Pirâmides:

Neste momento, continuaremos a estudar a geometria

espacial dos sólidos geométricos, enfatizando agora as

pirâmides. A seguir, algumas representações de

pirâmides:

Essa forma espacial é bastante conhecida, por isso torna-se difícil

não nos lembrarmos das pirâmides do Egito ao tratarmos deste

assunto. Uma dessas pirâmides é a de Quéops, também chamada

de Grande Pirâmide. Ela mede 250 metros de cada lado, na base, e

160 metros de altura. Foram utiliza- dos cerca de 2 milhões de

blocos de pedra, a maior parte deles com peso médio de 2,5

toneladas.

Definição:

Consideremos um plano α, uma região poligonal convexa

S e um ponto V fora de α. Pirâmide é a reunião de todos

os segmentos com uma extremidade em V e a outra na

região poligonal S.

Elementos:

• A região poligonal S é chamada base da

pirâmide.

• O vértice da pirâmide é V.

• A altura da pirâmide é a distância de V

ao plano da base.

• As arestas da base são os lados do

polígono da base.

• As arestas laterais são os segmentos

com extremidades em V e nos vértices do

polígono da base.

• As faces laterais são os triângulos

determinados pelo vértice V e cada uma

das arestas da base.

Nomenclatura:

Uma pirâmide é nomeada de acordo com a quantidade

de arestas na base. Exemplos:

Secção transversal de uma

pirâmide é a intersecção dessa

pirâmide com qualquer plano

paralelo à sua base.

Na figura a seguir, o polígono

ABCDE, em destaque, é a secção

obtida pela intersecção do plano β

com a pirâmide. O plano β é

paralelo ao plano α que contém a

base da pirâmide.

Secção transversal:

Pirâmides retas e pirâmides oblíquas:

Pirâmide reta é a que possui a projeção ortogonal do vértice

sobre o centro da base.

A pirâmide representada a seguir é reta e o ponto O é a projeção

ortogonal de seu vértice, o ponto V.

Quando uma pirâmide é reta, suas faces laterais são triângulos

isósceles congruentes, ou seja, todas as arestas laterais são

congruentes entre si.

Se a projeção ortogonal do vértice V não for sobre o centro da base,

dizemos que a pirâmide é oblíqua, como é o caso da pirâmide

representada a seguir, em que V' é a projeção ortogonal de seu

vértice.

Uma pirâmide reta que possui um polígono

regular na base é chamada de pirâmide

regular.

A seguir, como exemplo, representamos uma

pirâmide hexagonal regular e umas de suas

planificações. Neste exemplo, temos uma

pirâmide que cumpre as duas propriedades para

ser regular, ou seja, tem na sua base um

polígono regular e é reta.

Note que, por ser reta, os triângulos que

compõem sua superfície lateral são isósceles.

Pirâmides regular:

Elementos de uma pirâmide regular:

I. Apótema de uma pirâmide regular Chama-se

apótema de uma pirâmide regular a altura

(relativa ao lado da base) de uma face lateral.

Na figura a seguir, m é a medida do apótema da

pirâmide representada.

II. Apótema da base de uma pirâmide regular

Dá-se o nome de apótema da base de uma

pirâmide regular ao apótema do polígono regular

da base, que, na verdade, é a distância do

centro do polígono a cada um dos lados. Na

representação a seguir, a corresponde à medida

do apótema da base.

De modo geral, o teorema de Pitágoras tem aplicação na maioria

dos problemas que envolvem pirâmides. Reconhecer os triângulos

retângulos determinados pelos elementos das pirâmides torna-se

uma habilidade importantíssima. A seguir, teremos exemplos de

triângulos retângulos determinados pelos elementos das principais

pirâmides regulares.

Teorema de Pitágoras e as principais pirâmides regulares :

Pirâmide triangular regular :

Considere uma pirâmide triangular regular em que as arestas da

base medem l, altura H, apótema da base a e apótema da pirâmide

m, como representado a seguir:

Os apótemas da base e da pirâmide e a

altura determinam um triângulo retângulo,

tornando válida a relação:

Como a base da pirâmide é um triângulo equilátero de lado l, temos

que o ponto G é o baricentro desse triângulo e divide a mediana na

razão 2 : 1, portanto o apótema da base corresponde à terça parte

da mediana.

Sendo f a medida de uma aresta lateral, temos mais uma

possibilidade de destacar um triângulo retângulo, como representado

a seguir:

Pirâmide quadrangular regular :

Pirâmide hexagonal regular :