Download - Matematica Liceu (sinteza)
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
1/120
Adrian Stan
Editura Rafet 2007
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
2/120
2
1. Mulimea numerelor reale
1.. Scrierea n baza zece:
dcbaabcd +++= 101010 23 a-cifra miilor; b-cifra sutelor; c-cifra zecilor; d-cifra unitilor;
001.001.01.010
10101010, 321
+++==+++=
gfea
gfeaefga
e-cifra zecimilor; f-cifra sutimilor; g-cifra miimilor.
2. Fracii
-Fracii zecimale finite: ;100
,;10
, abc
bcaab
ba ==
-Fracii zecimale periodice:-
simple: ;99
)(,;9
)(, aabc
bcaaab
ba
=
=
mixte: ;990)(,;90)(,
ababcd
cdba
ababc
cba
=
= 3.. Rapoarte i proporii
,,;0 *Qnknb
na
b
abraportnumestese
b
a=
=
k se numete coeficient de proporionalitate ;Proprietatea fundamentala proporiilor:
cbdad
c
b
a==
4. Proporii derivate:
=
=++
=
=
=
===
=
.2
2
2
2
d
c
b
asau
db
ca
b
asau
db
ca
b
a
d
dc
b
basau
dc
c
ba
a
d
b
c
asau
a
c
b
dsau
c
d
a
b
d
c
b
a
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
3/120
3
5. Sir de rapoarte egale:
n
n
n
n
bbbb
aaaa
b
a
b
a
b
a
++++++++
====.....
.............
321
321
2
2
1
1 ;
( ) ( )nn bbbbiaaaa ,....,,,......,,
321321 sunt direct
proporionale kb
a
b
a
b
a
n
n ==== ..2
2
1
1 .
( ) ( )nn bbbbiaaaa ,....,,,......,, 321321 sunt invers
proporionale nn bababa === ..2211
6. Modulul numerelor reale Proprieti:
=
0,
0,0
0,
aa
a
aa
defa
1. Raa ,0 ; 2. 0,0 == aa ;
3. Raaa = , ; 4. baba == , ;
5. baba = ; 6.b
a
b
a= ;
7. bababa + ;
8. 0,, == aaxax ;
9. 0],,[, aaaxax ;10. 0],,[],[, + aaaxax .
7. Reguli de calcul n R
1. ( ) ;2 222 bababa ++=+
2. ( ) ;2 222 bababa += 3. (a+b)(a-b= a 2 -b 2 ;
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
4/120
4
4. ( ) cabcabcbacba 2222222 +++++=++
5. ( ) 32233 33 babbaaba +++=+ ;
6. ( ) 32233 33 babbaaba += ;
7. ))((2233
babababa ++= ;8. ))(( 2233 babababa ++=+ .
8. Puteri cu exponent ntreg
factorin
n aaaadefa ......
..80;.4
0,.7)(.3
0,1
.6.2
)(.5;00;;1.1 1
nmaaaaaa
bb
a
b
ababa
aa
aaaa
aaaaa
nmnm
n
m
n
nn
nnn
n
nnmnm
nmnmno
===
=
=
==
====
+
9. Proprietile radicalilor de ordinul doi
1. Raaa = ,02
2. baba =
3. 0, = bb
a
b
a
4. 2)(n
nn aaa == ,
5.22
22 baabaaba
+=
unde a-b=k .
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
5/120
5
10. Medii
Media aritmetic2
yxma
+=
Media geometric yxmg =
Media ponderat ponderileqpqp
yqxpmp +
+= ,;
Media armonicyx
xy
yx
m h +=
+=
211
2 .
Inegalitatea mediilor
2
2 yxxyyx
xy ++
11. Ecuaii
0,0 ==+ aa
bxbxa
0,2
== aaxax ;
a
acbbxcxbxa
2
40
2
2,12 ==++ .
.04,0 2 acba
.0, axaax ==
20, axaax == [ ] )1,[1 ++= aaxaxaax .
12. Procente
p % din N = Np
100
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
6/120
6
D =12100 npS
. Dobndaobinutprin depunerea la banca unei
sume Sde bani pe o perioadde nluni cu procentul pal dobndeianuale acordate de banc.
Ct la sutreprezintnumrul a din N.x % din N =a
ax
100= .
13. Partea ntreag
1. [ ] { }xxx += , Rx , [ ] Zx i { } )1,0[x
2. [ ]
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
7/120
7
2. Inegaliti
1. 1>a kk aa ba
7. cabcabcba ++++
222
Rcba ,, 8. )( ( )22223 cbacba ++++ cba ,,
9. ( )cbacba
cba++
++++
3
1222 Rcba ,,
10. ( ) 0,,3
3++++ cbacbacba
11. ( ) ( )nnnn aaaaaaaaaan 13212122
1 ......2...1 ++++++ 12. ( ) ( )21221 ...... nn aaaan ++++ , Nn
13. .0,,,22
2
>
+
+baNn
baba nn
14. .0,20 >++
< r
rbra
ba
ba
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
8/120
8
15. x a ( )0>a .axa
16. baba + , Rba , sauC.
17. nn aaaaa ++ ...... 121 , in sau C.
18. baba in sau C.
19.( ) nnnnnnn
1
1
1
1
1112
=
=
( ) nnnnn1
1
1
1
1
!
1
=
<
20. Zba , , Znm , , Qnm .122 nbma
21. Numerele pozitive cba ,, pot fi lungimile laturilor unui triunghi
daci numai dac *,, +Rzyx ia. ,zya += ,zxb += .yxc +=
22. 1
ba
b
a ba 0, >ba ,
23. .6,, * +
++
++
+b
ac
a
cb
c
baRcba
24. Dac 0,...,1 nxx si kxx n =++ ...1 constant atunci produsul
nxxx ...22 e maxim cnd ....1n
kxx n ===
25. Dac. 0,...,1
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
9/120
9
27. Teorema lui Jensen:
Dac :f ,R (interval) si ( )( ) ( )
222121 xfxfxxf
+
+
21,xx ( )( ) ( )
n
xfxf
n
xx
f
nn ++
++
...... 12
ix , .,1ni=
28. Inegalitatea mediilor ....
...1
...1
11
1
n
aaaa
aa
n nnn
n
++
++
29. ( ) .1
...
1
...2
121 naaaaa n
n
+++++ .,1,0 niai =
egalitate cnd .,1,, njiajai == 30. Inegalitatea lui Cauchy-Buniakowsky-Schwartz.
( )( ) ( )211221221 ......... nnnn bababbaa ++++++ ., Rba ii
31. Inegalitatea mediilor generalizate: .""bj
aj
bi
ai==
1
1
1
1 ......
++
++n
aa
n
aa nn ,,,, +Rba ii
., R
32. n
aa
n
aa nn ++
++ ...... 121
221
33.Inegalitatea lui Bernoulli:
( ) .,1,11 Nnanaa n ++
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
10/120
10
3.Mulimi. Operaii cu mulimi.
1. Asociativitatea reuniunii si a interseciei:A (B C)=(A B) C A (B C)=(A B) C
2. Comutativitatea reuniunii si a interseciei:A B=B A A B=B A
3. Idempotena reuniunii si interseciei:A A=A A A=A
4. A =A A =5. Distributivitatea reuniunii fade intersecie:
A (B C)=(A B) (A C)6. Distributivitatea interseciei fade reuniune:
A (B C)=(A B) (A C)
7. A,B E, (A B)= A B
(A B)= A B
8. A E, ( A)=A
9. A\B= (A B)10. A\(B C)=(A\B)\C
A\(B C)=(A\B) (A\C)(A B)\C=(A\C) (B\C)(A B)\C=A (B\C)=(A\C) B
11. A(B C)=(AB) (AC)A(B C)=(AB) (AC)A(B\C)=(AB)\ (AC)ABBAA B ( x) (xA=>xB)A B ( x)((xA) (x B))xA B (xA) (xB)
xA B (xA) (xB)xC EA (xE) (x A)xA\B (xA) (x B)
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
11/120
11
12. Relaiile lui de Morgan
1. (p q)=p q, (p q)= p q .2. p (q r) = (p q) (p r), p (q r)=(p q) (p r).
3.
p p=A, p p = F.4. p q p q.5. p q (p q) (qp) (p q) ( q p).6. p A = p , p A=A7. p q = q p , p q = q p8. (p)=p9. p p =F , p p =A10. (p q) r = p (q r)
(p q) r = p (q r)11. p F = p p F = F
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
12/120
12
4. Progresii
1. iruri
Se cunosc deja irul numerelor naturale 0,1,2,3,4,.,irulnumerelor pare 2,4,6, Din observaiile directe asupra acestor iruri,
un ir de numere reale este dat n forma ,.....,, 321 aaa unde
321,, aaa sunt termenii irului iar indicii 1,2,3, reprezint poziia pe
care i ocuptermenii n ir.Definiie: Se numete ir de numere reale o funcie f: N*R ,definitprin f(n)=a n
Notm ( ) *Nnna irul de termen general , a n Observaie: Numerotarea termenilor unui ir se mai poate face ncepnd
cu zero: ,.....,, 210 aaa
ia , i 1 se numete termenul de rang i.Un ir poate fi definit prin :
a) descrierea elementelor mulimii de termeni. 2,4,6,8,..
b) cu ajutorul unei formule a n =2n
c) printr-o relaie de recuren. 21 +=+ nn aa Un ir constant este un ir n care toi termenii irului sunt constani :5,5,5,5,..
Douiruri nnnn ba )(,)( sunt egale dac Nnba nn = , Orice ir are o infinitate de termeni.
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
13/120
13
2. Progresii aritmetice
Definiie: Se numete progresie aritmeticun ir n care diferenaoricror doi termeni consecutivi este un numr constant r, numit raia
progresiei aritmetice.1. Relaia de recurenntre doi termeni consecutivi:
1,1 +=+ nraa nn 2. a1,a2, an-1, an, an+1 sunt termenii unei progresii aritmetice
211 + += nnn
aaa
3. Termenul generaleste dat de :( )rnaan 11 += 4. Suma oricror doi termeni egal departai de extremi este egal cu
suma termenilor extremi :
nknk aaaa +=+ + 11 5.Suma primilor n termeni :
( )21 naaS nn +=
6. irul termenilor unei progresii aritmetice:rararaa 3,2,, 1111 +++ ,.
( )rnmaa nm = 7. Trei numere x1,x2, x3se scriu n progresie aritmeticde forma :
x1= u v x
2= u x
3= u + v
u,v
.
8. Patru numere x1, x2, x3, x4 se scriu n progresie aritmeticastfel:
x1= u 3v, x2= u v , x3= u + v , x4= u + 3v, u,v .
9. Dac2
1
1 +
+
+
k
k
k
ki
a
a
a
aa
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
14/120
14
4. Progresii geometrice
Definiie: Se numete progresie geometricun ir n care raportuloricror doi termeni consecutivi este un numr constant q, numitraia progresiei geometrice.
