MECHANIKA 2
Prowadzący: dr Krzysztof Polko
PLAN WYKŁADÓW1. Podstawy kinematyki2. Ruch postępowy i obrotowy bryły3. Ruch płaski bryły4. Ruch złożony i ruch względny5. Ruch kulisty i ruch ogólny bryły6. Podstawy dynamiki7. Dynamiczne równania ruchu8. Drgania punktu materialnego9. Dynamika układu punktówmaterialnych10.Momenty bezwładności11.Praca, moc, sprawność, zasady zachowania12. Zasady pracy i energii13.Dynamika ruchu płaskiego ciała sztywnego14.Teoria uderzenia
LITERATURA
1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna,Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa1985.
2. ZAWADZKI JERZY, SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Ogólna, PWN 1970, Warszawa 1985 .
3. MISIAK JAN, Mechanika Ogólna, WNT, Warszawa 1998 .
4. HUBER M. T. Mechanika Ogólna i Techniczna. PAN Warszawa 1956.
Wykład 1
Podstawy kinematyki
WPROWADZENIE
� KINEMATYKA – (kineo z greckiegoporuszam)jest to dział mechaniki opisujący ruch punktulub bryły, bez uwzględniania masy i przyczynwywołujących zmianę ruchu (geometria ruchu).
� RUCH – określamy jako zmianę położenia ciałamaterialnego względem układu odniesienia (tj.względem innego ciała lub zbioru ciałuważanych za pozostające w spoczynku) wjednostce czasu.
WPROWADZENIE
W związku z tym że ciała rzeczywiste zastępujemy
pojęciem punkt materialny lub ciało doskonale
sztywne, kinematykę możemy podzielić na:
• Kinematykę punktu materialnego
• Kinematykę ciała sztywnego.
Jest to linia ciągła l utworzona przez kolejnepołożenia poruszającego się punktu.Tor punktu mo że być lini ą prostą lub dowolną krzywą.
Rys. 1
Tor punktu
y
x
l
lTor krzywoliniowy
Droga, odległo ść
W mechanice przez drogę rozumiemy odcinek toru.
Odległość – długość odcinkałączącegodwa punkty .
Podział ruchu
� Ruch prostoliniowy jednostajny� Ruch prostoliniowy zmienny� Ruch krzywoliniowy jednostajny� Ruch krzywoliniowy zmienny
x = f1(t), y = f2(t), z = f3(t).
Rys. 2
Położenie poruszającego się punktu P w przyjętymukładzie współrzędnych można określić przez x, y, z.Ponieważ współrzędne te są funkcjami zmiennej t(czasu), to otrzymujemy:
Kinematyczne równania ruchu punktu
OPIS PORUSZAJĄCEGO SIĘ PUNKTU
Jeżeli początek promienia rpokrywa się z początkiemukładu współrzędnych toskładowe wektora są równewspółrzędnym punktu P
Równania ruchu w postaci wektorowej
Rys. 3r x = x(t), r y = y(t), r z = z(t)
(t)r rρρ =
Po uwzględnieniu powyższej zależności promień wektora
r możemy zapisać w postaci sumy geometrycznej:
Rozpatrzmy ruch punktu P w przedziale czasu∆t = t2 - t1, w
którympunkt przebył drogę ∆s = P1P2 .
Prędkość punktu materialnego
Przyrost wektora promienia wynosi∆r
zatem”
Rys. 4
Prędkość średnia
Prędkość średnia punktu jest ilorazem
przyrostu wektora ∆r do czasu ∆t w
którym ten przyrost nastąpił.
=vρ
Prędkość chwilową określagranica przy ∆t dążącym do zera
=vρ
Przyrost ∆r ma składowe ∆x, ∆y, ∆z stąd
Prędkość chwilowa
Wektor pr ędkości można zapisać w postaci:
kjivρ
&ρ
&ρ
&ρzyx ++=
222 zyx &&& ++=v
którego moduł wynosi:
Prędkość chwilowa
W czasie∆t = t2 - t1, wektor pr ędkości zmienia się z v1 na v2 .
Przyspieszenie punktu materialnego
Przyrost wektora prędkościwynosi ∆v, zatem
Przyspieszenie średnie punktu Przyspieszenieśrednie punktu wyraża się jako ilorazprzyrostu pr ędkości ∆v przez przyrost czasu∆t.
Przyspieszenie chwilowe punktu
=aρ
Wiedząc, że przyrost prędkości ∆v ma składowe ∆vx, ∆vy, ∆vz,
stąd składowe wektora przyśpieszenia mają postać
Wektor przy śpieszenia można zapisać w postaci :
a jego moduł
Przyspieszenie chwilowe punktu
Ruchem prostoliniowym jednostajnymjest ruch punktu po torze prostoliniowym, który
odbywa się w taki sposób, że w jednakowych
przedziałach czasu t punkt przebywa takie same
odcinki drogi.
