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Definição
Uma pirâmide é todo poliedro formado por
uma face inferior e um vértice que une todas
as faces laterais. As faces laterais de uma
pirâmide são regiões triangulares, e o vértice
que une todas as faces laterais é chamado de
vértice da pirâmide.
PIRÂMIDES
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EXEMPLOS DE PIRÂMIDE
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Nomenclatura: de acordo com o número de arestas da base nomeamos uma pirâmide como segue:
Base Nº de Arestas Nomenclatura
Triângulo 3 Triangular
Quadrilátero 4 Quadrangular
Pentágono 5 Pentagonal
Hexágono 6 Hexagonal
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Pirâmide TriangularPirâmide Quadrangular
Pirâmide Hexagonal
Pirâmide Pentagonal
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ALTURA DA PIRÂMIDEA altura da pirâmide é a menor distância do vértice
ao plano da base.
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PIRÂMIDE RETA
OBS:
caso a altura não seja ortogonal pelo centro da base,
dizemos que a pirâmide é oblíqua.
Quando a pirâmide é reta, a altura une o vértice
ao centro da base.
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PIRÂMIDE REGULAR
Definição
Pirâmide regular é uma pirâmide reta cuja
base é um polígono regular.
OBS: numa pirâmide regular, as faces
laterais são triângulos isósceles
congruentes.
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APÓTEMA DA PIRÂMIDE
Definição
Denominamos apótema de uma pirâmide
regular, a altura do triângulo isósceles da
face lateral.
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EXEMPLO:
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Relação entre a altura da prâmide (h), o apótema da base e o apótema da pirâmide .
2 2 2
p ba a h
ba
pa
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Exemplo:
1) Uma pirâmide quadrangular regular tem 4m de altura e a aresta da base mede 6m. Calcule seu o aótema da base e do apótema da pirâmide.
ba = 3
2 2 2
p ba a h
2 23 4 9 16 5g m
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ÁREA
A área total de uma pirâmide é a
soma da área da superfície lateral com
a área da base .
T SL BA A A
TA
S LA
BA
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VOLUME
.
3
BA hV
O volume de uma pirâmide é sempre o
produto da área da base vezes a altura,
dividido por três.
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EXEMPLOS
2)Uma pirâmide quadrangular regular tem 4m de altura e a aresta da base mede 6m. Calcule seu volume e a área total.
2
36 .4. (36).4
(12).(4) 483 3 3
Bpirâmide
A hV m
2 2
2 2
2
2
3 4 9 16 5
(6) 36
36 60 96(6).(5)4. 4 15 60
2
B
t b l
S L
g m
A m
A A A mA m
Solução. Observando os elementos na
figura, temos:
i) Volume:
ii) Área total:
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3) Calcular a área da base, área lateral, área total e o volume da pirâmide quadrangular regular de apótema 5cm e apótema da base 2cm.
2 2
2 2
2
2
5 2 21
(4) 16
16 40 56(4).(5)4. 4 10 40
2
B
T B S L
S L
h cm
A cm
A A A cmA cm
316 .( 21). 16 21
3 3 3
BA hV cm
Solução. Se o apótema da base mede 2cm, então a aresta da
base mede 4cm. Observando os elementos na figura, temos:
i) Áreas:
ii) Volume:
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4) Calcule o volume de uma pirâmide hexagonal regular de área da base e apótema 13m.
O apótema do hexágono é a altura do triângulo equilátero. A
altura da pirâmide é calculada com a relação de Pitágoras no
triângulo retângulo de hipotenusa 13m.
Solução. A área da base é o sêxtuplo da área de
um triângulo equilátero com lado de mesma
medida da aresta do hexágono. Temos:
mlll
A
lA
b
b38192
6
)288).(4(3288
4
3.6
3288
4
3.6
22
2
3
22
3480)5.(3963
)5.(3288
3
.
5251441691213
122
)3)(8(
2
338
2
3
mhA
V
mh
ml
abp
2288 3 m
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TRONCO DE PIRÂMIDE
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VOLUME DO TRONCO
Sendo V o volume da pirâmide maior e v o
volume da pirâmide menor temos:
TRV V v
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Relação entre o volume da pirâmide
maior V e o volume da pirâmide menor v.
333
B P
b p
a aV H
v h a a
- Apótema da base da pirâmide maiorBa
- Apótema da base da pirâmide menor
- Apótema da pirâmide maior
- Apótema da pirâmide maiorba
Pa
pa