1. Relaia de recuren: 1,1 =+ nqbb nn 2. b1,b2, bn-1, bn, bn+1 sunt termenii unei progresii geometrice cu
termeni pozitivi 11 + = nnn bbb
3.Termenul generaleste dat de :1
1= nn qbb
4. Produsul oricaror doi termeni egal departati de extremi este egalcu produsul extremilor
nknk bbbb = + 11 5. Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice :
q
qbS
n
n
=1
11
6. irul termenilor unei progresii geometrice :,....,...,, 1
2111
nqbqbqbb
7. Trei numere x1,x2, x3se scriu n progresie geometricde forma :
x1=v
u x2= u x3= vu , + *, Rvu
8. Patru numere x1,x2, x3, x4 se scriu n progresie geometricastfel :
x1 =3v
u
x2 =v
u
x3= vu x4=
3vu + *, Rvu
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
15/120
15
5. Funcii
I. Fie : AB.1) Funcia este injectiv,dac
x,y A, xy=>(x)(y).2) Funcia este injectiv,dacdin (x)=(y) =>x=y.3) Funcia f este injectiv, dacorice paralella axa 0xintersecteazgraficul funciei n cel mult un punct.
II.1)Funcia este surjectiv, dacy B, existcel puin unpunct x A, a.. (x)=y.2) Funcia este surjectiv, daca (A) =B.3) Funcia este surjectiv, dacorice paralella axa 0x, dusprintr-un punct al lui B, intersecteazgraficul funciei n celpuin un punct.
III.1) Funcia este bijectivdaceste injectivi surjectiv.2) Funcia este bijectivdacpentru orice y B existunsingur x A a.. (x) =y (ecuaia (x)=y,are o singursoluie,pentru orice y din B)3) Funcia este bijectivdacorice paralella axa 0x, dusprintr-un punct al lui B, intersecteazgraficul funciei ntr-un
punct i numai unul.
IV.1A: AA prin 1A(x) =x, x A.1) Funcia : AB este inversabil, dacexisto funcieg:BA astfel nct g o = 1Asi o g =1B, funcia g esteinversa funciei i se noteazcu -1.
2) (x) = y x=
-1
(y)3) este bijectiv este inversabil.
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
16/120
16
V. Fie :AB si g: BC, doufuncii.
1) Dacsi g sunt injective, atunci g o este injectiv.2) Dacsi g sunt surjective,atunci g o este surjectiv.
3) Dacsi g sunt bijective, atunci g o este bijectiv.4) Dac si g sunt (strict) crescatoare,atunci g o este(strict) crescatoare.5) Dacsi g sunt (strict) descrescatoare, atunci g o este(strict) descrescatoare.6) Dacsi g sunt monotone, de monotonii diferite,atuncig o este descrescatoare.
7)
Daceste periodic, atunci g o este periodic.8) Daceste par, atunci g o este par.9) Dacsi g sunt impare, atunci g o este impar,10) Daceste imparsi g par, atunci g o este par.
VI. Fie : AB si g:BC, doufuncii.
Dacg o este injectiv, atunci este injectiv.Dacg o este surjectiv, atunci g este surjectiv.Dac g o este bijectiv, atunci este injectiv si gsurjectiv.Dac,g: A B iar h: BC bijectivsi h o = ho ,atunci = g.
VII. Fie : AB si X,Y mulimi oarecare.Funcia este bijectiv, dac i numai dac oricare ar fi
funciileu,v: XA,din o u=o v, rezultu=v.Funcia este surjectiv, daca i numai dac oricare ar fi
funciile u,v :BY, din u o = vo , rezultu=v
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
17/120
17
VIII.1)Dac :AB este strict monoton,atunci este injectiv.2) Daca : RR este periodic i monoton, atunci este
constant.3) Daca : RR este bijectiv i impar,atunci -1 esteimpar.4) Fie A finit i :AA. Atunci este injectiv estesurjectiv.
IX. Fie : E F, atunci
1)injectiv () g : F E (surjectiv) a.i. g o =1E.2) surjectiv() g : EF (injectiv) a.i. o g =1F3) bijectiv inversabil.
X. Fie : E F.1)Funcia este injectivdaci numai dac() A,B E
(A B) = (A) (B).
2) Funcia este surjectiv dac i numai dac () B FexistA E, astfel nct (A)=B.3) Funcia este injectivdac(A B)=(A) (B),A, B E.
XI. Fie : E F si AE, B E, atunci(A) ={yF xA a.i. (x)=y}
-1
(B) = {x E (x)B}.
1.Fie : EF si A,B E, atuncia) A B => (A) (B),b) (A B)= (A) (B),c) (A B) (A) (B),d) (A) (B) (A B).
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
18/120
18
2.Fie : E F si A,B F atunci
a) A B => -1(A) -1(B),b)-1(A) -1(B) --1(A B),
c)-1
(A) -1
(B) = -1
( A B),d) -1(A) -1(B) = -1(A B),e) -1(F) = E.
Funcia de gradul al doilea
Forma canonica funciei f:RR,
0,,,,)( 2 ++= aRcbacbxaxxf este
Rxaa
bxaxf
+= ,
42)(
2
;
Graficul funcieieste o parabolde vrf
aa
bV
4
,
2
, unde
acb 42 = 0a f este convex;
0 ; x1,x2Cf(x) >0, Rx ;
aa
bV
4,
2- punct
de minim;
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
19/120
19
0= , x1=x2R
f(x) 0, Rx ;
f(x)=0
a
bx
2
=
Rxx 21,0 f(x) 0,),[],( 21 + xxx ;
f(x)
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
20/120
20
a
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
21/120
21
Pentru
a
bx
2, funcia este strict cresctoare;
Pentru ),,2
[ +a
bx funcia este strict descresctoare.
6. NUMERE COMPLEXE
1. NUMERE COMPLEXE SUB FORMALGEBRIC
=+== 1,,, 2iRbaibazzC
- mulimea numerelor complexe.z=a+ib=Re z+Im z
OPERAII CU NUMERE COMPLEXE
Fie idczibaz +=+= 21 , . Atunci:
1. dbsicazz === 21 .
2. ).()(21 dbicazz +++=+ 3. ).()(21 cbdaidbcazz ++=
4. ,1 ibaz = conjugatul lui 1z
5.2222
2
1
dc
dacbi
dc
dbca
z
z
+
++
+=
6.2222
1
1
ba
bi
ba
a
z +
+= .
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
22/120
22
PUTERILE LUI i
1. 14 =ki ;2. ii k =+14 ;
3. 124
=+k
i ;4. ii k =+34 ;
5. ii
ii
in
n === 1
,1 1 ;
6.
===
imparni
parniiii
n
n
nnnn
,
,)1()(
PROPRIETILE MODULULUI
22 baz += - modulul nr. complexe
1. 00,0 == zzz 2. 2zzz = 3. zz=
4. 2121 zzzz =
5. 0, 22
1
2
1 = zz
z
z
z
6. 212121 zzzzzz + 7.nn zz =
8. zzzRzCz == 0Im;
ECUAII:
++
++=
+=+=
22
2222
2,1
2,12
baai
baaz
ibazibaz
+ dacb pozitiv; - dacb negativ
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
23/120
23
02
04
2
40
2,1
2
2
2,12
=
=
==++
dacaa
ibx
sauacbdaca
a
acbbxcbxax
NUMERE COMPLEXE SUB FORMGEOMETRIC
Forma trigonometrica numerelor complexe:
z= )sin(cos i+ ,
=+=
IVba
IIIIIba
Iba
kk
a
barctg
),(,2
,),(,1
),(,0
,
= 22 baz += se numete raza polara lui z
Fie z1= )sin(cos 111 i+ i z2= )sin(cos 222 i+ ;
z1=z2 kiaZkexistasi +== 2121 .,
)sin()[cos( 21212121 +++= izz
)sin(cos 1111 iz =
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
24/120
24
)]sin()[cos(11
1111
+= iz
[ ])sin()cos( 12121
2
1
2
+= i
z
z
Rnninz nn += ),sin(cos 1111
1,0),2
sin2
(cos 1111 +
++
= nkn
ki
n
kz nn
7. FUNCTIA EXPONENTIAL
Def. f: R(0,), f(x)= 1,0, aaax
Daca 1 f este strict cresctoare21
21xx
aaxx Daca ( ) 1,0 f este strict descresctoare
21
21xx
aaxx Proprieti:Fie a,b ( ) Ryxba ,,1,,,0
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
25/120
25
( )
( )
x
x
x
x
xx
yx
y
x
yxyx
yxx
yxyx
adefinestesenuapentru
aaa
a
bb
a
b
a
aaa
a
aa
aaba
aaa
,0
0,
1
1
0,
0,
0
=
=
=
=
=
=
=
+
Tipuri de ecuaii:
1. a bxfbaab axf log)(0,1,0,)( ==
2. a )()(1,0,)()( xgxfaaa xgxf == 3. a bxgxfbabab a
xgxf log)()(1,,0,,)()( == 4. ecuaii exponeniale reductibile la ecuaii algebrice printr-osubstituie.5. ecuaii ce se rezolvutiliznd monotonia funcieiexponeniale.
Inecuaiia>1, )()()()( xgxfaa xgxf
a )()()1,0( )()( xgxfaa xgxf
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
26/120
26
FUNCTIA LOGARITMIC
Def: f:(0,) R, f(x)= xalog , 1,0 aa ,x>0
Daca 1 f este strict cresctoare
2121 loglog xxxx aa Daca ( ) 1,0 f este strict descresctoare
2121 loglog xxxx aa Proprieti:Fie a,b ( ) Rmyxcbac ),,0(,,1,,,,0
yxy
x
yxyx
xyxa
aaa
aaa
a
y
logloglog
logloglog
log0
=
+===
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
27/120
27
.1log,01log
,
log
log
1,
log
loglog
loglog,log
logloglog
==
==
==
==
a
axca
a
ba
bb
bmbma
aa
xac
b
ac
ca
a
m
a
m
a
abb
Tipuri de ecuaii:
1. bxf xfxgfgfbxg )()(1,0,,)(log )( ==
2. )()()(log)(log xgxfxgxf aa ==
3. )(log)()(log)(log xgbabaxfxgxf ==
4. ecuaii logaritmice reductibile la ecuaii algebrice printr-osubstituie.5. ecuaii ce se rezolvutiliznd monotonia funciei logaritmice.
Inecuaii
a>1, )()()(log)(log xgxfxgxf aa a )()()(log)(log)1,0( xgxfxgxf aa
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
28/120
28
8. BINOMUL LUI NEWTON
n 1664 Isaac Newton (1643-1727) a gsit urmtoarea formulpentru dezvoltarea binomului (a+b)n. Dei formula era cunoscutncdinantichitate de ctre matematicianul arab Omar Khayyam (1040-1123),Newtona extins-o i pentru coeficieni raionali.
TEOREM: Pentru orice numr natural n i a i b numere realeexistrelaia:
( ) nnnkknk
n
n
n
n
n
n
n
nbCbaCbaCbaCaCba ++++++=+ ...............222110
(1)
Numerele nnnn CCC ,....,,10 se numesc coeficienii binomiali ai
dezvoltrii;Este necesar sse facdistincie ntre coeficientul unui termenal dezvoltrii i coeficientul binomial al acelui termen.Exemplu: (a+2b)4= a4+ 4a 3 .2b+..
