wytrzymałość materiałów sem iii | 468 kb
TRANSCRIPT
PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU
„WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III
1
Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski
PODSTAWY MECHANIKI CIAŁ SZTYWNYCH
Elementy:Przestrzeń
CzasCiało
PrzestrzeńZajmiemy się wyłącznie przestrzenią euklidesową,opisaną za pomocą współrzędnych kartezjańskich
prostokątnych. Zwykle będzie to przestrzeńdwuwymiarowa, czasami trójwymiarowa.
x
Microsoft Equation 3.0
y
y
x
z
PODSTAWY MECHANIKI CIAŁ SZTYWNYCH
CzasW statyce uważamy, że procesy nie zależą
od czasu, czyli są stacjonarne
CiałoCiało zajmuje część przestrzeni i jest
obdarzone takimi cechami fizycznymi jak masa. Modelami ciał, stosowanymi w
mechanice są: punkt materialny, tarcza i bryła
STOPNIE SWOBODY CIAŁA
Stopniami swobody ciała nazywamy liczbę niezależnych od siebie ruchów, określających położenia ciała w
przestrzeniWażny jest tutaj przymiotnik „niezależny”,
gdyż ruchów od siebie zależnych może być znacznie więcej
STOPNIE SWOBODY CIAŁAPunkt materialny
u
v
y
x
Na płaszczyźnie
u
v
y
x
z
w
W przestrzeni
2 stopnie swobody 3 stopnie swobody
STOPNIE SWOBODY CIAŁATarcza materialna na płaszczyźnie
uv
y
x
3 stopnie swobody
STOPNIE SWOBODY CIAŁA
4 stopnie swobody
STOPNIE SWOBODY CIAŁA
5 stopni swobody
STOPNIE SWOBODY CIAŁA
BRYŁA W PRZESTRZENI
x
z
y
y
z
z
x
x
y
3 translacje + 3 obroty6 stopni swobody
WIĘZYWięzami nazywamy ograniczenia ruchów,
narzucone na ciało. Więzy zmniejszają liczbę stopni swobody
ciała.Jeśli liczba więzów od siebie niezależnych
jest równa liczbie stopni swobody, ciało pozostaje nieruchome.
Więzy nie mogą być zakładane dowolnie i muszą spełniać warunki, które rzeczywiście odbierają stopnie swobody.
WIĘZY Więzy narzucone na punkt materialny
y
x
Na płaszczyźnie
y
x
z
W przestrzeni
WIĘZYWięzy narzucone na tarczę:
prawidłowo
nieprawidłowo
Podpory
Odebrany jeden stopień swobody – ruch prostopadły do linii przesuwu
Podpora przegubowo-nieprzesuwna
Podpora przegubowo-przesuwna
Odebrane dwa stopnie swobody – ruchy translacyjne
Podpora utwierdzonaOdebrane trzy stopnie swobody – ruchy translacyjne i obrót
Belka swobodnie podparta
WSPORNIK
WSPORNIKI
WSPORNIKI
WSPORNIKI
Rama
Kratownica
PODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO
Skalary a wektorySkalarami nazywamy takie wielkości statyczne, które charakteryzuje tylko jedna liczba. Przykładami skalarów są na przykład: Temperatura [K] Masa [kg] Praca [J] Moc [W] Objętość [m3].
PODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO
Wektory Są to wielkości, do których opisu potrzebnych
jest kilka liczb. Często jest wykorzystywana interpretacja geometryczna wektora. W tej interpretacji wektor jest symbolizowany przez odcinek opatrzony strzałką
Zatem do opisu takiej wielkości potrzeba 3 liczb: Moduł (długość ) wektora Kierunek wektora Zwrot wektora
PODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO
Suma wektorówBAC
A
B
C
A
B
C
ABBAC
B
AC
PODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO
Różnica wektorów
A
BB-
C B)(ABAC
ABBA
PODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO
Iloczyn skalarny wektorów
A
BcosBABA c
ABc
PODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO
Iloczyn wektorowy wektorów
A
B
C
BAC
sinBAC
0AC 0BC
B
A
Rzut wektora na oś
x
y
A
xA
yA
x
y
A
xA
yA
B
C
xC
yC
yB
xB
xW
yW W
CBAW
xxxx CBAW
yyyy CBAW
Na płaszczyźnie
Rzut wektora na oś
W przestrzeni
x
y
z
A
yA
xA
zA
x
y
z A
B
C
W
CBAW xxxx CBAW
yyyy CBAW
zzzz CBAW
Zbieżny układ sił Układ sił nazywa się zbieżnym, jeśli
kierunki działania wszystkich sił przecinają się w jednym punkcie.
