Formulairecourbes de Bézier
de degré 2 et 3
I
I’
11
Réalisé par Alexandre Christophe GLON le 29-01-2019
2 2
Table des matières
Bibliographie
Equations des courbes de Bézier de degré 2................................... pages 4 et 5Equations des courbes de Bézier de degré 3................................... pages 6 et 7Courbes de Bézier 3 spéciales........................................................... page 8Changement de paramètres d’une courbe de Bézier .................... page 9Intersection d’une droite avec une courbe de Bézier .................... page 10Estimation de paramètre t ................................................................ page 11Parabole paramétrique , calcul du sommet et du foyer .............. pages 12 et 13Points stationnaires et de croisement d’une courbe de Bézier .... pages 14 et 15Subdivisions récursives (De Casteljau) .......................................... pages 16 et 17Réunion de 2 courbes de Bézier ...................................................... page 18Distance d’un point à une courbe de Bézier .................................. page 19Centre de courbure (cercle osculateur) .......................................... page 20Paramétrisation d’une fonction de 2ème ou 3ème degré ............. page 21Aire, abscisse curviligne d’une courbe de Bézier .......................... pages 22 et 23Simulation d’un arc de cercle par une courbe de Bézier .............. pages 24 et 25Simulation d’un arc de clothoïde par une courbe de Bézier ........ pages 26 et 27Courbe de Bézier passant strictement par 3 et 4 points............... pages 28 et 29Lissage d’un polygone par approximation dichotomique............. pages 30, 31, 32, 33 et 34Rotation d’une courbe Bézier par changement de base............... page 35Résolution d’une équation du 3ème degré ................................... pages 36 et 37
[1] Modèles de Bézier des B-Splines et des Nurbs par G. DEMENGEL et J.P. POUGET éditions Ellipses
[2] Topographie et topométrie modernes tome 1 : par S. MILLES et J. LAGOFUN éditions Eyrolles
[3] Topographie et topométrie modernes tome 2 : par S. MILLES et J. LAGOFUN éditions Eyrolles
[4] Cours de géométrie : par M. TROYANOV Presses polytechniques et universitaires romandes
[5] Method’S classe de première : par T. PETIT éditions Ellipses
3 3
Équations des courbes de Bézier de degré 2 [1]
Pour calculer les coordonnées d’un point M(t) de la courbe il faut connaitre son paramètre t *Les points A0 A1 A2 sont les points de définitions d’une courbe paramétrique de Bézier de degré 2
Equations vectorielles et analytiques de C2
OM(t) = (1-t)²OA0 + 2t(1-t)OA1 + t ²OA2
xM(t) = (1-t)² xA0 + 2t(1-t) xA1 + t² xA2yM(t) = (1-t)² yA0 + 2t(1-t) yA1 + t² yA2
OM(t) = t ² (A1A0+A1A2) + 2t(A0A1) + OA0
a) selon les polynômes de Bernstein b) définition canonique ( selon les puissances de t)
x = f(t) = t² (xA0 - 2xA1 + xA2) + 2t(xA1 - xA0) + xA0y = g(t) = t² (yA0 - 2yA1 + yA2 ) + 2t(yA1 - yA0) + yA0
M(t) M(t)
M(t)
Équations de la dérivée première des courbes de Bézier de degré 2 appelé aussi Hodographe premier
Dérivée seconde
* l’usage veut que le paramètre t ∈ [0 1]
OH1(t) = 2[ (1-t) (A0A1) + t(A1A2) ]
OH1(t) = -2[ (1-t)A0 - (1-2t )A1 - t A2 ]
xH1(t) = 2[ (1-t) (xA1 - xA0) + t (xA2 - xA1) ]yH1(t) = 2[ (1-t) (yA1 - yA0) + t (yA2 - yA1) ]
x’’= f ’’(t) = 2 ( xA0 - 2xA1 + xA2 ]y’’= g’’(t) = 2 ( yA0 - 2yA1 + yA2 ]
OH1(t) = 2t(A1A0 + A1A2) + 2(A0A1)
a’) selon les polynômes de Bernstein
ou
b’) canonique (selon les puissances de t )
x’= f ’(t) = 2t (xA0 - 2xA1 + xA2) + 2(xA1 - xA0)y’= g’(t) = 2t (yA0 - 2yA1 + yA2) + 2(yA1 - yA0) M’(t) M’(t)
M’’(t)
t >1
t < 0
A1
A0
A2
x
y
échelle 1
M(0,2)34,149,3
M(0,635)
M(1,1)
65,346,0
C2
Exemple
x = f(t) = -108t² + 162t + 6y = g(t) = -117t² + 90t + 36
la courbe C2 est une portion de parabole
Les vecteurs A0A1 et A2A1 sont respectivements tangent à C2 en A0 et A2
t xM(t) yM(t)
1 60 90,2 34,1 49,30,3 44,9 52,50,4 53,5 53,30,5 60 51,80,635 65,3 46,00,7 66,5 41,71,1 53,5 -6,60 6 36
C2 X YA0
A1
A2
6 3687 8160 9
G
44
xH1(t) = (1-t)(162)+ t (90) yH1(t) = (1-t)(-54) + t (-144)
Hodographe
La dérivée ’ permet de connaitre le coef. directeur de la tangente à C2 au point M(t) .
L’hodographe H1 est la représentation graphique de la dérivée première de la courbe C2 .
Définition matricielle d’une B2
xM(t) yM(t) =1 t t21 0 0
-2 2 01 -2 1
xA0 yA0xA1 yA1xA2 yA2
OM(t)Od
C2M(0.5)
Hodographe
α ≈ -26,6°
H1(0.5)
H1(0.5)
D0(0)
D1(1)échelle : 0,5
Exemple
x’= f ’(t) = t (-216) + 162y’= g’(t) = t (-234) + 90
29,1° 0 162,0 90,020,0° 0,2 118,8 43,211,5° 0,3 97,2 19,8-2,7° 0,4 75,6 -3,6
-26,6° 0,5 54,0 -27,0-57,3° 0,6 32,4 -50,4-81,7° 0,7 10,8 -73,883,7° 0,8 -10,8 -97,269,4° 1 -54,0 -144,0
t xH1(t) yH1(t)
La tangente à C2 en un point M(t) =
ou
= tan (α) yH1(t)
xH1(t)
M’(t)
M’(t)
C2’ X YD0
D1
162 90-54 -144
p2wn
matrice de passage xA yA
α
5 5
P3C3
M(0,3)
M(0,7)34,3238,15
échelle 1
P0 échelle : 1/3
A0
74,2257,12
M’(0,3)
A1
A2
P1 P2
φ3
φ0
α0
α3
Définition matricielle.
X YP0
P1
P2
P3
14 1034 5464 5490 26
Les vecteurs P0P1 et P2P3 sont respectivements tangents à C3 en P0 et P3
X YA0=
A1=
A2=
60 13290 078 -84
3(P0P1)3(P1P2)3(P2P3)
C3 Hodographe 1er de C3
matrice de passage
w
t 1 t t² t3
p3
xP yP xM(t) yM(t)0 1 0 0 0 1 0 0 0 14 10 14,00 10,00
0,3 1 0,3 0,1 0,027 × -3 3 0 0 × 34 54 = 34,32 38,150,7 1 0,7 0,5 0,343 3 -6 3 0 64 54 65,90 43,211 1 1 1 1 -1 3 -3 1 90 26 90,00 26,00
n
Définition vectorielle, canonique, matricielle des pts. d’une courbes de Bézier de degré 3
a) Définition selon les polynomes de Bernstein.
OM(t) = (1-t)³ OP0 + 3t(1-t)² OP1 + 3t²(1-t) OP2 + t³OP3 xM(t) = (1-t)³ xP0 + 3t(1-t)² xP1 + 3t²(1-t) xP2 + t³ xP3yM(t) = (1-t)³ yP0 + 3t(1-t)² yP1 + 3t²(1-t) yP2 + t³ yP3 M(t)
xM’(t) = 3[ (1-t)² (xP1-xP0) + 2t(1-t)(xP2-xP1) + t²(xP3-xP2) ]yM’(t) = 3[ (1-t)² (yP1-yP0) + 2t(1-t)(yP2-yP1) + t²(yP3-yP2) ] M’(t)
xM’’(t) = 6[ (1-t) (xP2-xP0) + t (xP1-2xP2+xP3) ]yM’’(t) = 6[ (1-t) (yP2-yP0) + t (yP1-2yP2+yP3) ] M’’(t)
xM’’’(t) = 6[ xP3-xP0 +3(xP1-xP2) ]yM’’’(t) = 6[ yP3-yP0 + 3(yP1-yP2) ] M’’’(t)
OM’(t) = 3[ (1-t)² (P0P1) + 2t(1-t) (P1P2) + t² (P2P3) ]
c) Définition vecteurs et contraintes .b) Définition avec P0 P1 P2 P3 isolés .
En posant : V0=OP0 ; V1=(OP1 - OP0) ; V2 =(OP2 - OP1) ; V3=(OP3 - OP2)
M’(t)x’ = f ’(t) = -3[ (1-t)² xP0 - (1-t)(1-3t) xP1 - t(2-3t) xP2 - t² xP3 ]y’ = g’(t) = -3[ (1-t)² yP0 - (1-t)(1-3t) yP1 - t(2-3t) yP2 - t² yP3 ]
M’’(t)x’’ = f ’’(t) = 6[ (1-t) xP0 - (2-3t) xP1 + (1-3t) xP2 + t xP3 ]y’’ = g’’(t) = 6[ (1-t) yP0 - (2-3t) yP1 + (1-3t) yP2 + t yP3 ]
M’’’(t)x’’’ = f ’’’(t) = 6[ xP3 - xP0 + 3( xP1 - xP2)]y’’’ = g’’’(t) = 6[ yP3 - yP0 + 3( yP1 - yP2)]
x = f(t) = (1-t)³ xP0 + 3t(1-t)² xP1 + 3t²(1-t) xP2 + t³ xP3y = g(t) = (1-t)³ yP0 + 3t(1-t)² yP1 + 3t²(1-t) yP2 + t³ yP3 M(t)
OM(t) = V0 + (1-(1-t)³) (V1) + (3t²-2t³) (V2) + t³ (V3)OM’(t) = 3[(1-t)²) (V1) + 2t(1-t) (V2) + t² (V3)]OM’’(t) = -6[(1-t) (V1) - (1-2t) (V2) - t(V3)]OM’’’(t) = 6[ (V1) -2 (V2) + (V3)]
OM’’(t) = 6[ (1-t) (P1P0 + P1P2) + t (P2P1 + P2P3) ]
OM’’’(t) = 6[ (P0P3) + 3(P2P1) ]
OM(t)Os
66
[1]
x = f(t) = -14t³+30t² +60t +14y = g(t) = 16t³ -132t²+132t +10M(t)
Et matriciellement avec :
Les définitions e) et f ) sont très pratiques pour certains calculs.