Coeficientul celui de-al doilea termen este 8 iarcoeficientul binomial este C4
1 =4;Pentru (a-b)navem urmtoarea forma binomului lui Newton:
( ) nnnnkknk
n
kn
n
n
n
n
n
nbCbaCbaCbaCaCba )1(.....)1(...........222110 ++++=
(1)
Proprieti:
1. Numrul termenilor dezvoltrii binomului (a+b)neste n+1;Dac n=2k coeficientul binomial al termenului din mijloc al dezvoltrii
este Cnk
i este cel mai mare.Dacn=2k+1 Cnki Cnk+1sunt egali i sunt cei mai mari;Cn
oCn
n daca n este par, n=2k
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
29/120
29
Cno
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
30/120
30
9. Vectori i operaii cu vectori
Definiie:Se numete segment orientat, o pereche ordonatde
puncte din plan;Se numete vector, mulimea tuturor segmentelor
orientate care au aceeai direcie, aceeai lungime i acelaisens cu ale unui segment orientat.Observaii:
Orice vector AB se caracterizeazprin:- modul(lungime,norm), dat de lungimea segmentului
AB;- direcie, datde dreapta AB sau orice dreaptparalel
cu aceasta;- sens, indicat printr-o sgeatde la originea A la
extremitatea B.
Notaii: AB vectorul cu originea A i extremitatea B;2
02
0 )()( yyxxAB += - modulul vectorului AB undeA(x0,y0), B(x.y).Definiie:Se numesc vectori egali, vectorii care au aceeai direcie,acelai sens i acelai modul. Doi vectori se numesc opui dacau aceeai direcie, acelai modul i sensuri contrare:
-AB = A .Adunarea vectorilor se poate face dupregula triunghiului saudupregula paralelogramului:
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
31/120
31
Rvsauv === ,000
vvvvDaca = ,0,0 are direcia i sensul
vectorului v dac 0 i sens opus lui v dac 0 .Definiie:Doi vectori se numesc coliniaridaccel puin unul este nul saudacamndoi sunt nenuli i au aceeai direcie. n caz contrarse numesc necoliniari.
vectori coliniari vectori necoliniari
Teorem:
Fie 0u i v un vector oarecare.
Vectorii u i v sunt coliniari uviaR = .. .
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
32/120
32
Punctele A, B, C sunt coliniare
ACABiRacoliniarisuntACsiAB = .. .
CDsiABCDAB sunt coliniari;
Dacu i v sunt vectori necoliniari atunci
00.., ===+ yxvyuxiaRyx .
Teorem: Fie a i b doi vectori necoliniari. Oricare ar fi
vectorul v , exist )(, uniceR astfel nct bav += .
Vectorii a i b formeazo baz., se numesc coordonatele vectorului v n baza ba, .
Definiie:Fie XOY un reper cartezian. Considerm punctele A(1,0),
B(0,1). Vectorii OBjsiOAi == se numesc versorii axelor
de coordonate. Ei au modulul egal cu 1, direciile axelor isensurile semiaxelor pozitive cu OX i OY.
Baza ji, se numete bazortonormat.
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
33/120
33
jyixBABAv +=+= '''''' x=xB- xA, y=yB- yA
jvprivprv OYOX += 22 )()( ABAB yyxxAB +=
Teorem:Fie )','(),,( yxvyxu . Atunci:
1) u + v are coordonatele (x+x.y+y);
2) vR , are coordonatele (x, y);
3) )','(),,( yxvyxu sunt coliniari
.0''.0',',''
=== yxxyyxky
y
x
x
4) Produsul scalar a doi vectori nenuli.
].,0[,),(cos == vumundevuvu
2222 )'()'(
''cos
yxyx
yyxx
++
+=
0],2
(;0]2
,0[ vuvu
Fie )','(),,( yxvyxu nenuli. Atunci:
.0''0 =+= yyxxvuvu
.0;1
.00
.,0
2
===
==
=
jijjii
uuu
uuuu
Vectori de poziie. Dac BA rr ,
sunt vectori de poziie, atunci: AB rrAB =
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
34/120
34
10. Funcii trigonometrice
Semnul funciilor trigonometrice:
Sin: [ ]1,12
,2
arcsin:[-1,1]
2,2
Cos: [ ] [ ]1,1,0
arccos:[-1,1] [ ],0
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
35/120
35
Tg: R
2,
2
arctg:R
2,
2
Reducerea la un unghi ascuitFie u )
2,0(
Notm sgn f= semnul funciei f; cof = cofuncia lui f
=
==
imparkuukf
parkuukf
uk
,cos)2
(sgn
,sin)2
(sgn
2sin
Analog pentru
celelalte;
n general,
=
==
imparkucofukf
parkufukf
ukf
),()2
(sgn
),()2
(sgn)
2(
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
36/120
36
Ecuaii trigonometriceFie x un unghi, a un numr real i k Z .
]1,0[,arcsin)1(1,sin +== adackaxaax k
= ]0,1[,arcsin)1(1
+ +
adackak
]1,0[,2arccos1,cos +== adackaxaax
= ]0,1[,)12(arccos ++ adacka karctgaxRaatgx +== ,
kaxax k +== )1()arcsin(sin kaxax 2)arccos(cos +==
kaxatgxarctg +==)(
kxgxfxgxf k +== )()1()()(sin)(sin kxgxfxgxf 2)()()(cos)(cos +==
Zkkxgxfxtggxtgf +== ,)()()()(
Ecuaii trigonometrice reductibile la ecuaii care conin aceeaifuncie a aceluiai unghi;Ecuaii omogene n sin x i cos x de forma: asin x+bcos x=0; asin2x+bsin x .cos x+ ccos2x=0Ecuaii trigonometrice care se rezolvprin descompuneri n factori;Ecuaii simetrice n sin x i cos x;Ecuaii de forma:
=+=++a
cxtgxacxbxa cossin:0cossin
ka
cx k +=+ )cosarcsin()1(
22cossin baxbxa ++ Observaie important:Prin ridicarea la putere a unei ecuaii
trigonometrice pot aprea soluii strine iar prin mprirea unei ecuaiitrigonometrice se pot pierde soluii;
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
37/120
37
FORMULE TRIGONOMETRICE
1.
2
222
cos1sin
;sin1cos1cossin
===+ R
2.
;cos
11
cos
cos1
sin1
sin2
22
2
=+
=
= tgtg
3.;1sin;1
1
cos 22
tg
tg
tg +=+=
4. sinsincoscos)cos( =+ ;5. sinsincoscos)cos( += ;6. cossincossin)sin( +=+ ;7. cossincossin)sin( = ;
8. ;
1
)(;
1
)(
tgtg
tgtgtg
tgtg
tgtgtg
+
=
+=+
9.
;1
)(;1
)(
ctgctg
ctgctgctg
ctgctg
ctgctgctg
+
=+
=+
10. ;cossin22sin =
11. 2222 sin211cos2sincos2cos ===
12.2
2cos1sin;
2
2cos1cos 22
=+= ;
13. ;2
cos1
2sin;
2
cos1
2cos
=
+=
14.
cos1
cos1
2;
cos1
cos1
2 +
=+
= ctgtg
15. ;2
12;
1
22
2
2
ctg
ctgctg
tg
tgtg
=
=
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
38/120
38
16. ;
22
21
;
21
22 2
2
tg
tg
ctg
tg
tg
tg
=
=
17.
;13
33;cos3cos43cos
31
33;sin4sin33sin
2
33
2
33
==
==
ctg
ctgctgctg
tg
tgtgtg
18. ;
2
1
sin
cos1
cos1
sin
2
ctg
tg =
=
+
=
19. ;
21
21
cos;
21
22
sin2
2
2
tg
tg
tg
tg
+
=
+=
2cos2sin2sinsin baba
ba
+=+
2cos
2sin2sinsin
bababa
+
=
2sin
2sin2coscos baba
ba
+
=
2cos2sin2coscos baba
ba
+
=+
ba
batgbtga
coscos
)sin(
= ba
bactgbctga
sinsin
)sin(
+
=+
ba
abctgbctga
sinsin)sin(
=
ba
batgbtga
coscos
)sin(
+
=+
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
39/120
39
2)cos()cos(coscos bababa ++=
)11arcsin(arcsinarcsin 22 xyyxyx +=+
arcsin x+arccos x=2 arctg x +arcctg x=
2
arctg x+arctg2
1 =
x arccos(-x)=-arccos x
2
)sin()sin(cossin
bababa
++=
2
)cos()cos(sinsin
bababa
+=
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
40/120
40
11. ECUAIILE DREPTEI N PLAN
1. Ecuaia carteziangenerala dreptei:ax+by+c=0 (d)
Punctul M(x0,y0) 000 =++ cybxad 2. Ecuaia dreptei determinatde punctele A(x1,y1), B(x2,y2):
12
1
12
1
xx
xx
yy
yy
=
3. Ecuaia dreptei determinat de un punct M(x0,y0) i odirecie dat( are panta m)
y-y0=m(x-x0)4. Ecuaia explicita dreptei (ecuaia normal):
y=mx+n, unde12
12
xx
yytgm
== este panta
dreptei i n este ordonata la origine.5. Ecuaia dreptei prin tieturi: .0,,1 =+ ba
b
y
a
x
6. Fie (d): y=mx+n i (d): y=mx+nDreptele d i d sunt paralele m=mi n n.Dreptele d i d coincid m=mi n=n.
Dreptele d i d sunt perpendiculare mm= -1.Tangenta unghiului a celor dou drepte este
'1
'
mm
mmtg
+
=
7. Fie d: ax+by+c=0 i d: ax+by+c=0 cu a,b,c .0 i)',( ddm=
Dreptele d i d sunt paralele ''' c
c
b
b
a
a=
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
41/120
41
Dreptele d i d coincid ''' c
c
b
b
a
a==
Dreptele d i d sunt concurente '' b
b
a
a
ab-ba .0
2222 ''
''
'
'cos
baba
bbaa
vv
vv
++
+=
= unde
)','('),,( abvabv sunt vectorii directori ai dreptelord i d.
Dreptele d i d sunt perpendiculare,0''' =+ bbaadd
8. Fie punctele A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3), D(x4,y4) n plan.Dreptele AB i CD sunt paralele, AB|| CD
CDABaR = .*, sau mAB=mCD.Dreptele AB i CD sunt perpendiculare,
0= CDABCDAB
Condiia ca punctele A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) s fiecoliniare este:
12
13
12
13
xx
xx
yy
yy
=
9. Distana dintre punctele A(x1,y1)i B(x2,y2) este
( ) ( )2
12
2
12 yyxxAB += Distana de la un punct M0(x0,y0) la o dreapt h de ecuaie(h): ax+by+c=0 este datde:
22
000 ),(
ba
cbyaxhMd
+
++= .
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
42/120
42
12. CONICE1.CERCUL
Definiie: Locul geometric al tuturor punctelor din plan egal deprtate de unpunct fix, numit centru se numete cerc.
}|),({),( rOMyxMrOC == 1.Ecuaia generala cerculuiA(x + y) + Bx + Cy + D = 0
2.Ecuaia cercului de centru: O(a, b) respectiv O(0, 0) si raza r(x - a) + (y + b) = r ; x + y = r3. Ecuaia cercului de diametru A(x1;y1), B(x2; y2)(x - x1)(x - x2) + ( y- y1)(y - y2) = 04.Ecuaia tangentei dupo direcie
O(0,0) : y = mx r m1+ O(a,b) : y-b = m(x-a) r m1+ 5.Ecuaia tangentei n punctul M(x0, y0)
(x x0) + (y y0) = r respectiv(x - a)(x0 - a) + (y - b)(y0 - b) = r6.Ecuatia normala a cercului
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
43/120
43
x + y + 2mx + 2ny + p = 0 cuO(-m; -n) i r = m + n - p7.Ecuaia tangentei n punctul M(x0,y0)x x0+ yy0+ m(x + x0) + n(y + y0) + p = 08.Distanta de la centrul cercului O(a, b) la dreapta de ecuaie
y = mx + n este
d(0,d) =1
||
++
m
nbma sau (
|| 00
ba
cbyaxd
++
= +
)
9.Ecuaiile tangentelor din punctul exterior M(x0, y0)I.Se scrie ecuaia 4 i se pune condiia ca M saparincercului deecuaie 4.II.y - y0= m(x - x0)
x + y = r , =0
2. ELIPSA
Definiie:Locul geometric al punctelor din plan care au sumadistanelor la doupuncte fixe, constant, se numete elips.
