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Bloque IFlujo viscoso

Lección 1Introducción flujos viscosos

Flujos unidireccionales

Contexto

Bloque I

Flujo viscosoBloque IIFlujo ideal

Bloque IIICapa límite

Bloque IVFlujo compresible

Bloque VFlujo turbulento


Contenido

• Ecuaciones

• Órdenes de magnitud

• Casos F. inercia << F. viscosas

• Flujos unidireccionales• Definición y ejemplos

• Ecuaciones

• Sistema de referencia no inercial

• Presión motriz. Ejemplos

• Análisis de las ecuaciones

• Casos a estudiar

Bibliografía recomendada

Órdenes de magnitud

2 i

i ij m i

j i

v v pv f v

t x x

2

2 m

c

U U p Uf

t L L L

2 2 (1) m

c

LfL p

Ut U U UL

1 1St (1) = Eu

Fr Re

F. inercia F. viscosas

¿Cuándo F. inercia << F. viscosas?

• Flujos a bajos números de ReynoldsSi Re<<1 Fv>>Fi

• Flujos unidireccionalesSi v=(u,0,0) Fi=0 (se verá más tarde)

• Flujos en láminas delgadasSi dim_y << dim_x y dim_z Fi<<Fv (bajo ciertas condiciones)

(indep Re). Ej. Lubricación

1 1St (1) = Eu

Fr ReF. inercia F. viscosas


• Def: aquellos en los que la velocidad sólo tiene una componente no nula.

y

xz

V

Flujo laminar placas planas Flujo laminar conductos circulares

z

r

Fuerzas actuando sobre fluido

• Caso no estacionario

2 i

im i

i

v pf v

t x

• Caso estacionario

20 im i

i

pf v

x

Presión motriz

P p U

2 2

0 2

dP p g r a r

Fuerza de presión motriz: P

Agrupa fuerzas másicas y fuerzas de presión

Cualquier gradiente negativo de los cuatro sumandos origina un movimiento

Ej. 1: presión estática

P1>P2

Gradiente negativo de presión estática:

Origina movimiento

P1 P2

P

P2

x

P1

P p

Ej. 2: fuerza gravitatoria

P g x gx

Gradiente negativo del potencial gravitatorio:

Origina movimiento

P

xgx1

gx2

x1

x2

g

Ej. 3: aceleración lineal

0 0P a x a x

Gradiente negativo del potencial fuerza inercia:

Origina movimiento

P

x-a0x1

-a0x2

a0

Ej. 4: aceleración centrífuga

2 2

2

dP

Gradiente negativo del potencial fuerza centrífuga:

Origina movimiento

P

x

2 21

2

x

2 22

2

x

Ecuaciones CM flujo unidireccional

2 2

2 2

u P u u

t x y z

0P

y

0P

z

2

2 2

1 1u P u ur

t z r r r r

0P

r

10

P

r

Coordenadas cartesianas Coordenadas cilíndricas


Estacionarios No estacionarios

• Couette

• Hagen-Poiseuille

• Flujo en conductos

• Lámina fluida sobre plano

inclinado

• Stokes

• Stokes entre dos placas

• Rayleigh

Lección 2Flujo de Couette

Flujo de Hagen-Poiseuille

Contexto

Bloque I






Contenido

• Flujo de Couette• Descripción. Ecuación y CC.

• Solución

• Fuerzas de presión y viscosas

• Caudal, potencia, disipación viscosa

• Flujo de Hagen-Poiseuille• Descripción. Ecuación y CC.

