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DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
Capítulo 7
Elementos Armazenadores de Energia
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
A carga é proporcional a diferença de potencial:
onde C é a capacitância do dispositivo dada em farad [F] = [coulomb/volt].
Carga total dentro do capacitor é sempre zero.
Corrente que entra em um terminal sai pelo outro. Derivando em relação ao tempo a equação anterior obtemos a corrente:
7.1 Capacitores
Capacitor é um dispositivo de dois terminais constituído de dois corpos
condutores separados por um material não condutor.
dielétrico∆v
+
−
∆q
v
+
−
i
Cvq =
dtdvCi =
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Exemplo: Capacitor C = 1 µF e a tensão sobre ele é
v = 6 cos(2000t) [V]
Então,
( )[ ] ( ) [ ]mA 2000sen122000sen000.1210 6 ttCidtdv −=−== −
Note que se a tensão v sobre o capacitor é constante, a corrente i é zero.
Portanto, o capacitor atua como um circuito aberto para tensão constante.
Se a tensão v varia, a corrente que flui nos terminais deixa de ser zero.
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Exemplo: Considere uma tensão que cresce linearmente entre 0 e 1 [V] em
a-1 [s]:
>
≤<
≤
=
at
atat
t
v
1 1
10
0 0
Se o capacitor tiver C = 1 [F], a corrente resultante é:
>
≤<
≤
=
at
ata
t
i
1 0
10
0 0
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v
t1/a
1
i
t1/a
a
Note que se a crescer, então v muda mais rapidamente e a corrente i também
crescerá.
Se a-1 = 0, então v muda abruptamente de 0 para 1 [V] ⇒ corrente infinita ⇒
potência infinita nos terminais do capacitor.
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A carga total em um capacitor não pode variar instantaneamente (princípio da
conservação de carga).
Para obter v(t) em função de i(t), integramos no tempo:
obtendo
onde a tensão no capacitor no tempo t0 é
Portanto,
( ) ( )dt
tdvCti =
( ) ( ) ( )00
1tvdtti
Ctv
tt
+= ∫
( ) ( )C
tqtv 00 =
( ) ( )∫ ∞−= tdtti
Ctv
1
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7.2 Energia Armazenada em Capacitores
Campo elétrico: força que atua sobre uma unidade de carga positiva.
Forças que atuam nas cargas dentro do capacitor podem ser consideradas
como resultantes de um campo elétrico.
Energia armazenada em um capacitor = Energia armazenada no campo elétrico.
Energia armazenada:
Considerando v(-∞) = 0, então
( )
( )t
t
ttC
tCvdvvC
dtdt
dvCvdtvitw
∞−∞−
∞−∞−
==
==
∫
∫∫
221
( ) ( ) [ ]J 21 2 tCvtwC = ( ) 0≥twC
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Em termos de carga no capacitor, temos , então
O capacitor ideal não dissipa energia.
Exemplo: Capacitor de 1 F com tensão de 10 V. A energia armazenada é
Se o capacitor não está conectado a um circuito, então sua carga, sua tensão e
energia armazenada permanecem constantes, pois não flui corrente.
( ) ( ) ( )
( ) [ ]J 21
21
21
2
22
C
tq
C
tqCtCvtwC
=
==
Cvq =
( ) ( ) [ ]J 5010121
21 22 =⋅⋅== tCvtwC
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Conectando uma resistência nos terminais do capacitor, uma corrente irá fluir
até que toda a energia seja dissipada como calor pelo resistor, fazendo a
tensão tornar-se zero.
Tensão sobre o capacitor é contínua ⇒ energia é contínua
t = 0- tempo imediatamente anterior a abertura da chave.
t = 0+ tempo imediatamente após a abertura da chave.
vc
+
−R2
R1
v1+ −
v
t = 0
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Exemplo: vc(0-) =4 V.
Imediatamente antes do chaveamento, temos
Imediatamente após a chave ser aberta, temos
A tensão em R1 muda abruptamente, mas não no capacitor.
