Download - KARTEZYEN ÇARPIM
HER GENÇ MATEMATİK ÖĞRENEBİLİR
www.muratguner.net
MURAT GÜNERKELKİT- 2011
ÖRNEK
Türkiye A Milli Futbol Takımında oynayan Nihat, Emre ve Sabri 9, 10, 11 numaralı formaları giyebilirler.Bu oyuncuların giyebilecekleri formaları gösteren sıralı ikilileri yazınız.
ÇÖZÜM
Futbolcular F = { Nihat, Emre, Sabri }
Forma Numaraları N = { 9, 10, 11 }
( Emre, 9 ), ( Emre, 10 ), ( Emre, 11 )
( Sabri, 9 ), ( Sabri, 10 ), ( Sabri, 11) }
Oluşacak ikililer; {( Nihat, 9 ), ( Nihat, 10 ), ( Nihat, 11 )
www.muratguner.net
TANIM
AXB = { (x,y) l x A Λ y B } dir.
A ve B boş olmayan iki küme olmak şartıyla birinci bileşeni A kümesinden, ikinci bileşeni B kümesinden alınarak elde edilen bütün sıralı ikililerin kümesine A ile B’nin kartezyen çarpımı denir ve AXB biçiminde gösterilir.
Futbolcular ile forma numaralarının oluşturduğu bu ikililer kümesi F ile N kümelerinin kartezyen çarpımıdır.
www.muratguner.net
ÖRNEK
A = { a, b } ve B = { 1, 2, 3 } kümeleri için AXB ve BXA kümelerini yazınız.
ÇÖZÜM:
AXB = { ( a, 1 ), ( a, 2 ), ( a, 3 ), ( b, 1 ), ( b, 2 ), ( b, 3 ) }
BXA = { ( 1, a ), ( 1, b ), ( 2, a ), ( 2, b ), ( 3, a ), ( 3, b ) }
A = { a , b } B = { 1 , 2 , 3 }
Benzer düşünceyle BXA kümesi aşağıdaki gibi yazılır.
www.muratguner.net
A = { x : 2 ≤ x < 5, xN } ve B = { y : – 2 ≤ x ≤ 1, y Z } kümeleri veriliyor. Buna göre AXB ’yi yazınız.
ÖRNEK
ÇÖZÜM
A= { 2, 3, 4 }
AXB = { ( 2, –2 ), ( 2, –1 ), ( 2, 0 ), ( 2, 1 ), ( 3, – 2 ), ( 3, –1 ), ( 3, 0 ), ( 3, 1 ), ( 4, – 2 ), ( 4, – 1 ) , ( 4, 0 ), ( 4, 1 ) }
B= { – 2, – 1, 0, 1 }
www.muratguner.net
ÖRNEK
Kartezyen çarpım kümesinin elemanı olan sıralı ikililerin birinci bileşenleri A kümesinden, ikinci bileşenleri B kümesinden alınacağından;
ÇÖZÜM
A∩B = { 0, 1 } Buna göre;
AXB = { ( 0, 0 ), ( 0, 1 ), ( 1, 0), ( 1, 1), ( 2, 0), ( 2, 1) } ise A∩B kümesini bulunuz.
A = { 0,1, 2 }
B = { 0, 1 }
www.muratguner.net
ÖRNEK
AXB = { ( a, 1 ), ( a, 2 ), ( a, 3), ( b, 1), ( b, 2), ( b, 3) } BXC = { ( 1, x ), ( 1, y ), ( 2, x), ( 2, y), ( 3, x), ( 3, y) } olduğuna göre AXC kümesini yazınız.
ÇÖZÜMKartezyen çarpım kümesinin elemanı olan sıralı ikililerin birinci bileşenleri A kümesinden, ikinci bileşenleri B kümesinden alınacağından;
A = { a , b }
B = { 1, 2, 3 }Kartezyen çarpım kümesinin elemanı olan sıralı ikililerin birinci bileşenleri B kümesinden, ikinci bileşenleri C kümesinden alınacağından;
C = { x, y }
AXC = { ( a, x ), ( a, y ), ( b, x ), ( b, y) }
www.muratguner.net
UYARI
AXA = { (x,y) : x A Λ y A } dır.
ÖRNEK
A X A = { ( 2, 2 ), ( 2, 3 ), ( 3, 2 ), ( 3, 3 ) } şeklinde yazılır.
A={ 2, 3 } ise AXA kümesini liste şeklinde yazınız.
ÇÖZÜM
Kartezyen çarpımının kolayca yapılabilmesi için, A kümesi yan yana iki kez yazılır.