Of = T Of wx0 x1 x2 x3y0 y1 y2 y3 n
OM(t) = OC0t³ + OC1t² + OC2t + OC3
OM(t) =
d) Définition canonique (selon les puissances de t).
e) Définition canonique avec P1 et P3 définis par coordonées polaires .
e1) Avec P1 connus et fixe .
f ) Définition par coordonées polaires avec éléments isolés.
xC0 = x3 = (xP3 - xP0 + 3(xP1-xP2))xC1 = x2 = 3(xP0 + xP2 - 2xP1)xC2 = x1 = 3(xP1-xP0)xC3 = x0 = xP0
xP1 = x1 + xP0xP0 = x0
( Resp. pour les y)
( Resp. pour les y)
x = f(t) = x3t³+x2t²+x1t+x0y = g(t) = y3t³+y2t²+y1t+y0M(t) M’(t)
x’= f ’(t) =3x3t ²+2x2t+x1y’= g’(t) = 3y3t ²+2y2t+y1 M’’(t)
x’’= f ’’(t) = 6x3t+2x2y’’= g’’(t) = 6y3t+2y2
x’’’= 6x3y’’’= 6y3M’’’(t)
3 xP2 = x2 - xP0 + 2xP1 3 xP3 =x3 + xP0 - 3(xP1-xP2)
Réciproquement
Donc dans notre exemple les points de C3 sont aussi définis par :
En posant :
x = f(t) = t³ (2xP0 + 3φ0 cos(α0)-3φ3 cos(α3) -2xP3 ) - 3t² ( xP0 + 2φ0 cos(α0) - φ3 cos(α3) -xP3 ) + 3t φ0 cos(α0) + xP0 y = g(t) = t³ (2yP0 + 3φ0 sin(α0)-3φ3 sin(α3) -2yP3 ) - 3t² ( yP0 + 2φ0 sin(α0) - φ3 sin(α3) -yP3 ) + 3t φ0 sin(α0) + yP0M(t)
x = f(t) = t³ (- xP0 + 3xP1-3φ3 cos(α3) -2xP3 ) + 3t² ( xP0 - 2xP1 +φ3 cos(α3) +xP3 ) + 3t ( xP1-xP0 ) + xP0 y = g(t) = t³ (- yP0 + 3yP1-3φ3 sin(α3) -2yP3 ) + 3t² ( yP0 - 2yP1 +φ3 sin(α3) +yP3 ) + 3t ( yP1-yP0 ) + yP0M(t)
e2) Avec P2 connus et fixe .
x = f(t) = t³ (2xP0 + 3φ0 cos(α0) - 3xP2 + xP3 ) - 3t² ( xP0 + 2 φ0 cos(α0) - xP2 ) + 3t φ0 cos(α0) + xP0 y = g(t) = t³ (2yP0 + 3φ0 sin(α0) - 3yP2 + yP3 ) - 3t² ( yP0 + 2 φ0 sin(α0) - yP2 ) + 3t φ0 sin(α0) + yP0M(t)
avec α0 = angle orienté P0P1 et φ0 = ||P0P1|| et α3 = angle orienté P3P2 et φ3 = ||P3P2||
x = f(t) = (1-t)²(2t+1) xP0 + 3t(1-t)² φ0 cos(α0) + 3t²(1-t) φ3 cos(α3) + t²(3-2t)xP3y = g(t) = (1-t)²(2t+1) yP0 + 3t(1-t)² φ0 sin(α0) + 3t²(1-t) φ3 sin(α3) + t²(3-2t)yP3 M(t)
x’ = f ’(t) = 3 [ -2t(1-t) xP0 + (1-t)(1-3t) φ0 cos(α0) +t(2-3t) φ3 cos(α3) + 2t(1-t)xP3 ]y’ = g’(t) = 3 [ -2t(1-t) yP0 + (1-t)(1-3t) φ0 sin(α0) + t(2-3t) φ3 sin(α3) + 2t(1-t)yP3 ] M’(t)
x’’ = f ’’(t) = 6 [ -(1-2t) xP0 -(2-3t) φ0 cos(α0) +(1-3t) φ3 cos(α3) + (1-2t)xP3 ]y’’ = g’’(t) = 6 [ -(1-2t) yP0 -(2-3t) φ0 sin(α0) + (1-3t) φ3 sin(α3) + (1-2t)yP3 ] M’’(t)
x’’’ = f ’’’(t) = 6 [ 2xP0 +3 φ0 cos(α0) -3 φ3 cos(α3) -2xP3 ]y’’’ = g’’’(t) = 6 [ 2yP0 +3 φ0 sin(α0) -3 φ3 sin(α3) -2yP3 ] M’’’(t)
7 7
b) Courbe B3 qui est une portion de parabole
Dans la plupart des logiciels de dessin vectoriel seules les courbes de Bézier de degré 3 sont utilisées.Voici une méthode pour afficher un vrai segment de parabole avec une B3.
Il faut que P1 soit au de A0A1 et P2 au de A2A123
23
Courbes de Bézier de degré 3 spéciales.
c) Courbe définie par «3 points» utilisée dans le système Postscript.
Courbes de type 3 avec rebroussement en P3
La courbe est définie avec les points P0 P1 P2 P3 mais P2 est confondu avec P3.
d) Courbe avec P2 sur la tangente en P0 e) Courbe avec P2 sur la tangente en P0 et P1 au milieu de P0P2
Courbe de type 2 avec deux inflexions dont une en P0
X YP0
P1
P2
P3
5 520 530 535 20
Courbe de type 1 avec une inflexion en P0
X YP0
P1
P2
P3
5 517.5 530 535 20
X YP0
P1
P2
P3
90 2634 5414 1014 10
X YP0
P1
P2
P3
14 1034 5490 2690 26
P0 P0
P1 P1
P3 P3
P2 P2
P0P0
P1 P1
P2 = P3
P2 = P3
C2
A1
P0 = A0
P3 = A2
P1
P2
x
y
échelle 0.5
C2 C2 X YP0
P1
P2
P3
6 3660 6678 5760 9
X YA0
A1
A2
6 3687 8160 9
=
Type 1 Type 2 Type 3 Type 4
1 point d’inflexion 1 rebroussementde 1ère espèce
1 point de croisement
Type 5
1 arc de parabole2 points d’inflexions
a ) Les différents types de courbes de degré 3.
88
y
xo
H1
échelle : 5H2
f(t) ≈ 0 t³ -2,34 t² + 6,41 t + 0g(t) ≈ 24,35 t³ -38,93 t² + 18,11 t + 0C4
C4
≈
C4 X YP0
P1
P2
P3
0 02,14 6,043,49 -0,904,07 3,53
α
y
xo
H1
C4
échelle : 10H2
xM(t) = f(t) = 8t³ -15t² + 12t + 1yM(t) = g(t) = 23t³ -36t² + 15t + 3
a
C4
= = =>
C4 X YP0
P1
P2
P3
1 35 84 16 5
courbe de type 2
α ≈ 70,821°y3x3
238
b = = => β ≈ 67,380°y2x2
-36-15
c = = => γ ≈ 51,340°y1x1
1512
d = = => δ ≈ 71,565°y0x0
31
Changement de paramètres d’une B3 par rotation et / ou translation
Exemple avec une courbe ‘‘gauche’’ et ses hodographes
Méthode pour ‘’ dégauchir ‘’ et simplifier une courbe B3 par rotation et translation.
NB : a = C4’’’
Avec une rotation de -α c’est le coefficient y3 qui sera nul.
De la même manière une rotation impliquant β les coef. x2 ou y2 seront = 0 etc...
Appliquer une rotation* de (90°-α ) ≈ 19°179 de centre P0 et une translation de -P0
Nous utiliserons la définition canonique d’une B3 =>
* Rotation à l’aide d’une formule du changement de base (voir page 35 )
Ces changements de paramètres peuvent permettre de simplifier des équations
notamment pour determiner le point de croisement d’une courbe de type 4 (voir page 15)
En fait l’invariance affine du paramètre t autorise ces changements.
Nous pouvons dans certains cas exprimer une équation d’une manière différente et arriver indirectement
à un résultat pour revenir à une méthode directe.
x = f(t) = x3t³+x2t²+x1t+x0y = g(t) = y3t³+y2t²+y1t+y0M(t)
13
-1-3
99
Intersection d’une B3 avec une droite définie par un point E et son coef. directeur a
Intersection d’une droite avec une B3, calcul du paramètre tIl est très utile de déterminer le paramètre t d’un point de la courbe dont on connait l’abscisse ou l’ordonnée
Cela revient à calculer l’intersection de la courbe avec une droite d’équation x = x(M) ou y = y(N)
Intersection de 2 courbes B3
Un algorithme s’impose => https://pomax.github.io/bezierinfo/#intersections
L’avantage est que l’algorithme calcule sur l’intervalle [0 1] donc pas de confusions possible.
M1
23
M2
EC4
échelle : 10
M3
xo
xM ( t ) = f(t) = 8 t ³ -15 t ² + 12 t + 1yM( t) =g(t) = 23 t³ -36 t² + 15 t + 3
23
3,784,78
-1,21-0,21
7,458,45
15t³ - 21t² + 3t + 1 = 0
C4
yC4 - yD xC4 - xD
E
M1 M2 M3
= a
Exemple 3
=> 3 solutions réelles :
t3 ≈ 1,1834t1 ≈ 0,3692 t2 ≈ -0,1526
2,474,5
4,144.5
5,734.5
N1 N2 N3
Posons :
En développant =>
(y3-ax3)t ³+(y2-ax2)t ²+(y1-ax1)t+(y0-ax0-yE+xEa) = 0=>
a =1
N1 N2 N3
y
xo
C4
échelle : 10x=2
y=4,5M
xM(t) = 8t³-15t² + 12t + 1 = 2
8t³ -15t² + 12t - 1 = 0
23t³ -36t² + 15t - 1,5 = 0
t1 ≈ 0,0938 =>
xM(t)= f(t) = 8t³ -15t² + 12t + 1yM(t) = g(t) = 23t³ -36t² + 15t + 3
yM(t) = 23t³ -36t² + 15t + 3 = 4,5
2?
?
4,5
C4
avec C4 et
M
24,11M
N
Exemple 1
Exemple 2
Donc il faut résoudre :
=> 1 solution réelle :
=> 3 solutions réelles :t3 ≈ 0,9523t1 ≈ 0,1470 t2 ≈ 0,4660
C4 X YP0
P1
P2
P3
1 35 84 16 5
1010
X YM0
M0
M1
M1
M1’
M2’
M2
M2
1 139 2724 40
M3
M3
40 44
αβ
α ≈ 11,171° β ≈ 1,754°
échelle 2
Estimation du paramètre t
t(M1) = ≈ 0,3175
Et aussi avec :
Nous pouvons constater que la méthode des normes engendre 2 solutions.Nous pourrions par exemple faire la moyenne des 2 estimations de t.