• Solución

• Velocidad máxima, caudal, veloc. media


• Disipación viscosa

Flujo de Couette (I)

Flujo unidirecc., 2D, estacionario, V superior, 0P

x

h

x

z L

b

Vy

Flujo de Couette (II)

2 2

2 2

u P u u

t x y z

Ecuación:

Estacionario

Sin gradientede presión motriz

2D

2

20

u

y

u(y)

Flujo de Couette (III)

• Fuerzas de presión

• Fuerzas viscosas

• Caudal

• Potencia comunicada placa superior fluido


Magnitudes a calcular

Flujo de Couette (IV)

nI

nS

L

b

Fuerzas de presión

h

Flujo de Hagen-Poiseuille (I)

Flujo unidireccional, 2D, estacionario, V=0,

0P

x

z

h

y

x

P1 P2

L

b

Flujo de Hagen-Poiseuille (II)

2 2

2 2

u P u u

t x y z

Ecuación:

Estacionario 2D

2

20

P u

x y

u(y)

Flujo de Hagen-Poiseuille (III)

• Velocidad máxima

• Caudal

• Velocidad media





Lección 3Flujo en conductos

Lámina fluida plano inclin.

Contexto

Bloque I






Contenido

• Flujo en conductos• Descripción. Ecuación y CC.

• Solución


• Pérdidas (coeficiente de fricción)

• Zona de entrada

• Lámina fluida sobre plano inclinado• Descripción. Ecuación y CC.

• Solución




Flujo conductos circulares (I)

z

r

1u P ur

t z r r r

Flujo conductos circulares (II)

• Caudal


• Velocidad media

• Pérdida de energía


Flujo conductos circulares (III)

z1P

1u

1 2

2P

2u

Flujo conductos circulares (IV)

Zona deentrada

Flujodesarrollado

CL

CL

0 1 2

Lámina fluida sobre plano inclinado (I)

Flujo unidireccional, 2D, estacionario

h

nI

y

x

zL

b

u(y)

pa

Lámina fluida sobre plano inclinado (II)

Flujo unidireccional, 2D, estacionario, V=0,

0P

x

y

x

z

u(y)

Lámina fluida sobre plano inclinado (III)


• Caudal

• Velocidad media





Lección 4Flujo de Stokes

Flujo Stokes entre placasFlujo de Rayleigh

Contexto

Bloque I






Contenido

• Flujo de Stokes• Descripción. Ecuación y CC.

• Solución

• Fuerzas viscosas. Potencia

• Flujo de Stokes entre placas• Descripción. Ecuación y CC.

• Órdenes de magnitud.

• Solución (tres casos)

• Flujo de Rayleigh• Descripción. Ecuación y CC.

• Solución de semejanza

• Fuerzas viscosas, potencia, disipación

Flujo de Stokes (I)

Flujo unidireccional, 2D, no estacionario, placa oscilante

nI

y

x

L

bu(0,t)=u0 cos t

Flujo de Stokes (II)

2

0( , ) cos 2

ey

u y t u t y

Amplitudamortiguada

Onda transversal amortiguada

Inversolongitudpenetración

K (número de ondas)

Onda viajera

1/ 22

v

Flujo de Stokes (III)

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.20

0.20.40.60.8

1

01

23

45

6

t=0t=T/2

t=T/4t=T/8

eje y

U/Uo

Flujo de Stokes entre placas (I)

Flujo unidir., 2D, no estac., placa oscilante + placa fija

nI

y

x

L

bu(0,t)=u0 cos t

h

Flujo de Stokes entre placas (II)

Ecuación2

2

u u

t y

00 2

uu

h

Órdenes de magnitud

Tres casos:

00 2

uu

h (1)

1/ 2

h

00 2

uu

h (2)

00 2

uu

h (3)

1/ 2

h

1/ 2

h

Ambos términos

2

20

u

y

0u

t

Flujo de Stokes entre placas (III)

Caso 1: 1/ 2

h

-1-0.8-0.6-0.4-0.2

00.20.40.60.8

1

00.2

0.40.6

0.81

t=0 t=T/2

t=T/4t=T/8

h

Ecuacióncompleta

2

2

u u

t y

Flujo de Stokes entre placas (IV)

Caso 2: 1/ 2

vh

t=0 t=T/2

t=T/4t=T/8

h-1

-0.8-0.6-0.4-0.20

0.20.40.60.81

00.2

0.40.6

0.81

Todo el dominio eszona viscosa

2

20

u

y

Flujo de Stokes entre placas (V)

Caso 3: 1/ 2

vh

Hay dos zonas:

h

v Capa límiteInfluye la viscosidad

Zona exterior

0u

t

Flujo de Stokes entre placas (VI)