A X A = { 2 , 3 } X { 2 , 3 } tür.
www.muratguner.net
KARTEZYEN KOORDİNAT SİSTEMİ
AXB grafikle gösterilirken A kümesinin elemanları x ekseninde B kümesinin elemanları da y ekseninde alınır ve bu noktalardan eksenlere dikmeler çizilir. Bu dikmelerin düzlemdeki kesişim noktalarının kümesi AXB ’nin grafiğini verir.
www.muratguner.net
A = { a, b, c } ve B = { 1, 2 } kümeleri veriliyor. AXB ’nin ve BXA’nın grafiğini çiziniz.
ÖRNEK
ÇÖZÜMAXB = { ( a,1 ), (a, 2 ), ( b, 1 ), ( b, 2 ), ( c, 1 ), ( c, 2 ) }
( AXB ’nın grafiği )
BXA = { ( 1, a ), (1, b ), ( 1, c ), ( 2, a ), ( 2, b ) , ( 2, c ) }
x
y
B
a cb
1
2
A
x
y
1 2
B
a
b
c
A
( BXA ’nın grafiği )
www.muratguner.net
ÖRNEK
A = { x : 1 x 3, x bir doğal sayı }B = { x : 1 x 3, x bir gerçek sayı } kümeleri veriliyor.AXB kümesini analitik düzlemde gösteriniz.
ÇÖZÜM
x
y
B
1 32
1
A
3
A = { 1 , 2 , 3 } ( Sonlu bir küme ) B = [ 1,3 ] ( Sonsuz elemanlı bir küme )
Biri sonlu diğeri sonsuz elemanlı iki kümenin kartezyen çarpımı sonucu
oluşan grafik yatay veya dikey çubuklardan oluşur.
AXB = { ( 1,1.1 ), (1, 1.2 ), (1, 1.3 ), ( 1, 1.4 ), ….. ( 1, 3 ), ( 2, 1.1 ), (2, 1.2 ), (2, 1.3 ), ... ( 2, 3 ), ( 3, 1.1 ),…..( 3,3 } }
www.muratguner.net
ÖRNEK
A = { x : 2 x 4, x bir gerçek sayı }B = { x : 1 x 3, x bir doğal sayı } kümeleri veriliyor.AXB kümesini analitik düzlemde gösteriniz.
ÇÖZÜM
x
y
B
2 4
1
A
3
A = [ 2, 4 ] ( Sonsuz elemanlı bir küme ) B = { 1 , 2 , 3 } ( Sonlu bir küme )
AXB = { (2 , 1 ), ( 2.1, 1 ), (2.2, 1 ), ( 2.3, 1 ), ….. ( 3, 1 ), ( 3.1, 1 ), (3.2, 1 ), (3.3, 1 ), ... ( 3.9, 1 ), ( 4, 1 )…………..........}
2
Biri sonlu diğeri sonsuz elemanlı iki kümenin kartezyen çarpımı sonucu
oluşan grafik yatay veya dikey çubuklardan oluşur.
www.muratguner.net
ÖRNEK
A = { x : 2 x < 4 , xR }B = { x : 1 x < 3, xR } kümeleri veriliyor.AXB kümesini analitik düzlemde gösteriniz.
A = [ 2, 4 )( Sonsuz elemanlı bir küme ) B = [ 1,3 ) ( Sonsuz elemanlı bir küme )
ÇÖZÜM
x
y
B
2 4
1
A
3
Sonsuz elemanlı iki kümenin kartezyen çarpımı sonucu oluşan
grafik bir alan belirtir.
www.muratguner.net
ÖRNEK
A = { x : 2 x < 4, x R }B = { x : 1 x < 3, x R } kümeleri veriliyor.AXB kümesini analitik düzlemde gösteriniz.
A = [ 2, 4 )( Sonsuz elemanlı bir küme ) B = [ 1,3 ) ( Sonsuz elemanlı bir küme )
ÇÖZÜM
x
y
B
2 4
1
A
32 dahil olduğu için düz çizgi4 dahil olmadığı için kesikli çizgi
1 dahil olduğu için düz çizgi
3 dahil olmadığı için kesikli çizgi
Sonsuz elemanlı iki kümenin kartezyen çarpımı sonucu oluşan
grafik bir alan belirtir.
Sonsuz elamanlı A kümesi ile sonsuz elamanlı B kümesinin grafiği çizilirken önce A kümesinin alt ve üst değerlerini gösteren dikey çizgiler çizilir. Sonra B kümesinin alt ve üst değerlerini gösteren yatay çizgiler çizilir.Yatay ve dikey çizgilerin arasında kalan bölge istenen grafiğe ait bölgedir.Uç noktaların dahil olup olmadığı anlamak için çizgilere bakılır. iki düz çizginin kesim noktası çözüme dahildir diğer haller çözüme dahil değildir.
www.muratguner.net
ÖRNEK
A = [ 3,4), B = ( 2, 5 ] ise AXB kümesini analitik düzlemde gösteriniz.