Avec :
||M0M1|| COS(α)
||M0M3||
t(M2) = ≈ 0,7116||M0M2|| COS(β)
||M0M3||
t(M1) = ≈ 0,3237||M0M1||
||M0M3||
t(M1)moyen ≈ 0,3070
t(M2) = ≈ 0,7119||M0M2||
||M0M3||
t(M2)moyen ≈ 0,6905t(M1) = 1 - ≈ 0,2903||M3M1||
||M0M3||t(M2) = 1- ≈ 0,6690
||M3M2||
||M0M3||
||M0M3||≈49,82 ||M0M1||≈16,13 ||M0M2||≈35,47
||M0M3||≈49,82 ||M0M1||≈16,13 ||M0M2||≈35,47
||M0M3||≈49,82 ||M3M1||≈35,36 ||M3M2||≈16,49
Nous pouvons constater que le calcul de t implique souvent 3 solutions.Et pour éviter certaines confusions j’ai situé les exemples de courbes dans le premier quadrant du cercle trigonométriqueafin d’avoir une pseudo équivalence avec une fonction.Cela implique que le calcul de t avec la définition canonique f(t) accepte une seule solution sur l’intervalle [0 1]. D’ou l’utilité parfois d’effectuer un changement de paramètre par rotation et ou translation pour effectuer certains calculs.
Dans la réalité, notamment dans le domaine du design avec des logiciels «vectoriels» seule la portion continue des courbes sont utilisées (en majorités ce sont des courbes de type 2 ou 4).Si par le calcul un point stationnaire est situé sur [0 1] il est préférable de diviser la courbe en ce point.
Dans certains calculs, il est parfois necessaire d’estimer le paramètre t d’un ou plusieurs points .
Voici 2 méthodes :
Exemple 1 : méthode du projeté orthogonal sur M0M3
Exemple 2 : méthode des normes
11 11
d = 108 117
a = 117 108
Parabole B2 : calcul de son axe A, son sommet S et son foyer F
La tangente au sommet S = d =
A l’aide de l’équation de la dérivée première et de d calculer le paramètre t du sommet S
* voir page 24 intersection de 2 droites a l’aide de la formule de Delambre.
L = ( S ; a ) + A2A1
Et nous pouvons aussi calculer le point K situé sur la directrice et qui est le symétrique de F par rapport à S
donc t(sommet) =d =
1a
2t (yA0 - 2yA1 + yA2) + 2(yA1 - yA0) (yA1 - yA0) - d(xA1 - xA0)2t (xA0 - 2xA1 + xA2) + 2(xA1 - xA0) d(xA0 - 2xA1 + xA2) - (yA0 - 2yA1 + yA2)
donc t(sommet) ≈ 0,552716
Calcul du sommet S
Calcul du foyer F
Exemple
Il faut savoir que l’intersection d’une tangente à C2 (par exemple A2A1) avec son axe A => Let que + de la médiatrice de A2L avec l’axe A de la parabole est son foyerF .
xS(tsommet) ≈ 62.547 yS(tsommet) ≈ 50.002SxM(t) = -108t² + 162t + 6
yM(t) = -117t² + 90t + 36
Exemple*
S
S F = ( S ; a ) + médiatrice de A2L
1.0833 (a)
C2 X YA0
A1
A2
6 3687 8160 9
S 62,6 50,0
le coef dir. de l’axe A de la parabole = a = xC2’’ yC2’’
X Y
A2 60 9
L 84.15 73.41
coef dir.
coef dir.
2.6667 (coef dir. de A2A1)
62.55 50.00 1.0833 (a)
X Y
F 58.96 46.12
K 66.13 53.88
62.55 50
C2
M 72.08 41.2 -0.3750 (-1÷ 2.6667)
1212
Dans un premier temps il faut que le sommet de la parabole soit à l’origine du repère et son axe A doit coïncider avec l’axe OY.Nous allons donc effectuer un changement de base avec une rotation dedont le centre Ω est le sommet S et une translation de -xS et -yS .
Calcul du foyer F : méthode indirecte
xS ≈ 62.547 yS ≈ 50.002S
xS ≈ 62,547 yS ≈ 50,002S
xM(t) = -108t² + 162t + 6 yM(t) = -117t² + 90t + 36
117 108 = arctan ( ) ≈ 42,7094°
Donc dans ce cas la avec
Donc directement avec A =(xA0 - xS) , B =(yA0 - yS) , et son sommet S
NB : le calcul peut se faire sur R² avec A0 = n’importe quel point de la parabole hormis son sommet.
En interpolant les points A0’, S’, A3’ par la méthode de Newton
la paramètre a de la parabole =
xA0’= - sinα (yA0 - yS) ≈ -32.054cosα (xA0 - xS) yA0’=
x F’= 0
y F’=
+ cosα (yA0 - yS) ≈ -48.643sinα (xA0 - xS)
x F= sin(α) (y F’) + xS =
y F= cos(α) (y F’) + yS =
xA3’ ≈ 32,054yA3’ ≈ -48,643
≈ -5,281
≈ -0,047344yA0’
1le foyer est définis par :
4a
(xA0’)²
(cosα A - sinα B )²4 ( A + cotanα B )
4 yA0’
(xA0’)²
Ω = Δx ≈ - 62,547Δy ≈ - 50,002
α
α
+ xS
(cosα A - sinα B )²4 ( tanα A + B ) + yS
avec
C2S
F
K
L
axe A
A1
A0
A2
x
y
echelle 1
Directrice DM
y
A0’
F
F’
A3’est le symétrique de A0’
S’
F’
x
echelle 1
A0’ A3’
=
13 13
Points stationnaires et point de croisement d’une B3
Pour déterminer les points stationnaires utilisons la formule suivante : le déterminant de
Avec :
En développant :
Si Δ>0 et A=0 => 1 pt d’inflexionSi Δ>0 et A≠0 => 2 pt d’inflexions
Si Δ=0 => 1 pt rebroussementSi Δ<0 => 1 pt croisement
Si A =0 et B =0 => 1 arc de parabole
et => = 0-=B’3 =>x’= f ’(t) = 3x3t ²+2x2t+x1
=> (x2y3 - x3y2)t ² +(x1y3 - x3y1)t + (x1y2 - x2y1) /3 = A t ² +B t + C = 0
y’= g’(t) = 3y3t ²+2y2t+y1f ’(t) f ’(t)g’(t)
g’(t)f ’’(t) f ’’(t)g’’(t)g’’(t)B’’3 =>
x’’= f ’’(t) = 6x3t+2x2y’’= g’’(t) = 6y3t+2y2
B3’(t) , B3’’(t) =0
échelle 6
RP1
P0
P2
P3
C33 X YP0
P1
P2
P3
1 19 51 59 1
f(t) = 32t³ - 48t² + 24t + 1
x’ y’’ - y’ x’’ => 384t² - 384t + 96 = 0 (Δ=0)
=> t = 0,5
g(t) = 0t³ - 12t² + 12t + 1C33
3) courbe de type 3 (acceptant un point de rebroussement de 1ère espèce)
échelle 15
I1
I2
P1
P0
P2
P3
C32 X YP0
P1
P2
P3
1 13 31.6 2.55 2
f(t) =8,2t³ - 10,2t² + 6t + 1
x’ y’’ - y’ x’’ => 36t² - 34,2t + 5,4 = 0 (Δ=36)=> t1 ≈ 0,2 t2 ≈ 0,75
g(t) = 2,5t³ - 7,5t² + 6t + 1C32
2) courbe de type 2 (acceptant deux points d’inflexion)
2 points d’inflexions en
1 point de rebroussement en R
échelle 6I(0,5)55
I1 1.8581.920 I2 3.222
2.336
54
I 55
P1
P0 P2
P3
C31 X YP0
P1
P2
P3
1 55 105 09 5
f(t) = 8t³ - 12t² + 12t + 1
x’ y’’ - y’ x’’ => 0t² + 240t - 120 = 0 (Δ=57600 et A=0)=> t1 = t2 = 0,5
g(t) = 30t³ - 45t² + 15t + 5C31
1 point d’inflexion en
1) courbe de type 1 (acceptant un point d’inflexion)
1414
4) courbe de type 4 (acceptant un point de croisement ou point double)
5) courbe de type 5 (arc de parabole)
Calcul du point double
f(t1) - f(t2) = 0 => x3 (t1²+ t2²+t1t2) + x2 (t1 + t2) + x1 = 0
f(t1) - f(t2) = 0 => x3 (t1³- t2³) + x2 (t1²- t2²) + x1(t1 - t2) = 0
f(t1) = f(t2) => x3t1³+ x2t1²+ x1t1 + x0 = x3t2³+ x2t2²+ x1t2 + x0 g(t1) = g(t2) => y3t1³+ y2t1²+ y1t1 + y0 = y3t2³+ y2t2²+ y1t2 + y0
D
A présent le but est de définir t2 à partir de t1 , nous allons donc faire en sorte que dans ( f(t1) - f(t2)) x3 = 0en appliquant une rotation sur ( f(t1) - f(t2)) avec tan (α) = y3/x3
Résoudre avec
=>
x3 (t1²+ t2²+t1t2) + x2 (t1 + t2) + x1 = 0
( π - α ) 2
A l’ aide de la formule du changement de base (rotation des axes) X1 = x1 sin(α) - y1 cos(α)
x2 tan(α) - y1x1 tan(α) - y2 t2 = - -t1
x3y3x1 - y1
x3y3x2 - y2
X2X1
t2 = - -t1X2X1
X2X1G = = = =
X2 = x2 sin(α) - y2 cos(α)
+ t1² + + = 0 - t1G G G x3
x2x3
x1ou + t1² + + = 0 - Gt1 G²
x2x3
x1
{ Donc f(t1) - f(t2) => X2 (t1 + t2) + X1 = 0 =>
x2y3 - y2x3x1y3 - y1x3
=>
échelle 1
P1
P0
P2
P3
4.8573.571
α échelle 10
P1
P0
P2
P3
C34 X YP0
P1
P2
P3
4 27 61 47 3
f(t) = 21t³ - 27t² + 9t + 4 x’ y’’ - y’ x’’ => 189t² - 189t + 54 = 0 (Δ= -5103)
x’ y’’ - y’ x’’ => 0t² + 0t - 3078 = 0
g(t) = 7t³ - 18t² + 12t + 2C34 donc la courbe C34 accepte un point double
=> t1 ≈ 0,1727 t2 ≈ 0,8273
Exemple avec
=> G = -1
- 71
73
f(t) = 21t³ - 27t² + 9t + 4g(t) = 7t³ - 18t² + 12t + 2C34
=> -t1² + t1 = 0 ( Δ= )
f(t) = 0t³ - 108t² + 162t + 6g(t) = 0t³ - 117t² + 90t + 36C2
C2 X YP0
P1
P2
P3
6 3660 6678 5760 9
1 point de croisement en D
Exemple
G
15 15
Subdivisions récursives d’une B2 avec la méthode de ‘‘De Casteljau’’ [1] Cette méthode permet de calculer les coordonnées d’un point M(t) sans passer par les équations traditionnelles.
