Journal of Geometry Vol. 56 (1996)
0047-2468/96/020182-085.50+0.20/0 (c) Birkh~user Verlag, Basel
PARABELSCHAREN UND GRENZKRBISE IN DER ISOTI~OPEN EBENE
Herrn Professor Helmut Miiurer zum 50. Geburtstag gewidmet
Jiirgen TSlke
It is known by H. Sachs [5] t h a t the c lass ica l curve theo rem of ABRAMESCU also holds in i so t ropic geometry . Genera l i s ing an idea due to O. R6schel [2] we r e g a r d all inscr ibed pa rabo la s Ir(s,t) of a trian~}le k(t). This t r i ang le is fo rmed by the t a n g e n t s of t h ree ne ighbour ing points of a C - c u r v e k(t) in an i so t ropic plane. Let U(A(t)) be the c i rcumci rc le of k(t) and I(8(t)) the ineircle of the t r i ang le 3(t) whose midpoin ts of the s ides a re the ver t i ces of k(t), The circle U(k(t)) is the locus of the i so t ropic focal poin ts of II(s,t) and the incircle I(3(T)) the envelope of the i so t ropic axes of II(s,t). We prove t h a t the ABRAMESU-circle - lim U(k(t}) - is ident ical wi th the locus of the focal points of l im II(s,t) and the circle lim I(3(t)) wi th the envelope of the axes of lim II(s,t). The c h a r a c t e r i s t i c points , d i f f e r e n t f r om k(t), of the c i rc les lim U(A(t)) and lira I(~(t)) de te rmine the d i rec t ion of the of f i n e - n o r m a l of k(t).
Sei A das aus drei benachbarten Tangenten einer zul~ssigen, wendepunktfreien C ~-
Kurve c gebi ldete Dreieck. H. Sachs [5] zeigte , dos der Inkreis I(A) und der Umkreis
U(A) beim Grenzf ibergang jewei ls gegen einen Grenzkre is konvergieren. Der Grenzkre i s
yon U(A) - der sogenann te ABRAMESCU-Kreis - i s t nach O. RSschel [2] zugle ich der Oft
der Brennpunkte a l ier Parabeln, die c i m Grenzpunkt C yon c oskul ieren. Sein neben C
vorhandener c h a r a k t e r i s t i s c h e r Punkt is t der i so t rope Brennpunkt der Af f inpa rabe l yon
e im Grenzpunkt C.
1983 ha t J. Long [1] gezeigt , dab U(s zugleich der Brennpunk t so r t der g e inbe-
schr i ebenen Parabe ln II(k) ist. Fe rner fo lg t aus einem kiirzlich vom V e r f a s s e r [7]
geze ig ten Resu l t a t , dab die i so t ropen Achsen der Parabe ln II(k) den Inkreis i(8) jenes
Dreiecks 8 einhfillen, fi ir das k Se i tenmi t tendre leck ist . Neben neuen E igenscha f t en
l i e f e r t die Pa r ab e l s cha r II(k) zugleich ein t i e f e r e s Vers t~ndnis tier bekannten Aus-
sagen fiber Grenzkreise . So kann z.B. die ana ly t i sehe Deutung des ABRAMESCU-Kreises
T61ke 183
nach O.R6schel [2] geometrischer mit der Parabelschar If(i) als eine Limesver-
tauschungseigenschaft bewiesen werden (Satz 7).
Wir zeigen, dal3 auch l(a) beim Grenz~bergang gegen einen Grenzkreis konvergiert.
Hiermit folgt dann f~ir die Htillkurve der isotropen Achsen yon If(A) eine entsprechende
Limesvertauschungseigenschaft. Der neben C vorhandene charakteristische Punkt des
Grenzkreises yon I(~) liegt auf der isotropen Achse der Affinparabel von c im Grenz-
punkt C - was mit einem Resultat yon O.R6sehel [2] eine isotrope Deutung der Affin-
normalenrichtung von c in C ergibt.
