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8/2/2019 Appunti Di Teoria Dei Segnali - Formula Rio Per l'Esame Di Teoria Dei Segnali
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Q u e s t o f o r m u l a r i o s t a t o s c r i t t o d a G i u s e p p e M o d u g n o , s t u d e n t e i n I n g e g n e r i a
E l e t t r o n i c a a l P o l i t e c n i c o d i B a r i , i n o c c a s i o n e d e l l ' e s a m e T e o r i a d e i S e g n a l i s v o l -
t o c o n i l p r o f . C a m a r d a , p e r u n a r a p i d a c o n s u l t a z i o n e d u r a n t e l a p r o v a s c r i t t a .
R a p p r e s e n t a u n a e s t r a p o l a z i o n e d e i m i e i a p p u n t i p r e s i d u r a n t e l e l e z i o n i t e n u t e d a l
p r o f . C a m a r d a n e l l ' a n n o s c o l a s t i c o 1 9 9 7 9 8 a l P o l i t e c n i c o d i B a r i .
F i n i t o d i s t a m p a r e i l 2 1 S e t t e m b r e 1 9 9 8 .
G i u s e p p e M o d u g n o
2 1 S e t t e m b r e 1 9 9 8
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P a g . I
I n d i c e
I S e g n a l i d e t e r m i n a t i 1
1 G e n e r a l i t s u i s e g n a l i d e t e r m i n a t i 2
1 . 1 S e g n a l i c o n t i n u i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1 . 1 . 1 C o n v o l u z i o n e , c o r r e l a z i o n e e d a u t o c o r r e l a z i o n e . . . . . 3
1 . 2 S e g n a l i d i s c r e t i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 S e r i e d i F o u r i e r 5
2 . 1 S e r i e d i F o u r i e r p e r s e g n a l i r e a l i . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 T r a s f o r m a t a d i F o u r i e r 8
3 . 1 P r o p r i e t d e l l a t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r . . . . . . . . . . . . . 8
3 . 2 T r a s f o r m a t a d i F o u r i e r p e r s e g n a l i r e a l i . . . . . . . . . . . . . 9
3 . 3 T r a s f o r m a t a d i F o u r i e r p e r s e g n a l i d i p o t e n z a . . . . . . . . . 1 0
3 . 3 . 1 S e g n a l i p e r i o d i c i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0
4 S i s t e m i d i t r a s f o r m a z i o n e d i s e g n a l i 1 1
4 . 1 G e n e r a l i t s u i s i s t e m i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1
4 . 2 S i s t e m i l i n e a r i t e m p o - i n v a r i a n t i . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2
4 . 3 S i s t e m i l i n e a r i d i s c r e t i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3
5 C a m p i o n a m e n t o 1 4
6 A u t o c o r r e l a z i o n e 1 6
6 . 1 S e g n a l i d i e n e r g i a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6
6 . 2 S e g n a l i d i p o t e n z a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7
6 . 3 S e g n a l i p e r i o d i c i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8
7 F - t r a s f o r m a t a p e r s e g n a l i d i s c r e t i 2 0
7 . 1 S e g n a l i d i e n e r g i a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0
7 . 2 C a s o p a r t i c o l a r e d i s e g n a l i d i p o t e n z a : s e g n a l i p e r i o d i c i . . . . 2 1
8 T r a s f o r m a t a d i H i l b e r t 2 2
A p p u n t i d i T e o r i a d e i S e g n a l i
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I N D I C E P a g . I I
I I S e g n a l i a l e a t o r i 2 3
9 P r o c e s s i s t o c a s t i c i 2 4
9 . 1 P r o c e s s i s t a z i o n a r i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4
9 . 2 E r g o d i c i t d i u n p r o c e s s o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5
9 . 3 F i l t r a g g i o d i u n p r o c e s s o s t o c a s t i c o s t a z i o n a r i o . . . . . . . . . 2 6
1 0 C a t e n e d i M a r k o v 2 7
1 0 . 1 C a t e n e d i M a r k o v t e m p o - d i s c r e t e . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7
1 0 . 2 C a t e n e d i M a r k o v t e m p o - c o n t i n u e . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9
I I I T r a s m i s s i o n e d e l s e g n a l e 3 1
1 1 C o d i c a d i c a n a l e 3 2
1 1 . 1 G e n e r a l i t s u l l a c o d i c a d e l c a n a l e . . . . . . . . . . . . . . . 3 2
1 1 . 2 C o d i c a a r i p e t i z i o n e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4
1 1 . 3 C o d i c a a c o n t r o l l o d i p a r i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5
1 2 Q u a n t i z z a z i o n e 3 7
1 3 T r a s m i s s i o n e d i u n s e g n a l e 3 9
1 3 . 1 C a m p i o n a t o r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0
1 3 . 2 S e g n a l i a b a n d a n o n l i m i t a t a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1
1 3 . 3 F i l t r o p a s s a - b a s s o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1
1 3 . 4 I n t e r p o l a t o r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2
1 4 I l s e g n a l e t e l e f o n i c o 4 3
1 5 C o d i c a d e l l e s o r g e n t i d i s c r e t e 4 7
1 6 M o d u l a z i o n e 5 1
1 6 . 1 M o d u l a z i o n e d i a m p i e z z a A M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2
1 6 . 1 . 1 D S B - S C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2
1 6 . 1 . 2 S S B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4
1 6 . 1 . 3 V S B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5
1 6 . 1 . 4 A M s t a n d a r d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5
1 6 . 2 M o d u l a z i o n e i n f r e q u e n z a F M e i n f a s e F M . . . . . . . . . . . . 5 6
1 7 R u m o r e 5 8
1 7 . 1 C a r a t t e r i s t i c h e d e l r u m o r e t e r m i c o . . . . . . . . . . . . . . . 5 8
1 7 . 2 F i l t r a g g i o d e l r u m o r e a t t r a v e r s o u n S L I . . . . . . . . . . . . . 5 9
A p p u n t i d i T e o r i a d e i S e g n a l i
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I N D I C E P a g . I I I
1 7 . 3 C i f r a d i r u m o r e e t e m p e r a t u r a e q u i v a l e n t e d i r u m o r e . . . . . 6 0
1 7 . 4 L ' a t t e n u a t o r e r e s i s t i v o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1
1 7 . 5 C i r c u i t i r u m o r o s i i n c a s c a t a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1
1 8 R u m o r e n e l l a m o d u l a z i o n e 6 2
1 8 . 1 R u m o r e n e l l a m o d u l a z i o n e A M D S B - S C . . . . . . . . . . . . . . 6 3
1 8 . 2 R u m o r e n e l l a m o d u l a z i o n e A M S S B . . . . . . . . . . . . . . . . 6 4
1 8 . 3 R u m o r e n e l l a m o d u l a z i o n e A M s t a n d a r d . . . . . . . . . . . . . 6 5
1 8 . 4 R u m o r e n e l l a m o d u l a z i o n e F M . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6
1 9 T e o r i a d e l l e c o d e 6 8
1 9 . 1 C o d a M M 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 9
1 9 . 2 C o d a M M 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0
I V A p p e n d i c i 7 1
A S e g n a l i d e t e r m i n a t i 7 2
A . 1 S e g n o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2
A . 2 G r a d i n o u n i t a r i o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2
A . 3 R e t t a n g o l o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3
A . 4 E s p o n e n z i a l e d e c r e s c e n t e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3
A . 5 S e n o c a r d i n a l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4
A . 6 I m p u l s o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4
A . 7 S e n o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 5
A . 8 C o s e n o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 6
B C o n v o l u z i o n i i m p o r t a n t i 7 7
B . 1 R e t t a n g o l o - r e t t a n g o l o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7
B . 1 . 1 D u e r e t t a n g o l i u g u a l i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 8
B . 2 R e t t a n g o l o - e s p o n e n z i a l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 8
C D i s t r i b u z i o n i c o n t i n u e 7 9
C . 1 D i s t r i b u z i o n e g a u s s i a n a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 9
C . 2 D i s t r i b u z i o n e e s p o n e n z i a l e n e g a t i v a . . . . . . . . . . . . . . . 8 0
D P r o c e s s i i m p o r t a n t i 8 2
D . 1 P r o c e s s o d i B e r n o u l l i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2
D . 1 . 1 P a s s e g g i a t a c a s u a l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2
D . 2 P r o c e s s o d i P o i s s o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3
D . 2 . 1 P r o c e s s o t e l e g r a c o c a s u a l e . . . . . . . . . . . . . . . 8 3
A p p u n t i d i T e o r i a d e i S e g n a l i
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P a g . 1
P a r t e I
S e g n a l i d e t e r m i n a t i
A p p u n t i d i T e o r i a d e i S e g n a l i
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P a g . 2
C a p i t o l o 1
G e n e r a l i t s u i s e g n a l i d e t e r m i n a t i
U n s e g n a l e d e t e r m i n a t o u n a f u n z i o n e c h e a s s u m e v a l o r i b e n p r e c i s i e n o t i
n e l d o m i n i o d i d e n i z i o n e . E s i s t o n o d u e t i p i d i s e g n a l i d e t e r m i n a t i a s e c o n d a
d e l c a m p o d i e s i s t e n z a :
s e g n a l i c o n t i n u i i l c u i i n s i e m e d i d e n i z i o n e u n i n t e r v a l l o o t u t t o l ' a s s e
r e a l e d a n o n c o n f o n d e r e c o n u n a f u n z i o n e c o n t i n u a ;
s e g n a l i d i s c r e t i i l c u i i n s i e m e d i d e n i z i o n e f o r m a t o d a i s t a n t i d i t e m p o
d i s c r e t i , e q u a m e n t e i n t e r v a l l a t i .
I n o l t r e , u n s e g n a l e d e t e r m i n a t o p u e s s e r e a v a l o r i d i s c r e t i o a v a l o r i
c o n t i n u i : n e l p r i m o c a s o , i l s e g n a l e p u a s s u m e r e , i n t u t t i g l i i s t a n t i d e l l ' i n -
s i e m e d i d e n i z i o n e , s o l o v a l o r i d i s c r e t i a n c h e i n n i t i ; n e l s e c o n d o c a s o , i l
s e g n a l e p u a s s u m e r e u n q u a l s i a s i v a l o r e i n u n i n t e r v a l l o o i n t u t t o l ' i n s i e m e
d e i n u m e r i r e a l i .
1 . 1 S e g n a l i c o n t i n u i
S i a s t u n s e g n a l e c o n t i n u o d e n i t o s u t u t t o l ' a s s e r e a l e a v a l o r i c o m p l e s s i
o r e a l i .
P e r i s e g n a l i c o n t i n u i s i p o s s o n o d e n i r e a l c u n i i n d i c i c a r a t t e r i s t i c i :
a r e a A =
Z
+ 1
, 1
s t d t
v a l o r m e d i o M = l i m
T ! 1
1
2 T
Z
+ T
, T
s t d t
e n e r g i a E
s
=
Z
+ 1
, 1
js t
j
2
d t
A p p u n t i d i T e o r i a d e i S e g n a l i
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C a p . 1 G e n e r a l i t s u i s e g n a l i d e t e r m i n a t i P a g . 4
1 . 2 S e g n a l i d i s c r e t i
I s e g n a l i d i s c r e t i s o n o d e n i t i s o l o i n a l c u n i i s t a n t i b e n p r e c i s i e d i s t a n z i a t i
f r a l o r o d i u n a q u a n t i t c o s t a n t e , d e t t a p e r i o d o . S i m b o l i c a m e n t e u n s e g n a l e
d i s c r e t o r a p p r e s e n a t o d a s n T , d o v e T i l p e r i o d o e d n u n n u m e r o i n t e r o
r e l a t i v o q u a l s i a s i . U n s e g n a l e d i s c r e t o a s s u m e u n v a l o r e d e n i t o s o l o n e g l i
i s t a n t i d i t e m p o n T ; n e g l i a l t r i i s t a n t i , i l s e g n a l e i n u n o s t a t o i n d e n i t o .
