Mathematics for Korea Scholastic Aptitude Test
Complex Numbers- 1 -
Section 2 복소수
1복소평면
1) 복소평면 (가우스평면)
평면 위의 직교좌표에서 점 P(a b)가 복소수 에 대응될 때
이 평면을 복소평면 또는 가우스 평면이라 하고 P( ) 또는 점 라 나타낸다
특히 x축을 실수축 y축을 허수축이라 한다
이 때 을 로 나타내고 의 절대값이라고 한다
즉
2) 복소수의 합과 차
(1) 복소수의 덧셈
두 점 가 주어져 있을 때 합 를 나타내는 점 의 작도는 를
이웃 두 변으로 하는 평행사변형의 제 4의 꼭지점을 구하면 된다
의 기하학적인 정의는 평행이동을 의미함
(2) 복소수의 뺄셈
두 점 가 주어져 있을 때 차 를 나타내는 점 의 작도는 다음 두 가지
방법이 쓰인다
(ⅰ) 의 O에 대한 대칭점을 를 구하고 를 이웃 두 변으로 하는 평행사변형의
제 4의 꼭지점을 구한다
(ⅱ) 을 이웃 두 변으로 하는 평행사변형의 제 4의 꼭지점을 구한다
의 기하학적인 의미는 원점 가까이 평행이동을 의미한다
【참고】
1) 절대값의 기하학적인 의미 원점에서 복소수까지의 거리을 의미
즉 는 와 사이의 거리을 의미함
2)
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Complex Numbers- 2 -
3) 복소수 α β의 켤레복소수를 α β라 할 때
α β α β α β α β
αβ
α
β α α
4) 의 켤레복소수가 (단 는 실수) 일 때
가 실수
가 순허수
5) 이동
(ⅰ) 점 와 점 는 원점에 대하여 대칭
(ⅱ) 점 와 점 는 축에 대하여 대칭
(ⅲ) 점 와 점 는 축에 대하여 대칭
(ⅳ) 점 는 점 를 π
만큼 회전이동 ( 회전연산자)
6) 선분 의 내분점 외분점
복소평면에서 두 점 를 잇는 선분 를 으로
내분점 외분점
2복소수의 극형식
를 θ θ 꼴로 나타낼 때 이것을 z 의 복소수의 극형식이라
하고 를 복소수의 절대값 θ를 편각이라 한다
특히 편각의 표현은 또는 로 나타낸다
(단 θ θ )
【설명】복소수 에 대하여
θ θ 를 만족하는
θ 를 구하면 다음과 같이 극형식으로 변형할 수 있다
θ θ
θ θ
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Complex Numbers- 3 -
【참고】 복소수 θ θ 에 대하여
(1) θ θ π θ π θ
(2) θ θ θ θ
(3) 복소수 의 편각 θ 는 일반각이므로 여러 가지로 나타낼 수 있으나 보통 θ π 또는 π θ π
의 범위에서 그 절대값이 가장 작은 각의 크기를 취한다
(4) 복소수 0 의 절대값은 0 이고 편각은 임의의 각으로 본다
(5) arg는 argument 의 약자이다
3 극형식으로 나타낸 복소수의 곱셈나눗셈
θ θ θ θ (단 ) 일 때
1) 곱셈
극형식 θ θ θ θ 절대값
편 각
2) 나눗셈
극형식 θ θ θ θ 절대값
편 각
【복소수의 곱셈과 나눗셈의 증명】
(1) 곱셈
θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ θ θ
θ θ θ θ
θ θ
(2) 나눗셈
θ θ
θ θ
θ θ θ θ
θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ θ θ
θ θ
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Complex Numbers- 4 -
θ θ θ θ
θ θ -끝-
4 복소수의 평행이동 회전이동
(1) 평행이동 점 를 α 만큼 평행이동한 점 는 α
(2) 회전이동 점 를 원점을 중심으로 θ 만큼 회전이동한 점 는 θ θ 이고
점 를 α를 중심으로 θ만큼 회전이동한 점 는 α α θ θ
【설명】
(1) 평행이동
복소평면 위의 두 점을 α 라 할 때 점 을 α 만큼 평행이동한 점을 라 하면
사각형 는 평행사변형 이므로 점 는 점 을 점 에서 로 향하는 방향으로
만큼 평행이동한 점이 된다 따라서 α
(2) 회전이동
α α 라 하면 를 원점을 중심으로 θ 만큼 회전이동한
점 는 θ α θ
α θ α θ
α α θ θ
따라서 θ θ 특히 복소수 를
원점의 둘레로 회전하면 회전하면 회전하면
다음에 점 를 α 를 중심으로 θ 만큼 회전이동한 점을 라 하면
는 오른쪽 그림과 같이 다음과 같은 차례로 이동하는 것과 같다
① α가 원점이 되도록 를 평행이동시킨다
이 때 점 는 α 로 이동된다
② 점 α 를 원점을 중심으로 θ 만큼 회전이동시킨다
이 때 점 α 는 α θ θ 로 이동된다
③ 점 을 α 만큼 평행이동시킨다 이 때 은 α
즉 가 된다 α α θ θ α
따라서 α α θ θ
5 드무아브르의 정리
이 정수일 때 θ θ θ θ
【참고】 반드시 극형식일 때만 드 무아브르 정리를 적용할 수 있다
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Complex Numbers- 5 -
【드∙무아브르의 증명】
드무아브르의 정리 즉 θ θ θ θ 를 증명할 때에는 수학적귀납법을 이용한다
이 때 을 양의 정수 0 음의정수로 나누어 증명한다
이 정수일 때 θ θ θ θhelliphelliphellip ① 를 증명하여 보자
(ⅰ) 이 양의 정수일 때
일 때
(좌변)= θ θ 우변 θ θ
(좌변) (우변) there4 ① 은 성립한다
일 때 등식이 성립함을 가정하면
θ θ θ θ 이 식의 양변에 θ θ 를 곱하면
θ θ θ θ θ θ θ θ
θ θ
이것은 ① 이 일 때도 성립함을 뜻한다 따라서 ① 은 모든 양의 정수 에 대하여 성립한다
(ⅱ) 이 0 일 때
(좌변) θ θ θ θ가 동시에는 0이 아니다
(우변) 좌변 우변 따라서 ① 은 일 때 성립한다
(ⅲ) 이 음의 정수일 때
은 양의 정수)으로 놓으면
θ θθ θ θ θ
θ θ
θ θθ θ
θ θ
θ θ
θ θ θ θ
(ⅰ) (ⅱ) (ⅲ) 에 의하여 ① 은 모든 정수 에 대하여 성립한다
6복소평면 위의 선분의 길이와 각의 크기 도형의 방정식
1) 선분의 길이 점 가 복소평면 위에서 각각 복소수 를 나타내는 점이라 할 때
를 나타내는 두 점을 라 하면
983166 이므로
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Complex Numbers- 6 -