F,F- focare, FF distana focalE={ }aMFMFyxM 2'),( =+ MF,MF- raze focale1.Ecuaia elipsei
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
44/120
44
1
=+
b
y
a
x , b = a - c
2.Ecuaia tangentei la elips
y = mx bma + 3.Ecuaia tangentei n punctul M(x0, y0) la elips
1
00=
+
b
yy
a
xx ,
0
0
y
x
a
bm =
4.Ecuaiile tangentelor dintr-un punct exterior M(x0, y0) laelips
VAR I Se scrie ecuaia 2 i se pune condiia ca M saparinelipsei de ecuaie 2 de unde rezultmVAR IISe rezolvsistemul y y0= m(x-x0)
,cu conditia = 0
3. HIPERBOLA
Definiie:Locul geometric al punctelor din plan a crordiferenla doupuncte fixe este constant, se numetehiperbol
1
=+
b
y
a
x
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
45/120
45
H: = { M(x,y) | |MF MF| = 2a }
y = xa
b --ecuaia asimptotelor
1.Ecuaia hiperbolei
1
=
b
y
a
x , b = c - a ;
Daca a = b => hiperbola echilateral
2.Ecuaia tangentei la hiperboly = mx bma
3. Ecuaia tangentei n punctul M(x0, y0)
1
00=
b
yy
a
xx ,
0
0
y
x
a
bm =
4.Ecuaiile tangentelor dintr-un punct exterior M(x0, y0)VAR I.Se scrie ecuaia 2 si se pune condiia ca M saparin
hiperbolei de ecuaie 2, de unde rezultm.VAR II.Se rezolva sistemuly - y0= m(x - x0)
1
=
b
y
a
x , cu = 0
4. PARABOLA
Definiie:Locul geometric al punctelor egal deprtate de un punctfix, (numit focar) i o dreaptfix(numitdirectoare), se numeteparabol.
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
46/120
46
P: = { M(x, y) | MF = MN }
(d): x =2p ( locul geometric al punctelor din plan de unde putem
duce tangente la o parabol).1.Ecuaia paraboleiy = 2px2.Ecuaia tangentei la parabol
y = mx +
m
P
2
3.Ecuaia tangentei n M (x0, y0)yy0= p(x + x0)4.Ecuatia tangentelor dintr-un punct exterior M(x0, y0)VAR I. Se scrie ecuaia 2 i se pune condiia ca M (ecuatia 2) =>mVAR II.Se rezolvsistemuly - y0= m(x - x0)y = 2px cu = 0
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
47/120
47
13. ALGEBRA LINIAR
1. MATRICE.
Adunarea matricelor
++++
=
+
tdzc
ybxa
tz
yx
dc
ba
=
taza
yaxa
tz
yxa
nmulirea matricelor
++++
=
tdyczdxc
tbyazbxa
tz
yx
dc
ba
Transpusa unei matrice
=
db
ca
dc
ba T
2. DETERMINANI.
cbdadcba = ;
dbiahfgecfbgchdiea
ihg
fed
cba
++=
Proprieti:1. Determinantul unei matrice este egal cu determinantulmatricei transpuse;2. Dactoate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matricesunt nule, atunci determinantul matricei este nul;3. Dacntr-o matrice schimbm doulinii(sau coloane) ntreele obinem o matrice care are determinantul egal cu opusul
determinantului matricei iniiale.4. Daco matrice are doulinii (sau coloane) identice atuncideterminantul su este nul;
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
48/120
48
5. Dactoate elementele unei linii(sau coloane) ale uneimatrice sunt nmulite cu un element a, obinem o matrice alcrei determinant este egal cu a nmulit cu determinantulmatricei iniiale.
6. Dacelementele a doulinii(sau coloane) ale unei matricesunt proporionale atunci determinantul matricei este nul;7. Dacla o matrice ptraticA de ordin n presupunem c
elementele unei linii i sunt de forma'''
ijijij aaa += atunci det A = det A +det A;8. Daco linie (sau coloan) a unei matrice ptratice este ocombinaie liniarde celelate linii(sau coloane) atunci
determinantul matricei este nul.9. Dacla o linie (sau coloan) a matricei A adunmelementele altei linii (sau coloane) nmulite cu acelai elementse obine o matrice al crei determinant este egal cudeterminantul matricei iniiale;10. Determinantul Vandermonde:
))()((
111
222bcacab
cbacba = ;
11. Dacntr-un determinant toate elementele de deasupradiagonalei principale sau de dedesubtul ei sunt egale cu zero,atunci determinantul este egal cu fca ;
fcafed
cb
a
=0
00
12. Factor comun
rvu
pnm
zyx
ba
rvu
pbnbmb
zayaxa
=
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
49/120
49
3.Rangul unei matrice
Fie A )(, CM nm , rN, ),min(1 nmr .Definiie: Se numete minor de ordinul r al matricei A,determinantul format cu elementele matricei A situate laintersecia celor r linii i r coloane.Definiie: Fie A nmO , o matrice . Numrul natural r esterangul matricei A exist un minor de ordinul r al lui A,nenul iar toi minorii de ordin mai mare dect r+1 (dacexist)
sunt nuli.Teorema: Matricea A are rangul r exist un minor deordin r al lui A iar toi minorii de ordin r+1 sunt zero.Teorema: Fie A )(),( ,, CMBCM snnm . Atunci orice minorde ordinul k , ),min(1 smk al lui AB se poate scrie ca ocombinaie liniarde minorii de ordinul k al lui A (sau B).Teorema: Rangul produsului a doumatrice este mai mic sau
egal cu rangul fiecrei matrice.Definiie: )(CMn . A este inversabil det A 0.( A estenesingular).Teorema: Inversa unei matrice dacexisteste unic.Observaii: 1) det (AB) =det A det B.
2) *det
11 AA =
( 1,))1((* + = AdAAA jiijji )3) A-1 )(ZMn det A = 1 .
Stabilirea rangului unei matrice:Se ia determinantul de ordinul k-1 i se bordeaz cu o
linie (respectiv cu o coloan). Dacnoul determinant este nulrezult c ultima linie(respectiv coloan )este combinaieliniarde celelalte linii (respectiv coloane).
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
50/120
50
Teorema: Un determinant este nul una din coloanele(respectiv linii) este o combinaie liniar de celelaltecoloane(respectiv linii).Teorema: Rangul r al unei matrice A este egal cu numrul
maxim de coloane(respectiv linii) care se pot alege dintrecoloanele (respectiv liniile) lui A astfel nct nici una dintre elesnu fie combinaie liniara celorlalte.
4. Sisteme de ecuaii liniare
Forma general a unui sistem de m ecuaii cu n necunoscuteeste:
(1
=+++
=+++
mnmnmm
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
..........
........................................................
2211
11212111
sau
==
n
j
jijxa1
ib
Unde A (aij) mi1 , nj1 - matricea coeficienilornecunoscutelor.
Matricea
=
mmnm
n
baa
baa
A
....
...
...
1
1111
se numete matricea extins
a sistemului.
Definiie: Un sistem de numere n ,......., 21 se numetesoluie a sistemului (1)
miba i
n
j
jij ,1,1
===
.
Definiie:- Un sistem se numete incompatibil nu are soluie;- Un sistem se numete compatibil are cel puin o soluie;- Un sistem se numete compatibil determinat are osingur soluie;
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
51/120
51
- Un sistem se numete compatibil nedeterminat are oinfinitate de soluii;
Rezolvarea matriceal a unui sistemFie A, )(CMB n .
njbaA
XBAXBXAA i
n
i
ijj ,1,det
1
1
11 ==== =
.
Rezolvarea sistemelor prin metoda lui Cramer:
Teorema lui Cramer: Dacdet A 0not , atunci sistemul
AX=B are o soluie unic Xi=i .
Teorema lui Kronecker- Capelli: Un sistem de ecuaii liniareeste compatibil rangul matricei sistemului este egal curangul matricei extinse.
Teorema lui Rouche: Un sistem de ecuaii liniare estecompatibil toi minorii caracteristici sunt nuli.
Notm cu m-numrul de ecuaii;n- numrul de necunoscute;r -rangul matricei coeficienilor.
I m=n=r Sistem compatibildeterminat
0
II m=r n Sistem compatibilnedeterminat
Minorulprincipal estenenul
III n=r m
Sistem compatibildeterminat sau
Dactoiminoriicaracteristicisunt nuli
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
52/120
52
Sistemincompatibil
Existcelpuin un minorcaracteristicnenul
IV mrnr , Sistem compatibilnedeterminat sau Dactoiminoriicaracteristicisunt nuli
Sistemincompatibil
Existcelpuin un minorcaracteristicnenul
Teorema: Un sistem liniar i omogen admite numai soluiabanal 0
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
53/120
53
14. SIRURI DE NUMERE REALE
1. Vecinti. Puncte de acumulare.
Definiia 1: Se numete ir , o funcie f : N R definitprin f(n) =a n .
Notm ( ) ..,.........,,....,.........,,: 321210 aaasauaaaa Nnn Orice ir are o infinitate de termeni; a n este termenul general al
irului ( )Nnn
a .
Definiia 2 : Dou iruri ( ) Nnna , ( ) Nnnb sunt egaleNknba nn = ,
Definiia 3: Fie a R. Se numete vecintate a punctului aR, omulime V pentru care >0 i un interval deschis centrat n a deforma (a- , a+ ) V.Definiia 4: Fie D R. Un punct se numete punct deacumulare pentru D dacn orice vecintate a lui existcel puin
un punct din D-{ } V (D-{ } ) . Un punct xD care nu epunct de acumulare se numete punct izolat.
2. iruri convergente
Definiia 5: Un ir ( )Nnn
a este convergent ctre un numr a dacn orice vecintate a lui a se afltoi termenii irului cu excepia
unui numr finit i scriem a n an sau =naanlim
a se numete limita irului .Teorema 1: Dacun ir e convergent , atunci limita sa este unic.Teorema 2: Fie ( )
Nnna un ir de numere reale. Atunci:
( )Nnn
a este monoton cresctor a n Nnan + ,1 sau
1,0
1
1
+
+n
n
nn a
a
sauaa ;
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
54/120
54
( )Nnn
a este stict cresctor a n Nnan + ,1 sau
1,0 11 +
+n
nnn
a
asauaa ;
( )Nnn
a
este monoton descresctor an
Nnan
+
,1
sau
1,0 11 +
+n
nnn
a
asauaa ;
( )Nnn
a este strict descresctor a n Nnan + ,1 sau
1,0 11 +
+n
nnn
a
asauaa .
Definiia 6. Un ir ( ) Nnna este mrginit M R astfelnct Man sau
nanctastfelR, .Teorema 3: Teorema lui Weierstrass: Orice ir monoton imrginit este convergent.Definiia 7: Dacun ir are limitfinit irul este convergent.
