apostila matemática - potenciação
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8/14/2019 Apostila Matemtica - Potenciao
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Potenciao
O que preciso saber (passo a passo)
Seja:
A(potncia)
= an(expoente)
(base)
notrio a todos que o expoente nos diz quantas vezes a base ser multiplicada, isto :
Ex 1 ) 23= 2 . 2 . 2 = 8
Traduzindo: base 2 elevado ao expoente 3 obtemos a potncia 8.
Ex 2 ) (-2)3
= (-2) . (-2) . (-2) = -8
Traduzindo: base (-2) elevado ao expoente 3 obtemos a potncia 8
Importantssimo: nas propriedades de potenciao, quando a base negativa, o sinal
de menos sempre pertence ao elemento neutro da multiplicao, que o nmero 1;
isto nos facilitar e muito provar as propriedades da potenciao.
Veja:
-23
o mesmo que -1 . 23
= -1 . 8 = -8
(-2)2
o mesmo que (-1 . 2)2
= [( -1 )2
. 22
] = 1 . 4 = 4
-
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Ento fica fcil explicar porque:
-22
(-2)2
-1 . 22
= -4 (-1 . 2)2
= (-1) . ( 2 )2
1 . 4 = 4
-4 4
Exerccio:
Ser que a afirmao ( -2 )n
= - 2n
verdadeira para todo n natural?
bvio que o sinal da potncia vai depender da anlise, ou seja , se n par ou
mpar.
1 Caso: Se n par temos:
(-2)n
= -2n
(Qualquer que seja n, o sinal do termo j estdeterminado)
[( -1) . 2]2
= -1 . 2n
( -1)n
. 2n
+2n
-2n
Concluso 2n -2
nse n for par
2 Caso: se n mpar temos:
( -2 )n = -2n (Qualquer que seja n, o sinal do termo j estdeterminado)
[( -1 ) . 2 ]n
= -1 . 2n
( -1)n
. 2n
=
-
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-2n
= -2n
Concluso: ( -2 )n
= -2n
somente se n for mpar
Propriedades da potenciao
Facilita e muito a anlise das propriedades se voc escolher nmeros que podem serrepresentados na mesma base. Na multiplicao, use:
8 . 4
9 . 27
5 . 25
Os quais sero convertidos em:
8 . 4 = 23
. 22
= 25
9 . 27 = 32
. 33
= 35
5 . 25 = 51
. 52
= 53
Propriedade: em produtos de mesma base , conserva-se a base e somam-se os expoentes:
a m . a p = a m+p
Importantssimo: a recproca desta propriedade verdadeira, isto , sempre que existir
uma nica base com soma de expoentes, separe-os imediatamente.
Veja:
am+p
= am
. ap
2n+3
= 2n
. 23
= 2n
. 8
2n+p+q
= 2n
. 2p
. 2q
Obs: caso existir uma srie de termos, no esquea de colocar o termo comum em
evidncia.
-
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Ex: 2n+2
+ 2n+3
+ 2n+1
2n
. 22
+ 2n
. 23
+ 2n
. 21
2n( 2
2+ 2
3+ 2)
2n( 14 )
Propriedade: facilita e muito memorizar exemplos de nmeros que ao serem fatorados
possuam a mesma base.
Ex:4
8
25
25
9
81
p
m
a
a= a
m-p
Propriedade: em diviso de potncia de mesma base, conserva-se a base e subtraem-se osexpoentes.
Ou :p
m
a
a=
mpa
-
1
Ex:2
5
2
2= 252 - = 32 ou
3522
5
2
1
2
1
2
2--
==
Obs: observe que voc pode conservar a base do numerador ou a base do denominador;
indiferente.
Sendo m e n ,calcule:
24
7
222
2212
2222
22222
22
22243
2
43
21
43
21
=+
++=
+
++=
+
++++
++
)(
)(
..
..n
n
nn
nnn
nn
nnn
Interessantssimo: voc sabia que a preposio de acompanhada de frao significa
multiplicao?
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Veja:
Quanto 3
2de 12?
Soluo:3
2
/. 12
4= 8
Quanto a metade de um quarto de 250
?
Soluo:50
24
1
2
1..
4750
3
5022
2
12
4
1
2
1== ...
Uma planta aqutica duplica de rea no final de cada dia.Sabe-se que no final de cada dia
a planta j ocupar toda a superfcie da lagoa.
