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PRESENTACIÓN En nuestra vida diaria nos llega con mucha frecuencia información estadística. Al leer un periódico o una revista, al consultar información en una enciclopedia o en un texto nos encontramos con cantidad de gráficos, tablas y dato que se presentan en variedad de formas. Tanto en la economía como en los deportes, pasando por las comunicaciones, el estudio de las poblaciones o los resultados de unas elecciones políticas, nos encontramos con datos manejados estadísticamente. En este módulo estudiaremos las nociones básicas de la estadística utilizando como herramienta primordial el modelo pedagógico institucional que nos permitirá, entre otras cosas, comprender algunas presentaciones estadísticas de datos.
AREA DE MATEMÀTICAS
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TABLA DE CONTENIDO
PROYECTO TRASVERSAL CONVIVENCIA Y SEXUALIDAD
UNIDAD I Probabilidad Resultados y espacios muéstrales. Enfoques de la probabilidad. Escala de probabilidades. Diagramas de árbol. Los juegos de azar y las reglas de la probabilidad UNIDAD II
TECNICAS DE CONTEO (PERMUTACIOJES, VARIACIONES, COMBINACIOES, TRIANGULO DE PASCAL) Y PROPIEDADES DE LA SUMATORIA Y PRODUCTORIA.
Conteo de resultados. Permutaciones. Permutaciones con repetición. Combinaciones. Variaciones.
Combinaciones según el triangulo de Pascal. Problemas de aplicación Propiedades de la sumatoria. Propiedades de la productora.
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PROYECTO TRASVERSAL CONVIVENCIA Y SEXUALIDAD
USO DE ANTICONCEPTIVOS
No obstante que la prevalencia de uso de anticonceptivos entre mujeres
adolescentes unidas se incrementó de 30% en 1987 a 48.8% en el año 2000,
sigue siendo la más baja con respecto a los otros grupos de edad y
significativamente menor en comparación con el total de las mujeres unidas.3
Esta es una de las características distintivas de la población adolescente y pone
de manifiesto que las estrategias para hacer llegar los métodos anticonceptivos a
este segmento de la población no han sido del todo exitosas (Figura 4).
Adicionalmente, la demanda insatisfecha de métodos anticonceptivos entre las
mujeres unidas de 15 a 19 años es la más alta de todos los grupos de edad y
representa más del doble con respecto al valor estimado para todas las mujeres.
De acuerdo a las estimaciones hechas por el Consejo Nacional de Población
(CONAPO) en 1997, el porcentaje de las adolescentes unidas de 15 a 19 años
que no pudo obtener un método anticonceptivo a pesar de su deseo manifiesto de
evitar el embarazo fue del 26.7 %; esta cifra contrasta con la obtenida para el
grupo de mujeres unidas de 15 a 49 años, donde el porcentaje estimado fue de
12.1%.
Se estima que durante el año 2000 ocurrieron en el país cerca de 366 mil
nacimientos de madres de 15 a 19 años, lo que representa el 17% del total de
nacimientos y una tasa específica de fecundidad de 70.1% por mil mujeres de ese
grupo de edad. A pesar de que durante los últimos seis años el número de
nacimientos se redujo en poco más del 10%, la prevención del embarazo no
planeado en las adolescentes continúa siendo un desafío prioritario en salud
reproductiva (Cuadro I).
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* Por 1,000 mujeres de 15 a 19 años. Fuente: Estimación en base a las Encuestas
Nacionales Sociodemográficas.
ACTIVIDAD
1. Lee cuidadosamente el texto anterior, busca las palabras desconocidas y realiza un glosario con ellas.
2. Teniendo como base el texto completa o contesta:
a. No obstante que la prevalencia de uso de anticonceptivos entre mujeres adolescentes unidas se incrementó de __________________________ __________________________________________________________
b. _____ _____ el porcentaje de las adolescentes unidas de ____ a _____
años que no pudo obtener un ___________ __________ a pesar de su
deseo manifiesto de evitar el embarazo fue del ______ esta cifra
contrasta con la obtenida para el grupo de mujeres unidas de _____ a
_____ años, donde el porcentaje estimado fue de _______.
c. A pesar de que durante los últimos seis años el número de nacimientos se redujo en poco más del _____ la prevención del embarazo no planeado en las _________ continúa siendo un desafío prioritario en salud.
3. Según el cuadro el nacimiento en miles de 1900 es de ____________ y el nacimiento en 1998 ________ y de 1996 hasta el 2000 es de __________
4. Representa la información anterior en un histograma. 5. Consulta por internet que significan las siglas CONAPO
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PROBABILIDAD
DESEMPEÑO
Comprender y clasificar los enfoques probabilísticos y los clasifica según la escala e interpretar las regla de probabilidad y las aplica en problemas prácticos.
INDICADORES DE DESEMPEÑO
Comprender y clasificar los enfoques probabilísticos y los clasifica según la escala de probabilidad
Construye diagramas de árbol, teniendo como base la probabilidad de dos a más sucesos.
Interpreta las reglas de probabilidad y las aplica para la solución de problemas de la vida cotidiana
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Los conceptos de azar e incertidumbre son tan viejos como la civilización misma. La humanidad siempre ha debido soportar la incertidumbre acerca del clima, de su abastecimiento de alimentos y de otros aspectos de su medio ambiente, y ha tenido que esforzarse por reducir esta incertidumbre y sus efectos. Incluso la idea de juego de azar tiene una larga historia. Aproximadamente por el año 3500 a.C., los juegos de azar eran practicados con objetos de hueso, considerados como los precursores de los dados, y fueron ampliamente desarrolladas en Egipto y otros lugares. Dados cúbicos con marcas virtualmente idénticas a las de los dados modernos han sido encontrados en tumbas egipcias que datan del año 2000 A.C. Sabemos que el juego con dados ha sido popular desde esa época y que fue parte importante en el primer desarrollo de la teoría de la probabilidad.
En 1520, cuando era estudiante de la Universidad de Padua, Hierónimo Cardán escribió el libro sobre juegos de azar pero fue publicado en latín solo hasta 1663, ochenta y siete años después de su muerte. Aunque la historia de la probabilidad se inicia con la correspondencia entre Pascal y Fermat, este libro fue texto de referencia de estos dos genios de la matemática ya que en él se formulan importantes ideas referentes a la probabilidad, a pesar de que es en esencia un libro de juegos de azar.
En esta obra se encuentra implícita la ley de los grandes números, así como también en ella calcula probabilidades de obtener algunos resultados en juegos de cartas y especialmente en el denominado póker medieval. La llamada escuela probabilística o enciclopédico temática surge en Francia a partir del empleo de la matemática en el cálculo de probabilidades como instrumento de investigación.
Basándose en dicha correspondencia, el físico-astrónomo-matemático alemán Christian Huygens, maestro de Leibniz, publicó en 1656 el libro De ratiociniis in ludo aleae, (Razonamientos en juegos de azar), el primer libro impreso sobre probabilidad.
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El cálculo de probabilidades nace con Blaise Pascal (1623-1662) y Pierre de Fermat (1601-1665). Al tratar de dar soluciones a problemas relacionados con juegos de azar planteados por Antonio Gamboud, más conocido con el título
nobiliario de caballero de Meré. Posteriormente muchos otros matemáticos prestigiosos como Abraham De Moivre(1667-1754), Pierre Simón Laplace (1749-1827) y Carl Friedrich Gauss (1777-1855), hicieron trascendentales aportes a esta teoría hasta convertirla en el principal instrumento de análisis de los fenómenos aleatorios.
Durante los S. XIX y XX se destacaron algunos estadísticos como: EGON PEARSON, (1895 - 1980), ANDREI KOLMOGOROV, (1903 -1987), P.L CHEBYSHEV, (1821 - 1894), ANDREI MARKOV, i(1856 - 1922) y A.M LYAPUNOV (1857 -1918).
Resuelve las siguientes preguntas:
1. ¿En que se basó el desarrollo de la primera teoría de la probabilidad?
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
2. ¿En que tiempo y quienes empezaron o se iniciaron los juegos de azar?
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3. ¿Quién fue la primera persona en escribir un libro sobre juegos de azar?, ¿En que año lo publico?
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
4. ¿Quién y en que año publicó el primer libro impreso sobre probabilidades? ¿Qué titulo recibió dicha obra?
