Raimond Strauß : Mathematik fur WIN/WIW 1
J
• Inverse bezuglich der Multiplikation
Das Einheitselement bezuglich der Multipki-kation modulo m ist 1, denn ∀a ∈ Z gilt1 · a ≡ a · 1 ≡ a mod m.
Raimond Strauß : Mathematik fur WIN/WIW 1
J
• Inverse bezuglich der Multiplikation
Das Einheitselement bezuglich der Multipki-kation modulo m ist 1, denn ∀a ∈ Z gilt1 · a ≡ a · 1 ≡ a mod m.
Beispiel 1. ? Die multiplikative Inverse von 3modulo 5 ist 2, denn 2 · 3 ≡ 1 mod 5.
Raimond Strauß : Mathematik fur WIN/WIW 1
J
• Inverse bezuglich der Multiplikation
Das Einheitselement bezuglich der Multipki-kation modulo m ist 1, denn ∀a ∈ Z gilt1 · a ≡ a · 1 ≡ a mod m.
Beispiel 1. ? Die multiplikative Inverse von 3modulo 5 ist 2, denn 2 · 3 ≡ 1 mod 5. Weg:Tabelle auswerten.
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• Inverse bezuglich der Multiplikation
Das Einheitselement bezuglich der Multipki-kation modulo m ist 1, denn ∀a ∈ Z gilt1 · a ≡ a · 1 ≡ a mod m.
Beispiel 1. ? Die multiplikative Inverse von 3modulo 5 ist 2, denn 2 · 3 ≡ 1 mod 5. Weg:Tabelle auswerten.
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Raimond Strauß : Mathematik fur WIN/WIW 2
? Die multiplikative Inverse von 5 modulo 7 istx ∈ Z mit 5x ≡ 1 mod 7. Da die Unglei-chung fur 0 ≤ x < 7 erfullbar ist, findet manschnell durch probieren (oder Untersuchungder entsprechenden Tabelle x = 3). Das istdie einzige Losung in dem Bereich.
Raimond Strauß : Mathematik fur WIN/WIW 2
? Die multiplikative Inverse von 5 modulo 7 istx ∈ Z mit 5x ≡ 1 mod 7. Da die Unglei-chung fur 0 ≤ x < 7 erfullbar ist, findet manschnell durch probieren (oder Untersuchungder entsprechenden Tabelle x = 3). Das istdie einzige Losung in dem Bereich.
? Gesucht ist die multiplikative Inverse von 4modulo 8. Das ist ein x ∈ Z mit 4 · x ≡ 1mod 8. Das ist nicht erfullbar, denn 4x− 1ist ungerade und kann kein Vielfaches von 8
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Raimond Strauß : Mathematik fur WIN/WIW 3
sein.? Nullteiler 2 · 3 = 6 ≡ 0 mod 6
Frage 1: Frage: Wann gibt es multiplika-tive Inverse zu a modulo m?
? Was ist die multiplikative Inverse von 71 mo-dulo 113. Es ist ein x ∈ Z mit 71 · x ≡ 1mod 113. Man kann x einschranken auf0 ≤ x < 113, aber auch dann ist das Losender Gleichung durch Probieren schwierig.
Raimond Strauß : Mathematik fur WIN/WIW 3
sein.? Nullteiler 2 · 3 = 6 ≡ 0 mod 6
Frage 1: Frage: Wann gibt es multiplika-tive Inverse zu a modulo m?
? Was ist die multiplikative Inverse von 71 mo-dulo 113. Es ist ein x ∈ Z mit 71 · x ≡ 1mod 113. Man kann x einschranken auf0 ≤ x < 113, aber auch dann ist das Losender Gleichung durch Probieren schwierig.Frage 2: Wie berechnet man das multipli-
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Raimond Strauß : Mathematik fur WIN/WIW 4
kative Inverse, wenn es existiert?
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• Eulersche Formel und Radizieren
Verwendung der Eulerschen Formel (1707-1781) liefert bessere Einsicht und eine Losung:
zn = a = reiϕ → z = (reiϕ)1n = n
√reiϕn =
n√
r(cosϕ
n+ i sin
ϕ
n)
Das ist der Fall k = 0.
Raimond Strauß : Mathematik fur WIN/WIW 5
• Eulersche Formel und Radizieren
Verwendung der Eulerschen Formel (1707-1781) liefert bessere Einsicht und eine Losung:
zn = a = reiϕ → z = (reiϕ)1n = n
√reiϕn =
n√
r(cosϕ
n+ i sin
ϕ
n)
Das ist der Fall k = 0. Wenn man die Pe-riodizitat von sin und cos berucksichtigt, gilt
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auch
zn = a = rei(ϕ+2π) → z = (rei(ϕ+2π))1n = n
√reiϕ+2π
n =
n√
r(cosϕ + 2π
n+ i sin
ϕ + 2π
n)
Das entspricht dem Fall k = 1.