Les points A0 A1 A2 sont les points de définitions d’une courbe paramétrique de Bézier de degré 2.Et B un point de cette courbe de paramètre t = 0.4
Subdivisions récursives d’une B3
Les points P0 P1 P2 P3 sont les points de définitions d’une courbe paramétrique de Bézier de degré 3et M un point de cette courbe de paramètre t = 0.4
C3
P1
P0
P2
P3
M(0,4)41,942,7
échelle 1.5
Q2
Q3
S1
S2
Q1
X YP0
P1
P2
P3
14 1034 5464 5490 26
Q1 = (1-t)P0 + t P1
Q2 = (1-t)P1 + t P2
Q3 = (1-t)P2 + t P3
S1 = (1-t)Q1 + t Q2
S2 = (1-t)Q2 + t Q3
M = (1-t)S1 + t S2
Et de ce fait nous pouvont diviser la courbe C3 en M(0,4) en 2 courbes définies par : C3a P0 Q1 S1 MC3b M S2 Q3 P3
donc avec t = 0.4
Q1 22 27,6Q2 46 54Q3 74,4 42,8S1 31,6 38,2S2 57,4 49,5M 41,9 42,7
X Y
Q1
Q2
A1
A0
A0A1 t
A0A1 (1- t)
A 1A2
t
A 1A2
(1- t
)
Q1Q2 t Q1Q2 (1- t)
A2
x
y
échelle 1
B(0.4)
C2
Q1 = (1-t)A0 + t A1 ou t (A1 - A0) + A0
Q2 = (1-t)A1 + t A2 ou t (A2 - A1) + A1
B = (1-t)Q1 + t Q2 ou t (Q2 - Q1) + Q1
C2 X YP0
P1
P2
6 3687 8160 9
X YQ1
Q2
B
38,4 5476,2 52,253,5 53,3
donc avec t = 0.4
1616
Méthode pour calculer les points de définition des courbes C3a et C3b avec C3 et t=0,4
Méthode pour prolonger une courbe B3 jusqu’au point E de paramètre t >1
Méthode pour prolonger une courbe B3 jusqu’au point H de paramètre t <0
Nous remarquons que A2 est sur la parabole définie par P0 P1 P2 et B1 sur la parabole P1 P2 P3
Quelques applications pour une B3
P0
D0 =H
D1 D2
D3 = P3
échelle 3/4
t en H = -0.2 3,312 -21,808donc H(-0.2)
C3
C3 bis X YD0
D1
D2
D3
3,312-21,80821,840 52,88058,8 59,690 26
X YP0
P1
P2
P3
14 1034 5464 5490 26
D1 = (1-t)²P1 + t(1-t)P2 + tD2D0 = H(t)
D3 = P3D2 = t (P3-P2) +P2
C0=P0
C2
C3=E
échelle 1
C1
P3
P1
P2
P1
P2
t en E = 274,03239,312donc E(2)
X YC0
C1
C2
C3
14 1030 45,252,4 52,24074,032 39,312
C3a
C3a bis
X YP0
P1
P2
P3
14 1022 27,631,6 38,16041,904 42,704
C1 = t (P1-P0) + P0C0 = P0
C3 = E(t)C2 = (1-t)C1 +t(1-t)P1 + t²P2
avec t = 2
avec t = -0.2
C3b
C3a
échelle 3/4
P1
P0 = A0
P2
P3= B3
C3
B1 =(1- t)[t(P2-P1) + P1 - B2]+B2B0 = M(t)
B3 = P3B2 = t (P3-P2) +P2
A1 = t (P1-P0) + P0A0 = P0
A3 = M(t)A2 = t[ t(P2-P1) + P1 - A1]+A1
avec t = 0,4
C3a X YA0
A1
A2
A2
A1
A3 = B0
A3
14 1022 27,631,6 38,16041,904 42,704
C3b X YB0
B1
B1
B2
B2
B3
41,904 42,70457,360 49,55274,4 42,890 26
X YP0
P1
P2
P3
14 1034 5464 5490 26
17 17²
Réunion de 2 courbes de Bézier de degré 3La subdivision De Casteljau implique une formule simple pour effectuer cette réunion.
Exemple 1 : soit 2 courbes A et B ayant un raccordement de classe C1 (A3’= B0’).
à l’aide de la subdivision récursive des B3 nous pouvons «naïvement» réunir A et B en posant :
NB : cette méthode respecte les tangentes en P0 et Q3 mais R ne passe pas par P3.Nous verrons à la section courbe passant par 1 point page 29 qu’il est possible de faire varier P1 ou P2 afin que Pbis passe strictement par A3 .tout en conservant les tangentes en P0 et P3 (voir ci dessous) .
A1= t(P1-A0)+A0 => B2= t(B3-P2) +P2 =>
Exemple 3 : idem Exemple 1 mais avec un raccordement de classe C0 (A3’ ≠ B0’) avec
t = = 0,5||A2A3||+
||A2A3||
||B0B1 ||
Dans ce cas la et personnellement je pense que visuellement le résultat est correct car la réunion épouse au mieux les courbes A et B.
P1 = A1-A0 (1-t) t
P2 = B2 - tB3 (1-t)
X YA0
A1
A2
A3
8 1825 3040 3556 35
x = f(t) = 3t³ - 6t² + 51t + 8y = g(t) = 2t³ - 21t² + 36t + 18
A
A
X YP0
P1
P2
P3
8 1842 4280 46104 14
X YB0
B1
B2
B3
56 3572 3592 30104 14
x = f(t) = -12t³ + 12t² + 48t + 56y = g(t) = -6t³ - 15t² + 0t + 35
B
B
x = f(t) = -18t³ + 12t² + 102t + 8y = g(t) = -16t³ - 60t² + 72t + 18
échelle 1
A0=P0
A3=B0
B3=P3
P1
A2
B2
B1
A1
P2
A B
P P
P=>
X YA0
A1
A2
A3
8 1825 3040 4056 35
A X YP0
P1
P2
P3
8 1842,57 42,4080,39 45,48
104 14
P
=>+
échelle 0,5
A0=P0
A3=B0
B3=P3
P1
A2
B2
B1
A1
P2
A B
P
X YB0
B1
B2
B3
56 3572 4092 30104 14
B
t = = 0,5||A2A3||+
||A2A3||
||B0B1 ||
X YP0
P1
P2
P3
8 1834,61 36,78
80 46104 14
Pbis variation sur P1 X YP0
P1
P2
P3
8 1842 42
84,02 40,64104 14
Pbis variation sur P2
t en A3 ≈ 0,4907912 t en A3 ≈ 0,4496878
1818
Distance d’un point à une courbe B3.Lors d’un lissage d’une suite de points par approximation avec une ou plusieurs courbes B3 il est souvent utile de savoir si le ou les points de départ ne sont pas trop éloignés des B3 calculées.Cela implique qu’il faut se fixer une tolérance de +/- λ .
Exemple : avec une courbe P et un point M
M’≈
Le problème est de calculer le point M’ situé sur la courbe P dont la normale passe par le point M.
Déterminons les équations pour résoudre le problème .
la normale en un point de paramètre t de P =
donc ||MM’|| ≈ 1,882
Nous pouvons donc poser :
En utilisant la définition canonique d’une B3
En développant
Et en résolvant h(t)=0 par la méthode de Raphson Newton =>
h(t) = 1740t5 + 3720t4 - 4464t3- 5880t2 + 16476t - 6120
=>
=>
= -f ’(t)g’(t)
f(t) - xM g(t) - yM
f ’(t) ( g(t) - yM ) + g’(t) ( f(t) - xM ) (t) = 0
(3x3t ²+2x2t+x1) (y3t³+y2t²+y1t+y0-yM ) + (3y3t ²+2y2t+y1) (x3t³+x2t²+x1t+x0-xM ) = 0
=> h (t) = 3(y3²+x3² )t5 + 5(y3y2 + x3x2 )t4 + [ 4(y3y1+x3x1)+2(y2²+x2² )] t3 + [ 3(y2y1+y3(y0-yM) + x2x1+x3(x0-xM)] t2 +[y1²+2y2(y0-yM)+x1²+2x2(x0-xM)] t +y1(y0-yM)+x1(x0-xM)
h’(t) = 8700t4 + 14880t3- 13392t2 - 11760t + 16476
t(M’ )≈ 0,4617252
Dans cet exemple il existe une seule solution sur l’intervalle [0 1].
Dans notre exemple =>
échelle 1
P0
M
P3
P1
P2
P X YP0
P1
P2
P3
8 1842 4280 46104 14
x = f(t) = -18t³ + 12t² + 102t + 8y = g(t) = -16t³ - 60t² + 72t + 18
P
P
-f ’(t)g’(t)
5635
55.88236.878
échelle : 6
M
M’
[5]
19 19
Vecteur vitesse , accélération , rayon de courbure (cercle osculateur) [4]
P1 P2
C3 M(0.3)
échelle 1
P3
P0
M(0.5)
Ω
R
calcul du rayon de courbure R en un point M(t)
Calcul du centre de courbure Ω
avec
Dans le repère de Frenet en nous avons
Donc directement : avec x = f(t) et y = g(t)
(x’ ² + y’ ² )R en M(t) =3/2
519729,318
-17388R en M(0.5) = ≈ 29.89
x’ = f ’(0,5) = 79,5y’ = g’(0,5) = 12M’(0,5)
49.7545M(0,5)
(xN)(R)(1)+xM(0,5) = 54.21(yN)(R)(1)+yM(0,5) = 15.44Ω(0,5)
x’’ = f ’’(0,5) = 18y’’ = g’’(0,5) = -216M’’(0,5)
x’ y’’ - y’ x’’
(x’ ² + y’ ² )0,5
N(-y’ )C
(x’ ² + y’ ² )0,5(x’)C
80,4-12(1)
80,4(79.5)(1)
≈ 0,15
≈ -0,99
exemple avec :
Le vecteur vitesse d’une courbe B3 en un point M(t)est la norme du vecteur dérivé premier au point M(t)
x = f(t) = -14t³+30t²+60t+14y = g(t) = 16t³-132t²+132t+10M(t)
x’ = f ’(0,3) = -42t²+ 60t + 60 = 74,22 y’ = g’(0,3) = 48t²- 264t + 132 = 57,12M’(0,3)
x’’ = f ’’(0,3) = -84t+60 = 34,8y’’ = g’’(0,3) = 96t-264 = -235,2M’’(0,3)
Le vecteur accélération d’une courbe B3 en un point M(t)est la norme du vecteur dérivé second au point M(t)
sa norme ≈ 93,66
sa norme ≈ 237,76
=
=
C3 X YP0
P1
P2
P3
14 1034 5464 5490 26
NB : si au point M(t) x'y"-x"y' < 0 la courbe est concave en M(t) donc C= 1 si non C= -1
(x’ ² + y’ ² )x’ y’’ - y’ x’’
(-y’)x Ω(t) = + x M(t)(x’ ² + y’ ² )
x’ y’’ - y’ x’’ (x’)y Ω(t) = + yM(t)
Sources : http://prof.math.free.fr/textes/cours/normal/courbure_html/index.html2020
matrice de passage
ww
t 1 t t² t3
p3
xP yP xM(t) yM(t)0 1 0 0 0 1 0 0 0 xP0 yP0
xP1 yP1xP2 yP2xP3 yP3
-1 11/3 1 0,33 0,11 0,037 × -3 3 0 0 × = -0,5 12/3 1 0,67 0,44 0,296 3 -6 3 0 0 11 1 1 1 1 -1 3 -3 1 0,5 2,5
n OM(t)Os
Paramétrisation d’une fonction du second ou troisième degré sur un intervalle borné.