Dacun ir are limitinfinit + sau irul estedivergent.Teorema 4: Orice ir convergent are limitfiniti este mrginit darnu neaprat monoton.Teorema 5: Lema lui Cesaro:Orice ir mrginit are cel puin un subir convergent.Definiia 8: Un ir e divergent fie dacnu are limit, fie dacare o
limitsau dacadmite dousubiruri care au limite diferite.OBS: Orice ir cresctor are limitfinitsau infinit.
Teorema 6: Dac ( )Nnn
a *
+R este un ir strict cresctor i
nemrginit atunci
=+=
n
aa
n
n 01
limlim. Un ir
descresctor cu termenii pozitivi este mrginit de primul termen i de
0.
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
55/120
55
3. Operaii cu iruri care au limit
Teorema 7: Fie ( )Nnn
a , ( ) Nnnb iruri care au limit:a n an , b n bn .
Dacoperaiilea+b,ab
itauab
abaababa
irurileatuncisensauab
a
nb
n
n
nnnnnnnn
b
lim,,,,,
,
+ .
lim( nn ba + )= lim na +lim nb ;lim( nn ba )=lim na .lim nb ;n n n
lim( na )=lim na ; limn
n
n
n
b
a
b
a
lim
lim=
lim nn bnb
n aalim)(lim=
( ) ( )nana aa limlogloglim = k
nk
n aa limlim =
Prin convenies-a stabilit: +=; a+=,aR; a+(-)=-; -+(-)=-; a=,a>0;a=-,a
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
56/120
56
Dac nnnnn abiba
Dac aaaannnn
.
Dac 00 nnnn aa .
Teorema 9: Dac irul ( )Nnn
a este convergent la zero,
iar( )Nnn
b este un ir mrginit, atunci irul produs nn ba esteconvergent la zero.
4. Limitele unor iruri tip
=
=
1,
1,
1,1
)1,1(,0
lim
qdacexistnu
qdac
qdac
qdac
q n
n
( )
=+++
0,
0,....lim
0
0110
a
aanana p
pp
n
=
=+++
+++
.0,
0,
,
,0
.....
.......lim
0
0
0
0
0
0
110
110
baiqpdac
b
aiqpdac
qpdacb
a
qpdac
bnbnb
anana
q
qq
p
pp
n
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
57/120
57
lim ......71,21
1 =
+ e
n
n
lim ex
nx
n
=
+
11
n x n
lim ( ) ex nxn =+1
1 lim 1sin
=n
n
x
x
x n 0 x n 0
lim 1arcsin
=n
n
x
x lim 1=
n
n
x
tgx
x n 0 x n 0
lim 1=n
n
x
arctgx lim 1
1ln( ) =+
n
n
x
x
x n 0 x n 0
lim ax
a
n
xn
ln1
=
lim( )
rx
x
n
r
n =+ 11
x n 0 x n 0
lim =pn
x
x
e n
lim 0ln
=p
n
n
x
x
x n x n
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
58/120
58
15. LIMITE DE FUNCII
Definiie: O funcie f:D RR are limitlateralla stnga (respectiv la dreapta) n punctul de acumulare
slexistx0 R (respectiv dl R) a. . lim f(x)= sl ,
(respectiv lim f(x) = dl ).
0
0
xx
xx
0
0
xx
xx
Definiie: Fie f:D RR , Dx 0 un punct de acumulare.Funcia f are limitn )()( 000 xlxlx ds =
Proprieti:1. Daclim f(x) exist, atunci aceastlimiteste unic.
0xx
2. Daclim f(x) =l atunci0
.)(lim
xx
lxf
=
0xx Reciproc nu.
3. Dac0
0)(lim0)(lim
xx
xfxf
==
4. Fie f,g:D RR , U o vecintate a lui Dx 0 astfelnct f(x) g(x) { }0xUDx i dacexist
00 ,
)(lim),(lim
xxxx
xgxf
00
)(lim)(lim
xxxx
xgxf
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
59/120
59
5. Dac { }
.)(lim)(lim)(lim
)()()( 0
lxglxhxf
ixUDxxhxgxf
===
xx0 xx0 xx06.
Dac
{ }
lxfxg
ixUDxxglxf
==
)(lim0)(lim
)()( 0
7.
0)()(lim
)(..00)(lim
=
=
xgxf
MxgaMixfDac .
8.
.)(lim
(lim)()(
.)(lim
)(lim)()(
=
=
+=
+=
xf
xgixgxfDac
xf
xgixgxfDac
OPERAII CU FUNCII
112
1212121
21
,,,,,
)(lim,)(lim
2 lll
llllllloperatiilesens
auilxglxfexistDac
l+
==
atunci:1. lim(f(x) g(x))= 21 ll .2. limf(x)g(x)= 21 ll
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
60/120
60
3.lim2
1
)(
)(
l
l
xg
xf=
4.lim 21)()( lxg lxf =
5.lim 1)( lxf =
P(X)=a0xn+ a1x
n-1 + ..+an,a0 0
limxnaxP )()(
0
=
0, dac q ( )1,1
limx
qx= 1, dac q=1
, dac q>1nuexist,
dac q 1
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
61/120
61
=
=+++
+++
.0,
0,
,
,0
.....
.......lim
0
0
0
0
0
0
110
110
b
aiqpdac
b
aiqpdac
qpdacb
a
qpdac
bxbxb
axaxa
q
qq
p
pp
x
a>1 =
x
x
alim 0lim =
x
x
a
a )1,0( 0lim =
x
x
a =
x
x
alim
a>1 =
xax
loglim =
xax
loglim0
a )1,0( =
xax
loglim =
xax
loglim0
lim0x
1sin
=x
x
( )
( )( )
1sin
lim0
= xu
xu
xu
lim0x
1=x
tgx
( )
( )
( )
1lim0
= xu
xtgu
xu
lim0x
1arcsin
=x
x
( )
( )( )
1arcsin
lim0
= xu
xu
xu
lim0x
1=x
arctgx
( )
( )( )
1lim0
= xu
xarctgu
xu
lim0x ( ) ex x =+
1
1 ( ) ( )( )
( ) exu xuxu
=+
1
0
1
lim
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
62/120
62
ex
x
x
=
+
11lim
( ) ( )
( )
01
1lim =
+
xu
xu xu
lim0x ( ) 11ln =+x x ( ) ( )( )( ) 11lnlim 0 =+ xu xuxu
lim0x
ax
axln
1=
( ) ( ) a
xu
a xu
xu
ln1)(
0lim =
lim0x
( ) rxx
r
=+ 11 ( )
( )( )( )
rxuxu
r
xu
=+
11lim0
0lim = x
k
x a
x
( )
( )( ) 0lim =
xu
k
xu a
xu
limx
0ln =kxx
( )( )
( )0lnlim =
k
xu xuxu
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
63/120
63
16. FUNCII CONTINUE
DEFINIIE. O funcie f : D R R se numete continu npunctul de acumularex0D oricare ar fi vecintatea V a luif(x0) ,
existo vecintate U a luix0,astfel nct pentru oricex U D f(x) V.
DEFINIIE. f : D R R este continunx0D fare limitnx0 i lim f(x) = f(x0)sau ls(x0) = ld(x0) = f(x0).
x0 se numete punct de continuitate.Dacfuncia nu este continunx0 f.se numete discontinu nx0
ix0se numete punct de discontinuitate. Acesta poate fi:- punct de discontinuitate de prima spedacls(x0), ld(x0)
finite, dar f(x0);- punct de discontinuitate de a doua spe dac cel puin o
limitlaterale infinitsau nu exist.
DEFINIIE. f este continu pe o mulime ( interval) estecontinun fiecare punct a mulimii ( intervalului).
Funciile elementare sunt continue pe domeniile lor dedefiniie.Exemple de funcii elementare: funcia constant c, funcia
identicx, funcia polinomialf(x) = a0xn+ a1x
n-1+ .......an, funcia
raionalf(x)/g(x), funcia radical n xf )( , funcia logaritmic logf(x), funcia putere xa, funcia exponenial ax, funciiletrigonometricesin x, cos x, tg x, ctg x.
PRELUNGIREA PRIN CONTINUITATE A UNEI FUNCIINTR-UN PUNCT DE ACUMULARE
DEFINIIE. Fief : D R R. Dacf are limital R n punctul de acumularex0D
f: D { x0} R, f(x) =
=
0,
),(
xxl
Dxxf
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
64/120
64
este o funcie continu n x0 i se numete prelungirea princontinuitate a luif nx0.
OPERAII CU FUNCII CONTINUE
T1. Dacf,g:DR sunt continue nx0( respectiv pe D) atuncif+g, f, fg,f/g, fg, f
sunt continue nx0 ( respectiv pe D); R, g 0.
T2. Dacf:DR e continu n x0D ( respectiv pe D) )(xf e
continun x0( respectiv pe D).Reciproca nu e valabil.
T3. Fie f:DR continu n n x0A i g:B A continu n x0B,atuncigf e continunx0A.
lim f( g (x) = f( lim g(x))
xx0 xx0
Orice funcie continucomutcu limita.
PROPRIETILE FUNCIILOR CONTINUE PE UN INTERVAL
LEM. Dacf este o funcie continupe un interval [ a,b] i dacarevalori de semne contrare la extremitile intervalului( f(a) ( f(b)
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
65/120
65
STABILIREA SEMNULUI UNEI FUNCII
PROP. O funcie continu pe un interval, care nu se anuleaz peacest interval pstreazsemn constant pe el.DEFINIIE. Fief : I R R( I = interval) f are proprietatea lui
Darboux.a,b I cu a
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
66/120
66
17. DERIVATE
FUNCIA DERIVATA
C 0x 1
xn nxn-1
xa axa-1
ax ax lna
ex ex
1 -2
1
x
nx
1
- 1+nxn
x
x2
1
n x n nxn 1
1
sin x cosx
cos x -sinxtg x
x2cos
1
ctg x -x2sin
1
arcsin x21
1
x
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
67/120
67
arccos x -21
1
x
arctg x21
1
x+
arcctg x -21
1+
lnxx
1
log a xax ln
1
(u
v
)
=
v. u
v-1
.u
+ u
v
.v
.lnu
f(x)=dcx
bax
++
f(x)= 2)( dcx
dc
ba
+
REGULI DE DERIVARE
(f.g)=fg+fg
( )'f = 'f '
gf = 2
''
gfggf
( ) ( ))(
1)(
0'0
'1
xfxff =
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
68/120
68
18. STUDIUL FUNCIILORCU AJUTORUL DERIVATELOR
Proprieti generale ale funciilor derivabile .
1.Punctele de extrem ale unei funcii.Fie un interval i f: R.
Definiie. Se numete punct de maxim (respectiv de minim)(local) alfunciei f , un punct a pentru care existo vecintate V a lui a astfel nct ( ) ( ) ( )( ) ( ) afxfrespectivafxf . x V.
Un punct de maxim sau de minim se numete punct de extrem.a se numete punct de maxim(respectiv de minim) global dac( ) ( ) ( ) ( )( )afxfrespafxf . . x .
Obs.1.O funcie poate avea ntr-un interval mai multe puncte deextrem.(vezi desenul).
Obs.2.O funcie poate avea ntr-un punct a un maxim (local), fra
avea n a cea mai mare valoare din interval.(vezi desenul( ) ( )cfaf < ).
-puncte de maxim
-puncte de minim
( )( ) ( )( )cfcafa ,,,
( )( ) ( )( )dfdbfb ,,,
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
69/120
69
TEOREMA LUI FERMAT
Dac f este o funcie derivabilpe un interval si0
0 Ix un punct
de extrem,atunci ( ) 00' =xf .