Soluo:
1 dia = 21
2 dia = 22
3 dia = 23
N dia = 2n
Se 210
= A, para obtermos4
Abasta dividir toda a equao por 4:
44
210 A= (quarta parte da lagoa)
42
42
2 82
10AA
== quarta parte da rea da lagoa
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oitavo dia
Resposta: no oitavo dia
Interessantssimo: voc sabe o porqu de todo nmero elevado a zero ser igual a 1?
a0
= 1 (a 0)
Para voc provar, basta representar uma frao onde o numerador e o denominador sejam
iguais.
Ex:8
8= 1 aplicando a propriedade: pn
p
na
a
a -=
1818
8 111
1
==-
80
= 1
Concluso: a0 = 1 uma conseqncia da propriedade
nm
n
m
aa
a -=
Interessantssimo: voc sabe o porqu disso?
n
na
a
=1
?
O nmero 1 poder ser sempre ser substitudo pela mesma base em anlise elevada azero, isto :
nn
nnaa
a
a
a
--
00
1
-
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Ex:
nn
nnnbaba
b
ba
b
a
b
a -- ....
00
1
220
2
0
222525
2
25
2
15
2
5
4
5 -- ....
Calcule: px
= px
= 1 = p3
px-3
px
. p-3
p-3
Propriedade: ( am
)p
= amp
O expoente nos diz quantas vezes a base ser multiplicada.
Ex: ( a3
)2
= a6
ou
( a3
)2
= a3
. a3
= a3+3
= a6
Ex: ( a2
)4
= a8
ou
( a2
)4
= a2
. a2
. a2
. a2
= a8
Propriedade: ( am
. bp
)q
= amq
. bpq
Ex: ( 23
. 52
)4
= 212
. 58
Importantssimo: sempre que existir produtos de potncias com as bases 2 e 5
podemos obter potncia de 10; basta tentar igualar os expoentes.
Veja:
-
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212
. 58
= 24
. 28
. 58
= 24( 2 . 5 )
8= 16 . 10
8= 1600000000
Concluso: o produto 212
. 58
contm 10 algarismos.
46
. 59
= ( 22
)6
. 59
= 212
. 59
= 23
. 29
. 59
= 23( 2 . 5 )
9= 8 . 10
9
Qual dos nmeros maior?
6200
ou 3400
Vamos igualar os expoentes onde este valor ser o M.D.C ( 600 , 400 )
6200
( 32
)200
6200
9200
6200
< 9200
6 < 9 6200
< 9200
Concluso: sejam an
e bn
ento:
Se a e b R + e a > b ento an
> bn
Se a e b R e a < b ento carece de anlise; se n par ou mpar
Propriedade:
qpna
Quando entre os expoentes no existir parnteses ento resolva as potncias no sentido de
uma para baixo onde a base do expoente superior o numerador imediatamente abaixo.
Ex:2
32 = 29
83
222
22 = = 2256
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8222333
102
===
Concluso: voc observou que:
( 22
)3
322
26
28
)0233 0323
( 38
)0
12
3
1 9
Calcule:
( 0,2 )3
+ ( 0,04)2
23
100
4
10
2
+
( ) ( )2231 104102 -- + ..
431016108
-- + ..
Colocando 8 . 10-4
em evidncia:
21010814 +--.
0096010000
96109612108
44,... --
-
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Soluo 1 Soluo 2
( 0,2 )3
+ ( 0,04 )2
( 0,2 )3
+ ( 0,04 )2
23
1004
102
+
( ) ( )2231 104102 -- + ..
23
25
1
5
1
+
431016108
-- + ..
625
6
625
15
625
1
25
1
++ 33 1061108 -- + .,.