A tensão em R2 é a mesma que no capacitor, então não muda também.
vc
+
−R2
R1
v1+ −
6 V
t = 0
( ) ( ) [ ]V 246001 =−=−= −−cvVv
( ) 001 =+v
( ) ( ) [ ]V 400 == +−cc vv
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7.3 Capacitores em Série e em Paralelo
Capacitância equivalente ≡ condutância equivalente
Conexão em série de N capacitores:
Nvvvv +++= L21
( ) ( ) ( )∫∫∫ ++++++= tt N
N
tt
tt
tvidtC
tvidtC
tvidtC
v000
0022
011
111L
( )∫ ∑∑==
+
=
t
t
N
nn
N
n ntvidt
Cv
0 10
1
1
( )∫ += tts
tvidtC
v0
01
Cs+−
i
v
N
N
n ns CCCCC
11111
211
+++==∑=
L
v1 v2 vN-1
CNv
CN-1C2C1
vN
+
−
+ − + − + −
+−
i
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Conexão em série de 2 capacitores:
Conexão em paralelo de N capacitores:
21
21CC
CCCs +
=
Cpi v+
−CNi C2C1
iNi1 i2
v+
−
Niiii +++= L21
dt
dvC
dt
dvC
dt
dvC
dt
dvCi
N
nnN
=+++= ∑
=121 L
dt
dvCi p=
=+++= ∑
=
N
nnNp CCCCC
121 L
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Exemplo: Capacitância equivalente
60 µF 8 µF 110 µF
6 µF 14 µF 11 µF
241410141111011110
1 =+=++⋅=eqC
12666824824
2 =+=++⋅=eqC
[ ]F 1072720
60126012 µ==
+⋅=eqC
60 µF 8 µF
6 µF 24 µF
60 µF
12 µF
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Exemplo: Divisão de corrente.
21 iii +=
( )dt
dvCC
dt
dvC
dt
dvCi 2121 +=+= ( )21 CC
i
dt
dv
+=
dt
dvCi 11 = i
CC
Ci
21
11 +
=
dt
dvCi 22 = i
CC
Ci
21
22 +
=
i
C2C1
i1 i2
−
+
v
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Exemplo: Divisão de tensão. v1 v2
v
C2C1
+ − + −+
−
i
21 vvv +=
∫∫ ∞−∞− += ttidt
Cidt
Cv
21
11∫ ∞−
+= t
idtCC
v21
11 vCC
CCidt
t
21
21+⋅=∫ ∞−
∫ ∞−= tidt
Cv
11
1v
CC
Cv
CC
CC
Cv
21
2
21
21
11
1+
=+⋅⋅=
∫ ∞−= tidt
Cv
22
1v
CC
Cv
CC
CC
Cv
21
1
21
21
22
1+
=+⋅⋅=
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7.4 Indutores
Indutor é um dispositivo de 2 terminais composto de um fio condutor enrolado
em espiral.
A corrente que flui pelo indutor induz um fluxo magnético φ que forma laços
fechados envolvendo a bobina.
v
+
−
i
L
Bobina com N espiras, então o fluxo total (enlace de fluxo) é igual a:
Em um indutor ideal, o enlace de fluxo é diretamente proporcional a corrente:
L = constante de proporcionalidade (indutância em weber/ampère = henry [H]).
φ=λ N
iL ⋅=λ
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Lei da indução magnética: a tensão é igual à taxa de variação no tempo do fluxo
magnético total:
Se i = constante ⇒ v = 0 (curto circuito para corrente contínua).
Quanto maior a variação de i maior será a tensão que aparecerá nos terminais
do indutor.
dt
diL
dt
dv =λ=
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Exemplo: Considere uma corrente que decresce linearmente entre 1 e 0 [A] em
b-1 s:
>
≤<−
≤
=
bt
btbt
t
i
1 0
10 1
0 1
Se o indutor tiver L = 1 [H], a tensão resultante é:
>
≤<−
≤
=
bt
btb
t
v
1 0
10
0 0
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v
t
1/b
-b
Note que se b crescer, então i muda mais rapidamente e a tensão v se torna
mais negativa.