G e n e r a l m e n t e i l p e r i o d o T d i u n s e g n a l e d i s c r e t o v i e n e c o n s i d e r a t o u n i t a r i o .
A n c h e p e r i s e g n a l i d i s c r e t i p o s s i b i l e d e n i r e a l c u n i i n d i c i c a r a t t e r i z z a n -
t i :
a r e a A =
+ 1
X
n = , 1
T s n t
v a l o r m e d i o M = l i m
N ! + 1
1
2 N + 1 T
+ N
X
n = , N
T s n t
e n e r g i a E
s
=
+ 1
X
n = , 1
T j s n T j
2
p o t e n z a P
s
= l i m
N ! + 1
1
2 N + 1 T
+ N
X
n = , N
T j s n T j
2
p o s s i b i l e d e n i r e , a n c h e p e r i s e g n a l i d i s c r e t i , l ' o p e r a z i o n e d i c o n v o l u -
z i o n e e q u i n d i d i c o r r e l a z i o n e e d a u t o c o r r e l a z i o n e . D a t i d u e s e g n a l i d i s c r e t i ,
x n T e y n T , l a c o n v o l u z i o n e f r a q u e s t i i l s e g n a l e z n T c o s d e n i t o :
z n T = x n T ? y n T =
+ 1
X
k = , 1
T x k T y n T , k T
A p p u n t i d i T e o r i a d e i S e g n a l i
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P a g . 5
C a p i t o l o 2
S e r i e d i F o u r i e r
S i a x t u n s e g n a l e d e t e r m i n a t o e c o n t i n u o c o n l e s e g u e n t i c a r a t t e r i s t i c h e :
p e r i o d i c o d i p e r i o d o T x t + T = x t 8 t 2 R ;
i n t e g r a b i l e n e l l ' i n t e r o p e r i o d o ;
d o t a t o d i u n n u m e r o n i t o d i p u n t i d i d i s c o n t i n u i t d i t e r z a s p e c i e .
I n q u e s t e i p o t e s i , s i p u d i m o s t r a r e c h e i l s e g n a l e x t p u e s s e r e s v i -
l u p p a t o c o m e s o m m a d i i n n i t e a r m o n i c h e d i f r e q u e n z a m u l t i p l a a q u e l l a
f o n d a m e n t a l e : x t =
+ 1
X
n = , 1
X
n
e
j 2 f
n
t
c o n f
n
=
n
T
.
A l v a r i a r e d i n , s i o t t e n g o n o i n n i t i c o e c i e n t i X
n
, i l c u i i n s i e m e v i e n e
d e t t o s p e t t r o d i a m p i e z z a c o m p l e s s a . E s s i p o s s o n o e s s e r e c a l c o l a t i m e d i a n t e
l a s e g u e n t e i n t e g r a z i o n e :
X
n
=
1
T
Z
T = 2
, T = 2
x t e
, j 2 f
n
t
d t
L a d e s c r i z i o n e d e l s e g n a l e p e r i o d i c o i n t e r m i n i d i t e m p o s i d i c e c o m u -
n e m e n t e n e l d o m i n i o d e l t e m p o e s a t t a m e n t e e q u i v a l e n t e a l l a d e s c r i z i o n e
i n t e r m i n i d i c o e c i e n t i d e l l a s e r i e d i F o u r i e r d o m i n i o d e l l e f r e q u e n z e . I n
d e n i t i v a , p o s s i b i l e p a s s a r e u n i v o c a m e n t e e s e n z a a m b i g u i t , d a l s e g n a l e
x t p e r i o d i c o a l l o s p e t t r o d i a m p i e z z a c o m p l e s s a f X
n
g . P e r q u e s t o m o t i v o
s i u t i l i z z e r l a s e g u e n t e s i m b o l o g i a p e r i n d i c a r e l ' a s s o c i a z i o n e , m e d i a n t e l o
s v i l u p p o i n s e r i e d i F o u r i e r , d e i c o e c i e n t i X
n
a l s e g n a l e x t : x t ! X
n
.
D a t a l ' e q u i v a l e n z a f r a i l s e g n a l e n e l d o m i n i o d e l t e m p o , m e d i a n t e l a r e -
l a z i o n e f u n z i o n a l e x t , e n e l d o m i n i o d e l l a f r e q u e n z a , m e d i a n t e i c o e c i e n t i
d e l l o s v i l u p p o i n s e r i e d i F o u r i e r X
n
, i n t u i t i v o p e n s a r e c h e l a p o t e n z a d e l
A p p u n t i d i T e o r i a d e i S e g n a l i
-
8/2/2019 Appunti Di Teoria Dei Segnali - Formula Rio Per l'Esame Di Teoria Dei Segnali
11/88
C a p . 2 S e r i e d i F o u r i e r P a g . 6
s e g n a l e p o s s a e s s e r e c a l c o l a t a c o n o s c e n d o s o l o q u e s t i u l t i m i . E e t t i v a m e n t e
v a l e l a s e g u e n t e r e l a z i o n e :
P
x
=
1
T
Z
T = 2
, T = 2
j x t j
2
d t =
+ 1
X
n = , 1
j X
n
j
2
Q u e s t a f o r m u l a s o g g e t t a a d u n a i n t e r e s s a n t e i n t e r p r e t a z i o n e : l a q u a n -
t i t e l e m e n t a r e d e l l a p r e c e d e n t e s o m m a t o r i a j X
n
j
2
r a p p r e s e n t a l a p o t e n z a
a s s o c i a t a a l l a s i n g o l a a r m o n i c a e l e m e n t a r e X
n
e
j 2 f
n
t
.
L a s e r i e d i F o u r i e r g o d e d i a l c u n e p r o p r i e t :
; S e x t ! X
n
, a l l o r a y t = a x t ! Y
n
= a X
n
; S e x t ! X
n
e y t ! Y
n
, a l l o r a z t = x t + y t ! Z
n
=
X
n
+ Y
n
; S e x t ! X
n
, a l l o r a y t = x
?
t ! Y
n
= X
?
, n
; S e x t ! X
n
, a l l o r a y t = x t , t
0
! Y
n
= X
n
e
, j 2 f
n
t
0
; S e x t
!X
n
, a l l o r a y t = x
,t
!Y
n
= X
, n
; S e x t ! X
n
e y t ! Y
n
, a l l o r a z t = x t ? y t ! Z
n
= X
n
Y
n
; S e x t ! X
n
e y t ! Y
n
, a l l o r a z t = x t y t ! Z
n
= X
n
? Y
n
2 . 1 S e r i e d i F o u r i e r p e r s e g n a l i r e a l i
S e i l s e g n a l e p e r i o d i c o x t r e a l e , i c o e c i e n t i d e l l a s e r i e d i F o u r i e r p r e -
c e d e n t e m e n t e i n t r o d o t t a p o s s o n o c o m u n q u e e s s e r e c o m p l e s s i . S i d i m o s t r a ,
p e r , c h e e s s i g o d o n o d e l l a s e g u e n t e p r o p r i e t , d e t t a s i m m e t r i a h e r m i t i a n a :
X
, n
= X
?
n
. C i v u o l d i r e c h e X
, n
= X
n
e c h e = X
, n
= , = X
n
.
f a c i l e d i m o s t r a r e c h e :
X
n
=
1
T
Z
T = 2
, T = 2
x t c o s 2 f
n
t d t
= X
n
= ,
1
T
Z
T = 2
, T = 2
x t s i n 2 f
n
t d t
I n d e n i t i v a :
X
n
=
1
T
Z
T = 2
, T = 2
x t c o s 2 f
n
t d t ,
j
T
Z
T = 2
, T = 2
x t s i n 2 f
n
t d t
A p p u n t i d i T e o r i a d e i S e g n a l i
-
8/2/2019 Appunti Di Teoria Dei Segnali - Formula Rio Per l'Esame Di Teoria Dei Segnali
12/88
C a p . 2 S e r i e d i F o u r i e r P a g . 7
N e l c a s o i n c u i i l s e g n a l e s i a p a r i , o l t r e c h e r e a l e , i c o e c i e n t i d e l l a s e r i e
d i F o u r i e r s o n o t u t t i r e a l i :
X
n
=
1
T
Z
T = 2
, T = 2
x t c o s 2 f
n
t d t =
2
T
Z
T = 2
0
x t c o s 2 f
n
t d t
A l l o s t e s s o m o d o , s i p u f a c i l m e n t e d i m o s t r a r e c h e u n s e g n a l e r e a l e e
d i s p a r i d o t a t o d i c o e c i e n t i d i F o u r i e r t u t t i i m m a g i n a r i e s i p u s c r i v e r e :
X
n
= ,
j
T
Z
T = 2
, T = 2
x t s i n 2 f
n
t d t = ,
2 j
T
Z
T = 2
0
x t s i n 2 f
n
t d t
O l t r e a l l a s e r i e d i F o u r i e r e s p o n e n z i a l e , i n c u i l e a r m o n i c h e e l e m e n t a r i
s o n o r a p p r e s e n t a t e d a l t e r m i n e e s p o n e n z i a l e e
j 2 f
n
t
, e s i s t e a n c h e , s o l o p e r i
s e g n a l i r e a l i , l a s e r i e d i F o u r i e r t r i g o n o m e t r i c a . S i p u s c r i v e r e :
x t = R
0
+ 2
+ 1
X
n = 1
R
n
c o s 2 f
n
t + 2
+ 1
X
n = 1
I
n
s i n 2 f
n
t
d o v e
R
0
=
1
T
Z
T = 2
, T = 2
x t d t
R
n
=
1
T
Z
T = 2
, T = 2
x t c o s 2 f
n
t d t
I
n
=
1
T
Z
T = 2
, T = 2
x t s i n 2 f
n
t d t
A p p u n t i d i T e o r i a d e i S e g n a l i
-
8/2/2019 Appunti Di Teoria Dei Segnali - Formula Rio Per l'Esame Di Teoria Dei Segnali
13/88
P a g . 8
C a p i t o l o 3
T r a s f o r m a t a d i F o u r i e r
S e i l s e g n a l e d e t e r m i n a t o e t e m p o - c o n t i n u o n o n p e r i o d i c o , n o n p o s s i b i l e
t r o v a r e u n o s v i l u p p o i n s e r i e d i F o u r i e r c o n v e r g e n t e a d e s s o . P e r s t u d i a r n e
i l c o n t e n u t o i n f r e q u e n z a s i u t i l i z z a , q u i n d i , l a t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r , c h e h a
m o l t e c a r a t t e r i s t i c h e s i m i l i a l l a s e r i e .
D a t o u n s e g n a l e x t d i e n e r g i a p o s s i b i l e d i m o s t r a r e l a s e g u e n t e r e l a -
z i o n e :
x t =
Z
+ 1
, 1
X f e
j 2 f t
d f d o v e : X f =
Z
+ 1
, 1
x t e
, j 2 f t
d t
M e d i a n t e l a s e c o n d a e q u a z i o n e p o s s i b i l e o t t e n e r e l a t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r
X f c o n o s c e n d o n e i l s u o a n d a m e n t o t e m p o r a l e x t ; m e d i a n t e l a p r i m a
e q u a z i o n e p o s s i b i l e , i n v e c e , a n t i t r a f o r m a r e e c i o o t t e n e r e l ' a n d a m e n t o n e l
d o m i n i o d e l t e m p o x t d e l s e g n a l e , c o n o s c e n d o n e l a t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r
X f . Q u e s t e o p e r a z i o n i s o n o p o s s i b i l i u n i v o c a m e n t e e s e n z a a m b i g u i t d a t o
c h e l a d e s c r i z i o n e d e l s e g n a l e i n t e r m i n i d i r e l a z i o n e t e m p o r a l e e d i n t e r m i n i
d i t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r p e r f e t t a m e n t e e q u i v a l e n t e .
