Dibujo Tridimensionaly Geometra Espacial

Jos Vicario Lpez / Rosa Ocaa Lpez Departamento de Expresin Grfica Industrial Escuela Universitaria de Ingeniera Tcnica Industrial Universidad Politcnica de Madrid

Dibujo Tridimensionaly Geometra EspacialREGISTRO TERRITORIAL DE LA PROPIEDAD INTELECTUAL DE LA COMUNIDAD DE MADRID N M-7512/02

Jos Vicario Lpez / Rosa Ocaa Lpez Departamento de Expresin Grfica Industrial Escuela Universitaria de Ingeniera Tcnica Industrial Universidad Politcnica de Madrid

III

ndice de contenido

1.

Fundamentos 1.1 Sistema de Coordenadas Universal...................................................................................... 1.2 Punto de vista en Dibujo Tridimensional ............................................................................ 1.3 Sistemas de Coordenadas Personales .................................................................................. 1.4 Representacin de los elementos fundamentales ................................................................ 3 3 4 5

2.

Pertenencia 2.1 Pertenencia entre recta y punto ........................................................................................... 2.2 Punto perteneciente a dos rectas (rectas coplanarias) .......................................................... 2.3 Pertenencia entre recta y plano ........................................................................................... 2.4 Punto perteneciente a un plano ........................................................................................... 9 10 10 11

3.

Determinacin 3.1 Determinacin del punto ..................................................................................................... 3.1.1 Punto de interseccin entre una recta y un plano ................................................. 3.2 Determinacin de la recta .................................................................................................... 3.2.1 Recta de interseccin entre dos planos ................................................................. 3.3 Problemas de incidencia y determinacin ........................................................................... 3.3.1 Recta que pasa por un punto e intercepta a otras dos tambin dadas ................... 3.3.2 Recta que intercepta a otras tres dadas ................................................................. 15 15 16 16 17 17 18

4.

Paralelismo 4.1 Paralelismo entre rectas ...................................................................................................... 4.1.1 Plano formado por dos paralelas .......................................................................... 4.2 Paralela por un punto a otra recta dada ............................................................................... 4.3 Paralelismo entre planos ..................................................................................................... 4.4 Paralelismo entre recta y plano ........................................................................................... 4.4.1 Por un punto dado, paralela a dos planos dados ................................................... 4.4.2 Paralela por un punto dado a un plano dado ......................................................... 4.4.3 Plano, por un punto dado, paralelo a otro plano dado .......................................... 4.4.4 Plano, por un punto dado, paralelo a una recta dada ............................................ 4.4.5 Plano, por un punto dado, paralelo a dos rectas dadas ......................................... 21 21 21 22 23 23 23 24 24 24

IV

ndice de contenido

4.4.6 Plano, que pasa por una recta dada, paralelo a otra recta tambin dada ............... 4.5 Problemas de paralelismo e incidencia ............................................................................... 4.5.1 Recta que intercepta a otras dos dadas y es paralela a un plano dado ................... 4.5.2 Recta que corta a otras dos y es paralela a una tercera (o a dos planos) ...............

25 25 25 26

5.

Perpendicularidad y distancias 5.1 Recta y plano perpendiculares. Propiedades ....................................................................... 5.2 Rectas perpendiculares. Propiedades .................................................................................. 5.3 Planos perpendiculares. Propiedades .................................................................................. 5.4 Distancias ..................................................................................................................... 29 30 30 31 31

5.5 Problemas de perpendicularidad y distancias ...................................................................... 5.5.1 Por un punto dado, perpendicular a un plano tambin dado. V.M. de la distancia entre un punto y un plano dados ........................................................................... 5.5.2 Por un punto dado, plano perpendicular a una recta tambin dada ...................... 5.5.3 Por un punto dado, recta perpendicular a otra dada. V.M. de la distancia entre un punto y una recta ................................................................................................... 5.5.4 Por una recta, plano perpendicular a otro. Proyeccin ortogonal de una recta sobre un plano ....................................................................................................... 5.5.5 V.M. de la distancia entre rectas paralelas ............................................................ 5.5.6 V.M. de la distancia entre planos paralelos .......................................................... 5.5.7 V.M. de la distancia entre un plano y una paralela a l ........................................ 5.5.8 V.M. de la distancia entre dos rectas que se cruzan .............................................

31 32

32

33 34 34 35 35

6.

ngulos 6.1 ngulo de dos rectas que se cortan ..................................................................................... 6.2 ngulo de dos rectas que se cruzan .................................................................................... 6.3 ngulo de recta y plano ...................................................................................................... 6.4 ngulo de dos planos .......................................................................................................... 6.5 Problemas inversos .............................................................................................................. 6.5.1 Por un punto, rectas que formen un ngulo dado con otra recta ........................... 6.5.2 Por un punto, rectas que formen ngulos dados con otras dos rectas ................... 6.5.3 Por un punto, rectas que formen un ngulo dado con un plano ............................ 6.5.4 Por un punto, rectas que formen ngulos dados con dos planos ........................... 6.5.5 Por un punto, rectas que formen ngulos dados con una recta y un plano ........... 6.5.6 Por un punto, planos que formen un ngulo dado con una recta .......................... 6.5.7 Por una recta, planos que formen un ngulo dado con una recta .......................... 39 40 40 40 41 42 44 52 53 55 58 60

V

6.5.8 Por un punto, planos que formen ngulos dados con dos rectas .......................... 6.5.9 Por un punto, planos que formen un ngulo dado con un plano ........................... 6.5.10 Por una recta, planos que formen un ngulo dado con un plano ......................... 6.5.11 Por un punto, planos que formen ngulos dados con dos planos ......................... 6.5.12 Por un punto, planos que formen ngulos dados con una recta y un plano .........

61 68 69 69 75

7.

Conos cudricos 7.1 Definicin 7.2 Clasificacin ..................................................................................................................... ..................................................................................................................... 83 83 83 86 86 86 86 87 88 88 88 88 90 91 91 91 92 94 94 95 97 97 98

7.3 Representacin .................................................................................................................... 7.4 Pertenencia de un punto ...................................................................................................... 7.5 Puntos comunes con una recta ............................................................................................ 7.6 Planos tangentes .................................................................................................................. 7.6.1 Por un punto de la superficie ................................................................................ 7.6.2 Por un punto exterior ............................................................................................ 7.6.3 Paralelos a una direccin dada .............................................................................. 7.7 Secciones planas ................................................................................................................. 7.7.1 Secciones circulares .............................................................................................. 7.7.1.1 Cono oblicuo de base circular ............................................................................ 7.7.1.2 Cono recto de base elptica ................................................................................ 7.7.1.3 Cono oblicuo de base elptica ............................................................................ 7.7.2 Secciones elpticas ................................................................................................ 7.7.2.1 Cono recto de base circular ................................................................................ 7.7.2.2 Cono oblicuo de base circular ............................................................................ 7.7.3 Secciones parablicas ........................................................................................... 7.7.3.1 Cono recto de base circular ................................................................................ 7.7.3.2 Cono oblicuo de base circular ............................................................................ 7.7.4 Secciones hiperblicas .......................................................................................... 7.7.4.1 Cono recto de base circular ................................................................................ 7.7.4.2 Cono oblicuo de base circular ............................................................................

8.

Cilindros cudricos 8.1 Definicin ..................................................................................................................... 103 103 103 106

8.2 Clasificacin de los cilindros elpticos ................................................................................ 8.3 Representacin .................................................................................................................... 8.4 Pertenencia de un punto ......................................................................................................

VI

ndice de contenido

8.5 Puntos comunes con una recta ............................................................................................ 8.6 Planos tangentes .................................................................................................................. 8.6.1 Por un punto de la superficie ................................................................................ 8.6.2 Por un punto exterior ............................................................................................ 8.6.3 Paralelos a una direccin dada .............................................................................. 8.7 Secciones planas .................................................................................................................. 8.7.1 Secciones circulares .............................................................................................. 8.7.1.1 Cilindro oblicuo de bases circulares .................................................................. 8.7.1.2 Cilindro recto de bases elpticas ......................................................................... 8.7.1.3 Cilindro oblicuo de bases elpticas ..................................................................... 8.7.2 Secciones elpticas ................................................................................................ 8.7.2.1 Cilindro recto de bases circulares ...................................................................... 8.7.2.2 Cilindro oblicuo de bases circulares ..................................................................

106 107 107 107 108 108 108 108 110 110 111 111 111

9.

Esfera 9.1 Definicin ..................................................................................................................... 115 115 118 118 119 119 119 120 120 121

9.2 Representacin .................................................................................................................... 9.3 Pertenencia de un punto ...................................................................................................... 9.4 Puntos comunes con una recta ............................................................................................ 9.5 Planos tangentes .................................................................................................................. 9.5.1 Por un punto de la superficie ................................................................................ 9.5.2 Por una recta exterior ............................................................................................ 9.6 Secciones planas .................................................................................................................. 9.7 Cono circunscrito ................................................................................................................ 9.8 Cilindro circunscrito ............................................................................................................

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P T U L O

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Fundamentos

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1.1 Sistema de Coordenadas UniversalEl Dibujo Tridimensional permite la representacin de los objetos en el espacio tal y como los vemos y manipulamos en la realidad. Los elementos geomtricos bsicos, punto, recta y plano, se representan en el espacio en funcin de sus posiciones respecto de un sistema de coordenadas, que llamaremos Universal, formado por tres ejes perpendiculares entre s que determinan un triedro trirrectngulo. Los tres ejes se cortan en un punto, el Origen de Coordenadas, que divide a cada eje en dos semirrectas y determina el sentido positivo y negativo de cada uno. La figura adjunta ilustra el triedro que forma el Sistema de Coordenadas Universal y las porciones positiva y negativa de cada eje. Si hacemos una analoga con el Sistema Didrico, el plano vertical de proyeccin, PV, se correspondera con el plano YZ, el plano horizontal, PH, con el plano XY, y el plano de tercera proyeccin o plano de perfil, PP, correspondera al plano XZ.Figura 1.1