Se b-1 = 0, então i muda abruptamente de 1 para 0 [A] ⇒ tensão infinita ⇒
potência infinita nos terminais do indutor.
i
t1/b
1
0
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A fluxo total em um indutor não pode variar instantaneamente (princípio de
conservação de carga).
Para obter i(t) em função de v(t), integramos no tempo:
obtendo
onde i(t0) é a corrente no indutor no tempo t0.
i(t0) é a corrente acumulada de t = -∞ até t = t0, onde i(-∞) =0
Portanto,
( ) ( )dt
tdiLtv =
( ) ( ) ( )00
1tidttv
Lti
tt
+= ∫
( ) ( )∫ ∞−= tdttv
Lti
1
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7.5 Energia Armazenada em Indutores
Uma corrente i que flui pelo indutor produz um enlace de fluxo total λ que passa
pelas espiras da bobina.
Assim, um trabalho é necessário para estabelecer o fluxo φ no indutor.
Energia armazenada em um indutor = Energia armazenada no campo magnético.
Energia armazenada:
Considerando i(-∞) = 0, então
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )t
t
ttL
tiLditiL
dttidt
tdiLdttitvtw
∞−∞−
∞−∞−
==
==
∫
∫∫
221
( ) ( ) [ ]J 21 2 tLitwL = ( ) 0≥twL
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Nvvvv +++= L21
dt
diL
dt
diL
dt
diLv N+++= L21
dt
diLv
N
nn
= ∑
=1
dt
diLv s=
Ls+−
i
v
N
N
nns LLLLL +++== ∑
=L21
1
v1 v2
LNv
L2L1
vN
+
−
+ − + −
+−
i
7.6 Indutores em Série e em Paralelo
Indutância equivalente ≡ resistência equivalente
Conexão em série de N indutores:
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Conexão em paralelo de N indutores:
Niiii +++= L21
( ) ( ) ( )∫∫∫ ++++++= tt N
N
tt
tt
tivdtL
tivdtL
tivdtL
i000
0022
011
111L
( )00
1tivdt
Li
ttp
+= ∫
=+++= ∑
=
N
n nNp LLLLL 121
11111L
LNi L2L1
iNi1 i2
v+
−
( )∫ ∑∑==
+
=
t
t
N
nn
N
n ntivdt
Li
0 10
1
1
Lpi v+
−
Conexão em paralelo de 2 indutores:
21
21LL
LLLp +
=
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Exemplo: Indutância equivalente
8972
7291 =
+⋅=eqL 8
12241224
2 =+⋅=eqL
[ ]mH 1082 =+=eqL
2 mΗ 4 mΗ 7 mΗ
24 mΗ 72 mΗ 2 mΗ
2 mΗ 4 mΗ
24 mΗ 8 mΗ
2 mΗ
8 mΗ
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Exemplo: Divisão de tensão.
21 vvv +=
( )dt
diLL
dt
diL
dt
diLv 2121 +=+= ( )21 LL
v
dt
di
+=
dt
diLv 11 = v
LL
Lv
21
11 +
=
dt
diLv 22 = v
LL
Lv
21
22 +
=
v1 v2
v
L2L1
+ − + −+
−
i
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Exemplo: Divisão de corrente.i
L2L1
i1 i2
−
+
v
21 iii +=
∫∫ ∞−∞− += ttvdt
Lvdt
Li
21
11∫ ∞−
+= t
vdtLL
i21
11 iLL
LLvdt
t
21
21+⋅=∫ ∞−
∫ ∞−= tvdt
Li
11
1i
LL
Li
LL
LL
Li
21
2
21
21
11
1+
=+⋅⋅=
∫ ∞−= tvdt
Li
22
1i
LL
Li
LL
LL
Li
21
1
21
21
22
1+
=+⋅⋅=
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7.7 Regime Permanente em Corrente Contínua
Se as fontes independentes de um circuito são todas de corrente contínua (cc),
então, após um dado tempo, todas as correntes e tensões se estabilizam em
valores constantes.
Quando todas as tensões e correntes atingem valores constantes ⇒ circuito em
regime permanente cc.
Regime permanente cc:
• Capacitores são como circuitos abertos.
• Indutores são como curto circuitos.