-1-0.8-0.6-0.4-0.2

00.20.40.60.8

1

05

1015

2025

3035

4045

50

Capa límiteInfluye la viscosidad

Zona exterior

v h

Flujo de Rayleigh (I)

y

x

V(t>0)

t=0: fluido y placa en reposo

Flujo de Rayleigh (II)

0

0,2 0,4 0,6 0,8

1

1,2

00,2

0,40,6

0,81

1,2

Perfil de velocidades para tiempos sucesivos

eje y

t

u/V

Flujo de Rayleigh (III)

• Fuerza viscosa

• Potencia



Lección 5Introducción a LubricaciónFlujo en láminas delgadas

Contexto

Bloque I






Contenido

• Introducción a la lubricación• Definición

• Tipos de lubricación

• Flujo en láminas fluidas delgadas• Descripción. Ecuaciones

• Órdenes de magnitud

• Simplificación de las ecuaciones

• Metodología

• Solución para h(x) perfil lineal

• Gráficas de presiones

Lubricación (I)

Objetivo: mantener dos superficies separadas para

- Evitar el rozamiento entre ellas

- Soportar una carga elevada

Dossuperficies

FluidoElementos:

Requisito:

- Generar una sobrepresión en la película fluida para soportar la carga.

Movimiento relativo entre superficies(hidrodinámica)

Lubricación (II)

Régimen laminar: aunque velocidad grande, h<<1 Re<<1

Tip

os

de

lub

rica

ció

n

Sin movimientorelativo

(hidrostática)

Patinete

Cojinetecilíndrico

Inyección

Aplastamiento

Flujo láminas delgadas (I)

h0

h1

h(x)

y

x

VL

P0 P1

Flujo láminas delgadas (II)

fluido

Inventado simultáneamente por:

- A.G.M. Michel (1870-1959) Ingeniero australiano

- A. Kingsbury (1862-1943) Ingeniero americano

Patinete

Flujo láminas delgadas (II)

2 2

2 2

u u u P u uu v

t x y x x y

0u v

x y

2 2

2 2

v v v P v vu v

t x y y x y

0

U V

L h

2

2 20 0 0

xPU U U U UV

L h L L h

2

2 20 0 0 0

yPV V V V VUL h h L h

Flujo láminas delgadas (III)

2

20

P u

x y

0u v

x y

0 0

( ) 0 0

y u U v

y h x u v

0

1

0 (0)

( )

x P P

x L P L P

Ecuaciones Condiciones de contorno

Flujo láminas delgadas (IV)

Para variación lineal de h

0 2 20 1 0 0 1 0

6 1 1 6 1 1( )

( ) ( )

UL qLP x P

h h h x h h h h x h

0 10( )h h

h x h xL

Ecuación de P(x):

Flujo láminas delgadas (V)

1.Elegir forma h(x) (lineal ...)

2. Integrar la ecuación de P(x)

3.Obtener q con condición de contorno de P

4.Calcular dP/dx

5.Obtener u (sustituir dP/dx)

6.Obtener v (sustituir dP/dx y u)

Pasos a seguir

Flujo láminas delgadas (VI)

Cuña convergente: evolución de la presión

0

20

40

60

80

100

0 20 40 60 80 100

P(x

)

x

0

0/

P P

U h

x

Flujo láminas delgadas (VI)

Cuña divergente: evolución de la presión

-25

-20

-15

-10

-5

0

0 20 40 60 80 100

P(x

)

x

0

0/

P P

U h

x


Escalón de Rayleigh(1842-1919)Soporta la máxima carga (idealmente)

Otros perfilesde patinetes


Vídeo lubricación

Lección 6Lubricación 3D

(Ecuación Reynolds)Aplastamiento de lámina

Contexto

Bloque I






Contenido

• Láminas delgadas 3D. Ecuación Reynolds• Descripción. Ecuaciones

• Solución

• Conservación masa (volumen infinitesimal)

