary tree'de n tane yaprak varsa bu agaçta toplam 2n-1

dügüm vardır.

Complete binary tree : Full binary tree'de yeni bir derinlige soldan saga

dogru dügümler eklendiginde olusan agaçlara Complete Binary Tree

denilir. Böyle bir agaçta bazı yapraklar digerlerinden daha derindir. Bu

nedenle full binary tree olmayabilirler. En derin düzeyde dügümler

olabildigince soldadır.

General Tree (Agaç) : Her düğümün en fazla iki çocugu olabilme sınırı

olmayan ağaçlardır.

Dr.Sinan TUNCEL 21

22

İkili Ağaç

İkili ağac bir düğümün en fazla 2 tane çocuğa sahip olabildiği

ağaçtır

Her düğüm en fazla 2 çocuğa sahip olabilir.

Bilgisayar bilimlerinde en yaygın ağaçtır.

A

C D

Z I

K

Kök

P

MSağ alt ağaç

A

B

A

B

İki farklı ikili ağaç

27.12.2013

12

23

İkili Ağaç (devam)

N tane düğüm veriliyor, İkili ağacın minimum derinliği nedir.

Derinlik 1: N = 1 = 20 düğüm

Derinlik 2: N = 2 ve 3 düğüm = 21 ve 21+1 -1 düğüm

Herhangi bir d derinliğinde, N = ?

24


• Derinlik 0: N = 1 = 20 düğüm

• Derinlik 1: N = 2 ve 3 düğüm = 21 ve 21+1 -1 düğüm

• D derinliğinde , N = 2d ve 2d+1-1 düğüm (tam bir ikili ağaç)

• En küçük derinlik:log N ≤ d ≤ log(N+1)-1 or Θ(log N)

27.12.2013

13

25


N düğümlü ikili ağacın minimum derinliği: Θ(log N)

İkili ağacın maksimum derinliği ne kadardır?

Dengesiz ağaç: Ağaç bir bağlantılı liste olursa!

Maksimum derinlik = N

Amaç: Arama gibi operasyonlarda bağlantılı listeden daha iyi

performans sağlamak için derinliğin log N de tutulması

gerekmektedir.

– Bağlantılı liste

– Derinlik = N

26

İkili Ağaç Gerçekleştirimi

sol veri sag

d

public class İkiliAgacDugumu {

public İkiliAgacDugumu sol;

public int veri;

public İkiliAgacDugumu sag;

}

4

6 12

45 7

kök

27.12.2013

14

27


/* İkili ağaç düğümü oluşturur.

*/

İkiliAgacDugumu DugumOlustur(int veri){

İkiliAgacDugumu dugum = new İkiliAgacDugumu();

dugum.veri = veri;

dugum.sol = null;

dugum.sag = null;

return dugum;

}

veri

dugum

null null

• Bu yordam ikili ağaç düğümü oluşturur ve bunu geri döndürür.

28


İkiliAgacDugumu dugum = null;

public static void main main(){

kok = DugumOlustur(4);

kok.sol = DugumOlustur(6);

kok.sag = DugumOlustur(12);

kok.sol.sol = DugumOlustur(45);

kok.sag.sol = DugumOlustur(7);

kok.sag.sag = DugumOlustur(1);

} /* main */

4

6 12

45 7

kök

1

• Kök verilmiş olsun tüm ağaç üzerinde dolaşıp elemanları ekrana nasıl yazdırırız.?

− Ağaç dolaşma algoritmaları

27.12.2013

15

29

Kullanılan Verimli Arama Ağaçları

Fikir: Verileri arama ağacı yapısına göre düzenlersek arama işlemi daha verimli olacaktır.

1. İkili Arama Ağacı (Binary search tree (BST))

2. AVL Ağacı

3. Splay Ağacı

4. Red-Black Ağacı

5. B Ağacı ve B+ Ağacı

30

İkili Arama Ağaçı

5

3 7

8

Kök

2 4

<5 >5

SolAA

SağAA

A İkili Arama Ağacı her bir düğümdeki değerlere göre düzenlenir:

Sol alt ağaçtaki tüm değerler kök düğümünden küçüktür.

Sağ alt ağaçtaki tüm değerler kök düğümünden büyüktür.