2) 복소평면 위에서 두 선분의 교각
복소수 를 나타내는 점을 각각 라 할 때
(1) 두 선분의 교각 와 의 교각
(2) 두 선분의 평행 (실수)
(3) 두 선분의 수직 (순허수)
【설명】2)
(1) 두 선분의 교각 두 선분 가 양의 실수축과 이루는 각을 각각 α β 라 하고
두 선분 가 이루는 각을 θ 라 하면
θ β α 따라서 θ
(2) 두 선분의 평행 오른쪽 그림과 같이 일 때 와 가
양의 실수축과 이루는 각은 같다 즉 이므로
따라서 실수
(3) 두 선분의 수직 두 선분 가 양의 실수축과 이루는 각을 각각 α β 라 할 때
이면 다음 두 경우로 생각할 수 있다
이 때 β απ
이므로 π
π
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Complex Numbers- 7 -
따라서 (순허수)
3) 복소평면 위에서 도형의 방정식
(1) 원의 방정식 점 α 를 중심으로 하고 실수 를 반지름으로 하는 원의 방정식은
α
(2) 타원의 방정식 점 α β 를 초점으로 하고 장축의 길이를 로 하는 타원의 방정식은
α β
(3) 선분의 수직이등분선 점 α β 를 잇는 선분의 수직이등분선은
α β
위의 내용은 외우지 말고 를 로 놓고 α β를 임의로 잡아서 식을 유도하여 보자
즉 복소평면에서 도형의 방정식을 항상 로 잡아서 식으로 나타내여 생각하여 보자
【설명】 (1) 원의 방정식은 로 놓고 유도하여 봅시다
(2) 타원의 방정식 두 점 α β 에서 거리의 합이 (일정)인 점 의 자취는 타원의 방정식 이고
이것은 α β
(3) 선분의 수직이등분선 두 점 α β 에서 같은 거리에 있는 점의 자취는 두 점 α β 를 잇는 선분의
수직이등분선이다 따라서 두 점 α β 를 잇는 선분의 수직이등분선은 α β
7이항방정식 의 해법
복소수 z α 에 대하여 α꼴의 방정식을 이항방정식이라 하고 그 해법은 드 무아브르 정리와 극형식을 이용해 구할 수
있다 즉 좌변과 우변을 극형식으로 고쳐서 같다고 놓고 푸는데 우변의 편각을 일반각으로 표현해야 한다 특히 이항방정식의
근은 원 위에 일정한 간격으로 존재한다
예를 들면)
방정식 의 해는 π α π α 단 이다
【풀이】
방정식을 이므로 θ θ 라 놓으면
θ θ helliphelliphellip ①
그런데 를 극형식으로 나타낼 때
의 절대값을 편각을 일반각으로 α π라 하면
α π α π helliphelliphellip ②
① ② 에서 θ θ α π α π
즉 θ π α θα π 단
α π α π
단
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Complex Numbers- 8 -
1 방정식 의 한 근을 라고 하고 이라고 할 때 의 값을 구하시오
1 주어진 방정식의 각 항의 계수가 모든 실수이고 근 는 허근이므로 다른 한 근은 이다
따라서 이차방정식의 근과 계수와의 관계에서 helliphelliphellip
여기에 을 대입하면
2 π
를 모두 만족하는 복소수 일 때 의 값을 구하시오
2 θ θ 에서
π π
에서
3 일 때 복소수 의 절대값과 편각을 구하여라
또 극형식으로 나타내어라
3 π π
π π
π π
π π π π
π π
4 복소평면 위에서 원점과 점 를 꼭지점으로 하는 정삼각형의 제 3 의 꼭지점을 나타내는 복소수를
구하라
4 정삼각형은 회전한 것이므로
(복호동순)
5 을 만족하는 양의 정수 에 대하여 이 각각 최소가 될 때의 의
값을 구하시오
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Complex Numbers- 9 -
5 π π π π
준식π π π π
π π
π 는 정수)
즉 은 6 의 배수이다 은 12 의 배수이다
최소값
6 이 순허수가 되도록 가 변할 때 복소평면 위에서 점 는 어떤 도형을 그리는가
① 직선 ② 원 ③ 타원 ④ 쌍곡선 ⑤ 포물선
6 문제조건에 의해서
즉 원점을 중심으로 하고 반지름 1 인 원 (단 )
원점을 중심으로 하고 반지름이 1 인 원 (단 )
7 π π일 때 를 만족하는 최소의 자연수 을 구하시오
7 π ππ
ππ
ππ π
π π
π π
π π ππ
π 는 정수)
π π π 이므로 최소의 자연수
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Complex Numbers- 2 -
3) 복소수 α β의 켤레복소수를 α β라 할 때
α β α β α β α β
αβ
α
β α α
4) 의 켤레복소수가 (단 는 실수) 일 때
가 실수
가 순허수
5) 이동
(ⅰ) 점 와 점 는 원점에 대하여 대칭
(ⅱ) 점 와 점 는 축에 대하여 대칭
(ⅲ) 점 와 점 는 축에 대하여 대칭
(ⅳ) 점 는 점 를 π
만큼 회전이동 ( 회전연산자)
6) 선분 의 내분점 외분점
복소평면에서 두 점 를 잇는 선분 를 으로
내분점 외분점
2복소수의 극형식
를 θ θ 꼴로 나타낼 때 이것을 z 의 복소수의 극형식이라
하고 를 복소수의 절대값 θ를 편각이라 한다
특히 편각의 표현은 또는 로 나타낸다
(단 θ θ )
【설명】복소수 에 대하여
θ θ 를 만족하는
θ 를 구하면 다음과 같이 극형식으로 변형할 수 있다
θ θ
θ θ
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【참고】 복소수 θ θ 에 대하여
(1) θ θ π θ π θ
(2) θ θ θ θ
(3) 복소수 의 편각 θ 는 일반각이므로 여러 가지로 나타낼 수 있으나 보통 θ π 또는 π θ π
의 범위에서 그 절대값이 가장 작은 각의 크기를 취한다
(4) 복소수 0 의 절대값은 0 이고 편각은 임의의 각으로 본다
(5) arg는 argument 의 약자이다
3 극형식으로 나타낸 복소수의 곱셈나눗셈
θ θ θ θ (단 ) 일 때
1) 곱셈
극형식 θ θ θ θ 절대값
편 각
2) 나눗셈
극형식 θ θ θ θ 절대값
편 각
【복소수의 곱셈과 나눗셈의 증명】
(1) 곱셈
θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ θ θ
θ θ θ θ
θ θ
(2) 나눗셈
θ θ
θ θ
θ θ θ θ
θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ θ θ
θ θ
