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Déformations
Décomposition polaire
Déformations
Invariants
SthéniqueDéfinition
Contraintes de Cauchy
Contraintes de Piola 1
Contraintes de Piola 2
Propriétés
Equations d’équilibre
ThermodynamiqueClausius Duhem
Bilan d’énergie
Loi de comportement
HyperélasticitéGénéralités
Symétries Matérielles
Isotropie
Incompressibilité
Identification
hyper.1
Comportement des Matériaux :Grandes DéformationsMars 2013
Cantournet [email protected]
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HyperélasticitéGénéralités
Symétries Matérielles
Isotropie
Incompressibilité
Identification
hyper.2
Intérêt des Grandes Def ?Quelques dommaines d’applications
• Les instabilités de structures
• Le crash (dynamique rapide)• La mise en forme (emboutissage, ....)• Les polymères, les tissus, les bio-matériaux, . . .• . . .
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Incompressibilité
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hyper.2
Intérêt des Grandes Def ?Quelques dommaines d’applications
• Les instabilités de structures• Le crash (dynamique rapide)
• La mise en forme (emboutissage, ....)• Les polymères, les tissus, les bio-matériaux, . . .• . . .
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hyper.2
Intérêt des Grandes Def ?Quelques dommaines d’applications
• Les instabilités de structures• Le crash (dynamique rapide)• La mise en forme (emboutissage, ....)
• Les polymères, les tissus, les bio-matériaux, . . .• . . .
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hyper.2
Intérêt des Grandes Def ?Quelques dommaines d’applications
• Les instabilités de structures• Le crash (dynamique rapide)• La mise en forme (emboutissage, ....)• Les polymères, les tissus, les bio-matériaux, . . .• . . .
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hyper.3
C’est quoi les grandes defs ?
Points clés et difficultés :
• Le choix d’une configuration pour décrire le milieu :• Référence=Lagrangien• Courante=Eulérien• Mixte=mélange des deux
• Plusieurs mesures de contraintes et de déformations• La notion d’objectivité
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hyper.4
Origine entropique
• pour un processus isotherme : (∂F )T = (∂W )T = (σ : d�)T• déformation deux origines :
σ =
(∂F∂�
)T
=
(∂U∂�
)T− T
(∂S∂�
)T
• relation de maxwell :(∂σ
∂T
)�
= −(∂S∂�
)T
• hypotèse : si l’on a une variation de température le volumereste constant
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Incompressibilité
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hyper.5
Origine entropique
•
σ =
(∂U∂�
)T
+ T(∂σ
∂T
)�
• si T> Tg
σ = T(∂σ
∂T
)�
= −T(∂S∂�
)T
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Incompressibilité
Identification
hyper.6
CinématiqueConfiguration et Transformation
1 Ω0 un milieu continu dans son état initial et X la positiond’un point matériel.
2 Ωt le même milieu à l’instant t et x la position du mêmepoint matériel à t .
définition 1
on note φ(X , t) l’application (vectorielle), bijective, tq. :
x = φ(X , t)
φ est appelée la transformation.
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hyper.6
CinématiqueConfiguration et Transformation
définition 1
on note φ(X , t) l’application (vectorielle), bijective, tq. :
x = φ(X , t)
φ est appelée la transformation.
définition 2
Localement, autour du point x on a :
dx = (∇X φ(X , t)) · dX = F∼(X , t) · dX
F∼ est le gradient de la transformation.
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hyper.6
CinématiqueConfiguration et Transformation
Propriétés de F∼• Si on introduit le champ de déplacement u ,
x = X + u (X , t)
on aF∼ = I∼ +∇X u (X , t)
• Transformation infinitésimale de volume :
dv = detF∼dV0 = JdV0
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hyper.7
CinématiqueComposition de transformation
F
RU
RV
Décomposition polaire
On défini de manière unique R∼ ,U∼ et V∼ tel que :
F∼ = V∼ · R∼ = R∼ · U∼
R∼ est un tenseur orthogonal qui définit la rotation. U∼ et V∼ sontdes tenseurs de déformations pures droit et gauche.