• Ejemplo 1: Aplastamiento de lámina• Descripción

• Planteamiento de ecuación de Reynolds

• Velocidad. Caudal. Fuerzas sobre disco

• Caso 1: dh/dt constante

• Caso 2: peso constante

Flujo láminas delgadas 3D (I)

y

Superficieinferior

Superficiesuperior

Láminafluida

h(,)

Flujo láminas delgadas 3D (II)

2

2

10

uP

g y

2

2

10

uP

g y

21 2

1 1( , , )

2

Pu y y C y C

g

23 4

1 1( , , )

2

Pu y y C y C

g

Ecuaciones: Soluciones:

Flujo láminas delgadas 3D (III)

Casos considerados

Fija

Móvil1

Fija

Móvil

2

Fija

Superficie libre

3

Flujo láminas delgadas 3D (V)

En forma semi-integral

• Definir unos caudales en dirección y

• Escribir conservación masa envolumen infinitesimal

Ecuación de continuidad

y

Flujo láminas delgadas 3D (IV)

q g d

1

q g d

q g d g dg

q g d

1

q g d

q g d g dg

y


Flujo láminas delgadas 3D (IV)

1

10

hg d g dt

q g d q g d q g d g dg

q g d q g d q g d g dg


Aplicaciones ecuación Reynolds

1.Aplastamiento de lámina (transitorio)

2.Lubricación fluidostática (estacionario)

3.Cojinetes cilíndricos

Estalección

Próximalección

Aplastamiento de lámina (I)

W(t)

Pa Pah(t)

R

r

Lámina fluida

Aplastamiento de lámina (II)

-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Po-PaPa

0h

0h

r=R

r/R


• Velocidad

• Caudal




• constante -> ¿W(t)?

• W(t) constante -> ¿h(t)?

Estudiamos dos casos

4

3

3( )

2

hRW t

h

h

Lección 7Lubricación fluidsotática

Cojinetes cilíndricosEjemplos de cojinetes

Contexto

Bloque I






Contenido

• Ejemplo 2: Lubricación fluidostática• Descripción


• Peso. Caudal

• Ejemplo 3: Cojinetes cilíndricos• Descripción


• Adimensionalización. Casos

• Cojinetes muy largos

• Ejemplos de cojinetes

Lubricación fluidostática (I)

W

R1R2

Pa Pa

P0

h

y

r

Lubricación fluidostática (II)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.5 1 1.5 2

P(r

)-P

a/P

o-P

a

r/R1

R1

R2

Lubricación fluidostática (II)

• Peso que puede soportar

• Caudal necesario


Lubricación fluidostática (I)

Pa

P0

Pa

P(r)

Cojinetes cilíndricos (I)

(dibujo exagerado)fluido

R1 R-h

e

h

h R

Hipótesis

1R R R

1L R REje

Carcasa

Cojinetes cilíndricos (I)

• Cojinete muy largo

• Cojinete muy corto

• Cojinete intermedio

Tipos de cojinetes

1R

L

1R

L

1R

L

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 1 2 3 4 5 6

phi(x)

Cojinetes cilíndricos (II)

Sobrepresión

Deprepresión

Presión relativasobre el cilindroexterior

a

c

P P

P

CondiciónSommerfeld theta

ph

i

2

fluido

R1 R-h

e

h

fluido

R1 R-h

e

h

Cojinetes cilíndricos (II)

Frame 001 29 Jun 2004

0 ( 0)

0 ( )

Sobrepresión

Deprepresión


a

c

P P

P

Cojinetes cilíndricos (III)

Deprepresión (< Pa)


a

c

P P

P

Sobrepresión (> Pa)Frame 001 29 Jun 2004

0


0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

epsilon

Carga (adim)

Holguramínima

0

1

fluido

R1 R-h

e

h

fluido

R1 R-h

e

h


-1

-0.5

0

0.5

1

0 1 2 3 4 5 6

CondiciónMedio-Sommerfeldo Gümbel

ph

i

theta

Movimiento relativo entre superficies(hidrodinámica)

Sin movimiento relativo

(hidrostática)

Ejemplos de cojinetes (I)