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θ θ θ θ
θ θ -끝-
4 복소수의 평행이동 회전이동
(1) 평행이동 점 를 α 만큼 평행이동한 점 는 α
(2) 회전이동 점 를 원점을 중심으로 θ 만큼 회전이동한 점 는 θ θ 이고
점 를 α를 중심으로 θ만큼 회전이동한 점 는 α α θ θ
【설명】
(1) 평행이동
복소평면 위의 두 점을 α 라 할 때 점 을 α 만큼 평행이동한 점을 라 하면
사각형 는 평행사변형 이므로 점 는 점 을 점 에서 로 향하는 방향으로
만큼 평행이동한 점이 된다 따라서 α
(2) 회전이동
α α 라 하면 를 원점을 중심으로 θ 만큼 회전이동한
점 는 θ α θ
α θ α θ
α α θ θ
따라서 θ θ 특히 복소수 를
원점의 둘레로 회전하면 회전하면 회전하면
다음에 점 를 α 를 중심으로 θ 만큼 회전이동한 점을 라 하면
는 오른쪽 그림과 같이 다음과 같은 차례로 이동하는 것과 같다
① α가 원점이 되도록 를 평행이동시킨다
이 때 점 는 α 로 이동된다
② 점 α 를 원점을 중심으로 θ 만큼 회전이동시킨다
이 때 점 α 는 α θ θ 로 이동된다
③ 점 을 α 만큼 평행이동시킨다 이 때 은 α
즉 가 된다 α α θ θ α
따라서 α α θ θ
5 드무아브르의 정리
이 정수일 때 θ θ θ θ
【참고】 반드시 극형식일 때만 드 무아브르 정리를 적용할 수 있다
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【드∙무아브르의 증명】
드무아브르의 정리 즉 θ θ θ θ 를 증명할 때에는 수학적귀납법을 이용한다
이 때 을 양의 정수 0 음의정수로 나누어 증명한다
이 정수일 때 θ θ θ θhelliphelliphellip ① 를 증명하여 보자
(ⅰ) 이 양의 정수일 때
일 때
(좌변)= θ θ 우변 θ θ
(좌변) (우변) there4 ① 은 성립한다
일 때 등식이 성립함을 가정하면
θ θ θ θ 이 식의 양변에 θ θ 를 곱하면
θ θ θ θ θ θ θ θ
θ θ
이것은 ① 이 일 때도 성립함을 뜻한다 따라서 ① 은 모든 양의 정수 에 대하여 성립한다
(ⅱ) 이 0 일 때
(좌변) θ θ θ θ가 동시에는 0이 아니다
(우변) 좌변 우변 따라서 ① 은 일 때 성립한다
(ⅲ) 이 음의 정수일 때
은 양의 정수)으로 놓으면
θ θθ θ θ θ
θ θ
θ θθ θ
θ θ
θ θ
θ θ θ θ
(ⅰ) (ⅱ) (ⅲ) 에 의하여 ① 은 모든 정수 에 대하여 성립한다
6복소평면 위의 선분의 길이와 각의 크기 도형의 방정식
1) 선분의 길이 점 가 복소평면 위에서 각각 복소수 를 나타내는 점이라 할 때
를 나타내는 두 점을 라 하면
983166 이므로
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2) 복소평면 위에서 두 선분의 교각
복소수 를 나타내는 점을 각각 라 할 때
(1) 두 선분의 교각 와 의 교각
(2) 두 선분의 평행 (실수)
(3) 두 선분의 수직 (순허수)
【설명】2)
(1) 두 선분의 교각 두 선분 가 양의 실수축과 이루는 각을 각각 α β 라 하고
두 선분 가 이루는 각을 θ 라 하면
θ β α 따라서 θ
(2) 두 선분의 평행 오른쪽 그림과 같이 일 때 와 가
양의 실수축과 이루는 각은 같다 즉 이므로
따라서 실수
(3) 두 선분의 수직 두 선분 가 양의 실수축과 이루는 각을 각각 α β 라 할 때
이면 다음 두 경우로 생각할 수 있다
이 때 β απ
이므로 π
π
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따라서 (순허수)
3) 복소평면 위에서 도형의 방정식
(1) 원의 방정식 점 α 를 중심으로 하고 실수 를 반지름으로 하는 원의 방정식은
α
(2) 타원의 방정식 점 α β 를 초점으로 하고 장축의 길이를 로 하는 타원의 방정식은
α β
(3) 선분의 수직이등분선 점 α β 를 잇는 선분의 수직이등분선은
α β
위의 내용은 외우지 말고 를 로 놓고 α β를 임의로 잡아서 식을 유도하여 보자
즉 복소평면에서 도형의 방정식을 항상 로 잡아서 식으로 나타내여 생각하여 보자
【설명】 (1) 원의 방정식은 로 놓고 유도하여 봅시다
(2) 타원의 방정식 두 점 α β 에서 거리의 합이 (일정)인 점 의 자취는 타원의 방정식 이고
이것은 α β
(3) 선분의 수직이등분선 두 점 α β 에서 같은 거리에 있는 점의 자취는 두 점 α β 를 잇는 선분의
수직이등분선이다 따라서 두 점 α β 를 잇는 선분의 수직이등분선은 α β
7이항방정식 의 해법
복소수 z α 에 대하여 α꼴의 방정식을 이항방정식이라 하고 그 해법은 드 무아브르 정리와 극형식을 이용해 구할 수
있다 즉 좌변과 우변을 극형식으로 고쳐서 같다고 놓고 푸는데 우변의 편각을 일반각으로 표현해야 한다 특히 이항방정식의
근은 원 위에 일정한 간격으로 존재한다
예를 들면)
방정식 의 해는 π α π α 단 이다
【풀이】
방정식을 이므로 θ θ 라 놓으면
θ θ helliphelliphellip ①
그런데 를 극형식으로 나타낼 때
의 절대값을 편각을 일반각으로 α π라 하면
α π α π helliphelliphellip ②
① ② 에서 θ θ α π α π
즉 θ π α θα π 단
α π α π
단
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Complex Numbers- 8 -
1 방정식 의 한 근을 라고 하고 이라고 할 때 의 값을 구하시오
1 주어진 방정식의 각 항의 계수가 모든 실수이고 근 는 허근이므로 다른 한 근은 이다
따라서 이차방정식의 근과 계수와의 관계에서 helliphelliphellip
여기에 을 대입하면
2 π
를 모두 만족하는 복소수 일 때 의 값을 구하시오
2 θ θ 에서
π π
에서
3 일 때 복소수 의 절대값과 편각을 구하여라
또 극형식으로 나타내어라
3 π π
π π
π π
π π π π
π π
4 복소평면 위에서 원점과 점 를 꼭지점으로 하는 정삼각형의 제 3 의 꼭지점을 나타내는 복소수를
구하라
4 정삼각형은 회전한 것이므로
(복호동순)
5 을 만족하는 양의 정수 에 대하여 이 각각 최소가 될 때의 의
값을 구하시오
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Complex Numbers- 9 -