nPPPPP ...321
1P
2P3P P
nP
P – wypadkowa układu sił zbieżnych
Równowaga układu sil zbieżnych
1P
2P
3P
1nP
nP
1P
2P
3P1nP
nP
0....321 ni PPPPP
Na płaszczyźnie 0....321 nxxxxix PPPPP
0....321 nyyyyiy PPPPP
W przestrzeni 0....321 nxxxxix PPPPP
0....321 nyyyyiy PPPPP
0....321 nzzzziz PPPPP
Moment siły względem punktu
W przestrzeni
x
y
z
r
P0M
F
PrM 0
FM 0
x
y
z
1P
2P
3P
nP
0
0
r
n
i
n
iii MPrPrM
1 100
nPPPPP ...321
Moment siły względem osi
P
'P
0
'0
h
PrMM l 0l
0 – dowolny punkt prostej
P’ – rzut siły P na płaszczyznę prostopadłą do l
hPM l '
Moment siły względem l jest równy zeru gdy: Wartość siły P równa jest zeru, Linia działania siły P przecina się z osią l Siła P jest równoległa do osi l
Siły równoległe
1P
2P
S S
1R
2R
R
a b
21 PPR
h1P
Sha
2PS
hb
1PahS
2PbhS
czyli
21 PbPa
1
2
PP
ba
Zgodnie skierowane
Siły równoległe
Przeciwnie skierowane
1P
2P
S
S1R
2R
R
a b
h
12 PPR
1PS
hba
1)( PbahS
2PS
hb
2PbhS
czyli
21)( PbPba
2
1
PP
bab
Para sił
P
P
a
Dwie siły równe i przeciwnie skierowane
0R
Moment pary sił względem dowolnego punktu jest stały
0b ba
aPbaPbPM )(0
M
Równoległe przesunięcie siły
P
A B
P
P
A B
P
a a
aPM
Redukcja płaskiego układu sił
1P
2P
3P
nP
A
1h 1P
111 hPM 2h
222 hPM
2P
3h
333 hPM
3P
nh
nP
nnn hPM
nPPPPP ...321
nMMMMM ...321
nMMMMM ...321
nxxxxx PPPPP ...321
nyyyyy PPPPP ...321
Równowaga płaskiego układu sił
1P
2P
3P
nP
1P
2P
3PnP
1P
2P 3PnP0...321 nxxxx PPPP
0...321 nyyyy PPPP
0...321 nMMMM
1M
2M
3M
nM
Redukcja przestrzennego układu sił
x
y
z
0P
P
M
Równowaga przestrzennego układu sił
x
y
z
0
0...321 nPPPP 0...321 nMMMM
0...321 nxxxx PPPP
0...321 nyyyy PPPP
0...321 nzzzz PPPP
0...321 nxxxx MMMM
0...321 nyyyy MMMM
0...321 nzzzz MMMM
Próba rozciągania pręta stalowego
P
A
l
l
Naprężenie: MPaAP
2111mNPa
PaMPa 6101
Odkształcenie: ll
[niemianowane]
H
E
P
E
Prawo Hooke’a
E Moduł Younga
Stal: GPaE 206
tgE
Próbka betonowa
tgE
P
P
f
f4,0
Beton GPaE 3226
Siły w prętach kratownic
Metoda równoważenia węzłów
Statyczna wyznaczalność
02 wpr
gdzie
r – liczba reakcji podpórp – liczba prętóww – liczba węzłów
3r 25p 14w
0142253
AH
AV BV
Siły w prętach kratownicMetoda równoważenia węzłów
1N
2N
x
y 02NPx
01NPy
Jeśli w nieobciążonym węźle kratownicy schodzą się dwa pręty siły w nich są zerowe
1N
2N
3N
Jeśli w nieobciążonym węźle kratownicy schodzą się trzy pręty, przy czym dwa pręty leżą na jednej prostej, to siła w trzecim pręcie jest zerowa
21 NN
03 N
Przypadki szczególne
x
y
Siły w prętach kratownicMetoda Rittera
D D
KK
G G
AVBV
AH
D
K
G
AH
AV
dDM d 0
GM g 0g
KPy 0
y
Punkty Rittera