• Correntes e tensões no circuito são obtidas resolvendo um circuito
resistivo com fontes constantes.
Análise de circuito para t > 0 ⇒ conhecer algumas condições iniciais para t = 0+.
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Exemplo: Circuito RLC em regime permanente cc quando a chave é aberta em
t = 0.
v+
−
2 Ω
10 V
t = 02 H
3 Ω1/4 F
i
Em t = 0−, imediatamente antes da chave ser aberta, o circuito era:
v(0-)+
−
2 Ω
10 V 3 Ω
i (0-)
( ) [ ]A 25
100 ==−i
( ) ( ) [ ]V 6030 =⋅= −− iv
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Em t = 0+, imediatamente após a chave ser aberta, o circuito é:
( ) ( ) [ ]A 200 == −+ ii
( ) ( ) [ ]V 600 == −+ vv
( ) ( ) ( ) 00030
2 =−+ +++
vidt
diEquação de laço:
v(0+)+
−
2 Ω
10 V
2 H
3 Ω1/4 F
i(0+)0 A
( ) ( ) 0000
41 =−+ +
+i
dt
dvEquação nodal:
( ) ( )[ ] 0623210 =+⋅−=
+
dt
di
( ) ( ) [ ]V/s 8240 −=⋅−=
+
dt
dv
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7.8 Capacitores e Indutores Práticos
Capacitores práticos:
• grande variedade de tipos,
• classificado pelo tipo de dielétrico empregado na fabricação,
• tensão nominal – máxima tensão que pode ser aplicada no capacitor,
• dissipam pequena quantidade de potência (correntes de fuga),
• dielétricos possuem uma condutância não nula.
Tipos de capacitores (1 pF – 1 µF):
• cerâmico,
• tântalo,
• poliester,
• poliestireno,
• eletrolítico (1 – 100.000 µF) (perdas maiores e polarizados)
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Circuito equivalente:
CRc
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Indutores práticos:
• dissipam pequena quantidade de potência (resistência do fio e perdas no núcleo),
• faixa 1 µH – 100 H,
• núcleo composto de materiais ferrosos.
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Circuito equivalente:
L
RL
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7.9 Dualidade e Linearidade
Relações duais entre capacitor e indutor:
Quantidades duais:
dt
diLv =
dtdvCi =
admitânciaimpedância
lei de Kirchhoff de correnteslei de Kirchhoff de tensões
enlaceramo de árvore
malha externanó de referência
malhanó de não referência
paralelosérie
circuito abertocurto-circuito
capacitânciaindutância
condutânciaresistência
fluxocarga
correntetensão
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Exemplo: Circuito dual.
C
L
R1
x V
t = 0
+− y A
R2
C
L1/R1x A t = 0 y V
+−
1/R2
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7.10 Circuitos Singulares
Circuitos singulares: possui uma chave que parece ter a função de produzir
uma descontinuidade nas tensões de capacitores ou nas
correntes de indutores.
Exemplo:
Antes da chave fechar:
t = 0
C1 = 1 F−
+v2 (t)
−
+v1 (t) C2 = 1 F
( ) [ ]
( ) [ ]V 00
V 10
2
1
=
=
−
−
v
v ( ) ( ) [ ]
( ) ( ) [ ]J 00121
021
0
J 21
1121
021
0
22222
22111
vCw
vCw
=⋅⋅==
=⋅⋅==
−−
−−
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( ) ( ) ( ) [ ]J 21
000 21 www =+= −−−
Energia total armazenada no circuito:
Expressão do nó generalizado envolvendo a chave:
Integrando de t = 0− a 0+, temos
022
11 =+
dt
dvC
dt
dvC
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 000002211 2221110
0=−+−=+ −+−+=
=∫+
− vvCvvCdvCdvCt
t
( )[ ] ( )[ ]
( ) ( ) 100
0001101
21
21
=+
=−⋅+−⋅
++
++
vv
vv
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Para t > 0, temos
Portanto, a energia total armazenada em t = 0+ é
Pergunta: O que aconteceu com o outro 1/4 J do circuito de t = 0- a t = 0+?
