m. luise, g. m. vitetta - teoria dei segnali

Marco LuiseGiorgio M. Vitetta

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Questo libro si propone al lettore comepercorso di apprendimento guidato,piuttosto che come riferimentoesaustivo sull'argOmento; in questo senso,il volume aspira a colmareun vuoto significativo nell'attualebibliografia in lingua italiana.Il testo presenta con un approcciosostanzialmente unitario, e a pari dignità,i segnali determinati analogici (a tempocontinuo) e digitali (a tempo discreto);inoltre, vista l'importanza crescentedei segnali digitali, vengono introdotticoncetti tradizionalmente ritenuti dipertinenza dell'elaborazione numerica deisegnali (interpolazionee decimazione, filtri numerici, FFT...).l'analisi di Fourier per i segnali periodicie aperiodici, a tempo continuoe discreto, viene applicata ancheallo studio dei sistemi lineari stazionarimonodimensionali.I capitoli conclusivi sono dedicati a unostudio elementare dei segnali aleatori;a tal fine vengono richiamate le necessarienozioni di probabilità e statistica.l'esposizione, senza trascurare il rigorematematico, privilegia piuttostogli aspetti intuitivi, anche con l'ausiliodi numerosi esempi svolti ed esercizi.

Teoria dei segnali

Marco Luise è professore associatodi Comunicazioni ottiche presso la Facoltàdi Ingegneria dell'Università di Pisa.Giorgio Matteo Vitetta è professoreassociato di Sistemi di telecomunicazionepresso la Facoltà di Ingegneriadell'Università di Modena.

ISBN 88-386-0809-1

lire 54.000 (LL)

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Indice

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Prefazione xi

1 Introduzione allo studio dei segnali1.1.' Che cos'è un segnale? "''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''""""'''''' 11.2 Tipi di segnali 31.3 Proprietà elementari dei segnali determinati 9

Sommario 12Eserciziproposti """""'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' 13

2 Segnali periodici a tempo continuo2.1 Dall'analisi fasoriale all'analisi di Fourier 152.2 Analisi armonica dei segnali periodici 18

2.2.1 Sviluppo in serie di Fourier in forma reale polare 182.2.2 Sviluppo in serie di Fourier in forma complessa 202.2.3 Sviluppo in serie di Fourier in forma reale rettangolare 22Il criteriodi Dirichlet""""'"'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' 22Spettri di ampiezza e di fase 24Proprietà dello spettro di un segnale reale periodico "'"'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' 28Segnali pari, dispari e alternativi 32Sintesi del segnale con un numero limitato di armoniche 38Sommario """""" 47Esercizi proposti 47

) 3 Segnali aperiodici a tempo continuo3.1 Dalla serie all'integrale di Fourier 513.2 Proprietà della trasformata di Fourier "'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' 60

3.2.1 Criteri di esistenza 603.2.2 Simmetrie degli spettri 623.2.3 Segnali pari e dispari 63

3.3 Teoremi sulla trasformata di Fourier 633.3.1 Teorema di linearità 633.3.2 Teorema di dualità 64

2.32.42.52.62.7

vi Indice

3.3.3 Teorema del ritardo 653.3.4 Teorema del cambiamento di ..scala 683.3.5 Teorema della modulazione 733.3.6 Teorema di derivazione e integrazione 773.3.7 Teorema del prodotto 853.3.8 Teorema della convoluzione 86

3.4 Trasformate di Fourier generalizzate '"'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' 933.4.1 La funzione generalizzata impulsiva o 8 di Dirac 933.4.2 Proprietà della funzione generalizzata 8(t) 1003.4.3 Trasformata di Fourier della funzione 8 1033.4.4 Una trasformata notevole: la funzione 1/t 104

3.4.5 Trasformata della funzione gradino; teorema d'integrazione completo 1063.4.6 Trasformata delle funzioni seno, coseno e dei segnali periodici 108

.3.5 Periodicizzazione e formule di somma di Poisson 1143.6 Relazione fra le trasformate di Laplace e di Fourier 117

Sommario.. 122Esercizi proposti 123

Appendice: Cenni alla teoria delle distribuzioniA.l Definizione di distribuzione e funzione generalizzata 127A.2 La funzione generalizzata di Dirac 129A.3 Derivata di una distribuzione e di una funzione generalizzata 130A.4 Limite di una distribuzione e di una funzione geperalizzata 132

Sistemi monodimensionali a tempo continuo4.1 Caratterizzazionedei sistemi a tempo continuo 133

4.1.1 Dal concetto di segnale al concetto di sistema 1334.1.2 Proprietà dei sistemi monodimensionali 135

4.2 Caratterizzazione e analisi dei sistemi lineari stazionari 1394.2.1 La risposta impulsiva 1394.2.2 La risposta in frequenza 1434.2.3 Il decibel 1494.2.4 Sistemi in cascata e in parallelo 160

4.3 Filtri """"'" , 162

4.3.1 Generalità sui filtri e filtri ideali 1624.3.2 Criterio di Paley-Wiener e filtri reali 1694.3.3 Banda e durata di un segnale e banda di un sistema 1714.3.4 Distorsioni introdotte dai filtri 180

4.4 Densità spettrale di energia e potenza 1864.4.1 Teorema di Parseval e densità spettrale di energia 1864.4.2 Densità spettrale di potenza 1894.4.3 Funzione di autocorrelazione e teorema di Wiener-Khintchine 1914.4.4 Densità spettrale di potenza dei segnali periodici 198

4.5 Sistemi non lineari 2004.5.1 Caratterizzazione dei sistemi non lineari 2004.5.2 Nonlinearità essenziali e parassite 2034.5.3 Misura delle distorsioni non lineari ""'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' 205Sommario '''''''''''''''''' 211Esercizi proposti 213

Indice vii

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5 Segnali a tempo discreto5.1 Dal tempo continuo al tempo discreto 219

5.1.1 Campionamento dei segnali a tempo continuo 2195.1.2 Alcuni segnali notevoli 222

5.2 Rappresentazione dei segnali aperiodici a tempo discretonel dominio della frequenza 2255.2.1 Trasformata di Fourier di una sequenza 225

5.3 Teoremi sulla trasformata di Fourier di una sequenza 2335.3.1 Teorema di linearità 2335.3.2 Teorema del ritardo 2335.3.3 Teorema della ..modulazione 2345.3.4 Teorema della somma di convoluzione 2345.3.5 Teorema del ..prodotto 2355.3.6 Teorema dell 'incremento "'''''''''' 2365.3.7 Teorema della sequenza somma 236

5.4 La condizione di Nyquist e il teorema del campionamento 2375.4.1 La condizione di Nyquist 2375.4.2 Interpolazione a mantenimento 2445.4.3 Interpolazione cardinale -Il teorema del campionamento 251

5.5 Analisi di Fourier delle sequenze periodiche 2575.5.1 Trasformata discreta di Fourier 257

5.5.2 Teorema del prodotto 2645.5.3 Teorema della convoluzione 264

5.5.4 Periodicizzazione di una sequenza aperiodica 267- 5.6 Cenno agli algoritmi veloci di trasformata discreta (FFT) 269- 5.6.1 Complessità di calcolo della trasformata discreta 269

5.6.2 Applicazioni dell'algoritmo di FFT: analisi spettrale 2745.6.3 Applicazioni dell'algoritmo FFT: convoluzione veloce 277

5.7 Riassunto delle caratteristiche delle trasformate di Fourier 282Sommario 283

Esercizi proposti 284

6 Sistemi monodimensionali a tempo discreto6.1 Caratterizzazione dei sistemi a tempo discreto 289

6.1.1 Proprietà dei sistemi monodimensionali a tempo discreto 2906.1.2 Sistemi lineari e stazionari a tempo discreto 2916.1.3 Risposta in frequenza di un SLS 2946.1.4 Filtri a tempo discreto 296

6.2 Cambiamento della frequenza di campionamento 3036.2.1 Sovracampionamento con interpolazione numerica 3036.2.2 Decimazione o sottocampionamento 312

6.3 Cenni alla trasformata Z di una sequenza 3176.3.1 Definizione di trasformata Z e zone di convergenza 3176.3.2 Relazione con la trasformata di Fourier 3246.3.3 Inversione della trasformata Z 3266.3.4 Proprietà della trasformata Z 326

6.4 Sistemi a tempo discreto regolati da equazioni alle differenze 3286.4.1 Un caso di studio 328

6.4.2 Implementazione con componenti elementari e generalizzazione 3316.4.3 Calçolo della risposta impulsiva 334

viii Indice

L 6'6.4.4Lafunzionedi trasferimento"'"'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' 3376.4.5 Sistemi a risposta impulsiva finita e infinita 338Cenni al progetto di filtri numerici IIR 3426.5.1 La tecnica dell'invarianza impulsiva 3436.5.2 La tecnica della trasformazione bilineare "'"'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' 350Sommario'" 359Esercizi proposti... 361

7 Richiami di teoria della probabilitàPremessa.. 369

7.1 Esperimenti deterministici e aleatori 3697.2 Elementi di teoria della probabilità

7.2.1 Esperimento aleatorio, spazio di probabilità e proprietà elementari 3717.2.2 Esperimento aleatorio composto 378

7.3 Variabili aleatorie 3817.3.1 Definizione di variabile aleatoria 3817.3.2 Densità di probabilità di una variabile aleatoria 3847.3.3 Trasformazione di una variabile aleatoria 3907.3.4Indicicaratteristicidi unadistribuzione : 3937.3.5 La variabile aleatoria Gaussiana 3987.3.6 Variabili aleatorie condizionate 401

7.4 Sistemi di variabili aleatorie '"'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' 4047.4.1 Sistemi di due variabili ..aleatorie 4047.4.2 Funzioni distribuzione e densità di probabilità condizionate 4077.4.3 Trasformazione di una coppia di variabili aleatorie 4087.4.4 Correlazione e covarianza ...f 4127.4.5 Sistemi di n variabili aleatorie e vettori aleatori 4147.4.6 Trasformazione di un vettore aleatorio 4167.4.7 Variabili aleatorie congiuntamente Gaussiane (vettori Gaussiani) 4207.4.8 Il teorema-limite centrale 423Sommario.. "'"'''''''''' """'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' 426Eserciziproposti """'"'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' 426

8 Segnali aleatori8.1 Dai segnali determinati ai segnali aleatori 431

8.1.1 Definizione di processo aleatorio 4338.1.2 Processi parametrici 4358.1.3 Caratterizzazionestatistica di un processo aleatorio 437

8.2 Indicistatisticidel l o e 20ordinedi un processoaleatorio 4418.2.1 Funzioni valor medio, potenza, varianza 4418.2.2 Funzioni di autocorrelazione e autocovarianza 444

8.3 Processi aleatori stazionari 4468.3.1 Stazionarietà in senso stretto 4468.3.2 Stazionarietà in senso lato 4498.3.3 Proprietà della funzione di autocorrelazione di un processo

stazionario in senso lato 4558.4 Filtraggio di un segnale aleatorio 461

8.4.1 Relazione ingresso-uscita tra le statistiche semplificate 4618.4.2 Filtraggio di un processo aleatorio stazionario in senso lato 465

8.5 Densità spettrale di potenza di un processo stazionario 467

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Indice ix

8.5.1 Definizione e teorema di Wiener-Khintchine 4678.5.2 Filtraggio di un processo aleatorio e densità spettrale di potenza 4708.5.3 Processo di rumore bianco 472

8.6 Processi aleatori Gaussiani 4828.6.1 Definizione e prime proprietà 4828.6.2 Filtraggio dei processi Gaussiani 484

8.7 Processi ergodici 4938.7.1 Ergodicità del valore medio 4938.7.2 Ergodicità della funzione di autocorrelazione -Ergodicità in senso stretto 498Sommario 501

Esercizi proposti 503

Indice analitico SII

1

Introduzione allo studio dei segnali

1.1 Che cos'è un segnale?

La definizione di segnale non è immediata. Esempi familiari tratti dalla vitaquotidianasono il segnale acustico prodotto da uno strumento musicale (che dalpunto di vista fisico può essere caratterizzato come una variazione dellapressione dell'aria provocata dallo strumento, e rilevata dal nostro orecchio); ilsegnale misurato da un elettrocardiografo (una debole tensione elettrica) eregistrato sulla tipica "strisciata"; il segnale radio (un campo.elettromagneticovariabile) captato dall' antenna di un ricevitore; il segnale luminoso emesso dauna lampadina di un semaforo, o da un apparecchio televisivo, e così via. Tuttigli esempi precedenti hanno in comune una caratteristica, e cioè il fatto che ilsegnale esiste in quanto si fa portatore di una informazione che giustifical'esistenza e l'importanza del segnale stesso. Questa informazione può essere divaria natura: di carattere estetico, nel caso del brano musicale, medico, nel caso

dell' elettrocardiogramma,e così via.Tentandodunque di sintetizzare quanto sopra, possiamo dire che un segnale è

una qualunque f(randezzafisica variabile cui è associata una informazione. Inmolti casi, l'andamento del segnale può essere perfettamente noto, ad esempioattraverso una registrazione su carta (come per il caso dell' elettrocardio-gramma), su nastro magnetico o come un file in un calcolatore elettronico.Dunque il modo più conveniente per caratterizzare, studiare ed elaborare unsegnale passa attraverso la schematizzazione dello stesso come una funzionematematica di una o più variabili. L'elettrocardiogramma rappresentato in

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2 Capitolo l

Figura 1.1 può essere considerato come il grafico di una funzione di variabile

reale a valori reali X(t): 9i~ 9i ove la variabile indipendente t ha il significatodi un tempo, e il valore del segnale x(t) rappresenta l'andamento della tensione

raccolta dall'apparato biomedicale. La notazione usata riflette questo caso tipico,

in cui cioè l'evoluzione del segnale avviene in ambito temporale."

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Figura 1.1 Esempio di elettrocardiogramma

L'esempio precedente di segnale monodimensionale nel tempo non esaurisceovviamente i diversi tipi di segnale con cui si può avere a che fare. La sempliceimmagine in bianco e nero in Figura 1.2 deve essere considerata anch' essa unsegnale, poiché, concordemente con la definizione appena data, ha in sé unacerta informazione. La schematizzazione appropriata è stavolta quella di una

funzione bidimensionale Z(XpX2):9i2 ~ 9i delle due coordinate spaziali (X.,X2)(si veda la Figura 1.2), ove il valore z rappresenta l'intensità luminosa delgenericopunto sull'immagine (detto nel gergo dell'elaborazione delle immaginipixel) di coordinate (X.,X2)' La variazione del segnale avviene in un ambito ditipo spaziale, nel senso che si hanno diversi valori del segnale (l'intensitàluminosa)per diversi valori delle coordinate spaziali del generico pixel.

Se consideriamoinoltre una immagine a colori, essa può essere rappresentatadalla sovrapposizionedi tre distinte.immagini nei cosiddetti colori fondamentaliRosso (R, Red), Verde (G, Green) e Blu (B, Blue). Ciascuna di queste immaginiè caratterizzata da un diverso andamento della rispettiva intensità luminosa suivari pixel. In questo caso abbiamo a che fare con un segnale bidimensionalevettoriale le cui componenti sono rispettivamente le tre intensità dei canali RGB:

Z(XpX2) =[ZR(XpX2) ZG(XpX2) ZB(XpX2)].

Come ulteriore esempio, la Figura 1.3 rappresenta una moltitudine di segnalisismici rilevati a un dato istante da vari sensori in diversi siti, segnali che devonoessere considerati congiuntamentecome un segnale vettoriale z(t) per ottenere lamassima informazionesullo stato geofisico del territorio.

Per una introduzione allo studio dei segnali, è sufficiente trattare soltantosegnali monodimensionali di una variabile che, salvo diversa indicazione, dovràintendersi di carattere temporale.

...

Introduzione allo studio dei segnali 3

---Figura 1.2 Esempio di segnale bidimensionale

1.2 Tipi di segnali

Una prima classificazione dei segnali può essere fatta proprio in base ai valoriassuntidalla variabile indipendente, che negli esempi del Paragrafo 1.1 abbiamoper semplicitàsempre supposto essere reale. Distinguiamo infatti tra:. segnali a tempo continuo, per i quali il dominio della funzione ha la

cardinalità dell'insieme dei numeri reali. La variabile indipendente puòassumere con continuità tutti i valori compresi entro un certo intervallo,eventualmente illimitato. Il simbolo che useremo per la variabile temporale(continua) sarà t, e i segnali saranno indicati con x(t), y(t) ecc. L'elet-trocardiogramma di Figura 1.1 e i vari segnali sismici in Figura 1.3 sonoesempi tipici di segnali a tempo continuo;

. segnali a tempo discreto, per i quali il dominio della funzione ha lacardinalità dell'insieme (discreto) dei numeri interi. Tali segnali vengonochiamati in matematica successioni e indicati con il simbolo Xn' Ynecc. Piùspecificamente, le successioni vengono chiamate nella teoria dei segnalisequenze, e saranno indicate con espressioni del tipo x[n], y[n], ove lavariabile "temporale" n viene racchiusa tra parentesi quadre per evidenziarnel'intrinseca diversità dalla variabile (continua) t, che viceversa vieneracchiusa tra parentesi tonde. Un segnale cinematografico, come è noto, è

4 Capitolo 1

ottenuto proiettando una sequenza di 24 fotogrammi (immagini) al secondoche dà all'occhio umano l'illusione di un segnale a tempo continuo (si veda aquesto proposito l'interpolatore con mantenimento del Capitolo 5). Allora,come si suggerisce in Figura 1.4, il segnale cinematografico è una funzionetridimensionale z(x.,x2,n] di due.variabili spaziali continue che identificano ipixel dell'immagine, e di una ulteriore variabile temporale discreta n cheidentifica i vari fotogrammi in successione.

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Figura 1.3 Registrazione di segnali sismici

Una classificazione analoga può essere condotta sulla base dei valori assunti dai

segnali (cioè sulla base del codominio della funzione che li rappresenta).Avremo:

. segnali ad ampiezza continua, che possono assumere con continuità tutti ivalori reali di un intervallo (eventualmente illimitato), come nel caso di unsegnale acustico e in generale dei segnali osservati nei sistemi naturali;. segnali ad ampiezza discreta, aventi come codominio un insieme numerabile,

eventualmente illimitato. Il segnale luminoso prodotto da una lampadina diun semaforo può assumere solo due valori (acceso o spento), così come isegnali binari che regolano il funzionamentodei circuiti elettronici digitali.


n

Figura 1.4 Segnale cinematografico a tempo discreto Z(x"x2,n]

I segnali a tempo continuo e ad ampiezza continua si dicono analogici,mentre quelli a tempo e ampiezza discreti si dicono numerici e, come giàaccennato, sono quelli tipicamente trattati dai calcolatori elettronici. Anche isegnali a tempo discreto e ampiezza continua (cioè le sequenze a valori reali)hanno una grande importanza perché costituiscono l'oggetto delle tecniche dielaborazione numerica dei segnali (DSP, Digital Signal Processing) che hannoavutoun enorme sviluppo negli ultimi trent'anni, come vedremo sommariamen-te nei Capitoli 4 e 5. Dei segnali ad ampiezze discrete e tempo continuo (talvoltadetti quantizzati) non avremo più modo di discutere in seguito. Le Figure 1.5a-dmostrano esempi-tipo delle 4 classi di cui sopra; per meglio chiarire però ladifferente natura di questi diversi tipi di segnali, esaminiamo un esempiopiuttosto familiare di applicazione delle tecniche di elaborazione dei segnali.

Esempio 1.1

La Figura 1.6 è uno schema semplificato di un sistema di registrazione di un se-gnale acustico su Compact-Disc (CD). Il segnale utile che deve essere registratoè la variazione di pressione acustica p(t) prodotta dalla sorgente del segnalestesso, cioè il pianoforte. Tale segnale viene convertito in una debole tensioneelettrica v(t) dal microfono, che svolge la funzione di trasduttore (cioè di di-spositivoche cambia la natura del segnale senza alterarne la forma). La tensioneprodotta dal microfono, prima di poter essere ulteriormente elaborata, deve es-sere amplificata dal dispositivo amplificatore indicato con il simbolo triangolare.

5

6 Capitolo 1

x(t) x[n]

n

Figura 1.5a Segnale analogico Figura 1.5b Segnale a tempo discreto

x[n] x(t)

n

Figura 1.5c Segnale numerico Figura 1.5d Segnale quantizzato

All'uscita di tale amplificatore ideale troviamo la tensione x(t) =a .v(t), ove

a > 1 è il coefficiente di amplificazione. Sia il microfono sia l'amplificatore

sono comp~nentianalogici poiché trattano segnali analogici. Infatti l'andamentodi v(t), se il microfono non introduce distorsioni, è analogo a quello del segnaleoriginario p(t), e così anche il segnale x(t), a meno di una costante mol-tiplicativa, replica fedelmente l'andamento di v(t).

Poiché però si desidera registrare il segnale con componenti e circuiti digitalidobbiamo compiere ulteriori operazioni per adattare il segnale al mezzo. Inparticolare, il funzionamento di tutto il sistema è regolato da un elaboratore(microprocessore) che sostanzialmente può essere considerato alla stregua di uncomplesso circuito digitale sincrono. Come è noto, il funzionamento di uncircuito sincrono avviene secondo una sequenza di singoli passi successiviregolati da un segnale di temporizzazione detto clock. Un segnale la cui varia-zione avviene a tempo continuo è quindi intrinsecamente inadatto a essere trat-

tato da un microprocessore funzionante per passi discreti nel tempo. La Figura1.6 mostra che la forma d'onda x(t) viene allora campionata, ottenendo lasequenza x[n] dei valori di x(t) considerati ai multipli di un opportuno periododi campionamento T: x[n] =x(nT).


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Figura 1.6 Schema di un sistema di registrazione su Compact Disc

Il segnale è stato adesso ridotto a tempo discreto, ma i vari campioni di x[n]assumono ancora infiniti valori nell'insieme dei reali. Si deve quindi

8 Capitolo 1

ulteriormenteprocedere a una codifica di questi valori reali attraverso 1'alfabetobinario tipico dei circuiti digitali, per ottenere il segnale digitale binario(numerico) y[n] di Figura 1.6. Nell'esempio della registrazione su CD, ilcampionamento del segnale avviene alla cadenza standardizzata di 44100campioni/secondo,e la codifica binaria dei valori reali del segnale campionato èin virgola fissa su 16 bit (in Figura 1.6 sono indicati per semplicità soli 8 bit dicodifica). L'unione delle operazioni di campionamento e di codifica prende ilnome di conversione analogico/digitale, e viene realizzata da appositi circuiti

elettronicidetti appunto convertitoriAlD.Il segnale digitale binario y[n] viene quindi registrato sul CD dal cosiddetto

masterizzatore.Si noti che il segnale temporale binario derivato in ultima analisi

da p(t) è registrato sul CD come un segnale spaziale: i valori delle cifre binarie(bit) di y[n] che si susseguononel tempo vengonoregistrati sotto forma diareole riflettenti o assorbenti la luce (a seconda del valore O o 1) lungo un

"solco" a spirale che si svolge dal centro verso la periferia del CD stesso. Questosegnalesarà poi riletto dal laser dell'apparecchio lettore (come indicato in Figura1.6),riconvertito in segnale analogico, amplificato e inviato a un altoparlante perricostruirecon la massima fedeltà il segnale-messaggio originario p(t). .

Nei prossimi capitoli risponderemo ad alcune domande fondamentali che illettoredovrebbeessersi già posto a proposito di questo esempio: cosa succede seil microfono e/o 1'amplificatore non sono perfettamente fedeli? Quando sieffettua un campionamento, sotto quali condizioni non viene persa 1'in-formazione del segnale analogico di partenza? Perché l'intervallo dicampionamento T nel sistema CD è pari a 1/44100 di secondo? Viene forsefalsata la naturadel segnale nella codifica binaria dei valori reali? O

Distingueremopoi altre grandi classi di segnali secondo criteri differenti da

quelli appena esposti. Nel caso di segnali a tempo continuo, diremo che unsegnale è periodico quando esiste un certo intervallo temporale To (No per unsegnale a tempo discreto) tale che si possa scrivere x(t) =x(t + To) per

qualunque generico valore del tempo t (x[n] =x[n + No] '\In nel caso del tempodiscreto). Ciò significa che il segnale si "ripete" uguale a se stesso dopo unperiodo di tempo To(No)' Se non esiste alcun valore <;liTo(No) che verifica larelazione suddetta, il segnaleè non periodico o aperiodico.. Nella considerazionedelle varie proprietà ed esempi visti finora, è statoimplicitamente assunto che il valore del segnale fosse univocamentedeterminabile non appena fossero fissati i valori delle variabili indipendenti (in


particolare, il tempo per segnali monodimensionali). Questo accade quando ilsegnale è noto attraverso un grafico, o una registrazione magnetica, o piùsemplicemente attraverso una ben definita espressione matematica, o ancoraperché è il prodotto di sistemi e apparati di cui si ha stretto controllo (adesempio, un generatore di forme d'onda di un laboratorio elettronico). In tali.casi, diremo che il segnale è determinato o deterministico.

Viceversa, in moltissimi casi non è possibile conoscere con esattezza a prioriil valore assunto da un segnale in un certo istante. Si pensi al segnale geofisicoraccolto da sensori posti sul terreno per effettuare rilevazioni minerarie. Talesegnale non è noto a priori completamente, in particolare non se ne conoscel'evoluzione futura se non dopo l'osservazione, cioè a posteriori. Primadell'osservazione, si ha solo una conoscenza generica di alcune proprietà dimassimadi tale segnale, derivante dall'esperienza pregressa in casi simili. Stessaosservazione può farsi a proposito delle tensioni di disturbo (rumore) presentinei componenti elettronici attivi e passivi e prodotte da fenomeni incontrollabili,tipicamente di origine quantistica. Diremo quindi che questi segnali sonoaleatori, intendendo che il valore assunto da essi è affetto da un certo grado diimponderabilità (aIea) che ne impedisce una conoscenza esatta. Mentre permodellaree studiare i segnali determinati sono sufficienti i concetti dell' analisimatematica tradizionale, per i segnali aleatori è indispensabile ricorrere atecnichebasate sulla teoria della probabilità e dei processi aleatori, che sarannooggettodei Capitoli 7 e 8.

1.3 Proprietà elementari dei segnali determinati

Limitiamo per il momento la nostra attenzione ai segnali determinati edefiniamoalcune grandezze di fondamentale importanza per il prosieguo dellostudio.

Supponiamo di disporre di un resistore di resistenza R attraversato da una

corrente i(t); l'espressione della potenza istantanea dissipata sul resistore pereffettoJoule è, come è noto, Ri2(t). Osserviamo quindi la proporzionalità tra lapotenzaistantanea e il quadrato del segnale; il coefficiente di proporzionalità è

legato al particolare esempio. Estendendo in maniera astratta !ale definizione,diremo che al segnale x(t) è associata una potenza istantanea normalizzata(aggettivoche verrà poi sistematicamente omesso) pari a X2(t). Inoltre, tornandoall'esempiodel resistore, l'energia totale dissipata per effetto del passaggio della

corrente i(t) è pari a f:Ri2(t)dt. Conseguentemente, definiremo l'energiaassociataal segnale x(t) come

9

lO Capitolo l

+~

Ex ~ flx(tt dt (1.3.1)

purché l'integrale risulti convergente (cioè Ex < 00)1. La definizione di energia,benché meno intuitiva, viene banalmente estesa anche ai segnali a tempo

discreto come segue:

-Ex~ Llx[n]12 < 00

(1.3.2)

Per tutti i segnali fisici (cioè effettivamente osservati) l'integrale (o lasommatoria) che definisce l'energia risulta convergente, poiché ogni segnale

proveniente da un sistema fisico è portatore di energia finita. Molto spesso peròconviene considerare modelli ideali di segnale, ovvero segnali idealizzati non

esistenti in natura, ma assai utili per approssimare casi reali. La tensione v(t)

generata dalla "batteria ideale" in Figura 1.7 (cioè da un generatore ideale ditensione) è costante per ogni valore di t da -00 a +00 (e ciò è fisicamenteassurdo). Se però la batteria "reale" viene osservata durante il periodo in cui ècarica ed eroga la tensione nominale, v(t) è un'ottima approssimazione delsegnale reale. Chiaramente, v(t) possiede energia illimitata (nel senso che

f:' v(t) 12dt = 00),e quindi la definizione (1.3.1) è per questo segnale mal posta.Consideriamo dunque un generico segnale x(t) a valori limitati ma energia

infinita, e costruiamo il segnale xr(t) con una operazione di troncamento comesegue:

Itl~T/2altrove

(1.3.3)

La Figura 1.8 illustra graficamente questo procedimento. Evidentemente, xr(t)è ottenuto limitando l'osservazione all'intervallo finito -T / 2 ~ t ~ T / 2. Se

indichiamo con EXTl'energia di XT(t), è chiaro che in generale EXT< 00 poichéil segnale è diverso da zero e assume valori finiti solo su di un intervallolimitato. Altrettanto chiaro è che se ingrandiamo l'intervallo di osservazione per

comprendere l'andamento di tutto il segnale x(t) (imponiamo cioè T -700)

otteniamo EXT-7 00.Introduciamo allora il concetto di potenza di un segnale: lapotenza media del segnale xr(t) valutata sull'intervallo di osservazione[-T/2,T/2] è per definizione pari all'energia di xr(t) rapportata alla durata

1 Il simbolo ~ significa "per definizione uguale a".


dell'intervallo stesso: PXT~EXT / T. Siamo ora in grado di estendere a x(t)questa definizione di potenza media attraverso un' operazione al limite:

E T/2

. ~ ~ lim ~ =lim -2.. =lim.!. J lx(tt dtT~~ T T ~~ T T~~ T

-T/2

(1.3.4)

v(t)

+l

V(I)-J

Figura 1.7 Segnale prodotto da una batteria ideale

Figura 1.8 Troncamento del segnale x(t)

Esempio 1.2

Calcoliamo la potenza del segnale della batteria ideale di Figura 1.7. Dalla(1.3.4) si ha

l T/2 l T/2 l T/2Pv= lim - J lv(t)12dt = lim - J Vo2dt = V02lim - Jl' dt = Vo2

T~~ T T~~ T T~~ T-T/2 -T/2 -T/2

(E1.2.l)

come era ragionevole aspettarsi. o

L

12 Capitolo 1

Osserviamo che un segnale a energia finita (matematicamente, a quadrato

sommabile) ha potenza media nulla; viceversa, un segnale che abbia un valorefinito diverso da zero della potenza media ha necessariamente energia infinita.

Analogamente al caso della (1.3.2), per i segnali a tempo discreto abbiamoinoltre

(1.3.5)

ove la notazione è autoesplicativa.Talvolta torna utile usare il valore efficace di un segnale a potenza finita,

definito sia per i segnali a tempo continuo, sia per quelli a tempo discreto come

(1.3.6)

Ricordiamo che il valore efficace di un dato segnale (chiamato nei paesianglosassoni RMS, Root Mean Square) si può interpretare come quel valore chedovrebbe assumere un segnale costante per avere lo stesso contenuto in potenzadel segnale dato.

Terminiamo il capitolo con la definizione di valor medio temporale di unsegnale, che richiede un procedimento al limite simile a quello appena vistorelativamente alla potenza:

a

1 T/2xm ~ lim - f x(t)dt

T->~ T-T/2

xm~lim~ fx[n]N->~2N + lll=-N

(1.3.7a)

(1.3.7b)

Nell'ingegneria elettrica, il valor medio rappresenta la "componente continua"(cioè costante) attorno alla quale si svolge l'evoluzione temporale del segnale.

1.4 Sommario

Dopo aver definito un segnale come una grandezza fisica variabile portatrice diuna informazione, abbiamo individuato alcune grandi classi di segnali, a tempocontinuo e a tempo discreto, e anche ad ampiezza continua e ampiezza discreta.I segnali a tempo e ampiezza continui si dicono analogici, quelli a tempo eampiezza discreti si chiamano numerici. I segnali a tempo discreto e ampiezzacontinua sono le sequenze che hanno grande importanza nelle tecniche dielaborazione numerica del segnale (DSP). I segnali sono inoltre determinati se il

loro andamento è noto in anticipo (a prion) per tutti i valori del tempo,altrimenti sono aleatori (noti a posteriori). Sono inoltre periodici se si ripetonocon regolarità dopo un intervallo temporale finito, altrimenti sono aperiodici. Leproprietà elementari dei segnali, e cioè energia,potenza, valor medio, rappresen-tano il punto di partenza per uno studio e un' analisi più approfondita che inizierànel prossimo capitolo con i segnali periodici a tempo continuo.

Esercizi proposti

1.1 Un apparato di rilevazione automatica a un casello autostradale conta iveicoli in ingresso al casello e annota l'orario d'ingresso. Considerandoquesta serie di osservazioni come un segnale, dire di che tipo di segnale sitratta, nel senso della Figura 1.5.

1.2 Spiegare perché un elettrocardiogramma è un segnale periodico.Osservando poi che la frequenza cardiaca di un adulto maschio a riposo èall'incirca 60 battiti al minuto, trovare il periodo di ripetizione To delsegnale.

1.3 Spiegare perché un segnale è aleatorio solo finché non lo si ècompletamente osservato, dopo di che rientra anch'esso nella categoria deisegnali determinati. L'elettrocardiogramma di un paziente è un segnalealeatorio o determinato prima che venga misurato? E dopo?

1.4 Rappresentare il grafico del segnale

x(t) = { ~xp( -t 1T)

t<O

t~O

e calcolarne il valor medio Xm' l'energia Ex e la potenza ~.1.5 Calcolare il valor medio e la potenza dei seguenti segnali:

i)ii)

x(t) = a . cos(2Jrt 1 To)

x(t) = sin(2Jrt 1 To)

{

I t>O

x(t) = sgn(t)! O t = O-1 t < O

x(t) =sgn(a .cos(2JrtlTo))

{

I t>O

x(t) =u(t)! 1/2 t =OO t<O

iii)

iv)

v)

r14 Capitolo 1

1.6 Ripetere l'Esercizio 1.4per il segnale x[n]=exp(-n/ N), n ~ o.1.7 Considerare il segnale

{

l ItkT/2

x(t) =O altrimenti

e dire perché il problema di calcolarne il valore efficace xeffè mal posto.

2

Segnali periodici a tempo continuo

2.1 Dall'analisi fasoriale all'analisi di Fourier

Introduciamoin questo paragrafo l'analisi di Fourier dei segnali periodici conunesempiotratto dalla teoria dei circuiti lineari. Come è noto, i metodi del cal-colofasorialepermettono di risolvere problemi anche di una certa rilevanza e diuncertogradodi complessità relativi al regime sinusoidale dei circuiti lineari acomponenti concentrati e di valore costante nel tempo. Un esempio sem-plicissimodi questa classe di circuiti è dato in Figura 2.1, che mostra il circuitopassivodetto "squadra R-C'. Rivediamo brevemente come viene applicato ilcalcolo fasoriale a questo problema. Supponiamo di fornire al circuito latensionesinusoidale

x(t) = a. cos(21ifot + O) (2.1.1)

Comeè noto, a è l'ampiezza della oscillazione, fo = 1/ To ne è lafrequenza e Oneè lafase iniziale. Se il periodo dell'oscillazione To è misurato in secondi,allorala frequenza fo è misurata in cicli/secondo, ovvero hertz (Hz). La Figura2.2amostraun esempio di segnale sinusoidale con i particolari valori di a, fo e() indicatinella didascalia.

o

Il fasore X associato alla sinusoide x(t) è per definizione quel numerocomplesso tale che

x(t) = 9t[X exp(j21ifot)](2.1.2)

16 Capitolo 2

R

t I t

Figura 2.1 Squadra R-C

ove l'operatore 9t[.] indica "parte reale" e j!.J=f. è l'unità immaginaria. Nel

nostro caso, X = a exp(j8). A questo punto si desidera evidentemente ricavarel'andamento della tensione y(t) ai capi del condensatore di capacità C in Figura2.1. Le proprietà dei circuiti lineari a componenti costanti assicurano che anchela tensione y(t) sarà sinusoidale alla stessa frequenza di x(t). Del segnale

cercato restano soltanto da determinare l'ampiezza e la fase iniziale.Per far questo, applichiamo la legge del "partitore di tensione" al circuito

dato. Tenendo conto che l'impedenza del condensatorealla frequenzaDdata èze =1/ (j2-1ifoC),si può ottenere immediatamente il valore del fasore Y dellatensionesinusoidaleincognitay(t):

(2.1.3)

e da questo risalire poi all'espressione cercata di y(t):

D D

y(t) =1 Y l.cos(21ifot + L Y) (2.1.4)

Il metodo fasoriale, di applicazione estremamente semplice, continua a rivelarsiutile anche quando il segnale di eccitazione x(t) è come in Figura 2.2b,costituito cioè dalla somma di più componenti sinusoidali a diverse frequenze:

(2.1.5)

In tal caso, stante la linearità del circuito è possibile applicare il principio disovrapposizione degli effetti come sequenza di tre passi fondamentali:

~,

..~

Segnali periodici a tempo continuo 17

Figura 2.2 (a) Segnale sinusoidale con a = l, io = 5/ T e (J= O;(b) segnalecompositocon

al = l, l. = lo, (J, = O e a, = 1/ 2, f, = 210. (J, = 1C / 4

i) si scompone il segnale d'ingresso x(t) nelle due componenti elementari

XI<!) =al cos(27ifl + O,) e x2 (t) = a2 COS(27if2t + (2) con fasori X I =al exp(j°l)

e X2 =a2exp(j°J riferiti rispettivame~te a!le due frequenze Il ed 12; ii) sideterminanoseparatamente i due fasori YI e Y2come se in ciascuno dei due casi

agisse singolarmente la componente rispettivamente XI(t) e x2(t); iii) si

1.5l ' "

fo=5fTI1.0

- 0.5....oC\I-cn 0.0ooJ!......X -0.5

-1.0

-1.5-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Tempo normalizzato t/T (a)2

+....o 1

Ci)ooo,...

;!:.....oC\ICi) -1ooJ!.. I fo=5fT....-X

-2-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Tempo normalizzato t/T (b)

r -..

18 Capitolo 2

ricostruisce la forma d'onda globale y~t) ric?mponendo le due rispostéparzialiy\(t) e Y2(t) ottenute dai due fasori Y\ e Y2 alle due frequenze fl ed f2' Ilprocedimento è ovviamente più complicato rispetto al caso precedente dellasingola componente sinusoidale, ma solo per questioni di calcolo, noncomportando alcuna ulteriore difficoltà concettuale.

Esaminando criticamente la questione, i presupposti che hanno permesso dirisolvere anche il caso più complesso del segnale di Figura 2.2b sono due: i) lalinearità del circuito, che ha consentito l'applicazione del principio disovrapposizione degli effetti, ma soprattutto ii) la possibilità di rappresentare ilsegnale come somma di un certo numero di componenti sinusoidali elementari(2.1.5). Questa osservazione fa da introduzione al prossimo paragrafo nel qualesi darà una risposta all'ulteriore quesito che sorge spontaneo generalizzandoulteriormente il problema appena esaminato: Qual è il modo più appropriato diprocedere quando il segnale x(t) è periodico con andamento arbitrario, e inparticolare non è sinusoidale?

2.2 Analisi armonica dei segnali periodici

2.2.1 Sviluppo in serie di Fourier in forma reale polare

Come già affermato nel Capitolo l, un segnale x(t) è periodico se soddisfa laseguente relazione:

x(t) = x(t + To) (2.2.1)

per ogni valore della variabile t. La grandezza Torappresenta il periodo delsegnale che è legato alla frequenza di ripetizione fa del segnale stesso dallarelazione fo =l/To. L'energia Ex del segnale periodico è infinita, come discendeimmediatamente dalla definizione (1.3.1); in generale invece x(t) ha potenza Pxfinita, per calcolare la quale, come si può intuire, non è necessario ilprocedimento al limite definito dalla (1.3.4). Si dimostra facilmente infatti che,una volta eseguito il limite, si giunge al risultato più semplice

1 To /2

P.r = T: Jlx(tt dto -To/2

(2.2.2)

Analogamente, l'espressione del valor medio (1.3.7a) si semplifica, per ilsegnale periodico x(t), come segue:

..,


1 To /2

Xm = T: Jx(t)dto -To/2

(2.2.3)

Ciò premesso, ci poniamo ancora una volta la domanda con cui si è chiuso il

Paragrafo2.1, e cioè: come trattare segnali periodici arbitrari\jtfparticolare nonsinusoidali? La risposta a questo quesito sta nella cosiddetta analisi di Fourierche costituisce la base della moderna teoria dei segnali. Infatti, sotto ipotesipiuttosto ampie, che in seguito elencheremo, un segnale reale periodicoqualunque può essere espresso come somma di oscillazioni sinusoidali diampiezza,frequenza efase opportune, cioè in una forma che richiama la (2.1.5):

(2.2.4)

In particolare, le frequenze di oscillazione includono in generale la "frequenzazero" relativa al termine costante ao, e sono multiple intere della frequenzafondamentale fo' cosicché la (2.2.4) diventa

\

- - ~ ~ . t"1 JN ..~ttl f 1:)1 F.lJvtel{1L.

~ I~ ~ vtC.r'1\ 4 ~ ~ ~ >, '.-

" x(t) =Ao+ 2t;Akcos(2nkfot+ 1Jk) (2.2.5)

Questa rappresentazione del segnale prende il nome di sviluppo in serie diFourier;più precisamente la relazione (2.2.5) costituisce l'espressione informapolare dello sviluppo in serie di Fourier. Essa permette dunque di rappresentareun segnale reale x(t) come somma di una costante Ao e di una serie il cui k-esimotermine, detto k-esima oscillazione armonica (o armonica tout-court), ha

ampiezza Ak > O, frequenza kfo (la k-esima frequenza armonica) e fase iniziale°k'

Evidentemente, ogni particolare segnale x(t) sarà caratterizzato da particolariinsiemidi valori di Ak e 1Jk.Dovremo quindi ricavare delle formule utili per ilcalcolodelle ampiezze e delle fasi delle varie armoniche e indicare condizionimatematiche che garantiscano la convergenza della serie (2.2.5). Il primo diquestiproblemi fu risolto dal matematico L. Eulero attorno alla fine del 1700 inconnessionecon lo studio delle corde vibranti, e fu ripreso alcuni anni più tardida I.E. Fourier. Questi fu il primo a intuire !'importanza e la potenza della rap-presentazione(2.2.5), che usò per risolvere questioni di trasmissione del calore.La convergenza della (2.2.5) fu dimostrata in seguito in maniera rigorosa da P.D.Dirichlet.

20 Capitolo 2

2.2.2 Sviluppo in serie di Fourier in forma complessa

Per semplificare gli sviluppi analitici si preferisce usare una forma alternativadella serie di Fourier. Richiamando le formule di Eulero delle funzioni trigono-metriche

(ejx .

cos x)=~e-JX2

.(

ejx .

, SIn x)= -e-Jx- , (2.2.6)

la (2.2.5) può essere riscritta come segue:

= Ao + f Ak eN, ej21Tk/ol+ f Ak e-N'e - j211k!o'k=l k=1~ -I

= Ao + I,Ak eN'ej211kfol + I,A-k e-N-'ej211k!olk=1 k=-~

(2.2.7)

Definiamo ora le quantità

X A A -N-, k - 2 l, k- -k e , ,-,- (2.2.8)

Se si effettuano le opportune sostituzioni nella (2.2.7) si ricava, - -- - - -- - -I x(t) = Xo + ~ Xk ej21tJ.fol + kt Xk ej211k!ol= k~ Xk ej211k!olL---

che rappresenta l'espressione informa complessa della serie di Fourierl, e cherisulta la più conveniente dal punto di vista del calcolo.

Determiniamo ora una espressione per il calcolo del coefficiente XII' ove ndeve intendersifissato. A tal fine moltiplichiamo entrambi i membri della (2.2.9)per il fattore e-j21C11!ole integriamo il risultato in un intervallo di ampiezza pari alperiodo Todel segnale:

(2.2.9)

To/2 To/2-

Jx(t) e-j21C11!o'dt= J I,Xk ej211k!ole-j21C11!oldt-To/2 -To/2k=-

(2.2.10)

Supponendo che la serie a secondo membro converga uniformemente (cosa che

I Tale rappresentazione può essere estesa nella stessa forma anche al caso di segnale x(t)

complesso.

.


peraltro non è stata dimostrata fino a questo momento), possiamo integraretermine a termine:

To/2 - To/2Jx( t) e - j2101foldt = L Xk Jej2tr(k-n )fol dt

-To/2 k=- -To/2

(2.2.11)

Procediamo adesso con il calcolo dell'integrale a secondo membro della(2.2.11). Ricordando che io. To =l si ha

TI:j2tr(k-n)fo' dt = exp~j2n(k - n )fot]I

To/2=}2n(k - n)fo -T./2~p o

= exp[jn(k-n)]-exp[-jn(k-n)] = sin[n(k-n)]j2n(k-n)fo n(k-n)fo

(2.2.12)

Il valore dell' integrale è pertanto nullo se k *-n, essendo sin( n( k - n)] = o. Sek=n il risultato finale della (2.2.12) perde di significato, ma ponendo k = ndirettamente nell' espressione di partenza si ricava immediatamente chel'integralecercato vale in questo caso To.Riassumendo:

/

To/2

{

'E k =nJej2tr(k-n)foldt= o

-To/2 O k *-n

e sostituendonella (2.2.11) il risultato ottenuto, si ha:

(2.2.13)

To/2

Jx(t)e-j2101foldt=Xn To-To/2

(2.2.14)

dalla quale si deduce infine l'espressione cercata del coefficiente Xk:,

J1 To/2

Xk =T: J x(t)e-j211kfo'dto -To/2

Questarelazione permette quindi di effettuare il calcolo dei coefficienti dellaseriedi Fourier di un segnale x(t) dato. In particolare, per k = O si ha

(2.2.15)

1 To/2

Xo =T: Jx(t) dto -To/2

(2.2.16)

che coincide con l'espressione del valor medio del segnale.

22 Capitolo 2

2.2.3 Sviluppo in serie di Fourier in forma reale rettangolareAbbiamo dunque ricavato due possibili espressioni per la serie di Fourier, eprecisamente quella in forma polare (2.2.5) e quella in forma complessa (2.2.9);ne esiste anche una terza, detta espressione informa rettangolare, che ricaviamodi seguito. Sviluppando le funzioni cosinusoidali della (2.2.5) si ha

~

x(t) = Au + 2 IAk cos(27rkfot + 1Jk) =k=1

~

= Au + 2 IAk[ cos(211kfot )cos1Jk - sin(211kfot) sin1Jk]n=1

(2.2.17)

Se adesso si definiscono le quantità ao~ Au, ak ~ Ak cos 1Jk e bk~ Ak sin 1Jk' conk = 1,2,. .. si ricava la relazione cercata:

~

x( t) = ao + 2 I [ak cos( 211kfot) - bk sin( 211kfot)]k=1

(2.2.18)

Il lettore dimostri cne i coefficienti dell' espressione in forma rettangolare

{ak' bk} sono legati a quelli relativi all'espansione in forma complessa {Xk}dalle relazioni

(2.2.19)

bk = g[Xk] = -~ f x(t) sin(211kfot) dtTo[To]

Nelleequazioniprecedenti,la notazione J[Tol sta a indicareche l'integralepuòessere esteso a un qualunque intervallo temporale di ampiezza To.Per ragioni disimmetria, è buona norma scegliere l'intervallo [- To/2, To/2].

(2.2.20)

2.3 TIcriterio di Dirichlet

Ricordiamo che negli sviluppi analitici appena visti, e precisamente nelpassaggio dalla (2.2.10) alla (2.2.11), è stata ipotizzata la convergenza uniformedella serie (2.2.9). Per i segnali che si incontrano comunemente nelleapplicazioni pratiche, questa ipotesi è sempre verificata; spesso però, perschematizzare fenomeni fisici, si fa ricorso a funzioni che non rappresentanoesattamente i segnali in esame, ma che offrono il vantaggio non indifferente diuna maggiore semplicità. Per tali funzioni, tuttavia, non è più assicurata in


generale la possibilità di uno sviluppo in serie di Fourier e diventa quindinecessariodisporre di criteri che garantiscano la correttezza di tale sviluppo.

Consideriamo ad esempio il segnale a dente di sega rappresentato in Figura2.3a;dal punto di vista matematico, esso presenta all'istante To una disconti-nuitàdi prima specie (non elirninabile), in corrispondenza della quale esistonofiniti e diversi tra loro i limiti destro e sinistro del segnale: x(T;)"* x(T~).Ovviamente,non avremo mai nella realtà un fenomeno fisico che si manifestacontale andamento a causa dell'impossibilità di riscontrare una discontinuità nel

segnale. Tuttavia, avremo a che fare con segnali che possono essere benapprossimatida un andamento discontinuo, come quello mostrato in Figura2.3b, che è tipico dei circuiti di pilotaggio dei tubi catodici degli apparecchitelevisivi.

... ...

't

(b)

Figura 2.3 Segnali a dente di sega di ampiezza A: (a) ideale; (b) reale, con" « 1;,

È quindi lecito domandarsi se per il segnale ci.dente di sega idealizzato, e per

altri che hanno andamenti di particolare utilità e ai quali si applicano

considerazioni analoghe, sia corretto utilizzare la rappresentazione (2.2.9) con i

coefficienti espressi dalla (2.2.15).

x(t)

J AI

. ... , I , I , I ...

)----.To t

(a)

x(t)

F ,

24 Capitolo2

Un insieme di condizioni sufficienti che garantiscono la possibilità disviluppare un segnale in serie di Fourier è il cosiddetto criterio di Dirichlet chepuò essere enunciato come segue:

. se x(t) è assolutamente integrabile sul periodo 1'0 (cioè se verifica la

condizione E%~2 Ix(t) Idt < 00);. sex(t)è continua o presenta in un periodo un numero finito di discontinuità

di prima specie;. se x(t) è derivabile rispetto al tempo nel periodo, escluso al più un numero

finito di punti nei quali esistono finite la derivata destra e sinistra,allora la serie di Fourier converge al valore assunto dalla funzione x(t) neipunti in cui questa è continua, e alla semisomma dei limiti destro e sinistronei punti in cui x(t) presenta le eventuali discontinuità di prima specie.

La terza ipotesi del criterio può anche essere sostituita con la seguente, cherisulta del tutto equivalente:. se il segnale presenta un numero finito di massimi e minimi nel periodoAlla luce di questo criterio è possibile adesso.affermare con sicurezza che anchela funzione a dente di sega di Figura 2.3a può essere sviluppata in serie diFourier. Nel punto di discontinuità il valore cui la serie converge è pari ax(To)=[x(T;)+x(T~)]/2 =A/2.

2.4 Spettri di ampiezza e di faseDunque, ogni segnale x(t) che soddisfi il criterio di Dirichlet può essere rappre-sentato con lo sviluppo in serie di Fourier (2.2.9) ove i coefficienti Xk sono datidalla (2.2.15).Ripetiamo per completezza qui di seguito queste due relazioni:

La seconda delle due è una equazione di analisi che permette di stabilire qual èil contenuto in termini di oscillazioni armoniche del segnale (in una parola, dianalizzare il segnale). La prima delle due, viceversa, è una equazione di sintesiche, note le ampiezze e fasi delle varie armoniche (cioè noti i coefficienti diFourier) permette di ricostruire, cioè sintetizzare, il segnale dato a partire dalleproprie componenti frequenziali (armoniche). Evidentemente, l'equazione disintesi prevede l'uso di infinite armoniche per ricostruire il segnale. D'altronde,


condizione necessaria alla convergenza della serie è che l'ampiezza IXkI dellearmoniche tenda a zero quando k ~ 00. Questo comporta che le armoniche più"importanti" ai fini della sintesi del segnale sono in numero limitato, e chequindi la serie può essere sostituita ai fini pratici con una sommatoria di unnumerofinito di termini (come si discuterà in dettaglio nel Paragrafo 2.7).