L ' e n e r g i a d e l s e g n a l e p u q u i n d i e s s e r e c a l c o l a t a s i a m e d i a n t e l ' e s p r e s s i o n e
d i x t , s i a m e d i a n t e l ' e s p r e s s i o n e d i X f :
E
x
=
Z
+ 1
, 1
j x t j
2
d t =
Z
+ 1
, 1
j X f j
2
d f
3 . 1 P r o p r i e t d e l l a t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r
L e p r o p r i e t d i c u i g o d e l a t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r s o n o m o l t o i m p o r t a n t i
i n q u a n t o , m e d i a n t e i l l o r o o p p o r t u n o u t i l i z z o , p o s s i b i l e c a l c o l a r e l a t r a -
s f o r m a t a d i F o u r i e r d i u n q u a l s i a s i s e g n a l e c o m p l e s s o a p a r t i r e d a s e g n a l i
e l e m e n t a r i .
A p p u n t i d i T e o r i a d e i S e g n a l i
-
8/2/2019 Appunti Di Teoria Dei Segnali - Formula Rio Per l'Esame Di Teoria Dei Segnali
14/88
C a p . 3 T r a s f o r m a t a d i F o u r i e r P a g . 9
; d e l v a l o r e i n i z i a l e S e x t ! X f , a l l o r a x t j
t = 0
= x 0 =
Z
+ 1
, 1
X f d f
e X f j
f = 0
= X 0 =
Z
+ 1
, 1
x t d t
; l i n e a r i t S e x t ! X f e y t ! Y f , a l l o r a s t = a x t +
b y t
!S f = a X f + b Y f
; t r a s l a z i o n e t e m p o r a l e S e x t ! X f , a l l o r a y t = x t , t
0
!
Y f = X f e
, j 2 f t
0
; t r a s l a z i o n e i n f r e q u e n z a S e x t ! X f , a l l o r a y t = x t e
j 2 f
0
t
!
Y f = X f , f
0
; d u a l i t S e x t ! X f , a l l o r a y t = X t ! Y f = x , f
; d i s c a l a S e x t ! X f a l l o r a y t = x a t ! Y f =
1
j a j
X
f
a
c o n
a 6= 0
; d e r i v a z i o n e S e x t ! X f , a l l o r a y t =
d x t
d t
! Y f = j 2 f X f
; i n t e g r a z i o n e S e x t ! X f , a l l o r a y t =
Z
t
, 1
x d ! Y f =
X 0
2
f +
X f
j 2 f
; c o n i u g a t o S e x t ! X f , a l l o r a y t = x
?
t ! Y f = X
?
, f
; c o n v o l u z i o n e S e x t ! X f e y t ! Y f , a l l o r a z t = x t ?
y t
!Z f = X f Y f
; p r o d o t t o S e x t ! X f e y t ! Y f , a l l o r a z t = x t y t !
Z f = X f ? Y f
3 . 2 T r a s f o r m a t a d i F o u r i e r p e r s e g n a l i r e a l i
S e i l s e g n a l e x t r e a l e , l a s u a t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r p u e s s e r e a n c o r a
c o m p l e s s a , m a e s s a g o d e d e l l a s i m m e t r i a h e r m i t i a n a :
X , f = X
?
f X , f = X f e = X , f = , = X f
N e l s o l o c a s o i n c u i i l s e g n a l e x t f o s s e r e a l e e p a r i , a l l o r a l a t r a s f o r m a t a
d i F o u r i e r s a r e b b e r e a l e e a n c h ' e s s a p a r i .
A p p u n t i d i T e o r i a d e i S e g n a l i
-
8/2/2019 Appunti Di Teoria Dei Segnali - Formula Rio Per l'Esame Di Teoria Dei Segnali
15/88
C a p . 3 T r a s f o r m a t a d i F o u r i e r P a g . 1 0
Q u e s t o v u o l d i r e c h e l a r a p p r e s e n t a z i o n e d e l l a s e r i e d i F o u r i e r s u u n g r a c o
p u a v v e n i r e s o l o n e l c a s o i n c u i i l s e g n a l e s i a r e a l e e p a r i .
A l l o s t e s s o m o d o , s i p u d i m o s t r a r e c h e s e i l s e g n a l e x t f o s s e r e a l e e
d i s p a r i , l a t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r s a r e b b e p u r a m e n t e i m m a g i n a r i a e a n c h ' e s s a
d i s p a r i .
3 . 3 T r a s f o r m a t a d i F o u r i e r p e r s e g n a l i d i p o -
t e n z a
L ' e s i s t e n z a d e l l a t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r g a r a n t i t a s o l o p e r s e g n a l i d i e n e r g i a .
C o m u n q u e , p o s s i b i l e d e n i r e u n a t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r a n c h e p e r s e g n a l i
d i p o t e n z a u t i l i z z a n d o i l f o r m a l i s m o m a t e m a t i c o i n t r o d o t t o d a l l a f u n z i o n e
i m p u l s i v a t .
3 . 3 . 1 S e g n a l i p e r i o d i c i
A n c h e p e r i s e g n a l i p e r i o d i c i s i p u d e n i r e u n a t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r s t r e t -
t a m e n t e l e g a t a a l l a s e r i e d i F o u r i e r . S i a x t u n s e g n a l e p e r i o d i c o d i p e r i o d o
T
0
:
x t + T
0
= x t 8 t
L o s v i l u p p o i n s e r i e d i F o u r i e r p e r m e t t e d i s c r i v e r e i l s e g n a l e x t c o m e
s o m m a d i a r m o n i c h e e l e m e n t a r i :
x t =
+ 1
X
n = , 1
X
n
e
j 2 f
n
t
Q u i n d i l a t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r d e l s e g n a l e :
X f =
+ 1
X
n = , 1
X
n
f , f
n
L a t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r d i u n s e g n a l e p e r i o d i c o q u i n d i s e m p l i c e m e n t e
u n t r e n o d i i m p u l s i l a c u i a r e a c o i n c i d e c o n i c o e c i e n t i d e l l a s e r i e d i F o u r i e r .
I n o l t r e , s i a x
T
t i l s e g n a l e x t r i s t r e t t o a d u n p e r i o d o , c o s d e n i t o :
x
T
t =
x t j t j
T
2
0 a l t r o v e
L a t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r X
T
f d i q u e s t o s e g n a l e l e g a t o a l s e g n a l e x t
p e r i o d i c o i n q u a n t o :
X
T
f j
f = f
n
= X
T
f
n
= T X
n
A p p u n t i d i T e o r i a d e i S e g n a l i
-
8/2/2019 Appunti Di Teoria Dei Segnali - Formula Rio Per l'Esame Di Teoria Dei Segnali
16/88
P a g . 1 1
C a p i t o l o 4
S i s t e m i d i t r a s f o r m a z i o n e d i
s e g n a l i
4 . 1 G e n e r a l i t s u i s i s t e m i
U n s i s t e m a d i t r a s f o r m a z i o n e d i u n s e g n a l e u n q u a l s i a s i o g g e t t o r e a l e o
t e o r i c o c h e t r a s f o r m a u n s e g n a l e i n i n g r e s s o x t i n u n s e g n a l e i n u s c i t a y t ,
m e d i a n t e l a t r a s f o r m a z i o n e y t = T
C
x t . P e r c a r a t t e r i z z a r e u n i v o c a m e n t e
u n s i s t e m a d i t r a s f o r m a z i o n e , s a r n e c e s s a r i o s p e c i c a r e s e m p l i c e m e n t e l a
f u n z i o n e d i t r a s f o r m a z i o n e T
C
.
U n s i s t e m a d i t r a s f o r m a z i o n e d i u n s e g n a l e t u t t ' a l t r o c h e u n a e n t i t
a s t r a t t a : e s s o t r o v a n u m e r o s i r i s c o n t r i p r a t i c i i n m o l t i c i r c u i t i e s t r u m e n t i
e l e t t r o n i c i . N o n s i e n t r e r n e i d e t t a g l i s u c o m e s i a p o s s i b i l e , e l e t t r o n i c a m e n t e ,
l a t r a s f o r m a z i o n e d e l s e g n a l e o p e r a t a d a l s i s t e m a , m a s i c o n s i d e r e r i l s i s t e m a
a l i v e l l o s u p e r i o r e c o m e u n a b l a c k - b o x d i c u i s i c o n o s c o n o s o l o g l i e e t t i e
c i o i l t i p o d i t r a s f o r m a z i o n e . P e r q u e s t o , l ' o p e r a z i o n e d i t r a s f o r m a z i o n e d e l
s e g n a l e x t n e l s e g n a l e y t r a p p r e s e n t a t a n e l l a g u r a s e g u e n t e e s i s c r i v e r :
x t
, !y t
y(t)x(t)T
C
A s e c o n d a d e l t i p o d i t r a s f o r m a z i o n e T
C
t i p i c a d e l s i s t e m a , e s s o p u
d e n i r s i i n v a r i m o d i :
s i s t e m a l i n e a r e q u a n d o l a f u n z i o n e d i t r a s f o r m a z i o n e T
C
g o d e c o n t e m -
p o r a n e a m e n t e d e l l a p r o p r i e t a d d i t i v a e d i o m o g e n e i t , c i o :
T
C
x t + y t = T
C
x t + T
C
y t
A p p u n t i d i T e o r i a d e i S e g n a l i
-
8/2/2019 Appunti Di Teoria Dei Segnali - Formula Rio Per l'Esame Di Teoria Dei Segnali
17/88
C a p . 4 S i s t e m i d i t r a s f o r m a z i o n e d i s e g n a l i P a g . 1 2
T
C
a x t = a T
C
x t
L a v e r i c a d e l l e p r e c e d e n t i d u e p r o p r i e t p u e s s e r e f a t t a e q u i v a l e n t e -
m e n t e m e d i a n t e l a s e g u e n t e :
T
C
a x t + b y t = a T
C
x t + b T
C
y t
s i s t e m a t e m p o i n v a r i a n t e q u a n d o l ' e e t t o d e l s i s t e m a n o n c a m b i a c o l
t e m p o . F o r m a l m e n t e q u e s t a p r o p r i e t p u e s s e r e v e r i c a t a n e l s e g u e n t e
m o d o . S e x t , ! y t , a l l o r a T
C
x t , = y t , .
s i s t e m a s t a b i l e q u a n d o o g n i s e g n a l e x t i n i n g r e s s o l i m i t a t o , s i t r a s f o r m a
i n u n s e g n a l e y t i n u s c i t a a n c h ' e s s o l i m i t a t o .
s i s t e m a c a u s a l e q u a n d o l a r i s p o s t a d e l s i s t e m a a l l ' i s t a n t e t d i p e n d e s o l -
t a n t o d a i v a l o r i d e l s e g n a l e i n i n g r e s s o a l l ' i s t a n t e t e o n e g l i i s t a n t i
p r e c e d e n t i .
s i s t e m a s e n z a m e m o r i a q u a n d o l a r i s p o s t a d e l s i s t e m a a l l ' i s t a n t e d i t e m -
p o t d i p e n d e d a l v a l o r e d e l l ' i n g r e s s o a l m e d e s i m o i s t a n t e e n o n d a g l i
i s t a n t i p r e c e d e n t i .
s i s t e m a i n v e r t i b i l e q u a n d o , c o n o s c e n d o l a r i s p o s t a f o r n i t a d a l s i s t e m a ,
p o s s i b i l e r i c a v a r n e s e n z a a m b i g u i t i l s e g n a l e i n i n g r e s s o .
