![Page 1: Mata kuliah Kalkulus LIMIT IN ACTIONelearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/555223-ST124-5/... · Jalur yang hilang, (mungkin) akan ketemu jika disusuri dari sisi yang berbeda](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052517/5c82bc2e09d3f295198c704d/html5/thumbnails/1.jpg)
Mata kuliah Kalkulus
LIMIT IN ACTIONArif Akbarul Huda, S.Si, M.Eng
![Page 2: Mata kuliah Kalkulus LIMIT IN ACTIONelearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/555223-ST124-5/... · Jalur yang hilang, (mungkin) akan ketemu jika disusuri dari sisi yang berbeda](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052517/5c82bc2e09d3f295198c704d/html5/thumbnails/2.jpg)
Warming up...
![Page 3: Mata kuliah Kalkulus LIMIT IN ACTIONelearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/555223-ST124-5/... · Jalur yang hilang, (mungkin) akan ketemu jika disusuri dari sisi yang berbeda](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052517/5c82bc2e09d3f295198c704d/html5/thumbnails/3.jpg)
Predict the ball
Acckck!!? dimana posisi bola pada menit ke 4:00 ?
![Page 4: Mata kuliah Kalkulus LIMIT IN ACTIONelearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/555223-ST124-5/... · Jalur yang hilang, (mungkin) akan ketemu jika disusuri dari sisi yang berbeda](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052517/5c82bc2e09d3f295198c704d/html5/thumbnails/4.jpg)
The path is magically "not there"...
Jalur yang hilang, (mungkin) akan ketemu jika disusuri dari sisi yang berbeda
![Page 5: Mata kuliah Kalkulus LIMIT IN ACTIONelearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/555223-ST124-5/... · Jalur yang hilang, (mungkin) akan ketemu jika disusuri dari sisi yang berbeda](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052517/5c82bc2e09d3f295198c704d/html5/thumbnails/5.jpg)
Keyword :
Lakukan ujicoba dari dua sisi yang berlainan
Goal
![Page 6: Mata kuliah Kalkulus LIMIT IN ACTIONelearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/555223-ST124-5/... · Jalur yang hilang, (mungkin) akan ketemu jika disusuri dari sisi yang berbeda](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052517/5c82bc2e09d3f295198c704d/html5/thumbnails/6.jpg)
Math “hole”...
x2−1x−1
12−11−1
=1−11−1
=00
. Anggap x =1, maka :
indeterminate
Diberikan sebuah persamaan
Subtitusi angka 1 ke dalam x :
![Page 7: Mata kuliah Kalkulus LIMIT IN ACTIONelearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/555223-ST124-5/... · Jalur yang hilang, (mungkin) akan ketemu jika disusuri dari sisi yang berbeda](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052517/5c82bc2e09d3f295198c704d/html5/thumbnails/7.jpg)
Alternatif Pendekatanx (X2-1)/(x-1)
0.5 1.50000
0.9 1.90000
0.99 1.99000
0.999 1.99900
0.9999 1.99990
0.99999 1.99999
…. ...
x (X2-1)/(x-1)
1.5 2.50000
1.1 2.10000
1.01 2.01000
1.001 2.00100
1.0001 2.00010
1.00001 2.00001
…. ...
interesting situation :● Apabila nilai X=1, kita tidak menemukan jawabannya (indeterminate)● Tapi kita tahu bahwa hasilnya mendekati 2● Ingin dijawab 2, tapi… aargh ndak juga!
![Page 8: Mata kuliah Kalkulus LIMIT IN ACTIONelearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/555223-ST124-5/... · Jalur yang hilang, (mungkin) akan ketemu jika disusuri dari sisi yang berbeda](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052517/5c82bc2e09d3f295198c704d/html5/thumbnails/8.jpg)
Penulisan LIMIT
x2−1x−1
Mendekati 2Hasil dari
limx→1
x2−1x−1
=2
Atau secara atematis, di tulis
Jika nilai X semakin mendekati 1, maka hasil f(x) mendekati 2
![Page 9: Mata kuliah Kalkulus LIMIT IN ACTIONelearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/555223-ST124-5/... · Jalur yang hilang, (mungkin) akan ketemu jika disusuri dari sisi yang berbeda](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052517/5c82bc2e09d3f295198c704d/html5/thumbnails/9.jpg)
discontinue
Pada titik tertentu , limit tidak dapat didefinisikan
![Page 10: Mata kuliah Kalkulus LIMIT IN ACTIONelearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/555223-ST124-5/... · Jalur yang hilang, (mungkin) akan ketemu jika disusuri dari sisi yang berbeda](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052517/5c82bc2e09d3f295198c704d/html5/thumbnails/10.jpg)
One Sided Limit
Kita tidak dapat menentukan nilai limit pada titik a disebabkan karena 2 hal :
● 3,8 dari kiri● 1,3 dari kanan
Namun kita boleh menggunakan tanda "−" atau "+" untuk mendefinisikan nilai limit
● Sisi kiri limit (−) adalah 3,8● Sisi kanan limit (+) adalah 1,3
![Page 11: Mata kuliah Kalkulus LIMIT IN ACTIONelearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/555223-ST124-5/... · Jalur yang hilang, (mungkin) akan ketemu jika disusuri dari sisi yang berbeda](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052517/5c82bc2e09d3f295198c704d/html5/thumbnails/11.jpg)
Apakah Limit hanya digunakan untuk fungsi yang rumit?
limx→10
x2=5
We know perfectly well that 10/2 = 5, but limits can still be used (if we want!)