____________________________________________________________________________________________________________________________________
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5. ¿Según el texto quienes pueden ser considerados como los padres de la probabilidad?
____________________________________________________________________________________________________________________________________
6. Escriba el nombre de 3 representantes de la teoría de la probabilidad en los siglos XIX y XX.
7. Resalta los personajes que hicieron participes de la historia de la probabilidad y consulta la biografía de cada uno de ellos.
Probabilidad es el grado de incertidumbre o creencia de que algún fenómeno o suceso pueda ocurrir y la forma de determinarlo o cuantificarlo numéricamente.
La probabilidad es un número entre 0 y 1 que permite
predecir la ocurrencia de un evento o suceso dependiendo del entorno en el que se encuentre. Por eso la formula general de una probabilidad es: 0 ≤ P(A) < 1(La probabilidad de un suceso A es mayor
o igual cero, pero menor que uno).
EXPERIMENTO ALEATORIO: Es
aquel en el que una misma acción da origen a resultados diferentes. Estos experimentos reciben también el nombre de pruebas al azar.
Diremos que un experimento es aleatorio si se verifican las siguientes condiciones:
1. Se puede repetir indefinidamente, siempre en las mismas condiciones;
2. Antes de realizarlo, no se puede predecir el resultado que se va a obtener;
3. El resultado que se obtenga, pertenece a un conjunto conocido previamente de resultados posibles. A este conjunto, de resultados posibles, lo denominaremos
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espacio muestral y lo denotaremos normalmente mediante la letra S. Los elementos del espacio muestral se denominan sucesos elementales.
ESPACIO MUESTRAL: El conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio recibe el nombre de Espacio Muestral. Dicho conjunto se simboliza con la letra mayúscula S y el número total de resultados n(s). Ejemplo: Un Experimento de Probabilidad sencillo y común que se puede efectuar es el lanzamiento de una moneda. Este experimento tiene dos resultados posibles: Cara (c) y Sello (s) y ambos son igualmente posibles. El conjunto {c,s} (CARA, SELLO), es un espacio muestral para el experimento.
La siguiente tabla muestra cómo se aplica el espacio muestral acerca de la probabilidad de otros experimentos.
Experimento Aleatorio Resultados Espacio muestral (S)
A.
Lanzar una moneda moneda,
Es igualmente posible que al caer la moneda caiga cara o caiga sello.
S = { Cara, Sello }
El conjunto de los dos resultados igualmente posibles.
B.
Sacar una carta al azar
Es igualmente posible sacar al azar, cada una de las 52 cartas del póker
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K } Por cada uno de los 4 palos de la baraja (Corazones, Picas, Diamantes y tréboles)
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C.
Lanzar un dado
Es igualmente posible que cualquiera de las seis caras quede hacia arriba.
S = {1,2,3,4,5,6}
El conjunto de los seis resultados igualmente posibles.
D. D A C B Girar la ruleta.
El indicador tiene la misma probabilidad de detenerse en cualquiera de las cuatro regiones A, B, C o D.
S = {A, B, C, D}
El conjunto de los cuatro resultados igualmente posibles.
Existen dos enfoques para el cálculo de probabilidades:
1. Enfoque Clásico 2. Enfoque la de la Frecuencia Relativa
1. Enfoque Clásico o Probabilidad Clásica: Si en un experimento aleatorio existen n (S) resultados igualmente posibles, entonces la probabilidad de que un evento A ocurra es el cociente del número de resultados favorables al evento A entre el número total de resultados posibles en el experimento; es decir:
doslderesultanúmerotota
Avorablesdesultadosfanúmerodere
Sn
AnAP
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Ejemplo 1: Se juega un dado legal (un dado que no está cargado) y se observa la cara que
muestra hacia arriba. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga un 2? El espacio muestral de este experimento tiene seis resultados posibles [n(S) =
6], que son:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Si A representa el evento de que aparezca el número 2, A = {2}, entonces
6
1)( AP = 0.166 = 16.6%. Este resultado corresponde a la probabilidad
clásica. Ejemplo 2:
Si se tiene una baraja de Póker de 52 cartas, cual es la probabilidad de sacar un as? Si en una baraja existen 4 ases (Picas, corazones, tréboles, y diamantes), entonces la probabilidad de que
sea un as es:
52
4)( BP = 0.076 = 7.6%
LAS PROBABILIDADES SIEMPRE DEBEN DARSE EN PORCENTAJES YA
QUE ES LA FORMA MAS INDICADA DE DEFINIRLAS.
2. Enfoque axiomático ó de la Frecuencia Relativa: Concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso, como un número entre 0 y1.
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Este concepto tiene que ver directamente con la noción de frecuencias
relativas, don de 0 ≤ hi < 1.
Ejemplo: Supongamos que se lanza cien veces una moneda, anotamos el número de
veces que sale cara y las veces que sale sello; los resultados fueron los siguientes:
La probabilidad para el lanzamiento No 101 está dado por: Frecuencia Absoluta: Cara: 56 veces Sello: 44 veces Frecuencia Relativa: 56/100 44/100 Probabilidad: P: 56% (éxito) Q: 44% (fracaso)
Hay un 56% de probabilidades que en el lanzamiento No 101 caiga Cara y un 44% de probabilidades que caiga sello.
P = probabilidad de éxito Q = probabilidad de fracaso
Es posible establecer una escala de valores entre 0 y 1. La probabilidad igual a uno (1) ó al 100% corresponde al limite superior, el cual se considera como certeza absoluta. En el otro extremo correspondiente al límite inferior tenemos la probabilidad igual a 0 (cero) donde hablamos de sucesos de imposibilidad absoluta. Si la probabilidad esta entre 0 (cero) y 0.5 (50%), estamos hablando de un suceso inverosímil; cuando la probabilidad es igual a 0.5 (50%), nos encontramos con un
Lanzamientos Número de veces que sale
Cara 56
Sello 44
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suceso dudoso; y cuando la probabilidad esta entre 0.5 (50%) y menos que 1.0 (100%), decimos que tenemos un suceso verosímil. Veamos la gráfica para una mayor comprensión: 1.0 Certeza absoluta. Ejemplo: Morir algún día 0.5 < P < 1.0 Suceso Verosímil. Ejemplo: Ganar una rifa de 100 boletas comprando 60 de ellas. 0.5 Hecho Dudoso. Ejemplo: Lanzamiento de una moneda. 0.0 < P < 0.5 Suceso inverosímil. Ejemplo: Ganar una rifa de 100 boletas comprando 25 de ellas. 0.0 Imposibilidad absoluta. Ejemplo: Cruzar el océano nadando.
1. Escribe 3 ejemplos de sucesos verosímil, inverosímil, dudoso y certeza absoluta
2. Un experimento consiste en hacer girar un indicador como el que se muestra en
la figura. Morado Café
Negro Blanco
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a. Encuentre un espacio muestral para este experimento.
b. ¿Cuál es la probabilidad de cada resultado en el espacio muestral?
c. Si {Rojo, otro color} fuera un espacio muestral para este experimento,
¿Qué probabilidad debería asignarse a cada resultado? _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________
3 En un juego de escalera los niños lanzaron un dado 150 veces uno de los
niños que estaba anotando los resultados anunció que los números que cayeron fueron:
Número Frecuencia
1 18
2 25
3 16
4 43
5 25
6 23
Total 150
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a) ¿Que enfoque de la probabilidad está aplicando el ejercicio? Explicar. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
b) Determinar la probabilidad de que en el lanzamiento 151 salga 1,2, 3, 4, 5, 6.
3. Decir a qué tipo de suceso pertenecen de acuerdo a la escala de probabilidades:
a) En un tiro de bolos derribar 8 de los 10 pinos __________________ b) Sacar un estudiante de noveno al azar _______________________ c) Sacar un número par en el dado ____________________________ d) Todos nacemos de una mujer_______________________________ e) Mi abuela tiene 20 años ___________________________________
3. Si 380 de 700 amas de casa entrevistados en un supermercado declararon
que preferirían el “Detergente Nuevo y Mejorado“, al anterior, estimemos la probabilidad de que una ama de casa que esté en ese supermercado prefiera el” Detergente Nuevo y Mejorado” ¿A que tipo de suceso pertenece?