Le equazioni di analisi e sintesi permettono dunque di stabilire unacorrispondenza tra il segnale x(t) e la sequenza Xk costituita dai coefficientidellaserie (coefficienti di Fourier o di Eulero). Indicheremo tale corrispondenzacon la seguente scrittura:

(2.4.1) Il

Questo tipo di notazione suggerisce che la conoscenza dell'andamento delsegnale x(t) in ambito temporale è di fatto equivalente alla conoscenza dellasuccessionedei coefficienti di Fourier Xk in ambito frequenziale, nel senso cheil passaggio dall'un dominio all'altro è immediato attraverso le relazioni di

analisie sintesi (2.2.15) e (2.2.9). Naturalmente, la seque~ Xk è in generale

complessa;per rappresentarla è conveniente tracciare due grafic\ che prendono ilnome di spettro di ampiezza e spettro di fase2. Il primo illustra l'andamentodell'ampiezza (modulo) dei coefficienti Xk, il secondo ne illustra l'andamentodellafase, entrambi in funzione dell' ordine k del coefficiente o del valore della

k-esima frequenza armonica kfo' Esempi stilizzati di queste rappresentazionisonoriportati in Figura 2.4 e Figura 2.5.

Gli spettri di ampiezza e di fase del segnale sono a righe, cioè discreti, inquantosono definiti solo in corrispondenza delle frequenze armoniche, che for-manoappunto una successione discreta. La rappresentazione degli spettri come"righe"di ampiezza proporzionale all'ampiezza o alla fase delle componenti ar-monicheha un' origine ben precisa. Gli spettri di ampiezza a righe dei segnaliperiodicivengono infatti misurati mediante strumenti elettronici chiamati analiz-

zatoridi spettro, sullo schermo dei quali si ottiene una rappresentazione moltosimilealla Figura 2.4. Gli analizzatori rappresentano gli spettri di ampiezza soloper valori positivi delle frequenze. Questo è giustificato dalle proprietà disimmetriadegli spettri discusse nel paragrafo a seguire.

2 Il termine "spettro" deve intendersi nel significato di "rappresentazione, visione" e nasce in

fisica nel campo della spettroscopia in cui si analizza la composizione dei materiali attraverso le

"righe" di emissione caratteristiche dei diversi elementi chimici.

26 Capitolo 2

-31 -21 -1o o o Frequenza

Figura 2.4 Spettro di ampiezza

-31 -21 -1o o o

Frequenza

Figura 2.5 Spettro di fase

Esempio 2.1Consideriamo il segnale

x( t) = a cos( 21ifot ) (E2.1.l)

Esso rappresentaun'oscillazionecosinusoidaledi frequenza 10; il periododelsegnale è To=1/10. Se si confronta l'espressione in forma polare della serie diFourier di un segnale generico

~

x(t) = Ao + 2L:Ak cos(2n/ifot + {)k)k=l

(E2.1.2)

con la (E2.1.l) si ricava che

aAI =-, {)I =O;2 (E2.1.3)

Segnali periodici a tempo contiÌlUo 27

ovvero

(E2.1.4)

e gli spettri del segnale sono quelli di Figura 2.6a-2.6b.

a/2

(a)

(b)

-fo

Figura 2.6 Spettri di ampiezza (a) e fase (b) del segnale dell'Esempio 2.1D

Esempio 2.2Consideriamoil segnale

x( t) = a sin( 21t.fot ) = a cos( 2 TCjot - ~)(E2.2.1)

Tenendoconto del procedimento usato nell'Esempio 2.1, si trova che

A-a re1-2' 6) =-"2;

(E2.2.2)

ovvero

a.1< a .1<X = -e-li X = -eli'

l 2 ' -) 2 '

Lo spettro di ampiezza è uguale a quello dell'esempio precedente, mentre lospettro di fase è mostrato in Figura 2.7.

(E2.2.3)

28 Capitolo 2

rr./2

-rr./2

Figura 2.7 Spettro di fase del segnale dell'Esempio 2.2

D

2.5 Proprietà dello spettro di un segnale reale periodicoSimmetria

Ricordandoche il nostropuntodi partenzaè stata la rappresentazione(2.2.5)diun segnale reale, osserviamo che ----

'O 'oXo=Ao, Xk=Akel " X-k =Ak e-l '; k=1,2,... (2.5.1)

e che quindi i coefficienti Xk dello sviluppo in serie di Fourier in formacomplessa di un segnale reale godono della proprietà di simmetria coniugata oHermitiana, ovvero

(2.5.2)

Linearità

Consideriamo ora due segnali x(t) e y(t), entrambi periodici dello stesso pe-riodo 1'0 e aventi come coefficienti di Fourier rispettivamente Xk e ~. Il segnale

z(t) =a x(t)+ b y(t) (2.5.3)

dato dalla combinazione lineare di x(t) e y(t) è periodico di periodo To,e ilcoefficiente k-esimo Zk della sua serie di Fourier è

(2.5.4)

Tale proprietà di linearità dei coefficienti di Fourier deriva direttamente dallamedesima proprietà dell'integrale; si ha infatti che

L

(2.5.5)

Naturalmente, lo sviluppo in serie di z(t) è costituito da una somma di

oscillazioniaventi le stesse frequenze di quelle che compongono i segnali x(t) ey(t); pertanto, in generale una combinazione lineare di segnali aventi ilmedesimoperiodo Tonon introduce nuove armoniche.

Potremmo elencare e dimostrare molte altre proprietà dei coefficienti diFourier(ad esempio, il comportamento degli Xk nei confronti di una traslazionedel segnale, o di una operazione di derivata temporale, o di integrale, ecc.). Lepiù semplici vengono proposte come esercizi in calce al capitolo, che possonoessere facilmente risolti dal lettore; queste proprietà verranno comunquediscusse in maggior dettaglio e in una forma sostanzialmente equivalente nelCapitolo3, a proposito della trasformata di Fourier per segnali non periodici, alqualesi rimanda. I

Esempio2.3

Consideriamo il segnale detto treno di impulsi rettangolari di durata T e

periodo To(T < To)rappresentato in Figura 2.8. Per questo segnale si definisceil parametro duty-factor (o duty-cycle) 8 = TiTo che esprime il rapporto tra ladurata T di ciascun impulso e il periodo di ripetizione del segnale To.

Figura 2.8 Treno di impulsi rettangolari

Per rappresentare più comodamente il treno di impulsi rettangolari è utiledefinirela seguente funzione:

x(t)

a

,

-To-T/2 T/2

To t

r

30 Capitolo 2

{

l lal < 1/2

rect(a)! 1/2 lal=1/2O altrove

(E2.3.1)

il cui andamento (impulso rettangolare) è rappresentato in Figura 2.9. Ladiscussione relativa ai punti di discontinuità del segnale a dente di sega di Figura2.3 è valida anche per il segnale rect(.). Ancora una volta, questa semplicefunzione rappresenta un' astrazione matematica utile per schematizzare impulsiche hanno un tempo di salita molto breve rispetto alla propria durata.Utilizzando questa funzione è possibile scrivere la seguente espressione per iltreno di impulsi rettangolari:

-x(t) =n~a.rect(t-; 1'0)

(E2.3.2)

rect(a)

-1/2 1/2

Figura 2.9 Grafico della funzione rect(a)

Il segnale periodico è infatti rappresentato come la sovrapposizione di infinitiimpulsi di durata T ottenuti ciascuno ritardando l'impulso "base" non periodicorect(t/T) di n1'osecondi con n =0,::1:1,...In questo caso diremo che l'impulso-base rect(t/T) è statoperiodicizzato con periodo di ripetizione 1'0per ottenere ilsegnale x(t). Il lettore può dimostrare facilmente che il segnale x(t) nella forma

di segnale-base ripetuto (E2.3.2)è effettivamente periodico di periodo 1'0.Calcoliamo ora i coefficienti dello sviluppo in serie del segnale in esame

utilizzando la (2.2.15):


=

=.

(nkT

)SIll-

a sin( nkfoT) - aT . ToL nk - T nkTo - o

To

(E2.3.3)(-j2nkfo)

Per esprimere Xk in una forma più concisa, definiamo una ulteriore funzionenotevole:

, (E2.3.4)

per CUi

Xk =aT sinc(

kT

)=a8sinc(k8)

To To

La funzione sincO, il cui grafico è mostrato in Figurai2.1O,verrà usata molto di

frequente nella pagine a seguire, e quindi è import~ evidenziarne alcunecaratteristichepeculiari. '-

(E2.3.5)

-0.2

-0.4-5 -4 -3 -2 -1 o

ex.

2 3 4 5

Figura 2.10 Andamento della funzione sinc( a)

1.2

1.0

0.8

0.6

'8'U 0.4c:'Ci)

0.2

32 Capitolo 2

Come si nota dalla Figura 2.10, essa si annulla per tutti i valori interi del suoargomento a diversi da zero, mentre nell'origine assume valore unitario. Ladiscontinuità in questo punto è stata infatti eliminata, osservando che

lim sin(na ) =1a O na

Inoltre, sinc(a) è una funzione pari in quanto rapporto di due funzioni dispari!tende ad annullarsi al tendere di a all'infinito, e in particolare soddisfa larelazione sinc(a)::; lI(n Ia I). Il calcolo dei punti di massimo e minimo dellafunzione porta invece a una equazione trascendente (che il lettore può facil-mente ricavare) e che non verrà presa in considerazione per brevità.

Scegliamo ora nel nostro treno di impulsi i valori particolari a =l e 8 =0.5.Gli spettri di ampiezza e fase del segnale hanno allora l'andamento illustratonelle Figure 2.11-2.12. Si nota che lo spettro di ampiezza è simmetrico rispettoalla frequenza O, mentre lo spettro di fase assume soltanto i valori O e I1t (ilcoefficiente di Fourier è infatti reale), e conserva simmetria dispari.

(E2.3.6)

2.6 Segnali pari, dispari e alternativi

Il segnale (periodico) x(t) è pari se verifica la relazione x(t) =x(-t). In tal caso,

il genericocoefficienteXk della seriedi Fourierdi x(t) è un~unzione paridik, cioè

(2.6.1)

Infatti, dalla (2.2.15) è immediato verificare che

(2.6.2)

nella quale, effettuando il cambiamento di variabile a =-t, si ottiene

1 -To/2 . 1 To/2 .

X-k = -""T f x(-a) e-J21rkfoada =""T f x(a) e-J2/difoada= Xko To/2 o -T./2

Poiché in generale sappiamo che Xk =(X-k )*,segue che Xk è reale, e quindi èpossibile riscrivere la serie di Fourier in forma séffiplificata:

(2.6.3)

...,. -I

x( t) = Xo + L Xk ej2n:kfol + L Xk ej2n:kfolk=1 k=-

(2.6.4)

l

0.75

0.50

0.25

0.00-10 -8 -6 -4 -2 o 2 4 6 8 10

k

Figura 2.11 Spettro di ampiezza del segnale di Figura 2.8 per o = 0.5 e a = l

4

-4-10 -8 -6 -4 -2 O 2 4 6 8 10

Il

Il

II

I

k

Figura 2.12 Spettro di fase del segnale di Figura 2.8 per 8 =0.5 e a =1

e, cambiandosegno all'indice nella seconda sommatoria, si ottiene

-+<o -+<o

x(t) =Xo + LXk ej21rlifol+ LX-k e-j21rlifolk=l k=l

(2.6.5)

I

1t I

\

-

-

-1t

2

=c

"'" OX'\IIl

d;J"'"

-2

34 Capitolo 2

Poiché Xk = X-k, unendo le due sommatorie si ha infine

- -x( t) = Xo + L Xk (ej21rkfot + e - j21rkfot) = Xo + 2 L Xk cos( 2rrkfot )

n=l k=l(2.6.6)

Il segnale è dunque esprimibile i~oli ~ Inoltre, il calcolo di Xkpuò essere effettuato con una formula semplificata. !!.lfatti,se nella (2.2.15) siriscrive l'esponenziale complesso nella funzione integranda in formarettangolare si ottiene

l ~p . ~p

Xk = r: J x( t) cos(2rrkf(/ ) dt - ~ Jx( t) sin( 2rrf%t) dto-~p o-~p(2.6.7)

La funzione iIitegranda del primo integrale della (2.6.7) è pari e pertanto tale

integrale può essere calcolato come

l To/2 2 To/2

- Jx( t) cos( 21rlifot ) dt = - Jx( t) cos( 2 rrf% t ) dtTo-To/2 To o

(2.6.8)

Invece il contributo del secondo integrale della (2.6.7) è nullo poiché la funzioneintegranda è dispari e l'intervallo di integrazione è simmetrico. In conclusione siricava che, se x(t) è reale e pari, il k-esimo coefficiente della sua serie di-- _. -_. _.-_o -

F~urierpuò e§,serecalcolatQ-c_~nla fOf!lli"iiase~p'lifi~ata--,

(

2 To/2

Xk = - Jx(t) cos(2rrf%t) dt E 9\ !To o -~,

r 1-Un segnale (periodico) x(t) è dispari se verifica la relazione

(2.6.9)

x(t) =-xC-t) (2.6.10)

Allora è possibile dimostrare, con considerazioni identiche a quelle fatte per isegnali pari, che la sua serie di Fourier gode delle proprietà seguenti:-- . -- ----. il coefficiente Xk della serie è una funzione dispari di k, cioè

(2.6.11)

ed è quindi immaginario puro. Ne consegue che Xo = O;. il segnale è sviluppabile in serie di soli seni:

+00

x(t) = 2jL:Xk sin(2nkfot)k=1

(2.6.12)

. il coefficiente Xk può essere calcolato con la seguente formula semplificata:

. 2 . To/2

Xk = - -1.. Jx( t) sin( 2nk.fot ) dtTo o

(2.6.13)

Relativamentealle simmetrie pari e dispari di un segnale, è interessante notarecheun segnale reale arbitrario x(t) può essere sempre scomposto come

(2.6.14)

dovei segnali xp(t) e xAt) sono rispettivamente la parte pari e la parte disparidel segnaledato:

(2.6.15)

-t) ~ ~;u J-

xAt)~x(t)-x(-t)2

,.(2.6.16)

( (2.6.17)

11Sulla base di questa scomposizione si può scrivere

oveevidentemente Xpk (il k-esimo coefficiente di xp(t) è reale, mentre Xdk (k-esimocoefficiente di xAt) è immaginario puro. Si conclude allora che la parterealedel coefficiente di Fourier di un segnale reale arbitrario x(t) rappresenta il

coefficiente dello sviluppo della sua parte pari xp(t), mentre la parteimmaginariadi Xk è (a meno del fattore j) il coefficiente dello sviluppo dellapartedispari xAt) di x(t).

Un segnale periodico x(t) è31tern::!.!.v.!!-se verifica la relazione

,I

x(t + To/2) = -x(t) (2.6.18)

cioè se l'andamento del segnale in un qualunque semiperiodo to ::;t < to + To / 2

è identico all'andamento nel semiperiodo precedente to- To /2::; t < to'

cambiato di segno (si veda la Figura 2.13 per un esempio). Allora il coefficiente

Xk della serie di Fourier di x(t) è nullo per tutti i valori pari dell'indice k.

Infatti Xk è dato da

i1111

r,

Ir

36 Capitolo 2

(2.6.19)

avendo suddiviso l'intervallo di integrazione [-~ /2, To/2] in due semiperiodi.

x(t)

Figura 2.13 Segnale .alternativo

Il secondo integrale a secondo membro della (2.6.19) può essere riscritto come

Sostituendo la (2.6.20) nella (2.6.19) si ricava

k To/2

Xk = 1- C-l) f xCt) e-j21difo'dtTo o

da cui

!

O

- To/2

Xk - ~ J x(t) e-j2trk!o'dtTo o

k pari

k dispari

e l'espressione (2.2.9) della serie di Fourier si semplifica come segue:

+00 +00

X(t )= ~ X ej2trk!o'= ~ X ej21f(2p+I)!o'£. k £.. 2p+1k=-oo p=-k dispari

,\\

(2.6.20)

(2.6.21)

(2.6.22)

(2.6.23)


avendo effettuato il cambiamento di variabile k =2p + l per rappresentarel'insieme dei numeri relativi dispari.

Esempio 2.4

Calcoliamo lo sviluppo in serie di Fourier del segnale onda quadra y( t) rappre-sentato in Figura 2.14a.

y(t)

(a)

x(t)

/

I\\

~

~ I,

'~

I

I~,J

o o o(b)

Figura 2.14 Segnale onda quadra (a) e treno di impulsi rettangolari (b)

Vediamo come esprimere questo segnale in funzione del treno di impulsirettangolari x(t) di Figura 2.8. Se per quest'ultimo assegnamo i valori a = 2A e

T=To/2 (8=1/2), otteniamo il segnale x(t) di Figura 2.14b. Allora èimmediatovedere che

y(t) = x(t) - A (E2.4.1)

Il segnale costante pari ad A a secondo membro della (E2.4.1) può essereconsiderato periodico con sviluppo in serie di Fourier ridotto al solo termine

costantee pari ovviamente ad a. Per la linearità della serie di Fourier si ha quindi

Il

A

000 000

-To/2,

To/2 To t

-A

2A

000 000

/2 l

38 Capitolo 2

(E2.4.2)

Poiché

Xk =2A8 sinc(8k) =A sinc(~)

la (E2.4.2) diventa

(E2.4.3)

~ = {; sinc(k/2)

k=O

altrimenti (E2.4.4)

D

2.7 Sintesi del segnale con un numero limitato di armoniche

Calcoliamo lo sviluppo in serie di Fourier del segnale onda quadra x(t)rappresentato in Figura 2.15.

Figura 2.15 Segnale onda quadra

TIsegnale è dispari e alternativo. Pertanto il calcolo del coefficiente Xk della suaserie di Fourier può essere effettuato con la formula semplificata (2.6.13) o conla (2.6.21). Scegliendo per semplicità la prima delle due, si ha:

2 . To/2 2A To/2

Xk = - --1. J x(t) sin( 27Tkfot)dt = - j - Jsin(2~t) dtTo o To o

. 2A( )1

1=To/2. A[ ]

. A[

k

]=] cos 2~t =] - cos(Jrk)-1 =] - (-1) -12nw T 1=0 nk nk"'lo o

(2.7.1)

da cui


{

O k pari

Xk = 2A k disparijnk

(2.7.2)

Come ci aspettavamo, la sequenza {Xk} dei coefficienti di Fourier dell'ondaquadra (qui in versione dispari) è immaginaria pura e dispari, e i coefficienti diordinepari sono tutti nulli (l'onda quadra è alternativa). Lo spettro risultante èquellodi Figura 2.16.

0.75

0.50

0.25

0.00 I I l I I I I I I

Il I I I I I I I-0.25

-0.50

-0.75-20 -16 -12 -8 -4 o 4 8 12 16 20

k

Figura 2.16 Spettro del segnale in Figura 2.15 con A =l

Lo sviluppo in s'erie di Fourier di x(t) (in soli seni) siIottiene sostituendol'espressionedegli Xk (2.7.2) nella (2.6.12):

x(t) =4Af sin(2n/%t)n k=l k

(2.7.3)I

li

i~1

iIIll!!

I

~ II ~IIIII

ili,Il

Si nota che l'ampiezza delle righe tende a zero come l/k quando k ~ 00. Questaè la minima "velocità" con cui lo spettro di ampiezza può decrescere, affinché laserie di funzioni (2.7.3) risulti convergente. In altri termini, l'ampiezza dellecomponentiarmoniche ad "alte frequenze" (cioè le armoniche di ordine elevato)è ancorarelativamente grande rispetto a quella delle prime armoniche.

Per meglio evidenziare questa peculiarità, consideriamo adesso lo sviluppo inseriedi Fourier del segnale onda triangolare x(t) rappresentato in Figura 2.17.

x(t)

40 Capitolo 2

A

Figura 2.17 Segnale onda triangolare

Questo segnale è pari e alternativo. Il k -esimo coefficiente Xk della sua seriediFourier può allora essere calcolato sostituendo nella formula semplificata (2.6.9)l'espressione

(2.7.4)

valida per O~ t ~ 1'0/2. Si ottiene così

2 To/2

(4

)Xk =- JA 1- ~ cos(21rkfot) dt1'0 o 1'0

2A~~ 8A~~t= - J cos( 2rrklrl) dt - - J - cos(21rkfot) dt

1'00 1'001'0

Il calcolo dei due integrali a secondo membro è immediato:

(2.7.5)

To/2

Jcos( 21rkfot) dt = Oo

(2.7.6)

~~ ~J! cos(21rkfot) dt =-(o

)2 [(-1t -1]o 1'0 21Ck

(2.7.7)

~~

k pari

k dispari (2.7.8)


Lo spettro del segnale è rappresentato in Figura 2.18. Si nota innanzitutto cheanche in questo caso tutti i coefficienti con indice pari sono nulli perché x(t) èalternativo.La caratteristica però più evidente in un confronto con la Figura 2.16è che l'ampiezza delle armoniche tende a zero molto più velocemente quandok ~ 00. La (2.7.8) suggerisce infatti che tale velocità è proporzionale a 1/ e;quindi,le armoniche superiori hanno meno "importanza" nella sintesi dell' ondatriangolarerispetto al caso dell' onda quadra.

0.75

0.50Il

0.25

0.00 . I 1 ,.1 I .

-0.25-20 -16 -12 -8 -4 o 4 8 12 16 20

k

Figura 2.18 Spettro del segnale in Figura 2.17 con A =1 //

Questocomportamento è un riflesso dell'andamento temporale dei due segnali:l'onda quadra presenta discontinuità, cioè brusche variazioni temporali delvalore del segnale, che viceversa non sono presenti nell' onda triangolare.Possiamo quindi dire che le variazioni "brusche" comportano la presenza diarmonichedi ordine più elevato. In altri termini, un segnale avente velocità dicambiamentomolto alta necessita per essere ricostruito di molte componenti ad"alta frequenza", cioè di molte armoniche di ordine superiore. Viceversa, unsegnalea variazione "più lenta" ha un contenuto di armoniche a frequenze piùbasse. Questo concetto verrà precisato nel Capitolo 4 discutendo i concetti dibandae durata di un segnale.

L'andamento delle ampiezze delle armoniche di tipo l/e è tipico dei segnalicon derivataprima discontinua, come l'onda triangolare di Figura 2.17. A questoproposito,consideriamo un ulteriore esempio.

IlIl

42 Capitolo 2

Esempio 2.5

Calcoliamo i coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier del segnale

cosinusoidale raddrizzato a doppia semionda x( t) = Alcos( 2rcfot)1 rappresentato

in Figura 2.19 (To = l/.fo, A> O).

1.0

- 0.5

~o(\Jìi)o 0.0(.)«J!..-X -0.5

-1.0\ /

-2.0 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

Tempo normalizzato tifo

1.5 2.0

Figura 2.19 Segnale cosinusoidale raddrizzato a doppia semionda

Questo'segnale è pari. ma soprattutto è periodico di periodo To12; pertanto lesue frequenze armoniche sono multiple della frequenza fondamentale 210. n k-

esimo coefficiente Xk della sua serie di Fourier può allora essere calcolato

sostituendo l'espressione analitica di x(t) nella formula semplificata (2.6.9)

(tenendo conto del fatto che ora il periodo del segnale vale ToI2).

Dunque:

4A To/4

Xk = - f cos( 2rcfot) cos( 4nkfot ) dtTo o

2A To/4

= - f {cos[ 2Jr(1 + 2k )fot] + cos[2Jr(I- 2k ).fot]} dtTo o

(E2.5.1)

Sviluppando il calcolo dei due integrali si ricava

Xk =A{~ sin

[Jr (1 + 2k )

]+ ~ sin

[Jr (1- 2k )

]}Jr l + 2k 2 1- 2k 2(E2.5.2)

.., 11,,

.I


Se inoltre si osserva che

(E2.5.3)

l'espressionedi Xk si semplifica come segue:

x = A (-l)k{~+~

}=(-l)k 2A !

k n 1+2k 1- 2k n 1- 4e(E2.5.4)

Si noti che, essendo x(t) reale e pari, i coefficienti del suo sviluppo in serie diFourier risultano reali e pari. Inoltre il valor medio del segnale x(t) è espressoda

I

I!I

Xm= Xo = 2An(E2.5.5)

Infine, osserviamo che si ritrova anche per questo segnale (continuo, ma con

derivataprima discontinua) l'andamento delle armoniche proporzionale a 1/ k2comenel caso dell' onda triangolare. D

:11\

L'equazione di sintesi (2.2.9) richiede un numero illimitato di armoniche perricostruire il segnale periodico x(t). Le considerazioni fatte a proposito deglisviluppidelle onde quadra e triangolare ci suggeriscono però che una approssi-mazionesoddisfacente del segnale può essere conseguita anJ;hecon un numerofinito di armoniche. Per avvalorare questa considerazion~'6i limiteremo qui a unesempio particolare, consideriando di nuovo il treno di impulsi rettangolaridell'Esempio2.3. Il suo k-esimo coefficiente di Fourier è

Xk = a 8 sinc(k 8) (2.7.9)

jlllli,

l"

i"

~

dove,ricordiamo, 8 = T/1'0, a è l'ampiezza del segnale, To il suo periodo e T èla duratadi ciascun impulso. Poniamo per semplicità a = 1, 8 = 0.5 e ricaviamol'espressione in forma polare della serie di Fourier:

1 -(

k

)x(t)=-+ L sinc - cos(2nkfot)2 k=l 2

D'altronde

(2.7.10)

I i

44 Capitolo 2

.

(k

)_Sin(k1r/2)=

{02 (-lik-l)/2

SlllC2" - k1r/ 2 k 1r

k pari

k dispari (2.7.11)

e quindi la serie può essere semplificata come segue:

x(t) =.!. + ~ f ~(-1)(k-1)/2 cos(2Jrk.fot)2 1r k=l k

k di.'pari

(2.7.12)

Consideriamo ora il segnale

~ 1 2 f 1 (k-I)/2 ( )XK(t)=-+- £.J -(-1) cos 2Jrk.fot2 1r k=l k

k dispari

(2.7.13)

ottenuto arrestando lo sviluppo (2.7.12) alla K-esima armonica. Nella Figura2.20 è possibile confrontare il segnale originale (treno di impulsi) x(t) con ilsegnale approssimante XK(t) che si ottiene per tre diversi valori del parametroK.Si nota che l'approssimazione del segnale periodico in esame può considerarsisoddisfacente anche con un numero esiguo di armoniche. In corrispondenza deipunti di discontinuità del treno di impulsi, il segnale approssimante presenta

inoltre delle fluttuazioni (ripple) attorno all'andamento del segnale x(t).Per il segnale dato, indipendentemente dal numero di armoniche K che si

usano nella ricostruzione di x(t), si ottiene comunque un segnale approssimanteche ha esattamente un valore massimo (nei pressi della discontinuità) pari circa a1.09a. Questo fatto è noto come fenomeno di Gibbs, e la sua presenza fa intuire

che la successione di funzioni {XK(t)} non converge uniformemente al segnalex(t)..-

Quanto detto a proposito della rapidità di convergenza dei coefficienti diFourier dell' onda triangolare di Figura 2.17 è facilmente riscontrabile dal con-fronto della Figura 2.20 con la Figura 2.21. Quest'ultima mostra ancora il se-gnale xK(t) ottenuto per sintesi di sole K armoniche, stavolta però relativamenteall'onda triangolare. È evidente che la ricostruzione del segnale periodicooriginario è molto migliore in questo secondo caso piuttosto che nel casodell'onda quadra, ovviamente a parità del numero di armoniche considerate.

I

-'"


1.4

L'h

K=31.0

0.8-" 0.6x- 0.4X

0.2

0.0

-0.2

-0.4-2 -1 o 1 2

Vfo (a)

1.4

.1.K=71.2

1\ 1\ 1\1.0

0.8-

0.6X- 0.4x

0.2

0.0

-0.2r I I-0.4 I I

-2 -1 o 1 2

Vfo (b)

1.4

I

K=151.2A A A

1.0

0.8

- 0.6X 0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4-2 -1 o 1 2

Vfo (c)

Figura 2.20 Approssimazione del treno di impulsi con 3 (a), 7 (b), e 15 (c) armoniche

.

46 Capitolo 2

1.25

1.00

K=3

0.00

IITO

0.25 0.50 0.75

1.25

1.00

0.5 0.8

1.25

-1.25-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0

IITO

0.2 0.4 0.6 0.8

1.00

(a)

1.0

(b)

1.0

Figura 2.21 Approssimazione dell'onda triangolare con 3 (a), 7 (b), e 15 (c) armoniche

(c)

0.25>:x 0.00-:5X -0.25

-0.50

-0.75

-1.00

-1.25-1.00 -0.75 -0.50 -0.25

"- 0.25>:x 0.00-X -0.25

-0.50

-0.75

-1.00

-1.25-1.0 -0.8

K=7

I I I r-0.5 -0.2 0.0 0.2

IITO

....." 0.25>:x 0.00

X -0.25

-0.50

-0.75

-1.00 V K=15

Sommario

Il punto nodale di questo capitolo è l'introduzione dello sviluppo in serie di

Fourierdi un segnale a tempo continuo x(t) periodico di periodo To.Questotipodi rappresentazione (l'equazione di sintesi) permette di pensare il segnalecome"scomposto"in una sovrapposizione di oscillazioni sinusoidali (le armoni-

che) a frequenza multipla della frequenza fondamentale fo =1/ To' L'ampiezza

e la fase delle armoniche sono regolate dall'ampiezza e dalla fase dei rispettivicoefficientidi Fourier Xk calcolabili a partire dal segnale x(t) attraversol'equazionedi analisi.

Laconoscenzadella successione completa dei coefficienti di Fourier è di fattoequivalentealla conoscenza dell'andamento del segnale nel tempo, cosicchéviene usata la scrittura x(t) <=>Xk per rappresentare sinteticamente questacorrispondenza.I coefficienti di Fourier del segnale, in generale complessi, ven-gonousualmente rappresentati in modulo e fase in funzione della frequenza ar-monicacui si riferiscono, e queste rappresentazioni costituiscono i cosiddettispettridi ampiezza e fase del segnale dato. Poiché il segnale x(t) assume valorireali, lo spettro di ampiezza è simmetrico rispetto alla frequenza O (cioè

IXkl =IX-kl)mentre lo spettro di fase è antisimmetrico (e cioè L.Xk = -L-X-k).Altreeventuali proprietà. di simmetria del segnale producono ulteriori vincolisuglispettridi ampiezza e fase del segnale: a segnale pari corrispondono coeffi-

cientidi Fourier reali, a segnale dispari corrispondono coefficientipnrnaginaripuri,a segnalealternativo corrispondono coefficienti di ordine pari nulli.

In pratica,la sintesi di un segnale periodico viene effettuata con un numero diarmonichefinito. Questo comporta un certo errore nella ricostruzione delsegnale,tanto minore quanto maggiore è il numero di armoniche considerate, matantomaggiorequanto più la velocità di variazione del segnale è grande: il casopiùsfavorevoleè quello di un segnale con discontinuità di prima specie, comel'ondaquadra.

Esercizi proposti

2.1 Si riprenda in considerazione l'esempio della squadra R-C del Paragrafo2.1. È in grado il lettore di calcolare i coefficienti di Fourier del segnaley(t) nel caso in cui il segnale x(t) sia l'onda quadra di Figura 2.15?

2.2 Dimostrareattraversola (2.2.9)che se x(t) <=> Xk, allora

dx(t) <=>j27difo . Xkdt

F

48 Capitolo 2

2.3

e sulla base di questo risultato ricavare i coefficienti di Fourier dell'ondaquadra di Figura 2.15 da quelli dell'onda triangolare di Figura 2.17.

Dimostrare attraverso la (2.2.15) che se x(t) ç:>Xk, allora

2.4

x(t - to)ç:>Xk . exp{- j2nk,foto}

Attraverso il risultato (2.7.8) sullo sviluppo in serie dell'onda triangolare,determinare i coefficienti di Fourier del segnale periodico di Figura 2.23.

x(t)2A

Figura 2.23

2.5 Sfruttando i risultati degli Esercizi 2.2 e 2.4 ricavare i coefficienti diFourier del segnale di Figura 2.22. [Suggerimento: si scomponga il segnaledato come differenza tra l'onda triangolare dell'Esercizio 2.4 e...]

x(t)2A

Figura 2.22

2.6 Determinare l'espressione dei coefficienti delle serie di Fourier dei segnalix(t) periodici di periodo 1;,rappresentati rispettivamente in Figura 2.24a-b-c (T =1'0/2).


Figura 2.24

-10/2

-T/2

x(t)

2...

-T/2 T/2

x(t)

x(t)

T/2 lQI2

-1

-1

(b)

(a)

Il!n!II

/ --" u

l.n .1

(c)

..I

3

Segnali aperiodici a tempo continuo

3.1 Dalla serie all'integrale di Fourier

n significato e l'importanza della rappresentazione in serie di Fourier di un se-

gnaleperiodico a tempo continuo sono stati ampiamente discussi nel Capitolo 2.Molti segnali che si osservano nei fenomeni naturali non sono però periodici.Sorgeallora immediata la questione della possibilità di ottenere una scomposi-zionesimile alla serie di Fourier anche per i segnali aperiodici. È possibile cioèrappresentareanche un segnale non periodico come una opportuna sovrapposi-

zione di segnali elementari, in particolare sinusoidali? Per rispondere a~stadomanda,consideriamocomecaso di studioil segnaleaperiodico '------

x(t)=rec{; )(3.1.1)

rappresentato in Figura 3.1, e per ricollegare il discorso a quanto visto nelCapitolo2 cerchiamo di mettere in relazione questo segnale con il treno di im-pulsirettangolariperiodico

(3.1.2)

di cui già conosciamo la rappresentazione in serie di Fourier. Come è chiaro,

x/t) è ottenuto periodicizzando x(t) con periodo di ripetizione To,come sugge-rito dalla Figura 3.2. Il segnale originario x(t) può essere considerato come una

sorta di caso-limite di un segnale periodico: partendo da x/t), si riottiene

-

52 Capitolo 3

l'impulso "base" x(t) centrato in t=Ose si pensa di fare una periodicizzazione di

periodo 1'0~ 00. Al di là del particolare esempio, se si costruisce un segnale

periodico x/t) per periodicizzazione del segnale aperiodico x(t) come nella(3.1.2), è vero in generale che

x(t) = lim xp(t)To---+oo

(3.1.3)

x(t)

1

-T/2 T/2 t

Figura 3.1 Impulso rettangolare aperiodico

x(t) x(t-To)

...

-T/2 T/2

Figura 3.2 Treno periodico di impulsi rettangolari

Naturalmente, il segnale xp(t), essendo periodico di periodo 1'0,può essererappresentato mediante serie di Fourier:

~

xp(t) = LXk ej2trk!olk=->o

(3.1.4)

con io =l/To e con i coefficienti di Fourier Xk dati da

Segnali aperiodici a tempo continuo 53

(3.1.5)

Nasceadesso l'esigenza di stabilire il comportamento della serie di Fourier

(3.1.4)e dei relativi coefficienti Xk (3.1.5) quando 1;,~ 00.Comeprima osservazione, è chiaro che aumentando il periodo ~ di ripeti-

zionesi riduce la frequenza fondamentale io, e quindi si riduce la differenza traduegenerichefrequenze armoniche consecutive kfo- (k -1).10 =.10.Ciò deter-minaun infittimento dello spettro del segnale se la scala di rappresentazionedellefrequenzeresta la stessa. Inoltre, dalla (3.1.5) si nota che l'ampiezza deicoefficientitende a ridursi man mano che ~ cresce; al limite, per ~ ~ 00, lospettrodi xp(t) tende a divenire sempre più fitto e ad assumere valori semprepiùpiccoliper tutte le frequenze armoniche. La Figura 3.3, relativa al treno diimpulsirettangolari(3.1.2), rappresenta lo spettro di ampiezza del segnale xp(t)pertrediversivalori del periodo 1;,e per un valore di T assegnato, ed evidenziachiaramentei due fenomeni appena discussi. Per evitare di dover specificare ilparticolarevalore del periodo T in secondi, la scala delle frequenze è stata nor-malizzataal valore della durata T dell'impulso x(t). Nel grafico si utilizza unavariabile"adimensionale" data appunto dal prodotto fT, come chiaramente indi-catonelladicitura dell'asse delle ascisse. Questo procedimento di normalizza-zionedellefrequenzeo dei tempi(edeventualmentedelleampiezze)verràusatosistematicamentenelle pagine a seguire per comodità di rappresentazione.

Si può facilmente ovviare al problema della riduzione delle ampiezze dellerighespettralidefinendo, per ciascuna delle frequenze armoniche kfo,una sortadi"coefficientedi Fourier modificato":

/ ----

To/2

X(kfo)!1;, Xk = fxp(t) e-j21d.fo'dt= Tsinc(kfoT)-To/2

(3.1.6)

cheevidentementeè una quantitàche non tende a zero per To~ 00. La Figura3.4rappresentaappunto l'andamento del modulo di X(kfo) nei casi consideratiin Figura 3.3. Intenzionalmente, è stata abbandonata la rappresentazione "arighe"dello spettro di ampiezze per passare a una rappresentazione "per punti"che evidenzia solo il valore dello spettro in corrispondenza della frequenzaarmonicagenerica, e mette ancora meglio in evidenza l'infittimento dellearmoniche.

Riscriviamo dunque l'espansione in serie di Fourier di x/t) usando ilcoefficientemodificato (3.1.6):

,.

54 Capitolo 3

-Xp(t) = LX(kh) ej21!kfol. io

k=-oo(3.1.7)

1.2

1.0TofT=4

0.8

0.6

-0.2-4 -3 ~ ~ O 1 2

Frequenza normalizzata, fT

3 4

Figura 3.3 Spettro di ampiezza del segnale periodico x p (t)

Possiamo adesso effettuare il passaggio cruciale al limite per Tu ~ 00 (ovvero

per io ~ O). Il segnaleperiodico x/t) a primo membro della (3.1.7) sitrasforma nel segnale aperiodico x(t); si nota inoltre che la serie a secondomembro è esattamente una somma di valori di una funzione valutata sui punti

discretiequispaziati kh (e cioè X(kfo)ej2I!kfol),moltiplicatiper il valore delladistanza io tra due punti consecutivi, distanza tendente a zero quando 'lo~ 00.

Al limite, la somma (per definizione!) si trasforma in un integrale, e si ottieneun6 sviluppo del segnale aperiodico x(t) come segue:

-x(t) = JX(J)ej21iftdf (3.1.8)

Il segnale aperiodico è dunque rappresentabile attraverso il cosiddetto integraledi Fourier. Resta da determinare l'espressione della funzione X(f) che comparenell'integrando della (3.1.8). Innanzitutto, è chiaro che tale quantità risulta unafunzione complessa della variabile continua f, che mantiene il significato difrequenza. L'espressione di X(!) si ottiene passando al limite per Tu~ 00 nellaespressione (3.1.6) del coefficiente di Fourier modificato:

~


To/2 ~

X(j) = lim J x ,(t) e-j2rrk!01 dt = J x(t) e-j21if/dtTu-+00 Ih~O-~P - (3.1.9)

cherappresenta la trasformata continua di Fourier del segnale x(t). In manieraeuristica,possiamo dire che la variabile continua f è, in un certo senso, il limitedellavariabile discreta kfodi partenza, quando .io~ O. La Figura 3.5, che rap-presenta l'ampiezza della X(f) risultante per il treno di impulsi rettangolari,permettedi visualizzare il passaggio al limite tra il coefficiente di Fourier modi-ficato X(kfo) di Figura 3.4, ancora funzione di variabile discreta, e la trasfor-matadi Fourier X(f), funzione, al contrario, di una variabile continua.

@

'.' TJT=16

0.2

~24 ~ ~ ~ O 2 3


Figura 3.4 Andamento del modulo del coefficiente di Fourier modificato X(kf.)

Commentiamoil risultato ottenuto. Nella serie di Fourier per un segnale pe-riodico, quest'ultimo viene rappresentato mediante componenti sinusoidali afrequenzein relazione armonica, cioè tutte multiple di un'unica fondamentale, edi ampiezzafinita. Nel caso del segnale aperiodico, la (3.1.8), detta anche anti-trasformatadi Fourier (o trasformata inversa di Fourier), permette ancora dirappresentareil segnale aperiodico x(t) come la sovrapposizione di componentisinusoidali,ma stavolta di ampiezza infinitesima X(J) df e di frequenza f va-riabilecon continuità su tutto l'asse reale. In altre parole, il segnale aperiodico èvistocome_un_segnaleperiodico "di peri.2.QQ.illimiiato~e_'l-uiJJdicon frequenzafondamentale"infinitamente piccola". La ç.oJjedjsçreJa di armoniche della serie

1.2

1.0

0.8

0.6'"O

X0.41

@

r56 Capitolo 3

degenera quindi nell'insieme continuo di componenti proprio dell'integrale diFourier (antitrasformata).

-2 -1 o 1 2


3 4

Figura 3.5 Ampiezza della Trasfonnata di Fourier dell'impulso rettangolare

Riportiamo di nuovo le due equazioni relative alla rappresentazione delsegnale aperiodico:

-x(t) = JX(J) ej21[{r dI

-X(J)= Jx(t)e-j21[{rdt (3.1.10)

La prima delle due rappresenta evidentemente un'equazione di sintesi chepermette di rappresentare il segnale come sovrapposizione di segnali elementari,ed echiaramente analoga alla (2.2.9) per i segnali periodici; la seconda èun'equazione di analisi (analoga alla (2.2.15)) che permette di determinare ilpeso che le varie componenti frequenziali (a tutte le possibili frequenze variabilicon continuità da -00 a -too)hanno nella composizione di x(t). Tali relazionimettono in corrispondenza un segnale del tempo con la propria trasformata diFourier, funzione a valori complessi della frequenza. Come d'uso anche con icoefficienti di Fourier, le relazioni (3.1.10) vengono riassunte con la notazione

x(t) <=> X(J) (3.1.11)

..

1.2

1.0

0.8

I:::: 0.6--'+-X 0.4

0.2

0.0

-0.2-4 -3

-Segnali aperiodici a tempo continuo 57

Un modo alternativo di indièare sinteticamente le operazioni di trasformata eantitrasformataè quello mutuato dalla notazione degli operatori caratteristicadell'analisifunzionale:

X(f)=.r[x(t)] , x(t)=.r-1[X(f)] (3.1.12)

In analogia a quanto visto per i coefficienti di Fourier Xk' si è soliti estrarredalla funzione complessa X(I) le funzioni reali modulo Arf e fase 1')(1)secondo la relazione

X(J)= A(I)eNU) (3.1.13)

La funzione A(I) rappresenta lo spettro di ampiezza del segnale, la funzione1J(J)il suo spettrQdi fase. Naturalmente, i due spettri forniscono informazioni

sull'ampiezzae sulla fase delle componenti frequenziali alla generica frequenzaf incui il segnale viene scomposto dal!' operazione di trasformata.

Per completezza, osserviamo che è d'uso talvolta esprimere la trasformatacontinuadi Fourier in funzione della pulsazione OJ=21if (misurata in rad/s) an-zichéin funzione della frequenza (in Hz). Dalle (3.1.8)-(3.1.9), con un cambia-mentodi variabile, si possono ricavare le equivalenti relazioni

(3.1.14)

che tuttavia non verranno più prese in considerazione in questo testo.

Esempio 3.1

Consideriamoil segnale impulso rettangolare x(t) =rect(t/T) e calcoliamone latrasformata di Fourier x(I). Questa è data da

~ T/2 -j2rift

I

T/2 . ('1rfT )X(J)=Jx(t)e-j2riftdt=J e-j2rçftdt=~ =~..- -T/2 ]21if -T/2 1if

=Tsinc(jT) (E3.1.l)

Gli spettri di ampiezza e di fase del segnale x(t) sono rappresentati nellaFigura3.6. Lo spettro di ampiezza presenta infiniti nulli per tutte le frequenzemultiple intere dell' inverso della durata dell'impulso (esclusa ovviamentef =O).Il risultato trovato si può dunque riassumere come segue:

58 Capitolo 3

rect(t / T) <=>Tsinc(fT) (E3.1.2)

o 2 3 4

Frequenza normalizzata, fT (a)

-4 -3 -2 -1 O 2 3 4

Frequenza normalizzata, fT (b)

Figura 3.6 Spettro di ampiezza (a) e di fase (b) dell'impulso rettangolare di ampiezza unitaria

Una verifica sulla correttezza di una coppia segnale<=>trasformata può essere

effettuata osservando che dalla equazione di analisi (3.1.9) con f = O si ha:

L..

1.2

1.0

0.8

t: 0.6---X 0.4

0.2

0.0

-0.2-4 -3 -2 -1

4

1t

2-Cal

l O-::t::..X"J

-2

-1t

-4

I I I I I I

-

-

- -

I I I I I I

~

X(O)=f x(t) dt(E3.1.3)

cioèil valore dell'integrale su tutto l'asse reale di un segnale è pari al valore per

f =Odella sua trasformata. Nel nostro caso abbiamo infatti

X(O) =Tsinc(O) = T(E3.1.4)

~ Tf2

f rect(t / T) dt = f 1 dt = T-Tf2

( (E3.1.5)

checonfermanola correttezza della (E3.1.l). Naturalmente, la trasformata X(f)

(E3.1.1) appena ricavata è esattamente uguale al risultato che si ottienecalcolandoil limite del coefficiente di Fourier modificato (3.1.6) del treno di

impulsirettangolariper To--700, cioè io --7O,e kfo--7i. O

Esempio 3.2Nella teoria dei segnali e dei sistemi è utile definire la funzione gradino unitario

u(t) (detta anche funzione di Heavyside), come segue:I Il I

{

l t>O

u(t)= 1/2 t=OO t<O

(E3.2.1)

Tale funzione, discontinua nell'origine, è utile per rappresentare in modo

conciso i segnali cosiddetti causati o cisoidati, cioè nulli pert < O. Un esponente

di questa classe è il segnale esponenziale unilatero x(t) = e-1fTu(t) mostrato inFigura3.7, la cui trasformata di Fourier X(f) è pari a

~ ~ -X(J)= fx(t)e-j2/ifidt= fe-I'Tu(t)e-j2/ifldt= f e-I(lfT+j2/if)dto

e-I(lfT+j2/if)

1

1=- T

=- 1/ T + j21if 1=0 = 1+ j21ifT

Allora gli spettri di ampiezza e di fase del segnale x( t) sono dati da

(E3.2.2)

T

A(J) = ~l+ (21ifT)2

, e(J) = - arctg(21ifT) (E3.2.3)

r

60 Capitolo 3

e sono rappresentati in Figura 3.8. Contrariamente alla Figura 3.6, lo spettro difase è stato rappresentato in gradi anziché radianti, come è d'uso nella pratica.

o 1 2 3

Tempo normalizzato, t!T

4 5 6

Figura 3.7 Segnale esponenziale unilatero

o

3.2 Proprietà della trasformata di Fourier

3.2.1 Criteri di esistenza

Indichiamo adesso delle condizioni sufficienti per la rappresentazione del se-gnale x(t) attraverso la propria trasformata di Fourier X(J), nel senso già di-scusso riguardo la serie di Fourier. Se tali condizioni sono soddisfatte è possibile

afferm~e che la conoscenza dell'andamento nel tempo del segnale x(t) è equi-valente alla conoscenza dell'andamento frequenziale della relativa trasformata diFourier.

Una prima condizione sufficiente afferma che se il segnale x(t) ha energiafinita:

~

Ex = Jlx(t)12dt <+00 (3.2.1)

allora la trasformata X(J) esiste, nel senso che l'integrale nella (3.1.9) è con-vergente, e la rappresentazione del segnale come integrale di Fourier (antitra-

sformata) coincide quasi ovunque col segnale originario x(t).

1.25

1.00

0.75

-.... 0.50X

0.25

0.00

-0.25-2 -1

Fjgura 3.8 Spettro di ampiezza (a) e fase (b) del segnale esponenziale unilatero

Un secondo criterio sufficiente meno restrittivo (criterio di Dirichlet) può essere

enunciato come segue (si confronti con il criterio per la serie di Fourier nelParagrafo 2.3):

. se il segnale x(t) è assolutamente sommabile, ovvero f:Ix(t) Idt < -too ;

. se in qualunque intervallo finito ti ~ t.~ t2 il segnale x(t) ha un numero finitodi discontinuitàdi prima specie;

1.25

1.00

0.75

!;- 0.50--0.25

0.00

-0.25-5 -4 -3 .2 -1 o 1 / 2 3 4 5

Frequenza normalizza{a, 21tfT(a)

180

135

90

-'5 45<tS...O> O---X -45'\J

-90

-135

-180-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5

Frequenza normalizzata, 21tfT(b)

62 Capitolo 3

. se in qualunque intervallo finito t] ~ t ~ t2 il segnale x(t) ha un numerofinitodi massimi e minimi;

allora il segnale è rappresentabile come integrale di Fourier (cioè antitra-

sformata della sua propria trasformata di Fourier X(J» secondo le (3.1.10),enei punti di discontinuità l'integrale di Fourier converge alla semisomma deilimiti destro e sinistro del segnale.

3.2.2 Simmetrie degli spettri

La funzione complessa X(J) può essere rappresentata in forma polare (3.1.13)oin forma rettangolare:

X(J) = R(J) + jf(J) (3.2.2)

ove R(J) e f(J) ne rappresentano rispettivamente la parte reale.e la parteimmaginaria. Cerchiamo ora di stabilire in che modo le proprietà della funzionex(t) si riflettano nella sua trasformata.

Supponiamo che x(t) sia una funzione reale; in tal caso le funzioni R(J)ef(J) si ricavano immediatamente dalla (3.1.9):

~

R(J) = f x( t) cos( 21ift )dt (3.2.3)

~

f(J) =- f x(t) sin(21ift)dt (3.2.4)

Da quest; espressioni si vede chiaramente che

R(J) =R(-f) (3.2.5)

f(J) =-f( - f) (3.2.6)

ovvero la parte reale della trasformata di un segnale reale è una funzione paridella frequenza, mentre la parte immaginaria ne è una funzione dispari. Questesimmetrie si possono riassumere scrivendo

X(J) = X*(- f) (3.2.7)

secondo cuipa trasformata di un segnale reale gode della proprietà di simmetria

Hermltiana Jo coniugata). La medesima proprietà si riflette ovviamente ancbèr nelle funzioni A(J) e 1J(J): .


A(j) =A(-f) (3.2.8)

1J(j)= -6(- f) (3.2.9)

per cui lo spettro di ampiezza di un segnale reale è una funzione pari, mentre ilsuospettrodi fase è dispari (si rivedano a questo proposito le Figure 3.6 e 3.8).

3.2.3 Segnali pari e dispari

Supponiamoadesso che x(t) sia un segnale reale e pari. Le (3.2.3)-(3.2.4) sisemplificanocome segue

R(J)=2[x(t)COS(2*);f(j) =O

(3.2.10)

(3.2.11)

poiché la funzione integranda della (3.2.3) è pari, mentre quella della (3.2.4) èdispari.Ciò dimostra che la trasformata di un segnale reale e pari è una funzionerealee pari della frequenza. Se invece x(t) è reale e dispari, le (3.2.3)-(3.2.4)diventano

(3.2.12)

~

f(j) = -2 Jx(t) sin(2Jift)dto

(3.2.13)

poichéstavolta la funzione integranda della (3.2.3) è dispari, mentre quella della

(3.2.4)è pari. Perciò, la trasformata di un segnale reale e dispari è una f~nzione!!!!!!:!aginariapura e dispari.

\, 3.3 Teoremi sulla trasformata di Fourier

Dalladefinizione di trasformata, seguono facilmente alcune ulteriori proprietà,che chiameremo teoremi, estremamente utili nel calcolo delle trasformate dei

segnali e comunque nell.'uso dell'analisi di Fourier in problemi di carattereapplicativo.

3.3.1 Teorema di linearità

Può essere conveniente in molti casi esprimere un segnale x(t) come combina-zionelineare di due segnali XI(t) e X2(t):

64 Capitolo 3

I x(t)~a:l(t)+bX2(t)) (3.3.1)co; a e b costanti. Indicando come di consueto con XI(J) e X2(J) le trasfor-mate rispettivamente dei segnali XI(t) e X2(t), la trasformata X(J) di x(t) è al-lora

( X(J) =a XI (J) ~ b X2U)J(3.3.2)

Infatti, applicando la definizione di trasformata (3.1.9) abbiamo

~ ~

X(J) = f x(t) e-j211jt dt = Ha xl(t) + b X2(t)] e-j211jtdt (3.3.3)

e sfruttando la linearità dell'integrale otteniamo

~ ~

X(J) = a f xl(t) e-j211jtdt+ b f x2(t) e-j211jtdt= a XI (J) + b X2(J) (3.3.4)

3.3.2 Teorema di dualità

La similitudine tra le relazioni (3.1.10) di trasformata e antitrasformata intese

come "operatori" sulle funzioni rispettivamente x(t) e X(J) permette di risol-

vere una questione: se X(J) indica la trasformata del segnale x(t), qual è la tra-sformata del segnale temporale X(t), avente cioè lo stesso andamento temporale

originariamente posseduto nell' ambito frequenziale dalla trasformata di X(l)?