2

Kök

3

7

85

4

>2

SağAA

27.12.2013

16

31

İkili Arama Ağacı - Tanımlama

sol deger sag

xpublic class BSTDugum {

public BSTDugum sol;

public int deger;

public BSTDugum sag;

}

BST Dugum

3

2 4

9

/* İKİLİ ARAMA AĞACI */

public class BST {

Private BSTDugum kok;

public BST(){kok=null;}

public void Ekle(int deger);

public void Sil(int deger);

public BSTNode Bul(int key);

public BSTNode Min();

public BSTNode Max();

};

7

32

BST Operasyonları - Bul

• Değeri içeren düğümü bul ve bu düğümü geri döndür.

K

SolA SagA

<K >K

1. Arama işlemine kökten başla

2. if (aranaDeger == kok.deger) return kok;

3. if (aranaDeger < kok.deger) Ara SolAA

4. else Ara SagAA

kök

15

kök

<15 >15

Aranan Sayı=13

27.12.2013

17

33


public BSTDugum Bul2(BSTDugum kok,

int deger){

if (kok == null) return null;

if (deger == kok.deger)

return kok;

else if (deger < kok.deger)

return Bul2(kok.sol, deger);

else /* deger > kok.deger */

return Bul2(kok.sag, deger);

}

• Mavi renkli düğümler arama sırasında ziyaret edilen düğümlerdir.

• Algoritmanın çalışma karmasıklığı O(d) dir. (d = ağaçınderinliği)

Kök

15

6 18

303 7

2 4 13

9

Aranan

sayı=13

public BSTDugum Bul(int deger){

return Bul2(kok, deger);

}

34


Aynı algoritma while döngüsü yardımıyla yinelemeli şekilde yazılabilir

• Yinelemeli versiyon özyinelemeli versiyona göre daha verimli çalışır.

public BSTDugum Bul(int deger){

BSTDugum p = kok;

while (p){

if (deger == p.deger) return p;

else if (deger < p.deger) p = p.sol;

else /* deger > p.deger */ p = p.sag;

} /* while-bitti */

return null;

} //bul-Bitti

27.12.2013

18

35

BST Operasyonları - Min

Ağaçtaki en küçük elemanı içeren düğümü bulur ve geri döndürür.

En küçük elemanı içeren düğüm en soldaki düğümde bulunur.

Kökten başlayarak devamlı sola gidilerek bulunur.

public BSTDugum Min(){

if (kok == null)

return null;

BSTDugum p = kok;

while (p.sol != null){

p = p.sol;

}

return p;

}

Kök

15

6 18

303 7

2 4 13

9

36

BST Operasyonları - Max

Ağaçtaki en büyük elemanı içeren düğümü bulur ve geri döndürür.

En büyük elemanı içeren düğüm en sağdaki düğümde bulunur.

Kökten başlayarak devamlı sağa gidilerek bulunur.

Kök

15

6 18

303 7

2 4 13

9

public BSTDugum Max(){

if (kok == null)

return null;

BSTDugum p = kok;

while (p.sag != null){

p = p.sag;

}

return p;

}

27.12.2013

19

37

BST Operasyonları – Ekle(int deger)

• Eklenecek değeri içeren “z”isimli yeni bir düğüm oluştur.• Ö.g.: Ekle 14

• Kökten başlayarak ağaç üzerinde eklenecek sayıyı arıyormuş gibi aşağıya doğru ilerle.

• Yeni düğüm aramanın bittiği düğümün çocuğu olmalıdır.

Eklemeden önce

NULL 14

z

Eklenecek “z” düğümü.

z.deger = 14

NULL

Kok

15

6 18

303 7

2 4 13

9

14

z

14

Eklemeden sonra

38

public void Ekle(int deger){

BSTDugum pp = null; /* pp p’nin ailesi */

BSTDugum p = kok; /* Kökten başla ve aşağıya doğru ilerle*/

while (p){

pp = p;

if (deger == p.deger) return; /* Zaten var */

else if (deger < p.deger) p = p.sol;

else /* deger > p.deger */ p = p.sag;

}

/* Yeni değeri kaydedeceğimiz düğüm */

BSTDugum z = new BSTDugum();

z.deger = deger; z.sol = z.sag = null;

if (kok == null) kok = z; /* Boş ağaca ekleme */

else if (deger < pp.deger) pp.sag = z;

else pp.sol = z;

} // ekleme işlemi bitti.

BST Operasyonları – Ekle(int deger)

27.12.2013

20

39

BST Operasyonları – Sil(int deger)

Silme işlemi biraz karmaşıktır.