1.2 Punto de vista en Dibujo TridimensionalLa direccin de observacin de los objetos del espacio, que en adelante llamaremos Punto de Vista, viene determinada por un vector orientado que une la posicin espacial del observador con el origen de coordenadas universal. Una vez establecido un punto de vista, el programa proyecta ortogonalmente los objetos sobre un plano perpendicular a la direccin de observacin (la pantalla del ordenador). As, si la direccin de observacin se corresponde con alguno de los ejes del Sistema de Coordenadas, sobre la pantalla veremos proyecciones ortogonales anlogas a las obtenidas en el Sistema Didrico. Por el contrario, si la direccin de observacin es oblicua respecto de los ejes, el resultado en la pantalla sern perspectivas anlogas a las obtenidas en el Sistema Axonomtrico, dimtricas, trimtricas o isomtricas en funcin del ngulo de oblicuidad de la direccin de observacin. A diferencia de los Sistemas de Representacin tradicionales, donde la posicin del observador es fija, el Dibujo Tridimensional permite modificar a voluntad dicha posicin, puesto que es el ordenador quien se ocupa de obtener las nuevas proyecciones de los objetos sobre la pantalla (plano de proyeccin o plano del cuadro) cuando cambia la direccin de observacin. Esta posibilidad es fundamental para obtener en cada momento una direccin de observacin que resulte favorable para resolver el problema puntual de que se trate. En cierto modo, esta posibilidad de elegir en cada momento la direccin de observacin puede asimilarse a los cambios de plano que se efectan en el Sistema Didrico para obtener proyecciones favorables. Teniendo en cuenta que la direccin de observacin siempre pasa por el Origen del Sistema de Coordenadas Universal, el establecimiento del punto de vista puede hacerse mediante dos procedimientos utilizando el comando PTOVISTA. El primer mtodo permite fijar la direccin de observacin mediante tres valores numricos separados por comas, que pueden asimilarse a las tres coordenadas (X,Y,Z) de un segundo punto de la recta que corresponde a la direccin de observacin. As, por ejemplo, si quisiramos obtener en pantalla un alzado (una proyeccin sobre el plano YZ), deberamos especificar una direccin de observacin (1,0,0), es decir, perpendicular a dicho plano. Si quisiramos obtener una perspectiva axonomtrica dimtrica, podramos especificar una direccin de observacin de (1,0.5,1), etc. Las figuras 1.2 y 1.3 muestran un mismo dodecaedro visto desde las dos direcciones de observacin citadas.

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Fundamentos

Figura 1.2

Figura 1.3

El segundo mtodo para establecer la direccin de observacin consiste en especificar dos valores angulares, conocidos como ngulo Horizontal y ngulo Vertical o de Elevacin. El ngulo Horizontal se mide en el plano XY a partir del eje X, tomando como sentido positivo el antihorario. El ngulo Vertical se mide a partir del plano XY, considerando tambin como positivo el sentido antihorario. Retomando los ejemplos anteriores, una direccin de observacin de (1,0,0) correspondera a un valor de 0 para los ngulos Horizontal y Vertical, mientras que una direccin de observacin de (1,0.5,1) se correspondera con un ngulo Horizontal de 2633 y un ngulo Vertical de 4148. La eleccin del mtodo para establecer la direccin de observacin depender de las preferencias particulares y del caso concreto de que se trate.

1.3 Sistemas de Coordenadas PersonalesComo ya hemos citado, el Sistema de Coordenadas Universal es la referencia bsica que permite la ubicacin de los elementos geomtricos en el espacio. Este sistema de coordenadas existe siempre, es fijo y no se puede modificar. No obstante, es posible establecer en cualquier momento sistemas de coordenadas diferentes del Universal, que tengan su origen en cualquier punto del espacio y sus ejes con cualquier orientacin, mantenindose siempre perpendiculares entre s. Resultan extraordinariamente valiosos para facilitar la operatividad en el espacio, al permitir establecer el plano de trabajo (plano XY) en cualquier posicin respecto del Sistema de Coordenadas Universal. De este modo, no es preciso operar con las proyecciones de los elementos geomtricos, sino directamente sobre dichos elementos. Estos nuevos sistemas de coordenadas, que deben entenderse como auxiliares y momentneos, reciben el nombre de Sistemas de Coordenadas Personales. El comando SCP permite establecer el Sistema de Coordenadas Personal que se considere adecuado en cada momento. Aunque las opciones del comando son numerosas, bsicamente slo hay cuatro mtodos para establecer un nuevo sistema de coordenadas: Especificar un nuevo origen, un nuevo plano XY o un nuevo eje Z. Adoptar la orientacin espacial de un elemento geomtrico existente. Alinear el nuevo SCP con la vista actual, es decir, situar el nuevo plano XY perpendicular a la direccin de observacin. Rotar el SCP alrededor de cualquiera de los ejes X, Y o Z.

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Una vez establecido el nuevo Sistema de Coordenadas, puede operarse sobre el plano XY resultante del mismo modo que se opera sobre el plano XY del Sistema de Coordenadas Universal. Como veremos ms adelante, el emplazamiento adecuado del plano XY permitir resolver con extraordinaria facilidad problemas que, en otra situacin, resultaran complejos y laboriosos. En ocasiones, una vez establecido un nuevo plano XY, ser conveniente establecer un punto de vista ortogonal respecto de dicho plano para facilitar an ms la operatividad y poder observar la verdadera magnitud de los elementos contenidos en l. Sin embargo, como hemos explicado anteriormente, la direccin de observacin se establece con referencia al origen del Sistema de Coordenadas Universal, por lo que no es inmediato calcular un punto que, unido con dicho origen, determine una recta que resulte perpendicular al plano XY actual. Esta operacin resulta automtica con ayuda del comando PLANTA, que permite establecer una vista en planta (punto de vista 0,0,1) respecto de cualquier sistema de coordenadas, ya sea el Universal o un Sistema de Coordenadas Personal. Al ejecutar este comando, el programa se ocupa de efectuar los clculos necesarios para establecer una direccin de observacin perpendicular al plano XY que se especifique.

1.4 Representacin de los elementos fundamentalesUn punto viene determinado por sus tres coordenadas universales X, Y, Z. Para su representacin utilizaremos el comando PUNTO, estableciendo un formato y tamao adecuados en cada caso. Una recta queda definida por dos puntos (distintos) que le pertenezcan. Por tanto, para representar una recta, bastar representar dos puntos de ella y unirlos mediante un segmento (comando LINEA). Un plano queda determinado por tres puntos no alineados. En consecuencia, para representar un plano ser suficiente representar tres puntos no alineados y trazar los segmentos que unan dichos puntos dos a dos (comando LINEA). La figura adjunta muestra la representacin de los tres elementos geomtricos fundamentales.

Figura 1.4

En principio, salvo que resulte indispensable, no se utilizarn notaciones para nombrar los elementos. Tngase en cuenta que las notaciones slo seran claramente legibles cuando la direccin de observacin fuera perpendicular al plano en el que fueron dibujadas. Es preferible utilizar colores para diferenciar unos elementos de otros. No obstante, en caso de utilizar notaciones, se emplearn letras maysculas para los puntos y minsculas para las rectas. Es importante notar que carece de sentido hablar de posiciones particulares de cualquiera de los elementos geomtricos fundamentales. El hecho de que una recta (o un punto o un plano) ocupe una posicin particular en el espacio no aporta ninguna ventaja ni supone ningn inconveniente a efectos de la operatividad. Conviene recordar, en este sentido, que tanto el punto de vista (direccin de observacin) como la posicin del triedro (sistema de coordenadas) puede establecerse a voluntad, de modo que si un elemento ocupa una posicin desfavorable en el espacio, siempre es posible establecer un nuevo punto de vista y/o un nuevo sistema de coordenadas para que dicho elemento pase a ocupar una posicin que resulte favorable para operar.

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Pertenencia

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2.1 Pertenencia entre recta y puntoCuando en el espacio existe pertenencia entre punto y recta, tambin existe entre sus proyecciones ortogonales respecto de un determinado plano. No obstante, debe tenerse en cuenta que, para una determinada direccin de observacin, no es suficiente que la proyeccin del punto est sobre la proyeccin de la recta para asegurar su pertenencia. Para tener certeza de la pertenencia es necesario recurrir a la observacin de las proyecciones sobre dos planos diferentes. Si en ambos planos, las proyecciones del punto y la recta se pertenecen, entonces podr asegurarse su pertenencia en el espacio. Por lo dicho, es evidente que, si desde el punto de vista que se tenga establecido, el punto no se observa superpuesto con la recta, no existe pertenencia entre ellos. En el caso de que se observen superpuestos, puede verificarse su pertenencia estableciendo un nuevo Sistema de Coordenadas (comando SCP) de modo que el nuevo eje Z (opcin ejEZ) contenga a la recta. En esa disposicin, el punto pertenecer a la recta slo si sus coordenadas X e Y tienen valor 0, lo que podr verificarse mediante el comando ID. As, por ejemplo, para asegurar la pertenencia entre el punto P y la recta AB de la figura 2.1, la secuencia de operaciones sera la siguiente:Comando: SCP Indique una opcin [Nuevo/DEsplazar/.../Aplicar/?/Univ] : EZ Precise nuevo punto de origen : Designar el punto A Precise punto en parte positiva del eje Z: Designar el punto B Comando: ID Precise punto: Designar el punto P X = 0.0000 Y = 0.0000 Z = 54.2267

Figura 2.1

Figura 2.2

Esta misma secuencia de operaciones aplicada sobre la recta CD y el punto Q, podra producir el siguiente resultado si no existiera pertenencia entre ambos:Comando: SCP Indique una opcin [Nuevo/DEsplazar/.../Aplicar/?/Univ] : EZ Precise nuevo punto de origen : Designar el punto C Precise punto en parte positiva del eje Z: Designar el punto D Comando: ID Precise punto: Designar el punto Q X = -20.6992 Y = 13.3076 Z = 57.2513

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Pertenencia

2.2 Punto perteneciente a dos rectas (rectas coplanarias)Cuando slo se utiliza un plano de proyeccin (una direccin de observacin), las proyecciones de dos rectas que ocupen una posicin arbitraria en el espacio (no paralelas) siempre se cortan (dentro de la pantalla o lo hacen sus prolongaciones). Por lo tanto, para poder afirmar que las rectas se cortan o se cruzan en el espacio es necesario apoyarse en otro recurso diferente de la mera observacin de sus proyecciones. Un mtodo sencillo y rpido es el establecimiento de un nuevo sistema de coordenadas (comando SCP) donde el nuevo plano XY contenga a una de las rectas y a un punto de la otra (opcin 3p). En este nuevo sistema de coordenadas, podr afirmarse que las rectas se cortan slo si un punto cualquiera de la segunda recta, distinto del utilizado para establecer el nuevo plano XY, tiene su coordenada Z igual a 0, lo que podr verificarse con el comando ID. Es evidente que si esta condicin se cumple para un punto cualquiera de dicha recta, habr de cumplirse para todos los dems ya que las rectas sern coplanarias. As, por ejemplo, la secuencia de operaciones para determinar si las rectas AB y CD se cortan o se cruzan sera la siguiente (figuras 2.3 y 2.4):Comando: SCP Indique una opcin [Nuevo/DEsplazar/.../Aplicar/?/Univ] : 3p Precise nuevo punto de origen : Designar el punto C Precise punto en parte positiva del eje X: Designar el punto D Precise punto en parte Y positiva del plano XY del SCP: Designar el punto B Comando: ID Precise punto: Designar el punto A X = 28.6356 Y = -23.8614 Z = 0.0000

Figura 2.3

Figura 2.4

2.3 Pertenencia entre recta y planoUna recta pertenece a un plano si contiene a dos puntos de dicho plano. Por lo tanto, dado un plano definido por tres puntos, ABC, para situar una recta en dicho plano bastara tomar dos puntos cualesquiera, P, Q, sobre dos lados del tringulo ABC (modo de referencia CERcano) y unirlos mediante un segmento (figuras 2.5 y 2.6). El problema inverso, es decir, asegurar la pertenencia entre una recta y un plano, puede resolverse de manera anloga a como hemos determinado si dos rectas se cortan o se cruzan. Esto es, tendramos que

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establecer un nuevo sistema de coordenadas (comando SCP) de modo que el nuevo plano XY contenga a la recta y a uno de los puntos del plano (opcin 3p). Si la recta y el plano se pertenecen, los otros dos puntos del plano (y todos los dems) habrn de tener su coordenada Z igual a 0 (comando ID).

