www.gruparectan.com

Strona :1

Zadanie : Wyznaczyć położenie głównych centralnych osi bezwładności i obliczyć główne centralne momenty

bezwładności

* Rozwiązanie zadania *

Oznaczenia :

A [cm²] - pole powierzchni figury

Xo [cm] - współrzędna X środka ciężkości figury w układzie globalnym

Yo [cm] - współrzędna Y środka ciężkości figury w układzie globalnym

A·x [cm³] - moment statyczny względem osi Y w układzie globalnym

A·y [cm³] - moment statyczny względem osi X w układzie globalnym

Xc [cm] - współrzędna X środka ciężkości układu figur w układzie globalnym

Yc [cm] - współrzędna Y środka ciężkości układu figur w układzie globalnym

xc [cm] - odległość X pomiędzy środkiem ciężkości figury a środkiem ciężkości układu

yc [cm] - odległość Y pomiędzy środkiem ciężkości figury a środkiem ciężkości układu

Jx [cm4] - moment bezwładności figury względem osi X

Jy [cm4] - moment bezwładności figury względem osi Y

Dxy [cm4] - dewiacyjny moment bezwładności figury

A·x·x [cm4] - element do wzoru Steinera

A·y·y [cm4] - element do wzoru Steinera

A·x·y [cm4] - element do wzoru Steinera

...............................................................................................................................................................................................................................

Tabela 1 Środki ciężkości Figur

Fig. Xo [cm] Yo [cm] A [cm²] A·x [cm³] A·y [cm³]

1 5,490 10,000 32,200 176,778 322,000

2 10,240 17,260 15,500 158,720 267,530

Sumy 47,700 335,498 589,530

/rectanbudownictwo

Strona :2

1. Położenie XcYc głównych centralnych osi bezwładności względem układu XY

Tabela 2 Momenty i Dewiacje

Fig. xc [cm] yc [cm] Jx [cm4] Jy [cm4] Dxy [cm4] A·x·x [cm4] A·y·y [cm4] A·x·y [cm4]

1 -1,544 -2,359 1910,000 148,000 0,000 76,713 179,207 117,250

2 3,206 4,901 145,000 145,000 85,100 159,365 372,289 243,577

Sumy 2055,000 293,000 85,100 236,078 551,496 360,827

1. Momenty bezwładności

...............................................................................................................................................................................................................................

1.1.Figura Ceownik 200 U

kąt OX : -180 [stopnie]

1.1.1. Odległości środka ciężkości figury od osi X i Y

1.1.2. Wartości Jxo, Jyo, Dxyo w układzie XoYo pierwsza ćwiartka bez obrotu figury

Strona :3

1.1.3. Obliczenie nowych wartości środka ciężkości figury po obrocie o kąt

dla uproszczenia obliczeń najpierw dokonamy obrotu figury w układzie lokalnym o kąt a potem przemieszczenia o wektor do

punktu docelowego

figura znajduje się teraz w takim położeniu jak wzory podane na obliczanie momentów

układ taki nazywamy układem lokalnym figury

współrzędne X i Y obliczamy ze wzorów na obrót układu :

gdzie X i Y to punkt po transformacji a X' i Y' punkt przed transformacją

gdzie φ to kąt obrotu figury układ X'Y' względem układu XY

i jeżeli jest on zgodny z ruchem wskazówek zegara to jest on ujemny

transformacja figury obróconej do punktu docelowego o wektor dX i dY

Strona :4

Gdzie dX i dY to współrzędne początku figury w nowym położeniu

1.1.4. Momenty i dewiacje dla układu nachylonego względem naszego układu XY

(ponieważ kąt nachylenia analizowanej figury jest różny od zera i wynosi jak poniżej to należy obliczyć układ nachylony )

Momenty wejściowe do obliczenia układu nachylonego

1.1.5. Jx w układzie nachylonym

1.1.6. Jy w układzie nachylonym

Strona :5

1.1.7. Dxy w układzie nachylonym

1.1.8. Ocena czy figura podana została jako ujemna

pole dodatnie : figura została podana jako dodatnia wartości : Jxo, Jyo, Dxyo zostaną przy swoich znakach

1.1.9. Odległości od środka ciężkości figury do środka ciężkości układu

...............................................................................................................................................................................................................................

1.2.Figura Kątownik RR 100x100x8

kąt OX : -270 [stopnie]

1.2.1. Odległości środka ciężkości figury od osi X i Y

1.2.2. Wartości Jxo, Jyo, Dxyo w układzie XoYo pierwsza ćwiartka bez obrotu figury

Strona :6

1.2.3. Dewiacja dla kształtownika w układzie XoYo

(Dewiacja jest wyliczana w położeniu bez nachylenia kształtownika względem układu XcYc)

(potrzebny odczyt z tablic Jmin , tanges beta 'n-n' - kąta nachylenia osi głównych)