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hyper.8
CinématiqueComposition de transformation
F
RU
RV
Propriétés de la décomposition polaire
U∼ et V∼ ont les mêmes valeurs propres : λi > 0. Si on note Niles vecteurs propres de U∼ et ni ceux de V∼ on a :
U∼ =3∑
i=1
λiNi ⊗ Ni et V∼ =3∑
i=1
λini ⊗ ni
de plus on a : ni = R∼Ni . Les λi sont appelés dilatationsprincipales.
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hyper.9
CinématiqueDéformation
Dans la configuration de référence
• C∼ = F∼T · F∼ = U∼
2 est le tenseur de Cauchy-Green droit.
• E∼ =12 (C∼ − I∼) le tenseur de Green-Lagrange.
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Incompressibilité
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hyper.10
CinématiqueDéformation
Dans la configuration actuelle
• B∼ = F∼F∼T = V∼
2 est le tenseur de Cauchy-Green gauche.
• A∼ =12 (I∼− B∼
−1) le tenseur de Euler-Almansi.
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Incompressibilité
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hyper.11
CinématiqueComposition de transformation
X
X1
x
F
FF
12
Décomposition multiplicative
On a : dx = F∼ · dX et dX 1 = F∼1 · dX et dx = F∼2 · dX 1d’ou :
F∼ = F∼2 · F∼1 6= F∼1 · F∼2
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hyper.11
CinématiqueComposition de transformation
X
X1
x
F
FF
12
Décomposition multiplicative
On a : dx = F∼ · dX et dX 1 = F∼1 · dX et dx = F∼2 · dX 1d’ou :
F∼ = F∼2 · F∼1 6= F∼1 · F∼2
exo.
Calculer E∼ en fonction de E∼1 et E∼2.
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hyper.11
CinématiqueComposition de transformation
X
X1
x
F
FF
12
Décomposition multiplicative
On a : dx = F∼ · dX et dX 1 = F∼1 · dX et dx = F∼2 · dX 1d’ou :
F∼ = F∼2 · F∼1 6= F∼1 · F∼2
exo.
Calculer E∼ en fonction de E∼1 et E∼2.
E∼ = E∼1 + F∼T1 · E∼2 · F∼1
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hyper.12
CinématiqueInvariants de la déformation
Principaux invariants
"Quantité scalaire invariante par changement de base"I1(Z∼) = tr(Z∼)
I2(Z∼) =12
(tr(Z∼)2 − tr(Z∼
2))
I3(Z∼) = det(Z∼)
avec Z∼ = B∼ ,C∼ , . . .
remarque
Il existe une infinité d’invariants (par exemple les λi sont desinvariants)
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hyper.13
CinématiqueCe qu’il faut retenir...
Lagrangien EulérienTenseur des di-latations
C∼ ,U∼ B∼ ,V∼
Tenseur des dé-formations
E∼ A∼
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hyper.14
SthéniqueContraintes
Une définition...
Le champ de contrainte traduit les efforts de cohésion internes’exerçant à travers un élément de surface interne, virtuel.
En grandes déformations• Choix de l’élément de surface (Configuration actuelle ou
de référence)• Choix de la configuration des efforts (idem).
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hyper.15
SthéniqueContraintes
dSds
Nn
dTdt
Dans la configuration actuelle (Ct )• Soit dt le vecteur contrainte, c.a.d les efforts intérieurs à
travers n ds.
Dans la configuration de référence (C0)• Soit dT le vecteur contrainte transporté, c.a.d les efforts
intérieurs à travers N dS (sens physique ?).
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Incompressibilité
Identification
hyper.16
SthéniqueContraintes de Cauchy
dSds
Nn
dTdt
Description Eulérienne (Ct )• On défini σ∼(x , t) tel que
dt = σ∼ · n ds
• Il caractérise les efforts de cohésions, dans laconfiguration actuelle et qui s’exercent à travers unélément de surface déformé.