Siły w prętach kratownicPrzykład – kratownica o pasach równoległych
D D
KK
G G
AVBV
AH
a a a a a a
h
P
03231
A
B
A
H
PV
PV
D
K
G
g
y
d
3P
033
hDaPM d
h
a a a
PhaD
023
hGaPM g
PhaG
32
0sin3
KPPy
sin3PK
G G
SS
S
03
SPPy
3PS
Siły w prętach kratownicPrzykład -Kratownica wspornikowa z drugorzędnym podwieszeniem
PP P
a a a a a a a a
a
a1S
1K01 S
01 K2S
2S
PPS 2
P
2K
2K
x
x22
022
2
2
PK
PKPx
Siły w prętach kratownicPrzykład- kratownica o pasach nierównoległych
AV
AH
BV
P
2
0PVV
H
BA
A
G G
KK
D D
2P
G
K
D
d
Dr
dx
02 Ddd rDxPM
D
d
rxPD
2
g
Gr
gx
02
Ggg rGxPMG
g
rxPG
2
k
kx
Kr
02
Kkk rKxPMK
k
rxPK
2
Naprężenia normalne i styczne
P
x
y
P
A
y
0PAP yy
AP
y
y
0xP
A
y
Naprężenia normalne i styczne
A
y
tn
cosA
0coscos AAP yn
0sincos AAP yt
czyli
2cos y
2sin21sincos yy
zatem
y 21
max
y max przy 0
przy 00 4590212sin
Dwuwymiarowy stan naprężenia
1 1
2
2
1
2
AcosA
sinA
n
t
0sinsincoscos 21 AAAPn
0cossinsincos 21 AAAPt
zatem 2
22
1 sincos
cossin)( 21
Ale jest
2sin21cossin
)2cos1(21sin
)2cos1(21cos
2
2
zatem
2sin)(21
2cos)(21)(
21)2cos1(
21)2cos1(
21
21
212121
Dwuwymiarowy stan naprężenia
2sin)(21
2cos)(21)(
21
21
2121
Podnieśmy obustronnie do kwadratu, potem dodajmy stronami
221
2221 )](
21[)](
21[
gdyż 12cos2sin 22
Koło Mohra22
02
0 )()( ryyxx
0x
0y
x
y rW naszym przypadku
2
1
2
y
x
Dwuwymiarowy stan naprężenia
1 1
2
2
xy
2
1
2
y
x
x
y
x
y
0
Przestrzenny stan naprężenia
x
y
zz
x
y
xyyx
yzzy
zx
xz
jiij
Stan odkształceniaz
z
dx
dx)1(
dy)1(
dy
dzdz)1(
Współczynnik Poissona
Względna zmiana objętości
v
dzdydxV dxdydzV odksz )1()1()1( Objętość
dzdydxdzdydxdxdydz
VVV odksz
)1()1()1(
1)21)(1(1)1)(1( 222 )21( gdyż
02 03
Współczynniki Poissona:5,00 Stal - 3,0 Beton - 2,015,0 Guma - 5,0
5,00
Uogólnione prawo Hooke’a
x
y
zz
x
yy
x
z
)]([1
)]([1
)]([1
yxzz
xzyy
zyxx
E
E
E
G
G
G
zxzx
yzyz
xyxy
Prócz tego:(jeśli izotropia)
)1(2
EG
G - Moduł Kirchhoffa
Po odwróceniu: zyxxE
)1(
)21)(1(
zxyyE
)1(
)21)(1(
yxzzE
)1(
)21)(1(
zxzx
yzyz
xyxy
G
G
G
Związki fizyczne przy odkształceniach postaciowych
Czyste ścinanie:
1
1
1
1
24
Koło Mohra
22
EE
1)]([1
21
21
241
24)24
(
tg
tg
tgtg
tgtgtg
21
21
)24
(
tg
21
21
11
2 2
G
)1(2
EG G - Moduł Kirchhoffa
Płaski stan naprężenia
c
a
b
ac
bc
x
y
z 0zc
)1( zc
z
0)(1
yxz
)(
1)1(
)21)(1(
2
yxyxxE
yx
E
)21()21()21)(1( 2
)(1 2 yxx
E
)(1 2 xyy
E
Płaski stan odkształcenia
x
y
z
Bardzo długi kształt pryzmatyczny
z
0z
0)( yxz
yxxE
)1(
)21)(1(
xyyE
)1(
)21)(1(
Momenty zginające i siły poprzeczne w belkach
l4,0 l6,0
P
A B
AV BV04,0 lPlVM BA
PVB 4,0
PVA 6,0
x
xPlM 6,0 lx 4,00
,x