Da bei unserem Grenzprozel3 die Radienverh~iltnisse der betrachteten Kreise unge~indert
bleiben, folgt insbesondere durch Spezialisierung von c ein vom Verfasser [8]
gezeigter Sachverhalt tiber Parabeln mit gemeinsamem isotropen Krtimmungskreis.
i. Schauplatz der naehstehenden Untersuchungen ist eine isotrope Ebene Iz, fiir deren
Geometrie wit auf [4] verweisen. Da im folgenden die Begriffe isotroper Brennpunkt
und isotrope Achse einer Parabel eine zentrale Rolle spielen, sei kurz darauf einge-
gangen. Bezeiehnet F den absoluten Punkt und f die absolute Gerade yon Iz, so heif~t
eine f bertihrende regulate Kurve 2. Ordnung der projektiven Ebene P (R) ~ I iso- 2 2
troper Kreis bzw. Parabel, je nachdem ihr auf f gelegener Berilhrpunkt Bmit dem abso-
luten Punkt zusammenf~llt oder yon ibm verschieden ist. Jener yon B versehiedene
Punkt F einer Parabel, dessen Parabeltangente dutch F geht, heif{t ihr isotroper i
Brennpunkt. Die Verbindungsgerade von F und B nennt man ihre isotrope Parabelachse. i
Bezeichne AA: = A(AIA2A 3) ein zul~issiges Dreieck [4] der isotropen Ebene. Wie J. Lang
[i,S.7] zeigte (vergl. aueh [4,S.77f.]), liegen die iaotropen Brennpunkte der A A
einbesehriebenen ,Parabelschar II(~) auf dem Umkreis U A des Dreiecks A A. Nach dem Ver-
fasser [7] liegen die Mittelpunkte der A A umschriebenen speziellen Hyperbeln auf dem
isotropen Feuerbachkreis [6,9,10] F A yon A A. Hieraus folgt tiber die metrisehe
Dualit~it fiir die Parabelachsen yon II{;~): Die isotropen Achsen der einem zul~issigen
Dreieck 5 A einbeschriebenen Parabelsehar hkillen den Inkreis I W des Dreiseits der
Winkelhalbierenden yon A A ein.
Naeh K. Strubecker [6,S.553] ist I W zugleich auch der Inkreis Ip jenes Dreiecks Ap :=
A(PIP2P3), dessen Seitenmittendreieck A A ist. Dies liefert
SATZ 1. Set i p efn z u t ~ s s i g e s Dre f eck der i so t ropen Ebene. Dann t t egen dfe i s o t r o p e n
B r e n n p u n k t e der dem z u g e h S r t g e n S e t t e n m i t t e n d r e t e c k i A e t n b e s c h r i e b e n e n Parabe l schar
a u f dem F e u e r b a c h k r e t s Fp yon Ap und ihre i s o t r o p e n Achsen h i i l len den I n k r e i s I p yon
A ein.
184 T61ke
Nach I. M. Yag lom [9] und J. van Y z e r e n [10] b e r i i h r t de r F e u e r b a c h k r e i s Fp den
I n k r e i s Ip yon Ap. D a m i t i s t d i e s e r Y a g l o m - Y z e r e n P u n k t d a d u r c h g e k e n n z e i c h n e t , dat3
d o r t de r i s o t r o p e B r e n n p u n k t e i n e r A A e i n b e s c h r i e b e n e n P a r a b e l m i t d e m c h a r a k -
t e r i s t i s c h e n P u n k t de r zugeh~Srigen i s o t r o p e n P a r a b e l a c h s e zusammenf~ t l l t .
2. Um A u s s a g e n t iber die R ad i en de r ob igen K r e i s e zu m a c h e n , l egen w i r e in r
K o o r d i n a t e n s y s t e m d u t c h zwe i D r e i e c k s s e i t e n yon A A f e s t . Es se i
(1) A 1 = (0,0), A 2 = (a ,0) , A 3 = (O,b); a ,b e R, ab ~ O.