Interpretare geometric: Deoarece ( ) = 00
' xf tangenta la grafic n punctul ( )( )00 , xfx este paralelcu OX.Obs.1. Teorema este adevrati dacfuncia este derivabilnumain punctele de extrem.Obs.2. Condiia ca punctul de extrem 0x sfie interior intervalului
este esenial.
(dacar fi o extremitate a intervalului I atunci s-ar putea ca( ) 00
' xf ). Ex. ( ) .xxf = Obs.3. Reciproca T. lui FERMAT nu este adevrat.(se pot gsifuncii astfel nct ( ) 00
' =xf dar 0x snu fie punct de extrem).
Soluiile ecuaiei ( ) 0' =xf se numesc puncte critice . Punctele deextrem se gsesc printre acestea. Teorema lui Fermat dcondiii suficiente (dar nu si necesare)
pentru ca derivata ntr-un punct sfie nul.O altteoremcare dcondiii suficiente pentru ca derivata sseanuleze este :
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
70/120
70
TEOREMA LUI ROLLE.
Fie :f I R, ba, I, .ba< Dac:1.f este continupe [ ];,ba
2.f este derivabilpe ( )ba, ; 3. ( ) ( ),bfaf = atunci cel puin un punct ( )bac , a. ( ) .0' =cf
INTEPRETAREA GEOMETRICA
Dacfuncia f are valori egale la extremitile unui interval
[ ],,ba atunci existcel puin un punct n care tangenta este paralel
cu axa ox .
Consecina 1. ntre dourdcini ale unei funcii derivabile se aflcel puin o rdcina derivatei.Consecina 2. ntre dourdcini consecutive ale derivatei se aflcel mult o rdcina funciei.
TEOREMA LUI LAGRANGE (sau a creterilor finite)
Fie :f I R,I (interval, ba, I, .ba< Dac:1.f este continupe
[ ]ba,
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
71/120
71
2.f este derivabilpe ( ),,ba atunci existcel puin un punct( )bac , a. savem
( ) ( )( ).' cf
ab
afbf=
INTERPRETAREA GEOMETRIC
Dacgraficul funciei f admite tangentn fiecare punct(cu excepiaeventual,a extremitilor) existcel puin un punct de pe grafic(carenu coincide cu extremitile), n care tangenta este paralelcu coardacare unete extremitile.
( ) ( )ab
afbftg
= tangenta la grafic n M are coeficientul.
unghiular ( )cf ' dar
( ) ( ) ( )
ab
afbfcf
='
Obs.1. Daca ( ) ( ) = bfaf Teorema lui Rolle.
Consecina 1. Daco funcie are derivata nula pe un interval,atunciea este constanta pe acest interval. Daco funcie are derivata nula pe o reuniune disjuncta deintervale proprietate nu mai rmne adevratn general.
Expl. ( ) ( )3,21,0: f ( ) ( )( )
=
3,2,21,0,1
x
xxf
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
72/120
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
73/120
73
Dacfuncia este definitpe R se studiazlimita funciei la iar daceste definitpe un interval se studiazlimita la
capetele intervalului.4.Studiul primei derivate :a. Calculul lui f.b. Rezolvarea ecuaiei f(x)=0.Rdcinile acestei ecuaii vor fieventuale puncte de maxim sau de minim ale functiei ;c. Stabilirea intervalelor pe care semnul lui f este constant.Acestea reprezinta intervalele de monotonie pentru f.5.Studiul derivatei a doua :a.Se calculeazfb.Se rezolva ecuatia f(x)=0. Rdcinile acestei ecuaii vor fi
eventuale puncte de inflexiune ale graficuluic.Determinarea intervalelor pe care semnul lui f este constant.Astfel,pe intervalele pe care f>0 functia este convexi pecele pe care f
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
74/120
74
19. PRIMITIVE
Primitive. Proprieti.Fie I un interval din R.Definiia 1.Fie f: I R. Se spune cf admite primitive pe Idac F : I R astfel nct
a) F este derivabilpe I;b) F(x) =f(x), x I.
F se numete primitiva lui f. ( I poate fi i o reuniune finitdisjunctdeintervale).
Teorema 1.1 Fie f : I R. Dac RI:,21
sunt
douprimitive ale funciei f, atunci existo constantc Rastfel nct += ,)()(
21 cxx xI.
Demonstraie : Dac21
, sunt primitive atunci21
, sunt
derivabile )()(')( 2'
1 xfxxF == x I 0)(')()()(
2
'
1
'
21 == xxx FFF , x I.
cxx = )()(21
, c= constant
OBS 1. Fiind dato primitivF 0 a unei funcii, atunci orice primitivF a
lui f are forma F = 0F + c , c= constant
f admite o infinitate de primitive.OBS 2. Teorema nu mai rmne adevratdacI este o reuniune disjunctde intervale Expl: f: R- }{0 , f(x) = x
F =3
3x, G=
+
+
23
13
3
3
x
x
F, G sunt primitive ale lui f dar F-G nu e constant. Contradicie cu T 1.1OBS 3. Orice funcie care admite primitive are Proprietatea lui Darboux.Se tie cderivata oricrei funcii are Proprietatea lui Darboux , rezultc fare Proprietatea lui Darboux. F =f.
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
75/120
75
OBS 4. Dac I este interval i f(I) { }Ixxfdef /)( nu este interval
atunci f nu admite primitive.Dacpresupunem cf admite primitive atunci din OBS 3 rezultcf are Plui Darboux, rezultf(I) este interval ceea ce este o contradicie.OBS 5. Orice funcie continudefinitpe un interval admite primitive.
Definiia 2. Fie f: I R o funcie care admite primitive.Mulimea tuturor primitivelor lui f se numete integrala
nedefinita funciei f i se noteazprin simbolul )(xf dx.Operaia de calculare a primitivelor unei funcii(care admiteprimitive ) se numete integrare.
Simbolul a fost propus pentru prima dat de Leibniz, n1675.Fie F(I)= { }RIf : Pe aceastmulime se introduc operaiile:
(f+g)(x) =f(x)+ g(x) ,(f)(x)=.f(x) Rx ,constant
C= { }RfRIf /:
)(xf dx = fluiaprimitivFIFF /)( .
F
P.D P C
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
76/120
76
Teorema 1.2 Dac f,g:I R sunt funcii care admitprimitive i R, 0, atunci funciile f+g, f admitde asemenea primitive i au loc relaiile:
(f+g) =f +g, f=f, 0, f =f +C
Formula de integrare prin pri.
Teorema 1.1 Dac f,g:RR sunt funcii derivabile cuderivatele continue, atunci funciile fg, fg, fg admit
primitive i are loc relaia: f(x)g(x)dx =f(x)g(x)- f(x)g(x)dx
Formula schimbrii de variabil(sau metoda substituiei).Teorem: Fie I,J intervale din R i
:,:,: ileproprietatcufunctiiRJfJI
1)este derivabilpe I;2) f admite primitive. (Fie F o primitiva sa.)Atunci funcia (f o) admite primitive, iar funcia F o este oprimitiva lui (f o) adic:
( )( ) ( ) CFodtttf += '
5. Integrarea funciilor trigonometrice
Calculul integralelor trigonometrice se poate face fie folosindformula integrrii prin pri, fie metodasubstituiei. n acest cazse pot face substituiile:1. Dacfuncia este imparn sin x,R(-sin x,cos x)=-R(sin x,cos x) atunci cos x=t.2. Dacfuncia este imparn cos x,R(sin x,-cos x)=-R(sin x,cos x) atunci sin x=t.
3. Dacfuncia este par n raport cu ambele variabile R(-sin x,-cosx) atunci tg x=t.
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
77/120
77
4. Dac o funcie nu se ncadreaz n cazurile 1,2,3,atunci seutilizeazsubstituiile universale:
21
1cos,
1
2sin
2
2
2
xtgtunde
t
tx
t
tx =
+
=+
=
5. Se mai pot folosi i alte formule trigonometrice:sin 2x=2sin x .cos x,
2
2cos1cos
2
2cos1sin 22
xx
xx
+=
=
Integrarea funciilor raionale
Definiie: O funcie f:IR , I interval, se numete raionaldac
R(x)= ,,0)(,)()(
Ixxgxg
xf unde f,g sunt funcii polinomiale.
Dacgrad f grad g, atunci se efectueazmprirea lui f la g f=gq+r, 0 grad r
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
78/120
78
5. += Cedxe xx
6. Cxdxx += ln1
7. += Cctgxdxx2sin1
8. += Ctgxdxx
2
cos
1
9. += Cxxdx cossin
10. += Cxxdx sincos
11. Ca
xarctg
adx
ax +=+ 11 22
12. ++
=
Cax
ax
adx
axln
2
1122
13. Cxaxdxax
+++=+
)ln(1 22
22
14. ++=
Caxxdxax
22
22ln
1
15. +=
Ca
xdx
xaarcsin
122
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
79/120
79
16. Cxtgxdx += cosln
17. Cxctgxdx += sinln
18. Caxdxax
x++=
+ 2222
19. Caxdxax
x+=
2222
20. Cxadxxa
x
+=22
22
21. Caxxa
axx
dxax +++++=+ 222
2222 ln22
22. Caxxa
axx
dxax ++=
222
2222 ln
22
23. ++= Caxa
xax
dxxa arcsin22
22222
24. Cbaxa
dxbax
++=+ ln
11
25. Cabaxn
dxbax nn
++
=+
1
))(1(
1
)(
11
26.( )
( ) dxaxxadxaxa
Cax
xax
adx
ax
+
+
=++
+=
+'
222222
222
222
2222
2
1111
1
)(
1
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
80/120
80
27.
++
+=
++0,
])2()2[(
1
0,
])2
()2
[(
1
1
22
22
2
dx
aabxa
dx
aa
bxa
dxcbxax
28. Ccbxaxdxcbxax
bax+++=
+++
22 ln2
29.
+++++
=++
++=
+++
dxcbxax
ncbxaxm
dxcbxax
nbaxmdx
cbxax
BAx
22
22
1ln
)2(
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
81/120
81
Bibliografie:- Arno Kahane. Complemente de matematic, Editura
Tehnic, Bucureti, 1958.- C. Nstsescu,C. Ni, Gh. Rizescui:Matematic-
Manual pentru clasa a IX-a, E.D.P., Bucureti, 1982.- C. Nstsescu, C Ni, I. Stnescu: Matematic-Manual
pentru clasa a X-a-Algebr, E.D.P., Bucureti,1984.- E. Beju, I. Beju:Compendiu de matematic, edituratiinifici Enciclopedic, Bucureti, 1996.
- E. Rogai,Tabele i formule matematice,Edituratehnic,1983.
- Micenciclopedie matematic, Editura tehnic,Bucureti,1980.
- Luminia Curtui, Memorator de Matematic-Algebra,pentru clasele 9-12, Editura Booklet,2006.
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
82/120
82
Probleme propuse i rezolvate
1.Sse determine numerele ntregi a i b astfel nct;321464 ba +=+
Rezolvare:Ridicm la puterea a doua expresia dat:
;36221464 22 baba ++=+ Din egalarea termenilor asemenea ntre ei rezult: ab=2 i2a2+3b2=14 rezult: a=1 i b=2.
2.Daca
a1 =7, sse calculeze a4+
4
1a
.