5 π π π π
준식π π π π
π π
π 는 정수)
즉 은 6 의 배수이다 은 12 의 배수이다
최소값
6 이 순허수가 되도록 가 변할 때 복소평면 위에서 점 는 어떤 도형을 그리는가
① 직선 ② 원 ③ 타원 ④ 쌍곡선 ⑤ 포물선
6 문제조건에 의해서
즉 원점을 중심으로 하고 반지름 1 인 원 (단 )
원점을 중심으로 하고 반지름이 1 인 원 (단 )
7 π π일 때 를 만족하는 최소의 자연수 을 구하시오
7 π ππ
ππ
ππ π
π π
π π
π π ππ
π 는 정수)
π π π 이므로 최소의 자연수
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【참고】 복소수 θ θ 에 대하여
(1) θ θ π θ π θ
(2) θ θ θ θ
(3) 복소수 의 편각 θ 는 일반각이므로 여러 가지로 나타낼 수 있으나 보통 θ π 또는 π θ π
의 범위에서 그 절대값이 가장 작은 각의 크기를 취한다
(4) 복소수 0 의 절대값은 0 이고 편각은 임의의 각으로 본다
(5) arg는 argument 의 약자이다
3 극형식으로 나타낸 복소수의 곱셈나눗셈
θ θ θ θ (단 ) 일 때
1) 곱셈
극형식 θ θ θ θ 절대값
편 각
2) 나눗셈
극형식 θ θ θ θ 절대값
편 각
【복소수의 곱셈과 나눗셈의 증명】
(1) 곱셈
θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ θ θ
θ θ θ θ
θ θ
(2) 나눗셈
θ θ
θ θ
θ θ θ θ
θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ θ θ
θ θ
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θ θ θ θ
θ θ -끝-
4 복소수의 평행이동 회전이동
(1) 평행이동 점 를 α 만큼 평행이동한 점 는 α
(2) 회전이동 점 를 원점을 중심으로 θ 만큼 회전이동한 점 는 θ θ 이고
점 를 α를 중심으로 θ만큼 회전이동한 점 는 α α θ θ
【설명】
(1) 평행이동
복소평면 위의 두 점을 α 라 할 때 점 을 α 만큼 평행이동한 점을 라 하면
사각형 는 평행사변형 이므로 점 는 점 을 점 에서 로 향하는 방향으로
만큼 평행이동한 점이 된다 따라서 α
(2) 회전이동
α α 라 하면 를 원점을 중심으로 θ 만큼 회전이동한
점 는 θ α θ
α θ α θ
α α θ θ
따라서 θ θ 특히 복소수 를
원점의 둘레로 회전하면 회전하면 회전하면
다음에 점 를 α 를 중심으로 θ 만큼 회전이동한 점을 라 하면
는 오른쪽 그림과 같이 다음과 같은 차례로 이동하는 것과 같다
① α가 원점이 되도록 를 평행이동시킨다
이 때 점 는 α 로 이동된다
② 점 α 를 원점을 중심으로 θ 만큼 회전이동시킨다
이 때 점 α 는 α θ θ 로 이동된다
③ 점 을 α 만큼 평행이동시킨다 이 때 은 α
즉 가 된다 α α θ θ α
따라서 α α θ θ
5 드무아브르의 정리
이 정수일 때 θ θ θ θ
【참고】 반드시 극형식일 때만 드 무아브르 정리를 적용할 수 있다
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【드∙무아브르의 증명】
드무아브르의 정리 즉 θ θ θ θ 를 증명할 때에는 수학적귀납법을 이용한다
이 때 을 양의 정수 0 음의정수로 나누어 증명한다
이 정수일 때 θ θ θ θhelliphelliphellip ① 를 증명하여 보자
(ⅰ) 이 양의 정수일 때
일 때
(좌변)= θ θ 우변 θ θ
(좌변) (우변) there4 ① 은 성립한다
일 때 등식이 성립함을 가정하면
θ θ θ θ 이 식의 양변에 θ θ 를 곱하면
θ θ θ θ θ θ θ θ
θ θ
이것은 ① 이 일 때도 성립함을 뜻한다 따라서 ① 은 모든 양의 정수 에 대하여 성립한다
(ⅱ) 이 0 일 때
(좌변) θ θ θ θ가 동시에는 0이 아니다
(우변) 좌변 우변 따라서 ① 은 일 때 성립한다
(ⅲ) 이 음의 정수일 때
은 양의 정수)으로 놓으면
θ θθ θ θ θ
θ θ
θ θθ θ
θ θ
θ θ
θ θ θ θ
(ⅰ) (ⅱ) (ⅲ) 에 의하여 ① 은 모든 정수 에 대하여 성립한다
6복소평면 위의 선분의 길이와 각의 크기 도형의 방정식
1) 선분의 길이 점 가 복소평면 위에서 각각 복소수 를 나타내는 점이라 할 때
를 나타내는 두 점을 라 하면
983166 이므로
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2) 복소평면 위에서 두 선분의 교각
복소수 를 나타내는 점을 각각 라 할 때
(1) 두 선분의 교각 와 의 교각
(2) 두 선분의 평행 (실수)
(3) 두 선분의 수직 (순허수)
【설명】2)
(1) 두 선분의 교각 두 선분 가 양의 실수축과 이루는 각을 각각 α β 라 하고
두 선분 가 이루는 각을 θ 라 하면
θ β α 따라서 θ
(2) 두 선분의 평행 오른쪽 그림과 같이 일 때 와 가
양의 실수축과 이루는 각은 같다 즉 이므로
따라서 실수
(3) 두 선분의 수직 두 선분 가 양의 실수축과 이루는 각을 각각 α β 라 할 때
이면 다음 두 경우로 생각할 수 있다
이 때 β απ
이므로 π
π
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따라서 (순허수)
3) 복소평면 위에서 도형의 방정식
(1) 원의 방정식 점 α 를 중심으로 하고 실수 를 반지름으로 하는 원의 방정식은
α
(2) 타원의 방정식 점 α β 를 초점으로 하고 장축의 길이를 로 하는 타원의 방정식은
α β
(3) 선분의 수직이등분선 점 α β 를 잇는 선분의 수직이등분선은
α β
위의 내용은 외우지 말고 를 로 놓고 α β를 임의로 잡아서 식을 유도하여 보자
즉 복소평면에서 도형의 방정식을 항상 로 잡아서 식으로 나타내여 생각하여 보자
【설명】 (1) 원의 방정식은 로 놓고 유도하여 봅시다
(2) 타원의 방정식 두 점 α β 에서 거리의 합이 (일정)인 점 의 자취는 타원의 방정식 이고
이것은 α β
(3) 선분의 수직이등분선 두 점 α β 에서 같은 거리에 있는 점의 자취는 두 점 α β 를 잇는 선분의
수직이등분선이다 따라서 두 점 α β 를 잇는 선분의 수직이등분선은 α β