1.2.4. Obliczenie nowych wartości środka ciężkości figury po obrocie o kąt

dla uproszczenia obliczeń najpierw dokonamy obrotu figury w układzie lokalnym o kąt a potem przemieszczenia o wektor do

punktu docelowego

figura znajduje się teraz w takim położeniu jak wzory podane na obliczanie momentów

układ taki nazywamy układem lokalnym figury

współrzędne X i Y obliczamy ze wzorów na obrót układu :

gdzie X i Y to punkt po transformacji a X' i Y' punkt przed transformacją

gdzie φ to kąt obrotu figury układ X'Y' względem układu XY

i jeżeli jest on zgodny z ruchem wskazówek zegara to jest on ujemny

Strona :7

transformacja figury obróconej do punktu docelowego o wektor dX i dY

Gdzie dX i dY to współrzędne początku figury w nowym położeniu

1.2.5. Momenty i dewiacje dla układu nachylonego względem naszego układu XY

(ponieważ kąt nachylenia analizowanej figury jest różny od zera i wynosi jak poniżej to należy obliczyć układ nachylony )

Momenty wejściowe do obliczenia układu nachylonego

1.2.6. Jx w układzie nachylonym

Strona :8

1.2.7. Jy w układzie nachylonym

1.2.8. Dxy w układzie nachylonym

1.2.9. Ocena czy figura podana została jako ujemna

pole dodatnie : figura została podana jako dodatnia wartości : Jxo, Jyo, Dxyo zostaną przy swoich znakach

1.2.10. Odległości od środka ciężkości figury do środka ciężkości układu

...............................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................

2. Centralne Momenty bezwładności dla układu XcYc względem środka ciężkości Osi

Centralnych

Strona :9

2.1. Sumy częściowe Jxo , Jyo , Dxoyo

3. Jxc , Jyc , Dxyc całego układu zgodnie z twierdzeniem Steinera

3.1. Zestawienie Centralnych Jxc , Jyc , Dxyc do dalszych obliczeń

to są Centralne Momenty Bezwładności układu figur

...............................................................................................................................................................................................................................

4. Kąt OXc Głównych Centralnych osi bezwładności

4.1. Kąt alfa

Strona :10

...............................................................................................................................................................................................................................

5. Główne Centralne momenty bezwładności

5.1. Jmax

5.2. Jmin

...............................................................................................................................................................................................................................

6. Sprawdzenie

6.1. Niezmiennik J1

6.2. Niezmiennik J2

Strona :11

...............................................................................................................................................................................................................................

7. Momenty bezwładności dla naszego układu XY w punkcie [0,0]

8. Szkic projektu

Strona :12

...............................................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................................ ...

9. Rdzeń przekroju

9.1. Kwadranty promieni bezwładności

i ² traktujemy jako symbol, nie zaś jako kwadrat liczby

Strona :13

9.2. Relacje wierzchołków rdzenia

Poszukiwany rdzeń przekroju wyznaczony zostanie we współrzędnych centralnych Xc Yc

Współrzędne wierzchołków rdzenia przekroju w układzie XcYc obliczone będą ze wzorów :

gdzie ax ay oznaczają współrzędne punktów przecięcia przyjętych osi obojętnych z osiami współrzędnych

osie współrzędnych przyjęto zgodnie z figurą spełniającą warunek Convex

punkty przecięcia ax ay policzono z warunku funkcji liniowej

gdzie a - współczynnik kierunkowy prostej

gdzie p - współrzędne początku linii

gdzie k - współrzędne końca linii

...............................................................................................................................................................................................................................

Dla Osi 1 linia ukośna

...............................................................................................................................................................................................................................

Dla Osi 2 linia pionowa

Strona :14

...............................................................................................................................................................................................................................

Dla Osi 3 linia pozioma

...............................................................................................................................................................................................................................

Dla Osi 4 linia pozioma

Strona :15

...............................................................................................................................................................................................................................

Dla Osi 5 linia pionowa

10. Szkic projektu

Strona :16

...............................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................

11. Szkic projektu

Strona :17

...............................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................

12. Obliczenie Naprężeń Mimośrodowe Rozciąganie

12.3. Relacje wierzchołków Convex

Poszukiwane naprężenia przekroju wyznaczone zostaną we współrzędnych głównych Xg Yg

Współrzędne wierzchołków Convex przekroju w układzie XgYg obliczone będą ze wzorów :

Strona :18

gdzie :

to współrzędne w układzie osi centralnych

gdzie :

to kąt nachylenia osi głównych

Współrzędne wierzchołków Convex przekroju w układzie XcYc obliczone będą ze wzorów :

gdzie :

to współrzędne środka ciężkości w układzie osi X0Y

...............................................................................................................................................................................................................................

Punkt 1

...............................................................................................................................................................................................................................

Punkt 2

Strona :19

...............................................................................................................................................................................................................................

Punkt 3

...............................................................................................................................................................................................................................

Punkt 4

...............................................................................................................................................................................................................................

Punkt 5

12.4. Obliczenie naprężeń

Strona :20

12.5. Wyznaczenie położenia osi obojętnej

Wzór podstawowy równania osi obojętnej we współrzędnych głównych Xg Yg

Przyjęto parametry W i G dla ułatwienia obliczeń układu liniowego prostej

Dzieląc równanie przez G otrzymujemy :

Równanie osi obojętnej w układzie osi Głównych XgYg :

13. Szkic projektu

Strona :21

...............................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................

Wydruk Rectan

Copyright © 2014 Grupa Rectan

www.gruparectan.com