xPlM 4,0 lx 6,00 , Pl24,0M
PT 6,0 lx 4,00
lx 6,00 , PT 4,0
P4,0
P6,0T
Jeżeli w przedziale nie działa żadne obciążenie, wykres momentów w tym przedziale jest linią prostą
Momenty zginające i siły poprzeczne w belkach
Microsoft Equation 3.0
A B
AV BVl
qx
02lqllVM AB
2qlVA
2qlVB
)(222
xlqxxqxxqlM
qxqlT 2
M
T 2ql
2ql
8
2ql
Momenty statyczne figur płaskich
x
A
y
dAA
x ydAS1x
x
y
Tu jest 00 xSy
1y
1y
ale 0011 xSy
sx
sy
syy
sy
sx
sxx
Istnieje taka oś A
sxs dAyySxs
0)(
Podobnie A
sys dAxxSys
0)(
Punkt przecięcia się tych osi nazywa się środkiem ciężkości figury
A A A
ss dAyydAdAyy 0)( ale A
sx AySAdA 0 ASy x
s
PodobnieAS
x ys
Moment statyczny figury względem osi x
Środki ciężkości figur płaskich
x xb
h
222
2
0
2
00
hbhbhybydydxShhb
x
Figury symetryczne (prostokąt, koło)
bhA 22hh
bhbhys
2
0 0
22
0 0
sinsinrr
x ddddSs
d y
d
r
03
)11(3
cos33
2
0
rrSsx
sy
Środki ciężkości figur płaskich
y
x
a
b
syy
�x
Równanie brzegu yba
�x
A
b x
x ydydxydAS0 0
)( ydyxb
0 33
2
0
32 ab
babdyy
ba b
bab
abASy x
s 322
3
2
0 0
2
0 0
sinsinrr
x ddddSs
333
0 32
3)11(
3cos rrrS
sx
2
21 rA
rr
rASy x
s 342
32
23
syr
r2
Momenty bezwładności figur płaskich
x
A
y
dA
x
y
sx
sy
a
b
sxx
02 dAyJA
x
Szczególnie ważne są momenty bezwładności względem osi przechodzących przez środek ciężkości
ayy s
dAaydAyJA
sA
x 22 )( dAadAyadAyAA
sA
s 22 2
AA
sA
sx dAadAyadAyJ 22 2
Ponieważ xs przechodzi przez środek ciężkości, zatem
0 xA
s SdAy
czyli AaJJsxx
2 Wzór Steinera
Momenty bezwładności figur płaskich
Prostokąt
2h
2h
b
sx sx dydxyJb
h
hxs
0
2
2
2 dyyb
h
h
2
2
22
2
3
3
h
h
yb
)]24
(24
[33 hhb
12
3bh
y
x
b
h
hys 32
y
�x
Trójkąt
Równanie brzegu yhb
�x
A
h x
x dyydxdAyJ0 0
22 )( dyyxh
2
0
dyyhb h
0
3
44
34 bhhhb
sxsx
AyJJ sxxs 2
294
42
3 bhhbh
294
42
3 bhhbh
36)
92
41(
33 bhbh
Momenty bezwładności figur płaskich
d y
d
r
Koło
2
0 0
322
0 0
22 sinsinrr
x ddddJs
r
xsJ
0
42
0 42sin
2
44
)02
2(44 rr
Rura
zr
wr
)(4
44wzx rrJ
s
Naprężenia normalne przy zginaniu
xy
zdx
d
Naprężenia normalne przy zginaniu
dx
)(dxdx
z
d
M
x y
z
z
dddz
dxdx
)()(
zEE
Naprężenia normalne przy zginaniu
Równania równowagi
A
ix dAP 0 A
zdAE 0
A
iy zdAMM 0 A
EJdAzEM
2
EJM
1
zJM
EJMzE W
Mmax
W Wskaźnik wytrzymałości
Oś obojętna przechodzi przez środek ciężkości przekroju
Naprężenia styczne przy zginaniu
dx
M
T
dTT
dMM
0
d
x
z
2h
Naprężenia styczne przy zginaniu
x
dx
NdNN
b
y
h
z
h
z
SJMbd
JMdAN
22
y
z
2h
d
y
h
z
SJdMMbd
JdMMdNN
2
0bdxNdNNPx JbTS
JbS
dxdM
bdxdN yy
1
Prostokąt
bhT
23
max b
h
)4
(2
22 2
zhbdbS
h
zy
)4
(2
12 22
3 zhbbbh
T
bhT
23
max
JbTS y
Skręcanie prętów o przekroju kołowym