7이항방정식 의 해법
복소수 z α 에 대하여 α꼴의 방정식을 이항방정식이라 하고 그 해법은 드 무아브르 정리와 극형식을 이용해 구할 수
있다 즉 좌변과 우변을 극형식으로 고쳐서 같다고 놓고 푸는데 우변의 편각을 일반각으로 표현해야 한다 특히 이항방정식의
근은 원 위에 일정한 간격으로 존재한다
예를 들면)
방정식 의 해는 π α π α 단 이다
【풀이】
방정식을 이므로 θ θ 라 놓으면
θ θ helliphelliphellip ①
그런데 를 극형식으로 나타낼 때
의 절대값을 편각을 일반각으로 α π라 하면
α π α π helliphelliphellip ②
① ② 에서 θ θ α π α π
즉 θ π α θα π 단
α π α π
단
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Complex Numbers- 8 -
1 방정식 의 한 근을 라고 하고 이라고 할 때 의 값을 구하시오
1 주어진 방정식의 각 항의 계수가 모든 실수이고 근 는 허근이므로 다른 한 근은 이다
따라서 이차방정식의 근과 계수와의 관계에서 helliphelliphellip
여기에 을 대입하면
2 π
를 모두 만족하는 복소수 일 때 의 값을 구하시오
2 θ θ 에서
π π
에서
3 일 때 복소수 의 절대값과 편각을 구하여라
또 극형식으로 나타내어라
3 π π
π π
π π
π π π π
π π
4 복소평면 위에서 원점과 점 를 꼭지점으로 하는 정삼각형의 제 3 의 꼭지점을 나타내는 복소수를
구하라
4 정삼각형은 회전한 것이므로
(복호동순)
5 을 만족하는 양의 정수 에 대하여 이 각각 최소가 될 때의 의
값을 구하시오
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Complex Numbers- 9 -
5 π π π π
준식π π π π
π π
π 는 정수)
즉 은 6 의 배수이다 은 12 의 배수이다
최소값
6 이 순허수가 되도록 가 변할 때 복소평면 위에서 점 는 어떤 도형을 그리는가
① 직선 ② 원 ③ 타원 ④ 쌍곡선 ⑤ 포물선
6 문제조건에 의해서
즉 원점을 중심으로 하고 반지름 1 인 원 (단 )
원점을 중심으로 하고 반지름이 1 인 원 (단 )
7 π π일 때 를 만족하는 최소의 자연수 을 구하시오
7 π ππ
ππ
ππ π
π π
π π
π π ππ
π 는 정수)
π π π 이므로 최소의 자연수
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Complex Numbers- 4 -
θ θ θ θ
θ θ -끝-
4 복소수의 평행이동 회전이동
(1) 평행이동 점 를 α 만큼 평행이동한 점 는 α
(2) 회전이동 점 를 원점을 중심으로 θ 만큼 회전이동한 점 는 θ θ 이고
점 를 α를 중심으로 θ만큼 회전이동한 점 는 α α θ θ
【설명】
(1) 평행이동
복소평면 위의 두 점을 α 라 할 때 점 을 α 만큼 평행이동한 점을 라 하면
사각형 는 평행사변형 이므로 점 는 점 을 점 에서 로 향하는 방향으로
만큼 평행이동한 점이 된다 따라서 α
(2) 회전이동
α α 라 하면 를 원점을 중심으로 θ 만큼 회전이동한
점 는 θ α θ
α θ α θ
α α θ θ
따라서 θ θ 특히 복소수 를
원점의 둘레로 회전하면 회전하면 회전하면
다음에 점 를 α 를 중심으로 θ 만큼 회전이동한 점을 라 하면
는 오른쪽 그림과 같이 다음과 같은 차례로 이동하는 것과 같다
① α가 원점이 되도록 를 평행이동시킨다
이 때 점 는 α 로 이동된다
② 점 α 를 원점을 중심으로 θ 만큼 회전이동시킨다
이 때 점 α 는 α θ θ 로 이동된다
③ 점 을 α 만큼 평행이동시킨다 이 때 은 α
즉 가 된다 α α θ θ α
따라서 α α θ θ
5 드무아브르의 정리
이 정수일 때 θ θ θ θ
【참고】 반드시 극형식일 때만 드 무아브르 정리를 적용할 수 있다
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Complex Numbers- 5 -
【드∙무아브르의 증명】
드무아브르의 정리 즉 θ θ θ θ 를 증명할 때에는 수학적귀납법을 이용한다
이 때 을 양의 정수 0 음의정수로 나누어 증명한다
이 정수일 때 θ θ θ θhelliphelliphellip ① 를 증명하여 보자
(ⅰ) 이 양의 정수일 때
일 때
(좌변)= θ θ 우변 θ θ
(좌변) (우변) there4 ① 은 성립한다
일 때 등식이 성립함을 가정하면
θ θ θ θ 이 식의 양변에 θ θ 를 곱하면
θ θ θ θ θ θ θ θ
θ θ
이것은 ① 이 일 때도 성립함을 뜻한다 따라서 ① 은 모든 양의 정수 에 대하여 성립한다
(ⅱ) 이 0 일 때
(좌변) θ θ θ θ가 동시에는 0이 아니다
(우변) 좌변 우변 따라서 ① 은 일 때 성립한다
(ⅲ) 이 음의 정수일 때
은 양의 정수)으로 놓으면
θ θθ θ θ θ
θ θ
θ θθ θ
θ θ
θ θ
θ θ θ θ
(ⅰ) (ⅱ) (ⅲ) 에 의하여 ① 은 모든 정수 에 대하여 성립한다
6복소평면 위의 선분의 길이와 각의 크기 도형의 방정식
1) 선분의 길이 점 가 복소평면 위에서 각각 복소수 를 나타내는 점이라 할 때
를 나타내는 두 점을 라 하면
983166 이므로
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Complex Numbers- 6 -
2) 복소평면 위에서 두 선분의 교각
복소수 를 나타내는 점을 각각 라 할 때
(1) 두 선분의 교각 와 의 교각
(2) 두 선분의 평행 (실수)
(3) 두 선분의 수직 (순허수)
【설명】2)
(1) 두 선분의 교각 두 선분 가 양의 실수축과 이루는 각을 각각 α β 라 하고
두 선분 가 이루는 각을 θ 라 하면
θ β α 따라서 θ
(2) 두 선분의 평행 오른쪽 그림과 같이 일 때 와 가
양의 실수축과 이루는 각은 같다 즉 이므로
따라서 실수
(3) 두 선분의 수직 두 선분 가 양의 실수축과 이루는 각을 각각 α β 라 할 때
이면 다음 두 경우로 생각할 수 있다
이 때 β απ
이므로 π
π
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Complex Numbers- 7 -
따라서 (순허수)
3) 복소평면 위에서 도형의 방정식
