Download - stainerov teorem
1
1
Dinamika krutog tijela
14. dio
2
Pojmovi:1. Vektor sile (translacija)
2. Moment sile (rotacija)
3. Momenti tromosti masa Iz4. Rad krutog tijela A
5. Kineti�ka energija Ek
6. Moment koli�ina gibanja
7. �����������u momenta koli�ine gibanja i momenta sile
zM→
→F
→zL
( )zz MfL =
3
Gibanje krutog tijela
A. Translacijsko gibanje
B. Rotacijsko gibanje
C. Složeno gibanje – Planarno gibanje(translacija i rotacija)
4
Gibanje krutog tijela
A. Translacija B. Rotacija
5
C. Složeno gibanjeKotrljanje valjkastog tijela po horizontalnoj podlozi bez klizanja
6
A. Translacijsko gibanje krutog tijela
Pod djelovanjem sile dovoljno je poznavati gibanje jedne to�ke tijela –centar masa (c.m.) ili središte masa. � Jednadžba translacijskog gibanja krutog
tijela:
→F
��
���
��=
=⋅→→
ii
.m.c
mM
FaM
2
7
Kineti�ka energija krutog tijela
• Translacija: sve to�ke tijela gibaju se istim brzinama koje su jednake brzini središta masa
)vm21
E(
vM21
E
i
2iik
2.m.ck
� ⋅=
⋅⋅=
8
B. Rotacijsko gibanje krutog tijela oko nepomi�ne osi
pod djelovanjem momenta→
zM
9
• sve �estice tijela gibaju se istom kutnom brzinom ω
• trajektorije �estica su kružnice �ija središta leže na pravcu
• pravac koji spaja središta kružnica predstavlja os rotacije
• os rotacije prolazi središtem masa• os rotacije: nepomi�na ili pomi�na (zvrk)• rotaciju �ini samo komponenta sile koja
leži u ravnini okomitoj na os rotacije Fti
10
�⋅= zz IM
� ⋅=i
2iiz rmIMoment tromosti krutog tijela
obzirom na os rotacije:
11
Ukupni stati�ki moment sila Fti oko osi z
ε⋅=⋅�=
⋅�⋅ε=�=
⋅⋅ε=
ε⋅⋅⋅=ε⋅=⋅=
⋅=
�=
zz
2iiz
2ii
iziz
2iizi
iiizi
t
tt
tiizi
iziz
IM
rmI
rmMM
rmM
rmrM
) r a
amF :gibanja gkrivocrtno (iz
FrM
MM
Moment tromosti masa:12
Momenti tromosti masa:
� ⋅=i
2iiz rmI
3
13
)m (kg dmrI 22z � ⋅=
� ⋅=i
2iiz rmI
Moment tromosti masa Iz je mjera tromosti tijela pri rotacijskom gibanje.
14
Moment tromosti štapa za os kroz centar masa- težište
12lm
I2
z⋅=
Štap duljine l, mase m
15
• Štap- duljine l- mase m
2l
2l
3
V
2l
2l
22z 3
xAdxxAdxAxI
−−
⋅ρ=⋅⋅ρ=⋅⋅ρ⋅= � �
xr dxAdVdm =⋅⋅ρ=⋅ρ=
� ⋅= dmrI 2z
16
Moment tromosti štapa za os kroz težište– centar masa
12lm
l12
lA4l
3A
8l
8l
3A
I2
2333
z⋅=⋅⋅⋅ρ=⋅⋅ρ=
�
��
����
����
�−−⋅ρ=
12lm
I2
z⋅=
17
Moment tromostihomogene plo�e radijusa R
2Rm
I2
z⋅=
182Rm
I
2R
RR4
24r
2drr2I
2
z
224
4R
0
3z
⋅=
⋅π⋅ρ=⋅πρ=πρ=� ⋅πρ=
dr1r2dVdm ⋅⋅π⋅ρ=⋅ρ=
� ⋅= dmrI 2z
ρ − gustoa
4
19
Moment tromosti prstena
2z RmI ⋅=
222z RmdmRdmrI ⋅==⋅= ��
z
20
Moment tromosti valjka radijusa r
2rm
I2
z⋅=
(puni valjak)
21
Moment tromosti
2z RmI ⋅=
šupljeg valjka kugle radijusa r
2z rm
52
I ⋅=22
Moment tromosti tijela za paralelnu os koja ne prolazi centrom masa
Steinerov teorem omogu�uje izra�unmomenta tromosti za bilo koju paralelnu os rotacije ako je poznat moment tromosti obzirom na os rotacije krozcentar mase
23
Steinerov teorem:
• Moment tromosti Iz1 obzirom na neku os z1jednak je momentu tromosti obzirom na paralelnu os kroz središte mase Iz, uveanom za produkt mase tijela i kvadrata udaljenosti izmeu tih dviju osi.