sM
sM
dx
dx
ds
d
dxds
dxd
dxdGG
d
Skręcanie prętów o przekroju kołowym
r
dA
dAdxdGdAdM s
2
dAdxdGM
As
2
A
dAdxdG 2
dxdGJ
0
gdzie dAJA 2
0 Biegunowy moment bezwładności
0GJM s
0J
0JM s Rozkład liniowy
r
max0
max WM s
gdzie rJW 0
0 Wskaźnik wytrzymałości przy skręcaniu
Skręcanie prętów o przekroju niekołowym
Nie obowiązuje założenie płaskich przekrojów. Rozwiązania są przybliżone
h
b
max
max W połowie dłuższego boku
W przybliżeniu
2max bhM s
bh
1 2 4 8
208,0 246,0 282,0 307,0 333,0
Hipotezy wytrzymałościowe
Założenia:
n
n
Jeśli pręt ściskany lub rozciągany to: nn
n - Naprężenie niszczące
W złożonym stanie naprężenia nie sposób ustalić naprężenia niszczącego zxyzxyzyx ,,,,,
Skoncentrujmy się na stanie płaskim ,, yx
Ustalenie , jaki jest wpływ składowych stanu naprężenia na bezpieczeństwo konstrukcji to przedmiot hipotez wytrzymałościowych
Hipotezy wytrzymałościowe
2
1
2
y
x
Stan naprężenia w punkcie można opisać albo za pomocą ,, yx
albo też naprężeń głównych 21,
Wytężenie materiału to funkcja ),(),,( 21 WW yx
Porównajmy to z wytężeniem pręta rozciąganego osiowo
AP P
AP
Zatem: )(),(),,( 21 WWW yx
Hipotezy wytrzymałościowe
Postać funkcji W zależy od przyjętej hipotezy wytrzymałościowej
Wprowadźmy pewne zastępcze naprężenie ( naprężenie zredukowane)
zależne od lub
Dla tego naprężenia ocenimy bezpieczeństwo tak jak przy rozciąganiu osiowym
Zatem musi być
red
21, ,, yx
nredn
Hipotezy wytrzymałościowe
Hipoteza największego naprężenia normalnego
1 red lub 2 red Gdyż naprężenia główne nie muszą być uporządkowane
2
1
21
21
n
n
n n
K
KTo oznacza, że jeśli któreś z naprężeń głównych osiągnie wartość to jest to naprężenie niszczące
n
Hipotezy wytrzymałościowe
Zgodność hipotezy z doświadczeniem
Czyste ścinanie 12
1
1
1
1
22
1 1
1
Z doświadczenia wynika, że dla metali jest
nn 6,0
Czyli zniszczenie materiału nastąpi nie w punktach K, ale wcześniej
Hipoteza największego naprężenia stycznego ma obecnie tylko znaczenie historyczne
Hipotezy wytrzymałościowe
Hipoteza największego naprężenia stycznego (Coulomba-Tresci)
Zakłada się, że o zniszczeniu materiału decydują największe naprężenia stycznePrzy rozciąganiu osiowym jest
045max
2max
Przy zniszczeniu więc 2n
n
W stanie dwuwymiarowym
max
1
2
221
max
Warunek maksymalnego naprężenia stycznego
nn max czyli
22221 nn
nn 21
czyli 1 red lub 2 red
lub 21 red
Hipotezy wytrzymałościowe
2
1
21
21
n
n
n n
n21
1
n21
2
22
2n
nn
2max
2n
222
221
4)(21
2
4)(21
2
yxyx
yxyx
2221 4)( yxred
W belce zginanej 0y 22 4 xred
Czyste ścinanie 2red