La risposta è la seguente: se

~~X(JDallora

(3.3.5)

(3.3.6)

Infatti, sappiamo che il segnale x(t) è legato alla sua trasformata dalla relazione

~

x(t) = fX(J) ej211jtdJ(3.3.7)

Scambiando formalmente le variabili t ed J nella (3.3.7) si ricava

~

x(J) = f X(t) ej2Trt/ dt (3.3.8)

N


Se poi in questa relazione si effettua un cambiamento di variabile sostituendoallavariabile f la variabile - f, si ottiene

~

x(-f) = JX(t)e-j21ifldt (3.3.9)

che coincide con la (3.3.6).

Esempio 3.3

Consideriamoil segoale x(t) ~ sinc(B(ffiPiO 3.1 sappiamo che

rec{~) <=> T sinc(jT) (E3.3.I)

I ,I

Utilizzando la proprietà di dualità è allora possibile scrivere:

Tsinc(T t) <=>rec{ - ~) (E3.3.2)

Poiché l'impulso rettangolare è una funzione pari, ponendo formalmente

B =!5Si trova la seguente relazione, duale della (E3.1.I):

sinc( B t) <=>! rect (f )-- B B

'/ J'T](E3.3.3)

O

I ~

i I

Il-J3.3.3 Teorema del ritardo

Come viene modificata la trasformata di un segnale se questo viene traslato

sull'assedei tempi (cioè, anticipato o ritardato)? Sia dunque X(J) la trasformatadel segnale x(t); allora la trasformata del segnale traslato verso destra dellaquantità to è

(3.3.10)

Questa operazione corrisponde evidentemente a un ritardo se to> O, e a unanticipose to< O.Applicando la definizione di trasformata si ha

~

x(t-to)<=> J x(t-to)e-j21iftdt (3.3.11)

66 Capitolo 3

Se nell'integrale che figura nella relazione precedente si effettua il cambiamentodi variabile a =t - to si ricava

~ ~

x(t - to) <=> f x( a) e-j21if(a+to )da = e-j21ifto f x( a) e-j21ifada(3.3.12)

dalla quale segue immediatamente la (3.3.10).Questa proprietà mostra che un ritardo temporale modifica lo spettro di fase

della trasformata del segnale ma non cambia il suo spettro di ampiezza. Infatti,

se si indica con f(J) la trasformata di Fourier del segnale x(t - to)' il teoreIltadel ritardo si traduce nelle seguenti relazioni: /

If(J)1=IX(J)I (3.3.13)

Lf(J) = LX(J) - 27ifto (3.3.14)

la seconda delle quali sottolinea che lo sfasamento introdotto dal ritardo to varialinearmente con la frequenza.

Esempio 3.4Consideriamo l'impulso rettangolare dell'\ Esempio 3.1 ritardato di metà dellasua durata (Figura 3.9):

x(t) =rec{t -;/2)(E3.4.1)

e calcoliamo la sua trasformata continua.

x(t) ..A

+T/2 T t

Figura 3.9 Impulso rettangolare ritardato

Utilizzando la (E3.LI) e il teorema del ritardo (3.3.10) si ricava che

~

.J


X(J)!T sinc(jT) e-j21C/T/2= AT sinc(jT) e-jlrjT (E3.4.2)

Lo spettro di ampiezza del segnale è ancora quello rappresentato in Figura 3.5,mentre il nuovo spettro di fase è rappresentato in Figura 3.10. Si noti che lospettrodi fase viene rappresentato riducendo il valore della fase tra -re e re,cioèse ne considerail valore modulo-2re.

Frequenza normalizzata, fT"O

Figura 3.10 Spettro di fase dell'impulso rettangolare ritardato

o

Esempio3.5Consideriamo il segnale esponenziale unilatero dell'Esempio 3.2 ritardato dito =T/l 6 secondi:

(E3.5.1)

e ca1coliamonela trasformata continua X(f). Il segnale x(t) è rappresentato atratto spesso in Figura 3.11, insieme al segnale esponenziale non ritardato,mostrato a linea tratteggiata. Utilizzando la (E3.2.2) e il teorema del ritardo(3.3.10)si ricava:

I

, I

X(J)= T e-j2rrfto = T e-jTrjT/81+j2rcjT l + j2rcjT

(E3.5.2)

180

135

90-'5 45(\j....C>

o----X -45"J

-90

-135

-180-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5

W-.- -I

68 Capitolo 3

to=T/16

0.4 0.8 1.2 1.6

Tempo normalizzato, t/T

2.0 2.4

Figura 3.11 Segnale esponenziale ritardato di to=T/16...

Lo spettro di ampiezza del segnale è ancora quello rappresentato in Figura 3.8a.Lo spettro di fase è invece rappresentato in Figura 3.12 (a tratto spesso) ed èespresso daIII

fJ(J)=- arctg(21ifT) -1ifT /8 (E3.5.3)

Nella stessa figura sono anche illustrati gli andamenti dei due adàendi a secondomembro della (E3.5.3). D

. 3.3.4 Teorema del cambiamento di scala

Per illustrare il significato di questo teorema facciamo riferimento come caso distudio all'impulso rettangolare x(t) di durata T (3.1.1), avente come trasformataX(!) =Tsinc(fF), e a un impulso rettangolare y(t) di durata doppia:

y(t) = rec{;T ) ~ 2Tsinc(2fF)(3.3.15)

Possiamo considerare y(t) come una versione "rallentata" di x(t), perché laforma del segnaleè rimastainalterata,ma la sua durata è raddoppiata. Dalla(3.3.15) si nota che y(t) ha ancora una trasformata del tipo sinc(.). il cui loboprincipaleperòha unalarghezza(danulloa nullo)paria 1fT, cioèpariallametàdella larghezza 2/T del lobo principale della trasformata di x(t).

1.25

1.00

0.75

-- 0.50-X

0.25

0.00

-0.25-0.4 0.0

....


-4 -3 -2 -1 o 2 3 4 5

Figura 3.12 Spettro di fase dell'esponenziale unilatero ritardato di T/16


"-

Questocaso particolareesemplificala situazionegeneralein cui i due segnalisono legati dalla relazione

y( t ) = x( at ) (3.3.16)

cioè si effettua un cambiamento della scala temporale. Moltiplicando la varia-bile indipendente t del segnale x(t) per il coefficiente a si producono i seguentieffetti:

lal>1lal<1a<O

~

~compressione della scala dei tempi

dilatazione della scala dei tempi

inversione della scala dei tempi

In altri termini, se lal l il segnale viene "accelerato". Operazioni di questo tipo vengonoeffettuate correntemente nell'elaborazione dei segnali registrando il segnale sunastro o su disco a una certa velocità e riproducendolo a velocità diversa.Supponiamo per semplicità che sia a > Oe calcoliamo la trasformata del segnalex(at). Possiamo scrivere:

~

x(at) ç:> Jx(at) e-j21r/'dt (3.3.17)

180

135

90 '"

..-.'6 45

-9 o..-.--X -45"J

-90

-135

70 Capitolo 3

Effettuando la sostituzione z = a t a secondomembrosi ha

1 ~ . 1

(I)x(at) <=>- J x(z) e-J21if</adz = -x - , a> Oa- a a (f.3.18)

Se invece è a < O allora la (3.3.18) si modifica nella

(3.3.19)

I risultati (3.3.18)-(3.3.19) possono allora essere riassunti da

rat)~ ,~x(f~Si nota che una dilatazione dell'asse dei tempi compnr.ta,,!oa-c:ompressionedel-l'asse delle frequenze, e viceversa. Se infatti il segnale vie~è"i.-allentato" ven--- .gono a predominare le componenti frequenziali a bassa frequenza che sono re-sponsabili per così dire dell' evoluzione lenta del segnale; lo spettro allora si"addensa" nell'intorno della frequenza nulla.

(3.3.20)

Esempio 3.6

Consideriamo i seguenti due segnali (Figura 3.13):

x(t) = sinc( ~ )(E3.6.1)

(E3.6.2)

Se si osserva che

y(t) =x(at) (E3.6.3)

con a =1/2, applicando il teorema del cambiamento di scala si ricava:

f(f) =2 X(2j) =2Trect(2jT) (E3.6.4)

L'andamento dei segnali x(t) e y(t) e delle loro trasformate X(f) e f(f) èillustrato nella Figura 3.13, che evidenzia molto bene il comportamento "duale"nei domini tempo e frequenza: al segnale più "veloce" x(t) (compresso nel

....

Segnali aperiodici a tempo continuo' 71

tempo) corrisponde una trasformata X(J) contenente componenti a più altefrequenze(espansa in frequenza).

1.5

x(l)

-0.5-5 -4 -3 -2 -1 o 2 3 4 5

Tempo normalizzato, t/T (a)

Y(f)=X(f/a)/1 a I la=1/21

X(f)

-0.5-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5


Figura 3.13 Andamento temporale (a) e spettro (b) dei segnali dell'Esempio 3.6

oEsempio 3.7

Calcoliamola trasformata di Fourier

rappresentatoin Figura 3.14a:Y(J) del segnale esponenziale bilatero

1.0

oQ.EQ)

0.5I-

(ijc:::O>Q)

Cf) 0.0

2.5

t 2.0....Q).L:::J 1.5ou..'5Q) 1.0-«1E....

0.5o-CI)«1....

t: 0.0

~ ~ o 1 2

Tempo normalizzato, VI

3 4

2~

-0.50-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5


2.0 2.5 3.0

Figura 3.14 Andamento temporale (a) e spettro (b) del segnale esponenziale bilatero

(E3.7.1)

5

(a)

(b)

Il segnale y(t) può essere espresso in funzione del segnale esponenziale unila-

tero x(t) =e-1fTu(t) dell'Esempio 3.2 come

y(t) = x(t) + x(-t) (E3.7.2)

72 Capitolo 3

y(t) =e-111fT

1.25

1.00

0.75

-- 0.50->-0.25

0.00

-0.25-5 -4 -3

2.00

1.50

I:::- 1.00-):'

. 0.50

0.00

.....


Utilizzandoil teorema del cambiamento di scala con a = -1, dalla (E3.7.2)sincava:

f(J) = X(J) +X(-i) (E3.7.3)

Sostituendol'espressione di XJf}data dalla (E3.7.2) si trova infine l'espres-sionedi f(J): (

f - T + T - 2T(J) - 1+ j2rcjT 1- j2rcjT - 1+ (2rcjT)2

(E3.7.4)

rappresentata in Figura 3.l4b. o

3.3.5 Teorema della modulazione

Enunciamo ora formalmente il cosiddetto teorema della modulazione prima di

descriveme una applicazione importante. Se, come di consueto, x(t) <=>X(f),allora

x(t )cos( 2rcfot) <=>X(J - io) + x(J + io) (3.3.21)

~

.'f[x(t)cos(2rcfot)] = J x(t)cos(2rcfot) e-j2;rjidt

I

rIII

Cerchiamo infatti la trasformata del segnale a primo membro:

(3.3.22)

Ricordando che

cos( 2rcfot ) = ej2trfol + e - j2trfol2 (3.3.23)

SIncava

= ~ Ix(t) e-j211(J-!o)1 dt + ~ j x(t) e-j21C(j+!o)1 d~(3.3.24)

Rivolgiamoora la nostra attenzione al primo integrale della (3.3.24); è imme-diatorendersi conto che

74 Capitolo 3

~

J x(t) e-j2n(J-fo)t dt = X(J - fu) (3.3:25)

Una prima conclusione che possiamo trarre è la seguente: se un segnale viene

moltiplicato per un fattore esponenziale complesso ej21ifot,la sua trasformata di/Fourier viene traslata attorno alla frequenza io. Questorisultatorappresenta(racosiddetta proprietà di traslazione in frequenza della trasformata e può essereriassunto come segue:

(3.3.26)

Allora la trasformata cercata del segnale modulato x(t) cos(2J%t) può essereespressa come

j"[x(t)cos(2J%t)] = X(J - fu) + X(J + fu) (3.3.27)

Esaminiamo ora una applicazione pratica di questo risultato.

Esempio 3.8

È noto che gli oggetti metallici riflettono le onde elettromagnetiche, e che questaproprietà dei corpi conduttori si accentua al crescere della frequenza della radia-zione incidente. Su questo fenomeno sono basati i sistemi radar1 di rivelazione emisura della distanza di oggetti metallici (tipicamente aerei o navi). Lo schemadi principio di un radar è rappresentato in Figura 3.15: l;antenna trasmittenteemette un impulso radio x(t) e si dispone a ricevere poi un segnale y(t) di ecoriemesso dal bersaglio per semplice riflessione. L'eventuale ricezione di un' ecopermette di rivelare la presenza del "bersaglio radar", cioè di un oggetto metal-lico di grosse dimensioni.

Attraverso la misura del ritardo dell'eco rispetto all'istante di trasmissionedell' impulso è possibile inoltre calcolare la distanza dell' oggetto riflettente daltrasmettitore. I segnali trasmesso e ricevuto sono schematizzati in Figura 3.16.Se indichiamo con 1: il ritardo di ricezione dell' eco radar e d la distanza che

separa il radar dall'oggetto individuato, possiamo scrivere

d=c1:/2 (E3.8.1)

1 Radar è l'acronimo di RAdio Detection And Ranging, letteralmente: rivelazione e misura della

distanza tramite onde radio.


ove c è la velocità di propagazione dell'onda elettromagnetica (c = 3.108 rnIs).

11fattore 1/2 che compare nella relazione (E3.8.1) deriva dal fatto che l'impulsopercorreduevoltela distanzad antenna-bersaglio.

Antennarotante

.\

Impulsotrasmesso"') ,Ecoradar

~' ,~

l\t~~~~""

. , \. \.. ~,~ \\ f

I . J. r

Ir

,

rr

I

i

Figura 3.15 Sistema radar

Figura 3.16 Segnale trasmesso ed eco radar

11valore tipico della durata T dell'impulso trasmesso x(t) è pari all'incirca a lIls. Viene utilizzato un valore così piccolo per evitare che, usando impulsi diduratamaggiore, l'eco possa sovrapporsi all'impulso trasmesso. Lo spettro di

't ..I1II

x(t) 1II1III

y(t)I I I

01 T 't HT t

76 Capitolo 3

ampiezza del segnale trasmesso è allora

IXer)1= T Isinc(jT)1 (E3.8.2)

Se si osserva l'andamento della funzione IX(J)I riportato in Figura 3.5, si puònotare che la parte più significativa dello spettro dell'impulso rettangolare ècontenuta entro un intervallo frequenziale che si estende dalla frequenza zerofino a ~ = l/T che rappresenta il primo nullo della funzione sinc(} Con il va-lore di T =1 j..ls,possiamo affermare dunque che le componenti frequenziali si-gnificative nello spettro del segnale sono limitate a valori dell'ordine di 1 MHz.Sfortunatamente, tali valori di frequenza sono troppo bassi per provocare una ri-flessione adeguata del segnale radio, e non garantiscono quindi una rilevazioneefficace dell'eco radar. Diventa necessario trasmettere un segnale che presenticontemporaneamente durata limitata per quanto già visto, ma la cui parte signi-ficativa dello spettro si trovi afrequenze molto più elevate, in pratica dell'ordinedi lo = 1GHz = 109Hz, per dar luogo a una buona riflessione e quindi a unabuona eco. Ciò che viene trasmesso dal radar è allora un impulso a radiofre-quenza

x(t) = rec{~ )cOS(21%t)(E3.8.3)

il cui andamento è rappresentato in Figura 3.17. Il segnale risultante è uno"spezzone" di durata T dell'oscillazione cosiddetta portante alla frequenza lo.Nella Figura 3.17, la frequenza portante è pari a sole lO volte l'inverso della du-rata dell'impulso. In realtà, se T = 1 j..lsed io = 1 GHz, l'impulso trasmesso ri-sulta formato da un migliaio di cicli dell' oscillazione portante. Lo spettro del-l'impulso a radiofrequenza è immediatamente calcolabile mediante il teoremadella modulazione:

rec{ ~ ) cos(27ifot) <=>T sinc[ (J - fo)T] + T sinc[ (J + io)T]2(E3.8.4)

che viene rappresentato, ancora nel caso semplificato io = IO/T, in Figura3.18.Si ottiene uno spettro sostanzialmente concentrato attorno alla frequenza lo,mantenendo un segnale di tipo impulsivo con durata-ancora pari a T. Nel casoreale in cui io =1 GHz, le due repliche dello spettro originario create dalla mo-dulazione sono molto più "distanziate" sull'asse frequenziale nei confronti dellalarghezza dei lobi delle funzioni sinc(.) di quanto la Figura 3.18 non mostri.


1.5

1.0-~o 0.5C\I(j)

8 0.0

~-~ -0.5....

-1.0

-1.5-2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0


1.5 2.0 2.5

Figura 3.17 Impulso a radiofrequenza

0.75

~.....X-O-(\3N.!:1(ijE....Oc:

e==Q)Cl.rn

I fo=1orr I

0.50

0.25

0.00

-0.25-20 -10 o 10 20


Figura 3.18 Spettro dell'impulso a radiofrequenzao

3.3.6 Teoremi di derivazione e integrazioneNellaelaborazione dei segnali a tempo continuo, si effettuano spesso operazioni

I I I I I I I I

f- fo=10rr I

-

I-\

-

I- -

-

I I I I I I I I I

78 Capitolo 3

di derivazione e/o integrazione temporale dei segnali stessi. Sorge quindi lanecessità di determinare le trasformate dei nuovi segnali ottenuti con tali

operazlO111.

Consideriamo dunque come di consueto un segnale x(t) con trasformata

X(J). Questi può essere espresso come integrale di Fourier:

~

x(t) = J X(J) ej2J!fldf (3.3.28)

Se inoltre il segnale è derivabile,

dx(t) =!!:.- jX(J) ej2J!f1 dfdt dt - (3.3.29)

Procediamo nel calcolo del secondo membro della (3.3.29) invertendo le

operazioni di derivazione e di integrazione:

(3.3.30)

Nell'ultimo passaggio della (3.3.30) è stato sfruttato il fatto che l'esponenziale èl'unica funzione che dipende da t. Calcolando quindi la derivata si ottiene

dx(t) = J~ X(J)(j21if) ej2J!f1dfdt -

Ponendof(J) = (j21if)X(J) nella (3.3.31) si ha infine

(3.3.31)

dx(t) =J~ f(J) ej2J!fldfdt -

e quindi (si confronti con la (3.3.28)) possiamo affermare che f(J) è latrasformata della funzione dx(t)/dt. Concludiamo allora con la seguenterelazione di corrispondenza che prende il nome di teorema di derivazione

(3.3.32)

dx(t) ~ j21if. X(J)dt

(3.3.33)

L'operazione di derivata temporale di un segnale si traduce, nel dominio dellafrequenza, in una semplice operazione algebrica, e cioè in una alterazione ditutte le componenti frequenziali secondo un fattore j21if proporzionale al valore


dellafrequenzastessa. Olt~ea uno sfasamento di In / 2 (a seconda del segno dif), l'operazione di derivata comporta in particolare una esaltazione delle

c~iitpbnenti alle alte freq~~nz::. Q""uest~ fenomeno è eVi

j. nte dalla Figura 3:"19,'""

che mostra la derivata y(t) del segnale x(t) =exp(- t l/T) (esponenziale

bilatero),lo spettro di tale segnale, e lo spettro di ampi za IY(f) I del segnalederivato dx(t)/ dt .

Risolviamoadesso il problema inverso; indichiamo con y(t) lafunzione inte-grale(o segnale integrale, o primitiva) di x(t), definita come segue:

I

y(t) =f x(a) da (3.3.34)

Poichéovviamente x(t) =dy(t)/ dt, utilizzando il teorema di derivazione si ha

X(J) =j21if Y(J) (3.3.35)

da cui si ricava

(3.3.36)

Il risultato è noto come teorema di integrazione e si riassume con1 l

fx(a) da ~ ~(J)L- ]21if I

Ancorauna volta, una operazione di calcolo differenziale in ambito temporale sitraducein una semplice operazione algebrica (una divisione per il fattore j21if)in ambito frequenziale. In questo caso, dualmente al teorema di derivazione,vengonoesaltate le componentl a bassa frequenza nello spettro del segnale, e. -attenuatequelle alle alte frequenze.

Il teoremadi integrazione è però valido sotto un'ipotesi ben precisa: dal punto- --- - --di vista puramente a1gebrico, la (3.3.36) è equivalente alla (3.3.35) solo perf *O. Quando f =O, affinché la (3.3.35) possa essere verificata, si deve avere

_X(O)= O, altrimenti l'uguaglianza è impossibile. La condizione X(O) = O

equivale ad affermare che il segnale x(t) "sottende area nulla". Abbiamo giàvistoinfatti nell' Esempio 3.1 che

(3.3.37)

~

X(O)= fx(t) dt (3.3.38)

1.25

1.00

0.75

0.50'5::: 0.25X" 0.00I-~ -0.25>;

-0.50

-0.75

.1.00

-1.25.S -4 -3 -2 -1 O l 2 3 4 S

Tempo normalizzato, 1fT (a)

3.S0

." 3.00

L Ii2"lflT

:.:

~

.

A

I~ I:S0 \ !g \ !

1.00

O.SO

0.00

-0.50.3.0 -2.S -2.0 -1.S -1.0 -O.S 0.0 O.S 1.0 1.S 2.0 2.5 3.0


I I I I I I I I I I I1.00

O.SO

~- 0.00):'

-O.SO

-1.00

I I I I I I I I I I I~ -4 ~ ~ 4 O l 2 3 4 S

Frequenza normalizzata, fT (c)

80 Capitolo 3

Figura 3.19 Derivata temporale (a) e trasformata (b) del segnale esponenziale bilatero;trasformata della derivata dello stesso segnale (c)

l


Alternativamente, la stessa condizione può essere espressa dicendo che ilsegnale y(t) deve tendere a un valore nullo quando t -7 00: y(-too)= O. Dalladefinizionedi funzione integrale (3.3.34) si vede infatti che

~

y(+oo)= J x(t) dt = X(O) (3.3.39)

Unesempiodi applicazione del teorema di integrazione è illustrato nella Figura

3.20in cui il segnale integrato x(t) sottende area nullaYngono mostrati ilsegnaleintegrale y(t) (che ha valore all'infinito nullo); e le due trasformateX(f) e Y(f).

L'ipotesi necessaria per l'applicabilità del teorema di integrazione deriva dalfatto che se la funzione y(t) tendesse a un valore non nullo al tendere di tall'infinito,essa non avrebbe energiafinita e in generale potrebbe non esistere lasuatrasformatadi Fourier. Dopo l'introduzione nel Paragrafo 3.4 delle funzionigeneralizzate, saremo in grado di ricavare una versione del teorema diintegrazionevalida incondizionatamente.

Esempio3.9

Vediamocome i teoremi di derivazione e integrazione risultino fondamentalinell'applicazionedell'analisi di Fourier alla teoria dei circuiti lineari.

Consideriamo dunque il circuito elettrico di Figura 3.21 (squadra C-R).Supponendo di conoscere la tensione in ingresso v;(t) ci proponiamo dicalcolare quella in uscita VI/(t).Stavolta, contrariamente a quanto visto nelParagrafo 2.1, non faremo nessuna ipotesi sulla periodicità del segnaled'ingresso.Le due grandezze sono legate dalla semplice relazione

(E3.9.1)

dove vc(t) è la tensione ai capi del condensatore C,

(E3.9.2)

La corrente di maglia i(t) è inoltre legata alla tensione di uscita dalla relazionei(t)= vl/(t)/R. Sostituendo quest'ultima e la (E3.9.2) nella (E3.9.1) si ricava

(E3.9.3)

82 Capitolo 3

1.5 1.5

1.01.0

0.0

0.5

S 0.0x

C:~ 0.5:;:;

-0.5

-1.0

-1.5-3 ~ ~ O l 2


3~5

~ .2 -1 O 1 2


3

(a) (b)

Figura 3.20 Applicazione del teorema di integrazione: segnale integrando (a), segnaleintegrale(b), trasformata del segnale integrando (c) e trasformata del segnale integrale (d)

-

-,

2.0

1.5

1.0

0.5f-

0.0

g ..-0.5

-1.0

.1.5

-2.0.5 -4 -3 .2 -1 o l 2 3 4 5

Frequenza normalizzata, fT (c)

1.25

1.00

0.75

C:- 0.50>="

0.25

0.00

-0.25-5 .4 -3 .2 -1 O l 2 3 4 5

Frequenza normalizzata, fT (d)


Figura 3.21 Squadra C-R

dalla quale, per derivazione, si ottiene l'equazione differenziale che caratterizza

il comportamento del circuito in ambito temporale:

dvu(t) = dvi(t) _! vu(t)dt dt CR (E3.9.4)

Poichéil sistema in esame è lineare, è possibile applicare il principio di sovrap-posizione degli effetti; questo ci suggerisce di risolvere il circuito nel dominio

dellafrequenza pensando di scomporre il segnale come integrale di Fourier. Inpratica,questo significa cercare di ricavare la trasformata del segnale di uscita infunzionedella trasformata del segnale d'ingresso.

Supponiamo allora di conoscere V;(J) e di voler determinare v,,(J). Nelleequazioni da risolvere (E3.9.3) o (E3.9.4) compaiono proprio operazioni diderivazione o di integrazione di una funzione. Riconsideriamo ad esempiol'equazione (E3.9.3):

vu(t)= vi(t)- ~ lvu~) da ,\ (E3.9.5)

e trasformiamo ambo i membri di questa equazione; sfruttando il teorema diintegrazionesi ricava:

l v,,(J)v,;(J)= V;(J)- RC j21if

j2TCjRC V;(J)v,,(J) = 1+ j2TCjRC

(E3.9.6)

Allo stesso risultato si perviene naturalmente applicando il teorema diderivazione all'equazione differenziale (E3.9.4). Si noti che le trasformate dei

segnalidi ingresso/uscita V;(J) e v,,(J)sono legate da una semplice relazione

C+. + Il I . +

- i(t) ---..

v. (t) R V u(t)I

Il

84 Capitolo 3

algebrica e non da una relazione differenziale come le corrispondenti grandezze

nel dominio del tempo. D

Esempio 3.10

Calcoliamo la trasformata continua di Fourier X(J) dell' impulso triangolare

x(t) di Figura 3.22. Troviamo allora la derivata prima s(t) =dx(t)/dt delsegnale dato (ancora rappresentata in Figura 3.22), e osserviamo che essa puòessere espressa come segue:

A

(t + T/2 )A

(t - T/2)s(t) = T rect T - T rect T (E3.10.1)

Utilizzando il teorema del ritardo e la trasformata notevole dell'impulso

rettangolare (Esempio 3.1) si calcola direttamente la trasformata S(J) di s(t):

S(J)= A T sinc(jT) ej2rrjT/2- A T sinc(jT) e-j2rrjT/2T .. T

= 2j A sinc(jT) sen(1ifT) (E3.10.2)

x(t)

...f"'1 ~I

lJi\.(...i~ '''"''''I

s(t)

A

Aff

T

-T T -T

-Aff

Figura 3.22 Impulso triangolare x(t) e sua derivata s(t)

Osserviamo adesso che x(t) è evidentemente il segnale integrale di s(t), e chex(+00)= O;è possibile allora utilizzare il teorema di integrazione e ricavare

S(J) - j 2A sinc(jT) sin(1ifT)=A T sinc2(jT)X(J) = j21if - ."-L'

(E3.l0.3)

3.3.7 Teorema del prodotto

Consideriamo adesso due segnali x(t) e y(t) con le rispettive trasformate di

Fourier X(t) e f(J). Si vuole calcolare la trasformata del segnale prodotto

z(t)=x(t) y(t). Essa è espressa da

-+-o -Z(t)= Jz(t)e-j2~dt= Jx(t)y(t)e-j2~dt (3.3.40)

/=-00 1=-

Sostituendoa x(t) la sua espressione come integrale di Fourier si ricava

(3.3.41)

Poichénel passaggio precedente compaiono due operazioni di integrazione,abbiamoesplicitamente indicato sugli estremi di ogni integrale la variabile diintegrazionecui ci si riferisce; inoltre, nell'espressione di x(t) come integrale diFouner,siç usata una variabile di integrazione "muta" v con un nome differenteda f pernoncreare conflitti con la variabile f di cui la trasformata Z(J) risultafunzione.Se nella (3.3.41) si inverte l'ordine di integrazione, ammettendo chequestaoperazionesia lecita, si ricava

(3.3.42)

L'integrale entro parentesi quadra rappresenta la trasformata di y(t) calcolata

perii valore della frequenza pari a (J - v); di conseguenza la (3.3.42) può essereriscrittacome

+00

Z(t)= JX(v) f(J - v) dv =X(J) <8>Y(J) (3.3.43) (V=-

L'operazione indicata con il simbolo <8>prende il nome di integrale (o talvolta

impropriamenteprodotto) di convoluzione, o convoluzione tout-court. La convo-

luzione,introdotta qui in ambito frequenziale per il calcolo della trasformata del

prodottodi due segnali, ha un' importanza cardinale nella teoria dei sistemi line-

aristazionari, come vedremo più avanti, nel Capitolo 4.

Dunque il risultato ottenuto può essere riassunto come

x(t) y(t) <=>X(J)<8>Y(J) (3.3.44)

86 Capitolo 3

Si noti che scambiando formalmente il ruolo di x(t) e y(t), per la proprietà

commutativa del prodotto, anche Z(f) non deve cambiare. Ne segue chel'integrale di convoluzione gode anch'esso della proprietà commutativa, nelsenso che

+00

X(J)@ Y(J) = J X(v) Y(J - v) dv+00

= J Y(v) X(J - v) dv = Y(f)@ X(f) (3.3.45)

3.3.8 Teorema della convoluzione

Consideriamo ora il caso duale del precedente, ovvero un segnale z(t) dato dal-l'integrale di convoluzione in ambito temporale tra x( t) e y(t) :

~ ~

z(t) =x(t) <8>y(t) = Jx(a) y(t - a) da = Jy(a) x(t - a) da (3.3.46)

e ca1coliamone la trasformata di Fourier. Procedendo come nel caso della

convoluzione in frequenza si ricava:

+00 ~ ~

Z(J)= Jz(t)e-j21iftdt= J Jx(a)y(t-a)dae-j21ifldt1=-00

~ ~

= J x(a) J y(t-a)e-j21if(I-a+a)dt da1=-00

~ ~

= Jx(a) Jy(t-a)e-j21if(,-a)dte-j21ifada~

= J x(a) Y(J) e-j211jada= X(J) Y(J) (3.3.47)

e quindi

x(t)@ y(t) ~ X(J) Y(J) (3.3.48)

Lasciamo al lettore la verifica delle seguenti proprietà di cui gode l'integrale diconvoluzione, che vanno ad aggiungersi alla proprietà commutativa già discussanell'ambito del teorema del prodotto:. proprietà associativa:

[x(t)@ y(t)] <8> z(t) =x(t) <8> [y(t) <8> z(t)] (3.3.49)

,.....


. proprietà distributiva rispetto alla somma:

z(t)@[x(t)+ y(t)] =z(t)<8>x(t)+ z(t) <8>y(t) (3.3.50)

Primadi esaminare qualche esempio di applicazione dei teoremi del prodotto edellaconvoluzione, cerchiamo di discutere le operazioni che portano al calcolodi un integrale di convoluzione. Supponiamo quindi che i segnali x(t) e y(t)siano quelli di Figura 3.23, e cerchiamo di trovare il valore che assume

z(t)=x(t) @y(t) per un particolare valore del tempo, diciamo to'

x(t) y(t)

1A

-T T -T T t

Figura 3.23 Segnali di cui calcolare l'integrale di convoluzione

Considerando che

-z(to) =Jx(a)' y(to - a)da (3.3.51)

leoperazioniidealmente da compiere in questo calcolo sono le seguenti:

. ribaltamentoattorno all'asse delle ordinate del segnale y(a) (Figura 3.2~. traslazione di y(-a) attorno a1ristante to (Figura 3.24b); \"-n. calcolodel prodotto x(a)' y(to - a) (Figura 3.24c);. calcolo dell'integrale del prodotto di cui al passo precedente per ricavare

z(to) (Figura 3.24d).

Attraversoquesti passi, ripetuti in teoria infinite volte, ovvero per ogni valoredell'istanteto' si arriva a determinare l'andamento del segnale z(t). In molti casiè sempliceprocedere alla valutazione dell'integrale di convoluzione "per viagrafica",come testimoniano i due esempi seguenti.

r

88 Capitolo 3

y(-a)

1

a

(d)

Figura 3.24 Passi che conducono al calcolo dell'integrale di convoluzione

T a-TI

(a)

y(t o-a)

1

to-T t. to+T ao ..I

(b)

1y(to-a)

x(a)

,/ '"" I x( a).y(t oa) ....-

to-T to to+T aI

(c)

......


Esempio 3.11

Come applicazione del teorema del prodotto, consideriamo il caso particolare in

cui x(t) =y(t) =sinc(2Bt); si vuole cioè calcolare la trasformata Z(J) delsegnale

z(t) =x(t) y(t) =sinc2(2Bt)

Sapendoche (vedi Esempio 3.3)

(E3.l1.l)

X(J) = Y(J) = 2~ rec{~)(E3.11.2)

è possibilecalcolare Z(J) svolgendo l'integrale di convoluzione di due segnalirettangolariin ambito frequenziale. Come suggerito nel testo, è utile avvalersi diuna rappresentazione grafica dei fattori X(v) e Y(J - v) della funzioneintegranda,e del loro prodotto Y(J - v) X(v). Dalla Figura 3.25 si nota che ilcalcolodella convoluzione può essere svolto esaminando i quattro casi seguenti:

i) 15: -2B; ..

ii) -2B 5: 1 5: O;

iii) 05:15: 2B;iv) 1 "è.2B.

Nelcaso i) il prodotto fra Y(J - v) e X(v) è identicamente nullo (Figura 3.25a).Pertanto

Z(J) =O , 1 5: -2B (E3.11.3)

Nel caso ii) (Figura 3.25b) il prodotto fra r(J - v) ed X(v) è non nullo, ed èrappresentato in Figura 3.25c. Da questa si deduce che il risultato dellaoperazione di integrazione è espresso dall' area del rettangolo di base

[(B+1)-(-B)]= 2B+ 1 e di altezza(1/2Br, Segueche ~Z(J) =J... [

l + L]

, -2B 5: 15:0 (E3.11.4)2B 2B

Analogamente, nel caso iii) (rappresentato in Figura 3.25d) si ricava, conconsiderazionidi carattere grafico,

Z(J)=J... [l- L

]05: 1 5: 2B

2B 2B'(E3.l1.5)

Infine, nel caso iv) si ottiene, analogamente al caso i):

90 Capitolo 3

Z(J) =O , f"? 2B (E3.11.6)

Y(f-v)r ,I II II II II II I I

1

1/28

XCv)

-8 8 v

(a)

Y(I-v)~i--IIII

1/28 XCv)

/X(v)Y(I-v)

1/(28)2

-8+1 -8 1 8+1 8 v -8 8+1 v

(b) (c)

Figura 3.25 Vari casi nel calcolo della convoluzione di un impulso rettangolare con se stesso

Le relazioni (E3 .11.3)-(E3 .11.6) possono essere riassunte nella seguenteespreSSiOne:

Z(J) =~ (1- JLL

]rect(L )2B 2B 4B

(E3.11.7)

che è rappresentata nella Figura 3.26. Come risultato finale, possiamo scriverel'ulteriore coppia trasformata-antitrasformata

sinc2(2B!) ~ ~ (1- JLL]rect(

L)2B 2B 4B (E3.11.8)

XCv)

1128

Y(I-v)

I r---L-,IIII

II

-81- 8+1

I

8 1 8+1 v

(d)

...


ovvero, ponendo T = 1/(2B),

(E3.11.9)

Z(f)

1/28

-28 28

Figura 3.26 Trasformata di Fourier della funzione sinc' (2Bt)

È importante notare che le funzioni X(J) e Y(J) hanno una "estensione fre-quenziale"(cioè sono diverse da zero su di un intervallo di ampiezza) pari a 2B,mentreil loro integrale di convoluzione ha estensione pari a 4B. In generale l'e-stensionedell'integrale di convoluzione tra due funzioni aventi estensione limi-tataè data dalla somma delle due estensioni stesse. D

Esempio 3.12Calcoliamola convoluzione

x(t) =s(t) <8>s(t)

delsegnale s(t) =e-1fTu(t) con se stesso. Sappiamo che

(E3.12.l)

~

x(t) = f s(a) s(t - a) da

o

~12.2)

L'andamento dei segnali s(a) ed s(t - a) è illustrato in Figura 3.27 (per un casoin cui t > O). Dall' esame di tale figura si vede facilmente che

x(t) =O , t < O (E3.12.3)

Se invece t > O, e quindi esiste una ZOnadi "sovrapposizione" nOn nulla tras(a) ed s(t - a), dalla Figura 3.27 si vede che si ha

92 Capitolo 3

I I I

x(t) = fs(a) s(t - a) da =f e-alT e-(/-a)/T da = e-IITf ,aa = t e-IITo o o

(E3.12.4)

Le (E3. 12.3)-(E3. 12.4) possono essere riassunte nella

x(t) = t e-IIT u(t) (E3.12.5)

s(t - a)

~ / s(a)

t ex.

Figura 3.27 Calcolo dell'integrale di convoluzione del segnale s(t) con se stesso

Allo stesso risultato si perviene ovviamente procedendo con il calcolo inmaniera puramente analitica. Infatti, sostituendo nella (E3.12.2) l'espressione dis(t), si ricava

~ ~

x(t) = f u(a) u(t - a) e-alTe-(/-a)/Tda = e-IIT f u(a) u(t - a) da (E3.12.6)

Il lettore dimostri ora che

~

fu(a) u(t - a) da = t u(t)

e che quindi la (E3.12.5) è ancora valida.

In questo esempio abbiamo eseguito la convoluzione tra due segnali causati,

ottenendo il segnale (E3.12.5) a sua volta causale. Questa proprietà ha validità

generale, come si può facilmente verificare.D

-


3.4 Trasformate di Fourier generalizzate

3.4.1La funzione generalizzata impulsiva o 8 di DiracConsideriamodi nuovo la funzione gradino unitario (rappresentata in Figura3.28)

I

l t>O

u(t}= 1/2 t = OO t<O

(3.4.1)

u(t)

1

t

Figura 3.28 Gradino unitario ideale

Evidentemente,il segnale gradino unitario presenta una discontinuità di primaspecieper t =O. Il valore assegnato alla funzione in questo punto può esseresceltoarbitrariamente; per consistenza con il criterio di Dirichlet, si sceglie lasemisommadei limiti destro e sinistro, cioè si pone u(O)= 1/2.

Immaginiamodi applicare tale segnale in ingresso a un circuito elettrico, adesempiola squadra C-R dell'Esempio 3.9. Il segnale gradino, in questo contesto,è lamodellizzazionematematica della "chiusura" del circuito su di un generatoreditensioneideale all'istante t = O di "salita" del gradino stesso, come suggerito

dallaFigura 3.29. L'evoluzione temporale dei segnali nel circuito è regolata da

un'equazione differenziale simile a quella già ricavata nrll'Esempio 3.9. Inquestocontesto si presenta allora il problema di calcolare la derivata temporaledellafunzionegradino intesa come eccitazionedel circuito. Tale operazionepresentadelle difficoltà poiché tale derivata è nulla ovunque tranne in t =O oveperaltroessanon è definita, come illustrato in Figura 3.30.

Si può pensare di assegnare alla funzione du(t)jdt un valore arbitrario dicomodo in t =O, e di usare questa nuova funzione come derivata del gradino

unitario.Se questo approccio fosse corretto, si dovrebbe essere in grado di"ricostruire"la u(t) come funzione integrale della sua propria derivata:

l'I

94 Capitolo 3

I

u(t) = fdu(a)

- da da(3.4.2)

1

t=O

/'\. C

I + 1

L~=U{')

+

R y(t)

Figura 3.29 Gradino unitario in ingresso a una squadra C-R

Tuttavia questo espediente non funziona poiché integrando la presunta funzionedu(t)/ dt, diversa da zero solo in un punto, non si ottiene la funzione gradinounitario, ma una funzione nulla ovunque.

u(t)

du(t)/dt Funzionenon definita

Figura 3.30 Derivata della funzione gradino unitario

Per cercare una soluzione alla questione, osserviamo innanzitutto che la funzioneu(t) è comunque un'astrazione matematica poiché i segnali effettivamente pre- .senti nei sistemi fisici non possono presentare discontinuità, cioè salti finiti nelvalore del segnale su un tempo nullo. Ogni segnale fisico è caratterizzato da untempodi salita finito,pari al tempoche il segnale"impiega"per passaredalli-

Segnali apc;riodicia tempo continuo,95

velloOprima del "salto" al livello al termine della salita. Il gradino ideale è solouna schematizzazione matematica per quelle situazioni nelle quali la costante ditempodel sistema in cui il segnale compare è molto maggiore del tempo di salitadel segnale stesso. Consideriamo allora una migliore approssimazione di una

funzionegradino "reale" uAt) definita dalla relazione:

U,(t) ={? + t/E) 12

t<-E

-E:::; t:::; E (3.4.3)t>E

illustrata nella Figura 3.31.

-E t

Figura 3.31 Gradino unitario con tempo di salita finito

NellaFigura 3.31 l'andamento del gradino durante l'intervallo di "salita" (-E, E)è statopreso lineare per semplicità. Le considerazioni che stiamo per fare noncambierebberoperò anche se tale andamento fosse ancora più simile a quello diun segnale reale (in particolare ancora più regolare). Il segnale uE(t) è adessoovunque derivabile, e la sua derivata 8E(t) = duAt)/ dt è rappresentata in Figura3.32.Evidentemente,

/

(3.4.4)

e inoltre

I

UE(t)=J8E(a) da (3.4.5)

senz'alcuna ambiguità.

96 Capitolo 3

Osserviamo che riducendo il valore del parametro e, ossia riducendo iltempo di salita del segnale, si ottiene una appros~imazione sempre miglioredelgradino ideale, tant' è che si può scrivere

u(t) =limuAt)£->0

(3.4.6)

e quindi

,u(t)= limJ 8£(a)da

£--+0(3.4.7)

1/2£

-£ £

Figura 3.32 Derivata del gradino unitario reale

Il procedimento al limite, perfettamente lecito nell' ambito delle relazioni (3.4.6)e (3.4.7) di cui sopra, diventa però problematico considerando isolatamente il

segnale 8£(t). La Figura 3.33 indica infatti che al tendere di E a Ola derivatadella funzione gradino "reale" tende ad avere una "durata" sempre più piccolaead assumere un valore nell'intervallo di salita del gradino sempre più grande.L'aumento di tale valore avviene in maniera inversamente proporzionale a epoiché dal segnale, per integrazione, si deve sempre ottenere un valore unitarioI

pari al salto della funzione gradino. In parole povere, l'area degli impulsirettangolari è comunque unitaria! '---

Il problema di trovare la "derivata della funzione gradino" sarebbe risolto senella (3.4.7) potessimo eseguire l'operazione di limite sotto il segno d'integraleponendo dunque

du(t) ~lim8£(t) =8(t)dt £--+0(3.4.8)

Otterremmo così una funzione 8(t) con l'apparenza della derivata del gradinoideale come limite della successione di funzioni 8£(t). Purtroppo, come è

Segnali ap~odici a tempo continuo 97

evidentedalla Figura 3.33, il limite di tale successione non è una funzione nelsensoordinario dell'analisi matematica. Infatti tale funzione dovrebbe assumere

ovunque valore nullo al di fuori del punto t =O e, se integrata, dovrebberestituireun valore finito diverso da zero. Non è corretto quindi affermare che8(t) è il limite della successione di funzioni 8e(t). Tuttavia, per estensione,definiamo una funzione generalizzata impulso unitario 8(t) o funzione o diDirac, attraverso una sua proprietà di carattere integrale:

t

u(t) =J8(a) da (3.4.9)

che la identifica come "derivata della funzione gradino", e che è in pratical'unione della (3.4.7) e della (3.4.8).

d~ (t)= dt u£(t)

1/2£

-£ £

-£ £

Figura 3.33 Limite del gradino "reale" e della sua derivata

Come abbiamo già discusso, non esiste alcuna funzione ordinaria che possasoddisfare la definizione e quindi dobbiamo ammettere che l'impulso unitariosia un'entità matematica di carattere analogo a quello di una funzione ordinaria,

98 Capitolo 3 I-

ma che assume un significato solo quando se ne consideri una qualche proprietàdi carattere integrale come nella definizione stessa. Ogniqualvolta si incontrauna funzione impulsiva 8(t) di Dirac, questa deve essere intesa sì come limite

della successione 8e(t), ma non nel senso "diretto" della (3.4.8), privo disignificato a rigore; viceversa, 1'operazione di limite, per calcolare correttamenteil valore dell'integrale in cui la 8(t) obbligatoriamente compare, deve intendersi

eseguitajUori dal segno di integrale stesso, nel senso della (3.4.7).Come esempio di applicazione di questi concetti, consideriamo un segnale

x(t) continuo in t =Oe calcoliamo il valore del seguente integrale:

~

1= fx(t) 8(t) dt (3.4.10)

Il problema è ben posto perché la funzione ocompare sotto il segno di integrale;il valore di detto integrale si calcola attraverso un ben inteso procedimento allimite:

~

1= lim fx(t) 8At) dte--+O

(3.4.11)

Come suggerito dalla Figura 3.34, l'integrale della (3.4.11) può essere espressocome

~ 1 e 1fx(t) 8At) dt =- f x(t) dt =- 2E x(l)2E 2E- -e

(3.4.12)

dove l E (-E,E) secondo il teorema della media. Il limite (3.4.11) diventa allora

~

lim fx(t) 8e(t) dt = limx(t)e--+O- e--+O

Quando E ~ O, naturalmente l ~ Oe quindi, essendo x(t) continua in t =O, siricavain conclusione

~

f x(t) 8(t) dt = x(O)(3.4.14)

che prende il nome di proprietà campionatrice dell'impulso unitario e puòessere considerata anche una maniera alternativa di definire la funzione 8(t)

attraverso una sua proprietà integrale. Nell' Appendice al Capitolo 3, che può


essere tralasciata in prima lettura, diamo qualche cenno alla teoria delledistribuzioni che rappresenta il contesto appropriato per una definizione della8(t) di carattere rigoroso, proprio secondo la proprietà campionatrice.

1/2£x(t)

-£ £

Figura 3.34 Applicazione del teorema della media

Una volta stabilita la maniera generale di intendere e di trattare la funzionegeneralizzata 8(t), si può dimostrare che questa gode di molte proprietà (in par-ticolareper quel che riguarda le operazioni di carattere lineare come derivazione,integrazione, moltiplicazione per costante, ecc.) identiche a quelle possedutedallefunzioni ordinarie. Queste proprietà autorizzano in pratica a trattare la 8(t)come un qualunque segnale ordinario a tempo continuo, con le dovute cauteledel caso. La Figura 3.35 illustra il simbolo che rappresenta convenzionalmentela funzione 8(t): il numero posto accanto alla punta della freccia indica che

l'area sottesa da questa funzione è unitaria, e no~ un valore riportato sull' assedelleordinate. "

x(t)

o(t)1

Figura 3.35 Rappresentazione simbolica della funzione D

100 Capitolo 3

3.4.2 Proprietà della funzione generalizzata 8(t)

Abbiamo già esaminato la proprietà campionatrice della funzione 8(t):

~

Jx(t) 8(t) dt =x(O) (3.4.15)

Da questa si deduce immediatamente che la funzione 8(t) è pari, cioè che8(t) =8(-t). Come sempre, quest'ultima proprietà deve essere intesa in sensointegrale relativamente alla proprietà campionatrice. Infatti possiamo scrivere:

~ - ~

J8(-t) x(t) dt = - J 8(a) x(-a)da = J 8(a) x(-a) da = x(O) (3.4.16)

avendo effettuato il cambiamento di variabile a =-t. Poiché 8(t) e 8(-t)rendono da questo punto di vista lo stesso risultato, possiamo stabilirnel'uguaglianza,da cuiseguela proprietàdiparità appenaenunciata..

La proprietà campionatrice può essere estesa considerando la funzione

impulsiva "traslata" 8(t - to). Infatti abbiamo

~ ~

Jx(t)8(t-to) dt= fx(to+a)8(a) da=x(to) (3.4.17)

Da questa consegue l'ulteriore proprietà

x(t)8(t - to) = x(to )8(t - to) (3.4.18)

Questa uguaglianza va intesa ancora nel senso che, dopo una operazione di inte-grazione, le due funzioni a primo e secondo membro nella (3.4.18) fornisconolostesso risultato; infatti

~ ~ ~

J x(to) 8(t-to) dt =x(to) J8(t -to) dt = x(to) = f x(t) 8(t-to) dt (3.4.19)

Elaboriamo adesso la relazione (3.4.17); cambiando variabile di integrazioneetenendo conto che la 8(t) è pari, si ha

~ ~

fx(a)8(a-to) da= fx(a)8(to-a) da=x(to) (3.4.20)

e, chiamando t il generico valore to' si conclude che

-x(t)=Jx(a)8(t-a) da =x(t)@8(t) (3.4.21)

Questarelazione, piuttosto importante, indica che la funzione generalizzata 8(t)può intendersi anche, tra le varie interpretazioni, come una sorta di elementoneutrorispetto all'operazione di integrale di convoluzione.

Esempio 3.13

Sfruttando formalmente le proprietà della funzione 8(t), calcoliamo

b

Ia.b= J8(t) dt (E3.l3.l)a

ove a e b sono due parametri reali, a < b. È possibile riscrivere questo integralecome

(E3.l3.2)

avendo moltiplicato la funzione integranda della (E3.l3.l) per una funzione

rect(-) identicamente nulla al di fuori dell'intervallo (a,b). Utilizzando laproprietàcampionatrice della funzione 8(t) si ricava allora

(- (b+a )/2

) (1 b+a

)Ia,b= rect = rect -.-b-a 2 b-a(E3.l3.3)

Tale risultato può essere semplificato osservand<rctléSe

Ib+al<b-a (E3.l3.4)

il modulodell'argomento della funzione rect(-) nella (E3.l3.3) risulta minore di1/2e

(E3.l3.5)

altrimenti Ia,b= O. La condizione (E3.l3.4) è verificata solo se a e b hannosegnodiscorde e cioè quando a < Oe b > O.

In pratica, questo risultato si può riassumere dicendo che l'integrale fa,b èdiversoda zero ( e uguale a 1) se l'intervallo di integrazione contiene l'origine,contienecioè il "punto di applicazione" della funzione 8(t). Generalizzando ilrisultatoottenuto si può affermare che

,

102 Capitolo 3

b

fx(t)8(t-to)dt=x(to) <=a<to <b (IDJ3.6)a

cioè se il "punto di applicazione" della funzione 8 è contenuto nell'intervallo diintegrazione (si veda la Figura 3.36a), mentre l'integrale è uguale a zero se lafunzione 8 è applicata all'esterno dell'intervallo, se cioè to ~ [a,b] (Figura3.36b).

(b)

Figura 3.36 Integrali contenenti la funzione 8 su intervalli di integrazione limitati

o

l'.Esempio 3.14

Calcoliamo l'integraleI

liII

+o-

la = fx(t) 8(at) dt (E3.14.1)!

ove a ;un parametro reale. Effettuando nella (E3.14.1) il cambi:"ento ~variabilea =at si ottiene

la = sgn(a)Ix( ~) 8(a) d:(E3.14.2)

dove il fattore sgn(a) mette in conto il fatto che, se a < O, il cambiamento divariabile produce una inversione di segno negli estremi di integrazione e quindifa cambiare il segno del risultato. Dalla (E3.14.2), applicando la proprietàcampionatrice della funzione 8(t), si ricava

la = sg:(a) x(O) = xl~~)(E3.14.3)

1

1a

tob t

I to ab

(a)


Avremmo ottenuto lo stesso risultato se nell'integrale originario (E3.14.1)

avessimo sostituito alla funzione D(at) la funzione 8( t)/Ial. In questo sensoabbiamoricavato un'ulteriore proprietà della funzione impulsiva di Dirac:

1

8(at)= laID(t)(E3.14.4)

D

3.4.3 Trasformata di Fourier della funzione D

Calcoliamo ora la trasformata di Fourier della funzione generalizzata D(t).Applicandodirettamente la definizione di trasformata e ricordando la proprietàcampionatricedella 8(t) si ha

(3.4.22)

o(t)~(f)

Figura 3.37 Funzione 8 di Dirac e relativa trasformata

Quindilo spettro della funzione 8 di Dirac ha ampiezza costante e pari a 1 perogni valore della frequenza come illustrato in Figura 3.37. La peculiarità dellafunzione 8 è riflessa anche nella peculiarità della sua trasformata: in pratica, lospettrodella funzione D contiene componenti a qualunque frequenza arbitraria-mentegrande, e tutte con la medesima ampiezza.

La trasformata !1(f) del segnale generalizzato D(t) può anche essere rcavatacon un procedimento al limite a partire dalla trasformata !1e(f) =sinc(2if) della

funzioneordinaria 8e(t): la Figura 3.38 chiarisce questo punto di vista, e spiegamoltobene come deve intendersi lo spettro "piatto" della D(t).

Dal teorema di dualità si ricava poi

x(t) = 1 ç:::> D(- f) = 8(J) (3.4.23)

/

104 Capitolo3

Questo risultato mostra che l'introduzione delle funzioni generalizzate permettedi calcolare la trasformata di Fourier di un segnale a energia infinita come ilsegnale costante. Evidentemente, questa trasformata deve intendersi in sensogeneralizzato visto che contiene una funzione generalizzata.

do Jt)= dì uE(t)

1/2£

I-II

'I

-£ £ t

~E (f)1

I

I~

I

II

Figura 3.38 Segnale 8(t) e sua trasfonnata !!..(f) intesi come limite

3.4.4 Una trasformata notevole: la funzione l/t

Una trasformata notevole che, come vedremo, è imparentata con le trasformategeneralizzate, è quella del segnale x(t) =l/t il cui grafico è rappresentato inFigura 3.39. Procedendo con il calcolo si ha:

'I


(3.4.24)

ovel'ultimo passaggio si giustifica intuitivamente considerando che la funzione

cos(21ift)/tè dispari e quindi, integrata da -00 a 00rende un risultato nullo. Inrealtà questa conclusione è lecita solo se dell'integrale generalizzato nella tra-sformatasi considera il cosiddetto valore principale di Cauchy (VPC). A stretto

rigoreinfatti, la funzione cos(2rcft)/t è infinita di ordine 1 nell'origine, e nonammetteintegrale generalizzato ordinario. Il valore principale di Cauchy invece

è quel valore che si ottiene considerando sempre intervalli di integrazione sim-metriciattorno al punto di singolarità (eventualmente all'infinito), cioè, nel no-strocaso:

VP~ lCOS(~njì) ] =~~ lCOS(~njì) + J COS(~njì) ]

(3.4.25)

cheè'pari a Oproprio per la antisimmetria della funzione integranda. Dunque latrasformatacercata può essere anche riscritta come

)X(J) = - j j sin( ~7ift) dt = - j27if j sinc( 2 ft ) dt

(3.4.26)

52 43

Figura 3.39 Grafico del segnale x(t) = 1/ t /

5

4

3

2

.:t:::1

r-Jl o--X -1

-2

-3

-4

-5-5 -4 -3 -2 -1 o

Tempo t

r

106 Capitolo 3

Per il calcolo dell'integrale della (3.4.26) è utile tenere presente la proprietàgenerale, sfruttata già più volte, per cui l'integrale temporale di un segnale è parial valore nello zero della relativa trasformata, cioè

~

f y(t) dt = Y(O) (3.4.27)

Richiamiamo allora la consueta trasformata notevole

(3.4.28)

ove compare stavolta a denominatore la quantità IB I per tenere conto del casoB < O, caso che non deve alterare l'espressione della trasformata perché lafunzione sinc(.) è pari. Da questa trasformata notevole si ricava immediatamenteche

~ 1

(O

)-~

f sinc(2ft) dt =21ilrect 2i - 21il- (3.4.29)

e quindi

X(J) =- j21if Isinc(2ft) dt = - ;~r =- jnsgn(f)(3.4.30)

In conclusione si ricava la trasformata notevole cercata

! <=> - jn sgn(J)t \ (3.4.31)

che deve intendersi ancora in senso generalizzato per l'aver considerato i valoriprincipali di Cauchy degli integrali coinvolti nella trasformazione.

3.4.5 Trasformata della funzione gradino; teorema d'integrazione completoConsideriamo di nuovo il segnale gradino unitario ideale u(t); è immediatoverificare. che la sua trasformata di Fourier in senso ordinario non esiste.

Cerchiamo allora di stabilire se, alla luce dei risultati ottenuti con le funzioni

generalizzate, possiamo calcolare questa trasformata per altra via.Facendo uso della funzione sgn(t), possiamo esprimere u(t) come (vedi

Figura 3.40)

1 1u(t) =-sgn(t)+ -

2 2 (3.4.32)

sgn(t)/2 u(t)---

1/2 0- -. ----.-.-.-

-1/2

Figura 3.40 Relazione tra le funzioni u(t) e sgn(t)

Calcolando la trasformata di Fourier di entrambi i membri abbiamo

JU(J)=!SGN(J)+ !8(J) (3.4.33)2 2

ove SGN(J) rappresenta la trasformata di sgn(t). Ora, SGN(J) p.Jò esserefacilmente calcolata applicando il teorema di dualità alla trasf~~ segnale1/t (3.4.31):

- jn sgn(t)<=>_.lf (3.4.34)

da cui

1

sgn(t) <=>SGN(J) = j1if (3.4.35)

Sostituendo la (3.4.35) nella (3.4.33) si ottiene infine

1 1

U(J) = j21if + 28(J) (3.4.36)

Utilizzando i risultati ottenuti è ora possibile rimuovere l'ipotesi X(O)=Oche èalla base dell' applicabilità del teorema di integrazione nella sua forma"incompleta"ricavatanel Paragrafo3.3:

I

Jx(a) da <=>X(J)-~ j21if (3.4.37)

/'

.._~ ~--------------~_.---

108 Capitolo 3

Infatti, per definizione di integrale di convoluzione, si può scrivere che

- I

x(t)@u(t)= fx(a) u(t -a) da = fx(a) da (3.4.38)

I

[l l

]Lx(a) da =x(t)@ u(t) ç:> X(J) U(J)= X(J) j21if + 28(J)(3.4.39)

Ricordando poi che la trasformata di un prodotto di convoluzione è uguale alprodotto delle trasformate dei fattori, abbiamo

Il teorema completo d'integrazione afferma quindi che

y(t) = j x(a)da ç:> ~(J) + 8(J) X(O)- ;21if 2(3.4.40)

Figura 3.41 Trasformau

Il termine aggiuntivo comprende una funzione generalizzata, e naturalmentescompare nell'ipotesi di applicabilità del teorema incompleto, cioè quandoX(O) =O. Se invece il segnale x(t) non sottende area nulla, la funzione integrale

y(t) non tende a zero quando t --700, bensì verso il valore finito X(O).Ilsecondo termine rende conto allora della "componente continua" (cioè del valoremedio diverso da zero) pari a X(0)/2 che è presente per questo in y(t).

3.4.6 Trasformata delle funzioni seno, coseno e dei segnali periodiciDunque la funzione generalizzata 8(t) permette di calcolare trasformate diFourier non esistenti in senso ordinario. Altri esempi di questo tipo si possonoottenere applicando i teoremi del ritardo e della traslazione in frequenza alle

trasformate generalizzate già ottenute. Ricordando che 8(t) ç:>l, e c~1ç:>8(f), si ottiene immediatamente

Alla luce dei risultat

della modulazione Cprodotto di due segnscriviamo

x( t) cos( 21ifot) ~

e, poiché

X(J)@ 8(J - lo) =

(3.4.41) concludiamo, come ci

(3.4.42) x( t) cos( 21ifot) ~ ~

Quest'ultima relazione permette poi di calcolare la trasformata continua diFourier di un' oscillazionecosinusoidale.lnfatti si ha (vedi Figura 3.41):

Xc (t) = cos(27çfot) = ej2rr!ol + e-j2rr!ol ç:> 8(J - io) + 8(J + io)2 2 (3.4.43)

e analogamente per laAvendo determinat

nusoidale in forma re~

continua di un segnale

x( t) periodico con pere, per una oscillazione sinusoidale, /

Xc

I I

11

tJI

I-fo

I

I


(3.4.44)

j X s (f)

1/2 1/2 1/2

f

-1/2

Figura 3.41 Trasfonnata di Fourier dei segnali cos( 21if"t) e sin( 21if"t)

Alla luce dei risultati ottenuti si può dare una nuova interpretazione al teorema

della modulazione (3.3.21); tenendo presente che la trasformata Ji Fourier delprodotto di due segnali è data dalla convoluzione delle tr~ate dei fattori,scriviamo

(3.4.45)

e, poiché

~ ~

X(J) @ 8(1 - io) = JX( a) 8(1 - io - a) da = X(1 - io) (3.4.46)

concludiamo, come ci aspettavamo, affermando che

x(t) cos(2J%t) ~ X(1 - 10)+X(1+io) (3.4.47)

e analogamente per la versione del teorema con la funzione seno.Avendo determinato la trasformata continua di Fourier di una oscillazione si-

nusoidale in forma reale o complessa, si riesce anche a esprimere la trasformatacontinua di un segnale periodico qualunque. Ricordiamo infatti che un segnale

x(t) periodico con periodo Toè sviluppabile in serie di Fourier:

110 Capitolo 3

/~ 2trkl

X(t) = I,Xk ej-:;:;k=-

(3.4.48)

Calcolando ora la trasfonnata della serie a termine a termine si ricava

X(f) = iXk 8(1 -~

Jk=- 1'0(3.4.49)

Questa relazione mostra che il contenuto spettrale di un segnale periodico èconcentrato nelle frequenze armoniche, piuttosto che distribuito con continuitàsu tutte le frequenze come per un segnale aperiodico; in particolare, il contributoal segnale della k-esima armonica è rappresentato da una funzione 8 posizionatain corrispondenza della frequenza k/1'o e di integrale ("area") pari a Xk, comeviene indicato nella Figura 3.42. Lo spettro del segnale periodico ha ancora iltipico andamento "a righe", ma il significato della rappresentazione in Figura3.42 è diverso da quello degli spettri a righe visti, ad esempio, in Figura 2.4.Infatti nel capitolo precedente le "righe" erano semplicemente proporzionaliall'ampiezza del coefficiente di Fourier relativo; in Figura 3.42, viceversa, le"frecce" sono soltanto rappresentazioni simboliche della presenza di unafunzione 8 centrata su quella certa frequenza e nulla più. Anche l'altezzadigradante delle funzioni 8 indicata in Figura 3.42 è impropria e in un certosenso fuorviante, anche se può dare un'idea dell'andamento dello spettro diampiezza del segnale.

/

(X(f)

-3fT o -2fTo -1 fTo

Figura 3.42 Trasformata continua di un segnale periodico con coefficienti di Fourier X,

Esempio 3.15

Calcoliamo la trasfonnata del segnale

(E3.I5.!)

1


/Questo segnale può essere riscritto nella forma

1 1

(4m

)x(t)=-+-cos -

2 2 To (E3.l5.2)

da cui si ricava:

X(J)= !5(J)+! 5(1-2ITo)+5(1+2ITo~

_1 21(

22

)1

(

2

)-"25(J)+-5 f-- +-5 f+~4 To 4 7:o (E3.15.3)

rappresentata in Figura 3.43.

X(f)1/2

1/4

2fTQ

Figura 3.43 Spettro del segnale x(t) = cos'(2m/r.) (Esempio3.15)

o

Esempio 3.16

Calcoliamo la trasformata X(J) del segnale

x(t) =Mrect(~ )T 2T (E3.l6.l)

rappresentato in Figura 3.44a.

Poiché x(t) è un segnale lineare a tratti possiamo utilizzare il teorema

dell'integrale per il calcolo di X(J). Ricaviamo dunque la derivata prima s(t)del segnale x(t) (vedi Figura 3.44b)

1

(t + T12)

1

(t - T/2)s(t) =5(t + T) - 5(t - T)- -rect + -rect. T T T T

e la sua trasformata S(J)

(E3.l6.2)

112 Capitolo 3

SU) = ej2TCjT- e-j2TCjT- ~ T sinc(jT) ejTCjT+ ~ T sinc(jT) e-jTCjTT T

=2j sin(2JifT) - 2j sinc(jT) sin(7ifT) (E3.16.3)

x(t)s(t)=dx(t)/dt

1

1fT

T

-T T -T

-1-1fT

""t

(a) (b)

Figura 3.44 Segnali x(t) (a) ed s(t) (b) dell'Esempio 3.16

Poiché x(+00)= Osi può applicare il teorema d'integrazione incompleto:

X(f) = SU) =2j sin(2JifT)- 2j sinc(jT) sin(7ifT)j2~ j2~

=2T sinc(2jT) - T sinc2(jT) (E3.16.4)

Si ricava lo stesso risultato più rapidamente osservando che il segnale x(t)(E3.16.1) può essere espresso come la differenza fra un impulso rettangolare euno triangolare aventi la stessa durata 2T:

(E3.16.5)

dalla quale si deduce immediatamente il risultato (E3.16.4). o

Esempio 3.17Il segnale periodico di periodo 1'0

+00

x(t) = L8(t - nTo) (E3.17.1)n=-


rappresentato in Figura 3.45a è noto come pettine di o.Il coefficiente Xk del

suo sviluppo in serie di Fourier è

(E3.l7.2)

con lo =l/To. Sulla base dell'Esempio 3.13 e considerando la Figura 3.45avediamo che l'unico termine del pettine di o che produce un contributo non

nullo nell'operazione di integrazione della (E3.l7.2) è quello relativo a n =O,

cioè alla funzioneoapplicatain t = O,poichétutte le altrefunzioniosonoal difuoridell'intervallodi integrazione[-:To/2,To/2]. Allora

. 1 T./2Xk = - Jo(t) e-j2n!if.' dt =.!

To-T./2 To(E3.l7.3)

La rappresentazione in serie di Fourier del segnale x(t) è dunque/

/+00 1 +00 .2"",

x(t)= Lo(t-nTo)=- Le1T;n=-oo ~ n=-

(E3.l7.4)

e la corrispondente trasformata continua X(J) di x(t) è

+00

(k

)1 +00

(k

)X(J)= L Xk O f-- =- L O f--k=- To Tok=- To

(E3.l7.5)

Pertanto lo spettro del segnale pettine di o è anch'esso un pettine di o, comeillustrato in Figura 3.45b. D

x(t) X(f)

... ... ... ...1

-2To - To 210 t -2 fo -fo

(a) (b)

Figura 3.45 Segnale pettine di 8 (a) e sua trasformata (b)

I

114 Capitolo 3

3.5 Periodicizzazione e formule di somma di Poissonr

Consideriamo un segnale aperiodico x(t) e costruiamo il segnale y(t) periodicodi periodo Tosecondo la relazione di periodicizzazione

-y(t) = Lx(t - nTo) (3.5.1)

n=-oo

già incontrata più volte nel Capitolo 2. Il segnale y(t) può esseré sviluppato inserie di Fourier:

-y(t)= L~ ej2lfkfol

k=-(3.5.2)

ove fo =I/To e

(3.5.3)

Vediamo come stabilire una relazione fra il coefficiente ~ dello sviluppo inserie (3.5.2) del segnale periodico y(t) e la trasformata X(J) del segnale baseaperiodico x(t). Sostituiamo dunque la (3.5.1) nella (3.5.3) ottenendo

(3.5.4)

Scambiando poi l'operazione di sommatoria e di integrazione nella (3.5.4), si ha

1 - To/2 - To/2-IITo~ =- L J x(t-nTo)e-j21fkfoldt=2- L Jx(a)e-j21fkfo(a+IITO)da

~ 1I=--To/2 To 1I=--To/2-IITo- To/2-IITo

=2- L Jx(a) e-j21fkfoadaTo 1I=--To/2-IITo

(3.5.5)

Si è giunti a questo risultato dopo aver effettuato il cambiamento di variabilea =t - nTo e avendo osservato che e-j21fkllfoTo= e-j21fk1l==1. La funzione

integranda a secondo membro nella (3.5.5) non dipende dall'indice della serie n;tale indice agisce infatti solo sugli estremi di integrazione. Ci si rende alloraconto facilmente, con l' ausilio della Figura 3.46, che, al variare di n tra -00 e

+00, gli intervallidi integrazione(-To/2 - n~, To/2 - n1;))de/la stessafunzioneintegranda ricoprono tutto l'asse reale senza sovrapposizioni. Pertanto è

...


possibile semplificare la (3.5.5) come segue:

(3.5.6)

che stabilisce la relazione cercata, detta di campionamento in frequenza. I coef-

ficienti di Fourier del segnale periodico y(t) sono dunque, a meno del fattore

1/1;1' i valori della trasformata continua del segnale-base x(t) in corrispondenza

delle frequenze armoniche kfo.

Figura 3.46 Ricopertura dell'asse reale con intervalli di integrazione limitati variabili

Se usiamo l'espressione appena ricavata del coefficiente di Fourier nel corri-

spondente sviluppo in serie si ottiene L+00 +00 1

(

k

)

.21rk1

l:x(t-nTu)=I-X- e}T; ~(3.5.7)11=- k=- Tu Tu

che è nota come prima formula di somma di Poisson. Il risultato de ' sempio3.17 è un caso particolare di questa formula, con x(t) =8(t) e quindi X(f) =1.

Esempio 3.18

Ritroviamo dalla relazione di campionamento in frequenza corrispondenteall' operazione di periodicizzazione il valore dei coefficienti di Fourier delsegnale cosinusoidale rettificato dell'Esempio 2.5:

y( t) = Icos( 21ifot )1 (E3.18.1)

È importante notare che l'operazione di "rettificazione" dimezza il periodo del

segnale. Se infatti il segnale originario cos(2J%t) è periodico di periodoTu=1/ lo, dopo la rettifica si ottiene il segnale y(t) periodico di periodo Tu/2,come è evidente dalla Figura 3.47. Per usare il campionamento in frequenza,esprimiamo y(t) nella forma

n=2 n=1 n=O n=-1 n=-2

L--r !)

I.

O ex-3To/2 -To/2 Ti2 3To/2

I

116 Capitolo 3

-+-

y(t) = Lx(t-kTo/2)k=-

(E3.l8.2)

dove abbiamo identificato il "segnale base"

x( t) = cos( 2~t ) rec{ To~ 2 )(E3.l8.3)

y(t) x(t)

-To t

Figura 3.47 Segnale periodico "cosinusoide rettificata" y(t) e suo segnale base x(t) ./

La trasformata continua di Fourier di x(t) si trova facilmente attraverso ilteorema della modulazione:

x(J) = Tosinc( (fTo + 1)/2) + sinc( (fTo -1 )/2)4(E3.l8.4)

e il suo andamento è rappresentato in Figura 3.48. Andando a valutare questatrasformata nelle frequenza armoniche k/(To/2) come richiesto dalla (3.5.6) sitrova immediatamente l'espressione del k-esimo coefficiente di Fourier di y(t):

~ =~X(2k

)= sinc(k+1/2)+sinc(k-l/2)

To To 2

cherappresentaproprioil risultato(E2.5.3)(con A =1)dell'Esempio2.5.

(E3.l8.5)

D

Applichiamo adesso il teorema di dualità alla prima formula di Poisson; siottiene


+00 +00 l

(k

).2JrkI +00 +00 l

(k

).2Jrkt

LX(t-nTu)= L -x -- eJr; =>LX(t-nTu)= L -x - e-Jr;n=- k=- Tu Tu 11=-/' k=- Tu Tu

=>n~ x(t - ;)= Tk~X(kT) e-j2JrkIT(3.5.8)

II

-6 4 ~ o 2 4

Frequenza Normalizzata, fTo

6 8 10

Figura 3.48 Campionamento in frequenza per ottenere i coefficienti di Fourier di y(t)

avendo cambiato segno all'indice di sommatoria nel secondo membro e avendo

posto T =1/ To.Se adesso, dal punto di vista puramente formale, cambiamonome alla variabile corrente da t ad f, otteniamo un' espressione "duale" della(3.5.7) che costituisce la secondaformula di somma di Poisson:

f x(nT) e-j2mrjT=.!. f X(f - 15.-)n=- T k=- T(3.5.9)

la cui utilità sarà chiara nel Capitolo 5 a proposito del campionamento deisegnali a tempo continuo.

3.6 Relazione fra le trasformate di Laplace e di Fourier

Nel paragrafo precedente abbiamo visto che anche alcuni segnali a potenzafinita, come un segnale costante, il segnale gradino o un segnale periodico,ammettono trasformata di Fourier, anche se in senso generalizzato. D'altrocanto, alcuni segnali possono presentare potenza illimitata come il segnale a

~

0.8

0.7

0.6

0.5o

0.4-X 0.3c\i

0.2

0.1

0.0

-0.1-10 -8

118 Capitolo 3

rampa:

I

x(t) = t. u(t) = f u(a)da (3.6.1~

risultante dall'integrazione del segnale gradino. Questi segnali non ammettonotrasformata di Fourier neanche in senso generalizzato. Inoltre, può non essereconveniente trattare i segnali a potenza finita con funzioni generalizzate anchenei casi già visti in cui queste ultime permettono di ricavare la trasformata.

Cerchiamo dunque di risolvere la questione di trovare una funzione trasfor-mata di un segnale assegnato che consenta in particolare di trasformare le ope-razioni differenziali in algebriche, e semplificare quindi le procedure di risolu-zione delle equazioni differenziali, come brevemente indicato nell'Esempio 3.9.Limitiamoci inoltre per semplicità al caso dei segnali causati, cioè nulli pert< O.

Consideriamo allora il segnale causale per antonomasia, e cioè x(t) =u(t);

sappiamo già che la sua trasformata

~ ~

U(f) = f u(t)e-j21fftdt = f e-j21l/ldto

(3.6.2)

non esiste in senso ordinario, perché l'integrale (generalizzato) appena scrittonon è convergente. Consideriamo allora un segnale modificato x(t) ottenuto dax(t) come illustrato in Figura 3.49, aggiungendo cioè un fattore di "smor-zamento" che tenda a far convergere l'integrale (3.6.2):

x(t) =x(t). e-m (3.6.3)

Con l'aggiunta di questo fattore, la funzione integranda tende rapidamente a Oquando t tende a infinito, e l'integrale soddisfa le condizioni necessarie alla con-vergenza. Calcolando la trasformata di Fourier del segnale modificato x(t) si ha:

~ ~

:r[x(t)] = f x(t)e-j21l/ldt = f x(t)e-me-j21l/'dto o

(3.6.4)

È chiaro che il valore di (J deve essere scelto opportunamente in relazione al-l'andamento del particolare segnale. Ad esempio, per il segnale gradino è suffi-ciente un sia pur minimo grado di smorzamento per far convergere l'integrale,cioè è sufficiente (J > O. In tal caso infatti

Il!!"


~ -

f x(t)e-ar e-j2rrftdt = f e-(U+j2rrf)t dt =o o

e -(u+ j2rrf)t

1

- 1

a + j21if o = ~+ j21if(3.6.5)

1 x(t)

t

Figura 3.49 Segnale smorzato per il calcolo della trasfonnata

non appena a> O. Se si considera la quantità a + j21if = a+ jO) come un'unicavariabile complessa

s=a+ jO)=a+ j21if (3.6.6)

si può interpretare la trasformata di Fourier del segnale "modificato" x(t)(trasformata che verrà a dipendere dal generico valore di a scelto, oltre chedalla frequenza f) come una diversa trasformata del segnale originario x(t)dipendente appunto dalla variabile complessa s = a + jO):

~ ~

X(s) = f x(t)e-stdt = f x(t)e-(u+j2rrf)tdt= £ [x(t)]o

(3.6.7)

e cioè la trasformata di Laplace unilatera2. La differenza principale staevidentemente nel fatto che questa trasformata esiste in senso ordinario anche inmolti casi in cui la trasformata di Fourier non esiste.

Dalla (3.6.5) è chiaro dunque che il segnale gradino unitario ammettetrasformata di Laplace ordinaria e che questa è Ves) =1/ s. Altrettanto chiarodalla breve discussione sul ruolo della "costante di smorzamento" a è che tale

2 Applicabile cioè ai soli segnali causali. La trasfonnata di Laplace bilatera è definita mediante

un integrale da -00 a 00 e si applica a qualunque segnale, analogamente alla trasfonnata di

Fourier. Le'considerazioni valide per la trasfonnata bilatera relativamente alla sua relazione con

la trasfonnata di Fourier sono comunque molto simili a quelle che vengono qui fonnulate per la

unilatera, per cui la trasfonnata bilatera non verrà ulterionnente presa in considerazione.

120 Capitolo 3

risultato deve intendersi valido solo per particolari valori di a, in questo casoa> O.Se ad esempio consideriamo il segnale x(t) = eQIu(t), a> O,è chiaro cheper avere smorzamento sufficiente deve aversi stavolta a> a. Relazioni diquesto tipo identificano una zona del piano complesso della variabile s in cui l'Ltrasformata di Laplace esiste, in cui cioè l'integrale nella (3.6.7) è convergente.Questa zona viene chiamata zona di convergenza e, per i segnali causali, è unsemipiano del tipo a> ao raffigurato in Figura 3.50; la quantità ao è unacaratteristica del segnale x(t) e viene chiamata ascissa di convergenza.

Figura 3.50 Zona di convergenza della trasformata di Laplace sul piano complesso s

Non interessa stabilire qui in dettaglio le caratteristiche della trasformata di

Laplace, come la formula di inversione e i vari teoremi e proprietà, molte dellequali sono peraltro analoghe a quelle possedute dalla trasformata di Fourier. Èinvece interessante approfondire la relazione intercorrente tra le due trasformate.Dal punto di vista formale, se nella (3.6.7) si pone a =O abbiamo

~

X(s)la=o =J x(t)e-S'dto

~

= J x(t)e-j21t/'dto

(3.6.8)a=O

che porterebbe la seguente relazione tra le trasformate di Fourier e Laplace persegnali causali:

3[5]

I

Zona diconvergenza

I

j27tf

I

0"0I I

O" 9\[5]


X(f) = X(s)la=o = X(S)IS=j21!f (3.6.9)--In pratica, i valori della trasformata di Fourier del segnale sarebbero quelli che latrasformata di Laplace assume per s =j21if, cioè sull' asse immaginario (j = O

del piano s.Abbiamo usato il condizionale nelle precedenti due affermazioni perché esse

sono soggette a una ipotesi. Infatti l'uguaglianza (3.6.9) ha senso e porta a risul-tati corretti solo se l'asse immaginario del piano s è contenuto nella zona diconvergenza della trasformata di Laplace. Altrimenti, usare la (3.6.9) può por-tare a risultati senza senso o errati. La procedura (3.6.9) viene illustrata in Figura3.51 in un caso permesso; l'andamento della X(!) viene raffigurato su di una"sezione" lungo l'asse immaginario di una superficie che rappresenta i valori diX(s) (supposta reale) in funzione di s.

j21tf

Zona diconvergenza

cr

cr

Figura 3.51 Estrazione, quando lecito, della trasfonnata di Fourier da quella di Laplace

Esempio 3.19

Il segnale gradino x(t) =u(t) ammette trasformata di Laplace

122 Capitolo 3

1X(s)=- , 0'>0

s(E3.19.1)

Applicando la relazione (3.6.9) per tentare di ricavare la trasformata di Fourier .

del gradino, si ottiene

1X (s)1 =-

s=j21if j21if

che non è il risultato corretto. Infatti la zona di convergenza 9\[s] =O' > Odellatrasformata di Laplace non comprende l'asse immaginario O'= O. O

(E3.19.2)

Esempio 3.20Il segnale esponenziale unilatero

x(t) =e-IIT u(t) , T> O (E3.20.1)

ha trasformata di Laplace

-[(C1+1IT)+j21if]1

I

~ 1

X(s) = Je-'ITe-S'dt= (:+1/T)+ j21if o =o(E3.20.2)

purché O'+ 1/ T> O, cioè (J > -1/ T. La zona di convergenza contiene dunquel'asse immaginario O' =O ed è quindi perfettamente lecito scrivere che

X(f) = X(s) 1. = 1 - T

s=}21if - (E3.20.3)

come già noto. O

Sommario

Questo capitolo ha dimostrato che l'analisi di Fourier è applicabile anche ai se-gnali aperiodici. Immaginando infatti di ottenere un segnale aperiodico come illimite di un segnale periodico quando il periodo di ripetizione To tende a infi-nito, si riesce a estendere l'espansione in serie di Fourier, valida per il segnaleperiodico, anche ai segnali non periodici, ottenendo così l'integrale di Fourier.In questaequazionedi sintesi,il ruolochenellaseriegiocavanoi coefficientiXk

viene riservato alla trasformata continua di Fourier X(f) del segnale aperiodico

x(t). Il segnale è ancora scomposto come una sovrapposizione di infinite com-

ponenti sinusoidali di frequenza variabile con continuità da -00 a +00, con fase


LX(f) e con ampiezza infinitesima IX(f) Idi. Molte delle proprietà di simme-tria dello spettro di ampiezza A(f) =1X(n I e dello spettro di faseD(f) = LX(f) del segnale aperiodico sono analoghe a quelle già discusse nelCapitolo 2 (simmetria Hermitiana, segnali pari e dispari ecc.)

Sono state ricavate molte proprietà notevoli della trasformata continua di

Fourier, che permettono di calcolare lo spettro di un segnale che subisce partico-lari operazioni di trasformazione: ritardo, modulazione, combinazione linearetra più segnali, ed è stata messa in evidenza la dualità tra i domini del tempo edella frequenza. Tra le proprietà più importanti, menzioniamo i teoremi di inte-grazione e derivazione, secondo i quali operazioni di carattere differenziale sulsegnale temporale equivalgono a più semplici operazioni algebriche sulle tra-sformate. Analoga considerazione può farsi a proposito del teorema della convo-luzione, per cui l'operazione di integrale di convoluzione nel tempo corrispondea un semplice prodotto in ambito frequenziale.

La necessità di estendere l'operazione di derivata anche in casi in cui il se-gnale temporale è discontinuo ha portato poi all'introduzione della funzione ge-neralizzata 8(t) di Dirac, formalmente definita come la derivata della funzione

gradino unitario. Da questa definizione, precisata poi in senso limite, sono statericavate numerose altre proprietà, come la proprietà campionatrice e la neutra-lità nei confronti della convoluzione. Attraverso la 8 di Dirac, si è stati in gradodi ricavare le trasformate di Fourier generalizzate di segnali non trasformabili insenso ordinario: il segnale costante, il gradino unitario, le funzioni seno e co-seno, e i segnali periodici. A quest'ultimo proposito, si è poi ricavata la relazionedi campionamento infrequenza che sussiste tra la trasformata continua di un se-ognale aperiodico e i coefficienti di Fourier del segnale periodico ottenuto perio-dicizzando il segnale aperiodico dato.

. Il capitolo si è chiuso infine con l'esame della relazione tra la trasformata diFourier X(f) e la trasformata di Laplace X(s) di un segnale causale. Si è messo

in luce in particolare che la trasformata di Fourier si può direttamente ricavare daquella di Laplace solo quando la zona di convergenza di quest'ultima comprendel'asse immaginario s = j21if .

Esercizi proposti

3.1 Determinaree rappresentarela trasformatadi Fourier X(f) del segnalex(t) nei seguentitre casi:

124 Capitolo 3

{

COS2(7rt/T) It k T /2a) x(t) = .

O altrove

O t <-Tl

(t

)2

- -+1 -T5,t<Ob) x(t) =i 2 T

1

(t

)2

1-2" T-l 05,t<T1 t "è.T,

c) x(t) come in Figura 3.52.

3.2 Dato un segnale xC!) con trasformata XC!), trovare e rappresentare latrasformata del segnale

y(t) =x(t). I8(t - nT)n

x(t)

-T

T

-1

Figura 3.52

3.3 Determinare le trasformate dei seguenti segnali semipe1jpdici (cioe perio-dici per t> O):

i) xc(t) = cos(27r.fot).u(t)

ii) Xs(t) = sin(2%t) . u(t)

iii) y(t) = Acos(2%t + rp). u(t)

3.4 Determinare la relazione duale del teorema di derivazione (calcolare cioè:r -I [dX(f) / di]), e sfruttarlaper calcolarela trasformatadel segnalex(t)in Figura 3.53.

3.5 Calcolaree rappresentarez(t) =x(t) Q9y(t), con

-

(t-T/2

)x(t) =e t/T u(t) , y(t) = rect T

3.6 Rappresentare la seguente trasformata di Fourier:

{

T III~ 1/2T

X(f)= 2T(1-I/IT) 1/2T<I/I~1/T

O III> 1/ T

e trovare il segnale x(t) antitrasformato.

3.7 Determinare la trasformata di Fourier D(J) del segnale

d(t) =L(-1)k8(t- kTo/2)k

Utilizzando questo risultato dimostrare poi che i coefficienti di Fourier diordine pari di un qualunque segnale periodico alternativo sono nulli.

x(t)1

-T

T

-1

Figura 3.53

3.8 Determinare i coefficienti Xk della serie di Fourier del segnale periodico

x(t) di Figura 3.54.

x(t)

1

-1

Figura 3.54

3.9 Un segnale periodico y(t) di periodo 1'0è ottenuto come periodicizzazione

del segnale aperiodico x(t):

Il

126 Capitolo 3

-+-o

y(t)= Lx(t-nTo)n=-«1

Dimostrare che

-+-o

y(t) = x(t) <8>Lo(t - nTo)n =-00

e da questa espressione ricavare in una maniera alternativa a quella deltesto la relazione di campionamento infrequenza tra ~ e X(f).

3.10 Il segnale cosiddetto coseno rialzato

viene periodicizzato con periodo T. Determinare i coefficienti di Fourierdel segnale periodicizzato tramite la formula del campionamento infrequenza, e discutere a posteriori il risultato ottenuto. Era questoprevedibile in partenza? Ripetere lo stesso procedimento per il segnale

AppendiceCenni alla teoria delle distribuzioni

A.I Definizione di distribuzione e di funzione generalizzata

Senza nessuna pretesa di rigore matematico, diamo nelle pagine seguenti alcunicenni alla teoria delle distribuzioni per chiarire meglio il contesto in cui lefunzioni generalizzate hanno una sistemazione fonnale corretta.

Si definisce funzionale e si indica con T[x] una corrispondenza che associa auna funzione x(t), di durata limitata, un ben definito valore numerico reale ocomplesso. Un esempio di funzionale è 1'energia di un segnale:

~

T[x] = Ex = J x2(t)dt (Al)

o il suo limite superiore:

T[x] = sup[x(t)] (A2)

o anche l' "area sottesa" dallo stesso

~

T[x] =Jx(t)dt (A3)

Il funzionale è una generalizzazione del concetto di funzione nel senso dicorrispondenza o mappa. Contrariamente alle funzioni ordinarie, gli elementi deldominio della corrispondenza sono funzioni (cioè segnali) anziché valorinumerici, e il valore reso dal funzionale stesso dipende dall'andamento del

128 Capitolo 3

segnale nella sua globalità.Distinguiamo alcune categorie di funzionali. Un funzionale è lineare se per

esso vale la relazione

(A.4)

per ogni valore dei parametri a e f3 e per ogni coppia di funzioni xl(t) e xAt).Evidentemente, il funzionale che associa a ogni segnale la propria energia non è

lineare, mentre quello che associa l' "area sottesa" lo è. Inoltre, un funzionale ècontinuo se, data una successione di funzioni xAt) con limxAt) = x(t), èe->Overificata la relazione

limT[xAt)] =T[limxAt)

]=T[x(t)]e->O e->O

(A.5)

per ogni valore del tempo t. La continuità garantisce in pratica che è possibile"portare il limite sotto il segno di funzionale". Un funzionale lineare e continuoè una distribuzione.

Esempio A.lConsideriamo il funzionale definito dalla relazione seguente:

T[x(t)] = x(o) (A.6)

Come possiamo notare, questo particolare funzionale dipende da un solo valoredel segnale x(t); verifichiamo se esso gode delle proprietà di linearità econtinuità. La (A.6) implica che

(A.7)

che dimostra la linearità del funzionale. Per quanto riguarda la continuità, se èverificata la seguente relazione

limxAt) =x(t)e->O

~t (A.8)

possiamo scrivere che

limT[xAt)] = limxAO)= x(O)= T[x(t)]e->O e O(A. 9)

e la continuità resta dimostrata. Il funzionale in esame è pertanto unadistribuzione. D

Nello studio della teoria delle distribuzioni è utile introdurre una funzione di

comodo q>(t)che permetta di esprimere il valore del funzionale nella seguenteforma:

~

Tq>[x]= fq>(t)x(t) dt (A IO)

Si richiede che la funzione q>(t)sia localmente sommabile, cioè che verifichi la

seguente relazione:

/,

flq>(t)1dt < 00(AlI)

con t) e t2 finiti. Il motivo per cui si introduce tale rappresentazione è che essagarantisce automaticamente la linearità e continuità del funzionale. In altre

parole, qualunque sia la funzione q>(t)scelta, la Tq>[x]è comunque unadistribuzione.Se infatti la proprietà di linearità è garantita dalla presenzadell'operatore di integrale, la continuità del funzionale segue immediatamentedalla locale sommabilità di q>(t),come è semplice dimostrare. Il pedice q>nella(A.IO) indica che la distribuzione si "appoggia" alla funzione q>(t).Se, adesempio, scegliamo q>(t)= l otteniamo la distribuzione che fornisce il valore

dell'area sottesa dalla curva x(t). Invece se q>(t)= u(to - t) con to assegnato siottiene

~ /0

Tq>[x]= fx(t)u(to-t)dt= fx(t)dt (AI2)

cioè il funzionale restituisce il valore algebrico dell'area sottesa dal segnale x(t)fino all'istante to'

A.2 La funzione generalizzata 8 di DiracDunque ogni funzione ordinaria q>(t)genera una distribuzione, ma vicèversanon è detto che data una qualunque distribuzione si riesca a trovare una funzioneordinaria q>(t) che la generi. Infatti, se consideriamo la distribuzione T[x ]=x(O)ci rendiamo conto che non esiste alcuna funzione ordinaria q>(t)che permetta discrivere tale distribuzione nella forma (AIO). Si definiscono allora le funzionigeneralizzate che garantiscono la possibilità di scrivere ogni distribuzione nellaforma (A.IO); tra queste, particolare importanza assume la funzione impulsiva ~ .

di Dirac implicitamente definita dalla distribuzione appena citata:

130 Capitolo 3

~

To[x]! J x(t) 8(t) dt =x(O) (Al3)

Questa è la definizione formalmente corretta per la funzione 8(t); essa prevedeovviamente che la 8(t) debba comparire sotto il segno di integrale. La (Al3) ègia stata presentata nel testo come una proprietà della 8(t) ricavabile a partiredalla definizione euristica intesa come limite di una successione di funzioniordinarie.

A.3 Derivata di una distribuzione

L'introduzione della 8(t) nel testo è stata giustificata attraverso la ricerca delladerivata temporale del gradino unitario; si è cioè stabilito intuitivamente che

8(t) = du(t)dt (A 14)

Cerchiamo adesso di dimostrare la correttezza di questa relazione nell'ambitodella teoria delle distribuzioni. Per fare ciò, definiamo innanzitutto la derivata di

una distribuzione che si appoggia alla funzione q>(t)come

~

T;[ x ]!Tq>'[x] = J q>'(t) x(t) dt (AI5)

ove q>'(t)indica la derivata prima di q>(t)(nell'ipotesi di esistenza). Integrandoper parti il secondo membro della (AI5) si ottiene

T;[x] = q>(t)X(t)[ - jq>(t)x'(t) dt(AI6)

Il primo addendo della (AI6) è nullo poiché x(t), per avere energia finita, devetendere a zero quando il tempo tende all'infinito; allora si può dare un' altradefinizione di derivata di una distribuzione:

(AI7)

Utilizzando questo risultato cerchiamo di giustificare la relazione (A.14).Ponendo q>(t)=u(t) nella (A lO) si ottiene la distribuzione

~

T"[x]=Jx(t) dto

(AI8)

\


e, calcolandone la derivata attraverso la (Al?), si ricava

~ ~

1;;[x ] = - J u(t) x' (t) dt = - J x' (t) dt = J x' (-a) da = x( O)= 18[x ]o o

(AI9)

Dunque, poiché la derivata della distribuzione che si appoggia ad u(t) è ladistribuzione che si appoggia a 8(t), allora, secondo la (A.15), la 8(t) puòessere considerata la derivata dellafunzione u(t).

Definiamo adesso una nuova distribuzione:

TD[x]=-x'(O) (A20)

in cui, per così dire, si campiona il valore nell' origine della derivata del segnalex(t) cambiata di segno. Chiamiamo D(t) la fun~ione generalizzata d'appoggiodi questa distribuzione:

~

TD[x] = JD(t)x(t)dt = -x' (O) (A2I)

Se calcoliamo la derivata della distribuzione 18[x] abbiamo

~

T;[x] = - J8(t)x'(t)dt = -x' (O) = TD[x] (A22)

e quindi, ripetendo il ragionamento già fatto a proposito delle funzioni 8(t) eu(t), concludiamo che la D(t) è la derivata prima della 8(t):

D(t) =d8(t)/ dt (A23)

Da questa definizione seguono immediatamente alcune proprietà interessantidella D(t) vista come funzione generalizzata:

~ ~

JD(t)x(t - to) dt = -x'(to) ~ JD(t) x(to - t) dt = x'(to) (A24 )

e quindi

x(t) @ D(t) = x'(t) (A25)

Relazioni simili possono ottenersi definendo le derivate successive dellafunzione 8(t), e costituiscono una base di analisi dei sistemi lineari e stazionaria un ingresso e una uscita, come sarà chiarito nel Capitolo 4.

132 Capitolo 3

A.4 Limite di una distribuzione e di una funzione generalizzata

Consideriamo adesso una successione di funzioni generalizzate rpe(t). Diremoche questa successione ammette una funzione generalizzata limite rp(t), e

e-+O

scriveremo che rpe(t)~ rp(t) quando, per ogni segnale x(t),

limTm [x] = T,Jx]E~O r£ .,..

(A.26)

ovvero

~ ~

lim f rpe(t)x(t)dt =f rp(t)x(t)dte-+O

(A.2?)

Questo chiarisce il senso della definizione della funzione generalizzata D(t)

come limite della successione De(t) (3.4.4). La convergenza di funzionigeneralizzate implicata dalla definizione (A.2?) non è "diretta" come laconvergenza di funzioni ordinarie, in cui si richiede che, per ogni valore di t, siabbia

limxe(t) = x(t)e-+O (A.28)

Nel caso delle funzioni generalizzate, infatti, la convergenza è mediataattraverso una operazione di integrazione al di fuori dalla quale la funzionegeneralizzata stessa non ha senso; ricordiamo infatti che quest'ultima ha il solo

scopo di definire un funzionale (una distribuzione) che a essa si "appoggia".Emerge chiara adesso la necessità di intendere le operazioni al limite che sidevono eseguire per calcolare integrali in cui compare la funzione D(t) come,/

eseguite al di fuori del segno di integrale (si riveda la discussione su questopunto nel Paragrafo 3.4.1). La definizione stessa di convergenza tra funzionigeneralizzate (A.2?) prevede infatti esplicitamente tale operazione.

~

4

Sistemi monodimensionali a tempo continuo

4.1 Caratterizzazione dei sistemia tempo continuo

4.1.1 Dal concetto di segnale al concetto di sistemaL'analisi e in generale lo studio dei segnali a tempo continuo intrapresi nei capi-toli precedenti originano un certo numero di domande: In che contesto si mani-festano tali segnali? Dove possono essere osservati? Che cosa è responsabiledella produzione dei segnali stessi? Come questi possono essere elaborati? Neicapitoli precedenti abbiamo già visto alcune risposte parziali a queste domande.Abbiamo infatti preso in considerazione segnali prodotti da fenomeni fisici, dacircuiti elettrici, da apparati in generale sia naturali che artificiali. Tutti questiesempi possono essere accomunati in un solo concetto, ovvero quello di sistema.

Così come nel caso della definizione di segnale.discussa nel Capitolo 1, an-che la definizione di sistema è abbastanza articolata, per lo meno dal punto divista del linguaggio ordinario. In senso lato, possiamo chiamare sistema mono-dimensionale (altrimenti detto a un ingresso e una uscita) un qualunque disposi-tivo, o interconnessione di dispositivi, o apparato, che produce un segnale diuscita (chiamato anche risposta o effetto) in corrispondenza a un segnale di in-gresso (detto anche sollecitazione, eccitazione o causa). Questa definizione èintenzionalmente molto vaga, in modo che sotto la dizione sistema possanorientrare i casi più disparati. È chiaro che un circuito elettronico per il tratta-mento del segnale è un caso tipico di sistema (ad esempio un amplificatore in unsistema di riproduzione audio ad alta fedeltà). A buon diritto può però classifi-carsi come tale anche un sistema di controllo: la potenza erogata dal motore a

134 Capitolo 4

scoppio di una autovettura (segnale di uscita), controllata dal sistema diiniezione di carburante, è determinata dalla posizione che istante per istanteassume il pedale dell'acceleratore (segnale di ingresso); la temperatura del

nocciolo di una centrale termonuc1eare (segnale di uscita) è determinata d~laportata con cui il liquido refrigerante affluisce al nocciolo stesso (segnale diingresso), e così via.

Dal punto di vista matematico, che è quello che riguarda più da vicino lateoria dei segnali, la definizione di sistema è assai meno vaga. In questocontesto, un sistema è una trasformazione (o, con la nomenc1atura dell'analisifUnzionale,unfunzionale) che a un segnale di ingresso x(t) fa corrispondere unben determinato e unico segnale d'uscita y(t). La trasformazione del segnalex(t) nel segnale y(t) si denota nel modo seguente:

y(t) ='T[x(a);t] (4.1.la)

ove con questa notazione si intende che il valore dell'uscita all'istante t dipendein generale dall'andamento complessivo del segnale d'ingresso x(t), cioè da tutti

i suoi valori x(a), con -00 < a < 00 (ad esempio y(t) =J~x(a)da). Qu.@donon ci sono però particolari questioni di ambiguità, si può usare anche la nota-zione semplificata

y(t) ='T[x(t)] (4.1.lb)

yna rappresentazione grafica di questa trasformazione è quella di Figur~ 4.LLefrecce indicano i segnali di ingresso e di uscita; il rettangolo è la "materializza-zione" grafica della trasformazione '1"'[-];il punto interrogativo allude al fatto cheper il momento del sistema non è nota né la struttura interna (racchiusa dalblocco e inaccessibile), né la maniera per caratterizzarne il comportamento aglieffetti esterni. Quest'ultimo argomento è l'oggetto dei prossimi paragrafi.

x(t)

1?

y(t)

Figura 4.1 Sistema che trasfonna il segnale x( t) nel segnale y( t)

Un esempio di sistema è l'amplificatore ideale per il quale la legge di trasforma-

zione è elementare: esso viene infatti descritto dalla semplice relazione

y(t) =A x(t), essendo A una costante data (1'amplificazione).

Sistemi monodimensionali a tempo continuo 135

4.1.2 Proprietà dei sistemi monodimensionaliA prescindere dalla struttura interna del sistema, fortemente dipendente dal con-testo e dall'applicazione, è possibile acquisire alcune informazioni preliminarisul comportamento del sistema stesso e individuarne così alcune proprietà,compiendo osservazioni esclusivamente sui segnali di ingresso/uscita.Esaminiamo dunque queste proprietà in dettaglio.

i) Stazionarietà

Se le ~aratteristiche del sistema non variano nel tempo, il sistema è stazionario;questo è il caso dei circuiti elettrici con componenti, per l'appunto, costanti neltempo. Volendo caratterizzare in modo formale un sistema siffatto possiamoscrivere che, se

y(t) ='T[x(t)] (4.1.2)

allora

(4.1.3)

9uesta relazione dice in pratica che la risposta corrispondente all'eccitazionetraslata nel tempo x(t - to) ha lo stesso andamento della risposta al segnaleoriginario x(t) non traslato, purché la si trasli della stessa medesima quantità to.

ii) CausalitàUn sistema è causale quando il valore dell'uscita all'istante arbitrario generico tdipende soltanto dai valori assunti dall'ingresso agli istanti precedenti (o allimite coincidenti con) t stesso:

y(t) = 'T[x(a),a::; t;t] = 'T[x(a)u(t - a);t] (4.1.4)

L'aggettivo causale deriva dalla considerazione che; se la relazione precedentenon fosse verificata, l'uscita all'istante t sarebbe determinata anche da valori del-

l'ingresso x(a) a istanti a> t, cioè valorijitturi relativamente a t, in violazionedel principio di causa-effetto.

La causalità dei sistemi sembrerebbe quindi una proprietà scontata. In realtà

possiamo introdurre un'ulteriore distinzione: si dice che un sistema opera intempo reale se produce il segnale di uscita contestuaImente alla presentazione diquello d'ingresso. Quindi un sistema fisicamente realizzabile che lavora intempo reale non può che essere causale. Se invece l'uscita viene fornita dalsistema solo successivamente all'acquisizione completa del segnale di ingresso,si dice che il sistema opera in tempo virtuale. Registrando il segnale d'ingresso

,

136 Capitolo 4

su nastro o disco magnetico, si può generare il segnale di uscita elaborando ilsegnale successivamente all'acquisizione (cioè in tempo virtuale) e quindi sipossono anche compiere operazioni di tipo "predittivo" impossibili in temporeale, e tipiche di un sistema non causale.

iii) Memoria

Un caso particolare di sistema causale è il cosiddetto sistema istantaneo in cuil'uscita all'istante t dipende solamente dal valore dell'ingresso al medesimoistante:

y(t) = 'T[x(a),a = t;t] (4.1.5)

In questo caso si usa anche la dizione di sistema senza memoria (per evidentimotivi). Due diversi segnali di ingresso XI(t) e X2(t), coincidenti a un certoistante t*, provocano un medesimo valore in uscita all'istante t*, indipendente-mente dai rispettivi andamenti per t * t*. L'esempio tipico di sistema istantaneoè l'amplificatore ideale y(t)=A.x(t). Viceversa, un esempio di sistema conmemoria è il cosiddetto integratore afinestra mobile per il quale

I

y(t) = J x(a) dal-T

(4.1.6)

ove T> O è l'ampiezza della "finestra di integrazione". Il calcolo del valoredell'uscita all'istante t presuppone la conoscenza dell'andamento del segnale

d'ingresso in tutto l'intervallo [t - T, t] (Figura 4.2): il sistema mantiene unacerta memoria dell'andamento del segnale d'ingresso x(t).

x(a)y(t)

t-T t a

Figura4.2 Funzionamento di un integratore a finestra mobile

-


Esempio 4.1Consideriamo di nuovo l'amplificatore ideale.comportamento è descritto dall'equazione

Come già accennato, il suo

y(t) =A.x(t) (E4.1.I)

ove il parametro reale A rappresenta l'amplificazione (cioè il guadagno). Talesistema è causale e senza memoria. Inoltre esso è stazionario essendo

banalmente verificata l'uguaglianza tra 'T[x(t - to)]e y(t - to).In una realizzazione dell'amplificatore con componenti elettronici, può acca-

dere che, per lente derive dei componenti stessi, il guadagno non sia costante,ma vari lentamente nel tempo. Un semplice modello di questa situazione è ilnuovo sistema

y(t) = (A + B t) x(t) (E4.1.2)

che è ancora causale e senza memoria, ma non è stazionario. Si ha infatti che

'T [x(t - to)] = (A + B t) x(t - to) * y(t - to) = (A + B (t - to)) x(t - to). (E4.1.3)

D

iv) Stabilità

Diremo che un sistema è stabile se, sollecitato da un segnale con andamento

arbitrario ma di ampiezza limitata, produce a sua volta in uscita un segnale di

ampiezza limitata:

Ix( t)1::; M :::} Iy( t)1::; K (4.1.7)

con M e K finiti. Questa definizione di stabilità si indica con l'acronimo BIBO(Bounded-Input Bounded-Output) che significa "uscita limitata per ogni ingressolimitato", ed è solo una tra le molte definizioni di stabilità che si possono dareper i sistemi monodimensionali. Secondo questo criterio, un "buon pilotaggio"di un sistema stabile, cioè un segnale di ingresso adeguatamente limitato, noncausa mai in uscita fenomeni di instabilità, cioè situazioni in cui la risposta y(t)tende a crescere illimitatamente.

v) lnvertibilità

In molti casi è necessario ricostruire il segnale di eccitazione in ingresso a un

sistema nota la risposta al segnale stesso. Questa operazione è possibile solo per

sistemi invertibili, per i quali cioè esiste un sistema inverso 'T-I [.] tale che:

138 Capitolo 4

'T-I [y(t)] = X(t) (4.1.8)

qualunque sia il segnale di ingresso x(t). È chiaro che l'amplificatore ideale èinvertibile (e il suo sistema inverso è ancora un amplificatore ideale), mentre ilsistema y(t) = X2(t) non lo è.

vi) Linearità

Infine, un sistema è lineare se a esso è applicabile il principio di sovrapposizionedegli effetti. Ciò significa che al segnale di ingresso

(4.1.9)

costituito da una combinazione lineare con coefficienti costanti a e f3 delle dueeccitazionix,(t) e X2(t)(le cause),il sistemarispondecon il segnaledi uscita

(4.1.10)

ove YI(t)='T[Xl(t)] e Y2(t)= 'T[X2(t)].L'uscita si ottiene dunque mediante lastessa combinazione lineare delle due risposte YI(t) e Y2(t) (gli effetti) alle dueeccitazioni XI(t) e X2(t) considerate agenti separatamente.

Esempio 4.2Consideriamo il raddrizzatore a doppia semionda, la cui relazione costitutiva è

'T[x(t)] = Ix(t)1 (E4.2.1)

Poniamo al suo ingresso il segnale x(t) =XI (t) + x2(t); poiché

(E4.2.2)

Dsi può dire che il sistema in esame non è lineare. -Esempio 4.3Riprendiamo indell'Esempio 4.1:

considerazione l'amplificatore a guadagno variabile

y(t) =(A + Bt)x(t) (E4.3.1)

e studiamone la linearità. Se il segnale d'ingresso è x(t)=axl(t)+f3x2(t),l'uscita corrispondente è data da

'T[x(t)] = (A + Bt)[ax.(t) + /h2(t)] = (A + Bt)ax.(t) + (A + Bt)f3X2(t)(E4.3.2)

Poiché y.(t)=(A+Bt)XI(t) e Y2(t)=(A + Bt) X2(t) la relazione (E4.3.2) puòessere riscritta nella forma

(E4.3.3)

Oe quindi il sistema è lineare.

4.2 Caratterizzazione e analisi dei sistemi lineari stazionari

Restringiamo adesso la nostra attenzione al caso estremamente importante disistemi lineari e stazionari (SLS) (o invarianti nel tempo). Questi rivestono unaparticolare importanza perché si rivelano estremamente semplici da analizzare, epossono inoltre essere sintetizzati (progettati) con altrettanta facilità.

Nel paragrafo precedente, abbiamo qualificato i sistemi monodimensionalisecondo determinate proprietà rilevabili mediante lo studio dei soli segnali diingresso e uscita, a prescindere dalla struttura materiale del sistema stesso.Vogliamo estendere questo modo di procedere, che potremmo chiamare "ascatola chiusa" con riferimento al diagramma di Figura 4.1, per arrivare a unacaratterizzazione esaustiva del comportamento dei sistemi lineari stazionari.

4.2.1 La risposta impulsiva .

Per un SLS dato è possibile misurare (o calcolare se si dispone di uno schema diprogetto) la cosiddetta risposta impulsiva, cioè l'uscita del sistema in corrispon-denza all'eccitazione impulsiva x(t) =8(t). Convenzionalmente, tale segnaleviene indicato con h(t):

h(t)~'T[8(t)] (4.2.1)

L'importanza della risposta impulsiva di un SLS risiede nel fatto che la MIaco-noscenza permette di determinare la risposta del sistema a un segnale di ingressodi andamento arbitrario. Ricordiamo la (3.4.21):

~

x(t) =x(t)<8>8(t) = fx(a)8(t-a)da (4.2.2)

e scriviamo:

140 Capitolo 4

y(t) ='T[x(t)] ='TU x(a)O(t - a)da](4.2.3)

La trasformazione 'T[']caratteristica del sistema e l'operazione di integrale sonoentrambe operatori lineari, e quindi è possibile invertime l'ordine di calcolo. La(4.2.3) diventa quindi

~

y(t) = f'T[x(a)8(t-a)]da (4.2.4)

ove è importante osservare che l'operatore 'T['] agisce su segnali funzioni deltempo t. Poiché tale operatore è lineare, e tenendo conto che, rispetto al tempo t,la quantità x( a) è una costante, si ha:

~

y(t) = fx(a)''T[8(t-a)]da (4.2.5)

e infine, per la proprietà di stazionarietà del sistema e ricordando la definizionedi risposta impulsiva h(t) (4.2.1), si ottiene:

~

y(t) = fx(a) h(t - a) da = x(t) <8>h(t) (4.2.6)

che stabilisce la relazione fondamentale (diremmo costitutiva) del sistema line-

are stazionario: il segnale di uscita può essere calcolato attraverso la convolu-zione del segnale di ingresso con la risposta impulsiva.

La conoscenza della risposta impulsiva, oltre a permettere di ricavare ilsegnale di uscita dato quello di ingresso, consente anche di verificare le proprietàpossedute dal sistema e quindi caratterizza completamente il comportamento del

sistema stesso. Nel paragrafo precedente abbiamo visto ad esempio che un,sistema è causale se è verificata la relazione

y(t) = 'T[x(a),a::; t;t] = 'T[x(a)u(t - a);t] (4.2.7)

Dimostriamo ora che un SLS è causale se e solo se la sua risposta impulsiva è un

segnale causale (nel senso specificato nell'Esempio 3.2), cioè

h(t) == h(t) u(t) (4.2.8)

Infatti, se calcoliamo il segnale di uscita di un SLS la cui risposta impulsiva ècausale, abbiamo:

~ -

y(t) = x(t) <8>h(t) = fx(a) h(t - a) da = fx(a) h(t - a)u(t - a) dat

= fx(a) h(t- a) da (4.2.9)

in cui l'ultimo passaggio è giustificato dal fatto che h(t - a) =O per a ~ t comemostrato in Figura 4.3.

h(t) h(t -o:)

t-o: o:

Figura 4.3 Risposta impulsiva di un sistema causale

La limitazione dell'estremo superiore di integrazione nella (4.2.9), provocatadalla causalità della risposta impulsiva, porta a concludere che il valore algenerico istante t del segnale di uscita è determinato dai soli valori assunti dax(a) per a '5,t. In una parola, il sistema è causale. Viceversa, se il SLS in

esame fosse causale e la (4.2.8) non fosse verificata (cioè la risposta impulsivanon fosse causale) si avrebbe un assurdo perché, con un ragionamento analogo aquello appena visto, si dimostrerebbe che l'uscita del sistema a un istante

assegnato dipenderebbe anche dai valori assunti dal segnale di ingresso in istantisuccessivi.

Anche la stabilità del sistema è univocamente determinata dall'andamento

della risposta impulsiva. Infatti, condizione necessaria e sufficiente affinché un

SLS sia stabile è che la sua risposta impulsiva sia assolutamente,integrabile:~

flh(t)1dt < +00 (4.2.10)

Verifichiamo innanzitutto la sufficienza. Supponiamo dunque

-flh(t)1 dt = H < 00 (4.2.11)

142 Capitolo 4

Per un segnale d'ingresso limitato (cioè Ix(t)J~ M) possiamo scrivere

ly(t)1=,j h(a) x(t-a) dal ~ jlh(a) x(t- a)1da = jlh(a)llx(t -a)1 da ~~

~ M flh(a)1 da =MH <-too (4.2.12)

e quindi il sistema è stabile. Procedendo per assurdo dimostriamo poi che lacondizione (4.2.10) di assoluta integrabilità è anche necessaria. Supponiamo cheh(t) non sia assolutamente integrabile e che il sistema, nonostante ciò, sia sta-bile. Ciò significa che, dando in ingresso al sistema un segnale limitato arbitra-rio, il segnale di uscita corrispondente deve avere ampiezza limitata. Questodeve accadere in particolare per il segnale di ingresso (ovviamente limitato)

x(t) =sgn[h(-t)] (il cosiddetto segnale del caso peggiore) rappresentato inFigura 4.4 insieme a un particolare andamento della risposta impulsiva h(t).

1.5

sgn[h( -t)]1.0

0.5

1\1

o.o~ " "1 l' '

\./

\~u-0.5

-1.0 -h(-t)

-1.5-2 -1 o 2

Tempo normalizzato, tfr

Figura 4.4 Rappresentazione del segnale x(t) = sgn[h(-t)]

Calcoliamo adesso il valore del segnale di uscita y(t) per t =O

-y(O) =f h(a) x(t - a) da

~ ~

=f h(a) x(-a) da = f h(a)sgn[h(a)] da1=0

~

= flh(a)1da =-too (4.2.13)

avendo supposto, coerentemente con le ipotesi, che la risposta impulsiva delsistema non sia assolutamente integrabile. Allora, poiché il segnale di uscita delsistema non ha ampiezza limitata, il sistema in realtà non è stabile, incontraddizione con l'ipotesi fatta. Concludendo, possiamo scrivere

~

sistema stabile in senso BIBO <=>flh(t)1 dt <-too (4.2.14)

4.2.2 La risposta in frequenza

La risposta impulsiva di un sistema può essere ricavata applicando in ingresso alsistema stesso un segnale che approssimi la funzione 8(t) e misurando l'uscitacorrispondente. Diciamo "approssimi" perché il segnale 8(t) è un'astrazionematematica che può solo essere approssimata quando si effettua una misurazionenella pratica. Se però si ha un'idea dei tempi di risposta del sistema, una buonaapprossimazione della sollecitazione impulsiva è un impulso rettangolare didurata sufficientemente più piccola della costante di tempo intrinseca al sistema,e di ampiezza sufficientemente elevata. Ciò che si ottiene in questo modo è lacaratterizzazione del sistema nel dominio del tempo.

In molti casi però non è possibile e/o conveniente applicare al sistema unasollecitazione impulsiva, vuoi per l'impossibilità di generare un segnale che siauna buona approssimazione di un impulso di Dirac, vuoi per il timore che unasollecitazione di ampiezza elevata come !'impulso (o meglio, l'approssimazionepratica dell'impulso) possa danneggiare il sistema stesso. Cambiamo dunquetipo di eccitazione, e forniamo al sistema un segnale di ingresso sinusoidale o-meglio,per semplicitàdi calcolo,una oscillazionesinusoidalecomplessaallafrequenzaf:

x(t) = ej2'!fi (4.2.15)

L'uscita corrispondente è espressa da

~ ~

y(t) =f h(a) x(t - a) da =f h(a) ej21if(t-a)da

~

= ej2'!fi f h(a) e-j21ifada (4.2.16)

144 Capitolo 4.~

Se il sistema è stabile, la risposta a un' oscillazione di frequenza f assegnata è asua volta un' oscillazione alla stessa frequenza f, ma modificata in ampiezza efase rispetto all'ingresso di un fattore a valori complessi che chiamiamo rispostainfrequenza (talvolta risposta armonica) del sistema:

H(J)~ y(t)1x(t) x(t)=ej21r/t

Al variare della frequenzaf, la variazione di ampiezza e lo sfasamento introdottodal sistema su un segnale sinusoidale cambiano, cosicché la risposta in fre-

quenza deve intendersi come una funzione della frequenza f esprimibile adesempio in modulo e fase. Questa definizione di carattere operativo della rispo-sta in frequenza può essere presentata in modo alternativo se si riconsidera la(4.2.16):

(4.2.17)

~

H(f) =Jh(a) e-j21r/ada (4.2.18)

Allora è chiaro che la risposta in frequenza è anche ricavabile come trasformatadi Fourier della risposta impulsiva:

H(f)~:r[h(t)] (4.2.19)

Le due definizioni (4.2.17) e (4.2.19) sono chiaramente equivalenti. La primaperò suggerisce un metodo per misurare la risposta in frequenza attraversosegnali di prova sinusoidali a frequenza variabile. La seconda richiede lapreventiva conoscenza della risposta impulsiva, e quindi ha come prerequisito lacaratterizzazione temporale del sistema, che non è richiesta vice}iersa nella"misura" della risposta in frequenza (4.2.17).

Se infine indichiamo con X(J) e Y(J) le trasformate di Fourier rispettiva-mente del segnale di ingresso e di quello di uscita, possiamo trovare una terzamaniera di definire o ricavare la risposta in frequenza H(J). Trasformando en-trambi i membri della relazione costitutiva del SLS (4.2.6) abbiamo

y(t) =x(t) (8)h(t) ~ Y(J)= x(J) H(J) (4.2.20)

ovvero

(4.2.21)


Questa relazione permette di ricavare la risposta in frequenza del SLS attraversola conoscenza delle trasformate di Fourier dell'ingresso e dell'uscita del sistema,prescindendo ancora una volta da una misura della risposta impulsiva. È chiaroperò che quest'ultima definizione ha senso solo per quei valori di f per cuiX(f) *"O. Le tre definizioni viste per H(f) possono essere usate indifferente-mente nella risoluzione di problemi pratici o teorici a seconda della convenienza.

Sappiamo che la trasformata di Fourier di un segnale reale gode della pro-prietà di simmetria Herrnitiana (si vedano le (3.2.8-3.2.9)); perciò se la rispostaimpulsiva di un sistema è reale possiamo scrivere:

{A(J) = A(- f)

H(J) = H*(- f) => 8(J) = -8(- f)(4.2.22)

dove A(J)= IH(J)Iè la cosiddetta risposta in ampiezza del sistema e8(J) = LH(J) è la sua risposta in fase. Per comprendere appieno il perché diquesta nomenclatura (analoga peraltro a quella adottata per gli spettri deisegnali), poniamo in ingresso al sistema il segnale

x(t) = acos(21ifot + qJo) (4.2.23)

e calcoliamo il corrispondente segnale d'uscita y(t). Osserviamo che x(t) puòessere riscritto come

(4.2.24)

Pertanto, sfruttando la definizione di risposta in frequenza (4.2.17) e la linearitàdel sistema si ottiene: -

y(t) = H(fo) ~ejrpoej21ifol+ H( -.lo) ~e-jrpoe-j21ifol

= A(.fo) ej9(Jo)~ejrpoej21ifol+ A( - .lo) ej9(- fo)~e- No e- j21ifol

= A(.fo) ~ [ej(9(Jo)+9'0)ej21ifol+ e-j(9(Jo)+9'0)e-j21ifol]

= a A(fo) cos(21ifot+ qJo+ 8(10)) (4.2.25)

Come già ricavato nel caso dell'oscillazione complessa, l'uscita del sistema ri-sulta modificata in ampiezza e fase relativamente al segnale d'ingresso in ra-gione rispettivamente delle risposte in ampiezza efase del sistema alla frequenzalo considerata.

146 Capitolo 4

Esempio 4.4

Consideriamo la consueta squadra R-C mostrata in Figura 4.5 e determiniamolasua risposta in frequenza H(1). Osserviamo preliminarmente che il problemaèben posto, nel senso che il sistema dato è lineare e stazionario poiché costituitoda componenti lineari a valori costanti nel tempo. La risposta impulsiva delsistema può essere ricavata come segue:

h(t) = 'T[o(t)] = 'T[dU(t)

]= ~'T[u(t)] = dg(t)dt dt dt

(E4.4.1)

R

t I t«

I.Figura 4.5 Circuito elettrico R-C

ove g(t) è come di consueto la risposta del sistema al gradino unitario u(t).Ancora una volta nella (E4.4.I) sono state invertite le operazioni lineari diderivazione temporale e trasformazione operata dal sistema.

La risposta al gradino del circuito può essere interpretata come il risultatodiun'operazione di "carica del condensatore C'attraverso la resistenza R (si veda

a questo proposito la Figura 3.29). Nozioni di fisica elementare permettonodiscrivere

. (E4.4.2)

relazione rappresentata in Figura 4.6, e dove T = RC è la costante di tempodel

circuito. Derivando, si ottiene la risposta impulsiva h(t) rappresentata in Figura4.7:

h(t) = dg(t) = .!.e-1IT u(t)dt T

(E.4.4.3)

La sua trasformata di Fourier è

....


H(J) = ! (E4.4.4)

che rappresenta infine la risposta in frequenza cercata del sistema dato.

Tempo normalizzato, tJT

Figura 4.6 Risposta al gradino del circuito R-C

-

Tempo normalizzato, tJT

Figura 4.7 Risposta impulsiva del circuito R-C

D

1.25

1.00---C)o 0.75.

"O«S....C) 0.50

(ij«S-cn 0.25oa.cna:

0.00

-0.25-2 -1 o 1 2 3 4 5 6

1.25

- 1.00--..c:...=.«S 0.75>'Ci)"3a. 0.50.§«S-

0.25cnOa.cna: 0.00

-0.25-2 -1 O 1 2 3 4 5 6

..,....

148 Capitolo 4

Esempio 4.5

Determiniamo la risposta in frequenza del circuito di Figura 4.5 per altra via. Atal fine facciamo riferimento alla notazione indicata in Figura 4.8.

R

;<1> i<~ C I tIV.

Figura 4.8 Circuito elettrico R-C

Considerando la caduta di tensione sul resistore e la tensione ai capi delcondensatore si ha

(E4.5.1)

Indicando con q(t) la carica elettrica accumulata sulle armature delcondensatore fino all'istante t, si ha inoltre

d vu(t) 1 dq(t) i(t)~-=--=-dt C dt C

(E4.5.2)

per cui

i(t) = C d vu(t)dt(E4.5.3)

,."

e, sostituendo questa relazione nella (E4.5.1), si ottiene

vu(t) = v;(t) - RC d VII(t)dt(E4.5.4)

che descrive la relazione tra i segnali di ingresso x(t) =v;(t) e di uscitay(t) = vu(t). Calcolando la trasformata di Fourier di entrambi i membri della(E4.5.4) si ha

v,,(J)= Y;(J)- j21ifRCv,,(J) (E4.5.5)


da cui si ricava

) ~(J) !H(J = Y;(J) - 1+ j21if RC

(E4.5.6)

Se si definisce la frequenza di taglio del sistema (il cui significato sarà chiarito

più avanti) come

1

fT =2rcRC(E4.5.7)

la risposta in frequenza del SLS è anche

H(J) = ! (E4.5.8)

dalla quale si trovano immediatamente le seguenti espressioni della risposta inampiezza e in fase:

1

IH(J)I = ~1 +(J I fT t, L-H(J)=-arctgL

fT(E4.5.9)

L'andamento delle risposte in ampiezza e fase è rappresentato nella Figura 4.9mediante scale lineari per entrambi gli assi del riferimento cartesiano delgrafico. D

4.2.3n decibel ,In molti fenomeni fisici, specialmente collegati con la percezione sensorialeumana, l'ampiezza di un segnale può variare di molti ordini di grandezza.L'esempio tipico di questa tendenza è dato dai segnali acustici udibili. I suonipiù forti che l'orecchio umano può tollerare senza danni hanno una intensità dipressione acustica I pari a circa 1 W/m2 (ad esempio, un motore aeronautico apiena potenza). I più deboli rumori percepibili, viceversa, hanno una pressioneacustica di 1 pW/m2= 10-12W/m2, cioè 12 ordini di grandezza ~nferiore. Quelche più conta inoltre è che a sensazione di intensità acustica raddoppiata,triplicata ecc. rispetto a una intensità di riferimento lo corrisponde in realtà unaeffettiva intensità acustica che varia come (l/Io )2, (I I lo )3 ecc. In questi casidunque è appropriato usare una scala di misura logaritmica, in cui al "raddoppiosoggettivo" della intensità corrisponde un raddoppio dell'unità di misura, che

150 Capitolo 4

deve essere intesa come logaritmo (in base lO) del fattore di incremento reale,

Questa unità è il bel (abbreviato B) o più, comunemente, il decibel (abbreviatodB) pari evidentemente a un decimo di bel.

l

1.25

- 1.00:!::-I

«f 0.75NNQ)'5.E 0.50ro,!;;ro 0.25-Cf)oa.Cf) 0.00a:

-0.25-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5

Frequenza normalizzata, flfT (a)

180

135'5CCI.9 90-:!::-I 45"!

Q) 01 -.... I -Cf)ro-c: -45('(j-Cf) -90Oa.Cf)a: -135

-180-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5

Frequenza normalizzata, flfT (b)

Figura 4.9 Risposta in ampiezza (a) e fase (b) del circuito R-C

Per quel che riguarda la misura della risposta in ampiezza di un sistema, sidefinisce la risposta in dB del sistema come

, »'E>

Sistemi monodit11\ -> ,a tempo continuo 151

IH(Jt

IH(J)ldB! l Olog,o IH(fot (4.2.26)

Poiché il dB, come chiarito poc'anzi, è sempre e comunque una misura relativa

a un riferimento, nella definizione compare il fattore JH(fot che costituisce ap-

punto il valore rispetto al quale i dB sono calcolati; la frequenza lo del riferi-mento deve essere scelta opportunamente per i vari tipi di sistema considerati,come sarà chiarito in seguito; il moltiplicatore lO serve infine a convertire i bel(dati dal solo logaritmo del rapporto) in decibel. La risposta in ampiezza del si-stema viene elevata al quadrato perché il dB si riferisce a misure relative di po-tenza, e la potenza dei segnali trattati dal SLS è legata alla risposta in ampiezzaelevata al quadrato (si veda il Paragrafo 4.4).

Esempio 4.6Ricaviamo la risposta in ampiezza del SLS dell'Esempio 4.5 espressa in decibel:

Abbiamo scelto come riferimento la frequenza lo =O per la quale si ha il valore

massimo della risposta in ampiezza: IH(Io)1=1. Spesso è utile una scala loga-ritmica anche per l'asse delle frequenze espresse in Hz. Ciò permette di visua-lizzare 1'andamento della risposta in un ambito molto esteso senza perdere il

dettaglio sulle basse frequenze. In tal caso viene rappres~tata la sola parte dellarisposta per f > O, e si ottiene il grafico di Figura 4.lOa. In Figura 4.lOb è rap-presentata inoltre la risposta in fase del sistema ancora su scala frequenziale 10-garitmica. [J

Esempio 4.7

Determiniamo la risposta in frequenza del circuito C-R di Figura 4.11. Da unesame dello schema si ha

(E4.7.1)

ove q(t) rappresenta la carica nel condensatore all'istante t. Combinando le dueequazioni e derivando rispetto al tempo si ricava

152 Capitolo 4

10

o-3 , ,

-30

--I«INNQ)'Q.E«I.~«I1i)oc..cnc:

-10

-20.

-40101 103

Frequenza (Hz) (a)

103

Frequenza (Hz) (b)

Figura 4.10 Risposta in ampiezza in dB (a) e in fase (b) del circuito R-C

d i(t) d .-v.(t)-- = R -l(t)dt' C dt

(E4.7.2)

Poiché inoltre i(t)=vu(t)IR si ottiene l'equazione differenziale che lega isegnali di ingresso e di uscita:

(

J

180

- 135'6«I....C> 90--:t::.:J: 45"IQ) Ocn«I-c: -45«I-cn -90Oc..cnc: -135

-18010'


. cI

iVR

tVu(t)

I

tVi (t)

I

Figura 4.11 Circuito elettrico C-R (Esempio 4.7)

d V (t ) d-v. (t ) !! = -v (t )dt I RC dt U

(E4.7.3)

Calcolando la trasformata di Fourier di entrambi i membri si ha

j2TCjV;(J)- ~ Y,,(J)= j2TCjY,,(J)RC(E4.7.4)

da cui si ricava la risposta in frequenza del sistema:

H(J) = Y,,(J)= j2TCjRC = j2TCjT T = RCV;(J) 1+ j2TCjRC 1+ j2TCjT '

(E4.7.5)

Definendo anche in questo caso la frequenza di raglio del circuito

l

fr =2nRC(E4.7.6)

la risposta in frequenza del sistema diventa

(E4.7.7)

cui corrispondono le risposte in ampiezza e fase

IH(f)1 = I (~Ifr)' )' . LH(f) =" sgn(f)- arctg L =-arctg J, (E4. 7.8)11+f/fr 2 fr f

che sono rappresentate in Figura 4.12 utilizzando scale lineari per entrambi gliassi di riferimento.

154 Capitolo 4

-0.25-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2

Frequenza normalizzata, flfT

5

(a)

,

-4 -3 -2 -1 o 1 2

Frequenza normalizzata, flfT

4 5

(b)

Figura 4.12 Risposta in ampiezza (a) e fase (b) del circuito C-R

Prima di calcolare l'espressione della risposta in ampiezza del circuito in dB,osserviamo che in questo caso non ha senso scegliere come riferimento .io =O,

in quanto H(O)=O. Viceversa, visto l'andamento della risposta in ampiezza, sideve scegliere stavolta fo ~ 00 , per cui

IH(jt

[(j/ fTf

]IH(j)ldB =lO loglO IH( 00 t =lO loglO 1+ (J / fT f(E4.7.9)

L'andamento di IH(j)ldB è illustrato in Figura 4.13 insieme al grafico dellarisposta in fase, entrambi su scala logaritmica per le frequenze.

1.25

1.00.....

ai 0.75NNQ)'5.E 0.50a:s.a:s 0.25Ci)oCl.rn

0.00

180

:c 135E!.9 90c-I'-.J 45

ai ocn$. -45a:sCi)o -90Cl..CI: -135

-180-5

-


10

o-3 ~ ,., 0.0

~-:fCI!NNQ).5.ECI!

.£:CI!(;joc-mCf

-10

-20

-30

103

Frequenza (Hz) (a)

,

103Frequenza (Hz) (b)

Figura 4.13 Risposta in ampiezza misurata in dB (a) e in fase (b) del circuito C-R

Antitrasformando la risposta in frequenza (E4.7.7) si ricava la risposta impulsivadel circuito:

h(t) = 8(t) _.!. e-1fT u(t)T (E4.7.1O)

che è rappresentata in Figura 4.14 (T =RC). Dalla risposta impulsiva si puòricavare infine la risposta al gradino g(t):

180

'6 135

-9 90-I 45"IQ) omCI!-.£: -45CI!(;j -90oc-mCf -135

-18010'

156 Capitolo 4

=u(t)- u(t) je-alT da = e-IIT u(t)T o

rappresentata a sua volta in Figura 4.15.

o 1 2 3


4

Figura 4.14 Risposta impulsiva del circuito C-R

o 1. 2 3


4

Figura 4.15 Risposta al gradino del circuito C-R

(E4.7.11)

5 6

5 6

D

0.6

0.4-0.2

0.0ro>"Ci) -0.2"Sc..E -0.4ro

-0.6C;;oc..

-0.8CI)CI:

-1.0

-1.2-1-2

1.25

1.00---C>O 0.75c:'5

0.50C)(ijro-

0.25CI)Oc..CI)CI:

0.00

-0.25_2 -1


Esempio 4.8Determiniamo la risposta y(t) del circuito di Figura 4.16 al cui ingresso èapplicato il segnale x(t) di Figura 4.17.

L

iy(t)

I

Figura 4.16 Circuito elettrico dell'Esempio 4.8

x(t)

1

T,-t

Figura 4.17 Segnale di ingresso del circuito di Figura 4.16

Si osservi che il segnale in ingresso può essere espresso nella forma

x(t) =u(t) - u(t - T) (E4.8.1)

da cui segue immediatamente

y(t) =g(t) - g(t - T) (E4.8.2)

dove g(t) è come di consueto la risposta al gradino unitario del circuito inesame. Per determinare g(t) ricaviamo la risposta impulsiva h(t) del sistemacome antitrasformata della risposta in frequenza H(J). Consideriamo dunque ilsegnale di eccitazione x(t) = ej2trft;attraverso il calcolo fasoriale è semplicetrovare l'espressione del corrispondente segnale di uscita y(t):

ej2trft j21ifL + R2j21ifL + R

(E4.8.3)

158 Capitolo 4

ove evidentemente ZL è l'impedenza dell'induttore L alla frequenza f. Èimmediato ricavare l'espressione della risposta in frequenza cercata:

H(J) = R+ j21ifLR+ j41ifL

(E4.8.4)

da cui, ponendo a = LIR, si ricava

H(J)= 1+ j21ifa _112+ j21ifa+112 -.!..+.! !1+j41ifa 1+ j41ifa 2 2 1+ j41ifa

(E4.8.5)

La risposta in ampiezza e la risposta in fase del circuito sono rappresentate nellaFigura 4.18. Antitrasformando la (E4.8.5) si ottiene l'espressione della rispostaimpulsiva del circuito:

h(t) =.!..8(t)+~ e-I!2au(t)2 4a

(E4.8.6)

e quindi la risposta al gradino è

I 1 1 I

g(t)=u(t)@h(t)= fh(-r)d-r=-u(t)+- J e-r!2au(-r)d-r- 2 4a-=.!..u(t)+u(t)~J e-r!2ad-r=[

1-.!..e-'!2a]

u(t)2 4ao 2

,

(E4.8.7)

per cui il segnale di uscita risulta

(E4.8.8)

e cioè

y(t) =

o1-.!..e-,!2a

2

.!(eT!2a_l)e-'!2a t>T2

t:::;O

O<t:::;T(E4.8.9)

segnale che è visualizzato in Figura 4.19. È interessante notare che, se T« a,allora:

1

(t-TI2 )1

y(t)::=- rect =- x(t)2 T 2(E4.8.1O)


Figura 4.18 Risposta in ampiezza (a) e in fase (b) del sistema dell'Esempio 4.8

mentre, se T» a,

(t - T/2)y(t)::= rect T =x(t)(E4.8.11)

L'andamento di entrambi i due casi limite (E4.8.1O-E4.8.11) si può facilmenteriscontrare rispettivamente dalle curve per a =2T e a = T 18 di Figura 4.19.

3

iDI IfO=1/(21ta.)I..-..

:=.. oItUNNQ)

'0.. -3EtU.!:tU- -6cnoc..cn

CI:

-90.01 0.1 1 10 100

Frequenza normalizzata, flfo (a)

l

' I I I I .. Il 'I I IIIIII '

I I I I I 111

..-.. I'5

Ifo=11(21ta.)I.9..-..

22.5--I"IQ) 0.0cntU-.!:tUCi) -22.5oc..cn

CI:

-45.00.01 0.1 1 10 100

Frequenza normalizzata, flfo

160 Capitolo 4

0.0 0.5 1.0 1.5


2.0 2.5 3.0

Figura 4.19 Risposta del sistema di Figura 4.16 al segnale di Figura 4.17I

D

4.2.4 Sistemi in cascata e in parallelo

Consideriamo ora due SLS stabili disposti in cascata, come illustrato in Figura4.20.

X(I)-1 h 1(t)~Y(I)

Figura 4.20 Sistemi lineari stazionari in cascata

Indicando con ~(t) e ~(t) ie risposte impulsive rispettivamente del primo e delsecondo sistema, vogliamo determinare la relazione esistente tra il segnale x(t)in ingresso al primo sistema e il segnale y(t) in uscita al secondo. Sappiamo che

~

y(t) = Jz(a)~(t-a)da (4.2.27)

e che

~

z(t) = Jx({3) ~ (t - {3) d{3 (4.2.28)

1.25

1.00

0.75

-- 0.50>:

0.25

0.00

-0.25-1.0 -0.5


Sostituendo la (4.2.28) nella (4.2.27) si ottiene:

y(t) =}~(t-a) [)ya-P)x(P)dP] da

=)~(P)[).':(a- P)h,(t-a) da]dP(4.2.29)

e con l'ulteriore sostituzione r =a - {3 nell'integrale in da,

y(t) =)~(P)[)yr) h,(t- p)-r) dr] dp

= f x({3)[~(t - {3)@ ~(t - {3)] d{3 = x(t) @ [~(t)@ ~(t)] (4.2.30)

Questo risultato dimostra che la cascata di Figura 4.20 può essere rappresentatacome un unico sistema equivalente con risposta impulsiva

(4.2.31)

ovvero risposta in frequenza

(4.2.32)

come suggerito dalla Figura 4.21. Nel procedimento analitico che porta alrisultato (4.2.31) è stata fatta la tacita ipotesi che i due sistemi in cascata non siinfluenzino a vicenda, cioè che il comportamento dei due (in particolare la lororisposta impulsiva), quando vengono connessi in cascata, sia identico a quelloriscontrato per ciascuno isolatamente. Questa ipotesi non è verificata ad esempioper i circuiti R-C e C-R esaminati negli Esempi 4.4-4.5. In tal caso è necessariointerporre eventualmente tra i due un circuito disaccoppiatore (o buffer) cheimpedisce reciproche influenze tra i due stadi.

Un secondo tipo molto comune di interconnessione è quella in parallelo, incui i sistemi vengono alimentati dallo stesso ingresso, e le uscite dei duevengono poi sommate, come in Figura 4.22. È chiaro che la risposta impulsiva ein frequenza equivalenti sono in questo caso pari a

(4.2.33)

162 Capitolo 4

~(t)

L

Figura 4.21 Sistema equivalente alla cascata di Figura 4.20

x(t)

-

Figura 4.22 Sistemi in parallelo

4.3 Filtri

4.3.1 Generalità sui filtri e filtri ideali

Un caso tipico che si presenta nell'elaborazione dei segnali è quello in cui il se-gnale osservato x(t) è costituito dalla sovrapposizione, cioè dalla somma, di duesegnali: x(t) = x1(t)+ x2(t) dei quali il primo è un segnale utile, cioè portatore diinformazione, mentre il secondo rappresenta solo un disturbo ineliminabile allafonte. Nella raccolta di un segnale elettrocardiografico, ad esempio, può acca-dere che alla tensione raccolta dai sensori sul corpo del paziente (molto debole,dell'ordine di grandezza dei mVe stilizzata in Figura 4.23a) venga a sovrapporsiun disturbo dovuto alla tensione di alimentazione fornita all'apparato elettro-medicale dalla normale rete elettrica 220 V-50 Hz (come in Figura 4.23b). Se ilcircuito elettrico dello strumento non è realizzato con la massima accuratezza, il

residuo della tensione di alimentazione può rivelarsi dello stesso ordine di gran-dezza del segnale utile. In un caso di questo genere, è fondamentale riuscire a di-scriminare il segnale utile dal disturbo, cosa apparentemente impossibile tenendoconto che il segnale osservato è la sovrapposizione di queste due componenti,come si vede dalla Figura 4.24.


Figura 4.23 Segnale utile (a) e disturbo (b) in un elettrocardiogramma

Consideriamo però i segnali in ambito jrequenziale. La situazione è quellarappresentata in Figura 4.25, in cui lo spettro del segnale "utile" e quello del"disturbo" insistono su intervalli jrequenziali disgiunti. Si intuisce allora che èpossibile separare il segnale utile dal disturbo utilizzando un SLS con rispostain frequenza opportuna. Se, come di consueto, indichiamo con Xl(I) e X2(I) letrasformate di Fourier rispettivamente di Xl(t) e X2(t), la trasformata di Fourier

1.25

100

I I , I I I ,

1120battitilminI

0.75

0.50-X

0.25

0.00

-0.25

-0.500.000 0.125 0.250 0.375 0.500 0.625 0.750 tT.875 1.000

Tempo (5)

1.25

1.00

0'+I'0=50HzI

0.50---N

X0.25

0.00

-0.25

-0.500.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Tempo (5)

164 Capitolo 4

del segnale x(t) è allora

(4.3.1)

-0.25

.....

-0.500.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

Tempo (5)

Figura 4.24 Sovrapposizione del segnale e del disturbo di Figura 4.23

X(f)

x (f)1x (f)2

-f o -8 8

Figura 4.25 Spettro del segnale x(t) di Figura 4.24

Se vogliamo reiettare (cioè cancellare) il disturbo x2(t), possiamo elaborare ilsegnale tramite un SLS con caratteristiche di selettività nei confronti delle variecomponenti frequenziali che compongono il segnale. In particolare, è evidenteche il segnale viene preservato e il disturbo viene reiettato se il sistema ha unarisposta in frequenza pari a

. (4.3.2)

1.25

1.00

0.75-:t:.C\I

0.50X.:t.:t:.x 0.25

J!..+-'X

0.00

illustrata in Figura 4.26. Il segnale d'uscita y(t) del filtro, avendo infattitrasformata di Fourier Y(J)= X(J) H(J), sarà privo del disturbo x2(t).

~t)

-8 8

Figura 4.26 Risposta in frequenza di un filtro passa-basso ideale

Un sistema con risposta in frequenza come ìii Figura 4.26 viene chiamato filtropassa-basso ideale. Esso infatti possiede caratteristiche di selettività, nel sensoche le componenti frequenziali all'interno di una certa banda, cioè intervallo difrequenze, vicino alla frequenza nulla (quindi basse frequenze) vengono lasciateinalterate. In questa zona infatti, chiamata banda passante, si ha H(f) =1.Viceversa, all'esterno della banda passante, e cioè nella cosiddetta bandaoscura, le componenti frequenziali vengono completamente cancellate perchéH(f) =O. La frequenza B rappresenta il cosiddetto limite di banda.

Questa funzione di selettività giustifica il nome di "filtro" dato a questo SLS,nel senso che le componenti nello spettro del segnale aventi frequenza maggioredel limite di banda vengono "trattenute", mentre le altre componenti vengono"lasciate passare". Nella pratica, si tende ad identificare il limite di banda B conl'ampiezza della banda passante (o banda tout-court). Per convenzione, infatti, labanda del filtro è L'ampiezza della banda passante considerata sul solo semiassepositivo delle frequenze. Per il filtro di Figura 4.26, quindi, la banda è pari a B ecoincide con il limite di banda.

La risposta impulsiva del filtro passa-basso (low-pass) ideale si ricavaantitrasformando l'espressione della risposta in frequenza (4.3.2):

hLP(t) = 2B sinc(2Bt) (4.3.3)

funzione rappresentata in Figura 4.27. Si nota immediatamente che hLP(t) èdiversa da zero anche per valori di t < O, per cui il filtro passa-basso ideale è unsistema non causale e quindi fisicamente non realizzabile.

166 Capitolo 4

28

Figura 4.27 Risposta impulsiva del filtro passa-basso ideale

Se invece desiderassimo sopprimere la componente x.(t) nel segnale x(t) perisolare X2(t), potremmo utilizzare un SLS la cui risposta in frequenza-è rappre-sentata in Figura 4.28. Tale sistema, che permette l'eliminazione delle basse fre-quenze, viene chiamato filtro passa-alto ideale ed è caratterizzato dalle rispostein frequenza e impulsiva seguenti:

HHP(J)=1- rec{{B) ç::}hHP(t)= 8(t) - 2Bsinc(2Bt)

È chiaro che stavolta la banda passante del filtro passa alto (high-pass) è quellache sta al di là del limite di banda B, nella quale le componenti frequenziali delsegnale di ingresso non vengono alterate. Colloquialmente, diremo ancora (inmodo improprio) che la banda del filtro passa-alto è B, alludendo in realtà allimite di banda. È immediato verificare che anche il filtro passa-alto ideale è unsistema non causale.

(4.3.4)

-8 8

Figura 4.28 Risposta in frequenza di un filtro passa alto ideale


Nella situazione di Figura 4.25 la separazione tra i due segnali XI(t) e X2(t) èstata effettuata rispettivamente con un filtro passa-basso o con un filtro passa-alto ideali. Supponiamo invece di osservare il segnale x(t) somma di tre com-ponenti

(4.3.5)

aventi trasformate di Fourier come in Figura 4.29, e di voler estrarre da esso il

segnale x2(t); questo caso è tipico dei segnali modulati emessi dalle stazioni diradiodiffusione. I vari segnali hanno infatti spettri non sovrapposti in ambitofrequenziale e posti a cavallo delle cosiddette frequenze portanti su cui iradioricevitori vengono poi sintonizzati. Come mostra la figura, è necessariodisporre di un sistema con risposta in frequenza HBP(J) non nulla solo nellabanda occupata dal segnale x2(t). Tale sistema prende il nome di filtro passa-banda ideale. La banda passante del filtro (ripetiamo, definita per convenzionesul solo semiasse delle frequenze positive) si estende tra il limite di bandainferiore fL e il limite di banda superiore fH' -

X(f)t.-- B -+1I II II H (f) II BP I

1

f

X1(f)I ,I ,I ,, ,I \, ,

Figura 4.29 Spettro del segnale e risposta in frequenza del filtro passa-banda ideale

Alternativamente ai limiti di banda, il filtro passa-banda (band-pass) viene piùcomunemente caratterizzato attraverso i due parametri equivalenti frequenza

centrale (o di centro-banda) lo = (tL+ fH )/2, e ampiezza della banda passanteB =fH - fL' Calcoliamoora la rispostaimpulsivadel filtro passa-bandaidealericordando il teorema della modulazione:

x(t) cos(21ifot)~ X(t - io) + X(t + lo) (4.3.6)

Nel nostro caso,

168 Capitolo 4

(4.3.7)

e quindi

hBP(t) = 2B sinc(Bt)cos(21if;,t) (4.3.8)

relazione illustrata nella Figura 4.30 nel caso in cui lo =lO B .

\

-

-2 -1 o

Tempo normalizzato, St

2 3 4

Figura 4.30 Risposta impulsiva di un filtro passa-banda ideale

Ricordiamo infine che per i filtri passa-banda si definisce anche un altro

parametro, detto fattore di qualità Q, che mette in relazione la frequenza centralecon la banda del filtro:

(4.3.9)

e che è tanto maggiore quanto minore è la banda passante relativamente allafrequenzacentrale,cioèquantopiù il filtroè selettivo.

Consideriamo di nuovo il segnale x(t) (4.3.5) il cui spettro è rappresentato inFigura 4.31, e supponiamo di voler eliminare da esso il segnale X2(t). Il filtroche permette di effettuare tale operazione viene detto filtro elimina-banda idealee la suarispostain frequenzaHBR(J)è rappresentatain Figura4.31.Tale rispo-sta è ancora caratterizzata da una frequenza centrale lo e da un' ampiezza dibanda B (o dai limiti di banda fL ed fN)' entrambe però relative alla banda

2.5

2.0

1.5

1.0

cc 0.5-...-- 0.0-

a..IXI

..c -0.5

-1.0

-1.5

-2.0

-2.5-4 -3

oscura. È immediato stabilire la seguente relazione tra la risposta in frequenzadel filtro elimina-banda (band-reject) ideale e quella del filtro passa banda ide-ale:

(4.3.10)

per cui

hBR(t) = 8(t) - 2B sinc(Bt)cos(27ifot) (4.3.11)

Un filtro elimina-banda può essere molto selettivo, e al limite può essereutilizzato per reiettare la componente spetttaIe a una sola particolare frequenza(ad esempio, la frequenza di rete io = 50 Hz). In tal caso il filtro elimina-bandaviene più comunemente chiamato filtro notch.

X(f)t.- B --.II II II II I1-

I \ X1(f)I \

I \I \

I \I \

Figura 4.31 Risposta in frequenza di un filtro elimina-banda ideale

4.3.2 Criterio di Paley-Wiener e f'Iltri reali

Tutti i filtri ideali che sono stati appena presi in esame sono non causali perchéharino risposte impulsive non nulle per t < O. Questa non-causalità emergechiara da un esame delle caratteristiche temporali dei sistemi considerati.Tuttavia, anche nota la sola risposta infrequenza di un SLS, è possibile deciderese essa è relativa a un sistema causale o meno. A questo proposito è utile ilcriterio di Paley-Wiener, che riguarda i sistemi lineari stazionari la cui rispostain ampiezza è a quadrato integrabile:

--I:

~

Il H(f) 12dJ< 00(4.3.12)

e che quindi è applicabile direttamente ai filtri passa-basso e passa-banda ideali.

170 Capitolo 4

In questa ipotesi, se la risposta in ampiezza IH(J)I è tale da verificare la ulteriorecondizione

~ Iln[1 H(f) I]Idf < 00[ 1+ (21Cj)2(4.3.13)

allora esiste una funzione reale e(J) tale che

\ (4.3.14)

rappresenta la risposta in frequenza di un sistema causale; se viceversa la condi-zione (4.3.13) non è verificata, il sistema non è causale. Questa condizione èquindi necessaria alla causalità del sistema, ma non è sufficiente. In particolare,

il criterio non indica come scegliere l'opportuna e(J) che rende effettivamenteil sistema causale. ,

Nel caso dei filtri ideali passa-basso e passa-banda, che verificano l'ipotesi diapplicabilità del criterio, notiamo che le risposte in ampiezza sono nulle su in-

tervalli frequenziali di misL!ra(ampiezza) non nulla. Questo implica che l'inte-grale della (4.3.13) è sicuramente divergente perché la funzione integranda è nonlimitata su intervalli di misura non nulla. Il criterio non è quindi soddisfatto, e ifiltri sono necessariamente non causali. Indirettamente, questo dice che anche ifiltri passa-alto ed elimina-banda sono non causali in quanto le loro risposte infrequenza sono il complemento a uno delle risposte rispettivamente del passa-basso e passa-banda aventi gli stessi limiti di banda.

Conseguenza di queste osservazioni è che un filtro causale può avere unarisposta in frequenza che si annulla solo per un insieme di frequenze di misuraI

nu?la, cioè soltanto per un numero finito (o infinito numerabile) di frequenze.Esempi elementari di filtri passa-basso e passa-alto reali sono rispettivamente lesquadre R-C e C-R di Figura 4.8 e 4.11 per le quali le risposte in ampiezza sono

(4.3.15)

la prima delle quali resta sempre * O, mentre la seconda si annulla nel solopunto f = O,senza violare il criterio di Paley-Wiener.

Filtri elementari di tipo passa-banda ed elimina-banda si possono realizzarecon circuiti risonanti L- C rispettivamente come in Figura 4.32a-b, ove

21ifo=1/ -JLC e 1/ Q = 21ifoL/R. Le risposte in frequenza di questi filtri sono:


(4.3.16a)

(4.3.16b)

le cui ampiezze sono rappresentate in Figura 4.33.

Figura 4.32 Filtri passa-banda (a) ed elimina-banda (b) reali con gruppi L-C parallelo

4.3.3 Banda e durata di un segnale e banda di un sistemaLe caratteristiche selettive dei filtri "reali" sono chiaramente meno spiccate di

quelle dei filtri ideali, nel senso che per essi non è individuabile esattamente unabandapassante e una oscura come per i prototipi ideali. Altrettanto chiaro però èche essi possiedono tuttavia un certo grado di selettività che ne rende utilel'impiego in pratica come sistemi filtranti. In questi casi è necessario definireconvenzionalmentei limiti di banda dei filtri reali, e all'atto pratico considerarequesti limiti convenzionali come del tutto analoghi a quelli propriamente dettirelativi ai filtri ideali (cioè non fisicamente realizzabili).

Prima di arrivare alle definizioni convenzionali di banda di un sistema, pre-mettiamouna discussione sui concetti generali di durata e banda di un segnale,che sono stati prima d'ora ampiamente utilizzati nel testo senza una definizionerigorosa.Consideriamo dapprima un segnale x(t) a duratafinita, cioè non nullosolo su di un intervallo limitato [t(,t2] (Figura 4.34). La durata del segnale è inquestocaso pari a D:= t2- t(. Per il segnale a durata finita esiste un certo valore

(r. ~..- 7' ".. - -_u.-- ~"'"L''' uu l;t:ITOvalore\t'.'(...l~rafit!h'Yè"T = max(1t( 1,1 t2 I» tale che il segnale originario non subisce

Icuna modifica se viene moltiplicato per una funzione rect(.) di durata 2T:

x(t) = x(t) rec{2~ ) (4.3.17)

I 1

: jII

R L

t t t ---.r- tX(t)!

Cx(t) C L y(t) R y(t)

I I I I

(a) (b)

172 Capitolo 4

Passando alle trasformate di Fourier, si ha

X(J) =X(J)@ 2T sinc(2jT) (4.3.18)

1.25---a:IDi3 1.00...J

J:

Figura 4.33 Risposte in ampiezza dei filtri L-C passa-banda (a) ed elimina-banda (b)

Questa relazione permette di rispondere (anche se in modo non del tuttorigoroso) alla seguente domanda: può il segnale x(t) a durata finita avere anchebanda finita, cioè avere trasformata di Fourier diversa da zero solo su di un

ti 0.75NN(])"6.E 0.50'".!:'"-CI)

0.25oc..CI)

a:0.00

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

Frequenza normalizzata, flfo (a)

1.25---lI:ID

1.00i3...J

J:

ti 0.75NN(])'5.E 0.50'".5

I 1/ 10=1°1'"-CI) 0.25oc..CI)

a:0.00

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

Frequenza normalizzata, flfo-<)


intervallo di frequenze limitato? Se rispondiamo di sì a questa domanda cadiamoin un assurdo perché il secondo membro della (4.3.18) è la convoluzione tra duetrasformate delle quali la seconda è una funzione sincO avente estensione (cioèbanda) illimitata. Il risultato della convoluzione ha quindi estensione (banda)illimitata, in contrasto con la nostra affermazione.

Dunque un segnale a durata rigorosamente limitata ha banda infinita.Dualmente, un segnale con banda rigorosamente limitata ha durata illimitata.Molti segnali non hanno però né banda né durata rigorosamente limitata,

cosicché è spesso necessario definire convenzionalmente queste \ue quantità.

rect(t/2T)

Figura 4.34 Segnale a durata finita

Consideriamo un segnale x(t) il cui spettro di ampiezza assume il valoremassimo per f =lo. Se lo spettro è di tipo passa-basso, fa =O; se lQ spettro è

passa-alto, lo = +00, altrimenti lo spettro è di tipo passa-banda e fa è finita ediversa da zero. Per gli spettri passa-basso o passa-alto, si definisce limite di

banda a -3 dB quella frequenza per la quale lo spettro di ampiezza risultaridotto di un fattore -ti rispetto al valore di riferimento (Figura 4.35a 1):

(4.3.19)I

ovvero

1 Nellil figura vengono mostrati gli spettri di ampiezza dei segnali solo per f > O perché la

definizione di banda riguarda sempre il solo serniasse positivo delle frequenze.

174 Capitolo 4

(4.3.20)

risultato che giustifica il nome di banda a -3 dB. Quest'ultima rappresenta unaindicazione "pratica" della banda di un segnale, nel senso che, per uno spettro

passa-basso, le componenti a frequenze inferiori a B_3sono arbitrariamente rite-nute "importanti" nella composizione del segnale, mentre quelle oltre B_3sonoritenute "trascurabili". Per gli spettri passa-banda, si possono identificare duelimiti di banda a -3 dB e una banda a -3 dB come differenza tra i due limiti

(Figura 4.35b).La banda di un filtro non ideale può essere definita in maniera analoga a

quanto appena visto per i segnali, ove la risposta in ampiezza del sistema giocailruolo che per un segnale è di pertinenza dello spettro di ampiezza. In particolariapplicazioni vengono talvolta definite anche bande a -l dB o a -20 dB dei

segnali e sistemi, con lo stesso criterio appena esposto per la banda a -3 dE.

IX(f}12

IX(O)12

IX(f}12

IX(fo)12

0.5 ~------

(a) (b)

Figura 4.35 Banda a -3 dB di uno spettro passa-basso (a) e passa-banda (b)

La definizione più comune di durata convenzionale di un segnale è molto similea quella di banda per un segnale passa-banda. Se to rappresenta l'istante in cui il '

segnale presenta il valore di riferimento (generalmente quello di massimomodulo, come in Figura 4.36), si identificano gli istanti t) e t2 (t2 > t) in cui ilsegnale assume in valore assoluto la metà del valore di riferimento Ix(to) I e sidefinisce come durata a metà ampiezza del segnale la quantità D =t2 - t. .

Esempio 4.9Riprendiamo in considerazione il filtro passa-basso reale implementato comesquadra R-C degli Esempi 4.4-4.5. La sua risposta in frequenza è


R(J) = ! (E4.9.l)

Ca1coliamone la banda a -3 dB. Essendo il filtro passa-basso, scegliamo comevalore della frequenza di riferimento io = O, in corrispondenza della quale si haR(O) =1. Quindi la banda B_3è data da

2 l 1IH(B3)1=1/2~ 2=1/2~B3=-

-. 1+ (2nB_3RC) - 2n RC(E4.9.2)

cioè la banda a -3 dB coincidecon quella che negli Esempi4.4-4.5 era statachiamata la frequenza di taglio del sistema. Si dimostra facilmente che lasquadra passa-alto C-R dell'Esempio 4.7 ha questo stesso limite di banda. Igrafici delle risposte in ampiezza dei due filtri R-C e C-R rispettivamente nelleFigure 4.10 e 4.13 riportano esplicitamente una linea di riferimento a -3 dB chemette in evidenza geometricamente il risultato analitico appena ricavato. D

t

Figura 4.36 Definizione di durata di un segnale

Oltre alla banda a -3 dB (di gran lunga la più utilizzata) e alla durata a metà

ampiezza, esistono altre definizioni di banda e durata particolarmente importantidal punto di vista concettuale, come la durata efficace (o quadratica) e la bandaefficace (quadratica). Cominciamo a esaminare la definizione di durata efficaceper un segnale x(t) reale e ad energia finita. Come nella definizione di durata ametà ampiezza, viene preliminarmente identificato un valore temporale diriferimento to che in un certo senso rappresenta il "centro" dell'impulso:

~

, Ex=Jx2(t)dt (4.3.21)

176 Capitolo 4

dove Ex è l'energia del segnale. La durata efficace Dq è allora definita dallarelazione

(4.3.22)

che fornisce un'indicazione della dispersione dei valori del segnale attorno alcentro presunto to' Il concetto di durata efficace è analogo a quello di varianzadi una densità di probabilità Ix(t) 12/ Ex attorno al valor medio to' In maniera

analoga, si definisce una banda efficace Bqcome segue:

(2Bqf ~ ~ flxut f2dfx-(4.3.23)

II

I I

in cui il "centro" (valor medio) dello spettro Ixut non compare perché risultacomunque pari a O.Il fattore 2 a moltiplicare la Bq (che non compare nella de-finizione di durata) deriva dal fatto che la banda viene come sempre misuratasolo sul semiasse positivo delle frequenze, mentre il secondo membro dà unaindicazione della dispersione dello spettro sia a destra che a sinistra della f =O.

Una generalizzazione importante della proprietà già esaminata secondo laquale un segnale non può contemporaneamente presentare banda limitata edurata limitata è costituita dalla relazione seguente:

1D >-B . -

8q q n(4.3.24)

Questo risultato mostra come non si possa ridurre arbitrariamente la durata di unsegnale senza far crescere la sua banda e viceversa: il prodotto durata-banda ècomunque limitato inferiormente. Il particolare valore del limite inferiore, 1/8n ,deriva dalle particolari definizioni di banda e durata adottate, ma il principio è dicarattere generale: con diverse definizioni di banda e durata si ottiene comunqueun limite inferiore, ovviamente diverso da quello del caso presente, ma semprefinito.

Una relazione della forma (4.3.24) appare anche in meccanica quantistica conil nome di principio di indeterminazione di Heisenberg. Questa legge fisica fon-damentale sancisce l'impossibilità di ridurre arbitrariamente l'incertezza sullamisurazione di variabili quantistiche coniugate (cioè la dispersione dei valorimisurati), come la posizione e la quantità di moto di una particella.


Nel Paragrafo 4.4, dimostreremo che per un qualunque segnale reale a energia

finita y( t) si ha:

- -Ey = J l(t) dt =JIY(Jtdi (4.3.25)

Questo risultato (teorema di Parseval (4.4.4)), insieme al teorema di derivazionedel Paragrafo 3.3.6, è utile per riscrivere l'espressione della banda efficace(4.3.23) come segue:

l -[ ]

2

B2 = J lj21ifX(J)12di = l J- dx(t) dq 16n2 Ex -- 16n2 Ex - dt t

(4.3.26)

Supponiamo, senza perdita di generalità, che il centro del segnale to sia pari a

zero. TIprodotto fra D: e B: è allora espresso da (vedi la (4.3.22) e la (4.3.26))

(4.3.27)

Richiamiamo a questo punto la disuguaglianza di Schwarz:

(4.3.28)

valida per ogni coppia xa(t), Xb(t) di funzioni reali a energia finita. Applicandola disuguaglianza al prodotto durata-banda, si può scrivere che

(4.3.29)

Calcolando per parti l'integrale a secondo membro si ha

J-

( )dx(t) d _t X2(t)

l

- l J- 2( ) d _l Et x t - t - - - - x t t ---- dt 2 - 2- 2 x

(4.3.30)

avendo osservato che necessariamente, per un segnale a energia finita,lim t X2(t) =O. Sostituendo la (4.3.30) nella (4.3.29) si ottiene infine,->:t-o

D2 B2> l DB >1q q -~ => q q--64n 8n

(4.3.31)

178 Capitolo 4

La relazione è valida con il segno di uguaglianza quando la disuguaglianza diSchwarz (4.3.28) è anch'essa verificata con il segno di uguaglianza. Ciò accadequando il segnale xa(t) è proporzionale a Xb(t), e quindi, nel nostro caso,quando (vedi la (4.3.29» la derivata prima di x(t) è proporzionale a t x(t).

Esempio 4.10Calcoliamo la banda e la durata efficace del segnale esponenziale bilatero:

X(t) = e-ItI/T (E4. 10.l)

Poiché il segnale è pari, il suo centro to espresso dalla (4.3.21) è nullo. Pertanto

la sua durata efficace Dq è

(E4.10.2)

L'energia Ex del segnale x( t) è data da

~ ~

Ex= Jx2(t)dt = 2Je-2rfTdt= To

(E4.1O.3)

e inoltre

~ ~ T3 ~. T3

J t2X2(t)dt =2 J t2e-2lfT dt =- Ja2e-a da =-- o 40 2

Sostituendo, si ricava che

(E4.10A)

(E4.10.5)

Calcoliamo ora la banda efficace attraverso la definizione modificata (4.3.26):

(E4.10.6)

Poiché

I[~ dX(t)

]

2

d - 1J~ -2rjT d - Ex- t-- e t--

dt T2 - T2

(E4.1O.7)

)


dalla (E4.1O.6) si ricava che

B=~q 41ff

li prodotto fra durata e banda efficace del segnale (E4.1 0.1) è quindi dato da

(E4.1O.8)

1~>-

Bq Dq = 4n-J2 8n(E4.1O.9)

o

Esempio 4.11

Calcoliamo la banda e la durata efficace del segnale Gaussiano

(E4.11.1)

Poiché il segnale è pari, il suo centro to è nullo e la sua durata efficace Dq è

(E4.11.2)

Dallo studio delle variabili aleatorie Gaussiane è noto che, assegnato un valore(J'> O, si ha

(E4.11.3)

e

(E4.11.4)

Dunque l'energia Ex del segnale x(t) è pari a

(E4.11.5)/

ove (J'=T/-J2. L'integrale che figura a secondo membro della (E4.11.2) vale

)


dalla (E4.1O.6) si ricava che

B=~q 41ff

Il prodotto fra durata e banda efficace del segnale (E4.1O.1) è quindi dato da

(E4.1O.8)

1 >~Bq Dq = 4rc-fi 8rc (E4.1O.9)

D

Esempio 4.11

Calcoliamo la banda e la durata efficace del segnale Gaussiano

x(t) = e-(I/T)' (E4.11.1)

Poiché il segnale è pari, il suo centro to è nullo e la sua durata efficace Dq è

(E4.11.2)

Dallo studio delle variabili aleatorie Gaussiane è noto che, assegnato un valore(j'> O,si ha

(E4.11.3)

e

(E4.11.4)

Dunquel'energia Ex del segnale x(t) è pari a

(E4.11.5)

ove (j' = r/-fi. L'integraleche figuraa secondomembrodella(E4.11.2)vale

180 Capitolo 4

e quindi

D2 = 0"3.J2ii =0"2 => D =~q O".J2ii q -ti

Per calcolare la banda efficace utilizziamo di nuovo la (4.3.26)

(E4.11.7)

B =J... /J... Jr~dX(t)

]2 dt

q 4n-~ Ex.1 dt(E4.11.8)

Poiché

(E4.11.9)

si ha

f~

[

dX(t)

]

2

d - 4 f~ 2 2

( )d _l 3 !f=- .J2ii- t-- t x t t--O" -V~n---- dt T4 - 40"4 40"(E4.11.1O)

per cui si ricava

=> B=-tiq -8n-T

(E4.11.11)

Il prodotto fra durata e banda efficace del segnale (E4.11.1) è quindi dato da

(E4.11.12)

Si osserva che in questo caso il prodotto banda-durata assume proprio il minimo

valore possibile. Ciò accade perché la derivata prima del segnale x(t) èproporzionale al segnale t x(t), come mostra la (E4.11.9). O

4.3.4 Distorsioni introdotte dai filtri

Abbiamo già esaminato una funzione tipica di unfiltro, cioè quella di separareun segnale utile da altri segnali di disturbo. In questa operazione, si deve porre lamassima attenzione a non alterare o, più precisamente, a non distorcere il

segnale utile per preservarne intatto il contenuto informativo. Per trovare deicriteri che rispondono a questa esigenza, cominciamo con lo stabilire sotto qualicondizioni il segnale in uscita y(t) da un generico SLS rappresenta una rePlica


fedele del segnale di ingresso x(t). La definizione di replica fedele è in generaledipendente dall'applicazione; in molti casi però è utile dire che il SLS nonintroduce distorsioni quando l'uscita del sistema è

y(t) =K x(t-to) (4.3.32)

ove K è una costante reale e to è una traslazione temporale (ritardo) (Figura4.37). Passando alle trasformate di Fourier otteniamo

f(J) = K X(J) e-j21ifto (4.3.33)

da cui si trova la seguente espressione per la risposta in frequenza del sistema:

H(J) = f(J) = K e-j21rj"loX(J)

(4.3.34)

e per le corrispondenti risposte in ampiezza A(J) e fase e(J):

A(J) =IKI ' e(J) =-27ifto (4.3.35)

y(t) ;

'.--t~

Figura 4.37 Il segnale y(t) è una replica fedele di x(t)

Quindi, affinché un sistema non introduca distorsioni, esso deve possedere unarisposta in ampiezza costante e una risposta in fase proporzionale alla fre-quenza come illustrato in Figura 4.38. In altri termini, le componenti sinusoidaliin cui un segnale arbitrario può pensarsi scomposto devono essere amplificate oattenuate tutte nella medesima misura, e devono essere ritardate ciascuna della

medesima quantità (e quindi sfasate di un angolo proporzionale alla frequenzadella componente stessa). Tuttavia è chiaro che ogni sistema reale ha dei limitidi banda intrinseci e non può garantire una risposta in frequenza con le suddettecaratteristiche per tutti i valori della frequenza. Sulla base di questa considera-

182 Capitolo 4

zione, sembrerebbe irrealizzabile la condizione di non distorsione appena di-scussa. Inoltre, uno qualunque dei filtri già esaminati nelle pagine precedentiparrebbe, in base a questa discussione, un sistema distorcente perché per defini-zione esso non possiede, in particolare, risposta in ampiezza costante.

IKI A(f)

................

................

........""........

................

........""........

.............

9(f)

Figura 4.38 Risposta in ampiezza e in fase di un SLS che non introduce distorsioni

In realtà, il segnale "utile" x(t) che non deve essere distorto sarà in generalecaratterizzato da una banda limitata; le condizioni (4.3.35) possono allora essereverificate soltanto per tutte le frequenze all'interno della banda del segnale. Aifini della distorsione del segnale non ha cioè rilevanza l'andamento dellerisposte del sistema per frequenze in corrispondenza alle quali non esistonocomponenti nello spettro del segnale stesso. Se, ad esempio, la trasformata X(J)e le risposte in ampiezza e fase del sistema sono quelle rappresentate in Figura4.39, allora il segnale in uscita è una replica indistorta di x(t) anche se il filtronon ha risposte come in Figura 4.38.

Se non si riesce a garantire le condizioni di non-distorsione neanche nellabanda del segnale, questo subisce distorsioni lineari. In particolare, se la rispostain ampiezza non è costante nella banda del segnale, si avranno distorsioni diampiezza (Figura 4.40a); viceversa, se la risposta in fase non è lineare nellabanda del segnale, si avranno distorsioni di fase (Figura 4.40b). Per alcuni tipi disegnale, è tollerabile l'introduzione di distorsioni di fase da parte di un filtro. Adesempio, nei segnali telefonici di tipo vocale, la presenza di una distorsione difase introdotta dal sistema di comunicazione è praticamente ininfluente sullaqualità del segnale ricevuto. Viceversa la distorsione di fase non è tollerabile peri segnali di tipo numerico delle trasmissioni facsimile che peraltro transitano at-traverso gli stessi canali telefonici. I ricevitori negli apparecchi fax possiedonodegli appositi circuiti cosiddetti equalizzatori il cui compito è proprio quello diannullare le eventuali distorsioni di fase introdotte dai circuiti telefonici ordinari.


9(f)

Figura 4.39 Il sistema non introduce distorsioni sul segnale x(t)

A(f)

(a) (b)

Figura 4.40 Distorsioni lineari di ampiezza (a) e fase (b)

Esempio 4.12

Consideriamo i seguenti quattro segnali:

XI(t) =2 sin(nBt) (E4.12.1a)

X2(t) = cos(7rBt) + sin(3nBt) (E4.12.1b)

X3(t) = 4 cos( 27rBt) + sin( 47rBt) (E4.12.1c)

(E4.12.1d)

e cerchiamo di stabilire se tali segnali vengono o meno distorti nel passaggio

184 Capitolo 4

attraverso il SLS la cui risposta in frequenza è rappresentata in Figura 4.41.

Figura 4.41 Risposta in ampiezza (a) e in fase (b) del SLS dell'Esempio 4.12

Il segnale x\(t) è sinusoidale puro con frequenza B/2 e non viene distorto dal

sistema in esame. Infatti il segnale di uscita è (A( B/2) =l e 8(B/2) =n/2):

YI(t) =2 A(B/2) sin(nBt + 8(B/2))

= 2 sin( nBt + n /2) = 2 sin[ nB( t + 1/2B)] (E4.12.2)

e rappresenta una replica, inalterata in ampiezza e anticipata di 1/2B, del segnaledi ingresso. In generale, lo studio delle distorsioni lineari presuppone che ilsegnale in ingresso a un SLS sia costituito almeno da due componenti fre-quenziali che possono subire, nell'attraversare il sistema, ritardi e amplificazionidiverse. Invece, in presenza di una sola componente frequenziale, come in que-sto caso, il segnale di uscita sarà sempre una replica indistorta del segnale di in-gresso comunque esso venga amplificato e/o ritardato.

Il segnale X2(t) contiene invece due componenti sinusoidali alle due diversefrequenze B/2 e 3B/2. Questo segnale subisce distorsioni di ampiezza poiché

A(B/2)=1:f';A(3B/2)=2. Inoltre esso subisce distorsionidi fase poiché i duepunti individuati sulla risposta in fase del sistema per le frequenze B/2 e 3B/2non sono disposti secondo una retta passante per l'origine degli assi cartesiani.La presenza di distorsioni può anche essere messa in evidenza scrivendo l'e-spressione del segnale di uscita

Y2(t) = A(B/2) cos(nBt + 8(B/2)) + A(3B/2) sin(3nBt + 8(3B/2))

= cos(nBt + n/2) + 2 sin(3nBt + 3n/4)

=cos[nB(t + 1/2B)] + 2 sin[ 3nB(t + 1/4B)] (E4.12.3)

A(t)

9(t)

1tI

-281t/2

-8

-riI

8

B

28

t /- 1t!2

-1t

(a) (b)


La presenza di distorsioni di fase si traduce in Unanticipo diverso introdotto dalsistema sulle componenti del segnale a frequenza diversa.

Anche il segnale X3(t) contiene due componenti sinusoidali ma alle frequenzeB e 2B. Questo segnale nOn subisce distorsioni di ampiezza poiché A(B) ==A(2B) =1, e neanche distorsioni di fase poiché i due punti individuati sullarisposta in fase del sistema per le frequenze B e 2B SOnOdisposti secondo Unarettapassanteper l'origine.L'espressionedel segnaledi uscitaè

Y3(t) =4A(B) cos(2nBt + O(B»)+ A(2B) sin(4nBt + O(2B»

=8 cos(2nBt+ n/2)+2 sin(4nBt+n)

=8cos[2nB(t + 1/4B)]+ 2 sin[4nB(t + 1/4B)] (E4.12.4)

e mostra che il sistema introduce la stessa amplificazione e lo stesso anticipo

sulle due componenti del segnale.Infine, la trasformata di Fourier del segnale xAt) è

x (J)=1-(l_lfI

Jrect(L )4 B B 2B

(E4.12.5)

Pertanto X4(t) è Unsegnale passa-basso di banda B. Nella banda del segnale, lerisposte in ampiezza e in fase del sistema SOnOdate da (vedi la Figura 4.41)

A(J) = 2~1 , O(J)=~ sgn(J)(E4.12.6)

e cioè

H(J) =A(J)ejlJ(f) =j 2f =~(j21if) , -B ~ f ~ BB nB(E4.12.7)

Il segnale subisce ovviamente distorsioni di ampiezza e di fase. Si può anche os-servare che il sistema, nell'intervallo di frequenze di interesse, esegue la deri-vata del segnale di ingresso (a menOdi Unacostante l/nB). Allora l'espressionedel segnale di uscita è

1 d 1 d .Y4(t)=--x4(t) = --smc2(Bt)nB dt nB dt

=~ sinc( Bt) !:. sinc( Bt) =~ sinc( Bt) [cos(nBt) - sinc(Bt)]nB dt nBt(E4.12.8)

o

186 Capitolo 4

I criteri di fedeltà, distorsione e banda appena introdotti possono essererivisitati e ridefiniti considerando il contenuto energetico dei segnali. È quindinecessario esaminare più da vicino il concetto di energia epotenza dei segnali atempo continuo, e di studiare come queste grandezze vengono influenzatedall' elaborazione dei medesimi con sistemi lineari stazionari.

4.4 Densità spettrale di energia e potenza

4.4.1 Teorema di Parseval e densità spettrale di energiaConsideriamo un segnale x(t) a energia finita:

~

Ex = Jlx(tt dt < 00(4.4.1)

e mostriamo come il calcolo di questa grandezza può essere effettuato anche neldominio della frequenza. Infatti

(4.4.2)

Se a secondo membro della (4.4.2) si inverte l'ordine di integrazione si ottiene

(4.4.3)

per cui si conclude:

~ ~

Jlx(t)12dt= Jixut di (4.4.4)

risultato detto teorema (o relazione) di Parseval. Al di là dell'utilità comestrumento di calcolo, il teorema di Parseval costituisce la base per considerazionidi carattere più profondo. Dalla definizione di energia di un segnale data nel

Capitolo 1, sappiamo che la quantità Px(t) = Ix(tt rappresenta la potenzaistantanea (normalizzata) del segnale che, integrata, fornisce appunto l'energiatotale del segnale stesso. Non è chiaro invece il significato fisico della quantità"duale"

(4.4.5)


Considerando 'Ex(f) come una funzione della frequenza, è chiaro che

. 'Ex(f) è una funzione che assume sempre valori non negativi:

(4.4.6)

. se il segnale x( t) è reale, allora 'Ex(f) è una funzione pari:

(4.4.7)

. l'energia del segnale x(t) può essere calcolata integrando la funzione 'Ex(f)su tutto l'asse delle frequenze:

~

Ex= f'E)I) dI (4.4.8)

Queste proprietà non rispondono però alla domanda circa il significato da attri-buire a 'Ex(f). Consideriamo allora un sistema lineare stazionario con risposta infrequenza H(I) il cui ingresso sia x(t) e la cui uscita sia y(t). La funzione'Ey(l) relativa al segnale di uscita si può ricavare immediatamente nota 'Ex(f):

(4.4.9)

Stante questa relazione di carattere generale, scegliamo un particolare SLS percompiere una sorta di "esperimento ideale", e cioè il filtro passa-banda ideale diFigura 4.42.

H(f)

-f f

Figura 4.42 Filtro passa-banda ideale con frequenza centrale l e banda /).1I

La funzione 'E)I) del segnale di ingresso è quella rappresentata a tratto sot-

tile in Figura 4.43, mentre l'andamento della corrispondente 'E!J(I) è disegnato atratto spesso. L'energia del segnale di ustita y(t) si può calcolare come segue:

188 Capitolo 4

~ ~ -j+tif/2 j+tif/2

Ey= fE)f)df= J~)f) IH(J)12df= J~Af) df+ J~Af) df-j-tif/2 j-l1f/2

j+tif/2

=2 J~x(J) dfj-tif /2

(4.4.10)

H(f)

~ (f)

-f f

Figura 4.43 Andamento delle funzioni 'Ex(J) ed 'Ey (J)

Se si riduce progressivamente la banda passante I1f del filtro, cioè si considera

un filtro estremamente selettivo, si può approssimare la funzione ~Af) all'in-

terno della banda stessa con 'una costante di valore pari a 'EA1). Allora, sottoquesta ipotesi, l'energia del segnale d'uscita può essere approssimata da

(4.4.11)

e quindi

(4.4.12)

Notiamo, ora, che y(t) è stato ottenuto da x(t) sopprimendo tutte le componentifrequenziali al di fuori di un intorno della frequenza Il. Dunque, come suggeri-

sce la notazione nella (4.4.12), Ey = I1EA1) rappresenta il contributo all'energiatotale del segnale Ex delle sole componenti di x(t) con frequenze appartenenti

all'intervallo [l - 4f /2, 1+ I1f/2 ] (più il simmetrico sul semiasse negativo), inquanto tutte le altre componenti sono state cancellate dal filtro passa-banda.

Questo risultato permette finalmente di fornire un'interpretazione della fun-

zione 'Ex:il particolare valore 'EA1) alla frequenza l rappresenta il contributolocale all'energia totale del segnale x(t) dovuto alle sole componenti di segnale

con frequenza appartenente a Un piccolo intorno di J, rapportato all' ampiezzapiccola !!:.fdell'intorno stesso. Ciò corrisponde alla classica definizione di den-sità di Una grandezza fisica (qui l'energia) rispetto a una misura di estensione(qui l'ampiezza di una banda), e giustifica il nome COnil quale si designa lafunzione 'Ex(J): densità spettrale di energia del segnale x(t). TIfattore 1/2 nella(4.4.12) è relativo alla necessità di considerare sia le componenti in prossimità diJ sia le "omologhe" a frequenza -J in modo da dar luogo a oscillazioni reali.

La definizione di densità spettrale di energia 'EAf) = IX(f)12mostra che, aifini del calcolo dell'energia di x(t), risulta determinante il solo spettro di am-piezza del segnale stesso, mentre lo spettro di fase è ininfiuente. La stessaosservazione vale anche a proposito della relazione fondamentale del filtraggio

'Ey (J) = 'E)f) IH(Jt secondo la quale, ai fini del calcolo dell' energia delsegnale di uscita, risulta determinante la sola risposta in ampiezza del sistema,mentre la sua risposta in fase è del tutto ininfluente. In particolare, se vogliamoche l'energia del segnale d'ingresso si conservi nel filtraggio con un SLS, ènecessario garantire che la sua risposta in ampiezza nOn cancelli quellecomponenti alle frequenze per le quali 'E)f) assume i valori più significativi.

Per un segnale passa-basso si adotta talvolta una definizione di banda basatasu Un criterio energetico. La cosiddetta banda al 99% dell'energia del segnalex(t) è il limite di banda B99di quel filtro passa-basso ideale che, applicato sulsegnale in oggetto, rende in uscita un segnale avente un'energia pari al 99%

dell'energia d'ingresso Ex: t 'tl(fV>B...

f ' \B... - A:x(f)df - " ,'~ \J'Ex(f)df - 0.99Ex => - - 0.99 J«I ./\ ,~i "'--.(4.4.13)

-8.." J'Ex(f)df=-r" ~-

O P. ::: l>..,~. .ti -- y:.

4.4.2 Densità spettrale di potenzaI concetti appena introdotti riguardo ai segnali a energia finita possono esseregeneralizzati al caso di Unsegnale x(t) per il quale è finita la potenza:

I

l T/2~ = 1im- J X2(t) dt < 00

T-+- T-Tf2

(4.4.14)

Ricordiamo (si veda il Paragrafo 1.3) che il valore dell'integrale nella'defini-

190 Capitolo 4

zione di potenza (4.4.14) rappresenta l'energia del segnale "troncato"

XT(t)= x(t)rect(tlT), che ha necessariamente energia finita. La densità spettraledi energia di xT(t) è dunque

\~XT u)=IxTute l'energia associata a XT(t) è data da

(4.4.15)

~

EXT= flxTUtdj (4.4.16)

Allora la potenza del segnale di partenza x(t) può e~serecalcolata come

(4.4.17)

Questo risultato suggerisce di definire una funzione densità spettrale di potenzacome limite della densità di energia del segnale troncato sull'intervallo "di

osservazione" [-T 12,T 12], rapportata all'ampiezza T dell'intervallo medesimo:

\s,U),o,lim ~<,U) ~ lim IX,UJ'T-7~ T T-7~ T

Le proprietà della densità spettrale di potenza sono formalmente analoghe aquelle della densità di energia, e possono essere facilmente dimostrate:

. la densità spettrale di potenza è una funzione della frequenza reale a valorinon negativi:

(4.4.18)

(4.4.19)

. se il segnale x(t) è reale, la sua densità spettrale di potenza è una funzionepan:

(4.4.20)

. la potenza di un segnale si può calcolare integrando la sua densità spettrale dipotenza su tutto l'asse delle frequenze:

~

~ = f Sx(f) dj (4.4.21)


. se il.§.~gnille x(t) è posto in ingresso a un SLS con risposta in frequenza

H(J), la densità~peth-aledip~enza -S/f) del segnaledi uscita y(t) è leg~aaqlle1ladelsegnàlediingressodallarelazione:- ~- - --- - -. -'H . - -- -

- ":JrSA;)=~x(J)IH(J)jjAnche il significato fisico della densità spettrale di potenza può essere compresoricordando le. considerazioni esposte a proposito della densità spettrale dienergia; scelto un valore arbitrario l di frequenza, la_quantità infinitesima

sAl) df rappresenta il contributo alla potenza totale del segnale x(t) fornitodalle componenti frequenziali prossime a l.4.4.3 Funzione di autocorrelazione e teorema di Wiener-Khintchine

Le funzioni densità spettrale di energia e di potenza definite precedentementepossono essere calcolate in una maniera alternativa rispetto a quanto previstodalle relative definizioni se si introduce una nuova grandezza che caratterizzaulteriormente il segnale nel dominio del tempo: la funzione di autocorrelazione.

Per un segnale ~(t) ("'~~uesta grandezza è definita da

~ R,(T)~ Ix(t)x(t-T) dt ~ x Jù-.. fr'M.:" Q (4.4.23)Il calcolo della funzione di autocorrelazione richiede di considerare il segnaledato x(t), una suareplica x(t - 'l') ritardata del ritardo 'l', eseguire il prodotto diqueste due funzioni e calcolare infine il valore dell'integrale del prodotto. Unavolta eseguito il calcolo dell'integrale, il risultato resta ovviamente dipendentedal ritardodellareplicax(t - 'l') del segnale dato: la notazione Rx('l')suggerisceproprio questa dipendenza.

La funzione di autocorrelazione fornisce informazioni utili sulla rapidità divariazione del segnale x(t), come si può capire dall'esempio illustrato in Figura4.44. Essa riassume infatti il calcolo del valore della funzione di autocorrela-

zione, per il medesimo valore di ritardo 'l', di due differenti segnali, x(t) e y(t)aventi stessa energia ma due diverse "velocità di variazione". È chiaro che il se-gnale x(t), più "veloce", presenta un valore della funzione di autocorrelazione

. minore di quello relativo al segnale y(t) a parità di ritardo 'l'. Inoltre, quando la

variabile 'l'assume valori crescenti si riduce l'ampiezza dell'intervallo in cui siax(t) che x(t - 'l') assumono valori non nulli e, di conseguenza, tende a diminuireil valore di Rx('l'). Il nome di "autocorrelazione" suggerisce infatti che questafunzione è un indice di "somiglianza" del segnale con se stesso, o meglio, con

(4.4.22)

!

==

192 Capitolo 4

una replica di se stesso ritardata.

x(t)

/ x(t-t)1l ~ /

y(t)

I y(t -t)

1/J2

Figura 4.44 Esempi di calcolo della funzione di autocorrelazione

\1 i...m La funzione di autocorrelazione valutata per'!' =O coincide con l'energia dell..'.~egnale x( t):

=

Rx(O)= Jx2(t)dt=Ex (4.4.24)

Inoltre, si intuisce facilmente che il segnale x(t) è massimamente correlato(somigliante) con se stesso quando'!' = O,quandocioè x(t-'!') = x(t). Possiamoquindi concludere (vedi l'Esercizio proposto 4.2) che

(4.4.25)

Il lettore dimostri anche che la Rx('!') è una funzione pari del proprio argomento:

(4.4.26)

Come conclusione di queste osservazioni, una forma verosimile per le funzionidi autocorrelazione dei due segnali di Figura 4.44 è quella di Figura 4.45.Quando la variabile'!' supera una soglia di valore opportuno (detto tempo dicorrelazione) la funzione di autocorrelazione può considerarsi nulla.

Tornando all'argomento originario, è possibile mettere in relazione la fun-zione di autocorrelazione con la densità spettrale di energia del segnale; il teo-rema di Wiener-Khintchine afferma infatti che la densità spettrale di energ"iadiun segnale è pari alla trasformatadi Fourkrdella rispettiva funzione di auto-:'correlazione: - - --- -- --

~ ~

'Ex(J) = f R)-r) e-j21ifTd-r = 2 f Rx(-r) cos(21if-r)d-ro

(4.4.27)

~=Ex

~ ~

Figura 4.45 Funzioni di autocorrelazione dei segnali di Figura 4.44

Osserviamo infatti che la funzione di autocorrelazione può essere espressa nellaforma di prodotto di convoluzione come segue:

~ ~

Rx(-r) = fx(a) x(a - -r)da = fx(a) x( -(-r - a») da = x(-r)@x(--r) (4.4.28)

La trasformata di Fourier di Rx(-r) è allora

R)-r) ~ X(J) X(-j)

ed essendo il segnale réale risulta: X(- f) = X. (J). Segue che

MR.~)<O>;vt =".(!~~

(4.4.29)

(4.4.30)

La definizione di funzione di autocorrelazione data nella (4.4.23) si applica soloal caso di segnali a energia finita; per i segnali a potenza finita tale definizionedeve essere modificata come segue:

l----

\ l T/2

J Rx(-r)~lim- fx(t)x(t--r)dt \I T~~T -T2~- -- -_Z

(4.4.31)

da cui, in particolare, R) O)= Px' Questa funzione di autocorrelazione possiedetutte le proprietà formali già viste per i segnali a energia finita. Inoltre, il teo-rema di Wiener-Khintchine è di nuovo applicabile (si omette la dimostrazione,

194 Capitolo 4

formalmente più complessa di quella appena riportata per i segnali a energiafinita), e stabilisce l'uguaglianza tra la trasformata di Fourier della funzione diautocorrelazione--Cosìdefinita e la densità spettrale di potenza del segnale x(t):

- - --- -

- Sx(j) = j Rx( T) e-j21!fr dT ~ 2 j R~('r)c~s(21ifT)dT I

o(4.4.32)

L'importanza del teorema di Wiener-Khintchine risiede nel fatto che la densitàspettrale di energia (o potenza) di ogni tipo di segnale a energia o potenza finita,continuo o discreto, determinato o aleatorio, può essere ricavata attraverso ilcalcolo della trasformata di Fourier della opportuna funzione di autocorrela-zione, come avremo modo di approfondire anche nel Capitolo 8. Questo proce-dimento si rivela spesso più comodo da utilizzare della definizione diretta didensità spettrale.

Esempio 4.13Calcoliamo la densità spettrale di energia dell'impulso rettangolare

x(t) = rec{~)(E4.13.1)

Essendo

X(j) =T sinc(jT) (E4.13.2)

la densità spettrale di energia risulta

(E4.13.3)

Allo stesso risultato si perviene calcolando la funzione di autocorrelazione che èdata da

Rx ( T) = x( T) Q9x( -T) = rec{ ;)Q9rec{ ;)= T( 1- I~) rec{ 2~ )

Se si calcola la trasformata di Fourier della Rx(!') si riottiene i~ediatamente ilrisultato (E4.13.3). D

(E4.13.4)


Esempio 4.14

Calcoliamo la densità spettrale di potenza del segnale gradino unitario:

x(t) =u(t) (E4.14.1)

Questo segnale è aperiodico a potenza finita. La sua densità spettrale di potenzaè espressa dalla (4.4.18):

(E4.14.2)

ove XY(f) è la trasformata di Fourier del segnale

(E4.14.3~

come illustrato in Figura 4.46. Passando alle trasformate,

(E4.14.4)

e quindi la densità spettrale di potenza è data dal seguente limite:

(E4.14.5)

con

Yr(J)=: sinc2(~)L'andamento della funzione Yy(f) è illustrato in Figura 4.47 per valori di Tcrescenti. Essa assume il valore T/4 per f =O e si annulla per le frequenzeh = 2k/T , con k numero intero relativo diverso da O.È importante notare chetale funzione sottende un'area costante, indipendentemente dal valore di T;infatti

(E4.14.6)

!

(E4.14.7)

in quanto

196 Capitolo 4

1

(Itl

) (t

)YT(t)=- 1-- rect -2 T/2 T (E4.14.8)

rect(t/T)r---------IIIIIII

J

I x(t)=u(t)

-T/2 T/2 T/2

Figura 4.46 Andamento del segnale xr(t) (Esempio 4.14)

-2fT 2fT

Figura 4.47 Andamento della funzione fr(f) (Esempio 4.14)

Dunque, al crescere del valore di T il valore della funzione nell' origine tendeall'infinito, la sua banda diminuisce arbitrariamente, poiché i suoi punti di nullosi avvicinano all'origine, ma l'area da essa sottesa non cambia: la successione difunzioni YT(f) tende a un impulso di Dirac! In conclusione si ha:


(E4.14.9)

Allo stesso risultato si perviene (tutto sommato in maniera più rapida)

applicando il teorema di Wiener-Khintchine. La funzione di autocorrelazione persegnali a potenza finita è

l T/2Rx(T)= lim- fx(t)X(t-T)dt

T-7~ T -T/2

(E4.14.10)

Limitiamoci al caso T ~ O, visto che la funzione di autocorrelazione è pari.Allora si ottiene

l T/2 l T/2RAT) = lim - f u(t) u(t - 'l")dt =lim - f u(t - T)dt

T-7~ T T-7~ T-ry2 o(E4.14.11)

Calcoliamo adesso il valore dell'integrale, prima di eseguire il limite:

T/2

{

O 'l"> T / 2

}f u(t-'l")dt= =(T/2-T)U(T/2-T)o T/2-T 'l"~T/2

(E4.14.12)

quindi, per T;:::O

RAT) = lim.!.[(T/2-T)u(T/2-T)]T-7~ T

= lim(! - ~)U(T/'2 - T)=!T-7~ 2 T 2

(E4.14.13)

Infatti, quando T --700 la quantità 'l"/ T tende a zero, mentre la funzione

u(T /2 - T) vale comunque l (il punto di applicazione del gradino si spostaverso destra illimitatamente). Geometricamente, si ha la situazione di Figura

4.48. Estendendo per simmetria pari questo risultato, si conclude che, per qua-

lunque 'l",

(E4.14.14)I

dalla quale si ricava immediatamente, calcolando la trasformata di Fourier, ilrisultato (E4.14.9).

198 Capitolo 4

(-1/2-t1T) .u(T /2-'1:)

1/2

T/2 't

Figura 4.48 Funzione d'autocorrelazione del segnale gradino unitario

D

4.4.4 Densità spettrale di potenza dei segnali periodiciUna particolare categoria di segnali a potenza finita è rappresentata dai segnaliperiodici. Per essi vogliamo determinare la funzione di autocorrelazione e ladensità spettrale di potenza in funzione del relativo coefficiente di Fourier Xk.Per un segnale x(t) periodico di periodo 1'0,l'espressione della funzione diautocorrelazione (4.4.31) si semplifica come segue:

1 To/2

Rx ('r) = L f x( t) x( t - 'Z")dto -To/2

(4.4.33)

È immediato rendersi conto che la funzione di autocorrelazione di un segnaleperiodico è periodica in 'Z"dello stesso periodo 1'0del segnale. Per procedere conil calcolo, sostituiamo a x(t - 'Z")nella (4.4.33) il relativo sviluppo in serie diFourier. Si ottiene così

(4.4.34)

Invertendo le operazioni di sommatoria e integrazione ricaviamo

(4.4.35)

Tenendo conto che il segnale è reale e che quindi X-k = X;, si concludeche


(4.4.36)

Dunque, i coefficienti dell'espansione in serie di Fourier della funzione di auto-correlazione del segnale periodico sono dati dal modulo quadro dei coefficientidell'espansione in serie del segnale stesso:

(4.4.37)

Per ricavare la densità spettrale di potenza di x(t) è ora sufficiente calcolare latrasformata continua di Fourier della funzione Rx('r). Dalla (4.4.36) si ricavaimmediatamente

(4.4.38)

Dunque, un segnale periodico ha uno spettro di potenza a righe come illustratoin Figura 4.49; ciascuna riga rappresenta il contributo alla potenza del segnaledato dalla componente alla frequenza armonica corrispondente. Pertantopossiamo dire che la potenza, anziché essere distribuita con continuità su tutte lefrequenze dell'asse' reale (come per un generico segnale aperiodico), è concen-trata sulle frequenze armoniche.

La potenza complessiva del segnale si ottiene integrando la densità spettraledi potenza su tutto l'asse delle frequenze; quindi possiamo scrivere

~ =fSx(J)df=Tk~xl8(f- ~)df= k~lxl 10(f- ~)df=k~xkI2(4.4.39)

Il risultato espresso dalla (4.4.39), che di seguito riassumiamo, rappresenta laversione del teorema di Parseval per i segnali periodici:

-+-

~ = Llxlk=-oo

(4.4.40)

Utilizzando i coefficienti dello sviluppo in serie in forma reale polare si haanche

-+- l-+--+-

~ = LIXkl2 = Llxl + IXol2 + Llxkl2 = Ag + 2LA;k=- k=- k=l k=1

(4.4.41)

200 Capitolo 4

Osserviamo che la potenza associata alla generica k-esima oscillazione armonicadello sviluppo in forma reale polare è pari a

(4.4.42)

dato che l'oscillazione ha ampiezza di picco 2Ak' Quindi il teorema di Parsevalsancisce che la potenza totale del segnale periodico si ottiene semplicementesommando le potenze delle singole oscillazioni armoniche in cui il segnale èscomponibile, come se queste si presentassero singolarmente.

1fTo 2fTo 3fTo

Figura 4.49 Densità spettrale di potenza di un segnale periodico

4.5 Sistemi non lineari

4.5.1 Caratterizzazione dei sistemi non lineari

I sistemi lineari stazionari sono caratterizzati dalla conoscenza della rispostaimpulsiva h(t). Se si considera il particolare SLS causale di Figura 4.50, ilsegnale y(t) d'uscita è esprimibile come

~ t

y(t) = Jx(a) h(t- a) da = Jx(a) h(t- a) dal-T

(4.5.1)

essendo h(t - a) *-O solo nell'intervallo t - T < a < t. Il valore del segnaled'uscita calcolato all'istante t dipende quindi dai valori che l'ingresso assume inun intervallo di durata T precedente l'istante t stesso. Un comportamento diquesto tipo è caratteristico di un sistema con memoria e, nel caso specifico, conuna memoria finita pari a T. Un sistema è invece senza memoria se l'uscita a unistante arbitrario dipende solamente dal valore dell'ingresso al medesimo istante.


Pertanto il comportamento ingresso-uscita di un sistema senza memoria ècaratterizzato in generale da una relazione del tipo

y(t) = 'T[x(a),a = t;t] (4.5.2)

~ y(t)

h(t)

x(t)

1T t

Figura 4.50 Sistema lineare stazionario con memoria finita

Se il sistema è anche stazionario, l'operatore '1'[.]"collassa" in una semplicefunzione g(x) che rappresenta la cosiddetta caratteristica ingresso-uscita delsistema (vedi Figura 4.51).

y=g{x)

~t)

x

Figura 4.51 Caratteristica ingresso-uscita di un sistema senza memoria

La caratteristica non dipende dal tempo poiché il sistema è stazionario; in tuttigli istanti in cui il segnale di ingresso "passa" da un certo valore xo, in uscita

troveremo comunque il valore Yo= g(xo).Quali sono le peculiarità di funzionamento di un generico sistema non lineare

staz~onariosenza memoria? Quali le principali differen~e rispetto a un sistemalineare? Suppondendo nota la caratteristica ingresso-uscita g(x), il comporta-mento della non linearità può essere meglio compreso sviluppando in serie di

I

202 Capitolo 4

Taylor la caratteristica stessa in un intorno dell'origine2:

(4.5.3)

con

- l d"

I

glI--n! dx" g(x) x=o

(4.5.4)

Per semplicità, supponiamo di avere a che fare con una nonlinearità per cui losviluppo in serie (4.5.3) arrestato al secondo ordine sia una approssimazionesufficientemente accurata della caratteristica, cioè

(4.5.5)

La presenza del termine quadratico g2X2(t)nell'espressione del segnale di uscitaè chiaramente responsabile dell'introduzione di distorsione non lineare sulsegnale d'ingresso. Per meglio comprendere la natura di tale distorsione,

passiamo alle trasformate; la relazione (4.5.5) si traduce nella seguente neldominio della frequenza:

f(J) = go8(J)+ gl X(J)+ g2X(J) @ X(J) (4.5.6)

Se, ad esempio, X(J) è uno spettro rettangolare (a banda limitata):

X(J) =rec{ ~) (4.5.7)

allora la trasformata f(J) ottenuta calcolando la somma dei tre contributi nella(4.5.6) è quella rappresentata nella Figura 4.52.

Già questo semplice esempio è significativo del meccanismo di distorsione di

un sistema nonlineare senza memoria: nel segnale d'uscita ritroviamo, oltre auna componente continua, che in pratica può essere facilmente eliminata con unaccoppiamento in alternata del segnale di uscita, anche alcune componentifrequenziali che non sono presenti nel segnale d'ingresso, in particolare tuttequelle nella banda (B,2B]. La produzione di queste componenti è chiaramente

2 Solo caratteristiche con un certo grado di "regolarità" nell'intorno dell'origine possono essere

sviluppate in serie di Taylor. Questa condizione non è necessariamente verificata, ma la

discussione riveste comunque carattere generale.


dovuta alla presenza del termine nonlineare (in particolare quadratico) nellacaratteristica ingresso-uscita.

Y(f)

2B~

Figura 4.52 Esempio di distorsione non lineare

L'allargamento dello spettro del segnale, tipico delle distorsioni non lineari, ètanto più marcato quanto più la caratteristica ingresso-uscita del sistema si di-scosta da un andamento lineare. Se avessimo preso in considerazione anche untermine cubico nell'espansione in serie di Taylor, avremmo ottenuto uno spettrodel segnale di uscita con banda triplicata, e così via. Osserviamo inoltre che un

eventuale filtraggio dell'uscita per reiettare le componenti fuori banda (cioèfuori della banda originaria B) non permette comunque di recuperare una replicafedele del segnale di ingresso; l'effetto della non linearità si manifesta infatti an-che all'interno della banda del segnale utile (fenomeno di intermodulazione).

4.5.2 Nonlinearità essenziali e parassiteNella discussione precedente sull'effetto della nonlinearità, essa è stata conside-

rata come un fattore negativo producente distorsione sul segnale. Questa visioneè in generale valida per sistemi di elaborazione dei segnali, ma deve essereapprofondita quando si considerano sistemi nonlineari in generale, in particolaresistemi elettronici di potenza. È importante cioè classificare preliminarmente iltipo di non linearità o, meglio, stabilire se si tratta di una non linearità essenziale

o parassita in relazione alla funzione che il sistema deve svolgere.Una nonlinearità parassita si manifesta nonostante tutti gli sforzi di progetta-

zione in sistemi nominalmente lineari, e provoca quindi effetti indesiderati.L'esempio tipico di non linearità parassita è quella presentata da un circuito am-plificatore reale. Abbiamo già più volte considerato un amplificatore ideale, cheè descritto dalla relazione

I

y(t) =A. x(t) (4.5.8)

204 Capitolo 4

cui corrisponde la caratteristica ingresso-uscita g(x) = A. x rappresentata inFigura 4.53a. Osserviamo esplicitamente che questo sistema rappresenta, percosì dire, "l' intersezione" tra la classe dei sistemi lineari stazionari e quella deisistemi stazionari senza memoria. Per un amplificatore reale, però, lacaratteristica non è quella illustrata nella Figura 4.53a, bensì quella (non lineare)di Figura 4.53b, che indica un fenomeno di saturazione. Se i valori del segnaled'ingresso sono compresi in un certo intervallo [-XM,XM]'ove XMè la dinamicad'ingresso, il sistema si comporta come un amplificatore ideale (caratteristicalineare); al di fuori di questo intervallo, il sistema opera in zona non lineare el'uscita non superaun valorecostanteYM (ladinamicad'uscita)cherappresentail livello di saturazione dell'amplificatore. Se si eccede la dinamica di ingresso,

si avranno quindi distorsioni nonlineari sul segnale d'uscita.

y g(x)

x x

(a) (b)

Figura 4.53 Caratteristiche ingresso-uscita dell'amplificatore ideale (a) e reale (b)

Consideriamo al contrario un esempio di nonlinearità essenziale. Supponiamo di

disporre di un generatore di forma d'onda sinusoidale, e di voler ricavare a par-tire dal segnale x(t) fornito dal generatore un segnale y(t) costante. Si dispone

dunque di un segnale x(t) il cui spettro è costituito da due righe a frequenza I/oe si vuole produrre un segnale y(t) costituito solo da una componente (continua)a frequenza o. È chiaro che questa operazione non può essere realizzata con unsistema lineare stazionario. La relazione fondamentale Y(f) =H(f)X(f) di

questi sistemi indica che nello spettro del segnale di uscita non possono esisterecomponenti che sono di ampiezza nulla nello spettro del segnale di ingresso.

La funzione desiderata, che è quella tipica compiuta dai circuiti alimentatoridegli apparati elettronici, può essere invece realizzata utilizzando un sistema nonlineare in cui la nonlinearità diventa parte essenziale. Tale sistema è costituitoda due blocchi funzionali ed è rappresentato in Figura 4.54. Il primo blocco è unraddrizzatore a doppia semionda con caratteristica ingresso-uscita


g(x ) =Ixl (4.5.9)

e il secondo è un filtro passa-basso (quindi un SLS) che estrae dal segnaleraddrizzato la sola componente continua.

x(t)

t

y(t)

Figura 4.54 Schema a blocchi di un alimentatore

4.5.3 Misura delle distorsioni non lineari

Esistono alcuni metodi di misura per caratterizzare la maggiore o minoreinfluenza della nonlinearità in un sistema in cui questa è vista come parassita. Ilpiù semplice consiste nel dare in ingresso al sistema in esame un segnalesinusoidale

x(t) = ~ cos(2J%t) (4.5.10)

Supponiamo dapprima, per semplicità, che la caratteristica ingresso-uscita delsistema sia quella di una nonlinearità del secondo ordine:

(4.5.11)

Allora il segnale d'uscita è espresso da

(4.5.12)

(4.5.13)

Nel segnale d'uscita è presente un' oscillazione a frequenza 2.10che non comparenel segnale d'ingresso e che viene chiamata distorsione di seconda armonica.Nel caso generale, in cui la caratteristica del sistema è arbitraria, in risposta al

segnale sinusoidale periodico di periodo To=1/.lo, il sistema produrrà il segnale

y(t) = g[x(t)] =g[x(t+ To)] = y(t+ To) (4.5.14)

206 Capitolo 4

Il segnale di uscita, visto che il sistema è senza memoria, è a sua volta periodicocon lo stesso periodo di quello d'ingresso, come esemplificato in Figura 4.55,anche se non sinusoidale. Ciò consente di sviluppare y(t) in serie di Fourier(forma reale polare):

y(t) =Ao+ 2A, cos(21ifot + 8,)+ 2~ cos(2n2fot + 82) +...-= Ao+ 2LAk cos(2nkfot + 8k)

k='(4.5.15)

g(x) y(t)

IIlIII

-i ~ ~-IllllllIII XI -::;,I ~

x

Figura 4.55 Esempio di distorsione nonlineare (amplificatore con saturazione)

Come già detto, l'effetto della non linearità è quello di generare componentinon presenti nel segnale d'ingresso; le componenti generate sono qui in rela-zione armonica con la frequenza del segnale d'ingresso; questo meccanismo didistorsione si indica dunque con il nome di distorsione armonica. La compo-nente continua Aonon viene considerata come prodotto di distorsione (è spessoininfluente nelle applicazioni), e la componente per k = 1 è in pratica la parte


"utile" del segnale di uscita perché replica fedele del segnale di ingresso. Perquantificare l'influenza della nonlinearità si definisce allora il coefficiente di di-storsione di k-esima armonica

D ~ I(2Ak)2/2 = Ak k ;::. 2k '(2Al)2 /2 AI '

che rappresenta la radice quadrata del rapporto tra la potenza (2Ak i /2 della k-esima armonica prodottasi per distorsione, e la potenza (2A1)2/2 della primaarmonica, che viene considerata come la replica non distorta del segnale

d'ingresso. In teoria esistono infiniti coefficienti di distorsione~ché in praticasiano rilevanti soltanto quelli di ordine inferiore (seconda e terza armonica).

Per disporre comunque di un'informazione sulla distorsione complessiva,cioè relativa a tutte le armoniche prodotte, si definisce innanzitutto il segnaledistorsione come "residuo" del segnale di uscita, tolta la componente utile equella (ininfluente) continua:

(4.5.16)

+00

d(t) ~ y(t) - Ao - 2A, cos(2J%t + 81) =2LAk cos(2nkfot + 8k)k=2

(4.5.17)

Si definisce poi il coefficiente di distorsione armonica totale (THD, TotalHarmonic Distortion) come il rapporto tra la potenza del residuo di distorsioned(t) e quella della componente utile:

(4.5.18)

Si noti che, per il teorema di Parseval:

+00 +00

Pd =2LA; , ~ =Ag+ 2LA; => Pd= ~ - Ag - 2 AI2k=2 k=l

(4.5.19)

Allora il coefficiente di distorsione totale (4.5.18) risulta

(4.5.20)

Esempio 4.15

Il segnale x(t)= cos(2J%t) è applicato al sistema nonlineare di Figura 4.56.

208 Capitolo 4

Determiniamo i coefficienti di distorsione di seconda armonica D2, di terzaarmonica D3 e di distorsione totale D del segnale di uscita y(t). I segnali diingressoe di uscitadel sistemain esamesonorappresentatiin Figura4.57.

x(t) y(t)

Figura 4.56 Limitatore/Comparatore

-2.0-2 ~ O 1

Tempo normalizzato, t!T o

2

Figura 4.57 Andamento dei segnali di ingresso e di uscita del sistema di Figura 4.56

Il segnale di uscita è un' onda quadra di periodo To= l/Io e di ampiezza pari adA. Come dimostrato nell'Esempio 2.4, i coefficienti dello sviluppo in serie diFourier del segnale y(t) sono

~ ={ ~ sinc(k/2)

per k.= Oaltrimenti (E4.15.1)

Poiché .li =O (il segnale y(t) è alternativo) il coefficiente di distorsione diseconda armonica è nullo. Il coefficiente di distorsione di terza armonica èinvece dato da

2.0

1.5

1.0

0.5->- 0.0--'-"X

-0.5

-1.0

-1.5

x(t)I

A1.5,-

y(t)- -

"\1\

." .

l-\ . . j-

: :

\ f -\ f\ ...

-'....'" \......,/ "..,' '.. -

-

I I

\


~ A3 _11;1- A Isinc(3/2)1- 1D3 --

Al IYrI A Isinc(1/2)1 3(E4.l5.2)

Inoltre,la potenzadel segnaledi uscitaè banalmente~ =A2 e il valoremediodel segnale è nullo ( Yo=O); la potenza del residuo di distorsione Pdè allora paria:

(E4.l5.3)

Allora il coefficiente di distorsione armonica totale è dato da~

& A2 [1-8 /n2 ] 8/ 2 ~D= ~2 = = 1- n = ~-l =0.48321Yrl 2A2sinc2(1/2) 8/n2 8

(E4.15.4)

D

Esempio 4.16

Il segnale x(t) =2A cos(21ifot)è applicato al sistema nonlineare di Figura 4.58.Calcoliamo i coefficienti di distorsione di seconda armonica D2, di terzaarmonica D3 e di distorsione armonica totale D del segnale di uscita y(t).

x(t) ~AAY

A x-A

y(t)

Figura 4.58 Sistema nonlineare

Il segnale di ingresso e il corrispondente segnale di uscita sono rappresentati inFigura 4.59. Si vede che il segnale di uscita è alternativo, quindi tutte le suearmoniche di ordine pari hanno ampiezza nulla e, come nell'esempio precedente,il coefficiente di distorsione di seconda armonica D2 è nullo. Per calcolare ilcoefficiente di distorsione di terza armonica D3 è necessario determinare icoefficienti 1; e Yr.Essendo y(t) un segnale pari, il k-esimo coefficiente del suosviluppo in serie di Fourier può essere calcolato con la formula semplificata(2.6.9):

210 Capitolo 4

2 To/2

Y;,= - J y(t) cos(21rkfot) dtTo o

da cui segue

2 To/2 2 To/3

~ = - Jy(t) cos(2J%t) dt = - J y(t) cos(2J%t) dtTo o To To/6

4A To/3 2

(1 -13

)=- Jcos (2J%t)dt=A ---To To/6 3 2n

2.0"""""","0'

//....l-- --

'O,."'-"

'...,....

""'"

\ ~

1.5

.-1.0.>--- - -...-----

0.5

1/6

--->. 0.0 y(t), 1/3 .--x-0.5

-1.0

-A, ../"/"~(t).,'..'-2.0 L """""

-0.50

-1.5

-0.25 0.00 0.25

Tempo normalizzato, tfTo

Figura 4.59 Andamento dei segnali di ingresso e di uscita del sistema di Figura 4.58

Analogamente,

2 To/2 2 To/3

1; = - J y(t) cos(6J%t) dt = - Jy(t) cos(6J%t) dtTo o 1'0To/6

4A To/3= - J cos( 21ifot) cos( 61ifot) dt

To To/6

4A To/31 A-I3. =- J -[cos(4J%t)+cos(8J%t)]dt=--

1'0 To/62 41r

'.

'.

............

(E4.16.1)

(E4.16.2)/

0.50

(E4.16.3)


Usando i risultati (E4.16.2-3) si ottiene

D3= 3-J32[211:- 3-J3] == 2.39

(E4.16.4)

Procediamo ora 'con il calcolo del coefficiente di distorsione totale. Essendo

y(t) un segnale pari, la sua potenza media è data da

2 To/2 2 To/3

~.=- fl(t)dt=- fl(t)dtTo o 1;, To/6

8A2 To/3

(1 -J3

)=- f cos2(2Jifot)dt =2A 2 - - -To To/6 3 211:

La potenza associata alle componenti di distorsione è invece

(E4.16.5)

Pd = ~ -IYcl- 21tt = 2A2(!- -J3

)-2A2

(!- -J3

)

2

3 211: 3 211:(E4.16.6)

( Yo=O). Allora il coefficiente di distorsione totale risulta

1 ==4.16 (E4.16.7)

D

Sommario

Un sistema monodimensionale (a un ingresso e una uscita) trasforma un segnale

d'ingresso x(t) (sollecitazione) in un segnale d'uscita (risposta) y(t). Anchesenza conoscere la struttura del sistema, è possibile individuare alcune proprietàdi quest'ultimo: stazionarietà se il comportamento del sistema non varia neltempo; causalità se l'evoluzione dell'uscita non dipende dalla futura evoluzionedell'ingresso; istantaneità se il valore dell'uscita dipende solo dal valore dell'in-gresso al medesimo istante; stabilità se a qualunque ingresso limitato in am-piezza corrisponde sempre un'uscita limitata in ampiezza; invertibilità se il se-gnale d'ingresso può sempre essere ricostruito a partire dall'osservazione del se-gnale d'uscita; linearità se al sistema è applicabile il principio di sovrapposi-zione degli effetti. Limitandoci allo studio dei sistemi lineari stazionari (SLS), sidefinisce la risposta impulsiva h(t) come risposta all'eccitazione 8(t), e si di-

212 Capitolo 4

mostra che questa caratterizza complecimente il comportamento del sistema; inparticolare, l'uscita del sistema si può calcolare come y(t) =x(t) <8>h(t). Una ca-

ratterizzazione equivalente si ottiene in ambito frequenziale definendo la rispo-sta infrequenza del sistema H(!), cioè la trasformata di Fourier della rispostaimpulsiva; la risposta in frequenza può anche essere calcolata come rapporto trale trasformate dei segnali d'uscita e d'ingresso H(!) = Y(!)/ XC!), oppurecome il coefficiente (complesso) secondo cui viene modificata un' oscillazionecomplessa alla frequenzaf che passa attraverso il sistema: y(t) = H(f)ej21ifi.

La caratterizzazione dei SLS i~ ambito frequenziale risulta indispensabilequando il sistema stesso deve effettuare operazioni di elaborazione dei segnaliselettive infrequenza, cioè operazioni di filtraggio. A questo proposi/o si defini-scono le risposte dei filtri ideali passa-basso, passa-alto, passa-banda ed elimina-banda. Questi sistemi fondamentali sono caratterizzati da una banda passante e

una banda oscura che ne rappresentano le caratteristiche fondamentali. Si dimo-stra però che questi filtri ideali non sono fisicamente realizzabili perché noncausali, come si può verificare attraverso il criterio di Paley-Wiener sulla rispo-sta in ampiezza.

Il concetto di banda introdotto per i filtri può essere generalizzato e precisatoanche per segnali arbitrari a energia finita. Attraverso opportune definizioni dibanda e durata si arriva al risultato che queste due quantità variano in manierainversa. In particolare, non è possibile ridurre arbitrariamente la banda di unsegnale senza aumentarne in proporzione la durata: il prodotto di queste duegrandezze è limitato inferiormente. Le approssimazioni dei filtri ideali che sirealizzano in pratica possono però introdurre distorsioni lineari sul segnale utile.Il criterio di non distorsione richiede che la risposta in ampiezza del filtro siacostante (piatta) e la risposta in fase sia proporzionale alla frequenza (lineare)all'interno della banda del segnale utile.

Attraverso lo studio dei SLS è possibile anche caratterizzare il contenutoenergetico dei segnali in ambito frequenziale. Il teorema di Parseval, nelle varieversioni per segnali periodici e aperiodici, permette di calcolare l'energia(potenza) dei segnali a partire dalla conoscenza dello spettro di ampiezza. Lefunzioni densità spettrale di energia e di potenza (rispettivamente per i segnali aenergia e potenza finita) rappresentano, frequenza per frequenza, il contributo"locale" all'energia (potenza) del segnale fornito dalle componenti in un intornodella frequenza considerata, rapportato all'ampiezza dell'intorno stesso. Quandoil segnale viene filtrato, queste funzioni vengono modificate in ragione della ri-

sposta in ampiezza al quadrato del sistema, IH(f)12. Il teorema di Wiener-


Khintchine permette poi di definire le densità spettrali come trasformata diFourier delle rispettive funzioni di autocolTelazione.

I sistemi nonlineari senza memoria sono caratterizzabili attraverso la caratte-

ristica ingresso-uscita g(x), e si distinguono dai SLS perché in generale produ-cono componenti spettrali non presenti nel segnale d'ingresso. La maniera piùsemplice per quantificare in questi sistemi !'influenza delle distorsioni non line-ari (considerate come fenomeno parassita) è la misura dei coefficienti di distor-sione armonica quando l'ingresso del sistema è sinusoidale.

Esercizi proposti

4.1 Perciascunodei seguentisegnali:

x.(t) =2 + cos(71tt/T)

X2(t) = sen(51tt/T) + 3cos(71tt/T)

X3(t) = 2cos(1tt/T) - sen(31tt/T)

dire (giustificando il risultato) se ed eventualmente in che modo essi ven-gono distorti nel passaggio attraverso il sistema lineare stazionario la cuirisposta in frequenza è rappresentata in Figura 4.60.

IH(f)1

A

4 2-T -T

2T

4T

LH(f)

Figura 4.60

4.2 Calcolare la funzione di autocorrelazione dei due segnali x(t) e y(t) inFigura 4.44.

214 Capitolo 4

4.3 Partendo dalla relazione (x(t) segnale a energia finita)

~

j[ x(t):f: x(t - 1")]2dt 2':O

./

dimostrare la proprietà (4.4.25) 1Rx('l")I::;Rx(O).4.4 Il teorema di .Parseval può anche essere generalizzato considerando due

segnali x(t) e y(t) a energia finita. Se con X(J) e Y(J) si indicano lerispettive trasformate di Fourier di questi segnali, dimostrare che (teoremadi Parseval generalizzato)

~ ~

f x(t) y*(t)dt = f X(J) Y*(J) di

4.5 Considerando lo schema di Figura 4.61, in cui il segnale x(t) è espresso da

x(t) = sinc( t - ;12 ) + sinc( t + ; /2 )

determinare l'espressione del segnale di uscita y(t) sapendo che.

c(t) = f rect(

t-kT

Jk=- T /2

e che le risposte in frequenza H1(J) e H2(J) sono come in Figura 4.62.

c(t)

x(t) y(t)

H Jf)

c(t-T/4)

Figura 4.61


-7/2T -3fT -5/2T 5/2T 3fT 7/2T

Figura 4.62

4.6 Il segnale

)

+00

y(t) = IJ -1/ x(t - kT)k;;:.-oo

con

x(t) =exp[-t/T] rectC-;/2)

viene applicato in ingresso al sistema di Figura 4..63(la caratteristica della

nonlinearità è w =l). Determinare la potenza ~ del segnale di uscita. z(t).

H (f)

Figura 4.63

4.7 Calcolare l'energia Ex e la potenza ~ del segnale aperiodico x(t)=2 sinc2(Bt) sin(2nBt).

4.8 Determinare direttamente la densità spettrale di potenza Sx(f) del segnale

x(t) = cos(21çfot)senza sfruttarne la proprietà di periodicità.4.9 Determinare la caratteristica ingresso-uscita di un sistema senza memoria

lineare e stazionario. È possibile in questo caso calcolarne la rispostaimpulsiva?

4.10 Il segnale x(t) =2cos(2nBt) è applicato al sistema di Figura 4.64. Sapendo

che h(t) =2B sinc2(2Bt), determinare la potenza ~ del segnale di uscitaz(t).

216 Capitolo 4

x( z(t)

lFigura 4.64

4.11 Il segnale x(t) = -fia cos(27rfot) è applicato al sistema nonlineare diFigura 4.65. Calcolare il coefficiente di distorsione armonica totale D delsegnale di uscita y(t).

y

x(t) y(t)

a x

tFigura 4.65

4.12 La funzione di correlazione incrociata tra due segnali a energia finita x(t)ed y(t) è definita come segue:

+00

Rxy('C')! Jx(t)y(t - 'C')dt

Dimostrare che questa funzione, introdotta per misurare la rassomiglianzatraduesegnalial variaredelritardo 'C',godedellaproprietà

I

.1

A che cosa è uguale questa funzione quando x(t) == y(t)?

4.13 Dimostrare il teorema di Parseval per segnali periodici (4.4.38) diretta-mente senza usare l'espressione (4.4.40) della densità spettrale di potenza.[Suggerimento:si parta dall'espressione della potenza per un segnale pe-riodico, si scriva che x\t) =x(t). x' (t) e poi...]

4.14 Trovare tramite il teorema di Wiener-Khintchine la densità spettrale di

potenza Sx(f) del segnale x(t) = sgn(t). J,.

t) * y(t)h(t)

1 x-1

1


4.15 Calcolare la banda a -3 dB B_3del sistema lineare stazionario rappresen-tato in Figura 4.66 «(00 =21ifo).

.lx(t)

;~

)

y(t)

Figura 4.66

4.16 Determinare e rappresentare la risposta g(t) al gradino unitario u(t) per ilSLS di Figura 4.67.

4.17 Un sistema lineare stazionario è caratterizzato dalla risposta in frequenza

(In 2 2

)H(f) =exp - 8102f

Calcolare la banda a -3 dB B_3di tale sistema e determinarne poi la

risposta all'eccitazione x(t) = rect(2fot). [Suggerimento: usare lafunzione<1>(-)definita per una densità di probabilità Gaussiana standard]

Figura 4.67

5

Segnali a tempo discreto

I ,/

5.1 Dal tempo continuo al tempo discreto

5.1.1 Campionamento dei segnali a tempo continuoNel Capitolo l è stata discussa la classificazione dei segnali in base al tipo dellavariabile indipendente, che in genere è identificata con una grandezza dicarattere temporale. Sappiamo già che un segnale a tempo discreto è unasuccessione xn o sequenza x[n] di numeri, ed è quindi rappresentabile con unafunzione di variabile intera relativa avente valori reali o complessi.

Supponiamo di compiere alcune osservazioni di traffico automobilistico auto-stradale: a un casello di uscita, annotiamo l'orario di ingresso di ogni vettura,misurato in secondi a partire dalle ore 0.00, e riportiamo questi dati in una ta-bella (Tabella 5.1). Essa è composta dal numero d'ordine n dell'automobile iningresso al casello, e dal relativo dato orario x[n]: la tabella rappresenta unsegnale a tempo discreto, che può essere elaborato per ricavare informazioni sulprogetto e il dimensionamento del sistema di riscossione dei pedaggi.

Un caso più tipico nell'elaborazione dei segnali è quello in cui il segnale atempo discreto viene ottenuto da un segnale a tempo continuo attraverso la co-siddetta operazione di campionamento. Campionare un segnale x(t) significa"estrarre" dal segnale stesso i valori che esso assume a istanti temporali equi-spaziati, cioè multipli di un intervallo T detto periodo di campionamento, comeviene illustrato in Figura 5.1. Con questa operazione viene a crearsi una se-quenza il cui valore n-esimo x[n]èil valore assunto dal segnale a tempo conti-nuo all'istante nT:

220 Capitolo 5

x[nJ =x(nT) (5.1.1)

Tabella 5.1 Esempio di sequenza

n x[n]O

15.233.965.468.2129.4162.4312.9423.5428.5629.2734.7

O123456789lO11

Nella Figura 5.1, l'operazione di campionamento viene simbolicamente effet-tuata da un dispositivo, il campionatore, indicato con una sorta di "interruttore"che si chiude per un intervallo di durata infinitesima. La cadenza con cui l' inter-ruttore si chiude, cioè con la quale il segnale viene campionato, è pari a

(5.1.2)

e prende il nome difrequenza di campionamento (sampling frequency), misurata

in Hz o in campioni/s.

-3T -2T-T T 2T3T t

x(t)

X(~

x[n].t=nT

Figura 5.1 Campionamento di un segnale analogico

Segnali a tempo discreto 221

Nella pratica, come già menzionato nel Capitolo 1, l'operazione di campio-namento viene effettuata dai convertitori analogico/digitale (comunemente detticonvertitori A/D). Questi dispositivi sono comandati da un segnale di clock

(temporizzazione) alla frequenza fc, che fornisce gli impulsi di comando al cir-cuito per effettuare le varie operazioni di campionamento. Il campionatore idealedi Figura 5.1 estrae in corrispondenza di ogni impulso di c10ckil valore del se-gnale di ingresso x(t) all'istante di campionamento, che è in generale un numeroreale con infinite cifre decimali. Diversamente dal campionatore ideale, il con-vertitore AID rende invece una rappresentazione finita di questo numero reale

(segnale numerico), e precisamente in aritmetica binaria su un numero finito dicifre (bit), variabile in genere da 8 a 16. In tutto questo capitolo non ci occupe-remo più del piccolo errore insito nella rappresentazione del numero reale su unnumero finito di cifre, detto errore di quantizzazione, ma supporremo sempre dieffettuare operazioni di campionamento ideali.

Lo studio e l'elaborazione dei segnati a tempo discreto ha assunto grande im-portanza in questi ultimi per la possibilità di utilizzare componenti numerici adalta velocità e affidabilità, e a basso costo. La tendenza moderna, risultante dai

grandi progressi compiuti dai componenti elettronici ad altissima integrazione(VLSI, Very Large-Scale Integration), è quella di usare per l'elaborazione deisegnali a tempo discreto dei microprocessori specializzati (dedicati) chiamatiDSP (Digital Signal Processor, elaboratore numerico di segnali). L'elaborazionedel segnale viene eseguita sui valori digitali estratti dal segnale stesso tramiteconversione AID, e si risolve nell'esecuzione di un opportuno programma daparte del microprocessore. Questa struttura, rappresentata in Figura 5.2, è estre-mamente flessibile, nel senso che diverse funzioni di elaborazione possonoessere realizzate semplicemente cambiando il programma di elaborazione(software) senza dover minimamente modificare la struttura fisica (hardware)del circuito.

X(I) 1NO H OSP ~ D/A l-y(l)

Figura 5.2 Elaborazione numerica1fiUn segnale a tempo continuo

Il segnale a tempo discreto y[n] risultante dall'elaborazione numerica deve poiessere riconvertito in forma analogica (cioè in un segnale a tempo continuo).Questa operazione è la conversione digitale/analogico (D/A) indicata in Figura

222 Capitolo 5

5.2. Dal punto di vista teorico, il dispositivo che produce in uscita un segnale atempo continuo a partire da un segnale d'ingresso a tempo discreto è chiamatointerpolatore, e il suo funzionamento è schematizzato in Figura 5.3. Le opera-zione duali di campionamento e interpolazione verranno analizzate più appro-fonditamente nei Paragrafi 5.3 e 5.4.

x(t)

-3T -2T-T T2T3T t

x[n]

1

x(t)..

Figura 5.3 Interpolazione di un segnale a tempo discreto

5.1.2 Alcuni segnali notevoliConsideriamo adesso qualche esempio di segnali a tempo discreto (brevemente:segnali discreti) di particolare rilevanza e utilità. Alcuni di essi possono esserederivati dalle rispettive controparti a tempo continuo per semplice campiona-.mento, altri necessitano invece di importanti precisazioni.i) sequenza gradino unitario (Figura 5.4):

u[n]={~

n;::: O

n<O(5.1.3)

u[n] /

~~

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 n

Figura 5.4 Sequenza gradino unitario

Per ovvi motivi, non si pone per la sequenza u[n] la questione del valore nelpunto di discontinuità presentata invece dal gradino a tempo continuo u(t).ii) sequenza esponenziale unilatera (Figura 5.5):

(5.1.4)

x[n] O<a<1

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 n

Figura 5.5 Sequenza esponenziale unilatera

iii) sequenza 8 o impulsiva (Figura 5.6):

{

l n=O

8[n] = O altrimenti(5.1.5)

o[n]

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 n

Figura 5.6 Sequenza impulsiva

La sequenza 8[n] è in pratica ciò che in matematica è chiamato "simbolo di

Kronecker" 8n,k:

{

l n=k

8 = 8[n - k] = O altrimentin,k/

(5.1.6)

Non ha senso pensare di ottenere la sequenza 8 per campionamento del segnaleanalogico 8(t). Si ricordi che il valore di quest'ultimo per t =O non è limitato, equindi sarebbe impossibile (o meglio, privo di senso) definire 8[0] =8(0).

Le sequenze u[n] e 8[n] sono legate da relazioni simili a quelle che leganou(t) e 8(t). Infatti, come il segnale gradino è la funzione integrale della 8(t) (si

224 Capitolo 5

veda la (3.4.9», così nell'ambito del tempo discreto si ha

n

u[n] = I8[i] (5.1.7)i= oo

cioè il segnale gradino discreto è la sequenza somma della sequenza 8[n].Dualmente, sappiamo che la funzione 8(t) è la derivata temporale del segnaleu(t). Nell'ambito del tempo discreto non è ovviamente definita l'operazione diderivazione, e la relazione analoga coinvolge la cosiddetta "differenza all'indie-

tro del primo ordine" o incremento:

8[ n ] = u[ n ] - u[ n-l ] (5.1.8)

iv) sequenza impulso rettangolare causale di durata N (Figura 5.7a):

x[ n ] = u[n] - u[n - N] (5.1.9)

L'impulso rettangolare è qui ottenuto (si ricordi l'Esempio 4.8) come differenzatra la sequenza u[n] e la stessa sequenza ritardata di N campioni (Figura 5.7.b).

x[n]

1

u[n]

o N-1 N n o N-1 n

-u[n-N]

(a) (b)

Figura 5.7 Impulso rettangolare discreto (a) e sua costruzione (b)

v) oscillazione complessa discreta alla frequenza normalizzata Fo:

x[n] = exp(j2JrFon)

~(5.1.10)

che è la versione a tempo discreto della oscillazione complessa analogica

exp(j21%t) alla frequenza lo. La frequenza Foè normalizzata perché rappre-senta un numero puro. Si noti che, rispetto alla variabile temporale n, questo se-gnale' è periodico solo se la frequenza Fo è un numero razionale, cioè seFo=p / q , p e q interi. Il lettore trovi il periodo No dell' oscillazione x[n] sottoquest'ultima ipotesi.

226 Capitolo 5

delle frequenze normalizzate di ampiezza unitaria, ad esempio per

F E [-1/2,1/2] che chiameremo intervallo-base. Inoltre, la definizione (5.2.1) ditrasformata è più che esauriente ai fini matematici (ed è infatti adottata in moltitesti di teoria dei segnali ed elaborazione numerica dei segnali, eventualmentenella forma modificata (5.2.2)), ma si rivela poco conveniente quando la se-

quenza x[n] proviene da un'operazione di campionamento di un segnale analo-gico x(t). La presenza della frequenza normalizzata infatti non consente distabilire un legame immediato con la frequenza (misurata in Hz) dellecomponenti nella trasformata X(f) del segnale analogico di partenza. Se allorail periodo di campionarnento è T, si può definire la variabile

(5.2.4)

ottenuta "denormalizzando" la frequenza normalizzata F, e avente le dimensioni

di unafrequenza. Sostituendo nella definizione originaria di trasformata (5.2.1)l'espressione della frequenza normalizzata F =f T ottenuta dalla (5.2.4),otteniamo una nuova definizione di trasformata di Fourier di una sequenza, che

risulta adesso funzione complessa della frequenza f misurabile in Hz:

X(J)~ Ì,x[n]e-j21f1lfT =1"[x[n]] (5.2.5)n=-co

In questa definizione, che adotteremo definitivamente, abbiamo introdotto unsoprassegno al nome della trasformata per distinguere facilmente la trasformatadi una sequenza X(f) dalla trasformata di un segnale continuo XC!).

Poiché la funzione X(F) è periodica di periodo 1, la funzione X(J) è perio-dica in ambito frequenziale di un periodo pari alla frequenza di campiona-

mento fc = 1/ T :

~.6)

Questa periodicità è caratteristica delle trasformate delle sequenze, e diventachiara se introduciamo la relazione, inversa della (5.2.5), di antitrasformazione.

Quest' ultima permette di esprimere la sequenza x[n] attraverso un integrale diFourier (o antitrasformata di Fourier di una sequenza) analogo alla (3.1.8):

l{2T

x[n] = T JX(J) ej21f1lfT df-1/2T

(5.2.7)


.P~$iustificare questa relazione, riprendiamo in considerazione la definizione diItrasformata (5.2.5), moltiplichiamo ambo i membri per un'oscillazione com-~. . .

plessa alla frequenzaf, e integriamo sull'intervallo frequenziale [-l/2T,l/2T]:~T ~T -f X(J) ej21fn[r di = f ~x[ m] e-j21D1!fTej21fn[rdi

-lj2T -lj2TIII=-- Ij2T

= ~x[m] f e-j2lr(lII-n)[r di111=- -lj2T

(5.2.8)

Se si osserva che

Ij2T

{

Of e-j2lr(lII-n)[r di =

-lj2T l/T

la serie a secondo membro della (5.2.8) si riduce all'unico termine per cuim = n, e cioè la (5.2.8) diventa la (5.2.7).

Il significato dell'espansione (5.2.7) della sequenza x[n] è quello consuetoper l'analisi di Fourier: il segnale dato viene espresso come sovrapposizione diun continuo di componenti frequenziali di ampiezza e fase regolate dall' anda-mento di X(f). Mentre un segnale analogico necessita di componenti a tutte le

frequenze sull'asse reale da -00 a +00, cioè in un ambito illimitato, per espri-

mere una sequenza in ambito frequenziale son~ sufficienti le sole comP.9Jle.DtL~venti frequenze comprese nell' intt~rvallo limilato [-1 / ~:r,l / 211 In un certomodo, questo risultato è pienamente giustificato dalla periodicità della trasfor-

mata di una sequenza, nel senso che le sole componenti veramente significativesono quelle nel periodo base. Anche per la trasformata di una sequenza è co-munque d'uso introdurre lo spettro di ampiezza A(f) =1X(f) I e lo spettro difase (j(f) = LX(f).

La periodicità della trasformata di una sequenza, e/o la limitatezza dell'inter-vallo frequenziale significativo nello spettro del segnale, sono conseguenze di ununico fenomeno: nell'ambito dei segnali~mpo discreto, due oscillazioni sinu-soidali (complesse) rispettivamente alla frequenza lo e lo + m / T (m intero)sono indistinguibili. Infatti:

m*n

m=n (5.2.9)

exp[j2Jr(1o + m/T)nT] = exp(j21ifonT)exp(j2nmn) =exp(j21ifonT) (5.2.10)

La Figura 5.8 rappresenta un esempio di questa situazione per il caso particolarelo =O e m = 1. Quest' esempio conferma che non ha senso pensare a compo-nenti significative nello spettro del segnale discreto al di fuori di un intervallo-

228 Capitolo 5

base di ampiezza pari alla frequenza di campionamento, poiché tali componentisono repliche indistinguibili di quelle già presenti nel periodo-base. Ma questa èproprio, in altre parole, la definizione di periodicità della trasformata X(f) !

n n

Figura 5.8 Oscillazioni a tempo discreto a frequenza Oe 1fT

Per la serie (5.2.5) si possono porre dei proble~ di convergenza. Una condi-zione sufficiente per l'esistenza della trasformata è l'assoluta sommabilità dellasequenza, cioè la condizione

-:Llx[n]1< +00 (5.2.11)n=-00

Infatti, essendo

(5.2.12)

:11 il verificarsi della (5.2.11) assicura la convergenza della serie per tutti i valoridella frequenza.

Esempio 5.1Calcoliamo la trasformata di Fourier della sequenza o[n]. Essa è data da

o[n]~ ~(J)= :Lo[n]e-j2mt/T= 1 (E5.1.l)n=-oo

poiché nella serie l'unico termine non nullo è quello per n =O. La trasformata

~(J) è quindi una funzione periodica di periodo l/T che, in ciascun periodo,assume un valore costante e pari a 1 (Figura 5.9).


o[nl il(f)

-4 -3 -2 -1 1234n -1/2T 1/2T f

Figura 5.9 Trasformata della sequenza 8[n]

D

Esempio 5.2

Calcoliamo la trasformata di Fourier dell' impulsoFigura 5.7

rettangolare discreto di

~

x[ n ] = u[ n ] - u[ n - N] (E5.2.l)

Applicando la definizione,

+00 N-l N-l

X(J)= I,x[n]e-j2ID!/T = I,e-j211>tjT= I,[e-j21ifTrn=-00 ,,=0 n=O

(E5.2.2)

e ricordando che

\ N-Il NI I, q"= =.!L

n=O 1- q

si trova

(E5.2.3)

- 1- e-j2mVjT e-jmVjTejmVjT- e-jmVjT - -jn(N-I)jT sin(NrcfI')

X(J) = 1- e-j21ifT= e-j1ifT ej1ifT- e-j1ifT - e sin(rcfI')(E5.2.4)

Lo spettro di ampiezza è allora

IX(J)I=I

Si~(N1ifT)1

sm(1ifT)(E5.2.5)

ed è rappresentato in Figura 5.lOa per N =lO nell'intervallo f E [-l/T,l/T] perevidenziarnelaperiodicità.L'andamentodellospettrodi ampiezzain vicinanzadi f =O ricorda quello di una funzione Nsinc(NfF). Inoltre, restringendociall'intervallo"base" f E[-1/2T, 1/2T],essosi annullaper le frequenze

230 Capitolo 5

, k=:1:.1,:1:.2,...,:1:.N/2 (E5.2.6)

12

-0.50 -0.25 0.00 0.25 0.50


0.75 1.00

(a)

Figura 5.10 Spettro di ampiezza (a) e fase (b) dell'impulso rettangolare discreto

e assume per f =O il valore massimo dato da

IX(O)I =1im IX(J)I= Nf~O

(E5.2.7)

- 10-IX

tÙ 8NNQ)'5.

6Eas=ce 4:t::Q)a.Cf) 2

o-1.00 -0.75

180

135 I'

, IN=101=ara.9 90---

45

eD O(J)as-=c -45

e:t::. -90Q)a.U) -135

-180-1.00 -0.75 -0.50 -0.25 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00


L'andamento dello spettro di fase LX(J) nell'intervallo f E [-l/T,l/T] è quellodi Figura 5.lOb, disegnato ancora per N =lO. L'andamento lineare è dovuto alposizionamento non simmetrico dell'impulso rispetto a n=O(si veda il teoremadel ritardo 5.3.2), cioè al termine e-jtr(N-lj[fnella trasformata. O

Esempio 5.3

Calcoliamo la trasformata di Fourier della sequenza esponenziale discreto:

(E5.3.l)

Si ha che

- - -X(J) = Ix[nJ e-j211>1[f= Iane-j211>1[f = I[a e-j21!17T

n;-oo n=O n=O(E5.3.2)\

Ricordando la formula della somma della serie geometrica,

- 1Iqn =- , Iql<ln=O 1- q

si trova~amente

(E5.3.3)

X(J)=. l_;~.nT' lakl-ae(E5.3.4)

Lo spettro di ampiezza della sequenza data è allora (Figura 5.lla)

1

IX(J) 1=~l + a2 - 2 a cos(21ifT)(E5.3.5)

mentre il suo spettro di fase è dato da (Figura 5.11b)

LX(J) =arctg[

a sin(21ifT01- a COS(2;Ji)J

(E5.3.6)

O

~proprietà ~lla trasformata di Fourier di una sequenza (simmetriaHermitiana ecc.) relativamente a quelle del segnale temporale (segnale reale,

segnale pari o dispari ecc.) ~ sostanzialmente identiche a quelle ricavate nelParagrafo 3.2 a proposito della trasformata dei segnali analogici, e non verranno--

232 Capitolo 5

2.50

S 2.00IX

aiN~ 1.50

'5-Eas'C 1.00e

==Q)a. 0.50

(j)

0.00-0.5

eDcnas-::ae==Q)c..Cf)

-45

-90-0.5

Ia=0.1

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2


0.3 0.4 0.5

(a)

90

45

a=0.5

/o

-0.4 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2


0.3 0.4 0.5-0.3

Figura 5.11 Spettro di ampiezza (a) e fase (b) della sequenza esponenziale discreto

ulteriormente ribadite. Sulla base delle relazioni di analisi (5.2.5) e di sintesi

(5.2.7), che di seguito riportiamo, il lettore è in grado di ricavare tali proprietàautonomamente. Alcune differenze rispetto al caso del tempo continuo siriscontrano invece nelle proprietà analoghe a quelle viste nel Paragrafo 3.3. .

112T

x[n] = T JX(J) ej21D1jT dI-1/2T

I I-

",' X(J) = I,x[n]e-j2n>!fT

ovvero x[n] <=>X(f) (5.2.13)

n=-

5.3 Teoremi sulla trasformata di Fourier di una sequenza

Elenchiamo e dimostriamo invece alcune proprietà fondamentali della trasfor-mata di Fourier di una sequenza, spesso analoghe, ma in qualche caso significa-tivamente differenti da quelle per i segnali a tempo continuo esaminate nel Para-grafo 3.3. Tali proprietà saranno indicate come teoremi.

5.3.1 Teorema di linearità

Supponiamo che una sequenza x[n] sia espressa come combinazi6pe linearedelle sequenze XI[n] e x2 [n] :

(5.3.1)

con a e b costanti. Se si indicano con X.(J) e X2(J)le trasformate rispettiva-mentedellesequenzex.[n] e x2[n],la trasformataX(J) di x[n]è

(5.3.2)

Questa proprietà è una banale conseguenza della definizione di trasformata diFourier di una sequenza, e si dimostra in modo analogo a quanto visto nelParagrafo 3.3.

5.3.2 Teorema del ritardo \Cpnsideriamouna sequenza x[n] con trasformata X(J). La trasformatadellasequenza x[n - k] ottenuta ritardando x[ n] di k passi è espressa da

x[n - k] <=>X(J) e-j21tkfT (5.3.3)

Per dimostrare questa proprietà basta osservare che

.r[x[n-k]]= fx[n-k]e-j2n>!fT = fx[m]e-j21r(m+k)jTln=-

-

= e-j21tkjTI,x[ m] e-j2n>n/T= X(J) e-j21tkfT (5.3.4)In=-

avendo effettuato negli sviluppi il cambiamento di variabile m = n - k.

234 Capitolo 5

5.3.3 Teorema della modulazione

La trasformata della sequenza x[ n] ej21r11foT,ottenuta "modulando" x[n] con la

sequenza ej21r11foT,è espressa da

x[n] ej21r11foT~ X(J - fa) (5.3.5)

Infatti si ha:

l' [x[ n] ej2/DifoT] = L x[ n ] ej21r11foTe - j21r11fTn=-oo

= Lx[n] e-j21r11(J-fo)T= x(J - io) (5.3.6)

Poiché la funzione X(J) è periodica di periodo l/T, la funzione X(f - fa),ottenuta traslando X(J) della quantità io, coincide con la funzione

X(f -liolllT)' ottenuta invece traslando X(J) della quantità

lioIIlT£io-m/T, m=int{io/(lIT)) (5.3.7)

cioè io modulo l/T. Questa è un'ulteriore conferma della proprietà (5.2.10)delle oscillazioni complesse a tempo discreto.

5.3.4 Teorema della somma di convoluzione

Prima di introdurre questa proprietà, definiamo la sequenza z[n] somma diconvoluzione tra le sequenze aperiodiche x[n] e y[n]:

- -z[ n] = x[ n ] C8> y[ n ] £ L x[ k ] y[ n - k] = L y[ k ] x[ n - k]

k=-oo k=-(5.3.8)

La somma di convoluzione gode naturalmente delle stesse proprietà commuta-tiva, associativa e distributiva già dimostrate nel Paragrafo 3.3 per l'integrale diconvoluzione tra segnali analogici.

Ora, il teorema della somma di convoluzione afferma che la trasformata di

Fourier della sequenza z[n] è data dal prodotto delle trasformate delle sequenzex[n] e y[n]:

z[n] =x[n] C8> y[n] ~ f(J) X(J) = Z(J) (5.3.9)

Infatti~ ~ ~-

Z(/) = L Lx[k] y[n - k] e-j21r11fT= L x[k] Ly[n - k] e-j2/D!fT (5.3.10)11=-00


avendo invertito l'ordine delle due sommatorie. Se si osserva che (per il teoremadel ritardo)

~

~>[ n - k] e-j21l71jT= f(J) e-j21rkjT (5.3.11)

la relazione (5.3.10) può essere riscritta nella forma

~ ~

Z(f) = Lx[k] f(J) e-j21rkjT= f(J) Lx[k] e-j21rkjT= f(J) X(J)k=-oo k=-oo

(5.3.12)

L'importanza di questo risultato diventerà chiara nello studio dei sistemi linearistazionari a tempo discreto (Capitolo 6).


Consideriamo adesso la sequenza p[n] data dal prodotto fra la sequenza x[n] ela sequenza y[ n ]

p[n] = x[n]. y[n] (5.3.13)

e calcoliamone la trasformata di Fourier:

~ ~

F(J) = LP[n] e-j21l71jT= Lx[n] y[n] e-j21l71jT

~ IJ2T

= L T fX(v)ej21l71I-1"dvy[n]e-j21l71jTn=- -IJ2T

(5.3.14)

avendo espresso x[n] come al!!itrasformata di Fourier di X(J). In questo pas-saggio, è stata usata una variabile "muta" v nell' operazione di antitrasforma-zione per non creare ambiguità con la variabile f da cui dipende la trasformataF.

Se nella (5.3.14) si inverte l'ordine delle operazioni di somma e di integra-zione si ricava

1/2T ~ lJ2T

F(J)=T f X(v) Ly[n] e-j21l71(f-V)Tdv=T fX(v)Y(J-V)dV-1/2T n=- -IJ2T

(5.3.15)

che permette di stabilire la relazione

lJ2T

p[n] =x[n] y[n] ç:} F(J) = T f X(v)Y(J - v)dv-IJ2T

(5.3.16)

236 Capitolo 5

Poiché le funzioni X(v) e fU - v) sono periodiche di periodo l/T, l'integra-zione nella (5.3.16) può essere svolta su di un qualsiasi intervallo frequenziale diampiezza l/T.

L'integrale a secondo membro della (5.3.16) rappresenta la cosiddetta convo-luzione ciclica o periodica fra la trasformate XU) e fU). La convoluzione ci-clica è un'operazione che si definisce tra funzioni periodiche come le trasfor-mate delle sequenze. Si nota che la funzione integranda è analoga a quella che siha nella convoluzione cosiddetta lineare o aperiodica (3.3.43) eseguita tra fun-zioni aperiodiche, ma l'integrale viene calcolato su di un solo periodo, e il risul-tato viene diviso per l'ampiezza del periodo stesso, l/T.

5.3.6 Teorema dell 'incremento

La derivata di un segnale a tempo continuo x(t) all'istante t = nT può essereapprossimata con il seguente rapporto incrementale:

dx(t)

/

==x(nT)- x(nT - T) =x[n]- x[n-1]dt l=nT T T

avendo definito la sequenza x[n]!x(nT) ottenuta per campionamento dalsegnale continuo x(t). Se si introduce allora l'operatore incremento il definitodalla relazione

/(5.3.17)

Llx[n]!x[n] - x[1i -1] (5.3.18)

è ragionevole immaginare la sequenza Llx[n] degli incrementi di x[n] come una

sorta di omologo a tempo discreto della derivata del segnale a te~continuodx(t)/ dt. Utilizzando il teorema del ritardo si può scrivere:

(5.3.19)

5.3.7 Teorema della sequenza sommaConsideriamo adesso la sequenza somma y[n] di una sequenza data x[n]:

n

y[n]! Lx[k] (5.3.20)

Vogliamo dimostrare che la trasformata della sequenza y[n] è espressa da

(5.3.21)


purché X(O)=O.Il teorema dell'incremento permette infatti di scrivere:

(5.3.22)

D'altronde

n n-I

~y[n] =y[n] - y[n -l] = L,x[k] - L,x[k] =x[n]k=- k=-

(5.3.23)

e quindi

(5.3.24)

Ciò permette di concludere che:

(5.3.25)

Se però si considera la (5.3.24) per f =O, si ha

(5.3.26)

che non può essere valida se X(O)* O.Quindi, condizione per l'applicabilità delteorema nella forma (5.3.25) è che valga -

~

X(O)= L,x[n]=O (5.3.27)n=-00

~5.4 La condizione di Nyquist e il teorema del campionamento

5.4.1 La condizione di Nyquist

Riprendiamo in considerazione il campionamento di un segnale a tempo conti-nuo x(t):

x[n] = x(nT) (5.4.1)

e cerchiamo di determinare le conseguenze in ambito frequenziale di questa re-

lazione valida in ambito temporale. Indichiamo come di consueto con X(J) eX(J) rispettivamente la trasformata di Fourier della sequenza x[n] e del segnaleanalogico x(t).

Ovviamente si ha:

2]8 Capitolo 5

+00 +00

X(J) = Lx[n] e-j2nnjT= Lx(nT) e-j2nnjT (5.4.2)

Esprimiamo adesso i campioni del segnale a tempo continuo x(t) attraverso l'in-tegrale di Fourier (3.1.8), valutato naturalmente all'istante t = nT:

(5.4.3)

avendo effettuato lo scambio dell'ordine di somma e di integrazione. Per sem-plificare la relazione (5.4.3) riconsideriamo lo sviluppo in serie di Fourier(E3.17.4) del segnale "pettine di o":

(5.4.4)

Calcolando la trasformata di Fourier dei due membri di questa relazione si ha

(5.4.5)

e sostituendo questo risultato nella (5.4.3) si ha

+00 l +00

(k)X(J)= fX(v)- Lo f-v-- dv- T k=- T

. =! I jX(V)o (v- (f-! ))

dVT k=-- T

(5.4.6)

Sfruttando infine la proprietà campionatrice della funzione osi ottiene

11/ X(J)=! i X(f-! )~~ T k=- Tche rappresenta la relazione cercata (si veda anche la (3.5.9)).

Questa relazione mostra che la trasform~~i Fourier di una sequenza otte-

nuta per campionamento si gcav~ çome periodicizzazione della trasf~rmat~~:!....segnale analogico di partenza, con un periodo di ripetizione in frequenza pari

allafrequenzadi campio!!C!!!!mtofc = l/T; Un esempiosignificativoè illustratonelle Figure 5.12a-c: lo spettro del segnale x(t) è rappresentato in Figura 5.12amentre lo spettro della sequenza x[n] è rappresentato nelle Figure 5.12b-c perdue scelte diverse della frequenza di campionamento.

(5.4.7)


-0.25-3.0

1.25

0.25

0.00

-0.25-3.0 -2.5 -2.0 -1.5

1.25

-0.25-3.0

-8 8

-2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0

Frequenza normalizzata, f/B

3.0

(a)

-8 8

-1.0 ~ 0.0 0.5 1.0


1.5 2.0 2.5 3.0

(b)

-8 B

~o ~~ 00 1~ ~o


M

~

Figura 5.12 Trasformata del segnale analogico x(t) (a) e della sequenza x[n] con frequenza dicampionamento 5B/2 (b) e 5B/4 (c)

In particolare, il segnale di partenza ha banda B ri orosamente limitata, e le due

1.25

1.00

0.75

X 0.50I-

0.25

0.00

240 Capitolo 5

frequenze di campionament~ pari rispettivamente a l2. nel caso (b)~1.25B nel caso (c). Come si nota, c'è una differenza sostanziale nelle trasformate-della sequenza x[n] nei due casi delle Figure 5.12b e 5.12c. In quest'ultima, la

frequenza di campionamento è t..ale~ le varie repliche della trasformata di x(t)centrate sui multipli della frequenza di campionamento e derivanti dalla

periodicizzazione dello spettro v~n~~no a sovrapporsi. Nel caso di Figura 5.12b,invece, la frequenza di campionamento è sufficientemente alta, e non si ha- ".-sovrapposizione. In quest'ultima situazione, il periodo frequenziale base=-- " -- --- ~

[-l/2T,1/2T] contiene una replica non distorta della trasformata X(f) del- -- - -- - ~

segnale a tempo continuo originario.,Viceversa, nell' altro caso le varie replichedello spettro "interferiscono" sommandosi alla replica base; nell'ambitodell'intervallo [-l/2T,l/2T] quest'ultima è accompagnata dal cosiddetto errore-di aliasing creato dalle repliche (alias) dello spettro-base, che porta a una

.clistorsionedel segnale.Se il segnale è a banda limitata, dunque, è possibile trovare una condizione

che garantisce assenza di aliasing: la banda del segnale analogico di partenza B

deveessere più piccola dell' estremo superiore dell' intervallo "base"

[-l/2T,1/2T], cioè~B:::;1/2T} In altri termini, fissata la banda del segnale B, lafrequenza di campionamento deve essere scelta in modo che valga la condizione

-/ -", ," 1, -r - - > 2B

,

,,'

Je - T - ;// (5.4.8)

detta condizione di Nyquist. Nella Figura 5.12b la condizione di Nyquist è soddi-sfatta (fc = 2.5B > 2B), e l'intervallo frequenziale base contiene una replica in-distorta dello spettro del segnale analogico di partenza, cosa che non accadenella Figura 5.12c, in cui fc = 1.25B < 2B. Questa osservazione sembra sugge-

rire la possibilità, in assenza di aliasin , di ricostruire il segn!!.!..eorigi.!}ario(aban a imitata) elaborando il!.egnale campionato. Nel paragrafo successivo il-lustreremo come questa op;'azione possa essere effettuata in teoria e in pratica.

Esempio 5.4Osservazioni sperimentali di carattere fisiologico mostrano che 1'orecchioumano può udire segnali costituiti da componenti frequenziali comp;~se;r più.

nella ban.?~tta 20 Hz e 20 kHz. Suoni con frequenza inferiore ai 20 Hz vengonopercepiti come "vibrazioni" con tutto il corpo, mentre suoni con frequenzamaggiore di 20 kHz sono inudibili e vengono chiamati ultrasuoni.

Possiamo quindi considerare un segnale audio come rigorosamente limitato


in banda con un limite di banda B =20 kHz. Questa osservazione, insieme con

la condizione di Nyquist, giustifica la scelta delle due frequenze standard dicampionamento nell'elaborazione numerica dei segnali audio ad alta fedeltà:

come già accennato nel Ca itolo l, i sistemi di registrazione su Compact:Dlscadottano un /, = 44.1 kHz mentre i registratori DAT (Digital Audio Tape)

hanno fc = 48 kH Entrambi questi valori sono di poco superiori al limite mi-nimo fc - . viene introdotto un margine "di sicurezza" per facilitare--....-..(come ve emo In seguito) l'operazione di ricostruzione del segnale analogico.

Quando il segnale audiòcampfonato deve essere trasmesso, come-i;ti'iìsi-stema di radiodiffusione, è importante cercare di ridurre al minImo il numero di

c~mpionils, cioè la frequenza di campionamento. Infatti, più campioni devonoessere trasmessi nello stesso intervallo di tempo, maggiore deve essere lacapacità (e quindi il costo) del sistema di trasmissione. Per questo motivo, in al--cuni standarddi radiodiffusionedell'audio digitale, si scegliedi campionareilsegnalecon-fc = 32 kHz.Questafrequenzanon s~ddisfach~amente la condi--~ . ,.,..

zione di Nyq\iiSt rispetto alTabanda B =20 kHz. Allqra, per evitare problemi di

atiasing, si antepone-al éonverTItore7\fu un-(iltr~-aliasing,!Ome mostratoin Figura 5.13, che limita convenientemente la banda del segnale analogico a unvalore B' in modo da annullare l'aliasing per la frequenza di campionamentofissata. Nel caso dello standard con fc = 32 kHz, il filtro anti-aliasing ha unabanda B' =15 kHz. È chiaro che in questo modo la qualità del segnale riprodottosarà inferiore a quella dei sistemi CD e DAT per l'artificiale limitazione inoanda, ma ancora sufficientemente elevata per una riproduzione godibIle, e conuna minore esigenza di capacità del sistema di trasmissione.

Figura 5.13 Elaborazione numerica del segnale con filtro anti-aliasing

o

La condizione di Nyquist (5.4.8) pone dei vincoli sulla scelta della frequenzadi campionamento se si desidera ricostruire un segnale a tempo continuo utiliz-zandone i campioni; in particolare, il periodo di campionamento deve essere

i tFiltro Anti-Aliasing

x(t) I l«t1. I y(t)

NO DSP D/A

242 Capitolo 5

scelto in funzione della banda del segnale analogico. Gli esempi illustrati in

Figura 5.14 giustificano ulteriormente questa condizione. Nella Figura 5.l4aviene rappresentato un segnale x(t) che ha una rapidità di variazione (e quindiuna banda) molto maggiore di quella del segnale y(t) di Figura 5.l4b. Si

intuisce allora che, per seguire con sufficiente accuratezza l'andamento delsegnale, e quindi poter poi essere in grado di ricostruire il medesimo a partire daicampioni prelevati, si deve adottare un periodo di campionamento più piccolo(frequenza di campionamento maggiore) per il segnale x(t) che per y(t).

Negli esempi di Figura 5.14, il periodo di campionamento scelto è adeguatoper y(t), ma è palesemente troppo grande per x(t). In questo senso, la frequenzadi campionamento deve essere commisurata con la banda del segnale, come lacondizione di Nyquist suggerisce. rv0J ~'-t",,-d.. 1 v\~

ff£v~ 't'Q ~. j i- -I t:J '"L

/~ fe -I-JA.A-J~ ! ~ v "'_-:7~y(t)

T t T

(a) (b)

Figura 5.14 Esempi di campionamento di segnali a tempo continuo

Esempio 5.5~Ricaviamo la trasformata di Fourier della sequenza costante

x[n] =1 (E5.5.l)

Possiamo pensare x[n] come risultante da un campionamento, con intervallo Tarbitrario, del segnale costante a tempo continuo x(t) =1. Poiché

x(t) =1 ç::> 8(f) =X(f) (E5.5.2)

applicando la relazione (5.4.7) del campionamento, si trova immediatamente

- 1 ~

(k

)X(J)=- L 8 f--T k=- T

relazione rappresentata in Figura 5.15.

(E5.5.3)

x[n] )«(f)

1fT

n -1fT 12T

12T

1fT

Figura 5.15 Trasformata di Fourier di una sequenza costan~D

Esempio 5.6Troviamo la trasformata di Fourier delle sequenze

x[n] =cos(2nnfoT) , y[n] = sin(2nnfoT) (E5.6.1)

Dalla trasformata della sequenza costante dell'Esempio 5.5 e dal teorema dellamodulazione si ha che

1 ~

(k

)exp(j2nnfoT) <=> - L 8 i - lo - -T k;- T .

per cui, ricordando le formule di Eulero, si trova immediatamente

(E5.6.2)

- 1 lX(f) =-8(f-1 lo Il/T) + -8(f+ I lo Il/T)

2T 2T

- 1 1 '

Y(f) = 2jT 8(f-1 lo 11fT)- 2jT 8(f+ I io IIIT)

1 1--~i~-

2T 2T(E5.6.3)

ove ci siamo limitati a considerare l'intervallo "base" della trasformata, senza

esplicitamente indicare la periodicizzazione ~ome nella (E5.6.2). D

Esempio 5.7La trasformata di Fourier X(f) di una sequenza x[n] è rappresentata in Figura5.16. Determiniamo l'andamento della sequenza stessa. Attraverso la relazionedi antitrasformazione si trova

1/2T 8

x[ n] = T JX(J) ej21fnjT di = T J ej21r11jTdi-1/2T -8

244 Capitolo 5

ej21C1!fT

I

B

=T- =2BTsinc(2BnT)j2nnT -B

(E5.7.l)

X(f)

1

-1rr -B B 1rr f

Figura 5.16 Trasformata di Fourier della sequenza x[n] nell'Esempio 5.7

Allo stesso risultato si arriva più facilmente se si pensa la X(J) come derivantedalla periodicizzazione di una singola funzione rect(.):

- 1 ~

X(J)=- L T.rect (f-kIT

)T k=- 2B(E5.7.2)

Segue che la sequenza x[n], rappresentata in Figura 5.17, può farsi derivare dalcampionamento del segnale a tempo continuo

x(t) =.'F-1[T. rect(f 12B)] = 2BTsinc(2Bt)

come suggerito del resto dalla (E5.7.l).

(E5.7.3)

D

5.4.2 Interpolazione a mantenimento

La ricostruzione di un segnale a tempo continuo a partire da una sequenza viene- -,--- -- - -- .-.realizzata mediante un interpolatore. I vari tipi di interpolazione, che specifiche-remo con maggior dettaglio nel Paragrafo 5.4.3, possono in un certo sensoconsiderarsi come una generalizzazione dell' operazione compiuta in pratica daun convertitore DIA per fornire in uscita un segnale a tempo continuo x(t) apartire dai valori (rappresentati su di un certo numero di cifre binarie) di unasequenza x[n].

Lo schema di un sistema che esegue in pratica il campionamento del segnalee la successiva interpolazione, senz'alcuna elaborazione intermedia, è rappre-sentato in Figura 5.18 come cascata di due blocchi A/D e DIA, ovvero comesuccessione di un campionatore ideale e di un interpolatore a mantenimento.


0.6

0.5

0.4

. . .0.3

0.2

0.1

-0.1

-0.2-16 -12 -8 -4 o

n

4 8 12 16

Figura 5.17 Sequenza x[n] ottenuta per campionamento da x(t) (ESem~ 5.7)

x~ ND~I D/A~

Figura 5.18 Campionamento e interpolazione a mantenimento

L'operazione svolta da quest'ultimo componente è in particolare raffigurata inFigura 5.19a: per costruire il segnale analogico di uscita, il valore n-esimo dellasequenza d'ingresso x[n] viene mantenuto a partire dall'istante nT e fino a chenon sia disponibile (all'istante (n + l) T) il successivo valore x[n + l].