2z1z dmII ⋅+=
24
Steinerov teorem:
12lm3lm
I22
1z⋅⋅+⋅=
2z1z dmII ⋅+=
3lm
I2
1z⋅=
22
1z 2l
m12
lmI �
�
���
�⋅+⋅=
5
25
ϕ⋅= zMA
za Mz= konst.
Rad krutog tijela pri rotaciji
26
dsFdA T ⋅=
�drds ⋅=
�drFdA T ⋅⋅=
Tz FrM ⋅=Obrtni moment:
Put:
ϕ⋅=� ϕ⋅� ==
ϕ⋅=ϕ
z0
z
z
MdMdAA
dMdAza Mz= konst.
27
Kineti�ka energija krutog tijela
• Rotacija: oko nepomi�ne osi
2zk I
21
E �⋅=
ω
28
• Rotacija: oko nepomi�ne osi
2z
i
2ii
2
i
22iik I
21
rm21
rm21
E ω⋅⋅=� ⋅⋅ω⋅=� ω⋅⋅=
� ⋅=i
2iik vm
21
E
�⋅= ii rv
� ⋅=i
2iiz rmI
29
Koli�ina gibanjaza os z oko koje tijelo rotira
→K
→→⋅= iii vmK
30
Podsjetnik: - moment koli�ine gibanja zamaterijalnu to�ku
���
����
�→
sm
kg L2
O
→→→⋅×= vmrLO
→→⋅= vmK
OL→
6
31
Moment koli�ine gibanja za kruto tijelo
Moment koli�ine gibanja tijela koje rotirajednak je produktu momenta tromosti krutog tijela i kutne brzine rotacije tijela okonepomi�ne osi
�⋅= zz IL
ω
32
iii
ii
ziz
iiiz
vmrLL
vmrL
⋅�=�=⋅×=
→→→
ω⋅=
� ω⋅⋅=
ω⋅=
zz
ii
2iz
ii
IL
mrL
rv- obodna brzina:
ω
33
Veza izme�u momenta sile i momenta koli�ine gibanja
���
����
�=→→
zz LfM
� ×=�=
�=
=
→→→→
→→
→→
iii
iiz
iiz
zz
FrMM
LL
MdtLd
ω
34 M
dtLd
/ MFrdtLd
Fr0dtLd
FrvmvdtLd
dt
vmdrvm
dtrd
dtLd
vmrL
KrL
zz
iiii
iii
iiiii
i
iiii
iiii
iii
→→
→→→→
→→→
→→→→→
→
→→→→
→→→
→→→
=
Σ=×=
×+=
×+⋅×=
��
���
� ⋅×+⋅×=
⋅×=
×=
35
dtdL
M zz =
( ) ��
� ⋅==⋅= zzzz Idtd
IIdtd
M
ε⋅= zz IM
�⋅= zz IL Os z je os rotacije
ω
ε
36
Rotacija štapa oko nepomi�ne osi:- Centrifugalna sila:
u osloncima se javljaju jednake reaktivne sile FC/2
22
nc rmr
vmamF ω⋅⋅=⋅=⋅=
7
37
Podsjetnik:Gibanje materijalne to�ke po kružnoj putanji
D`Alembertov princip
22
ncpc
ccp
rmr
vmamFF
0FF
ω⋅⋅=⋅=⋅==
=−
38
Rotacija štapa oko nepomi�ne osi:Rezultanta parcijalnih centrifugalnih sila Fc jednakaje nuli i nema optereenja oslonaca A i B
39
Rotacija štapa oko nepomi�ne osi:
Parcijalne centrifugalne
sile Fc´ spregom optereuju oslonce A i B
40
Rotacija štapa oko nepomi�ne osi:
Rezultirajuacentrifugalna sila:
optereuju oslonce A i B
2Tc rmF ω⋅⋅=
41
D’Alembertov princip
• Dodamo li nekom sustavu sila i silu inerciju, sustav �e biti u ravnoteži.