( )33
106910618
--
=+ .,.,Soluo 3
( 0,2 )3
+ ( 0,04 )2
23
100
4
10
2
+
23
25
1
5
1
+
5-3
+ 5-4
5-4
( 51
+ 1 )
6 . 5-4
=4
5
6
Interessantssimo: em fsica e qumica comum as operaes bsicas serem efetuadasatravs de potncia de 10.Veja uma resoluo clssica de potncias com base decimal:
( 0,002 )4
Vamos multiplicar o cofator 0,002 por 100
, ento teremos:
-
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( 0,002 . 100
)4 diminui 3 casas
aumenta
Deslocando a vrgula direita em 3 casas decimais, o nmero aumenta; em contra
partida, o expoente diminui em 3 unidades:
( 2 . 100-3
)4
( 2 . 10-3
)4
16 . 10-3
Obs: o coeficiente da potncia de 20 sempre dever ser um nmero no intervalo de 1 a 9p . 10
n, isto , 1 < p < 9. Ento em 16 . 10
-3vamos diminuir uma casa decimal e em
contrapartida aumentar uma unidade no expoente:
1,6 . 10-3+1
= 1,6 . 10-2
Ex: ( 0,0001 )4
introduzir 100
( 0,0001 . 100
)4 diminui
aumenta
( 1 . 100-4
)4
( 1 . 10-4 )4 = 1 . 10-16
Ex2:( )0010
0101023
,
,.-
) 24333
43
3
23
101010
1010
101
10110
-+
-
-
-
-.
.
..
Importantssimo: voc deve sempre lembrar que os decimais 0,5 ; 0,25 ; 0,125 e 0,0625
transformam em potncia de base 2.
Veja:
-
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0,5 =10
5=
2
1= 2
-1
0,25 =
100
25=
4
1=
2
2
1= 2
-2
0,125 =1000
125=
8
1=
32
1= 2
-3
0,0625 =10000
625=
16
1=
42
1= 2
-4
Calcule:
( ) ( )
( )4
23
250
16020
,
,.,
( ) ( )4
2030
100
25
101601020
.,..,=
( ) ( )4
2233
4
1
1016102
--...
=( )
( )4222493
2
102102
-
--...
=
8
4893
2
102102-
-- ...= 2
3. 2
8. 2
8. 10
-9. 10
-4= 2
19. 10
-13
Exerccios:
I-Simplifique as expresses a b 0
a- (a2
. b3)
2. (a
3. b
2)
3
b-( )( )22
324
.
.
ba
ba
c-[ ( a3
. b2
)2
]3
-
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d-( ) ( )
( )323
243432
.
..
ba
baba -
II-Calcule:
a- 3-1
b- (-2)-1
c- -3-1
d- -( -3 )-1
e-
1
3
2-
f-
3
2
3-
-g- ( 0,25 )
-3h- ( - 0,5 )
-3
i-3
21-
j-( ) 22,0
1-
k-( ) 201,0
1-
III-Calcular o valor das expresses:
a-
( ) ( )22
121
22
222
-
--
+
-+--
b-3
2
32
2
1
2
1.
2
1
-
-
IV-Classificar em verdadeiro(V) ou falso(F):
a- ( 53
)-2
= 5-6
b- 2-4
= 16
-
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c-5
2
7
7
-
-
= 7-3
d- 1
+ 1
= 1
V-Simplificar as expresses:
a- nnn aaa --+ 3112 ..
b- 132 . -+ nn aa
c- n
nn
aa
aaa
.
.
4
34-
+
VI-Dos nmeros abaixo, o que est mais prximo de( ) ( )
( )2
34
9.9
3.10.2.5:
a- 0,625 b- 6,25 c- 62,5 d- 625
VII-Se 2
8
. 5
5
= 0,8 . 10
n
, ent
o n
igual a:
a- 6 b- 5 c- -1 d- 2 e- -3
VIII-Simplifique:
a-3
4
2.2
2.22
+
+-
n
nn
IX- Para todo n , ( 2n
+ 2n-1
) ( 3n3
n-1) igual a:
a- 6n
b- 1 c- 0
d- 2n
. 3 + 2 . 3n e- 2n
. 3n-1
+ 2n
. 3n
-
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X-Simplifique:
a-( ) 1
11
.-
--+
yxyx
XI-Efetue:
a- ( ) ( ) 04,014,012,0.01,03
1 2 ++
XII-Seja M = ( ) 25,1
2
6,0.3
5 --
. Em que intervalo M est?
a- M n e p no divisvel por n , ento procure um
mltiplo de n abaixo do valor de p
Ex:7 45 225 25 105 2105 12
.42.22.22.22 a====
7 427 47 147 4147 18... aaaaaaa ===
-
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Propriedade: ( ) bababa n nn nn ... == ( )0; ba
Comentrio: se os expoentes das bases so iguais ento coloque-o em evidncia;
isto nos facilita e muito.