Figura 2.5

Figura 2.6

2.4 Punto perteneciente a un planoUn punto pertenece a un plano cuando pertenece a una recta de dicho plano. Segn esto, para situar un punto en un plano, comenzaramos por trazar una recta perteneciente a dicho plano y, despus, bastara tomar un punto cualquiera de dicha recta (modo de referencia CERcano) para representar el punto (comando PUNTO). El problema inverso, es decir, asegurar la pertenencia entre un punto y un plano podra resolverse del siguiente modo: dado un plano ABC y un punto P, trazaremos una recta (comando LINEA) que pase por P (modo de referencia PUNto) y por un punto, Q, cualquiera, de uno de los lados del tringulo ABC (modo de referencia CERcano); finalmente, se comprueba la pertenencia entre la recta PQ y el plano ABC segn se ha explicado en el epgrafe anterior.

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Determinacin

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3.1 Determinacin del puntoLos casos relevantes en la determinacin del punto se plantean a partir de los siguientes datos: Dos rectas. Un plano y una recta (no perteneciente a l). Tres planos (no incidentes en una misma recta). El primer caso ya se estudi en el epgrafe 2.2. El segundo caso es equivalente a obtencin del punto de interseccin entre una recta y un plano dados. El tercer caso se reduce al segundo hallando la recta comn a dos de los planos dados y obteniendo, despus, el punto de interseccin entre dicha recta y el tercer plano. La obtencin de la recta comn a dos planos se ver en el epgrafe 3.2 al estudiar los casos de determinacin de la recta.

3.1.1 Punto de interseccin entre una recta y un planoSean el plano ABC y la recta PQ. Un plano auxiliar que contenga a PQ cortar a ABC segn una recta MN. El punto comn, K, de las rectas PQ y MN ser el de interseccin de PQ y el plano ABC.

Figura 3.1

An no habiendo tratado el tema de la perpendicularidad entre recta y plano, es obvio que, dado un plano ABC y un punto P no perteneciente a l, otro punto M que tenga las mismas coordenadas XY que P y una coordenada Z = 0 (respecto de ABC), determina con P una recta perpendicular al plano ABC. Segn esto, puesto que para obtener el punto de interseccin entre una recta y un plano es necesario apoyarse en un plano auxiliar (cualquiera) que contenga a la recta, el ms sencillo de obtener resulta ser el que contiene a la recta y, adems, es perpendicular al plano. El trazado de la perpendicular a un plano desde un punto exterior resulta inmediato si se hace uso de una herramienta habitual en los programas de CAD que soportan el dibujo tridimensional, denominada filtros de coordenadas. Esta herramienta permite componer un punto combinando los valores de las coordenadas X, Y o Z de otros puntos del dibujo o introduciendo alguno de ellos por teclado. De acuerdo con lo expuesto, la secuencia de operaciones a realizar para obtener el punto de interseccin entre una recta PQ y un plano ABC es la siguiente (figura 3.2): Definir un nuevo sistema de coordenadas tal que el nuevo plano XY se corresponda con el plano ABC (comando SCP, opcin 3p).

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Determinacin

Tomar un punto cualquiera de la recta (por ejemplo, el punto P dado) y trazar una perpendicular al nuevo plano XY, que lo intercepta en el punto M (comando LINEA, modo de referencia punto FINal para P, filtro .XY de P con Z = 0 para M). Tomar otro punto cualquiera de la recta (por ejemplo, el punto Q dado) y trazar una perpendicular al nuevo plano XY, que lo intercepta en el punto N (comando LINEA, modo de referencia punto FINal para Q, filtro .XY de Q con Z=0 para N). Trazar la recta MN y determinar su punto de interseccin, K, con PQ (comando LINEA, comando PUNTO con modo de referencia INTerseccin).

Figura 3.2

3.2 Determinacin de la rectaLos casos caractersticos se plantean a partir de los siguientes datos: dos puntos o dos planos. El primer caso ya se estudi en el epgrafe 1.4 al tratar la representacin de los elementos fundamentales. El segundo caso es equivalente a obtencin de la recta de interseccin entre dos planos dados.

3.2.1 Recta de interseccin entre dos planosSean los planos ABC y PQR (figura 3.3). Dos rectas cualesquiera, PQ, PR, de uno de los planos, interceptarn al otro en dos puntos que, unidos, proporcionarn la recta de interseccin entre los planos.

Figura 3.3

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En la figura 3.4, se han obtenido los puntos de interseccin, J, K, de las rectas PQ y PR, respectivamente, con el plano ABC, de acuerdo con el procedimiento explicado en el epgrafe 3.1.1. La recta JK es, por tanto, la de interseccin entre los planos ABC y PQR.

Figura 3.4

3.3 Problemas de incidencia y determinacin 3.3.1 Recta que pasa por un punto dado e intercepta a otras dos tambin dadasSean dados el punto A y las rectas BC y DE (figuras 3.5 y 3.6). Debe obtenerse una recta que, pasando por el punto A corte a las rectas BC y DE. El plano formado por el punto A y una de las rectas dadas, BC, proporciona el punto de interseccin, T, con la otra, DE, de manera que ambos puntos, A y T, determinan la solucin, la cual intercepta a la recta inicial en un punto, R, que puede ser propio o impropio (si AT resulte paralela a BC).

Figura 3.5

Figura 3.6

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Determinacin

3.3.2 Recta que intercepta a otras tres dadasSean dadas las rectas AB, CD y EF (fig. 3.7). Un plano, ABF, que contenga a una de las rectas dadas, AB, intercepta a las otras dos, CD, EF, en sendos puntos, F, J, que definen la recta solucin, la cual a su vez, por ser coplanaria de la primera, determinar sobre ella el tercer punto de contacto, K. Dado que puede elegirse cualquier plano del haz que pasa por una de las rectas, existen infinitas posibilidades de eleccin y, por lo tanto, infinitas soluciones. En la figura 3.8 se ha tomado como tal el plano ABF, lo que ahorra tener que obtener el punto de interseccin entre el plano y una de las rectas dadas. Basta, por lo tanto, hallar el punto de interseccin entre dicho plano y la recta CD.

Figura 3.7

Figura 3.8

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Paralelismo

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4.1 Paralelismo entre rectasSi dos o ms rectas, paralelas en el espacio, se proyectan sobre un plano segn una direccin no coincidente con la de las rectas o paralela al plano, los rayos proyectantes, que constituyen sendos planos paralelos (o coincidentes), interceptan al de referencia segn rectas paralelas (o coincidentes). De lo anterior se desprende que, en dibujo tridimensional: Dos rectas paralelas en el espacio se observarn como tales paralelas (o coincidentes). Sus proyecciones sobre el plano de la pantalla (plano del cuadro) sern, en general, dos rectas paralelas, a menos que la direccin de observacin sea paralela a las rectas, en cuyo caso se observarn como dos puntos.

Figura 4.1

4.1.1 Plano formado por dos paralelasDos rectas que se cortan en un punto (propio o impropio) determinan un plano. Por lo tanto, dos rectas paralelas, AB, CD, definen un plano. Para garantizar el paralelismo entre dos rectas, puede establecerse un nuevo sistema de coordenadas de modo que el nuevo eje Z contenga a una de las rectas (figura 4.2). En esa disposicin, la segunda recta ser paralela a la primera slo si todos sus puntos tienen idnticas coordenadas X e Y, lo que podr verificarse aplicando el comando ID sobre dos puntos cualesquiera de dicha recta. As, por ejemplo, para asegurar el paralelismo entre las rectas AB y CD de la figura 4.2, la secuencia de operaciones sera la siguiente:Comando: SCP Indique una opcin [Nuevo/DEsplazar/.../Aplicar/?/Univ] : EZ Precise nuevo punto de origen : Designar el punto A Precise punto en parte positiva del eje Z: Designar el punto B Comando: ID Precise punto: Designar el punto C X = -22.1031 Y = -6.6482 Z = 6.5888 Comando: ID Precise punto: Designar el punto D X = -22.1031 Y = -6.6482 Z = 76.9846

4.2 Paralela por un punto a otra recta dadaEn el espacio, para trazar, por un punto, una recta paralela a otra, puede efectuarse una traslacin de la recta segn un vector definido por dos puntos, uno cualquiera de la recta y el punto dado. En la traslacin, habr de mantenerse la recta original.