(1) 원의 방정식 점 α 를 중심으로 하고 실수 를 반지름으로 하는 원의 방정식은
α
(2) 타원의 방정식 점 α β 를 초점으로 하고 장축의 길이를 로 하는 타원의 방정식은
α β
(3) 선분의 수직이등분선 점 α β 를 잇는 선분의 수직이등분선은
α β
위의 내용은 외우지 말고 를 로 놓고 α β를 임의로 잡아서 식을 유도하여 보자
즉 복소평면에서 도형의 방정식을 항상 로 잡아서 식으로 나타내여 생각하여 보자
【설명】 (1) 원의 방정식은 로 놓고 유도하여 봅시다
(2) 타원의 방정식 두 점 α β 에서 거리의 합이 (일정)인 점 의 자취는 타원의 방정식 이고
이것은 α β
(3) 선분의 수직이등분선 두 점 α β 에서 같은 거리에 있는 점의 자취는 두 점 α β 를 잇는 선분의
수직이등분선이다 따라서 두 점 α β 를 잇는 선분의 수직이등분선은 α β
7이항방정식 의 해법
복소수 z α 에 대하여 α꼴의 방정식을 이항방정식이라 하고 그 해법은 드 무아브르 정리와 극형식을 이용해 구할 수
있다 즉 좌변과 우변을 극형식으로 고쳐서 같다고 놓고 푸는데 우변의 편각을 일반각으로 표현해야 한다 특히 이항방정식의
근은 원 위에 일정한 간격으로 존재한다
예를 들면)
방정식 의 해는 π α π α 단 이다
【풀이】
방정식을 이므로 θ θ 라 놓으면
θ θ helliphelliphellip ①
그런데 를 극형식으로 나타낼 때
의 절대값을 편각을 일반각으로 α π라 하면
α π α π helliphelliphellip ②
① ② 에서 θ θ α π α π
즉 θ π α θα π 단
α π α π
단
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Complex Numbers- 8 -
1 방정식 의 한 근을 라고 하고 이라고 할 때 의 값을 구하시오
1 주어진 방정식의 각 항의 계수가 모든 실수이고 근 는 허근이므로 다른 한 근은 이다
따라서 이차방정식의 근과 계수와의 관계에서 helliphelliphellip
여기에 을 대입하면
2 π
를 모두 만족하는 복소수 일 때 의 값을 구하시오
2 θ θ 에서
π π
에서
3 일 때 복소수 의 절대값과 편각을 구하여라
또 극형식으로 나타내어라
3 π π
π π
π π
π π π π
π π
4 복소평면 위에서 원점과 점 를 꼭지점으로 하는 정삼각형의 제 3 의 꼭지점을 나타내는 복소수를
구하라
4 정삼각형은 회전한 것이므로
(복호동순)
5 을 만족하는 양의 정수 에 대하여 이 각각 최소가 될 때의 의
값을 구하시오
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Complex Numbers- 9 -
5 π π π π
준식π π π π
π π
π 는 정수)
즉 은 6 의 배수이다 은 12 의 배수이다
최소값
6 이 순허수가 되도록 가 변할 때 복소평면 위에서 점 는 어떤 도형을 그리는가
① 직선 ② 원 ③ 타원 ④ 쌍곡선 ⑤ 포물선
6 문제조건에 의해서
즉 원점을 중심으로 하고 반지름 1 인 원 (단 )
원점을 중심으로 하고 반지름이 1 인 원 (단 )
7 π π일 때 를 만족하는 최소의 자연수 을 구하시오
7 π ππ
ππ
ππ π
π π
π π
π π ππ
π 는 정수)
π π π 이므로 최소의 자연수
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【드∙무아브르의 증명】
드무아브르의 정리 즉 θ θ θ θ 를 증명할 때에는 수학적귀납법을 이용한다
이 때 을 양의 정수 0 음의정수로 나누어 증명한다
이 정수일 때 θ θ θ θhelliphelliphellip ① 를 증명하여 보자
(ⅰ) 이 양의 정수일 때
일 때
(좌변)= θ θ 우변 θ θ
(좌변) (우변) there4 ① 은 성립한다
일 때 등식이 성립함을 가정하면
θ θ θ θ 이 식의 양변에 θ θ 를 곱하면
θ θ θ θ θ θ θ θ
θ θ
이것은 ① 이 일 때도 성립함을 뜻한다 따라서 ① 은 모든 양의 정수 에 대하여 성립한다
(ⅱ) 이 0 일 때
(좌변) θ θ θ θ가 동시에는 0이 아니다
(우변) 좌변 우변 따라서 ① 은 일 때 성립한다
(ⅲ) 이 음의 정수일 때
은 양의 정수)으로 놓으면
θ θθ θ θ θ
θ θ
θ θθ θ
θ θ
θ θ
θ θ θ θ
(ⅰ) (ⅱ) (ⅲ) 에 의하여 ① 은 모든 정수 에 대하여 성립한다
6복소평면 위의 선분의 길이와 각의 크기 도형의 방정식
1) 선분의 길이 점 가 복소평면 위에서 각각 복소수 를 나타내는 점이라 할 때
를 나타내는 두 점을 라 하면
983166 이므로
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2) 복소평면 위에서 두 선분의 교각
복소수 를 나타내는 점을 각각 라 할 때
(1) 두 선분의 교각 와 의 교각
(2) 두 선분의 평행 (실수)
(3) 두 선분의 수직 (순허수)
【설명】2)
(1) 두 선분의 교각 두 선분 가 양의 실수축과 이루는 각을 각각 α β 라 하고
두 선분 가 이루는 각을 θ 라 하면
θ β α 따라서 θ
(2) 두 선분의 평행 오른쪽 그림과 같이 일 때 와 가
양의 실수축과 이루는 각은 같다 즉 이므로
따라서 실수
(3) 두 선분의 수직 두 선분 가 양의 실수축과 이루는 각을 각각 α β 라 할 때
이면 다음 두 경우로 생각할 수 있다
이 때 β απ
이므로 π
π
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따라서 (순허수)
3) 복소평면 위에서 도형의 방정식
(1) 원의 방정식 점 α 를 중심으로 하고 실수 를 반지름으로 하는 원의 방정식은
α
(2) 타원의 방정식 점 α β 를 초점으로 하고 장축의 길이를 로 하는 타원의 방정식은
α β
(3) 선분의 수직이등분선 점 α β 를 잇는 선분의 수직이등분선은
α β
위의 내용은 외우지 말고 를 로 놓고 α β를 임의로 잡아서 식을 유도하여 보자
즉 복소평면에서 도형의 방정식을 항상 로 잡아서 식으로 나타내여 생각하여 보자
【설명】 (1) 원의 방정식은 로 놓고 유도하여 봅시다
(2) 타원의 방정식 두 점 α β 에서 거리의 합이 (일정)인 점 의 자취는 타원의 방정식 이고
이것은 α β
(3) 선분의 수직이등분선 두 점 α β 에서 같은 거리에 있는 점의 자취는 두 점 α β 를 잇는 선분의