Ruch prostoliniowy jednostajny
Droga s jest liniową funkcj ą czasu, zatem
czyli
Stąd po scałkowaniu otrzymujemy
Równania ruchu prostoliniowego jednostajnego
Rys. 6
czyli
Wykres ruchu prostoliniowego jednostajnego
Jeżeli prędkość jest liniową funkcj ą czasu, to ruch punktu jestjednostajnie zmienny.
Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny
Ruch prostoliniowy zmiennyJest to ruch punktu po torze prostoliniowym, który odbywa się w taki
sposób,że w jednakowych przedziałach czasut punkt przebywa różne
odcinki drogi.
Równania ruch u prostoliniowego jednostajniezmienn ego
a > 0 ruch jednostajnie przyspieszony
a < 0 ruch jednostajnie opóźniony
Przyśpieszenie
Prędkość
Droga
Ruch krzywoliniowy jednostajny
Jest ruch punktu po torze krzywoliniowym l, w którym
wektor pr ędkości w każdej chwili jest styczny do toru, a
jego wartość nie zmienia się z czasem(zmienia się tylko jego
kierunek).
W ruchu krzywoliniowym zmiennym wektor przyspieszenia punktu tworzy z wektorem prędkości tego punktu pewien kąt α (ostry lub rozwarty).
Jest to ruch punktu po torze krzywoliniowym, w którymwektor
prędkości ruchomego punktu zmienia wartość i kierunek.
Ruch krzywoliniowy zmienny
Z rysunku wynika, że wartość przyspieszenia składowego anprostopadłego do prędkości ma postać:
Składowa ta nosi nazwę przyspieszenia normalnego, a związana jest ze zmianą kierunku wektora pr ędkości.
Przyśpieszenie normalne
Składowa przyspieszenia w kierunku wektora
prędkości nazywana jest przyspieszeniemstycznym i
związana jest ze zmianą wartości wektora prędkości.
Wartość at jest określona w postaci:
Przyśpieszenie styczne
jest sumą przyspieszenia normalnego i stycznego
a wartość tego wektora obliczamy z zależności
Wektor przy śpieszenia
Na podstawie tych wiadomości można ustalić z jakim ruchem punktu materialnego mamy do czynienia:
an≠0, at ≠0 - Przyspieszenie całkowite jest nachylone
pod pewnym kątem (ostrym lub rozwartym) do prędkości. Rozważany ruch jest ruchem krzywoliniowym zmiennym, zmienia się wartość i kierunek pr ędkości.
an=0, at ≠0 - Całkowite przyspieszenie jest styczne do
toru. Prędkość w takim ruchu może zmienić swoją wartość ale jej kierunek pozostaje bez zmian. Jest to ruch prostoliniowy zmienny.
an≠0, at =0 - Całkowite przyspieszenie ma kierunek
prostopadły do toru. Prędkość w tym ruchu może zmieniać jedynie swój kierunek, a wartość pozostaje stała. Rozważany ruch będzie ruchem jednostajnym krzywoliniowym.
an=0, at =0 - Całkowite przyspieszenie jest równe zeru.
Wektor pr ędkości w takim ruchu nie może zmienić ani swojego kierunku ani wartości. Jest to więc ruch jednostajnie prostoliniowy.
Ruch jednostajny po okr ęguW ruchu jednostajnym punkt materialny porusza się ruchem
jednostajnym po okręgu o promieniu r, przebywając w równych
odstępach czasu t równe odcinki drogi (łuki P1P2, P2P3, P3P4,).
v
v
v
P3
P4
αr r
vP1
P2an
Rys. 13
Prędkość średnia punktu wyraża sięjako
Jednak w tym przypadku droga jest łukiem, więc jak wiadomo z geometrii
czyli
P1 P2
P3
P4
Stosunek kąta α wyrażonego w radianach doczasu t, w którym ten kąt został zatoczony,nazywamy prędkością kątową.
Tak więc wartość prędkości liniowej otrzymamy z wyrażenia
Prędkość kątowa
Prędkością obrotową punktu po okręgu nazywamy
liczbę pełnych obiegów w ciągu jednej minuty
Prędkość obrotowa
Pomiędzy prędkością kątową [rad/s] i prędkością obrotową [obr/min] zachodzi zależność
Przyśpieszenie kątowe (składowa styczna at oznaczana przez ε ) określa zmianę wektora prędkości kątowej.
W przypadku ruchu jednostajnego po okręgu składowa styczna przyśpieszenia kątowego jest równa zeru.Występuje tylko składowa normalna, której wartość określona jest wzorem:
Ruch zmienny po okręgu – przyśpieszenie kątowe
Przykład 1. Tarcza ośrednicy d=2r=20cmzaczyna obracać się
ruchemjednostajnie przyspieszonymz przyspieszeniemkątowym
ε=5 rad/s2. Obliczyć przyspieszenie styczne i normalne punktów
leżących na obwodzie tarczy w dziesiątej sekundzie ruchu.
