POTENCIAÇÃO
125
1
5
13
2
A potenciação é uma multiplicação de fatores iguais.
Relembrando:
ExpoenteExpoente
BaseBase
PotênciaPotência
POTENCIAÇÃO
3
Exemplo:
• 210 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 1024
• 34 3 x 3 x 3 x 3 = 81
•
Lembre-se
25
4
5
2
5
2
5
22
4
11
16
81
2
3
2
3
2
3
2
3
2
34
Quando o expoente é par, a potência é sempre positiva.
Lembre-se
8
1
2
1
2
1
2
1
2
13
5
22
27
8
3
2
3
2
3
2
3
23
Quando o expoente é ímpar, a potência tem o mesmo sinal da base.
Casos ParticularesCasos Particulares
2
1
2
11
6
33
3
2
3
21
Expoente 1: : As potências de expoente 1 são iguais a base.
Casos Particulares
15
80
7
44
14
70
Expoente Zero: : As potências de expoente zero são iguais a 1.
Casos Particulares
12
10
8
14
30
Resumindo todo número elevado a potencia 0 é igual a 1
Outros ExemplosOutros Exemplos
25
49
5
72
9
64
343
4
73
9
1
3
12
27
125
3
53
ExemplosExemplos
5
7
5
71
10
09,03,03,03,0 2 0,30,30,30,3xx
09090000
0,090,09
Potência com Expoente Inteiro
Negativo
11
Considere o Quociente:
12
35252 555:5
52 5:5
Pela propriedade do quociente de potência de mesma base temos:
Escrevendo o quociente em forma de fração temos:
3
35
2
5
1
5
1
55555
55
5
5
Temos:Temos:
13
35252 555:5
3
35
2
5
1
5
1
55555
55
5
5
5
252
5
55:5
33
5
15
ResumindoResumindo
14
Na divisão de potencias de mesma base, podemos preservar a base e diminuir os expoentes...
EXEMPLOSEXEMPLOS
15
• 5³ / 5² = 53-2= 5¹ = 5
•1012 / 104 =1012-4 =108
• 65 / 6² = 65-2= 63 = 216
Note ainda que::
16
3
13
3
33
13133
5
15
5
1
5
15
555
Isso significa que pode ser interpretado como inverso de
135
35
ConclusãoA potência com expoente
negativo de um número racional diferente de zero é igual a uma outra potência
que tem a base igual ao inverso da base anterior e o
expoente igual ao oposto do expoente anterior.
17
Fixando:
18
9
1
3
13
22
Inverso
da base
Oposto
do expoente
8
27
2
3
3
233
Inverso
da base
Oposto
do expoente
Fixando:
19
822
1 33
Inverso
da base
Oposto
do expoente
5
1
5
15
11
Inverso
da base
Oposto
do expoente
Em certos casos podemos escrever uma fração como
potência de expoente negativo:
20
22
23
3
1
3
1
9
1
Inverso
da base
Oposto
do expoente
11
55
1
5
1
Inverso
da base
Oposto
do expoente
Exemplos:
21
55
510
10
1
10
1
100000
100001,0
222
2
2
25
10
10
5
10
5
100
2525,0
33
3
2
2
3
8
27
PropriedadesAs propriedades da
potenciação estudadas são válidas
também para potências com
expoente inteiro negativo.
22
Exemplos
23
32525
3
2
3
2
3
2
3
2
5616161
4
5
4
5
4
5
4
5:
4
5
63232
2
3
2
3
2
3
1 24
Potencia com base negativa
Antes, Que tal lembrarmos das regras de sinais!
Observe:
▬ sinal negativo + sinal positivo
Lembre-se:Multiplicação de sinais diferentes, resultado negativo.Multiplicação de sinais iguais, resultado positivo.
1 25
Potencia com base negativaO cálculo de potências com base negativa
é semelhante ao de base positiva.
Exemplos:
(-4)2 = (- 4) .(- 4)
=
+16Expoente par.
Base
Potênciaa)
b)(-3)4 = (-3) .(-3) .(-3) . (-3)
=
+81
Toda potência de base negativa e expoente par, é um número inteiro positivo.
1 26
Potencia com base negativaO cálculo de potências com base negativa
é semelhante ao de base positiva.
Exemplos:
(-5)3 = (-5).
=
-125Expoente ímpar.