ÇÖZÜMSonsuz elamanlı A kümesi ile sonsuz elamanlı B kümesinin grafiği çizilirken önce A kümesinin alt ve üst değerlerini gösteren dikey çizgiler çizilir. Sonra B kümesinin alt ve üst değerlerini gösteren yatay çizgiler çizilir.Yatay ve dikey çizgilerin arasında kalan bölge istenen grafiğe ait bölgedir.Uç noktaların dahil olup olmadığı anlamak için çizgilere bakılır. iki düz çizginin kesim noktası çözüme dahildir diğer haller çözüme dahil değildir.
x
y
B
3 4
2
A
53 dahil olduğu için düz çizgi4 dahil olmadığı için kesikli çizgi
2 dahil olmadığı için kesikli çizgi
5 dahil oduğuı için düz çizgi
Sonsuz elemanlı iki kümenin kartezyen çarpımı sonucu oluşan
grafik bir alan belirtir.
www.muratguner.net
A = ( – 1, 3 ), B = ( –2, 3 ) olduğuna göre AXB kümesininelemanlarını analitik düzlemde gösteriniz.
ÖRNEK
ÇÖZÜM
x
y
– 1 3
3
– 2
– 1 dahil olmadığı için kesikli çizgi
3 dahil olmadığı için kesikli çizgi
– 2 dahil olmadığı için kesikli çizgi
3 dahil olmadığı için kesikli çizgi
Sonsuz elemanlı iki kümenin kartezyen çarpımı sonucu oluşan
grafik bir alan belirtir.
www.muratguner.net
A=(–2,1 ), B=[1, 3 ] olduğuna göre AXB’nın grafiğini çiziniz.
ÖRNEK
ÇÖZÜM
x
y
– 2 1
3
1
– 2 dahil olmadığı için kesikli çizgi
1 dahil olmadığı için kesikli çizgi
– 2 dahil olduğu için düz çizgi
3 dahil olduğu için düz çizgi
Sonsuz elemanlı iki kümenin kartezyen çarpımı sonucu oluşan
grafik bir alan belirtir.
www.muratguner.net
ÖRNEK
x
y
1 5
2
6Şekilde AXB nin grafiği verilmiştir.Buna göre A ve B kümeleri aşağıdakilerden hangisidir?
A= [ – 1,5 ) A= [1,5 ) A= [1, 2 )
B= [ 2, 5 ) B= [2,6 ) B= [ 5, 6 ]
A= ( 1,5 ) A= (1, 5 ]
B= ( 2,6 ) B= [ 2, 6 )
A) B) C)
D) E)
www.muratguner.net
1988ÖRNEK
A = { – 2 , – 1 , 0 }, B = { 1 , 2 , 3 } kümelerinin AXB ( kartezyen çarpımı ) kümesinin noktalarını dışarıda bırakmayan en küçük çemberin yarıçapı kaç birimdir?
ÇÖZÜMAXB = { ( – 2, 1 ), ( – 2, 2 ), ( – 2, 3 ), ( –1, 1 ), ( – 1, 2 ), ( – 1, 3 ), ( 0, 1), ( 0, 2 ), ( 0, 3 ) }
22 + 22 = ( 2r )2
8 = 4r2
2 = r2
3
1
2
– 1–2 2r =
( Pisagor Teoremi )r
r
www.muratguner.net
KARTEZYEN ÇARPIMIN ELEMAN SAYISI
Kartezyen çarpımın eleman sayısı, kümelerin eleman sayılarının çarpımına eşittir; yani,
s( AXB ) = s( A ).s( B )
s(A X B ) = 56 ve s( A ) = 7 ise s( B X B ) = ?
ÖRNEK
ÇÖZÜM
s( A X B )
56 7 . s( B )=
= s( B ) s( B ) = 8
s( B X B ) = s( B ) . s( B )
= 8 . 8
= 64
= s ( A ).s( B )
7
56
www.muratguner.net
ÖRNEK
A = { a, b, c }BXC = { ( x, 1 ), ( x, 2 ), ( y, 1 ), ( y, 2 ), ( z, 1 ), ( z, 2 ) } olduğuna göre s( AXC ) kaçtır?
ÇÖZÜM
A = { a, b, c }
C = { 1, 2 }
s( A ) = 3
s( C ) = 2 s( AXC ) = s( A ).s( C )
= 3.2
= 6
Kartezyen çarpım kümesinde, birinci bileşenleri A kümesinden ikinci bileşenleri C kümesinden alınacağından;
www.muratguner.net
Kartezyen çarpım kümesinde, birinci bileşenleri A kümesinden ikinci bileşenleri B kümesinden alınacağından;
AXB = { ( a, b ), ( b, b ), ( a, c ), ( b, c ) } ve s[ (A U B ) X C ] = 18 ise s( C ) = ?