Figura 4.2

22

Paralelismo

En dibujo tridimensional, esta operacin se efecta por medio del comando COPIA, donde la traslacin puede especificarse mediante dos puntos 3D. Sean dados la recta AB y el punto P (figuras 4.3 y 4.4). La secuencia de operaciones a realizar para trazar una paralela por el punto P a la recta AB es la siguiente:Comando: COPIA Designe objetos: Designar la recta AB Designe objetos: INTRO Precise punto base o de desplazamiento: Designar un punto de AB (CERcano) Precise segundo punto del desplazamiento: Designar el punto P (PUNto)

Figura 4.3

Figura 4.4

4.3 Paralelismo entre planosCuando dos o ms planos son paralelos entre s, las rectas propias de interseccin con cualquier otro plano no paralelo a ellos, son paralelas entre s. Se desprende, pues, que para asegurar el paralelismo entre dos planos habr que verificar el paralelismo entre las rectas de interseccin de dichos planos con otros planos auxiliares cualesquiera (no paralelos a ninguno de los dados). Otro mtodo, mucho ms simple que el anterior y que, adems, no requiere el trazado de ninguna lnea, consiste en establecer un nuevo sistema de coordenadas tal que el nuevo plano XY se corresponda con uno de los planos dados . En esa situacin, si todos los puntos del otro plano tienen idntica su coordenada Z, ambos planos sern paralelos. Este extremo puede verificarse aplicando el comando ID sobre tres puntos cualesquiera, no alineados, del segundo plano. As, por ejemplo, para asegurar el paralelismo entre dos planos ABC y DEF (figura 4.5), la secuencia de operaciones sera la siguiente:Comando: SCP Indique una opcin [Nuevo/DEsplazar/.../Aplicar/?/Univ] : 3p Precise nuevo punto de origen : Designar el punto D Precise punto en parte positiva del eje X: Designar el punto F Precise punto en parte Y positiva del plano XY del SCP: Designar el punto E Comando: ID Precise punto: Designar el punto A X = -38.0596 Y = 10.8158 Z = 16.9114 Comando: ID Precise punto: Designar el punto B X = -4.2995 Y = 72.5882 Z = 16.9114

23

Comando: ID Precise punto: Designar el punto C X = 2.2453 Y = 36.4350 Z = 16.9114

Figura 4.5

4.4 Paralelismo entre recta y plano 4.4.1 Por un punto dado, paralela a dos planos dadosSean dados el punto P y los planos ABC y DEF (figuras 4.6 y 4.7). Basta trazar por P la paralela, PQ, a la recta de interseccin, JK, de los dos planos.

Figura 4.6

Figura 4.7

4.4.2 Paralela por un punto dado a un plano dadoBasta trazar por el punto una paralela a una recta cualquiera perteneciente al plano. El problema tiene infinitas soluciones (tantas como rectas iniciales se tomen, pertenecientes al plano dado). De no especificarse alguna otra condicin, lo ms sencillo es trazar por el punto una paralela a una cualquiera de las tres rectas que definen el plano.

24

Paralelismo

4.4.3 Plano, por un punto dado, paralelo a otro plano dadoSean dados el plano ABC y el punto P (figura 4.8). El plano solucin, paralelo al dado, puede determinarse con ayuda de cualquier par de rectas, PQ, PR, que, pasando por el punto dado, resulten paralelas a dos rectas no paralelas entre s, AB, AC, de la figura que define plano dado.

Figura 4.8

4.4.4 Plano, por un punto dado, paralelo a una recta dadaSean dados el punto P y la recta AB (figura 4.9). Cualquier plano, PQR, que contenga a una paralela, PR, a la recta dada, AB, por el punto dado, P, es solucin (si no contiene tambin a la recta dada).

Figura 4.9

4.4.5 Plano, por un punto dado, paralelo a dos rectas dadasSean dados el punto P y las rectas AB y CD. Las respectivas paralelas, PQ, PR, por el punto dado, P, a las rectas dadas, AB, CD, determinan el plano solucin (figura 4.10).

Figura 4.10

25

4.4.6 Plano, que pasa por una recta dada, paralelo a otra recta tambin dadaSean dadas las rectas AB y CD. Tmese un punto cualquiera, A, sobre la primera recta (AB) dada y, por l, obtngase la paralela (AP) a la segunda recta (CD) dada. El plano solucin es el determinado por la primera recta y la paralela a la segunda (figura 4.11).

Figura 4.11

4.5 Problemas de paralelismo e incidencia 4.5.1 Recta que intercepta a otras dos dadas y es paralela a un plano dadoSean dados el plano ABC y las rectas PQ y RS (figuras 4.12 y 4.13). Cualquier plano, DEF, paralelo al dado, intercepta a las rectas dadas en sendos puntos, J, K, los cuales determinan la recta solucin. Existen infinitas rectas solucin, tantas como planos paralelos al dado se tomen.

Figura 4.12

Figura 4.13

26

Paralelismo

4.5.2 Recta que corta a otras dos y es paralela a una tercera (o a dos planos)Si la solucin debe ser paralela a dos planos, tambin lo ser a su recta de interseccin. Por lo tanto, en este supuesto, se hallar la recta de interseccin entre los dos planos, con lo que el problema queda reducido a trazar una recta que corta a dos dadas y es paralela a una tercera. Sean dadas las rectas AB, CD y EF (figuras 4.14 y 4.15). El plano, ABP, que pasa por una de las dos rectas dadas, AB, y es paralelo a la tercera, EF, intercepta a la otra, CD, en un punto, J, por el cual pasa la solucin, JK, paralela a dicha tercera recta dada, EF.

Figura 4.14

Figura 4.15

C A

P T U L O

5

Perpendicularidad y distancias

29

5.1 Recta y plano perpendiculares. PropiedadesSi una recta y un plano son perpendiculares resulta evidente que, establecido un sistema de coordenadas de modo que el nuevo plano XY se corresponda con el citado plano, todos los puntos de la recta habrn de tener idnticas sus coordenadas X e Y. Recprocamente, si se establece un nuevo sistema de coordenadas tal que el nuevo eje Z coincida (o sea paralelo) con la recta, todos los puntos del plano perpendicular tendrn idnticas sus coordenadas Z. Veamos cmo operar en uno y otro caso. Sean la recta PQ y el plano ABC (figura 5.1). Establezcamos un nuevo sistema de coordenadas haciendo corresponder el nuevo plano XY con el plano ABC.

Figura 5.1

Comando: SCP Indique una opcin [Nuevo/DEsplazar/.../Aplicar/?/Univ] : 3p Precise nuevo punto de origen : Designar el punto A Precise punto en parte positiva del eje X: Designar el punto B Precise punto en parte Y positiva del plano XY del SCP: Designar el punto C Comando: ID Precise punto: Designar el punto P X = 28.8108 Y = 25.0735 Z = 47.061 Comando: ID Precise punto: Designar el punto Q X = 28.8108 Y = 25.0735 Z = -53.7278

Tal y como habamos previsto, puesto que la recta y el plano son perpendiculares, los puntos P y Q de la recta tienen idnticas sus coordenadas X e Y. Establezcamos ahora un sistema de coordenadas de modo que el nuevo eje Z se corresponda con la recta PQ y comprobemos el valor de la coordenada Z de los tres puntos que definen el plano (figura 5.2).Comando: SCP Indique una opcin [Nuevo/DEsplazar/.../Aplicar/?/Univ] : EZ Precise nuevo punto de origen : Designar el punto P Precise punto en parte positiva del eje Z: Designar el punto Q Comando: ID Precise punto: Designar el punto A X = 22.4195 Y = -30.9210 Z = 47.0618

30

Perpendicularidad y distancias

Comando: ID Precise punto: Designar el punto B X = -51.5606 Y = -13.8097 Z = 47.0618 Comando: ID Precise punto: Designar el punto C X = 14.2529 Y = 22.5516 Z = 47.0618

Figura 5.2

En efecto, los tres puntos que definen el plano (y todos los dems) tienen idnticas sus coordenadas Z, puesto que existe perpendicularidad entre la recta y el plano.

5.2 Rectas perpendiculares. PropiedadesSi dos rectas son perpendiculares en el espacio, sus proyecciones sobre cualquier plano no mantienen la perpendicularidad (salvo en casos particulares). Sin embargo, es sabido que si una recta y un plano son perpendiculares, todas las rectas pertenecientes al plano son perpendiculares a aqulla. As pues, dos rectas sern perpendiculares cuando una de ellas pertenezca a un plano perpendicular a la otra. No obstante, conviene puntualizar que la perpendicularidad estricta se produce slo entre rectas que se cortan y que, en realidad, la denominacin de perpendiculares responde al concepto de se cruzan perpendicularmente, pero ello se admite para poder enunciar genricamente que si existe perpendicularidad entre dos rectas, tambin existe entre sus respectivas rectas paralelas. De acuerdo con lo expuesto y considerando la recta PQ y el plano ABC (perpendiculares entre s) de la figura anterior, las rectas AB, BC y CA del plano son, por tanto, perpendiculares a la recta PQ.

5.3 Planos perpendiculares. PropiedadesLa existencia de perpendicularidad entre dos planos se asegura cuando uno de ellos contiene a una recta perpendicular al otro. As pues, considerando la recta PQ y el plano ABC (perpendiculares entre s) de la figura anterior, cualquier plano que contenga a la recta PQ (como, por ejemplo, el definido por los puntos APQ) ser perpendicular al plano ABC.

31

5.4 DistanciasEl concepto de distancia entre elementos requiere que su magnitud se refiera al valor real (del espacio) o verdadera magnitud (V.M.). En dibujo tridimensional la V.M. de la distancia entre dos puntos se tiene de forma inmediata, con slo medir con el comando apropiado (DIST) la distancia de que se trate. El modo de operar para obtener la V.M. de la distancia entre los puntos P y Q de la figura anterior podra ser el siguiente:Comando: DIST Precise primer punto: Designar el punto P Designe segundo punto: Designar el punto Q Distancia = 100.7896, ngulo en el plano XY = 77, ngulo a partir del plano XY = 298 Incremento X = 10.7560, Incremento Y = 45.8781, Incremento Z = -89.095

5.5 Problemas de perpendicularidad y distanciasEn dibujo tridimensional se resuelven auxilindose de recta y plano que proporcionen certeza de perpendicularidad, es decir, teniendo en cuenta las propiedades de la perpendicularidad entre elementos expuestas en los apartados anteriores.

5.5.1 Por un punto dado, perpendicular a un plano tambin dado V.M. de la distancia entre un punto y un plano dadosSean dados el punto P y el plano ABC (figura 5.3). Si establecemos un nuevo sistema de coordenadas de modo que el nuevo plano XY se corresponda con el plano ABC (comando SCP, opcin 3p), el punto de interseccin, K, de la perpendicular desde P al plano ABC tendr las mismas coordenadas X e Y que P y el valor de su coordenada Z ser igual a 0 (figura 5.4).

Figura 5.3

Figura 5.4

De acuerdo con lo expuesto, el modo de operar para trazar la perpendicular desde P al plano ABC y obtener su punto de interseccin, K, ser la siguiente:Comando: SCP Indique una opcin [Nuevo/DEsplazar/.../Aplicar/?/Univ] : 3p Precise nuevo punto de origen : Designar el punto A Precise punto en parte positiva del eje X: Designar el punto B Precise punto en parte Y positiva del plano XY del SCP: Designar el punto C

32

Perpendicularidad y distancias

Comando: LINEA Precise primer punto: Designar el punto P Precise punto siguiente o [desHacer]: .XY de Designar el punto P (falta Z): 0 Precise punto siguiente o [desHacer]: INTRO

Una vez obtenido el punto K y, por tanto, la representacin del segmento PK, el comando DIST proporcionar la V.M. de la distancia entre P y K.

5.5.2 Por un punto dado, plano perpendicular a una recta tambin dadaSean dados el punto A y la recta PQ (figura 5.5). El problema se resuelve de forma muy sencilla obteniendo un nuevo sistema de coordenadas que tenga su origen en el punto A y su eje Z paralelo a la recta dada. De este modo, el nuevo plano XY ser perpendicular a la recta (figura 5.6).

Figura 5.5

Figura 5.6

Para evitar el trazado de lneas innecesarias, la obtencin del citado sistema de coordenadas puede hacerse en dos pasos. En primer lugar se establece un nuevo sistema de coordenadas que tenga su origen en un punto, Q, de la recta y su eje Z correspondiente con ella. Despus, se cambia el origen del sistema de coordenadas anterior para situarlo en el punto A. La secuencia de operaciones es la siguiente:Comando: SCP Indique una opcin [Nuevo/DEsplazar/.../Aplicar/?/Univ] : EZ Precise nuevo punto de origen : Designar el punto Q Precise punto en parte positiva del eje Z: Designar el punto P Comando: SCP Indique una opcin [Nuevo/DEsplazar/.../Aplicar/?/Univ] : Origen Precise nuevo punto de origen : Designar el punto A

Si fuera necesario representar el plano perpendicular a la recta PQ por el punto A, bastara tomar dos puntos cualesquiera (distintos del A) pertenecientes al nuevo plano XY.

5.5.3 Por un punto dado, recta perpendicular a otra dada V.M. de la distancia entre un punto y una rectaSean dados el punto A y la recta PQ (figura 5.7). Obtenido el sistema de coordenadas que tiene su origen en el punto A y su eje Z paralelo a la recta PQ, el punto, K, de interseccin de la recta PQ con la

33

perpendicular trazada desde A, tendr las mismas coordenadas X e Y que cualquier punto de la recta PQ y su coordenada Z ser igual a 0 (figura 5.8). As pues, dicha perpendicular puede obtenerse as:Comando: LINEA Precise primer punto: Designar el punto A Precise punto siguiente o [desHacer]: .XY de Designar el punto Q (falta Z): 0 Precise punto siguiente o [desHacer]: INTRO

Figura 5.7

Figura 5.8

Una vez obtenido el punto K y, por tanto, la representacin de la recta AK, el comando DIST proporcionar la V.M. de la distancia entre A y K.

5.5.4 Por una recta, plano perpendicular a otro Proyeccin ortogonal de una recta sobre un planoSean dados la recta PQ y el plano ABC (figura 5.9). La recta dada y la perpendicular, PK, por un punto cualquiera, P, de dicha recta, al plano ABC dado, determinan el plano PQK solucin (figura 5.10). La interseccin, KJ, entre el plano obtenido y el dado, ABC, es la proyeccin ortogonal de la recta PQ dada sobre este ltimo. Para obtener la proyeccin ortogonal de PQ sobre ABC basta hallar los pies, K, J, de las perpendiculares por P y Q al plano ABC.

Figura 5.9

Figura 5.10

34

Perpendicularidad y distancias

5.5.5 V.M. de la distancia entre rectas paralelasLa distancia entre dos rectas paralelas es igual a la longitud de cualquier segmento de perpendicular comn. Cualquier plano perpendicular a una de ellas es evidentemente perpendicular a la otra y, por lo tanto, los puntos de interseccin de dicho plano con las rectas determinarn el segmento de perpendicular comn. Sean dadas las rectas AB y CD (figura 5.11). Un modo sencillo de operar consiste en definir un nuevo sistema de coordenadas que tenga su origen en un punto cualquiera, B, de una de las rectas, AB, y su eje Z se corresponda con ella. El segmento de perpendicular comn vendr definido, entonces, por el punto B (origen del sistema de coordenadas) y el punto, K, de la otra recta que tenga su coordenada Z igual a 0 (figura 5.12).

Figura 5.11

Figura 5.12

La secuencia de operaciones sera, por tanto, la siguiente:Comando: SCP Indique una opcin [Nuevo/DEsplazar/.../Aplicar/?/Univ] : EZ Precise nuevo punto de origen : Designar el punto B Precise punto en parte positiva del eje Z: Designar el punto A Comando: LINEA Precise primer punto: Designar el punto B Precise punto siguiente o [desHacer]: .XY de Designar el punto C (falta Z): 0 Precise punto siguiente o [desHacer]: INTRO

Una vez obtenido el punto K y, por tanto, la representacin del segmento BK, el comando DIST proporcionar la V.M. de la distancia entre B y K.

5.5.6 V.M. de la distancia entre planos paralelosLa distancia entre dos planos paralelos es igual a la longitud de cualquier segmento de perpendicular comn. Basta, pues, tomar un punto cualquiera de uno de los planos y trazar por l una perpendicular al otro, obteniendo su punto de interseccin. Sean dados los planos ABC y DEF (figura 5.13). El problema se resuelve fcilmente estableciendo un sistema de coordenadas tal que el nuevo plano XY se corresponda con uno de los planos dados (ABC). A continuacin se traza desde un punto cualquiera (D) del otro plano una perpendicular al primero, obteniendo su punto de interseccin, K (figura 5.14).

35

Una vez obtenido el punto K y, por tanto, la representacin del segmento DK, el comando DIST proporcionar la V.M. de la distancia entre D y K.

Figura 5.13

Figura 5.14

5.5.7 V.M. de la distancia entre un plano y una paralela a lLa distancia entre un plano y una recta paralela a l es igual a la longitud de cualquier segmento de perpendicular comn. El problema es, pues, idntico al anterior, con slo considerar que los datos son el plano ABC y la recta DE.

5.5.8 V.M. de la distancia entre dos rectas que se cruzanLa distancia entre dos rectas que se cruzan, AB y CD, es la que existe entre una de las rectas y su plano paralelo por la otra. Sean dadas las rectas AB y CD (figura 5.15). Tomando un punto cualquiera, A, en una de las rectas y trazando por l la paralela, AE, a la otra, se obtiene el plano que contiene a la primera y es paralelo a la segunda. La distancia entre la recta CD y el plano ABE es el segmento CK, que es igual a la que existe entre las rectas que se cruzan (figura 5.16). La magnitud CK, aunque es efectivamente la distancia entre las rectas, AB, CD, que se cruzan, viene dada por un segmento cuyos extremos no corresponden a los puntos en los que, en el espacio, se produce la posicin de mnima distancia entre dichas rectas. Pero, esa posicin de mnima distancia, PQ, se obtiene fcilmente trazando por K la paralela KF a la recta CD, la cual intercepta en P a AB. Por ltimo, la paralela por P al segmento CK determina, en su interseccin con CD, el punto Q.

Figura 5.15

Figura 5.16

C A

P T U L O

6

ngulos

39

6.1 ngulo de dos rectas que se cortanEl ngulo que forman dos rectas que se cortan se mide en el plano determinado por ellas. Por lo tanto, el primer paso para obtener el valor del ngulo formado por dos rectas dadas ser establecer un sistema de coordenadas tal que el nuevo plano XY se corresponda con el plano definido por las rectas. Una vez establecido el citado sistema de coordenadas, puede obtenerse por distintos mtodos el ngulo formado por las rectas. Uno mtodo sencillo consiste en trazar un arco que tenga sus extremos en cada una de las rectas y su centro en el punto donde las rectas se cortan. El ngulo subtendido por el arco ser igual al formado por las rectas. El comando LIST, aplicado sobre el arco, proporciona los ngulos inicial y final del arco, por lo que el valor absoluto de su diferencia ser el ngulo buscado. Para evitar tener que efectuar la diferencia entre los ngulos inicial y final del arco, puede establecerse el sistema de coordenadas haciendo coincidir el nuevo eje X con una de las rectas. Entonces, el valor del ngulo inicial (o final) del arco ser, directamente, el ngulo formado por las rectas.

Figura 6.1

Figura 6.2

As pues, el ngulo formado por las rectas AB y AC (figs. 6.1 y 6.2) se obtiene del modo siguiente:Comando: SCP Indique una opcin [Nuevo/DEsplazar/.../Aplicar/?/Univ] : 3p Precise nuevo punto de origen : Designar el punto A Precise punto en parte positiva del eje X: Designar el punto B Precise punto en parte Y positiva del plano XY del SCP: Designar el punto C Comando: ARCO Precise punto inicial del arco o [Centro]: Designar el punto P (CERcano) Precise segundo punto de arco o [Centro/Final]: Centro Precise punto central del arco: Designar el punto A Precise punto final del arco o [...]: Designar el punto C

40

ngulos

Comando: LIST Designe objetos: Designar el arco Designe objetos: INTRO centro punto, X= 0.0000 Y= 0.0000 radio 42.3687 inicial ngulo 0.0000 final ngulo 54.0361 longitud 39.9582

Z=

0.0000

6.2 ngulo de dos rectas que se cruzanSean dadas las rectas AB y DE (figuras 6.1 y 6.2). El problema se reduce al anterior con solo trazar por un punto arbitrario, A, de una de las rectas (AB), una paralela (AC) a la otra. El ngulo que forman AB y DE es el mismo que forman AB y AC.

6.3 ngulo de recta y planoEl ngulo que una recta forma con un plano es igual al formado por la recta y su proyeccin ortogonal sobre el plano. As pues, para determinar el ngulo ser necesario obtener dicha proyeccin ortogonal y tambin el punto de interseccin de la recta con el plano, operaciones ya estudiadas en el captulo dedicado a la Determinacin. De acuerdo con lo expuesto, dados el plano ABC y la recta PQ (figuras 6.3 y 6.4), el ngulo formado por ambos ser igual al que forman las rectas PQ, dada, y MN, proyeccin ortogonal de PQ sobre ABC. Las rectas PQ y MN se cortan en el punto K.

Figura 6.3

Figura 6.4

6.4 ngulo de dos planosEl ngulo formado por dos planos es el rectilneo correspondiente al diedro que forman los dos planos y debe medirse, por tanto, entre las rectas de interseccin de dichos planos con otro perpendicular a ambos. La obtencin de este ltimo y de sus rectas de interseccin con los planos dados puede

41

efectuarse por diferentes mtodos. En dibujo tridimensional el mtodo ms sencillo y el que requiere un menor nmero de operaciones es el que se expone a continuacin. Sean dados los planos ABC y DEF (figura 6.5). Se toma un punto cualquiera, P, no perteneciente a ninguno de los planos dados, trazando desde l sendas perpendiculares, PM, PN, a cada uno de ellos (vase el captulo dedicado a la Perpendicularidad). El plano PMN es, por lo tanto, perpendicular a los dos planos dados, siendo, adems, los puntos M y N los de interseccin de dichas perpendiculares con cada uno de ellos. El ngulo MPN es el suplementario del ngulo buscado, por lo que si slo fuera preciso obtener la magnitud del ngulo, bastara hallar el valor del ngulo formado por las rectas PM y PN. El punto Q, cuarto vrtice del cuadriltero PMNQ cuyos ngulos opuestos son suplementarios (y, por tanto, es circunscriptible), es el diametralmente opuesto al P en una circunferencia que pasa por P, M y N. Trazada esta circunferencia, el punto Q se obtiene de inmediato en la interseccin de la circunferencia con la recta que une su centro y el punto P. Una vez obtenido el punto Q, slo resta hallar el valor del ngulo formado por las rectas QM y QN, que es el ngulo buscado.

Figura 6.5

En la figura 6.5 pueden apreciarse las operaciones realizadas. Obsrvese que, una vez obtenidas las rectas PM y PN, se establece un nuevo sistema de coordenadas de modo que el nuevo plano XY se corresponda con el definido por ellas.

6.5 Problemas inversosDebido a su gran aplicacin para la obtencin de ngulos, la superficie cnica de revolucin se debe estudiar como lugar geomtrico de ngulos constantes. La superficie cnica de revolucin est generada por una lnea recta, g, que al girar alrededor de un eje, e, cortndolo, forma con l un ngulo constante, . El punto P es el vrtice, g, la generatriz y el semingulo en el vrtice.

42

ngulos

Figura 6.6

Un punto cualquiera de g, como por ejemplo el punto A, describe alrededor de e una circunferencia, denominada directriz y contenida en un plano , perpendicular al eje. Uniendo con el vrtice los puntos de esta circunferencia se pueden obtener cuantas generatrices se En la figura 6.6, el plano , determinado por g y la tangente, t, a la directriz por el punto A, es un plano tangente a la superficie cnica. Se observa que g es la lnea de mxima pendiente de respecto a , siendo (90 - ) el ngulo que forman los dos planos, y, adems, es el ngulo que determinan el plano y la recta e. Por tanto, de la figura se puede deducir que la superficie cnica de revolucin es el lugar geomtrico de: Las rectas que pasan por un punto, P, y forman un ngulo dado, , con otra recta, e. Las rectas que pasan por un punto, P, y forman un ngulo dado, (90 - ), con un plano , tambin dado. Las rectas de mxima pendiente respecto a un plano dado, , de los planos que forman un ngulo constante con una recta, e. Las rectas de mxima pendiente de los planos que pasan por un punto P y forman un ngulo (90 - ) con otro plano dado, . deseen.

6.5.1 Por un punto, rectas que formen un ngulo dado con otra recta6.5.1.1 El punto dado pertenece a la recta dada Sean dados el punto P y la recta PQ (figura 6.7). Cualquier generatriz de la superficie cnica de revolucin de vrtice P, eje PQ y semingulo en el vrtice igual al dado, es solucin del problema, que tiene, por tanto, infinitas soluciones.

43

Figura 6.7

Figura 6.8

El problema se resuelve de forma sencilla estableciendo un sistema de coordenadas que tenga su origen en el punto P y el nuevo eje X se corresponda con la recta PQ (figura 6.8). Una vez establecido el citado sistema de coordenadas, basta trazar una lnea de longitud arbitraria, que pase por el punto P y forma el ngulo dado con el eje X. La secuencia de operaciones podra ser la siguiente:Comando: SCP Indique una opcin [Nuevo/DEsplazar/.../Aplicar/?/Univ] : EZ Precise nuevo punto de origen : Designar el punto P Precise punto en parte positiva del eje Z: Designar el punto Q Comando: SCP Indique una opcin [Nuevo/DEsplazar/.../Aplicar/?/Univ] : Y Precise ngulo de rotacin sobre eje Y : 270 Comando: LINEA Precise primer punto: Designar el punto P Precise punto siguiente o [desHacer]: @50180-

0

Las superficies cnicas son interiores. Las circunferencias de contacto no se cortan.

(+) = 180-

1

Las superficies cnicas son tangentes interiormente. Cada circunferencia de contacto tiene slo un punto en comn con otra.

(+) < 180- y (-) <

2

Las superficies cnicas son secantes. Cada circunferencia de contacto se corta slo con otra.

(-) =

3

Cada circunferencia de contacto es secantes a otra y tangente a una tercera.

80

ngulos

(-) >

4

Cada circunferencia de contacto es secante a otras dos.

Tabla 6

C A

P T U L O

7

Conos cudricos

83

7.1 DefinicinSe denomina cono cudrico a la superficie radiada que se obtiene al proyectar una cnica no degenerada desde un punto V exterior al plano que la contiene. Por lo general, dicha superficie queda limitada por su vrtice, V, y por cualquier seccin plana (base del cono) que no contenga al vrtice y corte a todas las generatrices, es decir, por cualquier seccin elptica. El plano tangente al cono en cualquiera de sus puntos comparte con ste todos los puntos de la generatriz que contiene al punto considerado. Cualquier seccin plana de un cono cudrico se produce siempre segn una cnica. El gnero de la cnica depende del nmero de generatrices del cono que sean paralelas al plano secante. Un cono cudrico posee tres ejes y tres planos principales, que definen un triedro trirrectngulo, cuyo origen coincide con el vrtice, V, del cono (centro de la cudrica). Dichos ejes y planos lo son de simetra de la superficie. De los tres ejes, slo uno de ellos es interior a la superficie y suele designarse como eje del cono. Anlogamente, se designa como plano principal al plano que es perpendicular al eje interior del cono. El eje de un cono cudrico es el lugar geomtrico de los centros de todas las cnicas que se obtienen al seccionar el cono por planos perpendiculares a su eje.

7.2 ClasificacinEn la prctica, los conos cudricos se suelen definir a partir de sus bases elpticas o circulares (directrices) y de sus vrtices. El cono se denomina recto u oblicuo segn que su eje sea perpendicular o no al plano que contiene a la base. En consecuencia es habitual clasificar a los conos cudricos segn sean rectos u oblicuos y segn que su base sea circular o elptica. Segn esto, tendremos: a) Conos rectos de base circular, que son siempre de revolucin. b) Conos rectos de base elptica, que en ningn caso son de revolucin. c) Conos oblicuos de base circular, que en ningn caso son de revolucin. d) Conos oblicuos de base elptica, que en algn caso pueden ser de revolucin.

7.3 RepresentacinUn cono queda representado por su vrtice y su directriz, a partir de los cuales pueden obtenerse cuantas generatrices del mismo se deseen. En ocasiones puede ser necesario obtener las generatrices de contorno aparente respecto del punto de vista que est establecido como actual, lo que permite distinguir partes vistas y ocultas del cuerpo si se considera opaco. La obtencin del contorno aparente exige trazar planos tangentes a la superficie cnica y paralelos a la direccin de observacin. Al ser el cono una superficie desarrollable, todo plano tangente lo es a lo largo de una generatriz y contiene a la tangente a la directriz en el punto de contacto con dicha generatriz. Por lo tanto, para determinar el contorno aparente basta hallar las generatrices de contacto de los planos tangentes a la superficie cnica y paralelos a la direccin de observacin.

84

Conos cudricos

En la figura 7.1, se ha representado un cono oblicuo de base circular. La base tiene un dimetro de 75 mm. y las coordenadas de su centro, O, son (65,65,0). El vrtice, V, del cono est situado en las coordenadas (70, 130, 50). El punto de vista se ha establecido en (0.60, -0.55, 0.50). Deben obtenerse las generatrices de contorno aparente del cono respecto de esa direccin de observacin.

Fig.- 7.1. Visualizacin del cono desde la direccin (0.60, -0.55, 0.50)

De acuerdo con lo expuesto, el problema consiste en obtener los planos tangentes al cono paralelos a la direccin de observacin dada. Estos planos contienen a la recta que, pasando por el vrtice, V, es paralela a la direccin de observacin. Sus trazas con el plano de la base del cono sern tangentes a ella. La opcin Vista del comando SCP permite establecer automticamente un nuevo sistema de coordenadas tal que el nuevo plano XY sea perpendicular a la direccin de observacin. En esa situacin, el nuevo eje Z ser, necesariamente, paralelo a dicha direccin, por lo que una recta que pase por el vrtice, V, y sea paralela al eje Z ser tambin paralela a la direccin de observacin. La secuencia de comandos para trazar dicha recta podra ser la siguiente:Comando: SCP Indique una opcin [Nuevo/DEsplazar/.../Aplicar/?/Univ] : N Precise origen de nuevo SCP o [ejEZ/.../Vista/X/Y/Z] : V Comando: LINEA LINEA Precise primer punto: 70,130,50 Precise punto siguiente o [desHacer]: @0,0,50 Precise punto siguiente o [desHacer]: INTRO

Con esta operacin hemos trazado por el vrtice del cono una recta de longitud arbitraria (50 mm.) paralela a la direccin de observacin. La recta se ver, necesariamente, como un punto, lo que obliga a establecer un nuevo punto de vista que permita operar con comodidad.Comando: PTOVISTA *** Cambiando al SCU *** Direccin de vista actual: VIEWDIR=0.6000,-0.5500,0.5000 Precise un punto de vista o [Rotacin] : R ngulo a partir del eje X en el plano XY : 260 ngulo a partir del plano XY : 20 *** Volviendo al SCP ***

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A continuacin se obtiene el punto de interseccin, P, de la recta con el plano de la base del cono (Fig. 7.2), desde el que se trazan las tangentes, PM, PN, a dicha base. Los planos VPM y VPN son tangentes al cono y paralelos a la direccin de observacin inicial. Las generatrices de contacto sern, por tanto, las rectas VM y VN.

Fig.- 7.2. Obtencin de las generatrices de contacto

Para completar la operacin slo resta devolver la direccin de observacin a su estado inicial (Fig. 7.3). En la figura se han eliminado las lneas auxiliares trazadas para obtener el punto P y se han aadido algunas generatrices vistas y ocultas.

Fig.- 7.3. Resultado final

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Conos cudricos

7.4 Pertenencia de un puntoUn punto pertenecer a la superficie de un cono si pertenece a una generatriz del mismo. As pues, para situar un punto en la superficie de un cono basta trazar una generatriz y tomar un punto cualquiera de ella. La operacin inversa, esto es, determinar la pertenencia de un punto a la superficie de un cono, se har del mismo modo, trazando la recta que contenga al punto y al vrtice del cono y verificando si dicha recta corta a la directriz, es decir, si la recta constituye o no una generatriz del cono.

7.5 Puntos comunes con una rectaEste problema se resuelve siguiendo el procedimiento general de apoyarse en un plano auxiliar que contenga a la recta. De los infinitos planos que pueden tomarse, el ms favorable es el que contiene tambin al vrtice del cono. Este plano, en caso de resultar interior al cono, cortar al mismo segn dos generatrices, cuyos puntos de interseccin con la recta proporcionarn la solucin. Sean dados la recta AB y el cono oblicuo de vrtice V y base circular de centro O (Fig. 7.4). Deben obtenerse los puntos de interseccin de la recta con el cono. Segn lo dicho, se toma el plano VAB y se obtiene su recta de interseccin, CD, con el plano que contiene a la directriz del cono. La recta CD corta en los puntos M y N a la directriz, de donde arrancan las generatrices seccin que produce el plano VAB en el cono. Estas generatrices cortan a la recta dada en los puntos P y Q, que son, por tanto, los de interseccin entre la recta y el cono.

Fig.- 7.4. Puntos de interseccin de una recta con un cono

7.6 Planos tangentes 7.6.1 Por un punto de la superficieSea dado el cono oblicuo de vrtice V y directriz circular de centro O. Debe obtenerse el plano tangente al cono que pase por el punto P, contenido en la superficie cnica (Fig. 7.5).

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Sabiendo que el plano tangente lo es a lo largo de toda una generatriz, bastar trazar la generatriz que pasa por el punto, P, dado y determinar su punto de contacto, Q, con la directriz. La generatriz PQ y la tangente a la directriz en Q determinan el plano tangente pedido.

Fig.- 7.5. Plano tangente por un punto de la superficie

7.6.2 Por un punto exteriorSea dado el cono oblicuo de vrtice V y directriz elptica de centro O. Deben obtenerse los planos tangentes al cono que pasen por el punto exterior P (Fig. 7.6). Puesto que todo plano tangente contiene a una generatriz y pasa, por tanto, por el vrtice, V, de la superficie, los planos solucin habrn de contener a la recta VP. Segn esto, basta hallar la traza, Q, de la recta VP con el plano de la directriz y trazar desde Q las tangentes a la misma, que lo son en los puntos M y N. Los planos VQM y VQN sern la solucin.

Fig.- 7.6. Planos tangentes por un punto exterior

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Conos cudricos

7.6.3 Paralelos a una direccin dadaEste caso ya se resolvi en el epgrafe 7.3, al obtener las generatrices de contorno aparente del cono, donde la direccin dada era precisamente la direccin de observacin. Se trata de un caso particular del anterior, donde el punto exterior, P, es impropio. Si la direccin dada fuera paralela al plano de la directriz, entonces el punto Q del caso anterior sera tambin impropio y las tangentes a la directriz resultarn paralelas a la direccin dada (Fig. 7.7).

Fig.- 7.7. Planos tangentes paralelos a una direccin paralela al plano de la directriz

7.7 Secciones planasSi el plano que produce la seccin pasa por el vrtice del cono, el resultado de la misma ser el propio vrtice, una generatriz (si el plano es tangente al cono) o dos generatrices. Si el plano secante no contiene al vrtice, la seccin producida ser siempre una cnica, que podr ser elipse (circunferencia) si el plano corta en puntos propios a todas las generatrices, parbola si es paralelo a una de ellas o hiprbola si fuese paralelo a dos generatrices. En el caso particular de que el plano secante sea paralelo a la directriz, entonces la seccin producida y la directriz son figuras homotticas, siendo el vrtice del cono el centro de homotecia. La obtencin de la seccin es, por lo tanto, inmediata por aplicacin del comando ESCALA. En los epgrafes siguientes se estudian los mtodos de obtencin de secciones planas en los casos generales, es decir, cuando el plano secante no pasa por el vrtice del cono ni es paralelo a la directriz.

7.7.1 Secciones circulares7.7.1.1 Cono oblicuo de base circular En un cono de esta clase, dos secciones circulares no paralelas pertenecen a una misma esfera. Teniendo en cuenta esta propiedad de coesfericidad, resulta muy sencillo determinar la posicin de los planos secantes que producen secciones circulares.

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Sea dado el cono oblicuo de vrtice V y directriz circular de centro O (Fig. 7.8). Debe obtenerse una seccin circular no paralela a la directriz. Se determina el plano de simetra del cono, obteniendo la proyeccin del vrtice sobre el plano de la directriz y uniendo este punto, Vo, con el centro de la directriz. El plano VoVO corta al cono segn las generatrices VM y VN. Estableciendo un nuevo sistema de coordenadas tal que el nuevo plano XY se corresponda con el de simetra, se toma un punto cualquiera, P, sobre la generatriz VM y se traza la circunferencia que pasa por M, N y P. Esta circunferencia es un crculo mximo de la esfera que contiene a la directriz y a la seccin pedida. El dimetro de la seccin queda determinado por los puntos P y Q, siendo este ltimo el de interseccin de la circunferencia MNP con la generatriz VN. El plano que contiene a la circunferencia de dimetro PQ debe ser perpendicular al de simetra. Para su determinacin, se prolonga la recta PQ hasta cortar en K a la recta MN y se traza por K, en el plano de la directriz, la perpendicular, LK, a MN. Finalmente, se establece un nuevo sistema de coordenadas haciendo corresponder el nuevo plano XY con el plano QKL y se traza la circunferencia de dimetro PQ, solucin del problema. Las rectas PQ y MN son antiparalelas respecto de las generatrices VM y VN. Por lo tanto, tambin son antiparalelos el plano de la directriz y el QKL, que contiene a la seccin circular. Es evidente que todos los planos paralelos al QKL producirn tambin secciones circulares, por lo que si la seccin pedida hubiera de pasar por algn punto determinado de la superficie, bastara obtener la seccin definitiva como figura homottica de la circunferencia de dimetro PQ, tomando el vrtice V como centro de homotecia.

Fig.- 7.8. Obtencin de una seccin circular en un cono oblicuo de base circular

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Conos cudricos

7.7.1.2 Cono recto de base elptica Sea el cono recto de vrtice V y directriz elptica de centro O. Se pretende obtener una seccin circular que pase por el punto P, situado en el eje del cono (Fig. 7.9). Supngase resuelto el problema de modo que la circunferencia de dimetro DE sea la seccin pedida. El plano que contiene a dicha circunferencia pasa por el eje mayor, MN, de la elipse producida por un plano secante que pasa por P y es paralelo a la base del cono. El punto M pertenece a la seccin circular y, por lo tanto, se verifica que PM2 = PD x PE (1). El problema consiste, pues, en construir grficamente la expresin anterior. Para ello, se trazan las generatrices VR y VS, que pasan por los extremos del eje menor de la base del cono. En el plano VRS, se trazan por P las rectas PA y PB, perpendicular y paralela, respectivamente, a la generatriz VR, siendo PB igual a la magnitud, PN, del semieje mayor de la seccin paralela a la base. Se construye el tringulo rectngulo ABC, donde se verifica que PB2 = PA x PC (2). Los primeros miembros de las expresiones (1) y (2) son iguales, luego tambin sern iguales los segundos miembros y tendremos que PD x PE = PA x PC (3). Ahora, en el plano VRS, se traza la circunferencia de dimetro PC, que corta a la generatriz VS en el punto D. Los tringulos rectngulos PDC y PAE son semejantes por tener iguales sus ngulos en P y, por lo tanto, se cumple que PD / PC = PA / PE PD x PE = PA x PC, que es la misma expresin (3), lo que demuestra que ED es el dimetro de la seccin circular pedida. El plano que produce la seccin queda definido, por tanto, por las rectas ED y MN. Existe otra solucin del mismo dimetro, que es simtrica de la obtenida respecto del plano VMN.

Fig.- 7.9. Obtencin de una seccin circular en un cono recto de base elptica

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7.7.1.3 Cono oblicuo de base elptica En el caso de que el cono sea oblicuo y su base elptica, la seccin producida por un plano perpendicular al eje tambin ser una elipse (o circunferencia, si fuera de revolucin). Por lo tanto, basta considerar que la base del cono es la elipse producida por el plano perpendicular al eje para estar en el supuesto del caso anterior.

7.7.2 Secciones elpticas Como ya se ha dicho, la seccin producida en un cono por un plano secante ser una elipse cuando el plano corte en puntos propios a todas las generatrices del cono, lo que se verificar si el ngulo formado por el plano y el eje del cono es mayor que su semingulo en el vrtice. Reduciremos el estudio de este tipo de secciones a los conos de base circular, distinguiendo los casos de conos rectos y oblicuos. Si la base del cono fuera elptica, siempre podra obtenerse una seccin circular, como ha quedado expuesto en los epgrafes 7.7.1.2 y 7.7.1.3. As pues, considerando esta seccin circular como base del cono se estara en el supuesto de un cono oblicuo (o recto) de base circular. 7.7.2.1 Cono recto de base circular Sean dados el plano ABC y el cono recto de vrtice V y base circular de centro O (Fig. 7.10). Debe obtenerse la seccin producida por el plano ABC en el cono. Por el vrtice del cono, se traza la perpendicular, VP, al plano dado. La recta VP, junto con el eje, VO, determinan el plano de simetra del cono que es perpendicular al plano secante ABC. Se halla la recta de interseccin, PR, entre ambos planos y se obtienen las generatrices VM y VN contenidas en el plano de simetra. Los puntos M y N de interseccin entre PR y las citadas generatrices son los extremos del eje mayor de la elipse seccin. El eje menor, KL, se ha obtenido utilizando la circunferencia seccin producida por el plano paralelo a la base que pasa por el punto medio, J, del eje mayor MN. La perpendicular por J al plano de simetra determina los puntos K y L en la circunferencia seccin.

