Download - Katholieke hogeschool Kempen Peter Slaets1 Hoofdstuk 3 Vereenvoudigen van logische functies
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 1
Hoofdstuk 3
Vereenvoudigen van logische functies
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 2
3. Vereenvoudigen van logische functies
• 3.1 Minimalisatie volgens de booleaanse algebra
• 3.2 Minimalisatie met behulp van een Karnaughkaart
• 3.3 Minimalisatie met behulp van Quine-McCluskey
• 3.4 Reduceren van het aantal componenten
• 3.5 Toepassingen
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 3
3.1 Minimalisatie volgens de booleaanse algebra
• 3.1.1 Theorema’s met 1 veranderlijke• 3.1.2 Commutatieve en associatieve theorema’s• 3.1.3 Distributieve theorema’s• 3.1.4 Absorptietheorema’s• 3.1.5 Theorema’s van de Morgan• 3.1.6 Consensustheorema’s• 3.1.7 Samenvatting van de belangrijkste
vereenvoudigingsregels• 3.1.8 Conclusie met betrekking tot de Booleaanse
vereenvoudigingsregels• 3.1.9 Enkele opgeloste voorbeelden
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 4
3.1.1 Theorema’s met 1 veranderlijke
Zodra alle ingangen van een OR of AND-poort met elkaar worden verbonden, Zodra alle ingangen van een OR of AND-poort met elkaar worden verbonden, volgt de uitgang het aangelegde ingangsniveau. volgt de uitgang het aangelegde ingangsniveau.
Zodra één ingang van de OR-poort constant op 1 staat, Zodra één ingang van de OR-poort constant op 1 staat, blijft de uitgang constant hoog.blijft de uitgang constant hoog.
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 5
3.1.1 Theorema’s met 1 veranderlijke
Zodra één ingang van de AND-poort constant op 0 staat, Zodra één ingang van de AND-poort constant op 0 staat, blijft de uitgang constant laag.blijft de uitgang constant laag.
Zodra één of meerdere ingangen van de OR-poortOR-poort constant 00 zijn, volgt de uitgang het ingangssignaal.Zodra één of meerdere ingangen van de AND-poortAND-poort constant 11 zijn, volgt de uitgang het ingangssignaal.
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 6
3.1.1 Theorema’s met 1 veranderlijke
Na een dubbele inversie behoudt de uitgang het niveau van de ingang.Na een dubbele inversie behoudt de uitgang het niveau van de ingang.
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 7
3.1.2 Commutatieve en associatieve theorema’s
• Men mag verschillende parameters van plaats veranderen
• Haakjes kunnen worden toegevoegd en weggelaten
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 8
3.1.3 Distributieve theorema’s• Prioriteit bij bewerkingen:Prioriteit bij bewerkingen:
– Invertoren– Haakjes– EXOR & EXNOR– AND– OR
A.A=A en A.1=A
A + 1 = 1
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 9
3.1.4 Absorptietheorema’s
Bewijs:
A./A=0
A+1=1
A+/A=1
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 10
3.1.5 Theorema’s van de Morgan
• Geven een flexibele overgang tussen AND, NAND, OR en NOR
• Zeer frequent toegepast
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 11
3.1.5 Theorema’s van de MorganBewijs:
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 12
3.1.6 Consensustheorema’s
• Zijn het moeilijkst op te sporen binnen de logische functie
• Eerst wordt de functie geëxpandeerd en vervolgens gereduceerd
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 13
3.1.6 Consensustheorema’sB.C.1 = B.C en A+/A=1
A+1=1
A.A=A
A+1=1
/A.A=0 en A.A=A
/A.A=0
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 14
3.1.7 Samenvatting van de belangrijkste vereenvoudigingsregels
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 15
3.1.8 Conclusie met betrekking tot de Booleaanse vereenvoudigingsregels
• Prioriteiten binnen logische functie:Prioriteiten binnen logische functie:– Invertor– Haakjes– EXOR & EXNOR– AND– OR.. van AND-relatie weglaten: A.B wordt AB
• Elke veranderlijke kan een deelfunctie bevatten:
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 16
3.1.8 Conclusie met betrekking tot de Booleaanse vereenvoudigingsregels
• Niet-gebruikte ingangen mogen in de praktijk NOOITNOOIT loshangen!!– Niet-gebruikte ingangen op een AND- en NAND-poort
verbinden met Ucc of met een gebruikte ingang.– Niet-gebruikte ingangen op een OR- en NOR-poort
verbinden met GND of met een gebruikte ingang.