Base
a)
b)
Potência
(-1)5 =(-1). (-1). (-1).
(-5).
(-1).
=
-1
Toda potência de base negativa e expoente ímpar, é um número inteiro negativo.
(-5)
(-1) x
1 27
Potencia com base negativa
Por convenção, adotamos as regras:
Exemplos:
O EXPOENTE 1
Toda potência de expoente 1 é sempre igual à base.
a) (+9)1=+9
b) (-13)1=-13
c) (0)1= 0
d)(-10)1= -10
1 28
Potencia com base negativa
Por convenção, adotamos as regras:
Exemplos:
O EXPOENTE 0 (zero)
Toda potência de expoente 0 (zero) e base diferente de 0 (zero) é igual à 1.
a) = 1(-14)0
b)(+27)0= 1
c) (-9)0 = 1
d) (-530)0= 1
1 29
Potencia com base negativa
Devemos dar atenção a duas situações de significados e valores diferentes.
Exemplos:
(-4)2 = (-4). (-4) +16a) =(-4)2 significa o quadrado de -4.
- 42 = - 4. 4 -16b) = -42 significa o oposto do quadrado de 4.
Logo: (- 4)2 ≠ - 42
1 30
Potencia com base negativa
Sempre que trabalhar com potências, tenha atenção as suas propriedades, regras e sinais.
Conclusão:
CUIDADO!!!!Um abuso muito vulgar, é apresentar números que aumentam com o adjetivo sensacionalista de “crescimento exponencial”
É muito provável que 90% das pessoas não sabem o que significa verdadeiramente essa expressão.
Xadrez e Exponenciação
1 33
Função Exponencial
Continuando
• f(x) = 2x é uma função exponencial.
Por meio de uma tabela, podemos obter alguns pontos da função e, a partir deles, esboçar o gráfico.
A tabela
O gráfico da função y(x) 2x
D(f) = R Im (f) = R*+ a = 2, a > 1,
Portanto f é crescenteem todo seu domínio
Comportamento do gráfico da função exponencial
Através função exponencial g(x) = ½x e usando uma tabela, podemos obter alguns pontos da função e, a partir deles, esboçar o gráfico.
A tabela da função g(x) = ½x
Comportamento gráfico da função g(x) = ½x
D(f) = RIm (f) = R*+a = 1/2, 0 < a < 1 Portanto g é decrescenteem todo seu domínio
Resumindo...
Tendo a função f(x) = ax, se “a” for maior que 1 a função será crescente, se “a” for maior que zero e menor que 1 a função será decrescente
Outro Exemplo
Resolvendo o Exemplo
Resolvendo o Exemplo
Resolvendo o exemplo
Resolvendo o exemplo
Resolvendo o exemplo
Resolvendo o exemplo
Resolvendo o exemplo
Resolvendo o exemplo
Questão...
Como ficaria o gráfico desta funçãof(x) = 3x+1 ?
Equação Exponencial
Vamos a resolução
Nossa equação agora é 4x2+ 4x = 412
Aqui as bases são iguais, logo, posso cortar e trabalhar só com os
expoentes...
Vamos a resolução
4x2+ 4x = 412
Temos agora a seguinte equação x2+ 4x =12.
Colocando o 12 para outro lado da igualdade teremos
x2+ 4x -12 = 0 (A = 1, B = 4 e C = 12 )
Resolvendo com Bhaskara
x2+ 4x -12 = 0 (A = 1, B = 4 e C = 12 )
Resolvendo com Bhaskara
x2+ 4x -12 = 0 (A = 1, B = 4 e C = 12 )
Resolvendo com Bhaskara
Outro Exemplo
Vamos primeiramente deixar todos os termos em bases iguais, para isto basta decompor 8 em fatores iguais, então o 8 poderá ser escrito como 23 .
Continuando
Como todas as bases são iguais, agora podemos cortar as bases e trabalhar só com os expoentes.
Continuando
Continuando
Continuando
Substituindo na equação
Terminando a equação
Agora um exemplo com frações
Agora um exemplo com frações
Agora um exemplo com frações
Para inverter numerador e denominador vou deixar com a potencia negativa
Agora um exemplo com frações
Agora cortando as bases teremos…
68
Material elaborado pelo:
Prof. André Aparecido da Silva
Disciplina Matemática.
Disponível no site: www.oxnar.com.br/