nn 6,0
Hipotezy wytrzymałościowe
Hipoteza energii odkształcenia postaciowego (Hubera-Misesa)
Zakłada się, że miarą wytężenia materiału jest energia odkształcenia postaciowego.Energia właściwa odkształcenia sprężystego w stanie płaskim wynosi:
)(21' yyxxV
E
E
E
xyy
yxx
)1(2
)(1
)(1
2' )(6
21yxobj
EV
postobj VVV '''
)6)[(6
1 2222'
yxyxpost
EV
W stanie jednoosiowym jest
22'
6)1(2
6)1(2
redpostEE
V
Hipotezy wytrzymałościowe
Porównując wyrażenia na energię odkształcenia postaciowego
2
6)1(2
redE )6)[(
61 2222
yxyxE222 3 yxyxred
Czyste ścinanie 3 red nnn 58,033
nn 6,0
Równanie konturu na płaszczyźnie naprężeń głównych
2122
21
2 n
2
1
21
21
n
n
n n
n58,0
Elipsa
Stateczność konstrukcji
Pręt rozciągany
Pręt ściskany
Pręt osiowo ściskany Pręt mimośrodowo ściskany
Oś pręta Oś prętaNie ma takich prętów
Model Rzeczywistość
Stateczność konstrukcji Utrata stateczności w sensie matematycznym. Jest to wrażliwość obiektu na małe zakłócenia stanu.Równowaga kulki w polu grawitacyjnym.
Równowaga stateczna Równowaga obojętna Równowaga niestateczna
Warunkiem koniecznym równowagi statecznej jest warunek kinematycznej niezmienności
Równowaga obojętna
Równowaga obojętna
Równowaga niestateczna
Stateczność konstrukcjiWarunek kinematycznej niezmienności nie jest warunkiem dostatecznym
Warunek ten jest narzucony na wartość obciążenia
P
S
P
krPP
P
S
P
krPP
Wyboczenie
P
krP
Punkt bifurkacji
Stateczność konstrukcjiZadanie wyznaczenia siły krytycznej dokonane zostało przez Eulera w 1744 r.
2min
2
lEJPkr
y
y
minJJ y
y
y
minJJ y
y
y
minJJ y
minJJ x
x x
- Moduł Younga - długość pręta - najmniejszy moment bezwładnościE l minJ
Stateczność konstrukcjiRóżne rodzaje podparcia
krP
l
krP
l
l
krP
l2l
ll71,0
Ogólnie
llw 71,0llw 5,0llw 2llw
llw
2min
2
wkr l
EJP
1 2 5,0 71,0
wl - długość wyboczeniowa
krP
Stateczność konstrukcjiSmukłość pręta
ilw
i – promień bezwładności pręta
AJi min
2min
2
wkr l
EJP 2
min2
w
kr
lAEJ
AP
2
2
E
kr
kr
E
22
Równanie hiperboli
prR plR
prkr R
prgr R
E
Wyboczenie sprężyste
Stateczność konstrukcji
gr 0
kr
plR Hiperbola Eulera
Prosta Tetmajera-Jasińskiego
Parabola Johnsona-Ostenfelda
Wyboczenie niesprężysteWzrost ściskania Zmniejszenie ściskania
Wzór Tetmajera-Jasińskiego
gr
prplplkr
RRR
Wzór Johnsona-Ostenfelda
22
2
4
ER
R plplkr
plRE2
0
0 2
24
22
2pl
pl
plplkr
RR
EE
RR
gr prprplplkr RRRR
Stateczność konstrukcjiPrzeskok węzła kratownicy
04
KONIECPREZENTACJI MULTIMEDIALNEJ
Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW”
SEM.III
105
Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski