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8/17/2019 Geometría Analítica Tridimensional
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Geometría analítica tridimensional
Vectores en el espacio
Componentes de un vector en el espacio
Módulo de un vector
Distancia entre dos puntos
Vector unitario
Suma de vectores
Producto de un número real por un vector
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Vectores linealmente dependientes
Vectores linealmente independientes
Producto escalar
Expresión analítica del módulo de un vector
Expresión analítica del ángulo de dos vectores
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Vectores ortogonales
Proyección
Cosenos directores
Producto vectorial
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rea del paralelogramo
rea de un triángulo
Producto mixto
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Volumen del paralelepípedo
Volumen de un tetraedro
Puntos
Coordenadas del punto medio de un segmento
Coordenadas del !aricentro de un triángulo
Puntos alineados
"res o más puntos esán alineados si están en
una misma recta, y por tanto el rango de los
vectores determinados por el los es #.
Puntos coplanarios
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Dos o más vectores son coplanarios si
son linealmente depend ientes , y por tanto
suscomponentes son proporcionales y su rango es $.
Dos o más puntos son coplanarios , si
los vectores determinados por ellos también soncoplanarios .
%ectas en el espacio
Ecuación vectorial de la recta
Ecuaciones param&tricas de la recta
Ecuaciones continuas de la recta
Ecuaciones implícitas de la recta
El plano
http://www.vitutor.com/analitica/vectores/depandencia_independencia.htmlhttp://www.vitutor.com/algebra/determinantes/rango.htmlhttp://www.vitutor.com/algebra/determinantes/rango.htmlhttp://www.vitutor.com/analitica/vectores/depandencia_independencia.html
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Ecuación vectorial del plano
Ecuaciones param&tricas del plano
Ecuación general o implícita del plano
Ecuación canónica o segmentaria del plano
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ngulos
ngulo entre dos rectas
Dos rectas son perpendiculares si vectores
directores son ortogonales .
ngulo entre dos planos
Dos planos son perpendiculares si vectores
directores son ortogonales .
ngulo entre recta y plano
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Si la recta r y el plano π son perpendiculares, el vector
director de la recta y el vector normal del plano tienen la
misma dirección y, por tanto, sus componentes son
proporcionales.
Distancias
Distancia entre un punto y una recta
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Distancia entre rectas paralelas
Distancia entre rectas 'ue se cru(an
Sean y las determinacione s lineales de las
rectas r y s.
Distancia de un punto a un plano
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Distancia entre planos paralelos
Pro!lemas de vectores
#) Hallar dos vectores de módulo la unidad y
ortogonales a (2, −2, 3 y (3, −3 , 2.
http://www.geoan.com/analitica/vectores/problemas_vectores.htmlhttp://www.geoan.com/analitica/vectores/problemas_vectores.html
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$) Hallar un vector perpendicular a
y , y !ue sea unitario .
*)Dados los vectores y ,
"allar el producto y comprobar !ue este vector es
orto#onal a y a . Hallar el vector y compararlo con
.
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+) $onsiderar la si#uiente %i#ura&
Se pide&
# $oordenadas de D para !ue '$D seaun paralelogramo .
$ rea de este paralelogramo .
)or ser la %i#ura un paralelo#ramo, los vectores
y son e'uipolentes .
http://www.vitutor.com/geo/vec/a_2.htmlhttp://www.vitutor.com/geo/vec/a_2.html
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,) Dados los puntos '(*, +, *, (*, *, * y $(*, , a,
se pide&
# Hallar para !ué valores del parámetro a están
alineados.
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$ Hallar si e-isten valores de a para los cuales ', y $
son tres vértices de un paralelo#ramo de área 3 y, en caso
a%irmativo, calcularlos.
# Hallar para !ué valores del parámetro a están
alineados.
Si ', y $ están alineados los vectores y tienen
la misma dirección , por lo !ue son linealmente
dependientes y tienen sus componentes proporcionales .
$ Hallar si e-isten valores de a para los cuales ', y $
son tres vértices de un paralelo#ramo de área 3 y, en caso
a%irmativo, calcularlos.
l módulo del producto vectorial de los vectores
y es i#ual al área del paralelogramo construido
sobre y .
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-) Sean '(−3, /, +, (3, , 3 y $(−*, 2, * los tres
vértices de un trián#ulo. Se pide&
# $alcular el coseno de cada uno de los tres án#ulos del
trián#ulo.
$ $alcular el área del trián#ulo.
# $alcular el coseno de cada uno de los tres án#ulos del
trián#ulo.
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$ $alcular el área del trián#ulo.
Pro!lemas de distancias. áreas y volúmenes
#) Hallar el área del trián#ulo cuyos vértices son los
puntos '(*, *, *, (3, 2, * y $(−*, 3, 2.
http://www.geoan.com/analitica/distancias/problemas_distancias.htmlhttp://www.geoan.com/analitica/distancias/problemas_distancias.html
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$) Hallar el volumen del tetraedro cuyos vértices son los
puntos '(+,+,+, (2, *, 3, $(−*, 3, * y D(/, 2, *.
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*) Dada la recta y el
plano , "allar la ecuación de la recta s,
proyección orto#onal de r sobre π.
0a recta s es la intersección del plano π con el plano
πp !ue contiene a la recta r y es perpendicular a π.
l plano π p !ueda determinado por el punto '(2, −*, +,
el vector (2, *, * y el vector normal, (*, *, *, del plano
perpendicular π.
+) $alcular la distancia entre las rectas&
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,) Hallar el simétrico del punto '(3, 2, * respecto del
plano .
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n primer lu#ar calculamos r, !ue es la recta !ue pasa
por ' y es perpendicular a π.
Hallamos el punto de intersección de la recta r y el plano
π.
1eniendo en cuenta las coordenadas del punto medio
de un segmento , podemos "allar el e-tremo '.
http://www.geoan.com/analitica/recta/punto_medio.htmlhttp://www.geoan.com/analitica/recta/punto_medio.htmlhttp://www.geoan.com/analitica/recta/punto_medio.htmlhttp://www.geoan.com/analitica/recta/punto_medio.html
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-) $alcular el área del trián#ulo cuyos vértices son los
puntos de intersección del plano con los ees
coordenados.
/) Dado el plano de ecuación y el punto
'(*, *, *, "allar las coordenadas del pie de la perpendicular
tra4ada desde ' a ese plano (o sea, la proyección orto#onal
de ' sobre él.
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l pie de la perpendicular es el punto de intersección
entre el plano y la recta.
0) Determinar la ecuación del plano π !ue está a de distancia del
ori#en y es paralelo a a!uel !ue t iene por ecuación .
1) Hallar la distancia entre el punto '(3, 2, 5 y la
recta6del primer octante.
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#2) Sabiendo !ue los lados de un cuadrado están en las
rectas&
calcular su área.
Determinación lineal de la recta r.
Determinación lineal de la recta s.
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0a distancia de la r a la recta s es i#ual a la distancia del
punto a la re cta r.
l lado del cuadrado es i#ual a la distancia entre las
rectas r y s.
E3ercicios de la recta
#)Dados los puntos '(2, , −3 y (3, 3, −2, "allar los
puntos de la recta ' !ue tienen al menos una coordenada
nula.
http://www.geoan.com/analitica/recta/ejercicios_recta.htmlhttp://www.geoan.com/analitica/recta/ejercicios_recta.html
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$)Determinar la ecuación de la recta !ue pasa por el
punto '(*, −*, + y corta a las rectas&
0a recta pedida es la intersección de los dos planos !ue
pasan por ' y contienen a las rectas r y s.
)lano !ue contiene a ' y r.
)lano !ue contiene a ' y s.
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0a recta perdida es&
*)Hallar la ecuación de la recta !ue pasa por el punto(7, 2, 3 y lleva la dirección del vector .
+)Hallar una ecuación continua de la recta !ue es
paralela a los planos& - − 3y 8 4 9 + y 2- − y 8 34 − : 9 +, y
pasa por el punto (2, −*, :.
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l vector director de la recta es perpendicular a los
vectores normales de cada plano.
E3ercicios del plano
#)Hallar las ecuaciones de los e3es coordenados y de
los planos coordenados .
http://www.geoan.com/analitica/recta/ejercicios_plano.htmlhttp://www.geoan.com/analitica/recta/ejercicios_plano.html
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$)Hallar la ecuación del plano !ue contiene a las
rectas&
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*)Hallar la ecuación del plano !ue contiene al punto
'(2, :, * y a la recta de ecuación&
+)Hallar las coordenadas del punto com;n al plano - 8
2y − 4 − 2 9 + y a la recta determinada por el punto (*, −3,
2 y el vector .
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,)Hallar la ecuación se#mentaria del plano !ue pasa por
los puntos '(2, +, +, (+, /, + y $(+, +, 5.
-)Sea π un plano !ue pasa por )(*, 2, * y corta a los
semiees coordenados positivos en los puntos ', y $.
Sabiendo !ue el trián#ulo '$ es e!uilátero, "allar las
ecuaciones de π.
$omo el trián#ulo es e!uilátero, los tres se#mentos son
i#uales.
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/)Hallar la ecuación impl
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