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auch
zn = a = rei(ϕ+2π) → z = (rei(ϕ+2π))1n = n
√reiϕ+2π
n =
n√
r(cosϕ + 2π
n+ i sin
ϕ + 2π
n)
Das entspricht dem Fall k = 1.
Beispiel 2. Man lose:
w3 = 1 = cos 0 + i sin 0.
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auch
zn = a = rei(ϕ+2π) → z = (rei(ϕ+2π))1n = n
√reiϕ+2π
n =
n√
r(cosϕ + 2π
n+ i sin
ϕ + 2π
n)
Das entspricht dem Fall k = 1.
Beispiel 2. Man lose:
w3 = 1 = cos 0 + i sin 0.
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Raimond Strauß : Mathematik fur WIN/WIW 7
Losung: w0 = cos 0 + i sin 0 = 1,
w1 = cos(0+ 23π)+ i sin(0+ 2
3π) = −12 + i1
2
√3,
Raimond Strauß : Mathematik fur WIN/WIW 7
Losung: w0 = cos 0 + i sin 0 = 1,
w1 = cos(0+ 23π)+ i sin(0+ 2
3π) = −12 + i1
2
√3,
w2 = cos 43π + i sin 4
3π = −12 − i1
2
√3.
Raimond Strauß : Mathematik fur WIN/WIW 7
Losung: w0 = cos 0 + i sin 0 = 1,
w1 = cos(0+ 23π)+ i sin(0+ 2
3π) = −12 + i1
2
√3,
w2 = cos 43π + i sin 4
3π = −12 − i1
2
√3.
Die Losungen w1, w2, w3 liegen auf dem Ein-heitskreis. (Skizze!)
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Raimond Strauß : Mathematik fur WIN/WIW 8
–1
–0.8
–0.6
–0.4
–0.20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
–1–0.8 –0.4 0.2 0.4 0.6 0.8 1x
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Raimond Strauß : Mathematik fur WIN/WIW 9
Beispiel 3. Sei z5 = i. Gesucht sind dieLosungen der Gleichung.
Raimond Strauß : Mathematik fur WIN/WIW 9
Beispiel 3. Sei z5 = i. Gesucht sind dieLosungen der Gleichung.
Es ist |i| = 1 und ϕ = π2.
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Beispiel 3. Sei z5 = i. Gesucht sind dieLosungen der Gleichung.
Es ist |i| = 1 und ϕ = π2.
Dann ist
zk = cos( π10 + k2π
5 ) + i sin( π10 + k2π
5 ),
k = 0, 1, 2, 3, 4
Raimond Strauß : Mathematik fur WIN/WIW 9
Beispiel 3. Sei z5 = i. Gesucht sind dieLosungen der Gleichung.
Es ist |i| = 1 und ϕ = π2.
Dann ist
zk = cos( π10 + k2π
5 ) + i sin( π10 + k2π
5 ),
k = 0, 1, 2, 3, 4
k = 0 :
z0 = cos( π10 + 02π
5 ) + i sin( π10),
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Raimond Strauß : Mathematik fur WIN/WIW 10
arg z0 = 18◦
k = 1 :
z1 = cos( π10 + 2π
5 ) + i sin( π10 + 2π
5 ) = i,
arg z1 = 90◦
Raimond Strauß : Mathematik fur WIN/WIW 10
arg z0 = 18◦
k = 1 :
z1 = cos( π10 + 2π
5 ) + i sin( π10 + 2π
5 ) = i,
arg z1 = 90◦
k = 2 :
z2 = cos( π10 + 22π
5 ) + i sin( π10 + 22π
5 ),
arg z2 = 162◦
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arg z0 = 18◦
k = 1 :
z1 = cos( π10 + 2π
5 ) + i sin( π10 + 2π
5 ) = i,
arg z1 = 90◦
k = 2 :
z2 = cos( π10 + 22π
5 ) + i sin( π10 + 22π
5 ),
arg z2 = 162◦
k = 3 :http://ftp.math.uni-rostock.de/ strauss/Wirtschaft/
Raimond Strauß : Mathematik fur WIN/WIW 11
z3 = cos( π10 + 32π
5 ) + i sin( π10 + 32π
5 ),
arg z3 = 234◦
Raimond Strauß : Mathematik fur WIN/WIW 11
z3 = cos( π10 + 32π
5 ) + i sin( π10 + 32π
5 ),
arg z3 = 234◦
k = 4 :
z4 = cos( π10 + 42π
5 ) + i sin( π10 + 42π
5 ),
arg z4 = 306◦
Raimond Strauß : Mathematik fur WIN/WIW 11
z3 = cos( π10 + 32π
5 ) + i sin( π10 + 32π
5 ),
arg z3 = 234◦
k = 4 :
z4 = cos( π10 + 42π
5 ) + i sin( π10 + 42π
5 ),
arg z4 = 306◦
Was ist bei k = 5?