4. Una muchacha recoge champiñones. Accidentalmente recoge tres hongos venenosos que son casi idénticos a siete champiñones que ya había recogido. Después se come uno de los diez hongos. ¿Cuál es la probabilidad de que se haya comido un hongo venenoso? ¿De qué tipo de suceso estamos hablando?
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5. Completar los siguientes enunciados:
a) Probabilidad es el grado de ________________ o _________________ de que un __________ pueda __________________.
b) La __________________ es un número entre__________________ que
permite__________________la ocurrencia de un ___________________.
c) Si el evento se representa como A, entonces la _____________ de que
ocurra se denota como ______________.
d) Según el enfoque___________________si en un _______________ existen n resultados igualmente ____________, entonces la _______________ de que ocurra un evento A es el ___________ de número de ___________________ entre el número de ________________________.
e) El método ________________ concibe la________________como un
número entre ______________. y este concepto tiene que ver directamente con la noción de __________________ donde _____________.
6. según la escala de probabilidades:
a) 0,5 < P<1, pertenece a _______________. b) 0< P< 0,5, pertenece a ________________.
DIAGRAMA DE ARBOL Los diagramas de árbol son útiles para contar resultados y para determinar probabilidades de algunos sucesos.
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Estos se utilizan para diagramar resultados en sucesos independientes, es decir que ninguno de los sucesos depende de otro (s) para poder ocurrir. Ejemplo: determinar los posibles resultados y la probabilidad de obtener dos caras un sello en el lanzamiento de tres monedas. Solución: El espacio muestra del lanzamiento de una moneda es: {Cara, Sello},
así mismo la probabilidad de cualquiera de los es: P(cara) = ½ = 0.5 = 50% P(sello) = ½ = 0.5 = 50% El diagrama de árbol para este ejemplo seria:
2
1
2
1
C S
2
1
2
1
2
1
2
1
C S C S
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
C S C S C S C S A B C D E F G H
Cada rama del árbol está marcada “2
1” debido a que la probabilidad que resulte
cara o sello es 2
1. Observe que para llegar al punto A en el árbol, se debe
obtener cara en cada uno de los tres primeros lanzamientos. Para encontrar la probabilidad multiplicamos las probabilidades a lo largo de cada rama del árbol. Así.
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P(A) = P (CCC) = 8
1
2
1
2
1
2
1 = 0.125 = 12.5%
El resultado A (Tres caras) puede representarse mediante el símbolo CCC. El resultado B (Dos caras y un sello) se denota por el símbolo CCS.
El diagrama del árbol indica que hay 8 resultados posibles para tres lanzamientos de una moneda. Puesto que todos los resultados son igualmente posibles. P(A) = P(CCC) = 1/8 = 0.125 = 12.5% P(B) = P(CCS) = 1/8 = = 0.125 = 12.5%. P(C) = P(CSC) = 1/8 = 0.125 = 12.5% P(D) = P(CSS) = 1/8 = = 0.125 = 12.5%. P(E) = P(SCC) = 1/8 = 0.125 = 12.5% P(F) = P(SCS) = 1/8 = = 0.125 = 12.5%. P(G) = P(SSC) = 1/8 = 0.125 = 12.5% P(H) = P(SSS) = 1/8 = = 0.125 = 12.5%. En el cuaderno resuelva lo siguiente: 1. El gerente de una compañía, desea ocupar tres vacantes en diferentes cargos,
a los cuales se presentan hombres y mujeres, elabore el diagrama de árbol, teniendo en cuenta que hombres y mujeres tienen la misma probabilidad de ser elegidos, construya el espacio muestral y determine:
a. La probabilidad de que se contraten 2 mujeres. b. La probabilidad de que se contraten 3 hombres.
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2. De acuerdo al siguiente indicador realiza un diagrama de árbol para el experimento de hacer girar el indicador. El espacio muestral para el experimento es {A, B, C}
A
C B
La P(A) = 2
1, P(B) =
4
1 y P(C) =
4
1. El símbolo AC representa el resultado en
el cual se obtiene A en el primer tiro y C en el segundo. Halle la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos:
a. AA d. BA b. AB e. BB c. AC f. BC
3. De acuerdo al siguiente indicador, realice el diagrama de árbol para el experimento de hacer girar el círculo en dos ocasiones.
P(A) = 1/3 P(B) = 1/6 P(C) = 1/4 B P(D) = 1/4 A C D Halle la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos:
a. AA d. BC b. AB e. BD c. AC f. CD
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4. Si el diagrama de árbol de los puntos 2 y 3 se aplicara a tres tiros, ¿cuántos
resultados diferentes habría? a. ¿Cuál sería P (AAA)?
b. ¿Cuál sería P (ABC)? Para el ejercicio 2 c. ¿Cuál sería P(BCD)? d. ¿Cuál sería P(CCD)? Para el ejercicio 3
Completar el siguiente mentefacto conceptual y diagrama de Venn – Euler.
MENTEFACTO CONCEPTUAL
ENFOQUES Y ESCALA DE LA PROBABILIDAD
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DIAGRAMA DE VENN-EULER
PROBABILIDAD:
EXPERIMENTO ALEATORIO:
ESPACIO MUESTRAL:
ELEMENTO MUESTRAL:
ENFOQUE CLASICO:
ENFOQUE RELATIVO:
FRECUENCIA ABSOLUTA:
FRECUENCIA RELATIVA:
SUCESO IMPOSIBLE:
SUCESO INVEROSIMIL:
SUCESO VEROSIMIL:
SUCESO DUDOSO:
SUCESO CERTEZA ABSOLUTA:
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REGLAS DE LA PROBABILIDAD
Como nos decía la Unidad I, la teoría de la probabilidad esta fuertemente ligada a los juegos de azar; de allí se originó y fue con base en los juegos de azar que se creó la aún actual teoría de las probabilidades.
Vamos ahora a ver los juegos de azar más comunes en probabilidades y los elementos que los conforman.
LANZAMIENTO DE DOS DADOS En la grafica vemos el espacio muestral para el lanzamiento de dos dados, uno rojo y uno azul.
BARAJA ESPAÑOLA
La baraja española consiste en un mazo de 40 naipes, clasificados en 4 "palos" y numerados del 1 al 12 (no cuentan los ochos y los nueves). Ciertos mazos
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incluyen Las figuras de la baraja española corresponden a los números 10, 11 y 12, y se llaman "sota", "caballo" y "rey" respectivamente.
Los cuatro palos son: oros, copas, espadas y bastos.
LA BARAJA DE POKER
La baraja de Póker se compone de un mazo de 52 cartas, el cual se clasifica en cuatro “Palos”, donde cada palo se compone de 13 cartas, las diez primeras están numeradas del 1 al 10, las 3 restantes son las figuras y se representan con las letras J, Q y K.
Los palos de la baraja de Póker son: Picas, Corazones, Diamantes y Tréboles
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Las reglas de la probabilidad son operaciones útiles para calcular probabilidades de diferentes sucesos, teniendo en cuenta el entorno y las circunstancias como estos se presentan.
Para facilitar el cálculo de las probabilidades se emplean cuatro leyes o reglas que son:
a. Regla de la adición. b. Regla de la multiplicación. c. Regla del exponente. d. Regla del complemento
REGLA DE LA ADICIÓN
En la regla de la adición se contemplan dos tipos de sucesos:
a. Sucesos Mutuamente Excluyentes:
Si dos o más sucesos son tales que solamente uno de ellos puede ocurrir en un solo ensayo, se dicen que son mutuamente excluyentes. Se denomina probabilidad aditiva y será igual a la suma de las probabilidades de cada suceso.
pppn
P ...........21
Consideremos que ppppn
,,.........,,321
son las distintas probabilidades de n
sucesos mutuamente excluyentes, la probabilidad (P) de que uno de estos
sucesos se presente en un solo ensayo, estará dada por la suma de las
probabilidades para cada suceso P pppn
...........21
.
De acuerdo a lo anterior mutuamente excluyente significa que solamente un
solo suceso o evento puede ocurrir, o sea que los demás no se pueden presentar al mismo tiempo. La fórmula anterior la podemos expresar de una manera más fácil y entendible:
BAP PP BA
P CBA
PPP CBA
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Ejemplo 1:
La probabilidad de obtener un As o un rey, sacando una sola carta en una baraja Española de cuarenta cartas. Si uno de los casos aparece queda excluido el
otro.
AsP A 10
1
40
4
yP BRe
10
1
40
4
5
1
10
2
10
1
10
1 PPP BABA
Ejemplo 2: La probabilidad de sacar un As ó un diez de corazones ó un 3 de diamantes, extrayendo una sola carta de una baraja de Póker de 52 cartas.
AsP A 52
4
nesDiezCorazoP B 52
1
tesTresDiamanP B 52
1
%53.111153.0
52
6
52
1
52
1
52
4 PPPP CBABoCA
b. Sucesos Compatibles o complementarios:
Se dice que dos sucesos son compatibles, o que no son mutuamente excluyentes, cuando la posibilidad de que ocurra un suceso no impide la ocurrencia del otro.
La formula general para los sucesos complementarios es:
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PPP AyBBA
BAP
Ahora, el experimento con la bajara española de cuarenta cartas consiste en extraer una carta y se desea saber cuál es la probabilidad de que la carta extraída sea as o copas.
Observamos que al extraer una carta puede ser as, pero también puede ser as
de copas, cumpliéndose la realización de las dos pruebas en forma simultánea; por tal razón, se dice que los sucesos son compatibles, o también nos podemos referir a una probabilidad conjunta.
En este caso la probabilidad de uno de los dos sucesos se halla así:
La probabilidad de que aparezca un as: 40
4P A
; la probabilidad de que
aparezca copas: 40
10P B
; la probabilidad de que sea as de copas: 40
1P AyB
.
40
13
40
1
40
10
40
4BAP = 0,325 = 32.5%
Utilizando la regla de la adición resuelve los siguientes ejercicios. 1. La probabilidad de obtener un tres o un cuatro en el lanzamiento de un dado. 2. Al lanzar un dado Usted apuesta $10000 a que el numero obtenido debe ser par o divisible por 3. ¿Cuál es la probabilidad de que usted gane? 3. Considere una baraja de Póker de 52 cartas y se desea extraer una carta. Cual
es la probabilidad de obtener una J o trébol?
4. La probabilidad de que un alumno del Cisneros pierda matemáticas es del0.3, y
de que pierda Estadística es de 0.5 y de que pierda las dos es de 0.2. Cual es la probabilidad de que el alumno pierda matemáticas o estadística?
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5. Una empresa ofrece un cargo al cual se presentan 35 aspirantes de diversas profesiones: 8 economistas, 6 administradores, 7 contadores, 10 ingenieros, 4 tecnólogos. Si todos tienen el mismo chance de ser seleccionados:¿ cual es la probabilidad de que el cargo sea ocupado por:
a. ¿Un economista ó un ingeniero? b. ¿Un administrador ó un contador? c. ¿Un contador ó un tecnólogo ó un ingeniero? d. ¿Un economista o un administrador ó un contador?
6 La probabilidad de obtener un 5 o un número mayor de 6 en el lanzamiento de dos dados.
7. La probabilidad de sacar un 10 de corazones o un 6 de diamante o un
as en una baraja de pokers
REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN
La segunda regla de la probabilidad es la regla de la multiplicación, esta al igual que la regla de la adición se subdivide en dos tipos de sucesos que son:
Sucesos independientes Dos o mas sucesos son independientes, si la probabilidad de presentación de ninguno de ellos queda influenciada por la presentación del otro. Es decir, si el resultado de un suceso no afecta al otro estamos hablando de sucesos independientes. En caso contrario se dice que son dependientes. Por lo tanto se efectuará la multiplicación de las probabilidades para cada suceso.
Si PPP n,.....,,
21 son las distintas probabilidades de presentación de n sucesos
Independientes, la probabilidad (P) de que ocurran todos estos sucesos en un solo ensayo, estará dada por el producto de cada suceso.
P = PPPP n .....
321.
Diferencias entre sucesos mutuamente excluyentes y
sucesos independientes
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Los sucesos independientes y los sucesos mutuamente excluyentes se parecen mucho, por lo tanto se deben saber diferenciar, aquí algunas diferencias:
1. En los sucesos mutuamente excluyentes se tiene un solo dado, una sola baraja una sola moneda, en los independientes se tiene mas de un elemento (barajas, dados, monedas).
2. En los mutuamente excluyentes se extrae una sola carta, o se obtiene una
sola cara del dad, es decir se espera la presentación de un sola suceso; en lo independientes se espera la presentación de dos o mas sucesos.
3. En los mutuamente excluyentes se utiliza la conjunción “Ó” y en los
independientes se utiliza la conjunción “Y” Ejemplo1: ¿Qué probabilidad tendremos de obtener dos reyes sacando una carta de una
baraja y la otra de una segunda baraja?
P =100
1
1600
16
40
4
40
4 = 0.01 = 1%
Ejemplo 2:
Al lanzar dos dados ¿cual la probabilidad de obtener dos ases?
P = %7,2027,036
1
6
1
6
1
Sucesos Dependientes:
Se dice que los sucesos son dependientes o eventos compuestos, si la ocurrencia o no ocurrencia de un evento en cualquier prueba afecta la probabilidad de otros eventos en otras pruebas, es decir que la probabilidad del segundo suceso depende del primer suceso, en el tercero lo que haya sucedido en el primero y segundo y así sucesivamente. Si se van a sacar tres cartas de una baraja, se debe hacer sin reposición, es decir al extraer una carta, ella no vuelve a formar parte del total y en vez de tener en cuenta 40 cartas, para la segunda se tendrán 39.
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Recordemos, que dos o más eventos son dependientes, cuando la ocurrencia de uno afecta la ocurrencia de los otros, en un orden determinado. En caso contrario los sucesos son independientes.
La formula general será:
P PPPP n ..........
321
Ejemplo 1:
Probabilidad de obtener 3 ases, sacando sucesivamente tres cartas de una baraja española, sin volverlas a incluir (sin reposición) en el montón.
40
41P ,
39
32P ;
38
23P
Ejemplo 2:
En la sede de la asociación de deportistas se encuentran reunidos 6 futbolistas, 3 beisbolistas, 4 tenistas 7 atletas, y 5 golfistas. Si al iniciar la sesión solo había 22 deportistas. ¿Cuál es la probabilidad de que los que se fueron sean:
a. 1 beisbolista y 1 futbolista y 1 tenista? b. 2 atletas y un golfista?
a. 25
3PB
; 24
6PF
; 23
4PT
%521.013800
72
23
4
24
6
25
3P
b. 25
7PA
; 24
6PA
; 23
5PT
%52.113800
210
23
5
24
6
25
7P
%04.059280
24
38
2
39
3
40
4P
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1. Supongamos que se dispone de tres barajas de 40 cartas cada una. Se desea
extraer tres cartas, una de cada baraja; ¿Cuál es la probabilidad de obtener un As y un Rey de oros y un seis de copas?
2. Una máquina en buenas condiciones de trabajo, produce un artículo defectuoso
por cada 200. Los resultados correspondientes a artículos producidos sucesivamente son independientes. ¿Cuál es la probabilidad para que los próximos dos artículos producidos por esta máquina no tengan fallas?
3. La probabilidad de obtener un As y un Rey de bastos y un Diez de espadas,
sacando sucesivamente tres cartas, sin reposición, de una baraja de 40 cartas. 4. De una baraja de Póker de 52 cartas se desea extraer tres cartas en forma sucesiva sin reposición, es decir, la carta que se extrae no se regresa a la baraja; ¿cuál es la probabilidad de que en la primera extracción aparezca un As de Picas y en la segunda una Q y en la tercera un seis? 5. En la sede de la sociedad de ingenieros, están reunidos 5 ingenieros mecánicos, 8 ingenieros de sistemas, 7 ingenieros industriales, 4 ingenieros electrónicos, 6 ingenieros civiles. Si al iniciar la sesión solo había 27 ingenieros. Cual es la probabilidad de que los que hayan salido sean:
a. 1 ingeniero mecánico y 1 ingeniero industrial y un ingeniero de sistemas?
b. 1 ingenieros civil y un ingeniero electrónico y un ingeniero industrial?
c. 2 ingenieros de sistemas y un ingeniero civil? d. 3 ingenieros industriales?
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REGLA DE LA COMPLEMENTACIÓN
La regla de la complementación esta ligada directamente con la teoría de conjuntos en la que se dice que si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, al conjunto A' formado por todos los elementos de U pero no de A, se llama complemento de A con respecto a U.