Rezolvare:
Ridicm la puterea a doua relaia dat: (a
a1
)2=49,
a2+2
1
a
=51 procednd analog se obine
25991
2511
4
42
4
4 =+=+a
aa
a .
3.Aflai X din X.3 2008= (3 2008 1) : (1+
20072 3
1.......
3
1
3
1+++ )
Rezolvare:
, dupformula2008
2008
2007 3
13
2
3
3
1........
3
1
3
11
=++++
1
1.........1
1
=+++++
X
XXXX
nn
3213332]13[3 2008
2008
20082008 == XX
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
83/120
83
2272
311
2
3117411 ==
+= a
166346223
)23)(322(
23
322+=+=
+
=
( )( )( )
1
3
334
3
334
3
343
3
123631015
129
323325
323
325
11323
11323
113
1131,1313
=
=
=
+=
=
+=
++
=
=+++++
=+++
=+=+= bab
a
4. Sse calculeze:a
a
3
32unde 74117 =a
Rezolvare:
5. tiind c 13 =b
asse calculeze partea ntreaga
numrului
ba
ba
+
Rezolvare:
6.Se dnumarul x = 526526 + Sse arate ca x = 4Sse calculeze (X+2)2007
Rezolvare:a)
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
84/120
84
( ) ( )4251515151
5151
==+=+
=+
x
10
1
660
66
93223
66
92232007
662007 ==
=
=
bb
bba
x =
b. x = ( )2022 +=+ xx 2007 = 0
7. Dac 2007=b
a, sse calculeze
ba
b
9223
66
.
Rezolvare:
8.Sse calculeze suma
S = 200732 2..........222 ++++ .
Rezolvare: S=
Am adugat i am sczut 1.
( )
( )( )( ) ( ) .112]12[
1122.............221
112.............222
2............2212
2............22
2............222
1004
10032
100332
10032
200642
200753
+=
=+++++=
=++++++
+++++=
=
++++
+++++=
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
85/120
85
9.Calculai: ( ) 50685168 3:232347324 ++++=E Rezolvare:
( ) ( ) ( ).6333:33
3:2323213032
322
17
2
17347
13
2
24
2
24324
5051
50685168173174
=+=+=
+++++=
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
86/120
86
12 . Se decuaia:
x + 18x + 1 = 0. Se cere s se calculeze3
23
1 xx + , undex1, x2sunt soluiile ecuaiei .
Rezolvare :
Fie A = 3 23 1 xx + . Se ridicla puterea a treia
A = x1+ x2+ 3 3 21xx A
Cum x1+ x2= - 18 x1+x2=1 (Relaiile lui Viete)A- 3A + 18= 0 ; Soluia reala acestei ecuaii este A = -3 ;restul nu sunt realeA+ 3A-3A-9A+6A+18=0A(A+3) 3A (A+3)+6(A+3)=o(A+3)(A-3A+6)=0A=-3
13. Doua drepte perpendiculare ntre ele n punctul M(3;4)intersecteazaxa OY n punctual A si OX n punctual B.
a)
sse scrie ecuaia dreptei ABb) sse arate ca diagonalele patrulaterului AOBM sunt
perpendiculare ,unde 0 este originea sistemului.
Rezolvare :
Scriem ecuaiile dreptelor AM si MB( ) ( )34:1 = xmyAM cum AM B
( ) ( )31
4:2 = xm
yMB
Aflam coordonatele lui A:- din (1) cnd myx 340 == Aflam coordonatele lui B:
- din (2) cnd 340 +== mxy
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
87/120
87
Fie P(x,y) mijlocul lui AB
( )drepteiABecyx
xyx
y
xx
my
MX
.02586
961684
32342
4
32
2
34,
2
34
=+
+=
=
=
=
+=
panta dreptei AB este .4
3=m
Panta dreptei OM este evident
3
4
03
04=
1= omAB mm .ABOM
A
M(3,4)
O B
14. Se dau punctele A (2,6), B(-4,3), C(6,-2). Se cere:a) perimetrul triunghiului ABC i natura sa ;b) coordonatele centrului de greutate;c) ecuaia dreptei BC;d) ecuaia medianei AM i lungimea sa;e) ecuaia nlimii din A pe BC i lungimea sa ;f) ecuaia dreptei care trece prin A i face un unghi de 300cu axa OX;
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
88/120
88
g) ecuaia dreptei care trece prin A i este paralelcu BC;h) ecuaia bisectoarei din A i lungimea eii) aria triunghiului ABC.
Rezolvare:a) Aplicnd formula distanei pentru cele trei laturi ale
triunghiului ( ) ( )2122
12 yyxxAB += obinem:
AB = 53 , BC = 55 ,AC = 54 512=P ;Se verificcu reciproca teoremei lui Pitagora c triunghiul estedreptunghic cu unghiul de 900n vrful A.b) Coordonatele centrului de greutate sunt date de formula:
++++
3,
3321321 yyyxxxG
37,
34G ;
c) Ecuaia dreptei BC se scrie folosind formula:
12
1
12
1
xx
xx
yy
yy
=
10
4
5
3 +=
xy 5x+10y-10=0 x+2y-2=0
(forma generala dreptei )sau 12
1+= xy (forma normal);
d) Coordonatele mijlocului segmentului BC sunt : M )2
1,1(
ecuaia medianei este:
621
6
21
2
=
yx 11x-2y-10 =0; Pentru calculul lungimii
medianei AM se poate folosi faptul c ntr-un triunghidreptunghic mediana corespunztoare ipotenuzei este jumtatedin ipotenuz:
AM =2
55
2 =
BC, altfel se poate aplica formula distanei.
e) Fie AD nlimea din A AD i BC sunt perpendiculareceea ce nseamn c produsul pantelor este egal cu -1. Cum
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
89/120
89
panta dreptei BC este2
1 panta lui AD este 2. Rmne s
scriem ecuaia dreptei care trece prin A i are panta 2 :y-6=2(x-2) 2x-y+2=0 este ecuaia nlimii din A;
Pentru calculul nlimii (ntr-un triunghi dreptunghic) esteconvenabil saplicm formula:
AD =5
512
55
5453=
=
BC
ACAB;
Altfel, trebuia rezolvat sistemul format din ecuaiile dreptelorBC i AD pentru a determina coordonatele lui D.
f) y-6= 3
3
(x-2); Am aplicat formula y-y0=m(x-x0) ncondiiile n care panta este tg300
g) y-6=2
1 (x-2) unde
2
1 este panta dreptei BC .
h) Fie AE bisectoarea unghiului A.
Din teorema bisectoarei k=AC
AB
EC
BE= k=
4
3.Folosindu-ne
de raportul n care un punct mparte un segment rezult
coordonatele lui E
7
6,
7
2. Atunci ecuaia bisectoarei este:
=
67
66
27
22 yx
21x-7y=0. Pentru a calcula lungimea
bisectoarei ne putem folosi i de formula
ACAB
AACAB
AE+
= 2
cos2 care este utilizat de obicei cnd se
cunoate msura unghiului a crei bisectoare se calculeaz.
AE =7
1012.
i) Aria triunghiului dreptunghic ABC este datde formula A =30
2 =
ACAB.
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
90/120
90
Se va insista pe faptul c dac triunghiul nu ar fi fostdreptunghic ar fi trebuit s se calculeze distana de la A ladreapta BC adic tocmai lungimea nlimii iar aceasta s-arputea face mai simplu folosind formula :
Distana de la un punct M0(x0,y0) la o dreapt h de ecuaie(h): ax+by+c=0 este datde:
22
000 ),(
ba
cbyaxhMd
+
++= .
15. Sa se rezolve ecuaia:
12005200542005620052006 43
42 +
++=
xxx
xx
Rezolvare : Ecuaia dateste echivalentcu :
4
4 120052006
+=
x
x
Ridicm la puterea
1200520061200520064
14444 =+=xxxx
( )x
Din monotonia funciei ( ) ( ) xx aaxf += 1 care e strict
cresctoare ecuaia ( )x are soluie unic 4=x
16 . Sse rezolve ecuaia:2x x
x x 3 3
2007 2006 = 3(2006 + 2006 ) + 1
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
91/120
91
Rezolvare:
Ecuaia dateste echivalentcu:
x
x 3 32007 = (2006 + 1) . Ridicm la puterea 1/3 =>
x x3 3
2007 = 2006 +1 =>
x x
3 32007 2006 =1 (*)Din monotonia funciei f(x) = (1+ a)x axcare e strictcresctoare => ecuaia (*) are soluie unic: x = 3
17. Sse determine numrul de cifre din care este compusnumrul 72007.Rezolvare:
102< abc lg 10p-1lg N p-1 lg N
lg N = 2007 lg 7 1696 de cifre.
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
92/120
92
18. Sse arate cmatricea A =
d
b
c
a( )ZM2 e
inversabil, unde :20062005=a
11...111...111111
6...666 200632
++++=++++=
c
b
2006 ori de 120052006=d
Rezolvare :
A e inversabil 0detA ultima cifra numrului det A0e
( )
( )( )( ) 6
66
5
===
=
cu
bu
du
au
( ) .0det04606665det === AAu
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
93/120
93
Probleme - sinteze
I. NUMERE REALE. APLICAII.1. Sse calculeze:
a) 99504498 + .b) ).322()3625()3827( ++
( )[ ]{ }
.52
1:
20
1
5
1)
.6
662
23
2312
32
3212)
.2:223223438325)
.2233
12
23
2
32
3)
.16:)332()
.9:)535()
.10)5045()1820()
1
2
20585887
14203020
++
+++
+
+
i
h
g
f
e
d
c
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
94/120
94
( )
.222222222)
23:22
1
32
2
23
1)
.518412256561)
1
++++
+
+
l
k
j
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
.25
16)
.12246223)
.52332223)
.7273)
24
16
2
222
22
y
xp
o
n
m
++
+
+
( ) ( ) ( )( ).23232323)
.322
32
322
32)
.32
32
32
32)
.2492462611)
).32()26(32)
).75713(73)
22+++
+++
+
+
++
+++
+
+
v
u
t
s
r
q
2. Daca=2006.2007, artai c .2007++ aaa
3. Sse calculeze numrul 5,465,24222 == biapentruba
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
95/120
95
4. Comparai numerele:
( ) ( ) ( ) ( ).56142526526
.5643525335222
+++=
++++=
b
a
5. Dac .3499
3,1996
ba
bcalculati
b
a
+=
6. Artai cnumrul
( ) 241,13:232241,1 52513451 +++=a e ptrat perfect.7.Sse arate cexpresia
741117
54953
2
2
=
+=
+
=
b
acastiindQ
ba
baE
8. Sse aducla o formmai simpl expresia:
.0,16566)( 321684 +++= aaaaaaE
9. Care numr este mai mare:23
32 sau .
10*. Sse arate c: a)QRnb
QRna
++
135)75)
11.Sse arate c:
NnNb
NnQa
nnnn
nnnn
+
++
++++
,3492)
,6243)
2212
32123222
.
12. Stabilii valoarea de adevr a propoziiei: .3231.......321 Q+
13. Sse afle x tiind c .2.......2222129993210
++++++=x
14. Sse afle numerele ntregi x pentru care .5
42Z
x
x
+
15. Sse verifice egalitile:
3549549)
2725725)
33
33
=++
=+
b
a
16. Sse ordoneze cresctor numerele:63
6,3,2 .17. Sse raionalizeze numitorii fraciilor:
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
96/120
96
33 25
1)
a .