Patinete

Cojinetecilíndrico

Inyección

Aplastamiento

Ejemplos de cojinetes (II)

Patinete

Soporta pesoparaleloal eje de giro

Eje de giro

PESO

Ejemplos de cojinetes (III)

Patinete

Modelo Kingsbury. Lubricado con aire

Ejemplos de cojinetes (IV)

Cojinetecilíndrico

Soporta pesoperpendicularal eje de giro

Eje de giro

Ejemplos de cojinetes (V)

Inyección

Grada móvil(beisbol/fútbol)4.500 Tm21.000 asientos

46 puntos de apoyoDiámetro: 1.2 m

Lubricante: agua Desplazamiento: 50 m

Ejemplos de cojinetes (VI)

Aplastamiento

Articulacionescuerpo humanoEj. rodilla

Lubricante: líquido sinovial

Lección 8Flujo alrededor de

cuerpos a bajos Re

Contexto

Bloque I






Contenido

• Flujo alrededor de cuerpos a bajos Re• Objetivos. Casos

• Hipótesis. Ecuaciones

• Solución de Stokes:Función de corriente. Ecuación vorticidad

• Fuerzas viscosas y de presión

• Fuerza y coeficiente de arrastre

• Corrección de Oseen

• Flujo alrededor de una gota/burbuja• Generalización a dos fluidos

• Coeficiente de arrastre

• Ejemplo 1: Acelearción partícula desde reposo

• Ejemplo 2: Velocidad terminal bajo gravedad

Flujo alred. cuerpos Re peq. (I)

• Obtener el campo fluido (v, p) alrededor de un cuerpo con Re <<1

• Calcular fuerza de arrastre (presión + viscosa) y coeficiente de arrastre

Objetivos


• Flujo alrededor de una esfera

• Flujo alrededor de una gota/burbuja

Casos estudiados


U U

Flujo alred. cuerpos Re peq. (II)

V1

V2

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

Frame 001 01 Jul 2004

V1

V2

-0.5 0 0.5

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

Frame 001 01 Jul 2004

U

Distribuciónde velocidades

Flujo alred. cuerpos Re peq. (II)

V1

V2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Frame 001 02 Jul 2004

U

Distribución de presiones/

p p

U a

p p p p

Flujo alred. cuerpos Re peq. (III)

U

Fr

F

x

y

Flujo alred. cuerpos Re peq. (VI)

Flujo alred. gota/burbuja (I)

Flujo alred. gota/burbuja (II)

3

3

2

1

1 2 3 1( , ) 1 cos

2 1 2 1

1 2 3 1( , ) 1 sen

4 1 4 1

1 2 3( , ) cos

2 1

r

a au r U

r r

a au r U

r r

U ap r p

a r

Fuera dela gota

2

2

2

( , ) 1 cos2 1

( , ) 1 2 sen2 1

5( , ) cos

1

r

U ru r

a

U ru r

a

U rp r p

a a

Dentro dela gota

Flujo alred. gota/burbuja (III)

V1

V2

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Frame 001 01 Jul 2004

V1

V2

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Frame 001 01 Jul 2004

0.1

Flujo alred. gota/burbuja (IV)

50 Gota

V1

V2

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-3

-2

-1

0

1

2

3

Frame 001 01 Jul 2004

0.02 Burbuja

V1

V2

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-3

-2

-1

0

1

2

3

Frame 001 01 Jul 2004

Flujo alred. gota/burbuja (V)

• Aceleración de partícula desde el reposo

• Velocidad terminal de partícula en caída gravedad

Ejemplos

Flujo alred. gota/burbuja (V)

U

a F Stokes

p

Ej. 1: Aceleración de una partícula desde el reposo

Flujo alred. gota/burbuja (VI)

a

6 U a F Stokes

p

Ej. 2: Velocidad terminal partícula por gravedad

f

Peso 34

3 pa g

34

3 fa g Flotación

Flujo alred. gota/burbuja (VII)

Velocidad terminal persona con/sin paracaídas

vterminal = 50 m/s vterminal = 6 m/s

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