Ejemplos:
a) Sean U = { m, a, r, t, e } y A = { t, e }
El complemento de A es A’ = (m, a, r)
En la teoría de las probabilidades el conjunto universal es el total de las probabilidades, es decir 1.0 si hablamos en decimales, ó 100%, si lo expresamos en porcentajes.
Las probabilidades de A yA’ están relacionadas según la siguiente igualdad:
APAP 1' 1' APAP
S A’ A Lo anterior se denomina regla de la complementación Ejemplo 1:
¿Cuál es la probabilidad de obtener 1, 2, 3, ó 4 cuando se arroja un dado común?
En un problema de este tipo es mucho más conveniente y acertado obtener
primero P(A), donde A es el evento de obtener los números 5 ó 6, que es 6
2 en
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este caso. Evidentemente, A’ representa el evento de no obtener un resultado de
5 ó 6, en consecuencia:
%6666.0.6
4
6
211' APAP
Ejemplo 2:
Si se arrojan dos dados comunes, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos de los dados no sea 7? En este experimento hay 36 posibles resultados, y 6 de ellos corresponden al evento A de que la suma es 7;
A = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}. Suponiendo que hay resultados igualmente probables, entonces, la probabilidad de que A’ ocurra, donde A’ es el evento A de que la suma no sea 7, es igual a:
36
6AP
6
5
36
30
36
611' APAP .
Si A y B son un par de eventos definidos en un espacio muestral S, entonces la probabilidad de que ni A ni B ocurran es:
La anterior es la fórmula para la probabilidad de que no ocurra ninguno de dos eventos.
BAPPBAP BA
1''
'́
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S A B
BA
'' BA
REGLA DEL EXPONENTE
Es una forma muy sencilla para determinar el número de casos posibles, en algunos problemas de probabilidad. En la regla del exponente hacemos uso de la operación denominada potenciación donde se tiene una base que esta representada por el número de resultados posible y un exponente que corresponde al número de experimentos realizados. Ejemplo 1:
Supongamos el lanzamiento de una moneda, en el cual se tendrán dos resultados cara o sello. Este valor tendrá como base el número de resultados posibles (Cara y sello) y como exponente al número de lanzamientos que hagamos, como se puede observar a continuación;
a. En un lanzamiento será : 221 casos posibles
b. En dos lanzamientos será : 422 casos posibles
c. En tres lanzamientos será : 823 casos posibles
d. En cuatro lanzamientos será : 1624 casos posibles, etc.
Y así sucesivamente, durante todos los lanzamientos que sean necesarios
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Ejemplo 2: Si consideramos el lanzamiento de dados, se tendrá:
a. Un solo dado será : 661 casos posibles
b. Dos dados será : 3662 casos posibles
c. Tres dados será : 21663 casos posibles, etc.
Ejemplo 3:
¿Con cuántos billetes (boletos) juega una lotería, y cuál es la probabilidad de ganar si compro un billete?
a. ¿Si cada uno de ellos tiene 4 cifras? b. ¿Si se juega además con 120 series?
a. Los dígitos son 10 o sea 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, por lo tanto el número de
billetes será de 10000104 . La probabilidad de ganar con la compra de un
billete será:
P = %01,00001,0000.10
1 .
b. Ahora 000.200.1120000.10 billetes. La probabilidad de ganar al comprar
un billete será de:
P = %00008,00000008,0000.200.1
1
Ejemplo 4: Un código alfanumérico se compone de 2 números y 3 letras, ¿cuantos códigos diferentes puede haber?
Como los dígitos son 10, entonces determinamos la cantidad de números posibles que conforman el código.
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100102 , luego determinamos la cantidad posible de letras que conforman el
código. El alfabeto se compone de 26 letras (Sin Ch, Ll, Rr), entonces
17576263 . Por ultimo determinamos la cantidad total de códigos posibles:
102* 26
3 175760017576*100 Códigos diferentes.
1. Se arrojan dos dados. Determina la probabilidad para cada uno de los siguientes eventos:
a. La suma no es 10
b. La suma no es 8
c. La suma es menor que o igual a 6 d. ¿Cuál es la probabilidad de que no aparezca un 4 o un 9?
2. En una fábrica de camisas se manufactura independientemente corte, costura y
pulimento, siendo estas partes armadas aleatoriamente en cada camisa. Se sabe que en este proceso, el cinco por ciento (0.05) de los cortes, el cuatro por ciento (0.04) de las costuras y el dos por ciento (0.02) de las pulidas tienen fallas; ¿qué porcentaje de camisas resulta:
a. Con fallas en sus tres componentes?
b. Sin fallas en sus tres componentes?
3. Nicolás y Valentina estudian en el mismo curso: la probabilidad de que Juan pierda al menos una materia es de 0.2 y la probabilidad de que Valentina no pierda ninguna es de 0.7. Cual es la probabilidad de:
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a. Que los dos pierdan al menos una materia.
b. Que Nicolás pierda una y Valentina ninguna. c. Que Nicolás no pierda ninguna y Valentina al menos una. d. Que los dos no pierdan ninguna. 4. ¿Cuántas series telefónicas pueden haber en una ciudad, si los números
telefónicos están compuestos por:
a. seis dígitos b. siete dígitos
5. Para los vehículos de servicio particular ¿Cuántas placas se pueden elaborar si se conforman de tres letras y tres dígitos? 1. Teniendo en cuenta el espacio muestral para el lanzamiento de dos dados: ¿Cuál es la probabilidad de:
a. Sacar un resultado cuya suma de seis? b. Sacar un resultado cuya suma de diez? c. Sacar un resultado cuya suma de siete?
2. Las caras de un dado común se hallan numeradas de 1 a 6.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que habiéndose lanzado el dado, aparezca en la cara superior un valor par?
b. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor a dos?
3. a. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar tres monedas, todos sean caras?
c. ¿De que dos de las tres sean sellos?
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4. ¿Cuál es la probabilidad de que sean varones, dos de tres hijos de una
familia?
5. ¿Cuál es la probabilidad, en la experiencia de los dos dados, uno azul y otro rojo, de obtener? (en cada uno debe establecerse el espacio muestral)
a. De que en uno de ellos se presente el 4 y en el otro un valor menor a 4 b. De obtener en el dado blanco un número menor de tres y en el dado rojo, un valor mayor a tres. 6. Completar el siguiente mentefacto conceptual y diagrama de Venn - Euler
MENTEFACTO CONCEPTUAL
REGLAS DE LA PROBABILIDAD
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DIAGRAMA DE VENN-EULER
SUCESOS: SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES: SUCESOS COMPATIBLES: SUCESOS INDEPENDIENTES: SUCESOS DEPENDIENTES: REGLA DE LA ADICION: REGLA DE LA MULTIPLICACION: REGLA DE LA COMPLEMENTACION: REGLA DEL EXPONENTE:
UNION DE SUCESOS: INTERSECCION DE SUCESOS:
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TECNICAS DE CONTEO (PERMUTACIOJES, VARIACIONES, COMBINACIOES, TRIANGULO DE PASCAL) Y PROPIEDADES DE LA SUMATORIA Y
PRODUCTORIA.
DESEMPEÑO Determinar permutaciones, variaciones y combinaciones y loa aplica en la solución de problema e interpreta las propiedades de las notaciones y las aplica en la solución de ejercicios
INDICADORES DE DESEMPEÑO
Calcula permutaciones y variaciones de los elementos de un conjunto y los
aplica en la solución de problemas prácticos.
Calcula combinaciones y utiliza el triangulo de pascal para solución problemas prácticos.
Interpreta las propiedades de las sumatoria y productorias y los aplica en la solución ejercicios
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EL ESTADO COLOMBIANO Y LA ESTADISTICA El Departamento Administrativo Nacional de Estadística, DANE, es la institución encargada de realizar, analizar y publicar todas las estadísticas concernientes a las actividades esenciales del país, con el objeto de orientar a todas las ramas del poder público en la toma de decisiones. Una de las tareas más conocidas entre las realizadas por el DANE es el cálculo del índice de precios al consumidor (IPC). Se trata de un instrumento estadístico que permite estimar en los hogares, la llamada canasta familiar. Los artículos que componen esta canasta básica se determinan de acuerdo con el consumo usual de un hogar promedio, se mantienen fijos por un tiempo determinado y se modifican de acuerdo con los cambios en las costumbres de la población. Mediante procedimientos estadísticos se adquiere información sobre los precios de esta canasta básica; con ellos se calculan los cambios producidos en el mes y se obtienen un índice porcentual que refleja el aumento o la disminución en un periodo determinado. Este índice calculado se publica a principios de cada mes en todos los periódicos del país y a su vez se halla el acumulado de cada año. El IPC es un indicador importante para hacer diagnósticos sobre la situación económica del país y por consiguiente para tomar decisiones sobre la política económica. Por ejemplo, para fijar el porcentaje del aumento anual de los salarios, tanto trabajadores como empresarios lo tienen siempre en cuenta.