donc =>= OM(t)Os wn p3-1 ××
La réciproque est possible à l’aide d’une interpolation de type Hermite ou Lagrange.
Mais pour avoir des résultats cohérents la courbe de Bézier doit être de type 1 ou 5 et «dégauchie».
-1 0,5-0,5 0
X
Y
M0M1
M2
M3
échelle : 20
f(x) = 2x³ + 3x² + x +1
Exemple
Soit la fonction :
Pour y arriver nous allons nous servir de la définition matricielle d’une B3en choisissant 4 points : M0 qui est au début de l’intervalle M1 , M2, 2 points intermédiaires et M3 à la fin de la courbe B3
a) calcul de
Dans ce cas là le calcul est simple car t est proportionnel aux abscisses.
NB : pour une parabole la méthode est identique.
b) calcul des paramètres t en M0, M1 , M2, M3
C est une B3 de type 1.
que l’on veut paramétrer sur l’intervalle [-1 0,5].
OM(t)
X f(x)M0
M1
M2
M3
-1 1-0,5 1
0 10,5 2,5
X YP0
P1
P2
P3
-1 1-0,5 1,50 -0,250,5 2,5
C
C
t en M0 = 0 t en M3 = 1
xM3 - xM0xM1 - xM0
1,50,5t en M1 = =
31 =
xM3 - xM0xM2 - xM0
1,51t en M2 = =
32 =
21 21
Aire d’une courbe de Bézier de degré 3.
a) Aire d’une courbe B3 fermée sur son domaine de définition [ 0 1] (méthode WEB).
b) Aire d’une courbe B3 fermée acceptant un point d’inflexion sur son domaine de définition [ 0 1].
Il existe plusieurs méthodes plusieurs méthodes pour calculer la superficie d’une courbe B3.
Mais quelque soit la méthode utilisée et pour avoir des résultats probants et compréhensible il est préférabled’effectuer un changement de paramètre de la courbe par translation de -xP0 et -yP0.
Notamment la forme : aire = qui permet de calculer l’aire d’une B3 fermée.12 0
1
f
Et aussi permettant un calcul sur un intervalle donné [a b]a
b
f
M
P0
y
xo
échelle : 10
P3
C4
C4
X YP0
P1
P2
P3
1 35 84 16 5
P3
échelle 1/2
P1
P0
P2
C3 En posant exceptionnellement : X0 =xP0 , Y0=yP0 ; X1 =xP1 , Y1=yP1 etc...
NB : La translation de - P0 est intégrée dans la formule et fonctionne sur R²
Dans cet exemple Aire de C3 = 1414,8 mm²
Que représente ce chiffre ?
Le point M est l’intersection de la droite P0P3 avec C4 .
En fait c’est l’aire du segment de courbe de P0 à M = A1+ l’aire du segment de M à P3 = A2
A1 ≈ 2,177 et A2 ≈ - 0,977 donc A1 + A2 = 1,2 mm²
Aire de C4 = 1,2 mm²
P0
P1
P2
P3
14 1034 5464 5490 26
C3
A1 A2
Aire = 3 / 20 [ (Y1-Y0) ( X2 + X3 -2X0)- (X1-X0) (Y2 + Y3 -2Y0) - 2[ X0(Y2-Y3) + Y0(X3-X2) + Y3X2-Y2X3 ] ]
=>
xP0=x0yP0=y0
g(t) - yP0f(t) - xP0
yP3 - yP0xP3 - xP0 P0d =
d = g(t) - y0f(t) - x0
=
nous pouvons donc diviser At ³+Bt ²+Ct par ( t ² - t)
(y3-dx3)t ³+(y2-dx2)t ²+(y1-dx1)t = 0 => At ³+Bt ²+Ct = 0
=> donc At3+A+B = 0 AB- (1+ )= -(1+ )(y3-dx3)
(y2-dx2)t 3 =
x = f(t) = x3t³+x2t²+x1t+x0y = g(t) = y3t³+y2t²+y1t+y0M(t)
Ce polynôme accepte 2 racines réelles : t 1= 0 et t 2= 1 => (0- t)(1- t) =( t ² - t)
Voici son calcul dans le cas général.
4,2954,318MxM ( t ) = 8 t ³ -15 t ² + 12 t + 1
yM( t) = 23 t³ -36 t² + 15 t + 3 d=0,4 0.51515151t (M ) ≈Dans cet exemple
(g(t) f ’(t) - f(t) g’(t))
( g(t) f ’(t) )
2222
Abscisse curviligne s ou longueur d’un arc d’une courbe de Bézier de degré 3.
c) Aire d’une courbe B3 sur un intervalle [a b] .
En utilisant la formule : aire = et la définition canonique d’une B3 a
b
f
la théorie veut que la longueur d’un arc d’une courbe paramétrique =
NB : les variables a et b sont les valeurs possible du paramètre t
Pour une courbe B3 s = =
a
b
f
a
b
f f ’(t)a
b
f (3x3t ²+2x2t+x1) (3y3t ²+2y2t+y1)
Mais dans la pratique il est quasiment impossible de calculer cette intégrale d’où la nécessitée de procéder à une approximation.
Je peut donc calculer son rayon, la corde M0 M2 de l’arc, sont angle au centre θ et enfin sa longueur.
Pour ma part je divise la courbe en 100 parties sur l’intervalle [a b] avec un pas de (b-a) / 100.Je calcule les coordonnées des points M correspondants allant de M0 à M100.Je détermine le centre du cercle passant par M0 M1 M2
Et ainsi de suite avec M2 M3 M4 , M4 M5 M6 etc... jusque M98 M99 M100
C5
C5
X YP0
P1
P2
P3
0 01 24 36 0
ox
y
échelle : 10
Dans cet exemple :
L’aire de C5 sur l’intervalle [0,2 0,6] = H(0,6) - H(0,2) ≈ 4,15 mm²
Exemple avec C5 sur l’intervalle [0,2 0,6] => pas = (0,6 - 0,2) / 100 = 0,004
Donc s de C5 sur [0,2 0,6] ≈ 2,705 mm
x = f(t) = x3t³+x2t²+x1t+x0y = g(t) = y3t³+y2t²+y1t+y0M(t)
f(t) = -3t³+ 6t²+ 3t + 0 g(t) = -3t³-3t²+ 6t + 0
3x3y3t5+(3x3y2+2x2y3)t4+(3x3y1+2x2y2+x1y3)t3+(3x3y0+2x2y1+x1y2)t2+(2x2y0+x1y1)t +x3y0
t n xM yM xC yC corde rayon θ Lg, arc0,200 0 0,8160 1,05600,204 1 0,8362 1,0737 3,15 -1,60 0,05 3,53 0,015 rad 0,050,208 2 0,8566 1,09120,212 3 0,8771 1,1086 3,15 -1,59 0,05 3,53 0,015 rad 0,050,216 4 0,8977 1,1258
0,584 96 3,2008 1,88330,588 97 3,2286 1,8809 2,96 -1,07 0,06 2,97 0,019 rad 0,060,592 98 3,2564 1,87820,596 99 3,2842 1,8752 2,96 -1,08 0,06 2,97 0,019 rad 0,060,600 100 3,3120 1,8720
( g(t) f ’(t) )
g(t) f ’(t) = h(t) =
h(t) = 27t5- 9t4- 99t3+ 63t2+18t + 0H(t) = 4,5t6-1,8t5- 24,75t4+ 21t3+ 9t2+ C
g’(t)
√ dxdt
dydt dt² ²+( ) ( )
√ ² ²√ ² + ²+( ) ( )
23 23
Simulation d’un arc de cercle avec une B3* ( pour avoir une bonne précision l’angle au centre de l’arc doit être ≤ 90° )
*D’autres méthodes existent entre autre celle de monsieur krauss voir : http://d.krauss.free.fr/documents/Transverses/Bezier/Arc_cercle/Arc_Cercle.htm
Calculer les angles orientés suivants : α0 ≈ 80,431° et α3 ≈ 175,884 °
Avec P1 et P2 déterminés par coordonnées polaires :
X YM1
M2’
M3
I
P0=
P3=
1,5Pts
3,437 5,603
2 7,4328 7
1
=>
=>=>
B0 B1 B2 B3(1-t)³ 3t(1-t)² 3t²(1-t) t³0,125 0,375 0,375 0,125
xM2’ = B0 xP0 + B1 (φ0 cos(α0)+xP0) + B1 (φ3 cos(α3)+xP3) + B3 xP3
X YP0
P1
P2
P3
1 1,51,567 4,8634,598 7,2458 7
Astuce : ne connaissant pas le paramètre t en M2 déterminer le point M2’
qui est sur la bissectrice de M1 Ω M3. ( t en M2’ = 0,5) .
Polynôme de Bernstein avec t=0.5
≈ 3,410940045xM2’- 0,5 ( xP0 + xP3) φ0 = φ3 = 0,375 [cos(α0)+cos(α3)]
Calcul de la courbe de bézier B3
y
échelle 10
M1
M2
B
A
M3
α
β
Ω
θ
=
=
=
=
X YM1
M2
M3
1,5Pts
4 68 7
1
C2R
(yA-yB)-(xA-xB)tan(β)tan(β)-tan(α)
xΩ = xA+ ≈ 7,525
yΩ = yA+ (xΩ-xA)tan(α) = 0,4
θ = 2 arcsin( ) ≈ 84,542°
Le centre Ω du cercle passant par M1 M2 M3 est déterminépar l’intersection des médiatrices de M1M2 et M2M3.