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Incompressibilité
Identification
hyper.17
SthéniqueContraintes de Piola Kirchhoff 1
dSds
Nn
dTdt
Description "Mixte"
• On défini S∼(X , t) tel que
dt = S∼ · N dS
• Il caractérise les efforts de cohésions, dans laconfiguration actuelle et qui s’exercent à travers unélément de surface non-déformé.
• Contrainte de l’ingénieur : «simple d’accès par la mesure»
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Isotropie
Incompressibilité
Identification
hyper.18
SthéniqueContraintes de Piola Kirchhoff 2
dSds
Nn
dTdt
Description Lagrangienne (Ct )
• On défini Π∼ (X , t) tel que
dT = Π∼ · N dS
• Il caractérise les efforts de cohésions, dans laconfiguration de référence et qui s’exercent à travers unélément de surface non-déformé.
• Sens physique ?
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Incompressibilité
Identification
hyper.19
SthéniqueQuelques propriétés
dSds
Nn
dTdt
Remarques
• En petites déformations tous les tenseurs de contraintessont équivalents.
Relation liant σ∼, S∼, Π∼
Jσ∼ = S∼ · F∼T = F∼ ·Π∼ · F∼
T
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Incompressibilité
Identification
hyper.20
SthéniqueEquations d’équilibre
Tt
0
0
Configuration actuelle
• ∂Ωft surface d’application des efforts extérieurs, ∂Ωut
surface d’application des déplacements, avec :
∂Ωt = ∂Ωft ∪ ∂Ωut et ∂Ωft ∩ ∂Ωut = ∅
• t efforts extérieurs surfaciques dans la configurationactuelle
• D un sous-domaine de Ωt et τ les efforts intérieurs sur ∂D
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Symétries Matérielles
Isotropie
Incompressibilité
Identification
hyper.20
SthéniqueEquations d’équilibre
Tt
0
0
Configuration de référence
• ∂ΩF0 surface d’application des efforts extérieurs, ∂ΩU0
surface d’application des déplacements, avec :
∂Ω0 = ∂ΩF0 ∪ ∂ΩU0 et ∂ΩF0 ∩ ∂ΩU0 = ∅
• T efforts extérieurs surfaciques transportés dans laconfiguration de référence.
• D0 un sous-domaine de Ω0 et ∂D0 sa frontière.
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Isotropie
Incompressibilité
Identification
hyper.21
SthéniqueEquations d’équilibre
Tt
0
0
Equation bilan
• Conservation de la masse
ρD = ρ0D0 =⇒ Jρ = ρ0
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Isotropie
Incompressibilité
Identification
hyper.22
SthéniqueEquations d’équilibre
Tt
0
0
Description Eulérienne
• Equilibre local
divx σ∼ + fv = 0 dans Ωt
σ∼ · n = ts sur ∂Ωft
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Isotropie
Incompressibilité
Identification
hyper.23
SthéniqueEquations d’équilibre
Tt
0
0
Description Mixte
• Equilibre local
divX S∼ + fV = 0 dans Ω0
S∼ · N = tS sur ∂Ωft
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Isotropie
Incompressibilité
Identification
hyper.24
ThermodynamiqueClausius Duhem
en Eulerien
• Le premier principe :
ρ•e = σ∼ : D∼ + ρr − divx q
• Le second principe :
ρT•s − ρr + divx q −
1T
q · ∇x T ≥ 0
• Energie libre de Helmoltz :
ψ = e − Ts
Clausius Duhem (en Eulerien)
Φ = σ∼ : D∼ − ρ(•ψ + s
•T )− 1
Tq · ∇x T ≥ 0
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Isotropie
Incompressibilité
Identification
hyper.25
ThermodynamiqueClausius Duhem
en Lagrangien
• Le premier principe :