ACTIVIDAD 8
1. ¿Cuál es el objetivo del DANE? 2. ¿Qué significa IPC? 3. ¿Para qué sirve el IPC? 4. ¿Por qué es tan importante el IPC en nuestro país? 5. Consulta 3 indicadores que sirvan para realizar diagnósticos sobre la economía del país.
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Se definen como métodos que nos permiten conocer el número total de resultados de un experimento aleatorio sin enumeración directa. Con frecuencia la parte más difícil en el análisis de un experimento y en las operaciones relacionadas con las probabilidades asociadas con el experimento consiste en contar el número de resultados posibles.
PERMUTACIONES Son una forma de ordenar o arreglar la totalidad de los elementos de un conjunto con un orden definido. Se simboliza por Pn = n! o también nPn = n!; se lee como permutación de n elementos formados de n en n. El símbolo n! se lee n factorial y se resuelve así:
4032012345678!8
Ejemplo 1: supongamos que se tienen los siguientes números naturales 1, 2, 3, 4
y se quiere formar cifras de 4 dígitos. Según la formula anterior se tendrá que: N = 4
4P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = = 24 Veamos cuales serían las cifras que se podrían permutar:
1234 2134 3142 4132 1243 2143 3124 4123 1324 2314 3214 4213 1432 2341 3241 4231 1342 2413 3412 4312 1423 2431 3421 4321
Ejemplo 2: Cuantas palabras de cinco letras se pueden formar con las letras de la
palabra libro.
N = 5
5P5= 5! = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
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PERMUTACIONES CON REPETICIÓN: Cuando uno o varios elementos están repetidos, el cálculo de las permutaciones varía en este caso nos referimos a permutaciones con repetición y su fórmula es:
!
!
r
nPn r
Ejemplo 1: Cuantas permutaciones se pueden hacer con las tras de la palabra Casa? N = 4, r = 2 (aa)
12
1234
!2
!44 2
P r
12
2
244 2
P r
Ejemplo 2: ¿Cuantas permutaciones se pueden hacer con las letras de la palabra
tártara? N = 7 r = 3(aaa), 2(rr), 2(tt)
210
24
5040
226
1235467
!2!2!3
!77 2,2,3
xx
xxxxx
xxP r
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1. En una universidad de Bogotá a cinco estudiantes se les califica con las letras A, B, C, D, E. De cuántas maneras se les puede calificar, si todos los estudiantes obtienen calificaciones diferentes. 2. Si un futbolista conoce siete jugadas diferentes y si el entrenador le instruye
para que juegue las siete sin que ninguna se repita, ¿Qué libertad le queda a ese jugador?.
3. Una señora invita a cenar a once amigos y después de sentarse ella, ¿De
cuántas maneras se pueden sentar sus invitados? 4. Cuántas permutaciones se puede hacer con las letras de la palabra MURCIELAGO
5. ¿Cuántas cifras de nueve dígitos se pueden formar con los dígitos del 1 al 9? 6. Un examen consta de 14 preguntas y se deja en libertad para contestarlas en
el orden que se desee. ¿De cuántas maneras podrá contestar? 7. ¿Cuántas palabras de con o sin sentido idiomático pueden tomarse a partir de
las letras de la palabra REPUBLICANISMO? 8. ¿Cuántas permutaciones pueden efectuarse con las letras de la palabra ESTADISTICA?.
9. ¿Cuántas permutaciones se pueden hacer con las letras de la palabra MISSISSIPPI?
10. ¿Cuántas permutaciones se puede hacer con las letras de la palabra COOPERATIVISMO?
VARIACIONES
Son permutaciones en las que se implica orden en la colocación de los elementos, pero con la diferencia a las permutaciones, de que se toma únicamente una parte de los elementos del conjunto.
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VPVn
rrrnn Son los diferentes símbolos, que pueden utilizarse y que se leen
como variaciones o permutaciones de n elementos tomados de r en r.
!!
rn
nnPr
n es el total de elementos del conjunto y r es aquella parte de los
elementos que se quiere permutar.
Ejemplo 1:
1. Volvamos nuevamente a los cuatro números naturales: 1, 2, 3, 4 y formemos cifras de tres dígitos, con los siguientes resultados:
123 213 312 413 132 231 321 431 124 214 314 412 142 241 341 421 134 234 342 423 143 243 324 432
24
!1
!4
!34
!444
33
PV
Con la calculadora 4000 directamente se obtendrá el resultado de 24, si operamos de la siguiente manera:
4 SHIFT x1 3 EXE con el resultado en pantalla de 24 observe que al teclear
4 SHIFT x1 3 EXE en la pantalla aparece P3
4
Ejemplo 2: si se tienen 8 pupitres puestos en fila, se quiere determinar de
cuantas maneras posibles se pueden ordenar 3 alumnos.
336
!5
!8
!38
!588
33
PV
Ejemplo 3: ¿cuantas cifras de 4 dígitos se pueden formar con los números del 0 al 9, usándolos una sola vez?
5040
!6
!10
!410
!10810
44
PV
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El caso anterior es diferente al de la lotería, tomando los dígitos del 0 al 9 y además, a cada billete la corresponden 4 cifras de 4 dígitos, el total de billetes será de 10000.
N = 104 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10000
1. Si un estudiante tiene 9 libros y sedea ordenar a 5 de ellos sobre un estante. ¿De cuantas maneras distintas puede hacerlo?
2. ¿Cuantos números de 4 dígitos pueden formarse con los dígitos 1, 3, 5, 7, y 9,
si ninguno puede aparecer más de una vez en cada número? 3. ¿Cuantas palabras de 5 letras diferentes se pueden formar con la 27 letras del
alfabeto
COMBINACIONES Las combinaciones son un arreglo de los elementos sin importar el orden en que se disponga. La fórmula que se utiliza en el cálculo de las combinaciones es:
!!
!
rrn
nC rn
Se pronuncia las combinaciones de n elementos organizados de r en r
Ejemplo 1:
Cambiemos el ejercicio de los cuatro números naturales por las primeras cuatro letras del alfabeto A, B, C, D. Si se desea combinarlos, ¿cuántas combinaciones se podrán hacer Una sola combinación, ya que al no importar el orden de colocación da lo mismo
ABCD = ADBC = ACBD = CBAD = DACB =, etc.
1
!41
!4
!4!0
!4
!4!44
!444
C
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El 0! Es igual a 1, lo que se puede demostrar. Tomamos la calculadora y la utilizaremos así:
0 - SHIFT - ! - = Y aparecerá como resultado 1.
Ejemplo 2:
Si se fueran a combinar esas cuatro letras de dos en dos, se tendría:
AB = BA AC = CA BC = CB BD = DB CD = DC AD = DA
6
4
24
4
!4
!2!2
!4
!2!24
!424
C
Ejemplo 3: En este mismo ejercicio calcular las combinaciones de tres en tres.
ABC = BCA = CBA = ACB = BAC = CAB
ABD = ADB = BDA = BAD = DAB = DBA
ACD = ADC = CAD = CDA = DCA = DAC
BCD = BDC = CBD = CDB = DBC = DCB
4
6
24
6
!4
!3!1
!4
!2!34
!434
C
1. ¿Cuantos comités diferentes pueden seleccionarse entre 7 hombres y 4
mujeres, si deben constituirse de:
a. 3 hombres y dos mujeres
b. 5 personas de las cuales por lo menos tres deben ser hombres.
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2. Es necesario elegir un comité de 10 personas entre 6 abogados, 8 economistas y 5 ingenieros. Si el comité debe estar integrado por 4 abogados, 3 economistas y 3 ingenieros.