![Page 12: Mata kuliah Kalkulus LIMIT IN ACTIONelearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/555223-ST124-5/... · Jalur yang hilang, (mungkin) akan ketemu jika disusuri dari sisi yang berbeda](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052517/5c82bc2e09d3f295198c704d/html5/thumbnails/12.jpg)
Infinity
![Page 13: Mata kuliah Kalkulus LIMIT IN ACTIONelearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/555223-ST124-5/... · Jalur yang hilang, (mungkin) akan ketemu jika disusuri dari sisi yang berbeda](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052517/5c82bc2e09d3f295198c704d/html5/thumbnails/13.jpg)
infinity
1∞
Berapa nilai persamaan ini?
Catatan :● Alasan yang paling sederhana adalah, infinity
bukan bilangan melainkan “sesuatu”.● 1/∞ seperti halnya pembagian 1/tinggi atau
1/pandai● Mungkin ada yang menjawab 1/∞=0. Jika 1
dibagi-bagi hingga jumlahnya sangat banyak, apa yang terjadi dengan angka 1?
Undefined!
![Page 14: Mata kuliah Kalkulus LIMIT IN ACTIONelearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/555223-ST124-5/... · Jalur yang hilang, (mungkin) akan ketemu jika disusuri dari sisi yang berbeda](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052517/5c82bc2e09d3f295198c704d/html5/thumbnails/14.jpg)
Pendekatan lain...
x 1/x
1 1.00000
2 0.50000
4 0.25000
10 0.10000
100 0.01000
1.000 0.00100
10.000 0.00010
Semakin besar nilai x, maka nilai1/x semakin mendekati 0,Secara matematis ditulis :
limx→∞
1x=0
Kita bukan bicara mengenai 1/x jika nilai x=∞ , namun lebih tepatnya, semakin besar nilai x maka hasilnya semakin mendekati 0
![Page 15: Mata kuliah Kalkulus LIMIT IN ACTIONelearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/555223-ST124-5/... · Jalur yang hilang, (mungkin) akan ketemu jika disusuri dari sisi yang berbeda](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052517/5c82bc2e09d3f295198c704d/html5/thumbnails/15.jpg)
Limit to infinity (cont)
y=2 xProblem : Berapa nilai
x 2x
1 1
2 4
4 8
10 20
100 200
1.000 2.000
10.000 20.000
limx→∞
2 x=∞
![Page 16: Mata kuliah Kalkulus LIMIT IN ACTIONelearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/555223-ST124-5/... · Jalur yang hilang, (mungkin) akan ketemu jika disusuri dari sisi yang berbeda](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052517/5c82bc2e09d3f295198c704d/html5/thumbnails/16.jpg)
Sifat-sifat limit
![Page 17: Mata kuliah Kalkulus LIMIT IN ACTIONelearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/555223-ST124-5/... · Jalur yang hilang, (mungkin) akan ketemu jika disusuri dari sisi yang berbeda](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052517/5c82bc2e09d3f295198c704d/html5/thumbnails/17.jpg)
Contoh soal dan penyelesaian
![Page 18: Mata kuliah Kalkulus LIMIT IN ACTIONelearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/555223-ST124-5/... · Jalur yang hilang, (mungkin) akan ketemu jika disusuri dari sisi yang berbeda](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052517/5c82bc2e09d3f295198c704d/html5/thumbnails/18.jpg)
Contoh soal dan penyelesaian
![Page 19: Mata kuliah Kalkulus LIMIT IN ACTIONelearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/555223-ST124-5/... · Jalur yang hilang, (mungkin) akan ketemu jika disusuri dari sisi yang berbeda](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052517/5c82bc2e09d3f295198c704d/html5/thumbnails/19.jpg)
![Page 20: Mata kuliah Kalkulus LIMIT IN ACTIONelearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/555223-ST124-5/... · Jalur yang hilang, (mungkin) akan ketemu jika disusuri dari sisi yang berbeda](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052517/5c82bc2e09d3f295198c704d/html5/thumbnails/20.jpg)
Cara Penyelesaian Limit dengan Perhitungan
1. Subtitusi langsung
limx→−2
(2 x2−3 x+1)=2⋅4−3⋅(−2)+1=15
![Page 21: Mata kuliah Kalkulus LIMIT IN ACTIONelearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/555223-ST124-5/... · Jalur yang hilang, (mungkin) akan ketemu jika disusuri dari sisi yang berbeda](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052517/5c82bc2e09d3f295198c704d/html5/thumbnails/21.jpg)
Cara Penyelesaian Limit dengan Perhitungan
2. Pemfaktoran
Ingat:(a2 – b2) = (a – b)(a + b)(a3 + b3) = (a + b)(a2 – ab + b2)(a3 – b3) = (a – b)(a2 + ab + b2)
limx→2
x3−8x−2
=limx→2
(x−2)(x2+2 x+4)x−2
limx→2x2+2 x+4=4+4+4=2
