A Bell-egyenlőtlenségek valószínűségi geometriájáról
Koniorczyk Mátyás és Balló Gábor
Pécsi Tudományegyetem Természettudományi KarMatematikai és Informatikai IntézetAlkalmazott Matematika Tanszék
Fizikus Vándorgyűlés, Szeged, 2016.
QI @ PTE TTK MII Alkalmazott Matematika Tanszék:
Koniorczyk MátyásFrigyik Béla AndrásBalló Gábor →→ Bodor András
Összefonódás: Wigner (Kiss T.)→ Darmstadt (G. Alber)PTE TTK Fizikai Intézet (Ádám P.)
Vázlat
1 Motiváció2 Formalizmus3 A lokális politóp4 A no-signaling poitóp és a kvantumos halmaz5 A lokális politóp tulajdonságairól6 Konklúzió
BellKétrészű kvantumrendszer részrendszerein végzett mérésekeredményei közti korrelációk kombinációilokális realizmussal összeférhetetlen értéket vehetnek fel.
Jelentőség, problémák
ÖsszefonódásKvantum információ feldolgozás: erőforrásdetection loophole
KommunikációsDetektálási
A szituáció
Kétrészű kísérlet
Alice
Bob
x
y
Be Ki
A
B
x = 0 . . .Nx − 1, A = 0 . . .NA − 1
y = 0 . . .Ny − 1, B = 0 . . .NB − 1
Leírás
Kétrészű kísérlet
Alice
Bob
x
y
Be Ki
A
B
P(A,B|x , y)
Leírás
Alice
Bob
x
y
Be Ki
A
B
V.Ö.
Memóramentes csatorna
x
1/6
1/2
1/2
1/6
1/3
1/3
A
0
1
0
1
2
Leírás
P(A,B|x , y) ∈ RNANBNxNy
Hiperkocka:0 ≤ P(A,B|x , y) ≤ 1
Valójában kevesebb dimenzió:∑A
P(A,B|x , y) ≤ 1
∑B
P(A,B|x , y) ≤ 1
∑A,B
P(A,B|x , y) = 1
A dimenziócsökkentés hasznos technika, de nem izometria
Lokális politóp
Determinisztikus csatornaMinden bemenethez megadott kimenetet rendelPl. identikus csatorna, törlő csatorna
Minden csatorna determinisztikus csatornák konvexkombinációjaLokális realizmus:
A kétrészű csatornadeterminisztikus részcsatornák direkt szorzatánakkonvex kombinációja
NNxA NNy
B darab vektor → nem egyértelmű
Politópok, poliéderek
Politóp: Véges számú vektor konvex burka RN -benPoliéder:
P = {x ∈ RN |Ax ≤ b}Affin Weyl-Minkowski dualitás: P ⊂ RN akkor és csak akkor poliéder, haegy politóp és egy végesen generált kúp Minkowski-összege.
Következmény: P ⊂ RN akkor és csak akkor politóp, ha véges poliéder.
Külső reprezentáció: egyenlőtlenségekkel
Belső reprezentáció: konvex kombinációként
Váltás: nehéz
Lokális politóp, no-signaling politóp
no signaling
P(A|X ,Y ) = P(A|X )
P(B|X ,Y ) = P(B|Y )
vagyis
∀A,X∀Y1,Y2∑B
P(A,B|X ,Y1) =∑B
P(A,B|X ,Y2)
∀B,Y ∀X1,X2∑A
P(A,B|X1,Y ) =∑A
P(A,B|X2,Y )
No-signaling politóp: a korábban említett feltételek + nosignaling → külső reprezentácóLokális politóp: szorzat det. csatornák konvex kombinációja →belső reprezentáció
A Bell-egyenlőtlenségek
A Bell-egyenlőtlenségek a lokális politóp extra lapjai(a no-signaling politóphoz képest).
A kvantumos halmaz
A kvantumos halmazKonvexSzemidefinit programok végtelen hierarchiája határozza meg.Ha valamelyik program optimuma negatív, akkor nemkvantum.
Loophole: a detektor tökéletlenség hatására ez a halmaz “belebújik”a lokális politópba.
Milyen is a lokális politóp?
Főkomponens analízis
(Szabó Sándor ötlete)
Helyezzünk random pontokat a politópba!
(Probléma: ehhez valójában külső reprezentáció kéne, kétféleképpvégeztük el, ugyanazt adta. . .
Tekintsünk minden koordinátát val. változónak.
Számoljunk kovariancia mátrixot
Nézzük meg a spektrumát!
Főkomponens analízis, CHSH
0 2 4 6 8 10 12 14 16−0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
Piros: spektrumZöld: Bell-CHSH egyenlőtlenség
Főkomponens analízis általában
Mindig kis számú degenerált altér
2222 8 4 42223 13 6 3 22224 18 8 4 22232 13 6 3 22233 21 9 62234 29 12 4 3
· · ·4432 27 54 9 64433 45 81 184434 63 108 12 94442 38 72 11 1 64443 63 108 12 94444 88 144 24
Ellipszoidok
{x |||Ax + d||2 ≤ 1} vagy {Bx + c|||x ||2 ≤ 1}Köré írt ellipszoid: belső reprezentáció, csúcsok: x1 . . . xm
minA,d− log detA
f.h. ||Axi + d||2 ≤ 1
A ≥ 0
Beleírt ellipszoid, külső reprezentáció: hTi x ≤ bi
maxB,d
log detB
f.h. ||Bhi ||2 + hTi c ≤ bi
B ≥ 0
Ellipszoidok, CHSH
Lokális politóp: 16 csúcs, 24 lapNS politóp: 24 csúcs, 16 lapA beírt és köréírt ellipszoidjaik megegyeznek, gömbökA lokális politóp lapjai közül 16 az NS-nek is lapjaA maradék 8 adja a Bell-egyenlőtlenségeket4 pár, a pár elemei tükörképek az origóraA 4 pár független egynelőtlenség normálvektora ortogonális
Ellipszoidok, CHSH
tengelyek: két Bell-lap normálvektora
Magasabb dimenziós esetek
Az altér szerkezet magasabb dimenzióban is megjelenikNem minden Bell-egyenlőtlenség szimmetrikus ráPl. 3 be, 3 ki:
Lokális: 64 csúcs, 684 lapNS: 1408 csúcs, 36 lap684-36 = 648 Bell-egyenlőtlenségCsak 72 szimmetrikus
Osztályozás? Összefüggés a szimmetriákkal?
Konklúzió, tervek
A lokális politóp kis számú alteret definiál.Ez összefügg a probléma szimmetriáival.Az alterek segítenek az egyenlőtlenségeket osztályozni.Robusztus egyenlőtlenségek hatékonyabb keresése?Érzékenység analízis?Időben is (Leggett-Garg)?
Néhány hivatkozás, messze a teljesség igénye nélkül:
Wilms et al. PRL 78, 032116 (2008)
Werner & Wolf, PRA 64, 032112 (2001)
https://qig.itp.uni-hannover.de/qiproblems/All_the_Bell_Inequalities
Navascués et al., NJP 10 073013 (2008)
Clemente & Kofler, PRL 116, 150401 (2016)