Calcul de l’intersection par la méthode de Delambre.
rayon R =||M1 Ω|| ≈ 6,617 corde C = ≈ 8,902||M1M3||
Calculs préliminaires avec
2424
Avec : S = sin(θ) , C=cos(θ)
x = -0.118433799202707
[-S + S²+ 6(1-C) ] √K° =
K1 =
Voici la méthode Krauss
tan( )
Kidéal =
Kidéal . Rayon ≈ 3,409176983
α = 6 ( 3K° + S )
βK1 - α x K° β - α x
1343
β = 9 ( 1-C)K1 + 12 S )
θ4
φ0 = φ3 =
t ΔR perso ΔR Krauss écart0 0,00000 0,00000 0,00000
0,1 0,00069 0,00058 0,000110,2 0,00123 0,00088 0,000360,3 0,00094 0,00032 0,000620,4 0,00031 -0,00051 -0,000200,5 0,00000 -0,00089 -0,000890,6 0,00031 -0,00051 -0,000200,7 0,00094 0,00032 0,000620,8 0,00123 0,00088 0,000360,9 0,00069 0,00058 0,000111 0,00000 0,00000 0,00000
φ0
φ3
y
échelle 20
P0
P1
P2
P3
M2’
Ω
α0
α3
2θ
2θ
2θ
I
25 25
M(35)
O X
Y
I
τ(35) = 21°, 93
r(35) = 45.71
τ(35) = 21°, 93 r(35) = 45.71
xM(35) = 34,49 yM(35) = 4,42dans l’exemple 1 avec s = 35 et A= 40
I
I’
OX
Y
2626
La clothoïde [2] [3]Avant propos.
Quelques définitions mathématiques [2][3] [géogébra] . Exemple 1
La particularité d’une clothoïde, appelée aussi spirale de «Cornu»,est que son rayon de courbure est progressif au fur et a mesure l’on avance sur la courbe.
La législation impose un virage avec un rayon de courbure minimal à respecter pour chaque catégories de route.
Par exemple pour une autoroute de catégorie L120 où la vitesseest limitée à 130 Km/h le rayon du virage circulaire doit être >= à 665m.
C’est pour cela que dans le domaine des travaux publicle début de la spirale est utilisé pour raccorder des axes routiers par une partie courbe en permettant d’aborder une partie circulaireprogressivement sans changement brusque de direction.
coordonnées de I :
L’équation intrinsèque de la spirale est :
Les coordonnées d’un point de la courbe sont :
Ces intégrales dites de Fresnel ne peuvent pas s’exprimer à partir de fonctions élémentaires,mais le calcul à l’aide d’un développement limité au voisinage de 0 est possible :
πx = y =
x = fcos S X
s
ds
rτ
τ = =
s r = A²
s²2A²
xM(s) = s5s40A4
s²2A²
s2r
y = fsin S X dss²2A²
+ s93 456A8
- s13599 040A12
+ ...- yM(s) = s36A2
- s7336A6
+ s1142 240A10
s159 676 800A14
- + ...
A est appelé paramètre de la clothoïde
Soit : l’abscisse curviligne de la clothoïde
son rayon de courburel’angle en radian d’une tangente de la courbe
2 √A
Calcul traditionnel abscisse curviligne tous les 5 m
param. A 35,5 rayon de l'arc de cercle à raccorder 32 m A moyen 35,6
s X Y τ r X Y écart des Y r estimé s estimé A estimé
0,00 0,000 0,000 0,000° infinis 0,000 0,000 0,000 infinis
5,00 5,000 0,017 0,568° 252,05 5,000 0,017 -0,001 248,5 5,00 35,3
10,00 9,998 0,132 2,273° 126,03 9,998 0,135 -0,002 128,6 10,00 35,9
15,00 14,988 0,446 5,115° 84,02 14,988 0,446 0,000 86,0 15,00 35,9
20,00 19,950 1,056 9,093° 63,01 19,950 1,048 0,008 63,5 20,00 35,6
25,00 24,847 2,057 14,207° 50,41 24,847 2,038 0,019 49,7 25,00 35,2
30,00 29,620 3,538 20,459° 42,01 29,620 3,515 0,023 40,9 30,00 35,0
35,00 34,182 5,575 27,847° 36,01 34,182 5,563 0,012 35,9 35,00 35,4
39,383 37,917 7,862 35,257° 32,00 37,917 7,862 0,000 34,1 39,389 36,6
approximation par la courbe de bézier
rayon = 32
Soit un arc de cercle de rayon 32 m que l’on veut raccorder par une clothoide de paramètre 35,5 .
Définition de la courbe de Bézier
Tableaux comparatifs
s r = A² donc s(32) = 35,5²/32 ≈ 39,383 m
39,3832*32τ(39,383) = ≈ 35,257°
xM(39,383) ≈ 37,917 yM(39,383) ≈ 7,862M
τ
M’
échelle 1/500
D1
D2
Soit : les droites D1 et D2 et M’ qui est le projeté orthogonal de M sur la droite D1
27 27
Simulation d’un arc de clothoïde par une courbe de Bézier de degré 3.
Exemple 2
P0 P1 P2
P3
X YP0
P1
P2
P3
0 012,639 026,796 037,917 7.862
P1 est à 1/3 de P0M’ P2 est l’intersection de D1 et D2
P3 est le point M
Nous pouvons constater que avec un angle de τ≈ 35° la précision se dégrade vers la fin de la courbe.
Si τ≈ 20° l’écart maxi est de 0,014 et avec τ≈ 40° l’écart maxi est de 0,040.Donc la précision diminue si τ augmente .
L’utilité de cette approximation est que la courbe de Bézier peut être calculée sur R² sans effectuerun changement de base par rotation et ou translation, d’ou peut être visualiser un avant projet à petite échelle.Et aussi le ‘’A moyen‘’ me semble correct.
Mais ATTENTION : la méthode traditionnelle fait Foi et Loi.
P0 est à l’origine de la clothoïde
donc la courbe de Bézier ≈
Courbes de Bézier passant strictement par 3 pointsa) Paraboles passant par 3 points
A0
A2
A1
t en M1 ≈ 0,537706xA1 ≈ 16,817 yA1 ≈ 35,331
et en posant xA0 = x0 yA0 = y0xA2 = x2 yA2 = y2
=>
xM1 = t²(xA0 + xA2 - 2xA1) + 2t(xA1 - xA0) + xA0yM1 = t² (yA0 + yA2 - 2yA1) + 2t(yA1 - yA0) + yA0 {
4) M1 est le sommet de la parabole .
Il faut donc résoudre à l’aide des équations des dérivées 1ère et secondes :
f ’(t) g’(t) = -
g’’(t) f ’’(t)
+ t3 [( x0 - x2 )² + ( y0 - y2 )²] - 3t² [( x0² + x0x2 + x0 xM1 - x2 xM1 ) + ( y0² + y0y2 + y0 yM1 - y2 yM1 )] + t [( 3x0² - x0x2 - 5x0 xM1 + x2 xM1 + 2xM1²) + ( 3y0² - y0y2 - 5y0 yM1 + y2 yM1 + 2yM1²)] - (x0 - xM1)² - (y0 - yM1)² = 0
α2
t en M1 ≈ 0,435382xA1 ≈ 24,015 yA1 ≈ 39,091
A1
A0
A2
Exemple 3 : avec α2 = 140°
=>
xM1 = t²(xA0 + xA2 - 2xA1) + 2t(xA1 - xA0) + xA0yM1 = t² (yA0 + yA2 - 2yA1) + 2t(yA1 - yA0) + yA0
yA1 - yA2xA1 - xA2α2 ={
t² [ α2(xA2 - xA0) + yA0 - yA2] + 2t [ α2(xA0 - xA2) + yA2 - yA0] + α2(xM1 - xA0) - yM1 + yA0 = 0
3) La tangente en A2 est imposée .
Calcul de t en M1 :
α0
A0
A2
A1
t en M1 ≈ 0,630865
xA1 ≈ 9,298 yA1 ≈ 33,268
=> t² ( α0(xA0 - xA2) + yA2 - yA0) + α0(xM1- xA0) + yA0- yM1 = 0
xM1 = t²(xA0 + xA2 - 2xA1) + 2t(xA1 - xA0) + xA0yM1 = t² (yA0 + yA2 - 2yA1) + 2t(yA1 - yA0) + yA0
yA1 - yA0xA1 - xA0α0 ={
Exemple 2 : avec les mêmes points que l’exemple 1 et α0 = 85°
2) La tangente en A0 est imposée .
Dans ce cas il faut calculer le paramètre t en M1 .
Pour calculer t en M1 il faut résoudre :
A0 = M0
M1
A2 = M2
A1
X YA0 = M0
M1A2 = M2
7 722 2642 24
Exemple 1
soit
t estimé en M1 = 0,5
1) Les tangentes en A0 et A2 sont libres.Dans ce cas il existe une infinités de solutions car tout dépend de l’estimation du paramètre t en M1 .
xA1 = (xM1-(1-t)² xA0- t² xA2) / 2t(1-t)= 19,5 yA1 = (yM1-(1-t)² yA0- t² yA2) / 2t(1-t) = 36,5
2828
Courbes de Bézier passant strictement par 4 points
NB : toutes ces définitions strictes peuvent engendrer des résultats incohérents ou pas du tout de solutions.
b) Cubiques passant par 3 points
http://d.krauss.free.fr/documents/Transverses/Bezier/Simulation_Bezier/Simulation_Bezier.htm
M1
M2
P0
P1
P3
P2
X YP0
P1
7 7
25,810 36,873
X YP0 = M0
M1
P3 = M3
7 722 26
M2 36 3142 24
soit
{
{
{[ xM1 - (1-t1)³ xP0 - t1³ xP3 ] / [3t1(1-t1)] =>=>
(1-t1) xP1 + t1 xP2 =a1
a2
[ xM2 - (1-t2)³ xP0 - t2³ xP3 ] / [3t2(1-t2)] (1-t2) xP1 + t2 xP2 =
xP1 = t2-t1
t2-t1xP2 =
a1 t2 - a2 t1
a2(1-t1) - a1(1-t2)idem pour les y
3t1(1-t1)² xP1 + 3t1²(1-t1) xP2 = xM1 - (1-t1)³ xP0 - t1³ xP33t2(1-t2)² xP1 + 3t2²(1-t2) xP2 = xM2 - (1-t2)³ xP0 - t2³ xP3
Dans ce cas il faut estimer t1 en M1 et t2 en M2
Exemple avec t1 = 0,3 et t2 = 0,7
Résoudre
P0
P1
P3
P2
α0
t en M1 ≈ 0,302471
xP1 ≈ 24,472 yP1 ≈ 37,262
=>
{
Donc xP1 = [ xM1 -(1-t)³ xP0 - 3t²(1-t) xP2 - t³ xP3 ] / [3t(1-t)²] et idem pour yP1
Source :
Exemple 6 : avec : xP2= 40 yP2= 34 et α0 = 60°
t³[ α0(-xP3 -2xP0+3xP2)-(-yP3 -2yP0 +3yP2)]+3t²[ α0(xP0 - xP2)-(yP0 - yP2)] + α0(xM-xP0 )-(yM-yP0) =0
6) P2 est fixe et la tangente en P0 est imposée .