수직이등분선이다 따라서 두 점 α β 를 잇는 선분의 수직이등분선은 α β
7이항방정식 의 해법
복소수 z α 에 대하여 α꼴의 방정식을 이항방정식이라 하고 그 해법은 드 무아브르 정리와 극형식을 이용해 구할 수
있다 즉 좌변과 우변을 극형식으로 고쳐서 같다고 놓고 푸는데 우변의 편각을 일반각으로 표현해야 한다 특히 이항방정식의
근은 원 위에 일정한 간격으로 존재한다
예를 들면)
방정식 의 해는 π α π α 단 이다
【풀이】
방정식을 이므로 θ θ 라 놓으면
θ θ helliphelliphellip ①
그런데 를 극형식으로 나타낼 때
의 절대값을 편각을 일반각으로 α π라 하면
α π α π helliphelliphellip ②
① ② 에서 θ θ α π α π
즉 θ π α θα π 단
α π α π
단
Mathematics for Korea Scholastic Aptitude Test
Complex Numbers- 8 -
1 방정식 의 한 근을 라고 하고 이라고 할 때 의 값을 구하시오
1 주어진 방정식의 각 항의 계수가 모든 실수이고 근 는 허근이므로 다른 한 근은 이다
따라서 이차방정식의 근과 계수와의 관계에서 helliphelliphellip
여기에 을 대입하면
2 π
를 모두 만족하는 복소수 일 때 의 값을 구하시오
2 θ θ 에서
π π
에서
3 일 때 복소수 의 절대값과 편각을 구하여라
또 극형식으로 나타내어라
3 π π
π π
π π
π π π π
π π
4 복소평면 위에서 원점과 점 를 꼭지점으로 하는 정삼각형의 제 3 의 꼭지점을 나타내는 복소수를
구하라
4 정삼각형은 회전한 것이므로
(복호동순)
5 을 만족하는 양의 정수 에 대하여 이 각각 최소가 될 때의 의
값을 구하시오
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Complex Numbers- 9 -
5 π π π π
준식π π π π
π π
π 는 정수)
즉 은 6 의 배수이다 은 12 의 배수이다
최소값
6 이 순허수가 되도록 가 변할 때 복소평면 위에서 점 는 어떤 도형을 그리는가
① 직선 ② 원 ③ 타원 ④ 쌍곡선 ⑤ 포물선
6 문제조건에 의해서
즉 원점을 중심으로 하고 반지름 1 인 원 (단 )
원점을 중심으로 하고 반지름이 1 인 원 (단 )
7 π π일 때 를 만족하는 최소의 자연수 을 구하시오
7 π ππ
ππ
ππ π
π π
π π
π π ππ
π 는 정수)
π π π 이므로 최소의 자연수
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2) 복소평면 위에서 두 선분의 교각
복소수 를 나타내는 점을 각각 라 할 때
(1) 두 선분의 교각 와 의 교각
(2) 두 선분의 평행 (실수)
(3) 두 선분의 수직 (순허수)
【설명】2)
(1) 두 선분의 교각 두 선분 가 양의 실수축과 이루는 각을 각각 α β 라 하고
두 선분 가 이루는 각을 θ 라 하면
θ β α 따라서 θ
(2) 두 선분의 평행 오른쪽 그림과 같이 일 때 와 가
양의 실수축과 이루는 각은 같다 즉 이므로
따라서 실수
(3) 두 선분의 수직 두 선분 가 양의 실수축과 이루는 각을 각각 α β 라 할 때
이면 다음 두 경우로 생각할 수 있다
이 때 β απ
이므로 π
π
Mathematics for Korea Scholastic Aptitude Test
Complex Numbers- 7 -
따라서 (순허수)
3) 복소평면 위에서 도형의 방정식
(1) 원의 방정식 점 α 를 중심으로 하고 실수 를 반지름으로 하는 원의 방정식은
α
(2) 타원의 방정식 점 α β 를 초점으로 하고 장축의 길이를 로 하는 타원의 방정식은
α β
(3) 선분의 수직이등분선 점 α β 를 잇는 선분의 수직이등분선은
α β
위의 내용은 외우지 말고 를 로 놓고 α β를 임의로 잡아서 식을 유도하여 보자
즉 복소평면에서 도형의 방정식을 항상 로 잡아서 식으로 나타내여 생각하여 보자
【설명】 (1) 원의 방정식은 로 놓고 유도하여 봅시다
(2) 타원의 방정식 두 점 α β 에서 거리의 합이 (일정)인 점 의 자취는 타원의 방정식 이고
이것은 α β
(3) 선분의 수직이등분선 두 점 α β 에서 같은 거리에 있는 점의 자취는 두 점 α β 를 잇는 선분의
수직이등분선이다 따라서 두 점 α β 를 잇는 선분의 수직이등분선은 α β
7이항방정식 의 해법
복소수 z α 에 대하여 α꼴의 방정식을 이항방정식이라 하고 그 해법은 드 무아브르 정리와 극형식을 이용해 구할 수
있다 즉 좌변과 우변을 극형식으로 고쳐서 같다고 놓고 푸는데 우변의 편각을 일반각으로 표현해야 한다 특히 이항방정식의
근은 원 위에 일정한 간격으로 존재한다
예를 들면)
방정식 의 해는 π α π α 단 이다
【풀이】
방정식을 이므로 θ θ 라 놓으면
θ θ helliphelliphellip ①
그런데 를 극형식으로 나타낼 때
의 절대값을 편각을 일반각으로 α π라 하면
α π α π helliphelliphellip ②
① ② 에서 θ θ α π α π
즉 θ π α θα π 단
α π α π
단
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1 방정식 의 한 근을 라고 하고 이라고 할 때 의 값을 구하시오
1 주어진 방정식의 각 항의 계수가 모든 실수이고 근 는 허근이므로 다른 한 근은 이다
따라서 이차방정식의 근과 계수와의 관계에서 helliphelliphellip
여기에 을 대입하면
2 π
를 모두 만족하는 복소수 일 때 의 값을 구하시오
2 θ θ 에서
π π
에서
3 일 때 복소수 의 절대값과 편각을 구하여라
또 극형식으로 나타내어라
3 π π
π π
π π
π π π π
π π
4 복소평면 위에서 원점과 점 를 꼭지점으로 하는 정삼각형의 제 3 의 꼭지점을 나타내는 복소수를
구하라
4 정삼각형은 회전한 것이므로
(복호동순)
5 을 만족하는 양의 정수 에 대하여 이 각각 최소가 될 때의 의
값을 구하시오
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Complex Numbers- 9 -
5 π π π π
준식π π π π
π π
π 는 정수)
즉 은 6 의 배수이다 은 12 의 배수이다
최소값