4 . 2 S i s t e m i l i n e a r i t e m p o - i n v a r i a n t i
M o l t o i m p o r t a n t i r i s u l t a n o i s i s t e m i l i n e a r i e t e m p o - i n v a r i a n t i S L I . P e r
q u e s t i , l a r i s p o s t a a l l ' i m p u l s o h t c a r a t t e r i z z a c o m p l e t a m e n t e i l s i s t e m a .
t , ! h t
I n f a t t i , s i p u d i m o s t r a r e c h e l a r i s p o s t a y t a d u n q u a l s i a s i s e g n a l e i n i n -
g r e s s o x t p u e s s e r e c a l c o l a t a c o n o s c e n d o s o l t a n t o l a r i s p o s t a a l l ' i m p u l s o
m e d i a n t e l a s e g u e n t e f o r m u l a :
y t = x t ? h t =
Z
+ 1
, 1
x h t , d
I n f r e q u e n z a , s i p u s u b i t o d i m o s t r a r e c h e :
Y f = X f H f
A p p u n t i d i T e o r i a d e i S e g n a l i
-
8/2/2019 Appunti Di Teoria Dei Segnali - Formula Rio Per l'Esame Di Teoria Dei Segnali
18/88
C a p . 4 S i s t e m i d i t r a s f o r m a z i o n e d i s e g n a l i P a g . 1 3
d o v e X f , Y f e H f s o n o l e t r a s f o r m a t e d i F o u r i e r r i s p e t t i v a m e n t e d e l
s e g n a l e i n i n g r e s s o x t , d e l l a r i s p o s t a a l l ' i m p u l s o h t e d e l s e g n a l e i n u s c i t a
y t .
S i p u , i n o l t r e , d i m o s t r a r e c h e u n S L I c h e s i a c a u s a l e d o t a t o d i u n a
r i s p o s t a a l l ' i m p u l s o h t c h e s o d d i s f a l a s e g u e n t e r e l a z i o n e :
h t = 0 8 t 0
I n o l t r e l a c o n d i z i o n e d i s t a b i l i t d i u n S L I e q u i v a l e a l l a a s s o l u t a i n t e g r a -
b i l i t d e l l a r i s p o s t a a l l ' i m p u l s o :
s i s t e m a s t a b i l e
Z
+ 1
, 1
j h t j d t + 1
I n n e , u n s i s t e m a l i n e a r e t e m p o - i n v a r i a n t e c h e a b b i a u n a r i s p o s t a a l l ' i m -
p u l s o h t r e a l e e c h e s i a c a u s a l e , s i d i c e s i c a m e n t e r e a l i z z a b i l e . S i d i c e
i d e a l m e n t e r e a l i z z a b i l e s e h t r e a l e .
4 . 3 S i s t e m i l i n e a r i d i s c r e t i
L e s t e s s e c o n s i d e r a z i o n i f a t t e p e r u n s i s t e m a p e r s e g n a l i c o n t i n u i p o s s o n o
r i f a r s i p e r u n s i s t e m a p e r s e g n a l i d i s c r e t i . L a f u n z i o n e d i t r a s f o r m a z i o n e
T
D
v i e n e a p p l i c a t a a s e g n a l e d i s c r e t i x n T d e n i t i n e g l i i s t a n t i d i t e m p o
d i s c r e t i n T .
A n c h e i s i s t e m i d i s c r e t i p o s s o n o c l a s s i c a r s i i n : l i n e a r i , t e m p o - i n v a r i a n t i ,
s t a b i l i , s i c a m e n t e r e a l i z z a b i l i , e c c .
S i p u d e n i r e p e r i s i s t e m i l i n e a r i t e m p o - i n v a r i a n t i l a r i s p o s t a a l l ' i m p u l s o
h n T e s i p u d i m o s t r a r e c h e :
y n T = x n T ? h n T =
+ 1
X
k = , 1
x k T h n , k T T
Q u i n d i , a n c h e p e r i s i s t e m i l i n e a r i t e m p o - i n v a r i a n t i d i s c r e t i l a r i s p o s t a a l -
l ' i m p u l s o h n T c a r a t t e r i z z a n t e i l s i s t e m a .
S e i l S L I c a u s a l e , s i p u d i m o s t r a r e c h e h n T = 0 8 n 0 .
A p p u n t i d i T e o r i a d e i S e g n a l i
-
8/2/2019 Appunti Di Teoria Dei Segnali - Formula Rio Per l'Esame Di Teoria Dei Segnali
19/88
P a g . 1 4
C a p i t o l o 5
C a m p i o n a m e n t o
I l c a m p i o n a m e n t o u n a d e l l e p r i m e f a s i d u r a n t e l a t r a s m i s s i o n e i n d i g i t a l e d i
s e g n a l i s u u n a q u a l s i a s i l i n e a d i t r a s m i s s i o n e . F o n d a m e n t a l m e n t e , m e d i a n t e
q u e s t a o p e r a z i o n e , s i p r e l e v a n o d e i c a m p i o n i d i u n s e g n a l e t e m p o c o n t i n u o a d
i n t e r v a l l i r e g o l a r i d i p e r i o d o T e f r e q u e n z a f
c
=
1
T
c
e s i c o s t r u i s c e i l s e g n a l e
c a m p i o n a t o c o s d e n i t o :
s
c
t =
+ 1
X
n = , 1
s n T
c
t , n T
c
=
+ 1
X
n = , 1
s t t , n T
c
= s t
+ 1
X
n = , 1
t , n T
c
C o m e s i p u n o t a r e d a l l e p r e c e d e n t i e s p r e s s i o n i , i l s e g n a l e c a m p i o n a t o s
c
t
a l t r o n o n c h e i l p r o d o t t o f r a i l s e g n a l e s t o r i g i n a l e e d u n t r e n o d i i m p u l s i
u n i t a r i
+ 1
X
n = , 1
t , n T
c
, t u t t i a p p l i c a t i n e g l i i s t a n t i d i c a m p i o n a m e n t o .
N e l d o m i n i o d e l l a f r e q u e n z a , l a t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r d e l s e g n a l e c a m -
p i o n a t o s
c
t :
S
c
f = S f ?
1
T
c
+ 1
X
n = , 1
f ,
n
T
c
=
1
T
c
+ 1
X
n = , 1
S
f ,
n
T
c
I n d e n i t i v a , l o s p e t t r o i n f r e q u e n z a d e l s e g n a l e c a m p i o n a t o d a t o d a l l a
s o m m a d i u n o s t e s s o s p e t t r o , p a r i a q u e l l o d e l s e g n a l e d i p a r t e n z a , t r a s l a t o
n e l l e f r e q u e n z e
n
T
c
= n f
c
e a t t e n u a t o d i u n f a t t o r e T
c
.
Q u i n d i , p e r p o t e r r i c o s t r u i r e i l s e g n a l e s t d a l s e g n a l e s
c
t , b a s t a r i o t -
t e n e r e l o s p e t t r o o r i g i n a l e ; c i p o s s i b i l e e l i m i n a n d o t u t t i e c c e t t o q u e l l o
c e n t r a t o n e l l ' o r i g i n e . A n c h q u e s t a o p e r a z i o n e r i e s c a n e c e s s a r i o , p e r ,
c h e :
i l s e g n a l e s t a b b i a u n o s p e t t r o i n f r e q u e n z a l i m i t a t o , p e r e s e m p i o
n e l l ' i n t e r v a l l o , w ; + w ;
A p p u n t i d i T e o r i a d e i S e g n a l i
-
8/2/2019 Appunti Di Teoria Dei Segnali - Formula Rio Per l'Esame Di Teoria Dei Segnali
20/88
C a p . 5 C a m p i o n a m e n t o P a g . 1 5
l a f r e q u e n z a d i c a m p i o n a m e n t o s i a a l m e n o p a r i a l d o p p i o d i w .
A q u e s t o p u n t o , p e r r i o t t o n e r e i l s e g n a l e s t p a r t e n d o d a l s e g n a l e s
c
t ,
b a s t a m o l t i p l i c a r e i n f r e q u e n z a S
c
f c o n u n r e t t a n g o l o l t r o p a s s a - b a s s o
i n m o d o d a e l i m i n a r e g l i s p e t t r i s u p e r u i . L a f r e q u e n z a d i t a g l i o f
s
d e l l t r o ,
d e v e e s s e r e m a g g i o r e d i w p e r e v i t a r e d i t a g l i a r e a n c h e l o s p e t t r o o r i g i n a l e
e m i n o r e d i f
c
, w p e r e l i m i n a r e c o m p l e t a m e n t e g l i a l t r i s p e t t r i .
w f
s
f
c
, w
D o p o q u e s t a o p e r a z i o n e s i o t t i e n e i l s e g n a l e r i c o s t r u i t o s
r
t c h e , n e l l e
i p o t e s i p r e c e d e n t e m e n t e f a t t e , c o i n c i d e p e r f e t t a m e n t e c o n i l s e g n a l e o r i g i n a l e
s t :
s
r
t ! S
r
f = S
c
f T
c
r e c t
f
2 f
s
D a l l a f o r m u l a p r e c e d e n t e , a n t i t r a s f o r m a n d o , s i o t t i e n e l ' e s p r e s s i o n e n e l t e m -
p o d e l s e g n a l e r i c o s t r u i t o s
r
t a p a r t i r e d a i c a m p i o n i s n T
c
:
s
r
t = 2 f
s
T
c
+ 1
X
n = , 1
s n T
c
s i n c 2 f
s
t , n T
c
L a p r e c e d e n t e f o r m u l a c o n o s c i u t a c o m e t e o r e m a d e l c a m p i o n a m e n t o .
N e l c a s o i n c u i l a f r e q u e n z a d i c a m p i o n a m e n t o f o s s e p r o p r i o i l d o p p i o d e l l a
s e m i a m p i e z z a d i b a n d a d e l s e g n a l e c i o f
c
= 2 w , n e l l e c o s i d d e t t e i p o t e s i d i
N y q u i s t , i l t e o r e m a d e l c a m p i o n a m e n t o p r e n d e q u e s t o a s p e t t o :
s
r
t =
+ 1
X
n = , 1
s
n
2 w
s i n c
h
2 w
t ,
n
2 w
i
O v v i a m e n t e , n e l l e i p o t e s i d i N y q u i s t , l a f r e q u e n z a d i t a g l i o d e l l t r o a l
r i c e v i t o r e d e v e n e c e s s a r i a m e n t e c o i n c i d e r e c o n l a m e t d e l l a f r e q u e n z a d i
c a m p i o n a m e n t o : f
s
=
f
c
2
= w .