Résoudre :
xM1 = t³ (2xP0 + 3φ0 cos(α0) - 3xP2 + xP3 ) - 3t² ( xP0 + 2 φ0 cos(α0) - xP2 ) + 3t φ0 cos(α0) + xP0 yM1 = t³ (2yP0 + 3φ0 sin(α0) - 3yP2 + yP3 ) - 3t² ( yP0 + 2 φ0 sin(α0) - yP2 ) + 3t φ0 sin(α0) + yP0
α3
P0
P1 P3
P2
t en M1 ≈ 0,479595
xP2 ≈ 33,679 yP2 ≈ 38,412
Exemple 5 : avec : xP1= 11 yP1= 22 et α3 = 120°
=>
{
Donc xP2 = [ xM1 -(1-t)³ xP0 - 3t(1-t)² xP1 - t³ xP3 ] / [3t²(1-t)] et similairement pour yP2
t³ [ α3(xP0 - 3xP1+2xP3)-(yP0 - 3yP1+2yP3 )]+3t²[ α3(-xP0 + 2xP1-xP3)-(-yP0 + 2yP1 -yP3 )]+3t [ α3(xP0-xP1)-(yP0-yP1)] + α3(xM-xP0)-(yM-yP0)=0
5) P1 est fixe et la tangente en P3 est imposée .
Pour calculer t en M1 il faut résoudre :
xM1 = t³ (- xP0 + 3xP1-3φ3 cos(α3) -2xP3 ) + 3t² ( xP0 - 2xP1 +φ3 cos(α3) +xP3 ) + 3t ( xP1-xP0 ) + xP0 yM1 = t³ (- yP0 + 3yP1-3φ3 sin(α3) -2yP3 ) + 3t² ( yP0 - 2yP1 +φ3 sin(α3) +yP3 ) + 3t ( yP1-yP0 ) + yP0
P2
P3
37,476 35,397
42 24
29 29
α0
α3
A mon avis, visuellement, le résultat n’est pas correct car je distingue des «pics» au point de tangence des cercles.Donc je vais «améliorer» l’effet visuel en lissant le quart d’ovale par une B3.
Dans un premier temps je vais choisir 7 points qui vont me servir au lissage.
En second je définis les données de départ.
1 A ) En suite avec la formule ( page 29 paragraphe 5 je calcule les paramètres des points M(n) respectifs.
NB : au début P1 = T
Cela me permet de calculer 5 valeurs possibles :
Et enfin je fait la moyenne pondérée suivante :
Puis je détermine les 5 normes suivantes :
φ3(M2) = || P3 P2(M2) ||φ3(M3) = || P3 P2(M3) ||φ3(M4) = || P3 P2(M4) ||φ3(M5) = || P3 P2(M5) ||φ3(M6) = || P3 P2(M6) ||
φ3(M2) w2 + φ3(M3) w3 + φ3(M4) w4 + φ3(M5) w5 + φ3(M6) w6
|| M2 P2(M2) ||-1=w2
|| M3 P2(M3) ||-1=w3
|| M4 P2(M4) ||-1=w4
|| M5 P2(M5) ||-1=w5
|| M6 P2(M6) ||-1=w6
w2 + w3 + w4 + w5 + w6 =φ3(Moyen) => P3 (Moyen)
t³ [ α3(xP0 - 3xP1+2xP3)-(yP0 - 3yP1+2yP3 )]+3t²[ α3(-xP0 + 2xP1-xP3)-(-yP0 + 2yP1 -yP3 )]+3t [ α3(xP0-xP1)-(yP0-yP1)] + α3(xM-xP0)-(yM-yP0)=0
X YM1 = P0 0.000 0.000
M2 1.502 6.441M3 6.317 12.215M4 12.4 16.868M5 19.349 20.64M6 28.128 23.613
M7 = P3 40 25
M1
M2
M3M4
M5M6 M7
M1
M2
M3M4
M5M6 M7
T0
TT3
P0
P3α3α0
Lissage d’un polygone par approximation dichotomique.Pour bien comprendre ma méthode je vais prendre l’exemple d’un quart d’ovale définis par 2 arcs de cercles.
=>
3030
X YP0
P1
P2
P3
0 00 13.2
21.23 2540 25
1 B ) De façon similaire avec la formule ( page 29 paragraphe 6 je calcule le P1(moyen) avec le P2 (moyen) précédent
2 A ) idem 1A avec P1 de 1B etc....
1/4 d’ovale lissé
NB : voir les détails numériques page 33
Le résultat c’est amélioré mais si cela n’est pas encore probant,il faut effectuer un autre lissage avec un déplacement (interactif) d’un ou plusieurs points M.
Pour vérifier la précision du lissage je calcule les distances des points M(n) à la courbe de bézier.
φ0 = 13.20φ3 = 18.77
|| M2 B3 ||=0.143
|| M3 B3 ||=0.177
|| M4 B3 ||=0.202
|| M5 B3 ||=0.035
|| M6 B3 ||=0.062
t³[ α0(-xP3 -2xP0+3xP2)-(-yP3 -2yP0 +3yP2)]+3t²[ α0(xP0 - xP2)-(yP0 - yP2)] + α0(xM-xP0 )-(yM-yP0) =0
=>
Quelques conseils.
La dichotomie est «simple» pour ce genre de calcul mais à chaque itération il faut vérifier certains points.
1) Les φ ne doivent pas dépasser le point de tangence T si non la courbe aura un
point d’inflexion sur son domaine de définition [0 1] donc bloquer le φ concerné .2) Le calcul des paramètres t peuvent aussi être hors domaine [0 1]=> attribuer un poids nul
sur le ou les points M respectifs peut y remédier.3) La convergence de la dicho. peut engendrer un déséquilibre des φ (un φ très petit par rapport à l’autre)
le bloquage du φ concerné avec une valeur équilibrée résout le problème.4) Quant cela est possible la précision peur être améliorée en faisant varier légèrement un α .5) Faire en sorte qu’un point d’inflexion soit la fin et ou le début de la courbe à traiter.
J’ai sciament fait le contraire dans l’exemple du lissage (dans le méandre).
31 31
Note importante.Pour réaliser ce type de lissage il faut à chaque fois determiner les α3 cohérents.Ils doivent anticiper la courbe suivante => α0(+n) = α3(n-1) +Voici ma métode.
Je calcule le cercle passant par M3 M4 M5et je détermine aisément α3.
α3
X YM1 1 13M2 9.8 27M3 24.4 40M4 40 44.2M5 54.5 41.5M6 65.2 34.5M7 73.8 26.6M8 86.9 14M9 105 4.5
M10 125 1.3M11 146 1.9M12 167 5.5M13 183 9.8M14 198 15.5M15 208 23.2M16 213.2 34.5M17 211 46M18 204.5 53.5M19 193 62M20 171.8 76.5M21 146.3 92M22 125.3 103.4M23 118 106.7M24 110.5 109.5M25 104.3 109.2M26 97 105M27 91 97.4M28 87 87.5M29 85.2 74M30 84.5 64.6M31 82 58M32 75 53.6M33 66 53.9M34 60 60M35 58.5 70.6M36 58.4 79M37 54.8 87M38 45 93M39 34 94.4M40 25 93M41 17 90
Lissage d’un polygone complexe par 4 points.
Dessin d’origine.
Définition des points de lissage
Courbes Lissées avec raccordements de classe C1
échelle 1/2
i
M1
M3 M4M5
3232
M2
X YP0
P1
P2
P3
1 135.829 23.475
19.254 43.59640 44
1ère courbe A
X YP0
P1
P2
P3
40 4453.423 44.59160.302 39.225
74 27
2ème courbe B
X YP0
P1
P2
P3
40 4448.682 44.45358.945 40.494
74 27
2ème courbe B classe C2
Exemple avec les 2 premières courbes du lissage classe C1
Dés à présent le but est de faire varier φ0 et ou φ3avec A’’en P3 et à l’aide des formules suivantes :
Variation de φ0 avec A’ ’ = -2.66605 * 0,7=-1.86624 et pour φ3 A’ ’ = -2.66605
φ0 de B =
φ3 de B =
φ0 =11.53 φ0 =13.43
φ3 =18.48 φ3 =20.75
2 cos(α0)A’’ -2 sin(α0)
sin(α3) - cos(α3)A’’
A’’en P3 = -2.66605
B’’en P0 = 0.87972
φ0 =8.69
φ3 =20.34
B’’en P0 = -2.66605
Courbes Lissées avec raccordement de classe C2 (dans la mesure du possible)
A’ ’ ( xP3 - xP0) + yP0 - yP3 + φ3 [ cos(α3)A’’ - sin(α3) ]
A’ ’ ( xP3 - xP0) + yP0 - yP3 + 2 φ0 [ sin(α0) - cos(α0)A’’ ]
=>
33 33
3434
XY
poid
T0.0
000.0
00α0
=1.57
rad
xT= 0
T0= 2
5P2
-M2
α3=3
.14 ra
d ϕ
0= 25
t1(M2
) = 0.0
95 ϕ
3= 20
.50.0
16 xP
0= 0
yP0=
0 xP
1= 0
yP1=
25 xP
2= 60
.48 yP
2= 25
xP3=
40 yP
3= 25
P1-M
2α0
=1.57
rad
ϕ3=
9.75
t2(M
M21.5
026.4
41α3
=3.1 r
ad yT
= 25
T3= 4
0P2
-M3
3.14
25.00
t1(M3
) = 0.2
00 ϕ
3= 22
.30.0
17 xP
0= 0
yP0=
0 xP
1= 0
yP1=
25 xP
2= 62
.28 yP
2= 25
xP3=
40 yP
3= 25
P1-M
31.5
79.7
5 t2(
M
M36.3
1712
.215
P2-M
43.1
425
.00 t1(
M4) =
0.312
ϕ3=
15.58
0.023
xP0=
0 yP
0= 0
xP1=
0 yP
1= 25
xP2=
55.58
yP2=
25 xP
3= 40
yP3=
25P1
-M4
1.57
9.75
t2(M
M412
.400
16.86
8P2
-M5
3.14
25.00
t1(M5
) = 0.4
41 ϕ
3= 8.