• Time zadatak dinamike možemo rješavati pomo�u stati�kih uvjeta ravnoteže.
42
Opi zakoni dinamike krutog tijela:
1. Zakon o promjeni koli�ine gibanja
2. Zakon o promjeni kineti�ke energije
3. Zakon o o�uvanju mehani�ke energije
4. Zakon o promjeni momenta koli�ine gibanja
8
43
Opi zakoni dinamike krutog tijela:
1. Zakon o promjeni koli�ine gibanja
rotacijat MII
atranslacijtFIvmvm
z0z1z
(c.m.)0(c.m.)1
�⋅=ω⋅−ω⋅
�⋅==⋅−⋅
→→→
→→→→
44
Opi zakoni dinamike krutog tijela:
1. Zakon o promjeni koli�ine gibanja
2. Zakon o promjeni kineti�ke energije
rotacija M2
I2
I
atranslacij sF2
vm
2
vm
20z
21z
2(c.m.)0
2(c.m.)1
�ϕ⋅=ω⋅−ω⋅
�⋅=⋅
−⋅
→→
→→
45
Opi zakoni dinamike krutog tijela:
1. Zakon o promjeni koli�ine gibanja
2. Zakon o promjeni kineti�ke energije
3. Zakon o o�uvanju mehani�ke energije
0
20(c.m.)
1
21(c.m.) hgm
2
vm hgm
2
vm⋅⋅+
⋅=⋅⋅+
⋅
46
Opi zakoni dinamike krutog tijela:
1. Zakon o promjeni koli�ine gibanja
2. Zakon o promjeni kineti�ke energije
3. Zakon o o�uvanju mehani�ke energije
4. Zakon o promjeni momenta koli�ine gibanja
MdtLd
zz
→→
=
47
C. Planarno gibanje krutog tijelaIz kinematike:• sve to�ke na okomici
opisuju identi�ne meusobno paralelne putanje i u svakom trenutku imaju jednake vektore brzina i ubrzanja
• svodi se na prou�avanje gibanja presjeka S u ravnini Π.
48
• Svako gibanje presjeka S može se razložiti na translacijsko gibanje i rotacijsko gibanje oko proizvoljno odabranog pola - to�ke A
9
49
Trenutni pol brzina P
• Trenutni pol brzina je to�ka P u presjeku S krutog tijela �ija je brzina u odreenom trenutku jednaka nuli (vP =0).
50
IP - moment tromostikrutog tijela u odnosuna os rotacije kroz trenutni pol brzina P
2P)pg(k I
21
E ω⋅=
Kineti�ka energija krutog tijela Ek(pg)pri planarnom gibanju
51
Primjer planarnog gibanja krutog tijela:
Kotrljanje bez klizanja valjkastog tijela po horizontalnoj podlozi
52
2P
2.m.c
2.m.c)pg(k I
21
I21
vm21
E ω⋅⋅=ω⋅⋅+⋅⋅=
53
( )
2.m.c
2.m.c)pg(k
222.m.c)pg(k
22.m .c)pg(k
.m.c
2.m .cP
2P)pg(k
vm21
I21
E
rm21
I21
E
rmI21
E
rPCv
rmII
I21
E
⋅⋅+ω⋅⋅=
ω⋅⋅⋅+ω⋅⋅=
ω⋅⋅+=
ω⋅=ω⋅=
⋅+=
ω⋅=
54
Kraj !