ρ0•e = Π∼ :
•E∼ + ρ0r − divX Q
• Le second principe :
ρ0T•s − ρ0r + divX Q −
1T
Q · ∇X T ≥ 0
• Energie libre de Helmoltz :
ψ = e − Ts
Clausius Duhem (en Lagrangien)
Φ0 = Π∼ :•E∼ − ρ0(
•ψ + s
•T )− 1
TQ · ∇X T ≥ 0
Φ0 = S∼ :•F∼ − ρ0(
•ψ + s
•T )− 1
TQ · ∇X T ≥ 0
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Bilan d’énergie
Loi de comportement
HyperélasticitéGénéralités
Symétries Matérielles
Isotropie
Incompressibilité
Identification
hyper.26
ThermodynamiqueBilan d’énergie
Sources de Dissipations
• Par dérivation en chaine :
ψ̇ =∂ψ
∂E∼:•E∼ +
∂ψ
∂T
•T +
∂ψ
∂G·•G
• en ordonnant les termes, la dissipation devient
Φ0 = (Π∼ −ρ0∂ψ
∂E∼) :•E∼−ρ0(
∂ψ
∂T+s)
•T −ρ0
∂ψ
∂G·•G−Q · G
T> 0
• avecG∼ = ∇X T
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Bilan d’énergie
Loi de comportement
HyperélasticitéGénéralités
Symétries Matérielles
Isotropie
Incompressibilité
Identification
hyper.27
Lois de comportements dites "hyperélastiques"
• pour les contraintes
Π∼ = ρ0∂ψ
∂E∼
• pour l’entropie
s = −∂ψ∂T
∂ψ
∂G= 0
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Bilan d’énergie
Loi de comportement
HyperélasticitéGénéralités
Symétries Matérielles
Isotropie
Incompressibilité
Identification
hyper.28
Thermodynamiqueloi de comportements
Principes généraux
• La loi de comportement doit fournir l’état de contrainte enfonction des variables thermodynamiques.
• Une loi de comportement doit vérifier le principed’objectivité (indifférence matérielle).
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Loi de comportement
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Symétries Matérielles
Isotropie
Incompressibilité
Identification
hyper.29
HyperélasticitéGénéralités
Dissipation intrinsèque
• En eulérien :σ∼ = 2ρB∼
∂ψ
∂B∼• En mixte :
S∼ = ρ0∂ψ
∂F∼• En lagrangien :
Π∼ = ρ0∂ψ
∂E∼
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SthéniqueDéfinition
Contraintes de Cauchy
Contraintes de Piola 1
Contraintes de Piola 2
Propriétés
Equations d’équilibre
ThermodynamiqueClausius Duhem
Bilan d’énergie
Loi de comportement
HyperélasticitéGénéralités
Symétries Matérielles
Isotropie
Incompressibilité
Identification
hyper.29
HyperélasticitéGénéralités
Dissipation intrinsèque
• En eulérien :σ∼ = 2JB∼
∂W∂B∼
• En mixte :S∼ =
∂W∂F∼
• En lagrangien :
Π∼ =∂W∂E∼
• avecρ0 ψ = W
-
Introduction
CinématiqueDéfinitions
Déformations
Décomposition polaire
Déformations
Invariants
SthéniqueDéfinition
Contraintes de Cauchy
Contraintes de Piola 1
Contraintes de Piola 2
Propriétés
Equations d’équilibre
ThermodynamiqueClausius Duhem
Bilan d’énergie
Loi de comportement
HyperélasticitéGénéralités
Symétries Matérielles
Isotropie
Incompressibilité
Identification
hyper.30
HyperélasticitéGénéralités
Traction sur un élastomère (en statique)
Constats :• pas de dissipation• comportement
non-linéaire• très grandes
déformations (>400%)
-
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Equations d’équilibre
ThermodynamiqueClausius Duhem
Bilan d’énergie
Loi de comportement
HyperélasticitéGénéralités
Symétries Matérielles
Isotropie
Incompressibilité
Identification
hyper.31
HyperélasticitéGénéralités
Définition
• On considère des comportements réversibles (pas dedissipation mécanique).