3 durum var:

1. Silinecek düğümün hiç çocuğu yoksa (yaprak düğüm)– Sil 9

2. Silinecek düğümün 1 çocuğu varsa– Sil 7

3. Silinecek düğümün 2 çocuğu varsa1. Sil 6

Kök

15

6 18

303 7

2 4 13

9 14

40

Silme: Durum 1 – Yaprak Düğümü Silme

Sil 9: Düğümü kaldırın ve

bağlantı kısmını güncelleyin

Kök

15

6 18

303 7

2 4 13

9

Kök

15

6 18

303 7

2 4 13

9 silindikten sonra

27.12.2013

21

41

Silme: Durum 2 – 1 Çocuklu Düğüm

Kök

15

6 18

303 13

2 4 9

7 silindikten sonra

Sil 7: Silinecek düğümün

ailesi ve çocuğu

arasında bağ kurulur

Kök

15

6 18

303 7

2 4 13

9

42

Silme: Durum 3 – 2 Çocuklu Düğüm

Not: Sağ alt ağaçtaki en

küçük eleman yerine sol alt

ağaçtaki en büyük eleman

bulunarak aynı işlemler

yapılabilir.

Sil 6:

1) Sağ alt ağaçtaki en küçük eleman bulunur.(7)

2) Bu elemanın sol çocuğu olmayacaktır.

3) 6 ve 7 içeren düğümlerin içeriklerini değiştirin

4) 6 nolu eleman 1 çocuğu varmış gibi silinir.

6 silindikten sonra

Kök

17

7 18

303 14

2 41610

8 13

Kök

17

6 18

303 14

2 41610

7 13

8

27.12.2013

22

İkili Ağaç Üzerinde Dolaşma

İkili ağaç üzerinde dolaşma birçok şekilde yapılabilir. Ancak

belirli bir yönteme uyulması algoritmik ifadeyi kolaylaştırır.

İkili ağaç üzerinde dolaşmak için 3 temel yol vardır. Bunlar:

Önce-kök (Preorder): Kök, Sol, Sağ

Önce ağacın kökü, sonra sol alt ağaç ve ardından sağ alt ağaç

Ortada-kök (Inorder): Sol, Kök, Sağ

Önce sol alt ağaç, kök ve sağ alt ağaç

Sonra-kök (Postorder): Sol, Sağ, Kök

Önce sol alt ağaç, sağ alt ağaç ve kök.

43

44

Örnek

A

C D

Z I

K

Kök

P

M

Önce-kök

A C P D Z M I K

Ortada-kök

P C A M Z D I K

Sonra-kök

P C M Z K I D A

27.12.2013

23

45

AlgoritmaOnceKok(IkiliAgacDugumu kok){

if (kok == null) return;

System.out.print(kok.veri+" ");

OnceKok(kok.sol);

OnceKok(kok.sag);

}

OrtadaKok(IkiliAgacDugumu kok){


OrtadaKok(kok.sol);


OrtadaKok(kok.sag);

}

SonraKok(IkiliAgacDugumu kok){


SonraKok(kok.sol);

SonraKok(kok.sag);


}

46

Aynı Sayılarla Başa Çıkma

5

3 7

8

Kök

2 4

Ağaç içerisindeki aynı sayılarla aşağıda verilen iki şeklide başa çıkılabilir:

Düğümde saklanan bir sayaç değişkeni ile

Veya Düğümde kullanılan bağlantılı liste ile

2

1 4

3 2 6

5

3 7

Kök

27.12.2013

24

47

İkili Arama ağacı Uygulamaları

İkili arama ağacı harita, sözlük gibi birçok uygulamada kullanılır.

İkili arama ağacı (anahtar, değer) çifti şeklinde kullanılacak sistemler için uygundur.

Ö.g.: Şehir Bilgi Sistemi

Posta kodu veriliyor , şehir ismi döndürülüyor. (posta kodu/ Şehir ismi)

Ö.g.: telefon rehberi

İsim veriliyor telefon numarası veya adres döndürülüyor. (isim, Adres/Telefon)

Ö.g.: Sözlük

Kelime veriliyor anlamı döndürülüyor. (kelime, anlam)

İyi çalışmalar…

48Dr.Sinan TUNCEL

dr. sinan tuncel - wordpress.com...27.12.2013 1 veri yapıları dr. sinan tuncel ağaçlar ağaçlar...

Documents