12
1)
3 +b ;
33 59
1)
+c ; d)
322
322
+
; e)3
32
1
.
18. Sse determine rdcina ptrata numrului a= 6222326 + 19. Sse determine cel mai mare numr natural n cu proprietatea:
23142
1....................
154
1
32
1
2
+++
++
+ nn.
20. Fie a,b,c numere raionale astfel nct ab+ac+bc=1. Sse demonstreze c:
( )( )( ) Qcba +++ 111 222 .21. Sse demonstreze c 532 ++ nu este un numr raional.
II. PROGRESII ARITMETICE1. Sse scrie primii patru termeni ai progresiei aritmetice ( )
nna dac:
a)1
a =-3 ; r=5 b)1
a =7 ;r=2 c)1
a = 1,3 ; r= 0,3
2. Sse gseascprimii doi termeni ai progresiei aritmetice ( )nn
a :
a) ,......27,21,15,, 21 aa b) ,........5,2,9,, 21 aa
3. Sse calculeze primii cinci termeni ai irului cu termenul general na
a) na =3n+1 ; b) na = 3 + (-1)n c) na = n 1
2 ++n
4. Fie ( )nn
a o progresie aritmetic. Dacse dau doi termeni ai progresiei
sse afle ceilali :
??,,125,5)
??,,36,2)
??,,20,40)
??,,13,7)
19792
119106
107208
15953
========
========
aaaad
aaaac
aaaab
aaaaa
5.Fie ( )nn
a o progresie aritmetic. Se dau :
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
97/120
97
5,0,2) 1 == raa se cere a12 b) 5,1,31 == ra se cere a19
c) 12,13110 == ra se cere 1a d) 3,0
200
== ra se cere1
a
6. Sse gseascprimul termen i raia unei progresii aritmetice dac:
2,)3,8)
28,16)
21,42)
92,0)
60,27)
125437321
3510
5142
31071
6020
275
+=++=++==
==+==+
====
aaaaaaaaf
SSSe
aaaad
aaaac
aab
aaa
7. irul ( )nn
x este dat prin formula termenului general.
a) x n =2n-5 ; b) x n =10-7n. Sse arate c ( )nnx e o progresie aritmetic.Sse afle primul termen i raia.
8. ia . Sse afle S 100 dac:5,7,5,5)
5,2)15,10)
1001
1
1001
======
aac
rab
aaa
9.Cunoscnd Sn sse gsesc:
a) primii cinci termeni ai progresiei aritmetice dacSn =5n 2 +3n ; Sn =3
n2
; Sn = nn
4
2
.
b) 1a = ?, r= ? dacSn = 2 n2 +3n ;
10. Este progresie aritmeticun ir pentru care :
a) Sn = n 2 -2n ; b) Sn= 7n-1 ; c) Sn = -4 n 2 +11.
11. ia , S10 = 100, S30 =900 . Sse calculeze S50.
12. Determin x R astfel nct urmtoarele numere s fie n progresiearitmetic.
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
98/120
98
a) x-3, 9, x+3 ; b) ( ) xx xx222 24,3,2 ++ c)
2,18,2 + xx
13. Sse rezolve ecuaiile :
a) 1+7+13+.+x =280 ;b) 1+3+5+..+x = 169 ;c) (x+1)+(x+4)+(x+7)+..+(x+28) = 155 ;d) (x+1)+(x+3)+(x+5)+ ..+(x+25) = 338 ;e) x+(x+5)+(x+10)++(x+100) = 2100.
14. Sse arate curmtoarele numere sunt n progresie aritmetic:a) (a+b) , a+b , (a-b) ;
b) )(,2,)( aba
b
ab
ba
bab
a
+
;
c) .0,1,)1(
1,
2
1,
1
2
+
+++
xxxx
ax
x
ax
x
a
15. S se arate c dac numereleabaccb +++
1,
1,
1 sunt n progresie
aritmeticatunci numerele222
,, cba sunt n progresie aritmetic.
16. Fie ( )nn
a o progresie aritmetic.
Sse arate c: 2,11
.......11
113221
=
++
+
naa
n
aaaaaa nnn.
17. Fie ecuaia ax +bx+c =0 cu soluiile x1,x2. Dacnumerele a,b,c sunt nprogresie aritmeticatunci existrelaia : 2(x
1+x
2)+x
1.x
2+1 = 0
18. Sse demonstreze : a) cbaabccabbca ,,,, 222 b)
baaccbabccabbca
+++
1,
1,
12,2,2 222
c)
2222
3
2
3
2
3
2
3
2
,,,,,, dcbaabc
d
dabd
c
cacd
b
bbcd
a
a
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
99/120
99
III. PROGRESII GEOMETRICE
1. Sse scrie primii cinci termeni ai progresiei geometrice (b n ) n dac:
a) 2,61 == qb b) 5,0,241 == qb
c)2
1,102 == qb d) 3,5,02 == qb
e) 5,11 == qb
2. Sse gseascprimii doi termeni ai progresiei geometrice (b n ) n :
a) ,.......54,36,24,, 21 bb b) .....,......,..81.135,225,, 21 bb
3. Dacse cunosc doi termeni ai progresiei geometrice (b n ) n
a) 24,653
== bb , sse gseasc1097
,, bbb
b) 10,10 85 == bb ,. 3126 ,, bbb .
4. Sse scrie formula termenulei al n-lea al progresiei geomertice date prin :a) nn bbb 3,2 11 == + b) nn bbb 3,4 11 == +
c) nn bbb 2,9 11 == + d) nn bbb 51
,10 11 == +
5. Este progresie geometric un ir pentru care suma primilor n termenieste :
a) Sn = n -1 ; b) Sn = 12 n ; c) Sn = 13 +n
6. S se determine x a.. numerele urmtoare s fie n progresiegeometric:
a) a+x, b+x, c+x ; b) 32,,2 42 xx ; c) 22 6,,1 xx ;
7. S se gseasc primul termen b1 i raia q a progresiei geometrice(b n ) n dac:
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
100/120
100
a)
==8
4
13
12
bb
bb b)
==
48
12
24
23
bb
bb c)
==
9
25
8
6
b
b
8.Sse calculeze sumele :
a) 200832 2.........2221 +++++ b) 200832 2.........2221 +++
c)200832 2
1.......
2
1
2
1
2
1++++
d)200832 2
1.......
2
1
2
1
2
1+
e) 1+11+111+1111+1111111 (de n ori 1)
f) 3+33+333+..33333..3g) 7+77+777+..77777(de n ori 7)
h)200732 2100.....2423221 ++++
9. Sse rezolve ecuaiile :
a) 1,0.....1 200732 =++++ xxxxx b) 0,0)1(........)1()1(1 20072 =+++++++ xxxx
IV. LOGARITMI
1. Sse logaritmeze expresiile n baza a: a) E=a2 7 6ab .
b) E= 45
3
b
a.
c) E=2
3
ba
ba
2. Sse determine expresia E tiind c: lg E=2 lga-2
1lgb-3 lg3.
3. Sse arate clog26+log62>2.
4. Sse calculeze expresiile: a)
25
121log
11
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
101/120
101
b)49
4log
1
7
c) E=log225-log2
+
21
4log
3
202 .
d) ))216(log(loglog 635
e) ))243(log(loglog 352
f)
2log64
9log125log
22log
335
8 +
g)
3log2log
81log49
3
3
2
33log7
+
5. S se arate c expresia: E=3
333
3222
logloglog
logloglog
zyx
zyx
++++
este
independentde valorile strict mai mari ca 1 ale variabilelorx,z,y.
6. Sse calculeze expresiile: a) E=2log
192log
2log
24log
12
2
96
2 .
b) E= 121log7log1 43 23 + 7.Sse calculeze suma:
n
nn
nnn log...2log1log
1...
log....2log1log
1
log...2log1log
1
333222
+++++
++++
+++
8. Sse arate cdaca,b,c sunt n progresie geometricatunci are locegalitatea:
{ } 0,1,,log
1
log
1
log
2 * += + xRcbaxxx cab
9. Sse arate cdac x, y, z sunt n progresie geometricatuncizyx cba log,log,log sunt n progresie aritmetic.
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
102/120
102
PRIMITIVE
1. Sse calculeze primitivele urmtoarelor funcii.
1. (3x dxxx )232 35 + 2. x(x-1)(x-2)dx
3. dxxxx )1)(1( ++ 4. dxxx
x )1(3
3 +
5. dxxxx + 53 42 6. dxxxx
+
23535
7. x dxx 3)1( 8. dxxx
x
+
2
352
9. ( e dxex
x )1+ 10. (x dxx )55 +
11. dxx
x2
45
+ 12.
( )
+d
x
x3
32
13. dxx 42 + 14. dxx 92
15. dxx2
4 16. dxxx 1
12 +
17. dxx
x
+
+
2
32
2
18. dxx
x
3
22
2
19. dxxx 22 cos.sin
1 20. dx
xx cos.sin1
21. dxx
x
+
1
1
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
103/120
103
2..Sse calculeze primitivele urmtoarelor funcii compuse.
1. dxx525 2. dxx43 3. xdx4sin4 4. xdx3cos3 5. + dxx 35
1 6. dx
x + 9412
7. dxx 164
12
8. dxx 2925
1 9. dxx 3cos
12
10. dxx5sin12
11. xdxtg4 12. xdxctg22
13. dxx
+ 22 416
1 14. dx
x
2169
1
3. S se calculeze primitivele urmtoare utiliznd metodaintegrrii prin pri:
1. xdxln 2. xdxx ln 3. xdxx ln2 4. xdxx ln
1 5. xdxx ln
12
6. dxxx)ln(ln
7. xdx2
ln 8. + dxx )2
1ln( 9. dxx
x
2
3ln
10. dx
x
x2
2ln 11. dxx)cos(ln 12. dxx)sin(ln
13. + xdxxx ln)32( 2 14. dxxx )1ln(15. dxx
x
x)11ln(
1
2
2++
+ 16. dxx
xx +
1
1ln
17. ( ) dxex x+ 12 18. dxex x
19. ( ) dxexx x32 2 + 20. dxex x 2 21. dxex x22 22. dxexx x223 )25( +
23. dxex x 2 24. +
dxe
x
xx
2
223
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
104/120
104
25. xdxex sin 26. xdxex cos27. xdxex 2sin 28. xdxex 2cos29. xdxx sin 30. xdxx cos 31. xdxx sin
2 32. xdxx cos2
33. xdxx 2sin2 34. xdxx 2cos2 35. xdxx 2sin 36. xdxx 2cos 37. dxx
x2cos
38. dxxx
2sin
39. dx
xxx
21arcsin 40. dxx2arcsin
41. xdxe x 2sin 42. dxx)(lncos2 43. dxxx 92 44. + dxxx 162 45. dxxx 24 46. xdxx ln
47. + dxexx
x522
3. Sse calculeze integralele prin metoda substituiei
1. ( ) + dxbax n 2. ( ) dxx 912 3. ( ) dxxx 912 4. ( ) dxxx
72 35
5. ( ) + dxxx632 1 6. ( ) +
+ dxxx nkk 11
7. dxx x 2
7 8. dxe
ex
x
+1
9. dxe
ex
x
+12 10. dxe x
11. dxxe x
12. dxe
ex
x
12
-
7/25/2019 Matematica Liceu (sinteza)
105/120
105
13. dxe
ex
x
123
14. dxxx 1
15. + dxx 52 16. + dxxx 21
17. dxxx43 1 18. dxxx +
5 32 2
19.