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 17
3.1.8 Conclusie met betrekking tot de Booleaanse vereenvoudigingsregels
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 18
3.1.8 Conclusie met betrekking tot de Booleaanse vereenvoudigingsregels
• Men heeft 4-input OR-poort hebben, maar enkel 2-input verkrijgbaar vergelijking opsplitsen over meerdere OR-poorten
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 19
3.1.8 Conclusie met betrekking tot de Booleaanse vereenvoudigingsregels
• In vorig voorbeeld is F2 beter, want reageert sneller dan F1
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 20
3.1.8 Conclusie met betrekking tot de Booleaanse vereenvoudigingsregels
• Men mag elke productterm meerdere keren gebruiken tijdens de vereenvoudiging (A+A=A en A.A=A)– Voorbeeld:
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 21
3.1.9 Enkele opgeloste voorbeelden
De Morgan
De Morgan
A.A=A
/A en BC afzonderen en A+1=1
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 22
3.1.9 Enkele opgeloste voorbeelden
De Morgan
A+/AB=A+B enDe MorganA.A=A
ABC(1+/D)=ABC
AB+BC+/AC=AB+/AC
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 23
3.1.9 Enkele opgeloste voorbeelden
De Morgan
De Morgan en /(A+/A) = /1=0De Morgan
/A/C(1+B)+ABC
A+/AB=A+B
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 24
3.2 Minimalisatie met behulp van een Karnaughkaart
• 3.2.1 Karnaughkaart tot en met 4 veranderlijken
• 3.2.2 Invullen van de Karnaughkaart
• 3.2.3 Vereenvoudigen van een Karnaughkaart
• 3.2.4 Onvolledige functies
• 3.2.5 Karnaughkaart voor 5 en 6 veranderlijken
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 25
3.2.1 Karnaughkaart tot en met 4 veranderlijken
• Grafische voorstelling van een functie• Karnaughkaart opgebouwd uit cellen
Elke cel is 1 regel uit waarheidstabel• Aantal cellen = aantal veranderlijken binnen de functie
tot de 2de macht. (2n)
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 26
3.2.1.1 2 veranderlijken F(A,B)
(1): A=0 en B=0(2): A=0 en B=1
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 27
3.2.1.2 3 veranderlijken F(A,B,C)
• 8 cellen• LET OP:LET OP: Naast elkaar liggende cellen mogen, Naast elkaar liggende cellen mogen,
voor de vereenvoudiging, maar één bit van voor de vereenvoudiging, maar één bit van elkaar verschillen. elkaar verschillen.
(3): A=0, B=1 en C=1
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 28
3.2.1.3 4 veranderlijken F(A,B,C,D)
• 16 cellen
(4): A=1, B=0, C=1 en D=0
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 29
3.2.2 Invullen van de Karnaughkaart
• Gebeurt langs de waarheidstabel of functie• Schrijf de waarheidstabel over in de
Karnaughkaart• Herwerk de functie, met de Booleaanse algebra,
tot een som van producttermen en ga dan over naar de Karnaughkaart
• Karnaughkaart bevat enkel de enen, de nullen worden weggelaten voor leesbaarheid
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 30
3.2.2.1 Van waarheidstabel naar Karnaughkaart
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 31
3.2.2.2 Van logische functie naar Karnaughkaart
Elke term aanvullen met resterende veranderlijken (A+/A=1)
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 32
3.2.3 Vereenvoudigen van een Karnaughkaart
• Naast elkaar gegroepeerde enen selecteren– Combineer enkel horizontaal of vertikaal, NOOITNOOIT schuin– Aantal enen binnen selectie is macht van 2– Buitenste cellen mogen als aangrenzend worden beschouwd
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 33
3.2.3 Vereenvoudigen van een Karnaughkaart
Met booleaanse algebra:
Grafisch:
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 34
3.2.3 Vereenvoudigen van een Karnaughkaart
• Neem de vereenvoudigingslussen zo groot mogelijk
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 35
3.2.3 Vereenvoudigen van een Karnaughkaart
• Een goed vereenvoudigde vergelijking langs de Karnaughkaart kan nooit verder vereenvoudigd worden met de Booleaanse algebra
Slecht vereenvoudigd met Karnaugh
Goed vereenvoudigd met Karnaugh
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 36
3.2.3 Vereenvoudigen van een Karnaughkaart
• U ziet ook dadelijk of er meerdere oplossingen mogelijk zijn
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 37
3.2.4 Onvolledige functies
• Soms kan het zijn dat bepaalde combinaties niet kunnen verwezenlijkt worden voorgesteld door ‘XX’ (don’t caredon’t care)
• Of bepaalde combinaties mogen nooit voorkomen ‘--’ (verboden toestandverboden toestand)
• Een verboden toestand en een don't care nemen aan een vereenvoudigingslus deel indien we de lus hiermee kunnen vergroten.