![Page 22: Mata kuliah Kalkulus LIMIT IN ACTIONelearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/555223-ST124-5/... · Jalur yang hilang, (mungkin) akan ketemu jika disusuri dari sisi yang berbeda](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052517/5c82bc2e09d3f295198c704d/html5/thumbnails/22.jpg)
Cara Penyelesaian Limit dengan Perhitungan
3. Dikali sekawan (jika ada bentuk akar)
limx→2
3−√x+7x−2
=limx→2
3−√x+7x−2
⋅3+√x+73+√x+7
limx→2
9−x−7(x−2)⋅(3+√x+7)
lim1→2
−1(3+√x+7)
=−16
![Page 23: Mata kuliah Kalkulus LIMIT IN ACTIONelearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/555223-ST124-5/... · Jalur yang hilang, (mungkin) akan ketemu jika disusuri dari sisi yang berbeda](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052517/5c82bc2e09d3f295198c704d/html5/thumbnails/23.jpg)
Latihan soal
![Page 24: Mata kuliah Kalkulus LIMIT IN ACTIONelearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/555223-ST124-5/... · Jalur yang hilang, (mungkin) akan ketemu jika disusuri dari sisi yang berbeda](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052517/5c82bc2e09d3f295198c704d/html5/thumbnails/24.jpg)
Sifat-sifat derivative
![Page 25: Mata kuliah Kalkulus LIMIT IN ACTIONelearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/555223-ST124-5/... · Jalur yang hilang, (mungkin) akan ketemu jika disusuri dari sisi yang berbeda](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052517/5c82bc2e09d3f295198c704d/html5/thumbnails/25.jpg)
Latihan soal
![Page 26: Mata kuliah Kalkulus LIMIT IN ACTIONelearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/555223-ST124-5/... · Jalur yang hilang, (mungkin) akan ketemu jika disusuri dari sisi yang berbeda](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052517/5c82bc2e09d3f295198c704d/html5/thumbnails/26.jpg)
Derivative Rules
Power Rule
![Page 27: Mata kuliah Kalkulus LIMIT IN ACTIONelearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/555223-ST124-5/... · Jalur yang hilang, (mungkin) akan ketemu jika disusuri dari sisi yang berbeda](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052517/5c82bc2e09d3f295198c704d/html5/thumbnails/27.jpg)
Derivative Rules
Multiplication by constant
![Page 28: Mata kuliah Kalkulus LIMIT IN ACTIONelearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/555223-ST124-5/... · Jalur yang hilang, (mungkin) akan ketemu jika disusuri dari sisi yang berbeda](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052517/5c82bc2e09d3f295198c704d/html5/thumbnails/28.jpg)
Derivative RulesSum Rule
![Page 29: Mata kuliah Kalkulus LIMIT IN ACTIONelearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/555223-ST124-5/... · Jalur yang hilang, (mungkin) akan ketemu jika disusuri dari sisi yang berbeda](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052517/5c82bc2e09d3f295198c704d/html5/thumbnails/29.jpg)
Derivative RulesDifference Rule
![Page 30: Mata kuliah Kalkulus LIMIT IN ACTIONelearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/555223-ST124-5/... · Jalur yang hilang, (mungkin) akan ketemu jika disusuri dari sisi yang berbeda](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052517/5c82bc2e09d3f295198c704d/html5/thumbnails/30.jpg)
Derivative RulesSum, Difference, Constant Multiplication And Power Rules
![Page 31: Mata kuliah Kalkulus LIMIT IN ACTIONelearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/555223-ST124-5/... · Jalur yang hilang, (mungkin) akan ketemu jika disusuri dari sisi yang berbeda](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052517/5c82bc2e09d3f295198c704d/html5/thumbnails/31.jpg)
Derivative RulesProduct Rule
![Page 32: Mata kuliah Kalkulus LIMIT IN ACTIONelearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/555223-ST124-5/... · Jalur yang hilang, (mungkin) akan ketemu jika disusuri dari sisi yang berbeda](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052517/5c82bc2e09d3f295198c704d/html5/thumbnails/32.jpg)
Derivative RulesReciprocal Rule
![Page 33: Mata kuliah Kalkulus LIMIT IN ACTIONelearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/555223-ST124-5/... · Jalur yang hilang, (mungkin) akan ketemu jika disusuri dari sisi yang berbeda](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052517/5c82bc2e09d3f295198c704d/html5/thumbnails/33.jpg)
Derivative RulesChain Rule
![Page 34: Mata kuliah Kalkulus LIMIT IN ACTIONelearning.amikom.ac.id/index.php/download/materi/555223-ST124-5/... · Jalur yang hilang, (mungkin) akan ketemu jika disusuri dari sisi yang berbeda](https://reader034.vdocuments.site/reader034/viewer/2022052517/5c82bc2e09d3f295198c704d/html5/thumbnails/34.jpg)
Derivative Rules