Sergio Yansen Núñez

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales de segundo orden sujetas a las condiciones iniciales dadas.

1. 1322

2

+=−+ xeydxdy

dxyd sujeta a ( ) ( ) 10'0 == yy

Solución: Solución E.D. homogénea asociada:

0322

2

=−+ ydxdy

dxyd

xexeyh βα +−= 3 donde α y β son constantes reales. Solución particular: Conjetura para py 21 cxxecy p += donde 1c y 2c son constantes reales.

Reemplazando 21 cxxecy p += en 1322

2

+=−+ xeydxdy

dxyd se obtiene:

31

41 −= xxey p

Solución general:

31

413 −++−= xxexexey βα

α y β se calculan con ( ) ( ) 10'0 == yy Por tanto,

= ( )y x + − +

748 eeee

( )−3 x 1916 eeeex 1

314 eeeex x

Sergio Yansen Núñez

Ecuaciones diferenciales ordinarias

2. 12

2

+=+ xedxdy

dxyd sujeta a ( ) ( ) 10',00 == yy

Solución: Solución E.D. homogénea asociada:

02

2

=+dxdy

dxyd

xeyh

−+= βα donde α y β son constantes reales. Solución particular: Conjetura para py xcxecy p 21 += donde 1c y 2c son constantes reales.

Reemplazando xcxecy p 21 += en 12

2

+=+ xedxdy

dxyd se obtiene:

xxey p +=21

Solución general:

xxexey ++−+=21βα

α y β se calculan con ( ) ( ) 10',00 == yy Por tanto,

= ( )y x + + −

12 eeeex 1

2 eeee( )−x

x 1

Sergio Yansen Núñez

Ecuaciones diferenciales ordinarias

3. xxeydxdy

dxyd +=+− 3962

2

sujeta a ( ) ( ) 00',10 == yy

Solución: Solución E.D. homogénea asociada:

0962

2

=+− ydxdy

dxyd

xxexeyh

33 βα += donde α y β son constantes reales. Solución particular: Conjetura para py xccxexcy p 32

21

3 ++= donde 1c , 2c y 3c son constantes reales.

Reemplazando xccxexcy p 322

13 ++= en xxey

dxdy

dxyd +=+− 3962

2

se

obtiene:

xxexy p 91

2723

21 2 ++=

Solución general:

xxexxxexey91

2723

2133 2 ++++= βα

α y β se calculan con ( ) ( ) 00',10 == yy Por tanto,

= ( )y x − + + +

2527 eeee

( )3 x 269 eeee

( )3 xx 1

2 x2 eeee( )3 x x

9227

Sergio Yansen Núñez

Ecuaciones diferenciales ordinarias

4. )3cos(192

2

xydx

yd +=+ sujeta a ( ) ( ) 20',10 == yy

Solución: Solución E.D. homogénea asociada:

092

2

=+ ydx

yd

)3()3cos( xsenxyh βα += donde α y β son constantes reales. Solución particular: Conjetura para py 321 )3()3cos( cxxsencxxcy p ++= donde 1c , 2c y 3c son constantes reales.

Reemplazando 321 )3()3cos( cxxsencxxcy p ++= en )3cos(192

2

xydx

yd +=+ se

obtiene:

91)3(

61 += xxseny p

Solución general:

91)3(

61)3()3cos( +++= xxsenxsenxy βα

α y β se calculan con ( ) ( ) 20',10 == yy Por tanto,

= ( )y x + + +

23 ( )sin 3 x

89 ( )cos 3 x

19

16 ( )sin 3 x x