k = 5 :
z5 = cos( π10 + 52π
5 ) + i sin( π10 + 52π
5 ) = z0
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z3 = cos( π10 + 32π
5 ) + i sin( π10 + 32π
5 ),
arg z3 = 234◦
k = 4 :
z4 = cos( π10 + 42π
5 ) + i sin( π10 + 42π
5 ),
arg z4 = 306◦
Was ist bei k = 5?
k = 5 :
z5 = cos( π10 + 52π
5 ) + i sin( π10 + 52π
5 ) = z0
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Raimond Strauß : Mathematik fur WIN/WIW 12
–1
–0.8
–0.6
–0.4
–0.20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
–1–0.8 –0.4 0.2 0.4 0.6 0.8 1x
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Raimond Strauß : Mathematik fur WIN/WIW 13
• Eine Anwendung fur die Diedergruppe D5
z z
z
z z
A
B
C D
E
Wenn man anstelledes Dreiecks das re-gelmaßige Funfeck be-trachtet, hat man beianalogem Vorgehen dieGruppe D5.
Sie soll nicht genau betrachtet werden. Es sollgleich eine Anwendung erlautert werden.
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Raimond Strauß : Mathematik fur WIN/WIW 14
· 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 2 3 4 0 6 7 8 9 5
2 2 3 4 0 1 7 8 9 5 6
3 3 4 0 1 2 8 9 5 6 7
4 4 0 1 2 3 9 5 6 7 8
5 5 9 8 7 6 0 4 3 2 1
6 6 5 9 8 7 1 0 4 3 2
7 7 6 5 9 8 2 1 0 4 3
8 8 7 6 5 9 3 2 1 0 4
9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
Operationstafel der
Gruppe D5.
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· 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 2 3 4 0 6 7 8 9 5
2 2 3 4 0 1 7 8 9 5 6
3 3 4 0 1 2 8 9 5 6 7
4 4 0 1 2 3 9 5 6 7 8
5 5 9 8 7 6 0 4 3 2 1
6 6 5 9 8 7 1 0 4 3 2
7 7 6 5 9 8 2 1 0 4 3
8 8 7 6 5 9 3 2 1 0 4
9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
Operationstafel der
Gruppe D5.
(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
t1 = (1, 5, 7, 6, 2, 8, 3, 0, 9, 4)
t2 = t21 (5, 8, 0, 3, 7, 9, 6, 1, 4, 2)
t3 = t31 = (8, 9, 1, 6, 0, 4, 3, 5, 2, 7)
t4 = t41 = 9, 4, 5, 3, 1, 2, 6, 8, 7, 0)
t5 = t51 = (4, 2, 8, 6, 5, 7, 3, 9, 0, 1)
t6 = t61 = (2, 7, 9, 3, 8, 0, 6, 4, 1, 5)
t7 = t71 = (7, 0, 4, 6, 9, 1, 3, 2, 5, 8)
t8 = t81 = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
t9 = t91 = t1 = (1, 5, 7, 6, 2, 8, 3, 0, 9, 4)
t10 = t101 = t21 = (5, 8, 0, 3, 7, 9, 6, 1, 4, 2)
Permutationen
von 10 Zah-
len.
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Raimond Strauß : Mathematik fur WIN/WIW 15
Zusammenhang zwischen D5 und Geld
Auf deutschen Geldscheinen (bis 2001) wareine Seriennummer zu finden.
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Raimond Strauß : Mathematik fur WIN/WIW 16
Um den Zusammenhang sichtbar zu machenbraucht man den Buchstabenschlussel:
Raimond Strauß : Mathematik fur WIN/WIW 16
Um den Zusammenhang sichtbar zu machenbraucht man den Buchstabenschlussel:
Buchstaben A D G K L N S U Y Z
stehen fur 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Raimond Strauß : Mathematik fur WIN/WIW 16
Um den Zusammenhang sichtbar zu machenbraucht man den Buchstabenschlussel:
Buchstaben A D G K L N S U Y Z
stehen fur 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Seriennr. D Z 8 4 1 6 8 5 0 G 2
dekod. Zahl 1 9 8 4 1 6 8 5 0 2 2
t1(1), t2(9), . . . , t10(2)2 5 2 2 1 2 6 5 5 1 0 2
Raimond Strauß : Mathematik fur WIN/WIW 16
Um den Zusammenhang sichtbar zu machenbraucht man den Buchstabenschlussel:
Buchstaben A D G K L N S U Y Z
stehen fur 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Seriennr. D Z 8 4 1 6 8 5 0 G 2
dekod. Zahl 1 9 8 4 1 6 8 5 0 2 2
t1(1), t2(9), . . . , t10(2)2 5 2 2 1 2 6 5 5 1 0 2
Diedermultiplikation liefert:
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