N e l l e i p o t e s i d i c a m p i o n a m e n t o i d e a l e e q u i n d i d i s e g n a l e p e r f e t t a m e n -
t e r i c o s t r u i b i l e d a i c a m p i o n i s
r
t = s t , l a c o n o s c e n z a d e i s o l i c a m p i o n i
s n T
c
p e r m e t t e u n a d e s c r i z i o n e c o m p l e t a d i t u t t o i l s e g n a l e i n t u t t i g l i i s t a n t i
d i t e m p o . P e r e s e m p i o , p o s s i b i l e c a l c o l a r e l ' e n e r g i a d e l s e g n a l e d a l l a c o n o -
s c e n z a d e i s o l i c a m p i o n i p u r i g n o r a n d o i v a l o r i d e l s e g n a l e n e g l i a l t r i i s t a n t i
d i t e m p o , m e d i a n t e l a s e g u e n t e f o r m u l a :
E
s
=
+ 1
X
n = , 1
T
c
j s n T
c
j
2
A p p u n t i d i T e o r i a d e i S e g n a l i
-
8/2/2019 Appunti Di Teoria Dei Segnali - Formula Rio Per l'Esame Di Teoria Dei Segnali
21/88
P a g . 1 6
C a p i t o l o 6
A u t o c o r r e l a z i o n e
6 . 1 S e g n a l i d i e n e r g i a
S i a x t u n s e g n a l e a d e n e r g i a n i t a . Q u e s t a p u e s s e r e c a l c o l a t a f a c i l m e n t e
c o n l e d u e f o r m u l e s e g u e n t i , u n a n e l d o m i n i o d e l t e m p o , l ' a l t r a n e l d o m i n i o
d e l l a f r e q u e n z a :
E
x
=
Z
+ 1
, 1
j x t j
2
d t =
Z
+ 1
, 1
j X f j
2
d f
L ' u l t i m a d i q u e s t e e s p r e s s i o n i p u e s s e r e i n t e r p r e t a t a n e l s e g u e n t e m o d o : l a
q u a n t i t j X f j
2
r a p p r e s e n t a l a d e n s i t d i e n e r g i a d e l s e g n a l e p e r g a m m a d i
f r e q u e n z a . Q u e s t a d e n i z i o n e c o e r e n t e c o l n o m e d i d e n s i t d i e n e r g i a s e
s o n o v e r i c a t e e n t r a m b e l e s e g u e n t i r e l a z i o n i :
L ' e n e r g i a d e l s e g n a l e x t p u e s s e r e c a l c o l a t a d a l l a d e n s i t d i e n e r g i a
i n t e g r a n d o s u t u t t o l o s p e t t r o i n f r e q u e n z a : E
x
=
Z
+ 1
, 1
j X f j
2
d f
L ' e n e r g i a a s s o c i a t a a l s e g n a l e x t l i m i t a t a m e n t e a l l e f r e q u e n z e c o m p r e -
s e f r a f
1
e f
2
p a r i a l l ' i n t e g r a l e d e l l a d e n s i t d i e n e r g i a s u l l ' i n t e r v a l l o
d i f r e q u e n z e d i i n t e r e s s e : E
x
f
1
; f
2
=
Z
f
2
f
1
j X f j
2
d f
S i p u d i m o s t r a r e l a v a l i d i t d e l l e p r e c e d e n t i p r o p r i e t d a c u i i l n o m e d i
d e n s i t d i e n e r g i a a l l a f u n z i o n e j X f j
2
.
P o i c h l a d e n s i t d i e n e r g i a j X f j
2
d i u n s e g n a l e e n e r g e t i c o x t u n
s e g n a l e n e l d o m i n i o d e l l a f r e q u e n z a , e s s o p u e s s e r e c o n s i d e r a t o c o m e u n a
t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r d i u n s e g n a l e n e l d o m i n i o d e l t e m p o c h e s i d e n i s c e
a u t o c o r r e l a z i o n e R
x
t .
R
x
t ! j X f j
2
A p p u n t i d i T e o r i a d e i S e g n a l i
-
8/2/2019 Appunti Di Teoria Dei Segnali - Formula Rio Per l'Esame Di Teoria Dei Segnali
22/88
C a p . 6 A u t o c o r r e l a z i o n e P a g . 1 7
E s s e n d o j X f j
2
= X f X
?
f , l ' a u t o c o r r e l a z i o n e p u e s s e r e c a l c o l a t a a
p a r t i r e d i r e t t a m e n t e d a l s e g n a l e x t n e l d o m i n i o d e l t e m p o d a l l a s e g u e n t e
r e l a z i o n e :
R
x
t = x t ? x
?
,t =
Z
+ 1
, 1
x x
?
,t d
L ' a u t o c o r r e l a z i o n e g o d e d i a l c u n e i n t e r e s s a n t i p r o p r i e t :
R
x
t j
t = 0
= R
x
0 =
Z
+ 1
, 1
x x
?
d =
Z
+ 1
, 1
j x j
2
d = E
x
j R
x
t j R
x
t j
t = 0
= R
x
0 = E
x
S e i l s e g n a l e r e a l e , a l l o r a l ' a u t o c o r r e l a z i o n e e q u i n d i a n c h e l a d e n s i t
d i e n e r g i a u n s e g n a l e r e a l e e p a r i
S i a y t l ' u s c i t a d i u n S L I c o n a l l ' i n g r e s s o i l s e g n a l e x t . E s i s t e u n
l e g a m e t r a l ' a u t o c o r r e l a z i o n e d e l s e g n a l e i n i n g r e s s o e q u e l l o i n u s c i t a :
R
y
t = R
x
t ? R
h
t = R
x
t ? h t ? h , t , s u p p o n e n d o h t r e a l e .
6 . 2 S e g n a l i d i p o t e n z a
L e s t e s s e c o n s i d e r a z i o n i f a t t e p r e c e d e n t e m e n t e p e r i s e g n a l i d i e n e r g i a , p o s -
s o n o r i f a r s i a n c h e p e r i s e g n a l i d i p o t e n z a c o n o p p o r t u n e m o d i c h e . I n p a r -
t i c o l a r e , p e r i s e g n a l i d i p o t e n z a a s s i c u r a t a l a c o n v e r g e n z a d e l s e g u e n t e
i n t e g r a l e d e t t o , a p p u n t o , p o t e n z a d e l s e g n a l e :
P
x
= l i m
T ! + 1
1
T
Z
+ T = 2
, T = 2
j x t j
2
d t
Q u i n d i , i n m o d o s i m i l e a i s e g n a l i d i e n e r g i a , s i d e n i s c e a u t o c o r r e l a z i o n e d i
u n s e g n a l e d i p o t e n z a x t l a s e g u e n t e q u a n t i t :
R
x
t = l i m
T ! + 1
1
T
Z
+ T = 2
, T = 2
x x
?
,t d
Q u e s t o l i m i t e s i c u r a m e n t e c o n v e r g e p e r i s e g n a l i d i p o t e n z a .
L a t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r d e l l ' a u t o c o r r e l a z i o n e , i n d i c a t a c o n S
x
f , r a p -
p r e s e n t a , i n v e c e , l a d e n s i t d i p o t e n z a d e l s e g n a l e x t .
R
x
t ! S
x
f
Q u e s t ' u l t i m a e e t t i v a m e n t e u n a d e n s i t d i p o t e n z a d a t o c h e g o d e d e l l e
s e g u e n t i p r o p r i e t :
A p p u n t i d i T e o r i a d e i S e g n a l i
-
8/2/2019 Appunti Di Teoria Dei Segnali - Formula Rio Per l'Esame Di Teoria Dei Segnali
23/88
C a p . 6 A u t o c o r r e l a z i o n e P a g . 1 8
P
x
=
Z
+ 1
, 1
S
x
f d f
P
x
f
1
; f
2
=
Z
f 2
f 1
S
x
f d f
I n o l t r e :
R
x
t j
t = 0
= R
x
0 = P
x
E s i s t e u n l e g a m e f r a l ' a u t o c o r r e l a z i o n e d i u n s e g n a l e d i p o t e n z a e q u e l l a
d e l s e g n a l e d i e n e r g i a r i c a v a t o d a l l a s u a r e s t r i z i o n e a l l ' i n t e r v a l l o , T ; T . S i
p u d i m o s t r a r e c h e :
R
x
t = l i m
T ! + 1
R
x
T
t
T
= l i m
T ! + 1
1
T
Z
T = 2
, T = 2
x t x
?
T
t d t
d o v e :
x
T
t =
x t
jT
j T
0 a l t r o v e
6 . 3 S e g n a l i p e r i o d i c i
L e s t e s s e c o n s i d e r a z i o n i f a t t e p e r i s e g n a l i d i p o t e n z a , s o n o v a l i d e , s e n z a n e s -
s u n a m o d i c a , a n c h e p e r i s e g n a l i p e r i o d i c i c h e s o n o d e i p a r t i c o l a r i s e g n a l i d i
p o t e n z a . P o i c h q u e s t i g o d o n o d e l l a i m p o r t a n t e p r o p r i e t c h e x t + T
0
= x t
p e r u n p a r t i c o l a r e n u m e r o r e a l e T
0
d e t t o p e r i o d o , l e f o r m u l e d e l l ' a u t o c o r -
r e l a z i o n e d e n i t e p r e c e d e n t e m e n t e p e r i s e g n a l i d i p o t e n z a p o s s o n o e s s e r e
n o t e v o l m e n t e s e m p l i c a t e p e r i s e g n a l i p e r i o d i c i .
I n p a r t i c o l a r e s i p u d i m o s t r a r e c h e l ' a u t o c o r r e l a z i o n e R
x
t d i u n s e g n a l e
p e r i o d i c o x t d i p e r i o d o T
0
p u e s s e r e c a l c o l a t a n e l s e g u e n t e m o d o :
R
x
t =
1
T
0
Z
+ T
0
= 2
, T
0
= 2
x x
?
,t d
e v i t a n d o , c o s , l ' o p e r a z i o n e d i l i m i t e .