• Le comportement mécanique est défini par la donnéed’une énergie de déformation.
-
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Décomposition polaire
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Contraintes de Cauchy
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Propriétés
Equations d’équilibre
ThermodynamiqueClausius Duhem
Bilan d’énergie
Loi de comportement
HyperélasticitéGénéralités
Symétries Matérielles
Isotropie
Incompressibilité
Identification
hyper.32
HyperélasticitéGénéralités
Propriétés de l’énergie
• Pas d’énergie pour une déformation nulle :
W (F∼ = I∼) = 0
• Etat de référence libre de contraintes :
∂W∂F∼|F∼=I∼
= 0∂W∂B∼|B∼=I∼
= 0∂W∂E∼|E∼=0
= 0
• Polyconvexité (existance de solutions du pb d’équilibre) :
W (F∼) =?
W (F∼ ,CofF∼ ,detF∼) avec?
W convexe
-
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Equations d’équilibre
ThermodynamiqueClausius Duhem
Bilan d’énergie
Loi de comportement
HyperélasticitéGénéralités
Symétries Matérielles
Isotropie
Incompressibilité
Identification
hyper.33
HyperélasticitéSymétries Matérielles
Isotropie
Invariance matérielle pour toute rotation Q∼
de la configurationde référence. Se traduit par :
W (F∼ ·Q∼ ) = W (F∼) ∀Q∼ tenseur orthogonal
-
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Propriétés
Equations d’équilibre
ThermodynamiqueClausius Duhem
Bilan d’énergie
Loi de comportement
HyperélasticitéGénéralités
Symétries Matérielles
Isotropie
Incompressibilité
Identification
hyper.34
HyperélasticitéSymétries Matérielles
Théorème de représentation
Une fonction scalaire isotrope W (X∼ ), ou X∼ est un tenseursymétrique, peut-être représentée par les invariants de X∼ :
W (X∼ ) = W (I1, I2, I3)
avec I1(X∼ ) = tr(X∼ )
I2(X∼ ) =12
(tr(X∼ )2 − tr(X∼
2))
I3(X∼ ) = det(X∼ )
Propriétés
• Hyperélasticité isotrope : X∼ = B∼ ou X∼ = C∼• Ce théorème est généralisable à W (X∼ ,Y∼ , . . .)
-
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Equations d’équilibre
ThermodynamiqueClausius Duhem
Bilan d’énergie
Loi de comportement
HyperélasticitéGénéralités
Symétries Matérielles
Isotropie
Incompressibilité
Identification
hyper.35
HyperélasticitéHyperélasticité isotrope
Loi de comportement
• en eulérien :
σ∼ = 2J(
(W1 + W2I1)B∼ −W2B∼2 + W3I3I∼
)• en mixte :
S∼ = 2(
(W1 + W2I1)F∼ −W2F∼ · C∼ + W3I3F∼−T)
• en lagrangien :
Π∼ = 2(
(W1 + W2I1)I∼−W2C∼ + W3I3C∼−1)
avec Wi = ∂W∂Ii
-
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Equations d’équilibre
ThermodynamiqueClausius Duhem
Bilan d’énergie
Loi de comportement
HyperélasticitéGénéralités
Symétries Matérielles
Isotropie
Incompressibilité
Identification
hyper.36
HyperélasticitéHyperélasticité isotrope
Loi de comportement (autre approche)
• en eulérien :
σ∼ = 23∑
a=1
λa∂W∂λa
(na ⊗ na)
• en mixte :
S∼ =3∑
a=1
∂W∂λa
(na ⊗ Na)
• en lagrangien :
Π∼ = 23∑
a=1
1λa
∂W∂λa
(Na ⊗ Na)
avec Na et na les vecteurs propres de U et V.