Die i s o t r o p e R i e h t u n g , die zu k e i n e r D r e i e c k s s e i t e p a r a l l e l i s t , l~iBt s i ch d u r c h den
F e r n p u n k t X:-t :O f e s t l e g e n . Im i s o t r o p e n K o o r d i n a t e n s y s t e m
(2) x = ~ + X~, y = 71
f o l g t d a m i t f t i r den U m k r e i s U A b z w . d e n Ink re i s I A yon A A l e i ch t
(3) U A := x 2 - a x - M X b - a ) y = 0 bzw. I A := (x+kb-a ) 2 - 4 k ( k b - a ) y = O.
Ftir den I n k r e i s I des Dre i ecks Ap, da s a A a l s S e i t e n m i t t e n d r e i e c k b e s i t z t , f i n d e r m a n
(4) Ip := ( x + a - 3 k b ) 2 + 8M ) t b - a ) (y -b) = 0.
B e r t i c k s i c h t i g e n w i r S a t z 1, so f o l g t
SATZ 2. Set A A etn z u l f f s s t g e s Dre t eck e the r t s o t r o p e n Ebene und b e z e t c h n e R d e n
i .sotropen Radius s e i n e s I n k r e i s e s I A. Dann l t egen d ie i s o t r o p e n B r e n n p u n k t e a l t e r i A
e i n b e s c h r t e b e n e n Parabeln a u f e tnem Kre t s U A yore Radius 4R. Die i s o t r o p e n Achsen
d t e s e r Parabetn umhtiLlen e tnen Kre i s I p vom Radius - (1/2)R.
3. Es b e s t i c h t die Ana log ie zu e i nem Sa tz t iber P a r a b e l n m i t g e m e i n s a m e m i s o t r o p e n
K r t i m m u n g s k r e i s [8] (vergl . a u c h [4 ,S . l lSf . ] ) , den wile z u m besseper l Vers t~ indnis a n g e b e n
wol len :
SATZ 3. Die i s o t r o p e n B r e n n p u n k t e a l l e r P a r a b e l n de r i s o t r o p e n Ebene, d ie e i nen
K r t i m m u n g s k r e i s vom R a d i u s R g e m e i n s a m haben , l i egen a u f e i nem K r e i s vom R a d i u s 4R,
Die i s o t r o p e n A c h s e n d i e s e r P a r a b e l n umht i i l en e inen K r e i s vom R a d i u s - (1 /2 )R .
O f f e n b b a r s ind die be i den l e t z t e n A u s s a g e n n i ch t unabh~ingig v o n e i n a n d e r . Sie g a b e n
den AnlaB zu den n a c h s t e h e n d e n U n t e r s u e h u n g e n . Sei c e in zul~iss iges , w e n d e p u n k t f r e i e s
C ~ - K u r v e n s t t i c k und A e in T a n g e n t e n d r e i e e k - b e s t i m m t d u t c h die $ c h n i t t p u n k t e de r
T61ke 185
T a n g e n t e n d r e i e r b e n a c h b a r t e r Punkte von c. B e t r a c h t e n w i r zun~ichst die R a d i e n a u s -
sagen yon Satz 2, so gi l t mi t dem Radius R{I(A)} bzw. R{U(A)} des I n k r e i s e s I(A)
bzw. U m k r e i s e s U(A) von A : R{U(A)} = 4R{I(A)}.
Gehen w i r (mit dem in [51 be sch r i ebenen Orenzprozel~) zu r Orenze [iber, so gi l t nach
H. Sachs, dab I ( i ) bzw. U(A) als Grenz lage an der b e t r a c h t e t e n Stelle C yon c den
Kr i immungsk re i s Ke = lim I(A) yon c [5,Satz 3] bzw. den Kre i s yon ABRAMESCU K B =
lim U(A) [5 ,Satz 1] bes i t z t . Wegen [4,S.117] gi l t dabei
(5) R{U(A)} : R{I(A)} = R{lim u(a)} : R{lim l(a)}.