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 38
3.2.4 Onvolledige functies
• Voorbeeld:Voorbeeld: Vier schakelaars (A,B,C,D) bedienen 1 lamp (L). Lamp brandt als meer dan 1 schakelaar gesloten is. A en B mogen niet tegelijk open zijn.
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 39
3.2.5 Karnaughkaart met 5 en 6 veranderlijken
• 2 kaarten van 16 cellen voor 5 variabelen• Over 2 kaarten heen vereenvoudigen kan als
selectie kan gespiegeld worden rond scheidingslijn
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 40
3.2.5 Karnaughkaart met 5 en 6 veranderlijken
• 4 kaarten van 16 cellen voor 6 variabelen
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 41
3.3 Minimalisatie met behulp van Quine-McCluskey
• 3.3.1 Herschikken van de gedragstafel
• 3.3.2 Opzoeken van de onmisbare termen
• 3.3.3 Opzoeken van de absoluut onmisbare termen
• 3.3.4 Bijkomend uitgewerkt voorbeeld
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 42
3.3 Minimalisatie met behulp van Quine-McCluskey
• Meer dan 5 variabelen Karnaughkaart niet meer praktisch
• Quine-McCluskey methode is een tabellenmethode die uit onmisbare termen een vereenvoudigde functie afleidt
• 3 delen:– Herschikken van de gedragstafel– Opzoeken van onmisbare termen– Opzoeken van absoluut onmisbare termen
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 43
3.3 Minimalisatie met behulp van Quine-McCluskey
• Voorbeeld:Voorbeeld:
f(A,B,C,D) = m(2,3,4,5,9,10,11,13)
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 44
3.3.1 Herschikken van de gedragstafel
• Termen met hetzelfde aantal enen groeperen
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 45
3.3.2 Opzoeken van de onmisbare termen
• Termen uit verschillende groepen vergelijken.• Als termen slechts in 1 veranderlijke verschillen, worden
ze vervangen door het ‘-’ teken• Onmisbare termen = termen die niet meer kunnen
samengenomen worden
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 46
3.3.3 Opzoeken van de absoluut onmisbare termen
• Tabel maken met aanduiding welke mintermen in onmisbare termen voorkomen
De functie onder haar eenvoudigste vorm is aldus
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 47
3.3.4 Bijkomend uitgewerkt voorbeeld
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 48
3.3.4 Bijkomend uitgewerkt voorbeeld
• Herschikken van de gedragstafel
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 49
3.3.4 Bijkomend uitgewerkt voorbeeld
• Opzoeken van de onmisbare termen
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 50
3.3.4 Bijkomend uitgewerkt voorbeeld
• Opzoeken van de absoluut onmisbare termen
F = a+b+d+e+f = /AD/E + /ABC + A/CE + /ACE + /A/B/C/E
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 51
3.4 Reduceren van het aantal componenten
• 3.4.1 NAND- en NOR-poort als universele component
• 3.4.2 Reductie van het aantal IC’s
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 52
3.4.1 NAND- en NOR-poort als universele component
• Alle vergelijkingen zijn als NAND- en NOR-schema’s te tekenen
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 53
3.4.2 Reductie van het aantal IC’s
• Voorbeeld:Voorbeeld:
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 54
3.4.2.1 Oplossing met elementaire basispoorten
• F = B/C + BD + ACD
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 55
3.4.2.2 Oplossing met NOR-poorten
Geen componentenbesparing!!
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 56
3.4.2.3 Oplossing met NAND-poorten
Katholieke hogeschool Kempen
Peter Slaets 57
3.4.2.3 Oplossing met NAND-poorten