6 이 순허수가 되도록 가 변할 때 복소평면 위에서 점 는 어떤 도형을 그리는가
① 직선 ② 원 ③ 타원 ④ 쌍곡선 ⑤ 포물선
6 문제조건에 의해서
즉 원점을 중심으로 하고 반지름 1 인 원 (단 )
원점을 중심으로 하고 반지름이 1 인 원 (단 )
7 π π일 때 를 만족하는 최소의 자연수 을 구하시오
7 π ππ
ππ
ππ π
π π
π π
π π ππ
π 는 정수)
π π π 이므로 최소의 자연수
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Complex Numbers- 7 -
따라서 (순허수)
3) 복소평면 위에서 도형의 방정식
(1) 원의 방정식 점 α 를 중심으로 하고 실수 를 반지름으로 하는 원의 방정식은
α
(2) 타원의 방정식 점 α β 를 초점으로 하고 장축의 길이를 로 하는 타원의 방정식은
α β
(3) 선분의 수직이등분선 점 α β 를 잇는 선분의 수직이등분선은
α β
위의 내용은 외우지 말고 를 로 놓고 α β를 임의로 잡아서 식을 유도하여 보자
즉 복소평면에서 도형의 방정식을 항상 로 잡아서 식으로 나타내여 생각하여 보자
【설명】 (1) 원의 방정식은 로 놓고 유도하여 봅시다
(2) 타원의 방정식 두 점 α β 에서 거리의 합이 (일정)인 점 의 자취는 타원의 방정식 이고
이것은 α β
(3) 선분의 수직이등분선 두 점 α β 에서 같은 거리에 있는 점의 자취는 두 점 α β 를 잇는 선분의
수직이등분선이다 따라서 두 점 α β 를 잇는 선분의 수직이등분선은 α β
7이항방정식 의 해법
복소수 z α 에 대하여 α꼴의 방정식을 이항방정식이라 하고 그 해법은 드 무아브르 정리와 극형식을 이용해 구할 수
있다 즉 좌변과 우변을 극형식으로 고쳐서 같다고 놓고 푸는데 우변의 편각을 일반각으로 표현해야 한다 특히 이항방정식의
근은 원 위에 일정한 간격으로 존재한다
예를 들면)
방정식 의 해는 π α π α 단 이다
【풀이】
방정식을 이므로 θ θ 라 놓으면
θ θ helliphelliphellip ①
그런데 를 극형식으로 나타낼 때
의 절대값을 편각을 일반각으로 α π라 하면
α π α π helliphelliphellip ②
① ② 에서 θ θ α π α π
즉 θ π α θα π 단
α π α π
단
Mathematics for Korea Scholastic Aptitude Test
Complex Numbers- 8 -
1 방정식 의 한 근을 라고 하고 이라고 할 때 의 값을 구하시오
1 주어진 방정식의 각 항의 계수가 모든 실수이고 근 는 허근이므로 다른 한 근은 이다
따라서 이차방정식의 근과 계수와의 관계에서 helliphelliphellip
여기에 을 대입하면
2 π
를 모두 만족하는 복소수 일 때 의 값을 구하시오
2 θ θ 에서
π π
에서
3 일 때 복소수 의 절대값과 편각을 구하여라
또 극형식으로 나타내어라
3 π π
π π
π π
π π π π
π π
4 복소평면 위에서 원점과 점 를 꼭지점으로 하는 정삼각형의 제 3 의 꼭지점을 나타내는 복소수를
구하라
4 정삼각형은 회전한 것이므로
(복호동순)
5 을 만족하는 양의 정수 에 대하여 이 각각 최소가 될 때의 의
값을 구하시오
Mathematics for Korea Scholastic Aptitude Test
Complex Numbers- 9 -
5 π π π π
준식π π π π
π π
π 는 정수)
즉 은 6 의 배수이다 은 12 의 배수이다
최소값
6 이 순허수가 되도록 가 변할 때 복소평면 위에서 점 는 어떤 도형을 그리는가
① 직선 ② 원 ③ 타원 ④ 쌍곡선 ⑤ 포물선
6 문제조건에 의해서
즉 원점을 중심으로 하고 반지름 1 인 원 (단 )
원점을 중심으로 하고 반지름이 1 인 원 (단 )
7 π π일 때 를 만족하는 최소의 자연수 을 구하시오
7 π ππ
ππ
ππ π
π π
π π
π π ππ
π 는 정수)
π π π 이므로 최소의 자연수
Mathematics for Korea Scholastic Aptitude Test
Complex Numbers- 8 -
1 방정식 의 한 근을 라고 하고 이라고 할 때 의 값을 구하시오
1 주어진 방정식의 각 항의 계수가 모든 실수이고 근 는 허근이므로 다른 한 근은 이다
따라서 이차방정식의 근과 계수와의 관계에서 helliphelliphellip
여기에 을 대입하면
2 π
를 모두 만족하는 복소수 일 때 의 값을 구하시오
2 θ θ 에서
π π
에서
3 일 때 복소수 의 절대값과 편각을 구하여라
또 극형식으로 나타내어라
3 π π
π π
π π
π π π π
π π
4 복소평면 위에서 원점과 점 를 꼭지점으로 하는 정삼각형의 제 3 의 꼭지점을 나타내는 복소수를
구하라
4 정삼각형은 회전한 것이므로
(복호동순)
5 을 만족하는 양의 정수 에 대하여 이 각각 최소가 될 때의 의
값을 구하시오
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Complex Numbers- 9 -
5 π π π π
준식π π π π
π π
π 는 정수)
즉 은 6 의 배수이다 은 12 의 배수이다
최소값
6 이 순허수가 되도록 가 변할 때 복소평면 위에서 점 는 어떤 도형을 그리는가
① 직선 ② 원 ③ 타원 ④ 쌍곡선 ⑤ 포물선
6 문제조건에 의해서
즉 원점을 중심으로 하고 반지름 1 인 원 (단 )
원점을 중심으로 하고 반지름이 1 인 원 (단 )
7 π π일 때 를 만족하는 최소의 자연수 을 구하시오
7 π ππ
ππ
ππ π
π π
π π
π π ππ
π 는 정수)
π π π 이므로 최소의 자연수
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Complex Numbers- 9 -
5 π π π π
준식π π π π
π π
π 는 정수)
즉 은 6 의 배수이다 은 12 의 배수이다
최소값
6 이 순허수가 되도록 가 변할 때 복소평면 위에서 점 는 어떤 도형을 그리는가
① 직선 ② 원 ③ 타원 ④ 쌍곡선 ⑤ 포물선
6 문제조건에 의해서
즉 원점을 중심으로 하고 반지름 1 인 원 (단 )
원점을 중심으로 하고 반지름이 1 인 원 (단 )
7 π π일 때 를 만족하는 최소의 자연수 을 구하시오
7 π ππ
ππ
ππ π
π π
π π
π π ππ
π 는 정수)
π π π 이므로 최소의 자연수