Die nach Satz 2 w e i t e r e R ad i enaus sage R{I(6)} = - (1/2)R{I( i )} , wobei I(6) den Inkre i s
j enes Dre iecks 6 beze ichne t , das A als Se i t enmi t t end re i eek be s i t z t , f t i h r t zu r F rage ,
ob aueh I(8) bei u n s e r e m Grenzprozel~ eine Grenz lage e innimmt. HieriJber g i l t
SATZ 4. Se t
t 1. S tnd C 2
b e z e t c h n e A
D r e t e c k s 3
C 2 - - - > C 1, C 3 - - - > C 1 a l s Grenz lage e tnen Kre t s K A
c tm P u n k t C 1 und e s g i l t
c e tne z u l ~ s s i g e C~ und C 1 yon c k e i n W e n d e p u n k t m t t der T a n g e n t e
C 3 z w e t yon C 1 v e r s c h t e d e n e P u n k t e yon c m t t den T a n g e n t e n t2, t3, so
das D r e t e c k der T a n g e n t e n s c h n i t t p u n k t e . I s t dann I ( 3 ) der I n k r e t s j e n e s
das A a t s S e t t e n m t t t e n d r e t e c k b e s t t z t , so hat I ( 3 ) be tm Grenz i ibergang
= l im I (~) . D t e s e r K r e t s ber i ihr t
(6) R{I(6)} : R{I(A)} = Rll im I(6)} : Rll im I(A)}.
Beweis: Nach V o r a u s s e t z u n g ha t c keine i so t ro pe Tangen te , so dab A ein zul f i ss iges
Dreieck ist . Wir w~ihlen mi t H. Sachs [4] ein i s o t r o p e s x , y - K o o r d i n a t e n s y s t e m gem~il~
(7) C I = (0,0) , t 1 : y = 0.
Beziehen w i t c au f ih re i so t rope Bogenl~inge x a ls P a r a m e t e r , so gi l t
(8) c : y = f (x ) , f(O) = f ' ( O ) = O, f"(O) = ~:(C 1) = O.
Die T a n g e n t e n t2, t 3 s e t z e n wi r in der F o r m (i = 2,3)
y = u.xl + v.1 mi t u2u3(u2 -u 3) ~ 0
an. Fiir I(3) g i l t in den i s o t r o p e n L in ienkoord ina ten
y = ux + v) der A nsa t z
2 (9) v = c~U + /3u + ~.
u,v ( Inz idenzbedingung:
186 T61ke
Die K o e f f i z i e n t e n a, /3, ~" s ind aus den Ber i ih rbed ingungen yon 1(6) mi t den Ge raden
UzV3-UsV 2 v 3 v 2
--u2_u 3 y - y = u2(x + ), Y = u3(x + )
zu be s t immen . Wir b e r e c h n e n
cr 2 2. Ir(u2-u 3) = u2v 3 - u3v 2 = :D, ~uZu 3 = 21{, {3(u2-u 3) = 2 tuS-u2] + v 2 - v 3.
Gil t f i i r die K o o r d i n a t e n yon C. (i = 2,3] 1
C i = (h i , f (hi)) mi t h2h3(h2-h 3) * O,
so ge l t e n die T a y l o r e n t w i e k l u n g e n von [4,S.118,Formel (7.18)]. Mit den R e l a t i o n e n
( l .c . )
f " ( O )
- = - ,, + vS-v 2 ( h 2 - h s ) { ( h 2 + h S ) - - - - ~ + F2}, u 2 u S (h 2 hs){f (0) FI}, =
1
D = ~ h2hs(h2-hs){f"Z(O)+F 3} mit F i = Fi (h2,h3) , l i r a F.~ = O, i=l ,Z,3, hz, h 3 - ->0
b e r e c h n e n w i t
( 1 0 ) l i m ~ - , l i m (~ = l i m ir = 0. h z , h 3 - - > 0 f " ( 0 ) h z , h 3 - - > O hz, h 3 - - > O
Also k o n v e r g i e r t I(a) gegen e inen G r e n z k r e i s K A = lim I(5). Mit (9) und (10) f o l g t
se ine Daps te l lung zu
1 1 (11) y = - ~ ( ~ f'(o))x 2.