-
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Loi de comportement
HyperélasticitéGénéralités
Symétries Matérielles
Isotropie
Incompressibilité
Identification
hyper.37
HyperélasticitéHyperélasticité incompressible
Incompressibilité
On impose J = 1, ou encore I3(B∼) = I3(C∼ ) = 1, à l’aide d’unmultiplicateur de Lagrange p tel que :
W = W (X )− p(det(F∼)− 1)
-
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Loi de comportement
HyperélasticitéGénéralités
Symétries Matérielles
Isotropie
Incompressibilité
Identification
hyper.37
HyperélasticitéHyperélasticité incompressible
Incompressibilité
On impose J = 1, ou encore I3(B∼) = I3(C∼ ) = 1, à l’aide d’unmultiplicateur de Lagrange p tel que :
W = W (X )− p(det(F∼)− 1)
• Dans chaque configuration on a :
σ∼ =2J
B∼∂W (B∼)∂B∼
− pI∼
S∼ =∂W (F∼)∂F∼
− pcofF∼
Π∼ = 2∂W (C∼ )∂C∼
− pJC∼−1
• p est assimilable à une pression.
-
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Symétries Matérielles
Isotropie
Incompressibilité
Identification
hyper.38
HyperélasticitéHyperélasticité isotrope
Loi de comportement
• en eulérien :
σ∼ = 2J(
(W1 + W2I1)B∼ −W2B∼2 + p I∼
)• en mixte :
S∼ = 2(
(W1 + W2I1)F∼ −W2F∼ · C∼ + p F∼−T)
• en lagrangien :
Π∼ = 2(
(W1 + W2I1)I∼−W2C∼ + p C∼−1)
avec Wi = ∂W∂Ii
-
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Equations d’équilibre
ThermodynamiqueClausius Duhem
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HyperélasticitéGénéralités
Symétries Matérielles
Isotropie
Incompressibilité
Identification
hyper.39
HyperélasticitéHyperélasticité isotrope
Loi de comportement (elongation principale)
• en eulérien :
σ∼ = 22∑
a=1
λa∂W∂λa
(na ⊗ na) + p I∼
• en mixte :
S∼ =2∑
a=1
∂W∂λa
(na ⊗ Na) + p F∼−T
• en lagrangien :
Π∼ = 22∑
a=1
1λa
∂W∂λa
(Na ⊗ Na) + p C∼−1
avec Na et na les vecteurs propres de U et V.
-
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Equations d’équilibre
ThermodynamiqueClausius Duhem
Bilan d’énergie
Loi de comportement
HyperélasticitéGénéralités
Symétries Matérielles
Isotropie
Incompressibilité
Identification
hyper.40
HyperélasticitéQuelques Modèles pour les élastomères
Modèles statistiques
• NEO-HOOKE (1943)
W = −T ∆S
W (I1) =12
NkT (I1 − 3)
N : nombre de chaines par unité de volume,k : constante de Boltzmann.
y
z
x
����
����
����������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������
r
dr
-
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Propriétés
Equations d’équilibre
ThermodynamiqueClausius Duhem
Bilan d’énergie
Loi de comportement
HyperélasticitéGénéralités
Symétries Matérielles
Isotropie
Incompressibilité
Identification
hyper.41
HyperélasticitéQuelques Modèles pour les élastomères
Modèle phénoménologique incompressible
Le modèle de MOONEY & RIVLIN (1940)
W (I1, I2) = C10(I1 − 3) + C01(I2 − 3)
• Valable jusqu’à 100% de déformation.• Linéaire en cisaillement.
-
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Equations d’équilibre
ThermodynamiqueClausius Duhem
Bilan d’énergie
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HyperélasticitéGénéralités
Symétries Matérielles
Isotropie
Incompressibilité
Identification
hyper.42
HyperélasticitéQuelques Modèles pour les élastomères
Modèle phénoménologique incompressible
Le modèle de RIVLIN & SAUNDERS (1951)
W (I1, I2) =∞∑
i,j=0
Cij (I1 − 3)i (I2 − 3)j avec C00 = 0
• En pratique i , j ≤ 3.• Valable pour de grandes déformations.• Modèle très (trop) riche.