Ex: ( ) 71010.75.275.2.7700 2222 ====
9
4
3
2
3
2
3
2
81
1624
4
4
=
=
==
Propriedade: nn aqap .. +
Coloque n a em evidncia:
( )qpan +
Ex: 5072328 -++
2.53.22222353 -++
2.53.2.22.22.222242 -++
253.2.22.222224 -++
2523.222222 -++
25262422 -++
( ) 2756422 =-++
Importantssimo: quando existir apenas produto e ( ou ) diviso de radicais prefervel transformar todas as razes em forma de potncia.
-
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Veja:
41
31
21
41
31
21
4
3
2
2
2.2
2
2.2 -+==
12 712
7
12
346
222 ==
-+
Ex2 21
31
31
21
41
21
21
31
31
41
3434
3.3.2.5.5
5.3
3.2.5
5.3
3.2.5
15
6.5 -===
12212412312
64
12
4
12
63
3.2.53.2.5--
--
=
9.125
16
3.5
2
3.5
2
12 212 3
12 4
122
123
124
==
Propriedade:pnn paa
.= a > 0
Vamos demonstrar:
npnpn
pn pn p
aaaaa1.
111
11
1 ==
=
=
Ex1:63 2 55 = ou 66
131
21
3
1
21
3 2 155555 ==
=
=
-
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Ex2:30 1130
1130
65
51
21
5653 5555.55.55.5 =====
+
Propriedade: sejan p
a se n e p possuem divisores em comum, entosimplifique-os.
Ex:3 1412 4412 2216 ==
Comentrio: quando o radicando um nmero real positivo a simplificao possvel e imediata. Mas quando uma varivel ento a simplificao somente serpossvel se a base de radicando positiva.
Ex: 312 4 aa = somente se 0a
"a R+
Se a < 0 = 312 4
aa
Os domnios s
o diferentes, isto
, para
12 4
a qualquer que seja a
R- ou a
R+a operao satisfeita. Mas 3 a somente satisfeita para aR+.
Conclui-se que: 312 4
aa = somente se aR+
Agora se o ndice mpar a simplificao possvel e imediata,e vlida para todosos valores dos reais.
5 115 3aa = a R
Racionalizao
-
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Racionalizar o ato de tornar o expoente do denominador um valor inteiro.
Veja:
3
1=
2
1
3
1
Se multiplicarmos o denominador e o numerador por 21
3 o resultado ser imediato.
3
3
3
3
3
3
3
3
3
11
21
21
21
21
21
21
21
===+
.
Comentrio: calculando 3 = 1,732
57707321
1
3
1,
,==
57703
7321
3
3,
,==
Ou seja,
3
1 o mesmo que3
3
3
1=
3
3
3 = 33.
3 = 3
Generalizando:
n pa
1=
a
an pn-
Vamos demonstrar:
-
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np
np
npn p
a
a
aa-
-
=
1
111
.
np
np
p
pn
n p
aaa
a
a-
-
=
..1
1
a
a
a
p
pn
n p
-
=1
a
a
a
p pn
n p
-
=1
Ex13
32
3
32
3
2
9
25 35 25
5 25
..===
-
Ex2 ===-
3
33
3
33
3
33 23 13
3
..
661
6
643
132
213
22
1
3333333
33====
-+-
...
Importantssimo: se Kxn = e n mpar; ento:
Kxn =
nKx1
=
-
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n Kx= K R
Se Kxn
= e n par:
Kxn =
nKx1
=
n Kx= onde K R+
Leia-se: a raiz ensima de K o valor modular de x, isto , qualquer valor que
atribuirmos a x, seja ele positivo ou negativo, obtemos sempre um valor positivo,isto | -2 | = +2 e | +2 | = +2
Ex: 252 =x
21
25=x ( Seja x = -5 ou x = +5 sempre vamos obter o seu valormodular, que +5 )
25=x
5=x
Lembrete: para aplicar as propriedades de potenciao com nmeros decimais ou
dzima, transforme-os sempre em frao.
Ex1:
2
1
4
1
100
25250 ===,
Ex2: 38181818144
1
100
25
250====
,
-
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Ex3:10
1
10
1
10
1
1000
10010 3
33
93
3330 ==
=
=...,,
Curiosidade: qpn =
Se p > 1 ento p > q
525 = 2 5 > 5
283 = 8 > 2
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500012503 ,, = 0,125 < 0,500