Fig.- 7.10. Obtencin de una seccin elptica en un cono recto de base circular

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Conos cudricos

7.7.2.2 Cono oblicuo de base circular Dos secciones cualesquiera de un mismo cono cudrico se producen siempre segn dos cnicas homolgicas. El centro de homologa es el vrtice del cono y el eje de homologa se corresponde con la recta de interseccin entre los dos planos secantes. Las rectas lmites son las de interseccin de cada uno de estos planos con el plano paralelo al otro trazado por el vrtice del cono. Esta homologa espacial puede transformarse en homologa plana por abatimiento de uno de los planos sobre el otro, que permanece fijo. Considerando como plano fijo el que contiene a la base o directriz del cono, el plano secante se abate sobre aqul mediante un giro alrededor de la recta de interseccin entre ambos. Esta recta, que es el eje de la homologa espacial, pasa a ser el eje de la homologa plana. El vrtice del cono (centro de la homologa espacial) se abate sobre el plano fijo mediante un giro, en el mismo sentido que el del plano secante, alrededor de la recta de interseccin entre el plano fijo y el plano paralelo al secante que pasa por el vrtice del cono. Esta ltima recta, que es una de las rectas lmites de la homologa espacial, pasa a ser tambin recta lmite en la homologa plana. El gnero de la cnica seccin vendr determinado por el nmero de puntos de interseccin entre la base del cono y su recta lmite. Si no tienen ningn punto comn, la cnica seccin no tendr ningn punto impropio y por tanto ser una elipse. Sean dados el plano ABC y el cono oblicuo de vrtice V y base circular de centro O (Fig. 7.11). A los efectos de simplificar el trazado, la recta AB se ha situado contenida en el plano de la base del cono, es decir, es la recta de interseccin entre el plano secante y el plano de la base. La recta AB y el vrtice V son, respectivamente, el eje y el centro de la homologa espacial. Para hallar la recta lmite, RL, se ha trazado por V el plano paralelo al ABC y se ha obtenido su interseccin con el plano de la base del cono. Finalmente, se ha girado el vrtice V alrededor de RL para obtener el punto Vo en el plano de la base. Segn se ha dicho, Vo es el centro de la homologa plana.

Fig.- 7.11. Obtencin de los elementos de las homologas plana y espacial

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En esta situacin, es posible obtener sobre la circunferencia las cuerdas homlogas de los ejes de la elipse seccin. Para lo cual, se opera del modo que se indica a continuacin (Fig. 7.12): a) Se une Vo con el centro, O, de la circunferencia base del cono. La recta VoO corta a la circunferencia en los puntos 1 y 2. Se trazan las tangentes a la circunferencia desde Vo y se unen los puntos de tangencia, determinando, as, el punto P, armnicamente separado de Vo respecto de 1 y 2. b) Se traza la mediatriz del segmento PVo, que corta en Q a la recta RL, y con centro en ese punto se describe la circunferencia de radio QP. Esta circunferencia corta en los puntos M y N a RL. c) Se obtienen las polares de M y N respecto de la circunferencia de centro O, base del cono, trazando las tangentes, EF, GH, desde M y N a la circunferencia. El punto K, de interseccin de EF y GH es el polo de la recta lmite RL. Las cuerdas EF y GH son homlogas de los ejes de la elipse seccin. Su punto de interseccin, K, ser por tanto el homlogo del centro de la elipse. Esta construccin se fundamenta en la existencia de una involucin de puntos conjugados respecto de la circunferencia que se proyecta desde Vo (centro de homologa) segn la involucin proyectante de las direcciones conjugadas respecto de la cnica.

Fig.- 7.12. Obtencin de las cuerdas homlogas de los ejes de la elipse seccin

Despus de esta operacin, la homologa plana ya no es necesaria y los ejes de la elipse seccin pueden obtenerse directamente operando en la homologa espacial. Para ello, por ejemplo, se obtiene el punto de interseccin, K, de la recta VK con el plano secante y se trazan las generatrices del cono que pasan por los puntos E, F, G y H (Fig. 7.13). El eje EF de la elipse pasar por K y tambin por el punto

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Conos cudricos

de interseccin, R, de EF con el eje de homologa. Anlogamente, el eje GH pasar por K y por el punto de interseccin, S, de GH con el eje de homologa.

Fig.- 7.13. Obtencin de la seccin elptica

7.7.3 Secciones parablicas La seccin producida en un cono por un plano ser una parbola cuando el plano secante sea paralelo a una generatriz del cono. Anlogamente a como se hizo para las secciones elpticas, y por la misma razn expuesta en 7.2, se va a reducir el estudio de las secciones parablicas a los conos de base circular, distinguiendo los casos de conos rectos y oblicuos. 7.7.3.1 Cono recto de base circular Sean dados el plano ABC y el cono recto de vrtice V y base circular de centro O (Fig. 7.14). Debe obtenerse la seccin producida por el plano ABC, que es paralelo a la generatriz VJ del cono. Por el vrtice del cono, se traza la perpendicular, VP, al plano dado. La recta VP, junto con el eje, VO, determinan el plano de simetra del cono que es perpendicular al plano secante ABC. Se determinan las generatrices, VJ, VK, contenidas en el plano de simetra. Para que la seccin resultante sea una parbola, el plano ABC debe ser paralelo a una de estas generatrices (VJ, en la figura). Se halla la recta de interseccin, PQ, entre ambos planos, que ser el eje de la parbola seccin. El punto M de interseccin de PQ con la generatriz VK, opuesta a VJ, es el vrtice de la parbola, cuya tangente en el vrtice ser, por tanto, la perpendicular por M al plano de simetra del cono. Por aplicacin del teorema de Dandelin, el foco, F, de la parbola es el punto de tangencia con el plano secante de una esfera inscrita en el cono y tangente a dicho plano. El foco puede obtenerse, por

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tanto, trazando, en el plano de simetra, la circunferencia tangente al eje de la parbola y a las generatrices VJ y VK. Esta circunferencia es la seccin (crculo mximo) que produce en la citada esfera el plano de simetra del cono. Una vez obtenidos el eje, el foco y la tangente en el vrtice, la parbola queda determinada geomtricamente, pudindose obtener cuantos puntos se consideren necesarios para su trazado.

Fig.- 7.14. Obtencin de una seccin parablica en un cono recto de base circular

7.7.3.2 Cono oblicuo de base circular Sean dados el plano ABC y el cono oblicuo de vrtice V y base circular de centro O (Fig. 7.15). Debe obtenerse la seccin producida por el plano ABC, que ser una parbola puesto que el plano paralelo al secante, trazado por el vrtice del cono, es tangente al mismo en la generatriz VT. En la figura 7.15 se han determinado los elementos caractersticos de la homologa espacial que relaciona la circunferencia de la base del cono y la seccin parablica. El centro de homologa es el vrtice del cono; el eje es la recta de interseccin, AB, del plano secante con el plano de la base; la recta lmite, RL, es la interseccin del plano paralelo al secante, trazado por el vrtice del cono, con el plano que contiene a la base. La homologa espacial as definida se transforma en homologa plana por abatimiento del vrtice sobre el plano de la base, girando alrededor de la recta lmite. El vrtice abatido, Vo, es el centro de la homologa plana. Las dos homologas comparten el mismo eje y la misma recta lmite.

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Conos cudricos

Fig.- 7.15. Obtencin de los elementos de las homologas plana y espacial

Operando en la homologa plana (Fig. 7.16), la recta VoT es la direccin del eje de la parbola por ser impropio el homlogo de T. La direccin de la tangente en el vrtice, VoP, es, por tanto, perpendicular a VoT. Desde P se traza la tangente a la circunferencia de la base, cuyo punto de tangencia, M, ser el homlogo del vrtice de la parbola. En la homologa plana, las rectas VoR y VoS son las tangentes comunes a la circunferencia y a su parbola homloga, cuyo foco, F, se obtiene por interseccin de las perpendiculares a dichas tangentes comunes trazadas por los puntos R y S. Para obtener estos ltimos, basta trazar por Q, interseccin de PM con el eje de homologa, la paralela a VoP (direccin de la tangente en el vrtice). Una vez obtenido F, se determina su homlogo, F, en la circunferencia.

Fig.- 7.16. Obtencin de los elementos de las homologas plana y espacial

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Despus de esta operacin, slo resta obtener los homlogos de M y F en la homologa espacial, que sern, respectivamente, el vrtice y el foco de la parbola seccin (Fig. 7.17). El vrtice, M, se ha obtenido por interseccin de la generatriz VM con el plano secante. El eje de la parbola es la paralela por M a la generatriz VT. El foco, F, se determina en la interseccin de VF con el eje de la curva. Obtenidos el vrtice y el foco, la parbola queda definida geomtricamente.

Fig.- 7.17. Determinacin de la seccin parablica

7.7.4 Secciones hiperblicas La seccin producida en un cono por un plano ser una hiprbola cuando el plano secante sea paralelo a dos generatrices del cono. Anlogamente a como se hizo para las secciones elpticas y parablicas, se va a reducir el estudio de las secciones hiperblicas a los conos de base circular, distinguiendo los casos de conos rectos y oblicuos. 7.7.4.1 Cono recto de base circular Sean dados el plano ABC y el cono recto de vrtice V y base circular de centro O (Fig. 7.18). Debe obtenerse la seccin producida por el plano ABC, el cual forma con el eje del cono un ngulo menor que su semingulo en el vrtice, por lo que la seccin resultante ser una hiprbola. Por el vrtice del cono, se traza la perpendicular, VP, al plano dado. La recta VP, junto con el eje, VO, determinan el plano de simetra del cono que es perpendicular al plano secante. Se determinan las generatrices, VJ, VK, contenidas en el plano de simetra. Se halla la recta de interseccin, PQ, entre el plano secante y el de simetra, que ser el eje de la hiprbola seccin. Los puntos de interseccin, M, M, del eje PQ con las generatrices VK y VJ son los vrtices de la hiprbola.

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Conos cudricos

Por aplicacin del teorema de Dandelin, los focos, F, F, de la hiprbola son los puntos de tangencia con el plano secante de sendas esferas inscritas en el cono y tangentes a dicho plano. Los focos pueden obtenerse, por tanto, trazando, en el plano de simetra, las circunferencias tangentes al eje de la hiprbola y a las generatrices VJ y VK. Estas circunferencias son las secciones (crculos mximos) que produce en las citadas esferas el plano de simetra del cono. Una vez obtenidos los vrtices y los focos, la hiprbola queda determinada geomtricamente, pudindose obtener cuantos puntos se consideren necesarios para su trazado.

Fig.- 7.18. Obtencin de una seccin hiperblica en un cono recto de base circular

7.7.4.2 Cono oblicuo de base circular Sean dados el plano ABC y el cono oblicuo de vrtice V y base circular de centro O (Fig. 7.19). Debe obtenerse la seccin producida por el plano ABC. A los efectos de obtener los elementos caractersticos de la homologa espacial que relaciona la base del cono y la seccin pedida, se traza, por el vrtice del cono, el paralelo al dado. La interseccin entre este plano con el que contiene a la base es la recta lmite, RL, de la homologa. El centro de homologa es el vrtice, V, del cono y el eje, la recta de interseccin entre el plano secante y el que contiene a la base. La recta lmite, RL, corta a la circunferencia de la base en los puntos K y M. Por tanto, la figura homloga de la circunferencia ser una hiprbola, que es la cnica que tiene dos puntos impropios (los homlogos de K y M). En este caso no es necesario recurrir a la homologa plana. Las tangentes a la circunferencia en los puntos K y