-
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Loi de comportement
HyperélasticitéGénéralités
Symétries Matérielles
Isotropie
Incompressibilité
Identification
hyper.43
HyperélasticitéQuelques Modèles pour les élastomères
Modèle phénoménologique incompressible
Le modèle de GENT & THOMAS (1958)
W (I1, I2) = C1(I1 − 3) + C2ln(
I23
)
• Valable pour des déformations ≤ 200%.• Non linéaire en cisaillement.
-
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HyperélasticitéGénéralités
Symétries Matérielles
Isotropie
Incompressibilité
Identification
hyper.44
HyperélasticitéQuelques Modèles pour les élastomères
Modèle phénoménologique incompressible
Le modèle de OGDEN (1972)
W (λ1, λ2, λ3) =N∑
p=1
µpαp
(λαp1 + λ
αp2 + λ
αp3 − 3) avec µpαp > 0
• Valable pour de grandes déformations.• Paramètres difficiles à identifier.
-
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Isotropie
Incompressibilité
Identification
hyper.45
HyperélasticitéIdentification de lois Hyperélastiques
Les essais courants
• La traction uni-axiale
l
l2
l2
F∼ =
λ 0 00 1√λ 00 0 1√
λ
S11 = 2
∂W∂I1
(λ− 1
λ2
)+ 2
∂W∂I2
(1− 1
λ3
)
-
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Symétries Matérielles
Isotropie
Incompressibilité
Identification
hyper.45
HyperélasticitéIdentification de lois Hyperélastiques
Les essais courants
• Extension equi-biaxialel
l
F∼ =
λ 0 00 λ 00 0 1
λ2
S11 = S22 = 2
∂W∂I1
(λ− 1
λ5
)+ 2
∂W∂I2
(λ3 − 1
λ3
)
-
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Isotropie
Incompressibilité
Identification
hyper.45
HyperélasticitéIdentification de lois Hyperélastiques
Les essais courants
• Le glissement simple
g
F∼ =
1 γ 00 1 00 0 1
S12 = 2γ(
∂W∂I1
+∂W∂I2
)
-
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Loi de comportement
HyperélasticitéGénéralités
Symétries Matérielles
Isotropie
Incompressibilité
Identification
hyper.45
HyperélasticitéIdentification de lois Hyperélastiques
Les essais courants
• Le cisaillement pur
l
l2
F∼ =
λ 0 00 1 00 0 1λ
S11 = 2∂W∂I1
(λ− 1
λ3
)+ 2
∂W∂I2
(λ− 1
λ3
)S22 = 2
∂W∂I1
(1− 1
λ2
)+ 2
∂W∂I2
(λ2 − 1
)
-
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Loi de comportement
HyperélasticitéGénéralités
Symétries Matérielles
Isotropie
Incompressibilité
Identification
hyper.46
Modèle NEO-HOOKEEN
W (I1) =µ
2(I1 − 3)
-
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Loi de comportement
HyperélasticitéGénéralités
Symétries Matérielles
Isotropie
Incompressibilité
Identification
hyper.47
Modèle MOONEY
W (I1) = C10(I1 − 3) + C20(I1 − 3)2 + C30(I1 − 3)3 + ...
-
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Loi de comportement
HyperélasticitéGénéralités
Symétries Matérielles
Isotropie
Incompressibilité
Identification
hyper.48
Modèle HART-SMITH
W (I1, I2) = h1∫
exp (h3(I1 − 3)2)dI1 − 3h2 ln(
I23
)
-
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Isotropie
Incompressibilité
Identification
hyper.49
Modèle OGDEN
W =N∑
p=1
µp
αp
(λα
p
1 + λαp
2 + λαp
3
)