4. Mit d i e sem Ergebn i s [~f~t s i ch s o f o r t e in R e s u l t a t yon O.RiJschel [Z,Satz 4]
e rg~nzen . Dazu b e t r a e h t e n w i t l~ings e ine r zul~issigen C~-Kurve c, die f r e i von Wende-
punk ten i s t und f i b die die z w e i t e Krt immung K*(x) = f ( a l ( x ) n i eh t v e r s e h w i n d e t , die
G r e n z k r e i s s e h a r KA(X,T)
! (12) x = x + z, y = y(x) + y'(x)~ - ~ y"(x)T 2.
Diese Sehar b e s i t z t s t e t s die Kurve c und e ine w e i t e r e Kurve e a ls Hiillkurve. Fiir den
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i.a. vom Kurvenpunk t C ve r sch iedenen w e i t e r e n Htillpunkt E = E(x ,y) g i l t
_ y " ( x ) _ y " ( x ) y " ( x )
(13) x = x + 6 - - y = y(x) + 6 - - y ' ( x ) - 9 ( - - )Zy"(x) . ( 3 ) ' (3 ) ( 3 )
y (x ) y ( x ) y ( x )
SATZ 5. S e t c e t n z u l i i s s i g e s , w e n d e p u n k t f r e t e s C ~ - K u r v e n s t i i c k m i t n t r g e n d s v e r -
s c h w i n d e n d e r z w e t t e r t s o t r o p e r K r i i m m u n g . Dann u m h i i t l e n d i e G r e n z k r e t s e K A yon S a t z 4
n e b s t c e t n e w e t t e r e K u r v e e e tn . Der H f J l l p u n k t E ( x , y ) yon e d e s z u C ( x , y ) yon c
g e h S r e n d e n G r e n z k r e t s e s K A t t e g t a u f d e r t s o t r o p e n A c h s e d e r A f f i n p a r a b e t yon c in C.
Beweis: Nach O. RSschel [3,S.116f.] l au t e t die Gleichung der A f f i n p a r a b e l im K o o r -
d i n a t e n s y s t e m (7,C1=:C) mi t (8) und x als i s o t r o p e r BogenKinge yon c
2 (x + y)2 = _ Y ,
3~ 2 ~:
wobe i g bzw. ~c die e r s t e bzw. zwei te i s o t r o p e Krt immung von c beze ichnet . Dami t g i l t
f t i r die i s o t r o p e Achse der A f f i n p a r a b e l
(14) K
X + y = 3 , , 3~ 2 K
so daft de r Punkt (13) f i i r x = 0, y(O) = y ' (O) = 0 au f der Geraden (14) l iegt .
Dami t b e s t i m m t die V e rb i ndungsge rade des neben C yon c vo rhandenen c h a r a k t e r i s t i s c h e n
Punk te s des ABRAMESCU-Kreises [2,S.175] und des G r e n z k r e i s e s K A die A f f i n n o r m a l e n -
r i c h t u n g und dami t die A f f i n n o r m a l e yon c in C.
5. Kehren w i r zu Satz 2 zuriick und wenden seine P a r a b e l a u s s a g e n au f das
T a n g e n t e n d r e i e e k A u n s e r e r zul~issigen, w e n d e p u n k t f r e i e n CW-Kurve e an. Dies e rg ib t ,
dab der Umkre i s U(A) der B r e n n p u n k t s o r t a l l e r A e inbesch r i ebenen P a r a b e l n I I ( l ) und der
Inkre i s I(3) yon 5 Htillkurve der i s o t r o p e n Aehsen der P a r a b e l n II(&) is t . Wir wol len
zeigen, dab diese E i g e n s e h a f t du t ch den Grenzprozei~ n ich t z e r s t 6 r t wi rd . Genaue r gi l t
SATZ 6. S e t c e t n e z u l ~ s M g e C~ und C 1 yon c k e r n W e n d e p u n k t m t t d e r T a n g e n t e
t 1. S i n d C 2 ~ C 3 z w e i yon C 1 v e r s c h t e d e n e P u n k t e a u f c m t t d e n T a n g e n t e n t 2, t 3, s o
k o n v e r g i e r t d i e d e m T a n g e n t e n d r e i s e i t iX e i n b e s c h r i e b e n e P a r a b e l s c h a r II(A) b e t m G r e n z -
i i b e r g a n g C 2 - - - > C 1, C 3 - - - > C 1 g e g e n e i n e P a r a b e l g r e n z s c h a r II0(C1). Die P a r a b e l n
yon IIo(C 1) h a b e n d e n K r i i m m u n g s k r e i s Kc yon c tn C 1 g e m e t n s a m .