D a t o c h e u n s e g n a l e p e r i o d i c o x t d e s c r i v i b i l e i n t o t o d a i s u o i c o e f -
c i e n t i d e l l a s e r i e d i F o u r i e r , l e c i t o d o m a n d a r s i s e p o s s i b i l e c a l c o l a r e
l ' a u t o c o r r e l a z i o n e c o n o s c e n d o s o l o q u e s t i c o e c i e n t i . S i p u e e t t i v a m e n t e
d i m o s t r a r e l a s e g u e n t e r e l a z i o n e :
R
x
t =
+ 1
X
n = , 1
j X
n
j
2
e
j 2 f
n
t
A p p u n t i d i T e o r i a d e i S e g n a l i
-
8/2/2019 Appunti Di Teoria Dei Segnali - Formula Rio Per l'Esame Di Teoria Dei Segnali
24/88
C a p . 6 A u t o c o r r e l a z i o n e P a g . 1 9
L a d e n s i t d i p o t e n z a d i u n s e g n a l e p e r i o d i c o q u i n d i s e m p l i c e m e n t e :
S
x
f =
+ 1
X
n = , 1
j X
n
j
2
f , f
n
A p p u n t i d i T e o r i a d e i S e g n a l i
-
8/2/2019 Appunti Di Teoria Dei Segnali - Formula Rio Per l'Esame Di Teoria Dei Segnali
25/88
P a g . 2 0
C a p i t o l o 7
T r a s f o r m a t a d i F o u r i e r p e r
s e g n a l i d i s c r e t i
7 . 1 S e g n a l i d i e n e r g i a
A n c h e p e r i s e g n a l i d i s c r e t i x n T d e n i t i s o l o i n a l c u n i i s t a n t i d i t e m p o
p o s s i b i l e o t t e n e r e u n a t r a s f o r m a z i o n e i n v e r t i b i l e u n i v o c a m e n t e c h e d i a i n f o r -
m a z i o n i s u l c o n t e n u t o i n f r e q u e n z a d e l s e g n a l e . S i p u d i m o s t r a r e , a p a r t i r e
d a l l o s p e t t r o i n f r e q u e n z a d i u n s e g n a l e c a m p i o n a t o , c h e i l s e g n a l e d i s c r e t o
x n T p u s c r i v e r s i c o m e :
x n T =
Z
+ F = 2
, F = 2
X f e
j 2 f n T
d f
d o v e X f p r o p r i o l a t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r d e l s e g n a l e d i s c r e t o c h e p u
e s s e r e c a l c o l a t a n e l s e g u e n t e m o d o :
X f =
+ 1
X
n = , 1
T x n T e
, j 2 f n T
b e n e n o t a r e c o m e , p u r e s s e n d o i l s e g n a l e x n T d i s c r e t o , i l s u o c o n t e -
n u t o i n f r e q u e n z a d e s c r i t t o d a u n a t r a s f o r m a t a X f c o n t i n u a n e l d o m i n i o
d e l l a f r e q u e n z a . P e r , a d i e r e n z a d i u n a t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r d i u n s e -
g n a l e c o n t i n u o , s i p u d i m o s t r a r e c h e l a t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r d i u n s e g n a l e
d i s c r e t o p e r i o d i c a d i p e r i o d o F =
1
T
:
X f + F = X f
8f
L a t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r d i u n s e g n a l e d i s c r e t o g o d e d i p r o p r i e t d e l t u t -
t o s i m i l i a q u e l l e t i p i c h e d i u n a t r a s f o r m a t a p e r s e g n a l i c o n t i n u i . P e r e s e m p i o ,
A p p u n t i d i T e o r i a d e i S e g n a l i
-
8/2/2019 Appunti Di Teoria Dei Segnali - Formula Rio Per l'Esame Di Teoria Dei Segnali
26/88
C a p . 7 F - t r a s f o r m a t a p e r s e g n a l i d i s c r e t i P a g . 2 1
p o s s i b i l e c a l c o l a r e l ' e n e r g i a d e l s e g n a l e d i s c r e t o d a l l a s u a t r a s f o r m a t a :
E
x
=
Z
+ F = 2
, F = 2
j X f j
2
d f
7 . 2 C a s o p a r t i c o l a r e d i s e g n a l i d i p o t e n z a : s e -
g n a l i p e r i o d i c i
C o s c o m e s t a t o p o s s i b i l e g e n e r a l i z z a r e l a t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r p e r s e g n a l i
d i p o t e n z a p a r t e n d o d a q u e l l a p e r s e g n a l i d i e n e r g i a n e l c a m p o d e i s e g n a l i
t e m p o - c o n t i n u i , p o s s i b i l e d e n i r e u n a t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r a n c h e p e r
s e g n a l i d i p o t e n z a e d i s c r e t i . V e r r a n n o t r a t t a t i s o l t a n t o a l c u n i p a r t i c o l a r i
s e g n a l i d i s c r e t i d i p o t e n z a e c i o i s e g n a l i p e r i o d i c i , p e r i q u a l i :
x n T + N T = x n T 8 n
L a q u a n t i t T
p
= N T d e t t a p e r i o d o d e l s e g n a l e .
S i p u d i m o s t r a r e l a v a l i d i t d e l l a s e g u e n t e c o p p i a d i e q u a z i o n i d i t r a -
s f o r m a z i o n e e d a n t i t r a s f o r m a z i o n e :
x n T =
N , 1
X
k = 0
d
k
e
j 2
k n
N
x n T =
N , 1
X
k = 0
F S k F e
j 2
k n
N
d
k
=
1
N
N , 1
X
n = 0
x n T e
, j 2
k n
N
S k F =
N , 1
X
n = 0
T x n T e
, j 2
k n
N
. . . d o v e F =
1
N T
=
1
T
p
.
I n q u e s t o c a s o , s i a i l s e g n a l e c h e l a t r a s f o r m a t a s o n o s e g n a l i d i s c r e t i .
L ' i m p o r t a n z a d i q u e s t o t i p o d i t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r r i s i e d e n e l l a s e m -
p l i c i t c o m p u t a z i o n a l e i n s i t a n e l l e f o r m u l e p r e c e d e n t i : i n f a t t i q u e s t o l ' u n i c o
c a s o i n c u i p o s s i b i l e t r a s f o r m a r e o a n t i t r a s f o r m a r e i l s e g n a l e c o n u n a s o m -
m a t o r i a d i s c r e t a e n i t a d i t e r m i n i , o p e r a z i o n e f a c i l m e n t e i m p l e m e n t a b i l e i n
u n e l a b o r a t o r e .
C o m e a l s o l i t o , p o s s i b i l e c a l c o l a r e l a p o t e n z a d e l s e g n a l e p e r i o d i c o e
d i s c r e t o s i a m e d i a n t e u n a s o m m a t o r i a n e l d o m i n i o d e l t e m p o , s i a n e l d o m i n i o
d e l l a f r e q u e n z a :
P
x
= F
2
N , 1
X
k = 0
j S k F j
2
=
1
N
N , 1
X
n = 0
j x n T j
2
A p p u n t i d i T e o r i a d e i S e g n a l i
-
8/2/2019 Appunti Di Teoria Dei Segnali - Formula Rio Per l'Esame Di Teoria Dei Segnali
27/88
P a g . 2 2
C a p i t o l o 8
T r a s f o r m a t a d i H i l b e r t
L ' o p e r a z i o n e d i t r a s f o r m a z i o n e s e c o n d o H i l b e r t p u e s s e r e r a p p r e s e n t a t a c o -
m e u n S L I c o n u n a f u n z i o n e d i t r a s f e r i m e n t o p a r i a :
H f =
8
:
j f 0
0 f = 0
, j f 0
= , j s i g n f
f a c i l e d i m o s t r a r e c h e l a r i s p o s t a a l l ' i m p u l s o :
h t =
1
t
Q u e s t o v u o l d i r e c h e l a t r a s f o r m a t a d i H i l b e r t p r o v o c a u n o s f a s a m e n t o
d i 9 0
s u o g n i c o m p o n e n t e i n f r e q u e n z a n e g a t i v a e d i , 9 0
s u o g n i c o m -
p o n e n t e i n f r e q u e n z a p o s i t i v a . L a c o m p o n e n t e c o s t a n t e d e l s e g n a l e v i e n e
c o m p l e t a m e n t e a n n u l l a t a .
S i a x t u n s e g n a l e d e t e r m i n a t o e s i i n d i c h i ~x t l a s u a t r a s f o r m a t a d i
H i l b e r t e c i o :
~
X f = X f H f
N e l d o m i n i o d e l t e m p o s i p u s c r i v e r e :
~x t = x t ? h t = x t ?
1
t
L a t r a s f o r m a t a d i H i l b e r t d i u n s e g n a l e r e a l e u n s e g n a l e r e a l e .
A p p u n t i d i T e o r i a d e i S e g n a l i
-
8/2/2019 Appunti Di Teoria Dei Segnali - Formula Rio Per l'Esame Di Teoria Dei Segnali
28/88
P a g . 2 3
P a r t e I I
S e g n a l i a l e a t o r i
A p p u n t i d i T e o r i a d e i S e g n a l i
-
8/2/2019 Appunti Di Teoria Dei Segnali - Formula Rio Per l'Esame Di Teoria Dei Segnali
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P a g . 2 4
C a p i t o l o 9
P r o c e s s i s t o c a s t i c i
I p r o c e s s i s t o c a s t i c i s o n o u n a n a t u r a l e g e n e r a l i z z a z i o n e d i u n a v a r i a b i l e a l e a -
t o r i a . C o s c o m e , p e r d e n i r e u n a v a r i a b i l e a l e a t o r i a n e c e s s a r i o a s s o c i a r e a d
o g n i e v e n t o e l e m e n t a r e u n n u m e r o r e a l e , p e r d e n i r e u n p r o c e s s o s t o c a s t i c o
s i d e v e a s s o c i a r e a d o g n i e v e n t o e l e m e n t a r e u n a f u n z i o n e r e a l e n e l d o m i n i o
d e l t e m p o , c h e d e s c r i v e u n a e v o l u z i o n e t e m p o r a l e d e l l ' e s p e r i m e n t o c a s u a l e .
L a d e s c r i z i o n e d e l p r o c e s s o p u a v v e n i r e s s a n d o a r b i t r a r i a m e n t e u n
i s t a n t e d i t e m p o e d e s t r a e n d o l a v a r i a b i l e a l e a t o r i a a s s o c i a t a X t . D i q u e -
s t a , s i p u c a l c o l a r e l a f u n z i o n e d i s t r i b u z i o n e , f u n z i o n e d e n s i t e t u t t i g l i a l t r i
i n d i c i d i u n a v a r i a b i l e a l e a t o r i a .
a n c h e p o s s i b i l e s s a r e d u e o p i i s t a n t i d i t e m p o t
1
, t
2
, . . . , t
n
e
d e s c r i v e r e l a f u n z i o n e d i s t r i b u z i o n e c o n g i u n t a :
F
X t
1
; X t
2
; : : : ; X t
n
x
1
; x
2
; : : : ; x
n
; t
1
; t
2
; : : : ; t
n
N e l l a m a g g i o r p a r t e d e i c a s i s u c i e n t e u n a d e s c r i z i o n e i n p o t e n z a d e l
p r o c e s s o c h e s i a r r e s t a a d u n a c o p p i a d i v a r i a b i l i e s t r a t t e i n d u e i s t a n t i d i
t e m p o .
9 . 1 P r o c e s s i s t a z i o n a r i
U n a c l a s s e m o l t o i m p o r t a n t e d i p r o c e s s i s t o c a s t i c i q u e l l a d e i p r o c e s s i s t a z i o -
n a r i c h e , d a u n p u n t o d i v i s t a i n t u i t i v o , r a p p r e s e n t a n o q u e i p r o c e s s i i n v a r i a n t i
a d u n c a m b i a m e n t o d e l l ' i s t a n t e d i r i f e r i m e n t o .
F o r m a l m e n t e , u n p r o c e s s o s i d i c e s t a z i o n a r i o i n s e n s o s t r e t t o q u a n d o ,
s s a t i n i s t a n t i d i t e m p o t
1
, t
2
, . . . , t
n
, r i s u l t a :
F
X t
1
; X t
2
; : : : ; X t
n
x
1
; x
2
; : : : ; x
n
= F
X t
1
+ ; X t
2
+ ; : : : ; X t
n
+
x
1
; x
2
; : : : ; x
n
L a s t a z i o n a r i e t s t r e t t a d i u n p r o c e s s o c o m p o r t a d u e i m p o r t a n t i p r o p r i e t :
A p p u n t i d i T e o r i a d e i S e g n a l i
-
8/2/2019 Appunti Di Teoria Dei Segnali - Formula Rio Per l'Esame Di Teoria Dei Segnali
30/88
C a p . 9 P r o c e s s i s t o c a s t i c i P a g . 2 5
i l v a l o r m e d i o d e l p r o c e s s o s t o c a s t i c o E X t i n d i p e n d e n t e d a l l ' i s t a n -
t e d i t e m p o ;
l ' a u t o c o r r e l a z i o n e d e l l e d u e v a r i a b i l i e s t r a t t e X t
1
e X t
2
d i p e n d e
s o l t a n t o d a l l a d i e r e n z a d e g l i i s t a n t i d i t e m p o = t
2
,t
1
e n o n d a i d u e
i s t a n t i d i t e m p o i n d i p e n d e n t e m e n t e .
U n p r o c e s s o , i n v e c e , s t a z i o n a r i o i n s e n s o l a t o q u a n d o s o d d i s f a s e m p l i -
c e m e n t e l e d u e p r o p r i e t p r e c e d e n t i .
C o m e s i p u i m m a g i n a r e i n t u i t i v a m e n t e , u n p r o c e s s o s t a z i o n a r i o i n s e n s o
l a t o a n c h e s t a z i o n a r i o i n s e n s o s t r e t t o . N o n v e r o i l v i c e v e r s a .