3. ¿Cuántos comités compuestos de tres diputados y cinco senadores pueden
formarse tomando como base un grupo de cinco diputados y ocho senadores? 4. ¿Cuántas comisiones de tres personas se pueden formar seleccionándolas
entre diez personas? ¿De siete entre diez? 5. ¿De cuántas maneras se puede sacar dos manzanas de una caja que contiene
ocho manzanas? 6. Una caja contiene siete fichas rojas, seis fichas blancas y cuatro fichas azules. Cuántas selecciones de tres fichas se pueden formar si:
a. ¿Las tres deben ser rojas?
b. ¿Ninguna puede ser roja? 7. ¿Cuantos grupos de cinco cartas se pueden armar de una baraja de Póker de
52 cartas? 8. Un examen costa de 14 preguntas, hay que dar respuesta a solo 8 de las14
preguntas para pasar. ¿Cuántas opciones diferentes tiene el estudiante para responder las preguntas necesarias para pasar?
9. De una bolsa que contiene 7 bolas negras y 5 blancas, ¿cuantos conjuntos de 5 bolas pueden extraerse, si se desea que 3 de ellas sean negras y dos blancas?
10. ¿Cuantos grupos diferentes pueden formarse de entre 5 señoritas morenas y 7 rubias, si se desea incluir 2 dos morenas y 4 rubias?
COMBINACIONES SEGÚN EL TRIANGULO DE
PASCAL Se llama Triangulo de Pascal a la distribución de números en forma triangular de la derecha, la cual se puede extender para que tenga todas las filas que desee. En la figura tiene diez filas. Trate de encontrar el patrón de formación del triangulo. Se utiliza para resolver problemas que encierren combinaciones que en otro caso serían difíciles de solucionar, lo cual constituye en una herramienta o alternativa de hallar combinaciones de elementos.
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0
1
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1 1
1
1
1
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2 2
1
2 1
2
2
1
0
3 3
1
3 3
2
3 1
3
3
1
0
4 4
1
4 6
2
4 4
3
4 1
4
4
1
0
5 5
1
5 10
2
5 10
3
5 5
4
5 1
5
5
1
0
6 6
1
6 15
2
6 20
3
6 15
4
6 6
5
6 1
6
6
1
0
7 7
1
7 21
2
7 35
3
7 35
4
7 21
5
7 7
6
7 1
7
7
1
0
8 8
1
8 28
2
8 56
3
8 70
4
8 56
5
8 28
6
8 8
7
8 1
8
8
1
0
9 9
1
9 36
2
9 84
3
9 126
4
9 126
5
9 84
6
9 36
7
9 9
8
9 1
9
9
Ejemplo:
En una prueba de cinco problemas el alumno puede responder tres problemas. ¿Cuántas combinaciones diferentes de problemas puede escoger el alumno?
Tomemos la quinta fila del Triángulo de Pascal
1 5 10 10 5 1
Así para un conjunto de 5 problemas, hay diez combinaciones de 3 problemas que
el alumno puede escoger.
5 problemas
4 problemas 1 problemas
0 problemas
3 problemas 2 problemas
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1. Por medio del Triangulo de Pascal, halle las respuestas a las preguntas. a. ¿Cuántos comités de tres miembros se pueden seleccionar entre ocho
personas? b. ¿Cuántos comités de cinco miembros se pueden seleccionar entre siete
personas? c. En una prueba de diez problemas, un alumno puede hacer siete cualesquiera. ¿Cuántas selecciones diferentes de los problemas puede hacer?
d. Un entrenador debe seleccionar entre diez jugadores, un equipo de cinco. ¿Cuántos equipos diferentes se pueden formar si no se tiene en cuenta que posición ocupa cada jugador?
2. En la siguiente figura aparecen tres números consecutivos de una fila del
Triangulo de Pascal. ¿Cuáles son los números de la fila siguiente que van en el espacio?
66 220 495 3. ¿Cuáles serán los dos primeros números de la fila 17 del Triángulo de Pascal? 4. Susana tiene nueve gatitos. Quiere quedarse con tres y regalar los demás.
a. ¿Cuántos grupos diferentes de cuatro puede regalar? 5. Margarita solo tiene dinero suficiente para comprar dos caramelos pero hay
siete variedades de las cuales puede escoger. ¿Cuántas selecciones diferentes puede hacer si ambos caramelos son distintos?
6. Completar el siguiente mentefacto conceptual y el Diagrama de Venn-Euler.
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MENTEFACTO CONCEPTUAL
TÊCNICAS DE
CONTEO
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Usando el procedimiento correspondiente, resuelve y señala la respuesta correcta: 1. El valor de 5! es:
a. 15 b. 25 c. 120 d. 3125 e. Ninguna de las anteriores
2. El número de grupos de 5 estudiantes que se pueden formar con un total de 20 es:
a. 4 b. 15.504 c. 100 d. 20 e. Ninguna de las anteriores
3. El número de permutaciones que se pueden tomar con las letras de la palabra “mejoral” es:
a. 7 b. 1260 c. 42 d. 5040 e. Ninguna de las anteriores
4. El número de cifras distintas que se pueden formar con 3, 3, 3, 5, 5, 6, 7, es:
a. 240 b. 140 c. 5040 d. 504 e. Ninguna de las anteriores
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5. Si A y B son un par de eventos cualquiera, el evento de menor probabilidad es:
a. A b. B
c. BA d. BA e. Ninguna de las anteriores
6. Si A y B son un par de eventos mutuamente excluyentes, entonces:
a. P( BA ) = P(A) P(B)
b. P( BA ) = c. P( BA ) = 0
d. P BPA
B
e. Ninguna de las anteriores 7. Si A y B son un par de eventos independientes, entonces:
a. P( BA ) = 0 b. P( BA ) = P(A) + P(B)
c. P APB
A
d. Ninguna de las anteriores 8. Se lanzan tres monedas en forma simultánea. La probabilidad de que una sea
cara es:
a. 1/2 b. 3/9 c. 3/8 d. 1/8 e. Ninguna de las anteriores
9. Para calcular la probabilidad de obtener cara con una moneda cargada, se
debe emplear:
a. La fórmula clásica b. La fórmula de frecuencia relativa c. La fórmula de la suma d. La regla de la complementación e. Ninguna de las anteriores
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APLIQUEMOS LO APRENDIDO EN EL ICFES
RESPONDE LAS PREGUNATAS 1 – 3 CON EL SIGUIENTE ENUNCIADO
Federico fue el ganador de $100.000 en una mini lotería, él por un costo de $1.000 apostó a tres dígitos diferentes y ganó porque los dígitos que seleccionó coincidieron con los sorteados (no importaba el orden).
1. Federico desea apostar nuevamente utilizando únicamente el dinero que
ganó. Si no puede apostar más de una vez a cada trío de dígitos, es correcto afirmar que si invierte los $100.000
a. incrementará sus ganancias. b. existe una posibilidad entre seis de que pierda. c. puede apostar a todas los tríos de dígitos posibles. d. existen cinco posibilidades entre seis de que pierda.
2. Si Federico decide apostar los $100.000 en el chance y le pagan $500 por
cada $1 apostado pero para ganar debe acertar en su orden los tres últimos dígitos de una lotería, es correcto afirmar que
a. si en el chance apuesta $100 a cada trío posible, gana $100.000. b. en el chance para ganar $100.000 tiene que apostar mínimo $200.
c. si en la mini lotería apuesta $50.000 es seguro que gana $100.000 d. en la mini lotería el número de posibles apuestas es menor que en el chance.
3. Si la mini lotería modificará las reglas y para ganar se deben acertar cuatro
dígitos diferentes en el orden en que salgan en el sorteo, es correcto afirmar que la posibilidad de
a. perder es 42 veces mayor. b. perder es 10 veces mayor. c. ganar se reduce a la cuarta parte. d. ganar es igual con cualquiera de las dos reglas.
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CONTESTA LAS PREGUNTAS DE LA 4 – 6 CON EL SIGUIENTE ENUNCIADO
En una institución escolar, de un grupo de 10 estudiantes conformado por 6 hombres y 4 mujeres, se van a elegir por votación:
- 1 personero - 1 representante al consejo directivo - 3 representantes al consejo estudiantil (Para ocupar los cargos de presidente, secretario y tesorero)
4. Si fueran elegidos 3 hombres para ocupar los cargos del consejo estudiantil, el número de consejos diferentes que se podrían formar es
A. 4 B. 6 C. 15 D. 20 5. Concluida la votación, un observador se da cuenta que de los 4 primeros estudiantes elegidos 3 son mujeres y 1 es hombre, el observador puede afirmar que el quinto estudiante elegido tendrá A. el doble de posibilidad de ser un hombre que una mujer. B. el doble de posibilidad de ser una mujer que un hombre. C. el triple de posibilidad de ser un hombre que una mujer. D. el triple de posibilidad de ser una mujer que un hombre.