188 TOlke
Beweis. Wir wol len dieselben Bezeichnungen wie beim Beweis yon Satz
Benutzen w i t (projekt ive) L in ienkoord ina ten u:v:w, so w e r d e n die
(i=1,2,3) d u t c h u = w = 0; u = u i, v = -1, w = v (i=2,3) da rges t e l l t . i
Fiir die P a r a b e l s c h a r II(A) haben w i r den Ansa tz
4 verwenden.
Tangenten t. I
2 (15) u + 2puv + 2muw + 2evw = 0
und die Bedingungen 2pu i + 2cv.= u7+ 2ore.v, i=2,3. Aufge l6s t g i l t 1 1 I 1 '
2p = u 2 + v2(u2-u3)(u3 + 2r 2e = -u2u3{u2-u3+2r -I.
Benutzen w i t die Rela t ionen vom Beweis zum Satz 4, so fo lg t
(16) l i m p = 0 und l i ra c = - f " ( 0 ) .
h 2 , h 3 - - > 0 hg ,h 3 - - > 0
Damit e x i s t i e r t eine P a r a b e l g r e n z s c h a r IIo(C1). Nach (15) und (16) ha t sie in
Punk tkoord ina t en die Da r s t e l l ung
r 2 (17) (x + - - y)2 _ y = 0.
f " ( o ) f " ( o )
Mit dem Krtimmungskreis
i (18) y = ~ f " (O)2x
K c yon e in C 1
folgt die Behauptung. ~
Ftir die Parabelgrenzschar llo(C I) gilt demnach die Ausgangssituation yon Satz 3- und
damit dessen Aussagen, d.h,, wie man auch leicht ohne Satz 3 zu benutzen der Dar-
stellung (12) entnimmt: i) Die Brennpunkte von llo(C I) liegen auf dem Kreis K B , und Z)
Die isotropen Achsen 0"x + o-2{f"(0)}-ly- i = 0 der Parabelgrenzschar II (C,) hiillen O I
den isotropen Grenzkreis K A ein. Damit l~iBt sich die yon O.R~schel [2,Satz 3] festge-
stellte formale 0bereinstimmung yon K B rnit dem Ort der Brennpunkte von llo(C I) pr~ig-
nanter wie folgt ausdriicken:
Unter den Voraussetzungen und Bezeichnungen yon Satz 6 gilt mit dem dortigen Limes-
prozeS:
SATZ 7. (a) Der Oft der B r e n n p u n k t e der Grenzparabe l s char der A e t n b e s c h r t e b e n e n
Parabetschar E(A) tst zugletch Grenzkurve des Ortes der Brennpunkte von U(A). (b) Die
H~tlkurve der tsotropen Achsen der Grenzparabelschar der A etnbeschrtebenen
Parabelschar ~(A) ist zugletch Grenzkurve der Hdllkurve der tsotropen Achsen yon
T61ke 189
TICA),
W~ihlen wir ftir c speziell einen Kreis, so liefert Satz 7 wegen Satz 2 und den
Relationen (5) und (6) wieder den Satz 3.
LITERATURVERZEICHNIS
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Jtirgen TSlke FB Mathematik Universit/it GH Siegen H~Slderlinstr. 3 D-57068 Siegen
Eingegangen am 14. Juni 1995