S e u n p r o c e s s o s t a z i o n a r i o , a l l o r a l a f u n z i o n e d i a u t o c o r r e l a z i o n e R
x
c h e d i p e n d e s o l t a n t o d a l t e m p o , d o t a t a d i t r a s f o r m a t a d i F o u r i e r S
x
f d e -
n i t a c o m e d e n s i t s p e t t r a l e d i p o t e n z a . E s s a , i n f a t t i , r a p p r e s e n t a l a p o t e n z a
E X
2
t d e l p r o c e s s o p e r g a m m a d i f r e q u e n z a .
9 . 2 E r g o d i c i t d i u n p r o c e s s o
I p r o c e s s i e r g o d i c i s o n o m o l t o i m p o r t a n t i p e r c h g o d o n o d i p r o p r i e t i n t e -
r e s s a n t i d a l p u n t o d i v i s t a p r a t i c o . P e r e s s i , i n f a t t i , l a m i s u r a d i u n a s o l a
r e a l i z z a z i o n e p e r m e t t e d i s t i m a r e , s e n z a e r r o r e , i l v a l o r m e d i o d i t u t t o i l
p r o c e s s o .
S i a x t u n a s i n g o l a r e a l i z z a z i o n e d i u n p r o c e s s o . S i d e n i s c e m e d i a t e m -
p o r a l e d e l l a r e a l i z z a z i o n e m = l i m
T ! + 1
1
2 T
Z
+ T
, T
x t d t . q u i n d i p o s s i b i l e a s s o -
c i a r e a d o g n i r e a l i z z a z i o n e d e l l ' e s p e r i m e n t o , u n n u m e r o r e a l e c h e r a p p r e s e n t a
l a s u a m e d i a t e m p o r a l e . I n q u e s t o m o d o p o s s i b i l e d e n i r e u n a v a r i a b i l e
a l e a t o r i a M c h e , p e r i p r o c e s s i e r g o d i c i , h a l a s e g u e n t e c a r a t t e r i s t i c a :
p M = m
x
= 1
d o v e m
x
= E X t .
A n c h l a p r e c e d e n t e r e l a z i o n e s i a v e r a , d e v e a c c a d e r e c h e i l v a l o r m e d i o
d e l p r o c e s s o m
x
s i a i n d i p e n d e n t e d a l l ' i s t a n t e d i t e m p o t .
P e r i p r o c e s s i s t a z i o n a r i , s i d i m o s t r a c h e l a e r g o d i c i t i n m e d i a p u e s s e r e
v e r i c a t a n e l s e g u e n t e m o d o :
l i m
T ! + 1
1
T
Z
2 T
0
1 ,
2 T
c
x
d = 0
d o v e c
x
r a p p r e s e n t a l ' a u t o c o v a r i a n z a d e l p r o c e s s o .
A p p u n t i d i T e o r i a d e i S e g n a l i
-
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P a g . 2 7
C a p i t o l o 1 0
C a t e n e d i M a r k o v
U n p r o c e s s o s t o c a s t i c o s i d i c e M a r k o v i a n o o d i M a r k o v , q u a n d o l a s u a e v o l u -
z i o n e f u t u r a d i p e n d e s o l t a n t o d a l l o s t a t o d e l p r o c e s s o a l l ' i s t a n t e t e n o n d a g l i
i s t a n t i p r e c e d e n t i . I n f o r m u l e , u n p r o c e s s o d i M a r k o v q u a n d o l a s e g u e n t e
p r o b a b i l i t c o n g i u n t a p u s c r i v e r s i :
p X t
n
= A
n
; X t
n , 1
= A
n , 1
: : : ; X t
1
= A
1
; X t
0
= A
0
=
= p X t
n
= A
n
jX t
n , 1
= A
n , 1
: : :
p X t
0
= A
0
d o v e i t e r m i n i t
0
, t
1
, . . . t
n
r a p p r e s e n t a n o n i s t a n t i d i t e m p o e i t e r m i n i A
i
r a p p r e s e n t a n o d e i p o s s i b i l i v a l o r i a s s u n t i d a l p r o c e s s o n e l l ' i n s t a n t e t
i
.
U n p r o c e s s o d i M a r k o v d e t t o c a t e n a d i M a r k o v s e i v a l o r i a s s u n t i d a l
p r o c e s s o s o n o d i s c r e t i n i t i o i n n i t i n u m e r a b i l i .
1 0 . 1 C a t e n e d i M a r k o v t e m p o - d i s c r e t e
U n a c a t e n a d i M a r k o v t e m p o - d i s c r e t a q u a n d o g l i i s t a n t i d i t e m p o i n c u i
i l p r o c e s s o e v o l v e s o n o d i s c r e t i . U n p r o c e s s o d i q u e s t o t i p o p u e s s e r e i l
m o d e l l o d i u n s i s t e m a c h e p u a s s u e m e r e u n c e r t o n u m e r o d i s c r e t o d i s t a -
t i , c a m b i a n d o l o s o l o i n i s t a n t i d i t e m p o d e n i t i e d i s c r e t i . S i a n o , q u i n d i ,
S = f s
1
; s
2
; : : : ; s
n
g l ' i n s i e m e d e g l i s t a t i d e l s i s t e m a .
L a p r o b a b i l i t c o n g i u n t a d i c u i s o p r a p u s c r i v e r s i n e l s e g u e n t e m o d o :
p X
n
= x
n
; X
n , 1
= x
n , 1
; : : : ; X
0
= x
0
=
p X
n
= x
n
j X
n , 1
= x
n , 1
: : : p X
0
= x
0
d o v e i l g e n e r i c o t e r m i n e x
i
r a p p r e s e n t a u n o d e g l i s t a t i p o s s i b i l i s
i
.
P e r d e s c r i v e r e u n a c a t e n a d i M a r k o v t e m p o - d i s c r e t a s i u t i l i z z a n o l e p r o -
b a b i l i t d i t r a n s i z i o n e a d u n p a s s o c h e r a p p r e s e n t a n o l a p r o b a b i l i t c h e i l
A p p u n t i d i T e o r i a d e i S e g n a l i
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C a p . 1 0 C a t e n e d i M a r k o v P a g . 2 8
s i s t e m a c a m b i d a l l o s t a t o i a l l o s t a t o j i n u n s o l o p a s s o .
p X
n
= j j X
n , 1
= i
I n g e n e r a l e , q u e s t a p r o b a b i l i t u n a f u n z i o n e c o m p l e s s a d e g l i s t a t i i n i z i a l e
e n a l e i e j e a n c h e d e l p a s s o n . Q u a n d o e s s a i n d i p e n d e n t e d a l p a s s o n ,
a l l o r a l a c a t e n a d i M a r k o v s i d i c e o m o g e n e a . c o e r e n t e , q u i n d i l a s e g u e n t e
s i m b o l o g i a :
p X
n
= j j X
n , 1
= i = p
i ; j
A l v a r i a r e d i i e d i j s i p u q u i n d i d e n i r e u n a m a t r i c e d i p r o b a b i l i t d i
t r a n s i z i o n e a d u n p a s s o i l c u i e l e m e n t o g e n e r i c o p r o p r i o l a p r o b a b i l i t d i
t r a n s i z i o n e a d u n p a s s o d a u n p a r t i c o l a r e s t a t o a d u n a l t r o .
U n a p a r t i c o l a r i t d i q u e s t a m a t r i c e c h e l a s o m m a d e g l i e l e m e n t i d i o g n i
r i g a p a r i a d 1 . N o n v e r o p e r g l i e l e m e n t i d e l l e c o l o n n e .
S i p u d e n i r e a n c h e u n a m a t r i c e d i p r o b a b i l i t d i t r a n s i z i o n e a d n p a s s i
e s i p u d i m o s t r a r e c h e :
P
n
= P
n
e s s e n d o P
n
p r o p r i o q u e s t a m a t r i c e .
I n o l t r e , d e n e n d o p
n
i l v e t t o r e d i s t a t o d e l s i s t e m a a l p a s s o n , c o n t e n e n t e
l e p r o b a b i l i t d i s t a t o p
i
n = p X n = i . S i p u d i m o s t r a r e c h e s u s s i t e l a
s e g u e n t e r e l a z i o n e :
p
n
= p
n , 1
P = p
0
P
n
S i d e n i s c e , i n v e c e , = l i m
n ! + 1
p
n
l a p r o b a b i l i t a s i n t o t i c a c h e r a p p r e s e n t a
c o m e i l s i s t e m a s i a s s e s t a c o l p a s s a r e d e l t e m p o . I n m o l t i c a s i p i s e m p l i c e
c a l c o l a r e l a p r o b a b i l i t a s i n t o t i c a a n z i c h l a p r o b a b i l i t d i s t a t o a l p a s s o n .
S e l a c a t e n a d i M a r k o v d o t a t a d i p r o b a b i l i t a s i n t o t i c a , e s i s t e i l l i m i t e
c h e l a d e n i s c e , e s s a s i d i c e r e g o l a r e . , i n v e c e , c o m p l e t a m e n t e r e g o l a r e q u a n -
d o q u e s t a p r o b a b i l i t i n d i p e n d e n t e d a l v e t t o r e d e l l e p r o b a b i l i t d i s t a t o a l
p a s s o 0 , c i o d a p
0
.
N e l c a s o l a c a t e n a d i M a r k o v s i a c o m p l e t a m e n t e r e g o l a r e , s i p u u t i l i z z a r e
u n a f o r m u l a m o l t o s e m p l i c e p e r i l c a l c o l o d e l l a p r o b a b i l i t a s i n t o t i c a :
P , I = 0
c h e r a p p r e s e n t a u n s i s t e m a l i n e a r e c h e a m m e t t e s i c u r a m e n t e i n n i t e s o l u z i o -
n e . L ' u l t e r i o r e c o n d i z i o n e l a s e g u e n t e :
X
i
i
= 1
A p p u n t i d i T e o r i a d e i S e g n a l i
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8/2/2019 Appunti Di Teoria Dei Segnali - Formula Rio Per l'Esame Di Teoria Dei Segnali
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C a p . 1 0 C a t e n e d i M a r k o v P a g . 3 0
P e r r i s o l v e r e q u e s t o s i s t e m a d i e q u a z i o n i d i e r e n z i a l i n e c e s s a r i o u n a c o n d i -
z i o n e a l c o n t o r n o , c o m e l a s e g u e n t e :
l i m
t ! + 1
d
d t
p
j
t = 0
X
i
i ; j
p
i
= 0
d o v e p
i
= l i m
t ! + 1
p
i
t . Q u e s t a c o n d i z i o n e a l c o n t o r n o p u a n c h e e s s e r e s c r i t t a
i n u n a l t r o m o d o :
X
i 6= j
i ; j
p
i
= p
j
X
i 6= j
j ; i
A p p u n t i d i T e o r i a d e i S e g n a l i
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P a g . 3 1
P a r t e I I I
T r a s m i s s i o n e d e l s e g n a l e
A p p u n t i d i T e o r i a d e i S e g n a l i
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C a p . 1 1 C o d i c a d i c a n a l e P a g . 3 3
1-p
1-p
p
p
0 R
1 R
0 T
1 T
F i g u r a 1 1 . 2 : R a p p r e s e n t a z i o n e s c h e m a t i c a d e l l e p r o b a b i l i t d i t r a n s i z i o n e d i
u n c a n a l e b i n a r i o s i m m e t r i c o C B S
S i d e n i s c e p r o b a b i l i t d i e r r o r e , l a p r o b a b i l i t d e l l ' e v e n t o c o r r i s p o n d e n t e
a l l a t r a s m i s s i o n e e r r a t a d i u n b i t q u a l s i a s i :
p E = p 1 R ; 0 T + p 0 R ; 1 T = p 1 R j 0 T p 0 T + p 0 R j 1 T p 1 T
d o v e s i r i c o n o s c o n o i m m e d i a t a m e n t e l e p r o b a b i l i t d i t r a n s i z i o n e t i p i c h e d e l
c a n a l e . O v v i a m e n t e p e r c a l c o l a r e n u m e r i c a m e n t e l a p r o b a b i l i t d i e r r o r e
n e c e s s a r i o c o n o s c e r e s t a t i s t i c a m e n t e l a s o r g e n t e . S u p p o n e n d o c h e l a s o r g e n t e
e m e t t a i d u e b i t i n m o d o e q u i p r o b a b i l e , a l l o r a l a p r o b a b i l i t d i e r r o r e d i v e n t a :
p E =
p 1 R j 0 T + p 0 R j 1 T
2
U n c a s o m o l t o p a r t i c o l a r e a v v i e n e q u a n d o l e p r o b a b i l i t d i t r a n s i z i o n e
p e r i d u e b i t s o n o u g u a l i .