( ) ( ) [ ]V 21
00 21 == ++ vv
( ) ( ) ( )
[ ]J 41
81
81
21
121
21
121
021
021
0
22
222
211
=+=
⋅⋅+
⋅⋅=
+= +++ vCvCw
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v1 muda abruptamente de 1 para 1/2 volts em t = 0, mas mudanças
instantâneas de tensão não são possíveis.
Portanto, durante um intervalo de tempo infinitesimal de 0− a 0+, o modelo
matemático adotado não é válido!!!
Quando a chave fecha em t = 0, uma corrente elevada gera uma onda
eletromagnética que irradia a energia de 1/4 J.
A tensão v1 muda em um pequeno intervalo de tempo (∆t ≠ 0) de 1 para 1/2 V.
Entretanto, as soluções para tensões e energias antes e depois o fechamento
da chave são corretas, embora o modelo de circuito não seja válido no instante
de fechamento desta chave.
Motivo: a carga total não muda durante este intervalo de tempo.
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Motivo:
ou seja, continua-se respeitando o postulado da conservação das cargas:
Se um resistor em série for incluído no circuito, as tensões e as energias dos
capacitores serão funções contínuas, isto é
( ) ( ) ( ) ( )++−− +=+ 022011022011 vCvCvCvC
( ) ( ) ( ) ( )++−− +=+ 02010201 qqqq
( ) ( )
( ) ( )+−
+−
=
=
00
00
22
11
vv
vv
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Exemplo:
Antes da chave fechar:
( ) [ ]
( ) [ ]A 00
A 10
2
1
=
=
−
−
i
i ( ) ( ) [ ]
( ) ( ) [ ]J 00121
021
0
J 11221
021
0
22222
22111
iLw
iLw
=⋅⋅==
=⋅⋅==
−−
−−
t = 0
L1 = 2 H i2 (t)i1 (t) L2 = 1 H
( ) ( ) ( ) [ ]J 1000 21 www =+= −−−
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Enlace de fluxo de cada indutor:
Enlace de fluxo total:
Depois que a chave é fechada (por dualidade com o capacitor):
Quando a chave é fechada, a conservação do enlace de fluxo requer que o fluxo
total permaneça constante, portanto
( ) ( ) [ ]Wb 21200 111 =⋅==λ −− iL
( ) ( ) [ ]Wb 00100 222 =⋅==λ −− iL
( ) ( ) ( ) [ ]Wb 2000 2211 =+=λ −−− iLiL
( ) ( )++ = 00 21 ii
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )+
++−−
+=
+=+
0
0000
121
22112211
iLL
iLiLiLiL
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ou
( ) ( ) ( ) ( )
( )+
+−−
⋅=⋅+⋅
+=+
030112
000
1
1212211
i
iLLiLiL
Portanto,
( ) ( ) [ ]A 32
00 21 == ++ ii
Energia armazenada em cada indutor:
( ) ( ) [ ]
( ) ( ) [ ]J 92
32
121
021
0
J 94
32
221
021
0
22222
22111
iLw
iLw
=
⋅⋅==
=
⋅⋅==
++
++
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Energia total:
em t = 0−:
em t = 0+:
Note que 1/3 [J] foi perdido no circuito.
i1(t) muda abruptamente de 1 para 2/3 A em t = 0.
Durante um intervalo de tempo infinitesimal de 0- a 0+, o modelo matemático
adotado não é válido!!!
Quando a chave fecha em t = 0, uma corrente elevada gera uma onda
eletromagnética que irradia a energia de 1/3 J.
( ) ( ) [ ]J 32
92
94
00 21 =+=+ ++ ww
( ) ( ) [ ]J 10100 21 =+=+ −− ww
DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I
A corrente i1 muda em um pequeno intervalo de tempo (∆t ≠ 0) de 1 para 2/3 A.
Entretanto, as soluções para correntes e energias antes e depois o fechamento
da chave são corretas, embora o modelo de circuito não seja válido no instante
de fechamento desta chave.
Se um resistor em paralelo for incluído no circuito, as correntes e as energias
dos indutores serão funções contínuas.