ω
a
at
r
v
an
Rozwiązanie:
Dane: ε=5 rad/s2; r=0,1m Obliczyć : at i an po 10 sek. ruchu
Prędkość kątowa po 10 s ruchu wynosi:
Przyśpieszenie normalne i styczne
Przykład 2. Ruch punktu po płaszczyźnie określony jestrównaniami: x=40t, y=5t2. Obliczyć wartości przyspieszeniastycznego i normalnego w chwili t=3s.
Rozwiązanie:
dla t=3s
Składowe prędkości:
Składowe przyśpieszenia
Moduł wektora prędkości wynosi:
Moduł wektora przyśpieszenia:
dla t=3s
Przyspieszenie normalne obliczamy z zależności
dla t=3s
Pierwsza pochodna prędkości określa przyspieszenie styczne
Przykład 3Narysować wykres s(t), v(t) oraz a(t) ilustrujący ruch ciała rzuconego pionowo w górę z prędkością początkową v0.
v0
Dane: v0, h0.
h0
RozwiązanieWychodzimy z podstawowego równania:
v0
– przez cały czas trwania ruchu.
x
y
Ruch jednostajnie opó źniony.
Rozwiązanie
2twt
tw–g
0
a(t)
tw 2tw
v(t)
t
v0
0
–v0
Rozwiązanie
tw 2twt
s(t)
h0
hmax
RozwiązanieObliczymy ponadto czas wznoszenia:
v0
Wyjdziemy z równania:
x
y
RozwiązanieWysokość rzutu obliczymy z zależności:
v0
h max
Zatem:
x
y
Przykład 4Ruch ciała po gładkiej równi pochyłej, a następnie po gładkim torze poziomym.
a(t) = g a(t) = 0
parabola prosta
gładkie przejście (funkcja różniczkowalna)!!!
t
s(t)
Jak odczytywa ć z wykresu?1. Ruch jednostajny prostoliniowy:
v(t)
t
v0 > 0
0t0
v(t)
t
v0 < 0
0 t0
prędkość dodatnia – punkt oddala się od obserwatora.
prędkość ujemna – punkt zbliża się do obserwatora.
Jak odczytywa ć z wykresu?1. Ruch jednostajny prostoliniowy:
funkcja drogi rosnąca – punkt oddala się od obserwatora.
s(t)
t0t0
α
tgα > 0
s(t)
t0t0
α
tgα < 0
funkcja drogi malejąca – punkt zbliża się do obserwatora.
Jak odczytywa ć z wykresu?1. Ruch jednostajny prostoliniowy:
wartości funkcji drogi dodatnie –punkt porusza się po jednej stronie obserwatora.
s(t)
t0t0
α
s(t) > 0
wartości funkcji drogi ujemne –punkt porusza się po przeciwnej stronie obserwatora.
s(t)
t0 t0
s(t) < 0
Jak odczytywa ć z wykresu?2. Ruch jednostajnie przyspieszony (opó źniony):
funkcja prędkości rosnąca – punkt przyspiesza.
v(t)
t
tg α > 0
0t0
α
v(t)
t
tg α < 0
0t0
α
funkcja prędkości malejąca – punkt zwalnia.
Jak odczytywa ć z wykresu?2. Ruch jednostajnie przyspieszony (opó źniony):
wartość prędkości dodatnia – punkt oddala się od obserwatora.
v(t)
t
v(t) > 0
0t0
v(t)
t
v(t) < 0
0 t0
wartość prędkości ujemna – punkt zbliża się od obserwatora.
Jak odczytywa ć z wykresu?
Reguły są analogiczne jak dla ruchu jednostajnego prostoliniowego. Dodatkowo:
2. Ruch jednostajnie przyspieszony (opó źniony):
parabola wypukła – punkt przyspiesza.
α1
α2
α2
α1
parabola wklęsła – punkt zwalnia.
Przykład 5Mając dany wykres prędkości od czasu, narysować wykresa(t) oraz s(t). Wyznaczyć:� wartość przyspieszenia w każdymz przedziałów;� przebytą drogę na końcu każdego przedziału.Dane dodatkowe: s(0) = v1t1/2.
RozwiązanieObliczymy najpierw wartość przyspieszenia i przebytejdrogi w każdymz przedziałów:
0 < t < t1
α1
Prędkość ujemna, zatem punktzbliża się do obserwatora.
Rozwiązanie
t1 < t < 2t1
α1
Obliczymy najpierw wartość przyspieszenia i przebytejdrogi w każdymz przedziałów:
α2
Rozwiązanie
Dla 2t1:
α1
Wartość położenia na końcu każdego z przedziałów:
α2
Dla t1:
prędkość malejąca –parabola wklęsła
prędkość rosnąca –parabola wypukła
Rozwiązanie
Wykres drogi od czasu:
t1 2t1
t
s(t)
0
2
v 11t
2
v 11t−
s1(t)
s2(t)
Rozwiązanie
Wykres przyspieszenia od czasu:
t1 2t1t
a(t)
0
1
1v
t−
1
1v
t