p 1 R
j0 T = p 0 R
j1 T = p
Q u e s t o r e n d e s i m m e t r i c a l a p o s s i b i l i t , d a p a r t e d e l c a n a l e , d i e s e g u i r e u n a
t r a s m i s s i o n e e r r a t a . I n q u e s t o c a s o , i l c a n a l e v i e n e c h i a m a t o c a n a l e b i n a r i o
s i m m e t r i c o C B S g u r a 1 1 . 2 . P e r u n C B S l a p r o b a b i l i t d i e r r o r e p a r i a l l a
p r o b a b i l i t d i t r a n s i z i o n e :
p E = p
P e r m i g l i o r a r e l a q u a l i t d i t r a s m i s s i o n e e r e n d e r e m i n i m a l a p r o b a b i l i t
d i e r r o r e , s o n o p o s s i b i l i d u e s o l u z i o n i :
u t i l i z z a r e u n c a n a l e d i t r a s m i s s i o n e a l t a m e n t e e c i e n t e , c o n d e l l e p r o -
b a b i l i t d i t r a n s i z i o n i m o l t o b a s s e a d i s p e t t o d e l c o s t o d i t u t t o l ' a p -
p a r a t o
u t i l i z z a r e d e l l e t e c n i c h e d i c o d i c a d e l c a n a l e c h e , a g g i u n g e n d o d e i b i t
d i s e r v i z i o a l s e g n a l e d a t r a s m e t t e r e , l o p r o t e g g e d a e v e n t u a l i e r r o r i
n e l l a t r a s m i s s i o n e a d i s p e t t o d e l l a v e l o c i t d i t r a s m i s s i o n e
A p p u n t i d i T e o r i a d e i S e g n a l i
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C a p . 1 1 C o d i c a d i c a n a l e P a g . 3 5
r i s p o n d e n t e a d u n a r i c e z i o n e c o r r e t t a ; s i d i m o s t r a c h e :
p R C =
n
X
k = 0
2 n + 1
k
p
k
1 , p
2 n + 1 , k
p R E =
2 n + 1
X
k = n + 1
2 n + 1
k
p
k
1 , p
2 n + 1 , k
I n q u e s t o m o d o , s e p
!0 e n
1 , a l l o r a p R E
p .
1 1 . 3 C o d i c a a c o n t r o l l o d i p a r i t
Q u e s t a u n a d e l l e t e c n i c h e d i c o d i c a p i d i u s e e d a r i l e v a z i o n e d ' e r r o r e .
I l c o d i c a t o r e r a g g r u p p a i b i t d a t r a s m e t t e r e i n p a c c h e t t i d a 2 n , 1 b i t e n e
a g g i u n g e , p e r o g n u n o , u n b i t d i s e r v i z i o , d e t t o b i t d i p a r i t , i n m o d o t a l e c h e
o g n i p a c c h e t t o , d a 2 n b i t , c o n t e n g a u n n u m e r o p a r i d i b i t a d 1 o 0 .
I l d e c o d i c a t o r e , a l l o s t e s s o m o d o , r a g g r u p p a i b i t i n p a c c h e t t i d a 2 n b i t
e c o n t a , p e r o g n u n o d i e s s i , i l n u m e r o d i b i t a d 1 : s e e s s i s o n o i n n u m e r o p a r i ,
s u p p o n e c h e t u t t o i l p a c c h e t t o s i a s t a t o t r a s m e s s o e s a t t a m e n t e e l o m a n d a ,
e l i m i n a n d o i l b i t d i p a r i t , a l l ' u t e n t e ; s e , i n v e c e , i l n u m e r o d i b i t a d 1
d i s p a r i , s u p p o n e c h e t u t t o i l p a c c h e t t o s i a e r r a t o e , n o n p o t e n d o c o r r e g g e r e
l ' e r r o r e , n e c h i e d e l a r i t r a s m i s s i o n e a l c o d i c a t o r e , a t t r a v e r s o u n a a p p o s i t a
l i n e a d i s e r v i z i o .
I n c o r r i s p o n d e n z a d e l d e c o d i c a t o r e p o s s o n o a v v e n i r e 3 e v e n t i : R L q u a n d o
s i r i l e v a t o u n e r r o r e i l n u m e r o d i b i t a d 1 d i s p a r i n e l p a c c h e t t o ; R C
q u a n d o t u t t i i b i t s o n o s t a t i t r a s m e s s i c o r r e t t a m e n t e ; R E q u a n d o i l n u m e r o d i
b i t a d 1 s e m p r e p a r i m a n e l l a s e q u e n z a d i b i t t r a s m e s s a c ' s t a t o c o m u n q u e
q u a l c h e e r r o r e . S i p u d i m o s t r a r e c h e :
p R L =
n
X
k = 1
2 n
2 k , 1
p
2 k , 1
1 , p
2 n , 2 k + 1
p R C = 1 , p
2 n
p R E =
n
X
k = 1
2 n
2 k
p
2 k
1 , p
2 n , 2 k
P o i c h i l d e c o d i c a t o r e , s e r i l e v a u n e r r o r e , c h i e d e l a r i t r a s m i s s i o n e d e l l o
s t e s s o p a c c h e t t o , t e o r i c a m e n t e a n c h e i n n i t e v o l t e , i n c o r r i s p o n d e n z a d e l l ' u -
t e n t e e s i s t o n o d u e s o l i e v e n t i : R C U q u a n d o i b i t i n e n t r a t a s o n o s t a t i t r a -
s m e s s i t u t t i c o r r e t t a m e n t e e R E U q u a n d o i b i t r i c e v u t i s o n o d i v e r s i d a q u e l l i
A p p u n t i d i T e o r i a d e i S e g n a l i
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C a p . 1 2 Q u a n t i z z a z i o n e P a g . 3 8
d i p e n d e d i r e t t a m e n t e d a l s e g n a l e t r a s m e s s o . P u r n o n c o n o s c e n d o i l s e g n a l e
, c o m u n q u e , p o s s i b i l e f o r n i r e u n r i s u l t a t o s t a t i s t i c o s u l l ' e r r o r e d i q u a n t i z -
z a z i o n e s u p p o n e n d o d i c o n s i d e r a r e i l n u m e r o r e a l e s n T
C
= X c o m e u n a
v a r i a b i l e c a s u a l e d i s t r i b u i t a c o n u n a f u n z i o n e d e n s i t d i p r o b a b i l i t f
x
x . S i
p u q u i n d i c a l c o l a r e i l s e g u e n t e r a p p o r t o :
S
N
=
E s
2
n T
c
E s n T
c
, s
q
n T
c
2
=
E X
2
E X , X
q
2
d o v e X
q
r a p p r e s e n t a l a v a r i a b i l e c a s u a l e , d i p e n d e n t e d a X , c h e a s s o c i a a l
c a m p i o n e s n T
c
, i l s u o v a l o r e q u a n t i z z a t o s
q
n T
c
. Q u e s t o r a p p o r t o s e g n a -
l e r u m o r e r a p p r e s e n t l a b o n t d e l l ' o p e r a z i o n e d i q u a n t i z z a z i o n e : q u a n t o p i
g r a n d e l ' i n d i c e , t a n t o p i b a s s o l ' e r r o r e i n t r o d o t t o d a l l a q u a n t i z z a z i o n e .
I l p r e c e d e n t e r a p p o r t o p o t r e s s e r e c a l c o l a t o c o n l e s e g u e n t i f o r m u l e :
S =
Z
+ 1
, 1
x
2
f
x
x d x
N =
Z
+ 1
, 1
x , x
q
2
f
x
x d x
P e r c a l c o l a r e q u e s t e d u e q u a n t i t n e c e s s a r i o , p e r , d e s c r i v e r e s t a t i s t i c a m e n -
t e i l s e g n a l e d a t r a s m e t t e r e m e d i a n t e l a s u a f u n z i o n e d e n s i t d i p r o b a b i l i t .
N e l c a s o i n c u i i l s e g n a l e s t f o s s e a s s i m i l a b i l e a d u n a v a r i a b i l e c a s u a -
l e u n i f o r m e m e n t e d i s t r i b u i t a n e l l ' i n t e r v a l l o , a ; + a e c h e l a q u a n t i z z a z i o n e
f o s s e u n i f o r m e n e l l o s t e s s o i n t e r v a l l o , s i p u d i m o s t r a r e c h e :
S
N
= 2
2 b
c o n b n u m e r o d i b i t u t i l i z z a t i p e r o g n i c a m p i o n e . L o s t e s s o i n d i c e p u e s s e r e
a n c h e d e n i t o i n d e c i b e l :
S
N
j
d B
= 1 0 l o g
1 0
S
N
= 1 0 l o g
1 0
2
2 b
= 2 0 n l o g
1 0
2 6 : 0 2 n d B
P e r o t t i m i z z a r e , c i o m a s s i m i z z a r e , i l r a p p o r t o s e g n a l e r u m o r e d o v u t o
a l l a q u a n t i z z a z i o n e p o s s i b i l e u t i l i z z a r e d e l l e q u a n t i z z a z i o n i n o n u n i f o r m i a
s e c o n d a d e l l a d i s t r i b u z i o n e s t a t i s t i c a d e l s e g n a l e d a t r a s m e t t e r e . i n t u i t i v o
p e n s a r e c h e l a q u a n t i z z a z i o n e d e b b a e s s e r e p i t t a l a d d o v e i l s e g n a l e
a l t a m e n t e p r o b a b i l e , e p i r a d a d o v e i l s e g n a l e p o c o p r o b a b i l e . N e l l a
m a g g i o r p a r t e d e i c a s i , p e r , n o n s i c o n o s c e l a d e n s i t d i p r o b a b i l i t d e l
s e g n a l e e , p e r q u e s t o , d i c i l e o t t i m i z z a r e i l f a t t o r e s e g n a l e r u m o r e .
N e l l a t e l e f o n i a , p e r e s e m p i o , s i u t i l i z z a u n a q u a n t i z z a z i o n e l o g a r i t m i c a m e -
d i a n t e p a r t i c o l a r i a l g o r i t m i d i q u a n t i z z a z i o n e c h e g a r a n t i s c o n o , n o n t a n t o l a
o t t i m i z z a z i o n e d e l r a p p o r t o s e g n a l e r u m o r e , q u a n t o l a u n i f o r m i t n e l l ' e r r o r e
p e r t u t t i i t i m b r i d i v o c e .
A p p u n t i d i T e o r i a d e i S e g n a l i
-
8/2/2019 Appunti Di Teoria Dei Segnali - Formula Rio Per l'Esame Di Teoria Dei Segnali
44/88
P a g . 3 9
C a p i t o l o 1 3
P r o b l e m i c o n n e s s i a l l a
t r a s m i s s i o n e d i g i t a l e d i s e g n a l i
U n t i p i c o s i s t e m a d i t r a s m i s s i o n e d i g