ÖRNEK
ÇÖZÜM
s[ (A U B ) X C ] = s(AUB) . s(C)
18 = 3 . s( C )
A={ a, b } B={ b, c }
Buradan AUB = { a,b,c } elde edilir. O halde s(A U B ) = 3 tür.
s( C ) = 6
www.muratguner.net
KARTEZYEN ÇARPIMIN ÖZELLİKLERİ
A X A = A2 A X A X A = A3
A X B ≠ B X A
s (A X B ) = s( B X A ) = s ( A ). S ( B )
A X B X C = ( A X B ) X C = A X ( B X C )(Birleşme özelliği vardır)
( Değişme özelliği yoktur.)
www.muratguner.net
ÖRNEK
A = { 1, 2 }, B = { a, b }, C = { , } ise AXBXC’yi yazınız.
ÇÖZÜM:
AXBXC = { ( 1, a, ), ( 1, a , ), ( 1, b, ), ( 1, b, ), ( 2, a, ), ( 2, a, ), ( 2 , b , ), ( 2, b, ) }
A X (B U C ) = ( A X B ) U ( A X C )
A X (B ∩ C ) = ( A X B ) ∩ ( A X C )
(Kartezyen çarpımın U üzerine dağılma özelliği vardır)
(Kartezyen çarpımın ∩ üzerine dağılma özelliği vardır)
www.muratguner.net
ÖRNEK
s(A) = 5, s( BUC ) = 7olduğuna göre s[ ( BXA ) U ( CXA ) ] kaçtır?
ÇÖZÜM
s[ ( B X A ) U ( C X A ) ] = s[ ( B U C ) X A]
= s( B U C ).s( A )
= 7.5 = 35
A X = X A =
A X B = ise A = veya B =
www.muratguner.net
ANALİTİK DÜZLEM
Sıfır sayısının karşılık geldiği O noktasından,birbirine dik olan biri yatay diğeri dikey iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme dik koordinat sistemi, bu sayı doğrularının belirttiği düzleme de analitik düzlem denir.
Dik koordinat sistemini oluşturan sayı eksenlerinden ;
Yatay olanına apsisler ekseni,
Düşey olanına ordinatlar ekseni,
Eksenlerin kesiştiği noktaya orijin ( başlangıç noktası) denir.
y
xApsisler ekseniO
rdin
atla
r ek
sen
i
Orjin
www.muratguner.net
( a, b ) sıralı ikilisine karşılık gelen noktayı A ile gösterirsek, A noktasını A(a , b ) biçiminde yazarız. a’ya A noktasının apsisi, b ’ye A noktasının ordinatı, ( a ,b ) ikilisine de A noktasının koordinatları denir.
A( a , b )
A(a, b ) noktasını koordinat ekseninde gösterirken; x ekseninden a kadar alıp buradan y eksenine paralel çizeriz. y ekseninden b kadar alıp buradan x eksenine bir paralel çizeriz.Bu paralellerin kesim noktası A(a, b ) noktasını verir.
y
x
a
b
www.muratguner.net
ÖRNEK
Yandaki koordinat sisteminde verilen A, B, C ve D noktalarının koordinatlarını bulunuz.
x
y
1
2
– 1
– 2
–1– 2 1 2
3
3
– 3
A ( , )
C ( , )D ( , )
–3
B ( , )
3 1
– 3 – 2 1 – 3
– 2 3
www.muratguner.net
Koordinat eksenleri analitik düzlemi 4 bölgeye ayırır. a, bR+ olmak üzere A( a, b ) noktasının bu bölgelerdeki konumları aşağıdaki şekilde belirtilmiştir.
x
y
bA ( a , b )
–a a
B ( – a , b )
C ( – a , – b )–b
D ( a , – b )
1.B
ölge
2.B
ölge
3.B
ölge
4.B
ölge
www.muratguner.net
ÖRNEK
a ve b reel sayıları için A( – a, b/a ) noktası analitik düzlemin 3.bölgesinde olacak biçimde seçilmiştir.Buna göre B( – ab, –b ) noktası analitik düzlemin hangi bölgesinde olur?
a
b
x
y
–a
3.B
ölge
ÇÖZÜM– a < 0 a > 0
ba < 0 b < 0
Buna göre – ab > 0 ve –b > 0 olacağından,
B( – ab, –b ) noktasıanalitik düzlemin 1.bölgesindedir.
www.muratguner.net
UYARI
Koordinat sisteminde x ekseni üzerindeki noktaların ordinatları sıfırdır.
x
y
A ( 3 , 0 )B ( – 2 , 0 )
– 2 3
www.muratguner.net
Koordinat sisteminde y ekseni üzerindeki noktaların apsisleri sıfırdır.
UYARI
x
y
C ( 0 , – 3 )
D ( 0 , 4 )
– 3
4
www.muratguner.net