6. La probabilidad de que los estudiantes elegidos sean 2 hombres y 3 mujeres es igual a la probabilidad de que los elegidos sean
A. 4 hombres y 1 mujer. B. 1 hombre y 4 mujeres. C. 3 hombres y 2 mujeres. D. 5 hombres y ninguna mujer
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PERMUTACIÓN:
COMBINACIÓN: VARIACION: PERMUTACION CON REPETICION: TRIANGULO DE PASCAL:
Notación es la acción de indicar o representar por medio de signos convencionales términos estadísticos. Estas notaciones se pueden representar por medio de índices, subíndices y símbolos (productoria, sumatoria, etc.).
El uso de la notación genera la rapidez, la versatilidad, la organización de los sistemas numéricos, los cuales en algunos problemas matemáticos y estadísticos eran muy grandes y engorrosos, lo que dificultaba la manipulación y la solución pronta a estos problemas; con la ayuda de la notación se sintetizaron grandes problemas y paso de dificultades grandes a pequeñas.
Estas notaciones se representaron de la siguiente manera:
Se reemplaza “n” en la ecuación después de sigma, por los enteros 1, 2,........,n y se suman las expresiones que resulten.
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Ejemplo:
En una encuesta a hogares sobre el presupuesto familiar se preguntó sobre el número de integrantes en la familia. Fueron encuestadas diez familias y los datos son los siguientes:
3 5 4 6 4 3 7 8 3 4
En primer lugar asignamos a cada valor su posición correspondiente así:
X1 = 3 X2 = 5 X3 = 4 X4 = 6 X5 = 4 X6 = 3 X7 = 7 X8 = 8 X9 = 3 X10 = 4
X1 = 3 significa que la primera familia encuestada tiene tres integrantes. X2 = 5 significa que la segunda familia encuestada tiene cinco integrantes y así sucesivamente.
La variable X en este caso es equivalente a las familias y el subíndice n es igual a la posición en la que la familia fue encuestada en distintas observaciones de un estudio estadístico también así: X1 “se lee” “equis sub-uno” que corresponde al primer dato. X2 “se lee” “equis sub-dos” que corresponde al segundo dato y así sucesivamente hasta Xn “se lee” “equis sub-ene” que es la última o n-esima
medición. El conjunto de n observaciones constituye una muestra de tamaño n. El conjunto de datos X1, X2,......,Xn no permite apreciar los elementos importantes para analizar, pero sí conocer su posición.
1. A la siguiente familia de datos sobre el número de mascotas de 24 familias,
asígnele el sub-índice correspondiente y de una ligera explicación sobre sus posiciones.
1 6 4 2 3 5 2 1 2 1 4 3 2 4 5 1 1 5 4 3 2 3 4 3
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2. Realizar la tabla de Frecuencias para el punto 1.
Dato F. Absoluta F. Acumulada F. Relativa F. Porcentual
1
2
3
4
5
6
TOTALES
a. Grafica en tu cuaderno de tres maneras diferentes los resultados obtenidos. En estadística nos encontramos frecuentemente con la suma de un gran número de términos. Con el fin de simplificar, es indispensable indicar mediante un símbolo dicha suma. Notación simplificada y simbólica de la suma de un gran número de términos que
guardan entre sí cierta relación. Se simboliza (sigma). Ejemplo:
Dado un conjunto de datos: 4, 8, 3, 12, 15, 16, 20, 22, 21, 14, 12, 5.......... X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9, X10, X11, X12 ......... Xn Se puede representar la suma de los n primeros términos con la notación sumatoria o sigma, así:
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n
ixi
1
Donde: n = limite superior de la sumatoria
Xi = elemento genérico de la sumatoria
∑ = Sumatoria
i = limite inferior de la sumatoria
Y esto se lee:
La sumatoria de los equis sub - i que van desde 1 hasta n. La letra X es el índice
de la suma o variable de la sumatoria; ahora:
12
1xxi
= 4 + 8 + 3 + 12 + 15 + 16 + 20 +22 + 21 + 14 +12 +5 = 152
PROPIEDADES DE LA SUMATORIA
Además de que el signo de la sumatoria sea el más utilizado en las propiedades de Estadística, las propiedades de la sumatoria tienen una gran importancia. Entre algunas de las propiedades de la sumatoria tenemos:
La sumatoria del producto de una constante por una variable: es igual al producto de la constante por la sumatoria de la variable. Ejemplo:
n
i
ki1
=
n
i
ik1
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5
1
2i
i 301086425)2(4)2(3)2(221)2(
Siendo igual a la expresión de:
5
1
2i
i 30152543212
Entre otros casos especiales de la sumatoria tenemos:
a.
n
i
i1
=
2
1nn
Ejemplo:
10
1i
i = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55
10
1i
i =
552
110
2
1110
2
11010
b.
n
ii
1
2
=
6
121 nnn
Ejemplo:
10
1
2
ii = 38510987654321
2222222222
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10
1
2
ii =
6
12011010 =
6
21110 = 385
c.
n
ii
1
3
=
2
12
nn
Ejemplo:
5
1
3
ii = 54321
33333 = 225
5
1
3
ii =
2
1552
=
2
302
= 225152
Resolver las siguientes sumatorias:
1.
5
1ii
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2.
10
4
2
ii
3.
9
5
2)10(
ii
4.
5
1
5i
i
5.
8
1
2
)4(i
i
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6.
8
22
i
i
7.
12
4
3i
i
Notación simplificada y simbólica de la multiplicación de un gran número de
términos que guardan relación entre sí. Se simboliza: (pi).
Ejemplo:
Dado el siguiente conjunto de datos:
2, 4, 3, 6 X1 X2 X3 X4
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Se puede representar el productos de los n primeros términos con la notación productoria así:
n
iix
1= xxx n
........21
Se reemplaza la n en la ecuación productoria por los enteros 1, 2,......., n y se multiplican las expresiones que resultan, con lo que se llega al lado derecho de la expresión; esto se lee: La productoria de los equis sub-ene que van desde uno hasta ene. La letra X es el índice del producto, ahora:
4
1iix 1446342
PROPIEDADES DE LA PRODUCTORIA El producto de una constante es igual a una potencia: en donde la base es la constante y el exponente es el límite superior del producto.
n
i
k1
= kn
kkkk ........ Ó sea
n
i
n
kk1
Ejemplo:
3
1
2i
= 8222 23
El producto de una constante por una variable: es igual a la constante elevada
al límite superior por la productoria de la variable.
n
iixk
1=
n
ii
n
xk1
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n
iixk
1= xxx n
kkk .......21
= xxx nkkkk .........
21
=
n
ii
n
xk1
Ejemplo:
3
1
2i
i=
3
1
3
2i
i = 48683218
Resolver las siguientes productorias:
1.
4
1i
i
2.
5
1
2i
i
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3. )44(
3
1
ii
4.
8
2
2 )3(i
i
5.
7
3
2
i
i
6.
3
1
3i
i
7.
8
2
3 8i
i
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8.
12
3
2i
i
1. Realizar de los siguientes datos las sumatorias y productorias correspondientes: a. 7, 9, 12, 6, 4, 3, 5, 1, 2, 4.
b. 2.5, 3.2, 0.4, 5.8, 1.7, 1.0, 2.5, 3.5, 1.2,
2. Responder con sus propias palabras las siguientes preguntas: a. ¿Qué se entiende por índice y subíndice? b. ¿Qué es una sumatoria?
c. ¿Qué es una productoria?
3. Redacta 2 ejemplos de sumatoria y 2 de productoria.
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INDICE: SUB- INDICE: SUMATORIA: PRODUCTORIA: CONSTANTE: NOTACION: SIGMA: PI:
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Estadística y Muestreo. Ed. Ecoe Ediciones Matemática con Tecnología Aplicada 10. Ed. Prentice Hall
Serie Matemática Moderna Segundo Curso. Ed. Norma
Manual Práctico de Estadística 2. Ed. Pime
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