70.0
34 xP
0= 0
yP0=
0 xP
1= 0
yP1=
25 xP
2= 48
.75 yP
2= 25
xP3=
40 yP
3= 25
P1-M
51.5
79.7
5 t2(
M
M519
.349
20.64
0P2
-M6
3.14
25.00
t1(M6
) = 0.6
19 ϕ
3= 2.
60.0
69 xP
0= 0
yP0=
0 xP
1= 0
yP1=
25 xP
2= 42
.62 yP
2= 25
xP3=
40 yP
3= 25
P1-M
61.5
79.7
5 t2(
M
M628
.128
23.61
31A
Débu
tmo
yenne
pond
érée
ϕ3= 9
.75 xP
0= 0
yP0=
0 xP
1= 0
yP1=
25 xP
2= 30
.25 yP
2= 25
xP3=
40 yP
3= 25
1Bmo
yenne
pM7
= P3
4025
α3=3
.1 rad
poid
α0=1
.57 ra
d xT
= 0 T0
= 25
P2-M
2α3
=3.14
rad
ϕ0=
17.35
t 1 =
0.134
ϕ3=
9.7
0.029
xP0=
0 yP
0= 0
xP1=
0 xP
1= 17
.35 xP
2= 30
.31 yP
2= 25
xP3=
40 yP
3= 25
P1-M
2α0
=1.57
rad
ϕ3=
12.70
t 2α3
=3.1 r
ad yT
= 25
T3= 4
0P2
-M3
3.14
17.35
t 1 =
0.277
ϕ3=
7.0
0.034
xP0=
0 yP
0= 0
xP1=
0 xP
1= 17
.35 xP
2= 32
.95 yP
2= 25
xP3=
40 yP
3= 25
P1-M
31.5
712
.70 t 2
P2-M
43.1
417
.35 t 1
= 0.4
20 ϕ
3= 9.
180.0
50 xP
0= 0
yP0=
0 xP
1= 0
xP1=
17.35
xP2=
30.82
yP2=
25 xP
3= 40
yP3=
25P1
-M4
1.57
12.70
t 2P2
-M5
3.14
17.35
t 1 =
0.572
ϕ3=
11.8
0.101
xP0=
0 yP
0= 0
xP1=
0 xP
1= 17
.35 xP
2= 28
.22 yP
2= 25
xP3=
40 yP
3= 25
P1-M
51.5
712
.70 t 2
P2-M
63.1
417
.35 t 1
= 0.7
57 ϕ
3= 14
.20.3
72 xP
0= 0
yP0=
0 xP
1= 0
xP1=
17.35
xP2=
25.83
yP2=
25 xP
3= 40
yP3=
25P1
-M6
1.57
12.70
t 22A
moyen
ne po
ndéré
e ϕ3
= 12.7
0 xP
0= 0
yP0=
0 xP
1= 0
xP1=
17.35
xP2=
27.30
yP2=
25 xP
3= 40
yP3=
252B
moyen
ne p
=> =>
poid
= 40
yP3=
25P1
-M2
α0=1
.57 ra
d ϕ
3= 9.
75 t2(
M2) =
0.134
ϕ0=
17.33
0.091
xP0=
0 yP
0= 0
xP1=
0 yP
1= 17
.332
xP2=
30.24
6 yP
2= 25
xP3=
40 yP
3= 25
= 40
yP3=
25P1
-M3
1.57
9.75
t2(M3
) = 0.2
88 ϕ
0= 16
.410.1
32 xP
0= 0
yP0=
0 xP
1= 0
yP1=
16.40
7 xP
2= 30
.246
yP2=
25 xP
3= 40
yP3=
25= 4
0 yP
3= 25
P1-M
41.5
79.7
5 t2(
M4) =
0.423
ϕ0=
17.11
0.081
xP0=
0 yP
0= 0
xP1=
0 yP
1= 17
.113
xP2=
30.24
6 yP
2= 25
xP3=
40 yP
3= 25
= 40
yP3=
25P1
-M5
1.57
9.75
t2(M5
) = 0.5
56 ϕ
0= 18
.370.0
51 xP
0= 0
yP0=
0 xP
1= 0
yP1=
18.37
3 xP
2= 30
.246
yP2=
25 xP
3= 40
yP3=
25= 4
0 yP
3= 25
P1-M
61.5
79.7
5 t2(
M6) =
0.721
ϕ0=
20.02
0.035
xP0=
0 yP
0= 0
xP1=
0 yP
1= 20
.017
xP2=
30.24
6 yP
2= 25
xP3=
40 yP
3= 25
= 40
yP3=
251B
moyen
ne po
ndéré
e ϕ0
= 17.3
5 xP
0= 0
yP0=
0 xP
1= 0
yP1=
17.35
4 xP
2= 30
.246
yP2=
25 xP
3= 40
yP3=
25
= 40
yP3=
25P1
-M2
α0=1
.57 ra
d ϕ
3= 12
.70 t 2
= 0.1
41 ϕ
0= 16
.370.1
00 xP
0= 0
yP0=
0 xP
1= 0
yP1=
16.36
5 xP
2= 27
.297
yP2=
25 xP
3= 40
yP3=
25= 4
0 yP
3= 25
P1-M
31.5
712
.70 t 2
= 0.3
02 ϕ
0= 15
.290.1
42 xP
0= 0
yP0=
0 xP
1= 0
yP1=
15.29
2 xP
2= 27
.297
yP2=
25 xP
3= 40
yP3=
25= 4
0 yP
3= 25
P1-M
41.5
712
.70 t 2
= 0.4
42 ϕ
0= 15
.800.0
80 xP
0= 0
yP0=
0 xP
1= 0
yP1=
15.79
7 xP
2= 27
.297
yP2=
25 xP
3= 40
yP3=
25= 4
0 yP
3= 25
P1-M
51.5
712
.70 t 2
= 0.5
80 ϕ
0= 16
.860.0
51 xP
0= 0
yP0=
0 xP
1= 0
yP1=
16.86
3 xP
2= 27
.297
yP2=
25 xP
3= 40
yP3=
25= 4
0 yP
3= 25
P1-M
61.5
712
.70 t 2
= 0.7
45 ϕ
0= 18
.310.0
35 xP
0= 0
yP0=
0 xP
1= 0
yP1=
18.31
2 xP
2= 27
.297
yP2=
25 xP
3= 40
yP3=
25= 4
0 yP
3= 25
2Bmo
yenne
pond
érée
ϕ0= 1
6.11
xP0=
0 yP
0= 0
xP1=
0 yP
1= 16
.108
xP2=
27.29
7 yP
2= 25
xP3=
40 yP
3= 25
=> =>
Rotation d’une courbe en utilisant une formule du « changement de base ».
Il est utile de connaitre cet outil car il permettra de simplifier certaines équations.Le but est d’effectuer à la courbe une rotation α ayant pour centre de rotation un point Ω et éventuellement une translation Δx , Δy de cette courbe.
Notation Matricielle
donc
Opération réciproque
xP’yP’
(xP - xΩ)(yP - yΩ)
xΩ + ∆xyΩ + ∆y= cosα -sinα
sinα cosαP’ . + P’ xP’ = - sinα (yP - yΩ) + xΩ + ∆xcosα (xP - xΩ)yP’ = + cosα (yP - yΩ) + yΩ + ∆ysinα (xP - xΩ)
xPyP
(xP’ - xΩ - ∆x)(yP’ - yΩ - ∆y)
xΩyΩ= cos(-α) -sin(-α)P . +
P xP = - sin(-α)(yP’ - yΩ -∆y) +xΩcos(-α)(xP’- xΩ -∆x)yP = + cos(-α)(yP’ - yΩ -∆y)+yΩsin(-α)(xP’- xΩ -∆x) P xP = + sin(α)(yP’ - yΩ -∆y) +xΩcos(α)(xP’- xΩ -∆x)
yP = + cos(α)(yP’ - yΩ -∆y) +yΩ-sin(α)(xP’- xΩ -∆x)
sin(-α) cos(-α)xPyP
(xP’ - xΩ - ∆x)(yP’ - yΩ - ∆y)
xΩyΩ= cos(α) sin(α)ou . +-sin(α) cos(α)
Exemple
α = 70°
avec Δx = -30Δy = 30
=>4515Ω
P X YP0
P1
P2
P2-P0P3
Origine
45 1572 6015 4575 150 0
X Y
Origine’ 19,81 -2,19
P0’
P1’
P2’
P3’
15 45-18,1 85,8-23,5 27,125,3 73,2
P
α = 70°x
y
o
P0’
P1’
P2’
P3’
P
P
P0
P1
P2
P3
35 35
Comment résoudre un équation du 3ème degré ?
Le signe et la valeur du discriminant impliquent cas
L’équation se présente sous la forme : ax³ + bx² + cx + d = 0
x³ + Bx² + Cx + D = 0a
aa
x1 ≈ -1,398
p = q =
Dans un premier temps nous allons simplifier les termes de cette équation
x = z − 3B( )
q² Le discriminant Δ de =
avec : et 3B²C( ( 327
2B³ BCD( )4 p³2 7+
z³ − 0,25z + 0,5 = 0=>
Δ > 0er cas : si il existe racine réelle :
) En développant et simplifiant => z³+ pz + q = 0
=>
z − 3B( ) z − 3
B z − 3B( )( )
) on divise tous les coefficients par :
) on change de variable en posant :
a a
2x³ + 3x² + x +1= 0Exemple 1
Δ ≈ 0,25
32 2B3 3x1 = -q+ -q- ΔΔ
1 + B + C + D = 03 2
=>
ax³ bx² cx² d 0
z³+ pz + q
3636
x1 = 13x2 = x3 = 1
x3 ≈ 0,41x2 ≈-1,11x1 ≈ 2,02
z³−48z−128 = 0=>
Δ = 0 ème cas : si il existe racines réelles :
Δ < 0 ème cas : si il existe racines réelles :
3qp − 3
Bx1 =3q2p − 3
Bx2 = x3 = -
x³ - 15x² + 27x - 13 = 0Exemple 2
z³ − 2.75z − 0.25 = 0=>
2x³ - 3x² - 4x + 2 = 0Exemple 3
Δ = 0
Δ ≈ -3,02
+2¼
+4¼
x1 =3q
32p
-3p-p
3
Arccoscos (( ((
2
x2 =3q
32p
-3p-p
3
Arccoscos (( ((
2
x3 =3q
32p
-3p-p
3
Arccoscos (( ((
2
− 3B
− 3B
− 3B
37 37