Possiamo facilmente scrivere l'espressione del segnale interpolato x(t) infunzione dei valori della sequenza x[n]. La Figura 5.19b suggerisce che x(t) ècostituito da una successione di impulsi rettangolari di durata T, applicati agliistanti nT e di ampiezza pari al relativo valore n-esimo della sequenza x[n]:

+00

x(t) = Lx[n] p(t -nT) (5.4.9)n=-oo

246 Capitolo 5

X(I)~

x[n]/' x(t)

n T(a)

p(t)x(t)

x[1].p(t-T) x[2].p(t-2T) ~P(t-3T)

T T 2T 3T

(b)

Figura 5.19 Campionamento e interpolazione a mantenimento

ove p(t) è per l'appunto l'impulso rettangolare

p(t) =rec{t -;/2)(5.4.10)

La Figura 5.19a mostra però chiaramente che il segnale ricostruito dal-l'interpolatore a mantenimento, che è una forma d'onda costante a tratti, non èuna replica indistorta del segnale campionato x(t). L'operazione che diretta-mente conduce da x(t) al segnale costante a tratti x(t) viene indicata inelettronica con il nome di Sample & Hold (campiona e mantieni), abbreviato in

~Cerchiamo dunque di comprendere più a fondo il comportamento dell'inter-

polatore a mantenimento, e di capire meglio le distorsioni che esso introduce ri-spetto al segnale di partenza, esaminandone il comportamento nel dominio dellafrequenza. Calcoliamo allora la trasformata di Fourier del segnale interpolato(5.4.9):

~\jMl ~ ~

daW~~ ~\X(J)= Lx[n] P(J)e-j2"'!fT= P(J) Lx[n] e-j2"'!fT= P(J) X(J)n=- n=-

f ~) Questa relazione mostra che la tra~formata di Fourier del segnale interpolato èdata dal prodottodellatrasformatacontinuadell'impulso_dimill1!enimentop(t)

(5.4.11)


con}a. trasformata della s_equenza x[n]. Essendo p(t) espresso dalla (5.4.10), lasua trasformata P(J) è -

P(J) =T sinc(jT) e-jtrfT (5.4.12)

Abbiamo inoltre dimostrato che la trasformata della sequenza x[n] è legata aquella del segnale a tempo continuo x(t) dalla relazione

1 ~

(k

)X(J)=- L X i--T k=~ T

Allora, sostituendo le (5.4.12)-(5.4.13) nella (5.4.11) troviamo:

(5.4.13)

X(J) =sinc(jT) e-jtrfT i:X(i - ! )k=~ T(5.4.14)

Per fare un esempio, supponiamo che la trasformata di Fourier del segnale x(t)di banda B sia espressa da

X(J) = ~ .Iilrect (L )2B B 2B(5.4.15)

mostrata in Figura 5.20, e che la frequenza di campionamento sia l/T =2.5B,ovvero soddisfi la condizione di Nyquist. Utilizzando la relazione (5.4.14) ap-pena ricavata si può rappresentare lo spettro di ampiezza IX(!) I di x(t). Talespettro è illustrato nella Figura 5.21, in cui sono riportati anche, a linea rispetti-vamente grigia e tratteggiata, l'andamento dei due fattori che compongonoIX(!) I, e cioè T IX(J) I e Isinc(jT) lo

Lo spettro del segnale ricostruito differisce apprezzabilmente da quello delsegnale analogico di partenza in due aspetti fondamentali:

i) il segnale interpolato non è limitato in banda: l'operazione di ricostruzionedel segnale introduce delle componenti frequenziali che non sono presenti nelsegnale analogico x(t). Esse derivano dalla presenza delle repliche dellospettro del segnale di partenza a cavallo dei multipli della frequenza dicampionamento. Questi residui delle repliche sono chiamati immagini;

ii) anche all'interno della banda "utile", o meglio all'interno dell'intervallo base'-[-1I2T,1I2T], !o spettro del segnale ricostruito differisce dallo spettro del

segnale.di part~ In assenza di aliasing, in tale intervallo i due spettri sonolegati dalla relazione (che si deduce immediatamente dalla (5.4.14»

248 Capitolo 5

. 1 1

X(J) = P(J)'Y'X(J) = X(J) sinc(jT) e-prjT , - 2T :::;f :::;2T

~ quindi}l segnale x(t) subisce una distorsione di ampiezza.

Frequenza normalizzata, 1/8

Figura 5.20 Trasformata di Fourier del segnale analogico x(t)

-0.25-2.0 0.5 1.0-1.5 -1.0 -0.5 0.0 1.5


Figura 5.21 Spettro di ampiezza del segnale interpolato a mantenimento

(5.4.16)

2.0

1.25

1.00

0.75--X 0.50ccC\I

0.25

0.00

-0.25-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

1.25

1.00

0.75-:t:-

<X 0.50CCC\I

0.25

Segnali a tempo discreto 249Il I

CM<>-4

,Si può ovviare alla questione i) usando un filtro anti-imma~ine all'uscita

dell'interpolatore (convertitore D/A) come indicato i~ Figura 5.22a. Esso è unfiltro passa-basso di banda B che elimina le immagini dallo spettro del segnaleinterpolato,riconducendo il segnale nella banda originaria (Figura 5.22b).

Filtro Anli-Immagine

y(t)

(a)

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0


1.5 2.0

(b)

~;VVtft~ ~/-

( ~VV1~~ ~~ (~~-'-~

fb.. H \- F" , 'ìt

J- (.A. ( , )T t T t

(c)

Figura 5.22 Filtro anti-immagine H(j) (a) e suo effetto in frequenza (b) e nel tempo (c)

Come indicato nella Figura 5.22c, l'effetto del filtro anti-immagine in ambito

temporale è quello di smussare il segnale costante a tratti, e qumal con ehsconti---- -- ---

1.25

1.00

0.75..-..--

0.50mC\I

0.25

0.00

-0.25-1.5-2.0

250 Capitolo 5

nuità, di Figura 5.19, per ricondurlo a un andamento più somigliante a quello delsegnale analogico originario.

Esempio 5.8Il segnale cinematografico di Figura 5.23, come abbiamo già discusso nel

Paragrafo 1.2, è una sequenza temporale di immagini, cioè un segnale bicJ?men-.sionale continuo per quel che riguarda le coordinate spaziali (XpX2) che id~ntifi-cano il pixel nell'immagine, ma discreto per quel che riguarda il tempo. Questosegnale a tempo discreto Z(xl'x2,n] viene ottenuto attraverso il campionamentodi un segnale a tempo continuo Z(XI,x2;t) che rappresenta la scena effettiva-mente osservata dalla cinepresa. Il campionatore di questo sistema è l'otturatoredella cinepresa che fissa sulla pellicola il "campione" del segnale (cioè il foto-gramma) al generico istante di scatto dell'otturatore stesso. La frequenza dicampionamento è fc = 24 Hz, cioè 24 fotogrammi al secondo. La sequenza diimmagini ottenuta (ossia il segnale a tempo discreto) viene poi registrata sullapellicola cinematografica, così come i campioni di un segnale audio vengonoregistrati su di un CD.

n

Figura 5.23 Segnale cinematografico a tempo discreto Z(x"x2;n]\NK~é:S$ ANIV !In fase di proiezione, si desidera ricostruire il segnale a tempo continuo origina-po. Per far questo si usa un interpolatore a mantenimento, cioè il proiettore ci-nematografico. Neuà"proie:z;iQne(in cui l'ingrandimento sullo schermo è ines-senziale perché crea una replica fedele delle immagini sulla pellicola), il valoredel segnale campionato (cioè l'immagine fissa di ogni fotogramma) viene man-


tenutoper 1/24 di secondo fino all'arrivo del_valore(fotogramma) successivo.Il proce>limentodi interpolazione con mantenimento è efficace, cioè non si ha

apparentemente percezione della "granularità" del movimento effettivamente ri-

costruito, perché l'occhio umano svolge la funzione di filtro anti-immagine. Il-dato,spessocitato,di "tempodi permanenzadelle immagmisulla retina:£~circa0.1 s portaa valutarela "banda"dell'occhioumanoin circa 10Hz, e quindi-l'effetto anti-immagine filtrante è adeguato vista la frequenza di campionamento

di 24 ~ Tuttavia, nelìe proiezioni cinematografiche si notano spesso artefatti,come l'effetto per cui le pale del rotore di un elicottero o i raggi delle ruote di uncarro sembrano ruotare molto lentamente o addirittura in verso contrario a quelloreale. È in grado il lettore di spiegare questi fenomeni? O

5.4.3 Interpolazione cardinale -Il teorema del campionamento

Le fonti di distorsione i) e ii) evidenziate nel paragrafo precedente per l'interpo-latore a mantenimento possono èssere attribuite alla particolare scelta dell'im-pulso p(t) utilizzato nella formula di interpolazione (5.4.9). Le discontinuitàdiquesto impulso mducono mtattI mfiniti punti di discontinuità nel segnale inter-polato x(t) e causano l'allargamento illimitato della banda di x(t) stesso.Analogamente, la distorsione di ampiezza, evidenziata dalla (5.4.16), è da attri-

buire al fatto che nell'intervallo [-l/2T,l/2T] la trasformata P( f) dell'im.pulsointerpolante non assume un valore costante.......

Queste osservazioni suggeriscono la possibilità di generalizzare l'operazionedi interpolazione descritta dalla (5.4.9), scegliendo un diverso tipo di impulso in-terpolante p(t) (Figura 5.24). Ovviamente, a scelte diverse di p(t) corrispon-

~donoformule di interpolazione divers~, e diversi andamenti temporali e fre-quenziali del segnale interpolato x(t).

x[n] Interpolatorep(t)

x(t).Figura 5.24 Interpolatore generalizzato

La possibilità, apparentemente banale, di generalizzare l'operazione diinterpolazione assume grande importanza alla luce delle seguenti osservazioni:innanzi tutto la formula (5.4.11)

252 Capitolo 5

- -XU) = Lx[n] PU) e-j2nn/T= PU) Lx[n] e-j2nn/f= PU) XU)

n=- n=- /'(5.4.17)

è valida qualunque sia la particolare forma di p(t). Se si sceglie l'impulsointerpolante in modo che la sua trasformata sia costante nell'intervalw[-1I2T,1I21l e nulla al di fuori, cioè

\ PU) = T rect(jT) J~

(5.4.18)

allora si ottiene immediatamente

\' l -(

k

)I) XU) =pU) XU) =T rect(jT). - L X f - - =XU)T k=- T

valida ovviamente in assenza di aliasirJ:g,cioè nelle ipotesi che i) x(t) abbiabanda limitata B, e ii) sia stata rispettata la condizione di Nyquist fc ~ 2B,come mostrato nella Figura 5.25.

Questo risultato è di fondamentale importanza, ed è universalmente noto conil nome di teorema del campionamento (sampling theorem):

(5.4.19)

J( Teorema del campionamento (C. Shannon): Un segnale il cui spettro è limitatonella banda B può essere ricostruito esattamente a partire dai propri campioni,purché lafrequenza di campionamentOnon sia inferiore ~L~B.

. - - - --- --

In particolare, poiché k '".' ~..-- '4--1~

Trect(jT) = P(f) ç:>~ \sinc(!.. )~\ T~

la formula di interpolazione risultante dalla scelta di p(t) è

, f -'o

(5.4.20)

(5.4.21)

che è nota come formula di interpolazione cardinale. Il nome sinc(-) assegnato asuo tempo alla funzione sin(na) / na significa infatti "seno cardinale" conriferimento all'interpolazione cardinale stessa.

La Figura 5.26 illustra un esempio di interpolazione cardinale. Il segnaleanalogico viene ricostruito dalla somma di una infinita serie di funzioni sinc(.),ciascuna applicata agli istanti nT di campionamento del segnale originario, eciascuna pesata con il valore del relativo campione x[n]. Se ricampionzàmo il

segnale interpolato al generico istante tk =kT, per le proprietà della funzionesinc(-), solo il k-esimo fra tutti gli impulsi della sonunatoria (5.4.21) produce uncontributo non llullo, e pari proprio al valore x[k] =x(kT) del campione delsegnale di partenza (vedi la Figura 5.26).

1.25

1.00P(f)

0.75

C'<X 0.50

0.25

0.00

-0.25-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0


Figura 5.25 Dimostrazione grafica del teorema del campionamento

-0.25-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0


Figura 5.26 Esempio di interpolazione cardinale

1.25I I I

I' I

1.00n=O n=1

0.75

-- 0.50<-X

0.25

0.00

254 Capitolo 5

Si ha infatti:

+00 +00

x(kT) = Lx[n] sinc(k - n) = Lx[n] 8[k - n] =x[k] =x(kT) \S.4.22)

Questo risultato conferma che il segnale interpolato coincide con il segnale di

partenza negli istanti di campionamento. Se si considera un qualunq~ltroistante non coincidente con uno di quelli di campionamento, si nota che il valoredel segnale interpolato è ottenuto nella (S.4.21) combinando linearmente tutti gliinfiniti campioni x[n] del segnale x(t). In altre parole, la ricostruzione di un se-gnale a banda limitata a un certo istante richiede la conoscenza di tutta la se-quenza di campioni del segnale stesso, in istanti sia antecedenti quello conside-TatO,SIasuccesslVl.Pertanto la formula di interpolazione cardinale, di grande ri-levanza teorica, è inutilizzabile nella sua forma esatta nelle applicazioni praticheper due motivi: in primo luogo, sono in teoria richiesti infiniti termini di una

" =- -sommatoria per ricostruire il segnale originario; secondariamente, una ricostru-zione in tempo reale è impossibile perché si richiederebbe la conoscenza di va- -lori di segnale in istanti successivi a quello di interpolazione (interpolatore non. --=-

causale).

::iO 5.9~ b--<> Q,',~", ')Riscriviamo l'espressione del segnale di uscita di un interpolatore:

+00

x(t)= Lx[n]p(t-nT) (ES.9.1)

e supponiamo che l'impulso p(t) sia (Figura S.27)

(ES.9.2)

Questo impulso triangolare è caratteristico della formula di interpolazione line-.àre. Consideriamo infatti la Figura S.28a nella quale sono rappresematrt'a1Jda..mento di un segnale generico x(t), la sequenza dei suoi campioni, le replichedell'impulso interpolante p(t) associate ai diversi campioni e infine il segnaleinterpolato x(t). Il segnale interpolato x(t) è costituito da una spezzata checollega i punti corrispondenti a campioni consecutivi del segnalex(t): X(t)rappresenta la cosiddetta interpolazione lineare della sequenza di carn"'pionL ---


p(t)

!

-T - T

Figura 5.27 Impulso utilizzato nella formula di interpolazione lineare

x[-2] x[-1]

x(t)

-2T -T T 2T

(a)

x[k-1]

(k-1)T kT(b)

Figura 5.28 InterpoIazione lineare dei campioni di un segnale x(t)

Per giustificare analiticamente la Figura 5.28a, osserviamo con l'aiuto dellaFigura 5.2Rbche nel generico intervallo [(k -1)T,kT) compreso fra i due cam-pioni consecutivi x[k-l] e x[k] solo due addendi della sommatoria (E5.9.1)danno un contributo non nullo, cioè quelli con n =k -l e n = k. In questointer-vallo il segnale interpolato vale allora

x(t) =x[k -1] p(t - (k -1)T)+ x[k] p(t - kT)

256 Capito~o5

(E5.9.3)

la quale rappresenta l'equazione del segmento di retta che collega i punti corri-

spondenti ai campioni x[k -1] e x[k].La trasformata di Fourier del segnale x(t) è data ancora dalla (5.4.11):

(X(J) = P(J) X(J) (E5.9.4)

ove stavolta I

t P(J)=~ sinc2(jT0 (E5.9.5)Lo spettro del segnale interpolato ha un andamento qualitativamente nondissimile da quello relativo all'interpolatore con mantenimento di Figura 5.21.Se riconsideriamo il segnale x(t) il cui spettro è rappresentato in Figura 5.29a,vediamo che lo spettro di ampiezza del segnale interpolato linearmente è quellodi Figura 5.29b.

Un confronto tra la Figura 5.29b e la Figura 5.21 rivela che il segnale interpo-lato linearmente ha uno spettro di ampiezza con immagini più attenuate rispettoal caso dell'interpolatorecon mantenimento.Lo spettro P(J) dell'impulso in=--terpolatOredecresce infatti più rapidamente al crescere della frequenza nel casodi interpolazione lineare che nel caso del mantenimento. Se confrontiamo ilsegnale generato da un interpolatore a mantenimento con quello generato da uninterpolatore lineare, possiamo immediatamente osservare che il primo presentadelle discontinuità di prima specie (in corrispondenza della transizione daciascun impulso interpolatore al successivo), mentre il secondo è un segnalecontinuo. Pertanto è da aspettarsi che il segnale con mantenimento abbia unmaggior contenuto di componenti alle alte frequenze rispetto a quello prodottoda un interpolatore lineare.

Nella Figura 5.29b si nota anche.che la distorsione in banda per il segnale diFigura 5.29a è abbastanza marcata. Questo deriva dalla particolare forma dellospettro del segnale di partenza, in cui sono molto ampie le componenti vicine allimite di banda B. Se lo spettro di partenza è invece più decisamente passa-basso(ossia con componenti via via digradanti con l'aumentare della frequenza), comequello di Figura 5.30a, la trasformata del segnale interpolato linearmente è comein Figura 5.30b, e la distorsione in banda è piuttosto ridotta.

III

I

Figura 5.29 Spettro di ampiezza del segnale di partenza (a) e interpolato linearmente (b)D

5.5 Analisi di Fourier delle sequenze periodiche

5.5.1 Trasformata discreta di Fonrier

Una sequenza x[n] è periodica se esiste un intero positivo No (il periodo dellasequenza) per il quale è verificata la seguente relazione:

1.25

1.00

0.75

..-.--X 0.50CCC\I

0.25 L /

0.00

-0.25-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Frequenza normalizzata, f/B (a)

1,25

1.00

0.75

..-.-< 0.50

caC\I

0.25

0.00I

fc=2.58

-0.251 I I I-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

258 Capitolo 5

x[n] = x[n + No] (5.5.1)

per ogni valore della variabile n. Una sequenza x[n] periodica di periodo No èindividuata quindi da No numeri reali (o complessi) che rappresentano i valoriassunti da x[n] in un periodo, ad esempio nell'intervallo n = 0,1, ..., No-L

1.25

1.00

0.75

-<~ 0.50

0.25

0.00

-0.25-2.0

1.5 2.0

Frequenza normalizzata, fT (a)

/

B=V2T

-1.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0-1.0 -0.5


Figura 5.30 Spettro di ampiezza del segnale originario (a) e interpolato linearmente (b)

1.25

1.00

0.75

t::- 0.50-X

0.25

0.00

-0.25-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0


È interessante osservare che il campionamento di un segnale periodico a tempocontinuo non genera necessaIÌamente una sequenza penodica. Affinché si abbiauna sequenza periodica è necessario che un numero intero No di intervalli dicampionamento sia esattamente pari a un qualche numero intero m di penodi dI >

ripetizione del segnale originario: NnT =mTo.Ciò significa che il rapporto TiTo-deve essere razionale. In pratica, gli impulsi di campionamento del convertitoreAID devono essere sincronizzati con il segnale periodico analogico: essi non

possono avere una cadenza arbitraria senza un legame preciso con la cadenza di

ripetizione fond~entale del segnale dato. Se il rapporto TiTo non è un numerorazionale (cioè T ~TosoDD-incommensurabili),l'operazione di campionamentonon dà origine a una sequenza x[n] periodica (Figura 5.31).

Figura 5.31 Sequenza non periodica generata dal campionamento di un segnale periodico atempo continuo

Supponiamo ora che x[n] sia una sequenza periodica di periodo No' Essa puòessere rappresentata mediante uno sviluppo del tutto analogo alla serie di Fourier

per i segnali periodici a tempo continuo, chiamato serie discreta o antitrasfor-mata discreta di Fourier:

(5.5.2)

La sequenza Xk dei coefficienti discreti di Fourier è comunemente chiamatatrasformata discreta di Fourier della sequenza periodica data ed è pari a

(5.5.3)

Notiamo le analogie tra le (5.5.2-5.5.3) e le corrispondenti relazioni di sintesi eanalisi per i segnali periodici a tempo continuo:

x[3].

x(t) Ix[2]...

I X[1])( I I/, ,I , I ...

IIIL

T 2TTo

260 Capitolo 5

No-l 21ikn

x[n]= I.Kk ejN;k=O

- 1 No-l .21iknXk =- Ix[n]e-JN;

No n=O

~ 2trkt

x(t)= IXk ejr;k=-oo

(5.5.4)

Per i segnali periodici a tempo continuo la rappresentazione mediante serie diFourier comporta una somma infinita di termini; nel caso di sequenze periodi-che, invece, la rappresentazione mediante antitrasformata discreta consiste inuna somma con un numero finito di addendi. Infatti la trasformata di una se-quenza x[n] periodica di periodo No è essa stessa periodica con il medesimoperiodo:

"

(5.5.5)

La sequenza periodica è espressa, come nel caso del segnale periodico a tempocontinuo, da una somma di oscillazioni sinusoidali a frequenze armoniche, cioèmultiple di una frequenza fondamentale. Riscriviamo infatti l'equazione disintesi come segue:

.II

No-I

x[n] = I.Kk ej2tr N:rnTk=O

(5.5.6)

Si nota che i vari esponenziaIi complessi nella scomposizione oscillano alle fre-quenze h =k /(NoT), k =O,...,No-1, che a buon diritto possono chiamarsi learmoniche relative al periodo di ripetizione No, ovvero alla frequenza fonda-mentale 1/(NoT). Una piccola diversità tra le equazioni di analisi a tempo conti-nuo e discreto nella (5.5.4) sta nel fatto che l'integrale per ricavare il coefficiente

di Fourier si calcola sull'intervallo simmetrico (-To /2,1;J2), mentre la trasfor-mata discreta viene calcolata su di un intervallo asimmetrico [O,No -1]. Laspiegazione è semplice: quando No è un numero dispari, è semplice calcolare latrasformata discreta anche sull'intervallo simmetrico [-(No -1)/2, (No -1)/2],ma se No è un numero pari, non è possibile trovare un intervallo simmetrico diampiezza pari al periodo No' Si preferisce quindi unificare i due casi usandol'intervallo asimmetrico destro [O,No -1].

Dimostriamo adesso che dalla relazione (5.5.2) di sintesi (antitrasformata


discreta) discende la (5.5.3) di analisi (trasformata discreta). Moltiplichiamoambo i membri della (5.5.2) per il fattore e-j2trnm/No(O~ m ~ No -1) edeffettuiamo l'operazione di somma sul periodo:

(5.5.7)

Sviluppando il secondo membro della (5.5.7) si ~cava

(5.5.8)

La seconda sommatoria a secondo membro della (5.5.8) diviene

, k:t=m (5.5.9)

mentre,per k = m, si ha

(5.5.10)

Pertanto dalla (5.5.8) si trova che

(5.5.11)

Sostituendola (5.5.11) nella (5.5.7) si ricava infine

(5.5.12)

da cui segue immediatamente l'equazione di analisi (5.5.3).Le proprietà della trasformata discreta sono molto simili a quelle già discusse

nel Paragrafo 3.2 a proposito della trasformata dei segnali analogici, e nonverrannoulteriormente ribadite.

La maggior parte dei teoremi riguardanti la trasformata discreta possonoinoltre eSSerefacilmente adattati o ricavati sulla base dei teoremi descritti nel

Paragrafo 5.3. Ci limitiamo a esaminare in dettaglio il caso dei teoremi delprodotto e della convoluzione per le sequenze periodiche.

262 Capitolo 5 ~-") r-

V rif\ ".. A ,. , "'f

Esempio 5.10 1<":'oCalcoliamo la trasformata discreta della sequenza

-\--- '"-t'~'11

(E5.10.!) '- ?"'. ~

che è evidentemente periodica di periodo No=8. Dalle formule di Eulero, ~ ~ .'"

<::

I .~ r

~ t> X

x[n] = (ejl!ì!/4+ e-jl!ì!/4) b ~ej21!ì!/8 -I;~e-j21!ì!/8

= !ej21D1/8 + !ej[21!ì!-21!ì!/8]= !;;1!ì!/8 + !eJ721!ì!/82 2 2 2

/

(E5.10.2)

per cui, senza bisogno di effettuare materialmente la trasformata, si può conclu-dere direttamente che

- 1 - 1XI =-, X7 = -2 2

e

Xk =O , k = 0,2,3,4,5,6 (E5.1O.3b)

Questo risultato ricorda quello ricavato nell'Esempio 2.1 per il calcolo deicoefficienti di Fourier del segnale x(t) =cos(2~t). Il segnale x[n] èun'oscillazione cosinusoidale (discreta) con frequenza io = 1/(8T), e quindi leuniche armoniche diverse da Osono quelle con frequenza I fo' cioè con indice

di armonica pari a Il, in quanto fo coincide con la frequenza fondamentalel/(NoT). La (E5.1O.3a)non è in contrasto con quest'osservazione, visto che

- - 1

X-I =X7 =2"

per la proprietà di periodicità della trasformata discreta.

(E5.lOA)

o

Esempio 5.11

Calcoliamo la trasformata discreta della sequenza x[n] periodica di periodo

No = 8, definita sul periodo-base come segue:

(E5.11.1)


Questa sequenza è in pratica un treno di impulsi rettangolari a tempo discreto,

come è chiaro dalla rappresentazione in Figura 5.32a.

n(a)

1/2

...

(b)

Figura 5.32 Segnale periodico dell'Esempio 5.11 (a) e suo spettro di ampiezza Ix, I (b)

La trasformata discreta è

(E5.11.2)

Si può applicare la formula della somma di una progressione geometrica quandok *-O, mentre quando k = O si ha banalmente l'o =418 =11~. Riassumendo

questeosservazioni si ha:

k=O

k*-O

- S~7te ---

,o;c'j.

.A

cf'(E5.11.3)

Si trova poi che X2=X4 =X6 =O,che IXII=IX?I =1I[8sin(n 18)] ==0.327, e che

inoltre IX31=IXsl=1I[8sin(3n/8)]==0.135. Lo spettro di ampiezza del segnaledato (cioè il grafico di IXkl)è dunque quello di Figura 5.32b. O

x[n]

1

... ...

3 8

264 Capitolo 5


Consideriamo adesso la sequenza (periodica) p[n] data dal prodotto fra lasequenza x[n] e la sequenza y[n] entrambe periodiche di periodo No

p[n] = x[n] y[n]

e ca1coliamone la trasformata discreta di Fourier:

(5.5.14)

ove x[n] è stata scomposta in serie discreta di Fourier. In questo pass,ggio, èstata usata una variabile "muta" m nell' operazione di antitrasformazio~ per noncreare ambiguità con la variabile k da cui dipende la trasformata li. Invertendol'ordine delle sommatorie si ricava

..

(5.5.15)

ove naturalmente la convoluzione tra le trasformate discrete è una somma di

convo1uzione ciclica tra le due sequenze periodiche Xk e ~ in ambitofrequenziale. In conclusione:

(5.5.16)

5.5.3 Teorema della convoluzione

Consideriamo ora la sequenza z[n] come somma di convoluzione ciclica tra ledue sequenze x[n] e y[n], entrambe periodiche di periodo No:

1 No-I 1 No-lz[ n] = x[ n] Q9y[ n] = - L x[ m] y[ n - m] = - L y[ m] x[ n - m]

No m=O No m=O(5.5.17)

Questa somma di convoluzione gode ovviamente delle stesse proprietàcommutativa, associativa e distributiva già citate per la somma di convoluzionetra sequenze aperiodiche.

Calcoliamo poi la trasformata discreta di z[n]:

- l No-I. "k l No-l l No-I . "kZk= - Lz[n] e-l21rNo= - L - Lx[m] y[n- m]e-l21rNo

No ,,=0 ~ No n=O No 111=0

l No-I l No-l " "k

=- L x[m]- L y[n-m]e-l21rNoNo 111=0" No ,,=0

l No-I~ -"2 I1Ik - -

=- "",,-x[m]~ e-l 1rNo=Xk.~JNo 111=0 -

In conclusione,possiamo enunciare il teorema della convoluzione (ciclica) nellaforma

(5.5.18)

~] Q9y[n] <=> X~ \ /(5.5.19)

Esempio 5.12Calcoliamola somma di convoluzione z[n] tra le due sequenze

x[ n] = u[n] - u[n - 4] , y[ n ] = (~ J u[n ](E5.12.1)

La prima delle due è un impulso rettangolare di durata 4, mentre la seconda èuna sequenza esponenziale unilatera. La convoluzione che cerchiamo è data da

+00

z[n]= x[n] Q9y[n] = Lx[n - m]y[ m] (E5.12.2)111=-

che svolgeremo graficamente. La Figura 5.33a, che rappresenta i segnali x[-m]e y[m] coinvolti nel calcolo, suggerisce che il risultato della convoluzione è dif-ferente a seconda che n < O, n;;:::3, o O~ n ~ 2 (ricordiamo che n è la traslazione

che si deve dare al segnale x[-m] nel calcolo della somma (E5.12.2». Nelprimocaso, non c'è "sovrapposizione" tra i due segnali, il loro prodotto è nullo ela convoluzione è pure nulla. Nel secondo caso, quattro campioni del segnaley[m] contribuiscono al risultato, che è pari a

"

(1

)"-3

(1

)"-2

(1

)"-1

(I

)" 15

(1

)"-3

z[n]= Ly[m] = - + - + - + - = - -111=,,-3 2 2 2. 2 8 2

(E5.12.3)

Nel terzo caso, invece, i campioni che contribuiscono al risultato sono quelli con

O::;m ::;n, e quindiil risultatoè

266 Capitolo 5

y[m]

z[n]

3

I

m

!

--~n

(a)

Figura 5.33 Calcolo (a) e risultato (b) della convoluzione tra le sequenze dell'Esempio 5.12

(b)

n

(1

)0

(l

)n

(l

)n

z[n] = Ly[m] = - +...+ - =2--111=0 2 2 2

Riassumendo:

o n<O

come rappresentato nella Figura 5.33b.

(E5.12.4)

(E5.12.5)

D


5.5.4 Periodicizzazione di una sequenza aperiodica~Nel Paragrafo 3.5 abbiamo studIato la periodicizzazione di periodo To di un

segnale aperiritlicoa tempo continuo x(t) per ottenere un segnale y(t) periodico

-y(t)= Lx(t-m~) (5.5.20)

e abbiamo ricavato la relazione di campionamento in frequenza fra i coefficienti

~ dello sviluppo in serie di Fourier di y(t) e la trasformata continua di FourierX(J) di x(t):

~ =~X(~

)To To(5.5.21)

Vogliamo ora ricavare la relazione analoga per i segnali a tempo discreto.Costruiamo dunque la sequenza y[n] periodica di periodo No a partire dallasequenza aperiodica x[n]:

-y[n]= Lx(n-mNo] (5.5.22)

m=-

La trasformata discreta (cioè il k-esimo coefficiente della serie discreta diFourier) di y[n] è

(5.5.23)

Sostituendo l'espressione della sequenza periodicizzata si ottiene

(5.5.24)

Se nella relazione precedente si effettua il cambiamento di variabile p =n - mNosi ha

(5.5.25)

La sequenza "sommanda" a secondo membro nella (5.5.25) non dipende dal-l'indice della serie m. Tale indice agisce infatti solo sugli estremi di somma della

268 Capitolo 5

/sommatoria interna. Ci si rende allora conto facilmente, con l' ausilio della

Figura 5.34, che, al variare di m tra -00 e +00, gli intervalli di somma[-mNo,-(m -l)No -l] della stessa sequenza sommanda ricoprono tutti i numeriinteri relativi senza sovrapposizioni. Se ne conclude che la doppia sommatoriadella (5.5.25) può essere riscritta come un 'unica sommatoria, cioè

(5.5.26)

-NoI I

:--1 I

-1 m=Of--I-f No

I2No-1

I I I I

m=-1 ~ pm=1 o

Figura 5.34 Spiegazione grafica della formula (5.5.26)

Infine, richiamando la definizione di trasformata di una sequenza aperiodica

+00

X(j) = I,x[n] e-j21!>1jT (5.5.27)

si vede che la (5.5.26) può essere riscritta come

- 1 -( )1

1 -

(

k

)~ =-X f - k =-X -

No f- NoT No NoT(5.5.28)

che rappresenta la relazione cercata di "campionamento in frequenza".

Esempio 5.13

Ricaviamo la trasformata discreta di Fourier del treno di impulsi rettangolaridiscreto y[n] rappresentato in Figura 5.35.

Il segnale periodico y[n] si può ottenere dalla periodicizzazione con periodoNo dell'impulso rettangolare aperiodico x[n] dell'Esempio 5.2, per il quale si ha

X(f) = e-j1C(N-I)jTsin(N7ifT)sin(7ifT)

(E5.13.1)

Considerando ora la relazione (5.5.28) di campionamento in frequenza, si ricavaimmediatamente la trasformata discreta di y[n]:


\

N-1 n

Figura 5.35 Treno di impulsi rettangolari a tempo discreto

/

y;- 1 -

(k

)-jrrk(N-I)/N sin(nkN / No)

k =-X - =e oNo NoT Nosin(nk/ No)

(E5.13.2)

Se No=8 e N =4 si riottiene evidentemente il risultato tlell'Esempio 5.11. o

5.6 Cenno agli algoritmi veloci di trasformata discreta (FFT)

5.6.1 Complessità di calcolo della trasformata discretaSupponiamodi avere disponibile nella memoria di un calcolatore gli No valori-base di una sequenza periodica x[n] e di volerne calcolare numericamente latrasformatadiscreta

Cerchiamoallora di valutare l'impegno di calcolo in termini di numero di ope- "razioni che il calcolatore deve eseguire per ricavare gli No valori della trasfor-mata. Notiamo in via preliminare che le considerazioni che faremo a propositodel calcolodi una trasformata sono validi anche per una antitrasformata, purchési faccial'ipotesi che i valori x[O]...x[No -1] della sequenzasiano complessiesi ignori il fattore di scala l/No' Se infatti riscriviamo l' antitrasformata discretadi Fouriernella forma della (5.6.la) troviamo:

y[n]

1

... n. n. ...

r

270 Capitolo5

(5.6.lb)

Si devono cioè effettuare sostanzialmente le stesse ope~oni sulle varie quan-

tità W;: ~ ej21l11kINo, salvo un inessenziale cambiamento di segno dell' esponente.In questo modo, potremo unificare la valutazione della complessità dell'algo-ritmo di trasformata diretta e di quello di antitrasformata. Supponendo che ifattori esponenziali complessi che figurano nelle (5.6.la-b) siano precalcolati,cioè già disponibili in memoria, la determinazione del coefficiente Xk (ovverodel campione x[n]) richiede No moltiplicazioni complesse ed No -I addizionicomplesse. Tenendo conto che un'addizione complessa richiede in realtà 2 ad-

dizioni reali, e una moltiplicazione complessa richiede 4 moltip~azioni reali e 2addizioni, sono necessarie complessivamente 8No - 2 operazioni (reali) per ogni

valore di k. Poiché k assume tutti i valori compresi tra O e No -I, il numerocomplessivo di operazioni da compiere per calcolare la trasformata discreta di

Fourier (TDF) di una sequenza periodica di periodo No è pari a

(5.6.2)

ove l'ultima approssimazione è stata fatta supponendo .che il parametro Noassuma un valore grande). Possiamo notare che la complessità di calcolo (o

computazionale) della trasformata discreta è di tipo quadratico nell'ordine No ditrasformazione. Se immaginiamo di disporre di un elaboratore che svolge leoperazioni con una cadenza tlock pari a 100MHz (cioè 100 milioni di operazionial secondo), e prendiamo per No il valore tipico No =210 = 1024, il temponecessario per effettuare il calcolo suddetto è pari a

(5.6.3)

Supponiamo adesso che la sequenza x[n] venga generata campionando unsegnale analogico x(t) a frequenza t, e che si vogliano calcolare trasformatediscrete ripetute su spezzoni temporali adiacenti (le cosiddette finestre) di Nocampioni consecutivi della sequenza. Se in un tempo pari a 80 ms riusciamo aelaborare 1024 campioni, allora per poter .operare in tempo reale si deveutilizzare una frequenza di campionamento t tale che

1 In questa ipotesi, è possibile anche trascurare le eventuali 2No moltiplicazioni finali per il

fattore di scala l/No nell'algoritmo di trasformazione diretta.


l' ~ No 1024 =12.8 kHz (5.6.4)Jc T. 80.10-3No

altrimentinuovi campioni di un~nuova finestra di segnale vengono presi primache il precedente calcolo della trasformata sia terminato. Questo risultatorappresenta un vincolo sulla banda B del segnale x(t) da elaborare poiché lacondizionedi Nyquist richiede che valga B ~ fc /2.

Un deciso miglioramento della velocità di elaborazione può essere conseguitoutilizzandoun algoritmo2 veloce di calcolo della trasformata discreta che, sfrut-

tandoparticolari simmetrie insite nei fattori W;: della trasformata stessa, riducela complessità computaziona{e del medesimo. Tale algoritmo, noto come FastFourier Transform (FFT)3, alparità di frequenza di c10ck dell'elaboratore, per-mette l'utilizzo di frequenze di campionamento notevolmente maggiori rispettoa quella indicata dalla relazione (5.6.4). Cerchiamo quindi di dare un'idea delprincipiodi funzionamento della FFT e di valutarne il grado di complessità.

Il più semplice algoritmo di FFT si applica quando l'ordine No dellatrasformataè una potenza di 2, cioè No = 2M.Riscriviamo in tal caso la (5.6.1)ignorandoil fattore di scala l/No e suddividendo gli addendi in due gruppi:

- No/2-1 .21f(2m)k No/2-1 .21f(2m+l)k

Xk = L x[2m] e-J~ + L x[2m + 1] e-J Nom=O m=O

Pf ~kNo/2-1 .21rkm' .21rk No/2-1 .21rkm'

= L x[2m]e-JNo/2+e-JN;;"' L x[2m+1]e-JNo/2,k=0,...,No-1m=O m=O

(5.6.5)

La prima sommatoria rappresenta la trasformata discreta di una sequenza costi-

tuita dagli No/2 campioni di indice pari di x[n], mentre la seconda sommatoriaè la trasformata discreta degli No/2 campioni di indice dispari. Possiamo direche questa scomposizione è "ricorsiva nell'ordine", nel senso che la trasformatadi ordine No è espressa come combinazione lineare di due trasformate di ordineNo/2.

2 Un algoritmo è una successione di passi od operazioni di elaborazione univocamente definite

che, a partire da una serie di dati d'ingresso, nel nostro caso i valori della sequenza x[n],

fornisce i dati di uscita, qui i valori della trasformata discreta Xk'

3 L'acronimo FFf indica in realtà una classe di algoritrni efficienti per il calcolo della

trasformata discreta di una sequenza periodica. Di seguito viene descritto solo uno di questi

algoritmiche è noto come algoritmo a decimazione nel tempo.

272 Capitolo 5

Il numero di operazioni NFFr(No)necessario a calcolare la trasformata di

ordine No secondo questo nuovo criterio può allora essere espreSSo-in manieraugualmente ricorsiva sulla base di questa scomposizione:

NFFf(No) = NFFf(~o ) + NFFT(~o ) + 6No + 2No

= 2 [NFFf (~o )+ 4No](5.6.6)

avendo tenuto conto del fatto che, per ogni valore di k, è necessario moltiplicare

Dk per un esponenziale co~plesso (precalcolato, 6 operazioni r\ali) e quindieffettuare la somma con lt (2 operazioni reali). Questo procedimento discomposizionepuò essere poi ripetuto in modo ricorsivo. Infatti 1{ e Dk

possono a loro volta essere scomposti suddividendo le sequenze rispettivamentex[2m] e x[2m + 1] in due sottosequenze ciascuna di lunghezza No/4. Il calcolodi una trasformata di ordine No/2 comporta allora una complessità (bastasostituire No/2 a No nella (5.6.6»

N (No)=2[N (No)+ 4No

]FFf 2 FFT 4 2(5.6.7)

Sostituendo quest'ultima nella relazione di partenza (5.6.6) si ha

(5.6.8)

e, continuando a iterare dividendo per 2 progressivamente l'ordine di trasforma-zione, si ottiene:

N FFf( No) = 8 N FFf(~o) + 3 . 8No

NFFf(No) = 16 NFFT( ~~) + 4. 8No (5.6.9)

NFFf(No) =No' NFFf( ~:)+ 10g2No .8No

Nell'ultima iterazione compare la quantità NFFT(1)che comporta banalmenteuna sola moltiplicazione (Xo =x[O] .ejo), per cui si ricava:


(5.6.10)

Questa relazione estremamente importante indica una complessità per l'algo-ritmo di FFT notevolmente inferiore alla complessità (quadratica) dell'algoritmodi trasformata discreta secondo la definizione. Il rapporto tra il numero di ope-razioni necessarie nei due casi è pari a

NTDF(No)- 8Noz

NFFf(No) 8NologzNo= No

logz No

L,'). (5.6.11)

Con riferimento all'esempio precedente, se si usa il medesimo elaboratore percalcolare una FFT di ordine 1024, si otterrà un tempo di calcolo inferiore a

quello prima calcolato del fattore

(5.6.12)

e di conseguenza la frequenza di campionamento massima per operare in temporeale sarà

Nfc FFf = o h. == 100fc= 1.28MHz

. logzNo

che è molto maggiore di quella indicata nella (5.6.4). Dalla (5.6.11) è anchechiaro che il vantaggio che si consegue utilizzando l'algoritmo di calcolo FFTinvece della trasformata secondo la definizione aumenta al crescere di No.Come già detto, gli stessi algoritmi utilizzati per il calcolo veloce della trasfor-mata discreta possono essere anche utilizzati per il calcolo della antitrasformata,poiché le relazioni di trasformazione e di antitrasformazione (5.5.2-5.5.3) sonoformalmente identiche, a parte l'inessenziale costante moltiplicativa l/No' el'altrettanto ininfluente segno dell' argomento degli esponenziali.

L'algoritmodi FFT fu pubblicatonel 1965da Coolevp.Tnkey; a questa datasi fa risalire la nascita della moderna elaborazione numerica dei segnali.,/'

Attraverso la FFT, infatti, possono essere effettuate in maniera efficiente alcuneoperazioni fondamentali di analisi ed elaborazione dei segnali (analisi spettrale efiltraggio, come mostreremo brevemente nel seguito). Tali operazioni nonfurono realizzabili in pratica fino al momento dell' introduzione dell' algoritmoveloce, vista la ridotta velocità dei componenti elettronici e quindi dei calcolatoridell'epoca. Questo giustifica l'importanza centrale attribuita alla FFT nellosviluppo delle tecniche di elaborazione numerica.

(5.6.13)

274 Capitolo 5

~5.6.2 Applicazioni dell'algoritmo di FFT: analisi spettrale

Una delle esigenze più frequenti nell'elaborazione dei segnali è quella dicalcolare lo spettro di una sequenza data. Ovviamente, non si ha a disposizioneun' espressione analitica dei valori della sequenza x[n], ma solo i valorimedesimi (ad esempio acquisiti mediante un convertitore A/D) in un intervallofinito, diciamo O:::;n :::;N -l. Ciò che si desidererebbe calcolare è la trasformata

di Fourier della sequenza aperiodica

+00

X(J) = Lx[n] e-j21C11/f (5.6.14)n=-00

Ovviamente, questa trasformata non potrà essere calcolata per gli infiniti valori

della variabile f in un periodo, cioè, ad esempio, nell'intervallo [~]. Ci siaccontenterà di ottenere il valore della trasformata per un numero finito di punti

normalmente equispaziati nell'intervallo [O, l/T].Quest' operazione può essere svolta in maniera efficiente tenendo conto della

relazione di campionamento in frequenza (5.5.28) conseguente ad una periodi-ClzzaZlOne:

- 1 -

(

k

)Y. --X -

k - No NoT, k =O, 1,.. o,N -l (5.6.15)

e osservando che abbiamo a disposizione un algoritmo veloce per il calcolo delletrasformate discrete. Immaginiamo dunque di periodicizzare la sequenza data

con periodo No=N:

+00

y[n]= Lx[n-mN] (5.6.16)m=-

Poiché y[n] è una sequenza periodica, possiamo calcolarne la trasformatadiscreta di Fourier ~, k = 0,1, o.., N -1 mediante un algoritmo veloce.

Sfruttando la (5.6.15) possiamo poi ricavare i seguenti valori di X(J):

-

(k

)-

X NT =N ~ , k = O,l, ..., N-l(5.6.17)

Siamo cioè riusciti a calcolare la funzione X(J) in N punti, e precisamente per

le N frequenze equispaziate nell'intervallo [O, l/T]:

k

h,= NT, k = O,1,..., N-l (5.6.18)


Esempio 5.14

Consideriamo la sequenza aperiodica x[n] di Figura 5.36: essa ha durata finita e

pari a N =3. Consideriamo poi il segnale periodico y[n] ottenuto periodiciz-zando con periodo 3 la sequenza x[n] in accordo alla relazione (5.6.16), e rap-presentiamo la sequenza y[n] così ottenuta (Figura 5.37).

x[n]

0.5

-1 1 2 3 n

Figura 5.36 Sequenza aperiodica x[n] a durata finita

y[n]

0.5

-1 1 2 3 n

Figura 5.37 Sequenza periodica ottenuta dalla ripetizione di x[n] per No =N =3

La trasformata di Fourier X(j) della sequenza originaria è

X(j) = x[O]+ x[l] e-j21!fT+ x[2] e-j21r2jT= e-j21!fT[1+ cos(27ifT)] (E5.14.1)

corrispondente allo spettro di ampiezza di Figura 5.38. Utilizzando il metodo \appena descritto, si usa una trasformata discreta di ordine 3 e si ricavano i 3

"campioni" della funzione X(j) per le frequenze h = O,1/3T,2/3T rappresen-tati ancora in Figura 5.38. O

Spesso, la scelta No = N porta a una conoscenza insufficiente della funzione

X(j), nel senso che gli N campioni della trasformata discreta sono troppopochi per ottenere una stima sufficientemente accurata dell' andamento della

276 Capitolo 5

X(J) stessa, come nel caso della Figura 5.38. Per evital;equesto inconveniente èpossibile usare per il parametro No un valore maggiore della durata dellasequenza N. Il segnale y[n] viene ottenuto cioè dalla ripetizione di una sequenzafinita di durata No formata dagli N campioni della x[n] a cui vengono pospostiNo - N campioni nulli. Si può calcolare adesso la FFf di ordine No > N dellasequenza periodica che nel periodo base vale

(5.6.19)

cioè di una sequenza riempita con campioni nulli. Questa operazione prende il

nome di zero-padding o riempimento con zeri. Una vol~ calc°}ita la trasformatadiscreta, vengono ricavati quindi No> N valori della X(J) secondo la consuetarelazione di campionamento in frequenza:

-

(

k

)

-X - =No~ ' k=0,1,...,No-1

NoT(5.6.20)

Se si fa crescere il valore del parametro No, ossia si aggiungono molti campioninulli aumentando l'ordine della FFf, si può aumentare il numero di campioni

della funzione X(J), cioè si aumenta la risoluzione dell'analisi spettrale dellasequenza x[n] aperiodica e di durata finita originaria.

2.5

2.0

1.0

1.5

0.5

0.01/3T 2I3T 1fT

Frequenza

Figura 5.38 Trasfonnata discreta della sequenza x[n] dell 'Esempio 5.14


----Esempio 5.15Ripetiamo il calcolo dell'Esempio 5.11, stavolta però con zero-padding fino aNo =8. La sequenza periodicizzata dopo il riempimento con 5 zeri è quella diFigura5.39. Calcolando la FFT della sequenza dopo lo zero-padding ricaveremoallora8 valori della trasformata X(f) secondo la relazione

-(

k

)-

X 8T =8 1i , k = O,1,...,7(E5.15.1)

-8 -7 -6 1 2 8 9 10 n

Figura 5.39 Sequenza periodica ottenuta dalla ripetizione di x[n] per No =8

Nella Figura 5.40 viene riproposto l'andamento del modulo di X(J) e dei suoi

otto campioni calcolati con il procedimento di zero-padding ed FFT appenadescritto.L'andamento dello spettro di ampiezza IX(f) Iviene ora ricavato conuna risoluzione maggiore che nel caso precedente. Vale la pena osservare chel'operazione di periodicizzazione concettualmente necessaria prima di calcolarela trasformata discreta non viene eseguita in pratica. Ciò che serve infatti per il

calcolodella trasformata sono soltanto gli No campioni della sequenza y[n] nelperiodo base O::;n ::;No-1. Viceversa, l'operazione di zero-padding èfondamentale per costruire correttamente y[n] a partire da x[n], e deve essereeffettivamenteeseguita prima di calcolare la trasformata discreta ~ . D

)

5.6.3 Applicazioni dell'algoritmo FFT: convoluzione veloceUn'operazione di elaborazione dei segnali che si presenta molto frequentementeè quella del calcolo di una somma di convoluzione tra sequenze di durata finita(tipicoproblema di filtraggio, come sarà chiarito nel Capitolo 6). Siano dunquex[n]e y[n] due sequenze aperiodiche (per semplicità causali) a durata finita pariaNo

La convoluzione (lineare) tra le due sequenze è

f ~;,

278 Capitolo 5

2.5

\2.0

1.5

1.0

0.5

0.00.000 0.125 0.250 0.375 0.500 0.625 0.750

Frequenza normalizzata, tT

0.875 1.000

Figura 5.40 Risultato dell'operazione di zero-padding e FFf

-+<>o N-l

z[n]=x[n] <29y[n] = L,x[m] y[n-m] = L,x[m] y[n-m]m=-oo m=O

(5.6.21)

Poiché x[n] e y[n] hanno durata N, cioè hanno solo N campioni non nulli, èimmediato rendersi conto che z[n] ha durata pari a 2N -1 (si estende cioè da Oa2N - 2): un esempio è illustrato in Figura 5.41 per N = 4.

Cerchiamo ora di valutare il grado di complessità del calcolo (5.6.21) dellaconvoluzione eseguita attraverso la defInizione. Nella Tabella 5.2 abbiamo ripor-tato per esteso tutte le operazioninecessarieal calcolodi tutti i valori di z[n],con O::;;n ::;;2N - 2, tenendo conto che le sequenze x[n] e y[n] sono entrambenulle quando n < O o n ~ N. Il numero totale di operazioni Neonv(N) si può va-lutare notando che le operazioni necessarie al calcolo dei termini z[O] ez[2N - 2] sono in ugual numero, e così per i termini z[l] e z[2N - 3], z[2] ez[2N - 4], ecc., fmo ad arrivare al termine z[N -1] che non ha nessun "partner".I primi due termini richiedono 1 sola operazione ciascuno, i secondi due 3operazioni, i successivi 5 operazioni e così via, fino al termine z[N -1] cherichiede 2N -1 operazioni:

Neonv(N)= 2. [1+ 3 + 5 +... + (2(N - 2) + 1)]+ (2N -1)=

= 2. [1+ 3 + 5 +... + (2(N - 2) + 1) + (2(N -1) + 1)] - (2N -1)=


N-l N(N l)=2~:C2n+ l) - (2N -1) =4 - + 2N - 2N + ln~ 2

=2N2 - 2N + 1== 2N2 (5.6.22)

cioè la complessità è di tipo quadratico nella durata delle sequenze.

y[n]

2

1 2 3 n

z[n]

2

1 2 3 6 n

Figura 5.41 Convoluzione tra le sequenze x[n] e y[n]

Tabella 5.2 Operazioni necessarie al calcolo di una convoluzione

z[O]= x[O]. y[O]

z[l] = x[O]. y[1] +x[1]. y[O]

z[2] = x[O]. y[2] +x[1]. y[1] +x[2]. y[O]

z[N- 2] = x[O].y[N - 2] + x[I]. y[N - 3]+... + x[N - 2]. y[O]

z[N-1] = x[O].y[N -1] + x[1].y[N - 2] + x[2] .y[N - 3]+ ...+ x[N -1] .y[O]z[N] = x[1] .y[N -1] +x[2] .y[N - 2] + ...+ x[N -1] .y[O]

/

z[2N -4] = x[N - 3]. y[N -l]+x[N -2]. y[N -2]+ x[N -1]. y[N -3]

z[2N -3] = x[N - 2]. y[N -1]+ x[N -1]. y[N - 2]

z[2N - 2] = x[N -1]. y[N -1]

280 Capitolo 5

-+<>o

xp(n]= L,x(n-mNo] (5.6.23)

r Ii!t

l

La somma di convoluzione tra x[n] ed y[n] può anche essere determinata peraltra via. Supponiamo di periodicizzare le due sequenze con periodo -No:

-+<>o

yp(n] = L,y(n-mNo] (5.6.24)nJ=-OO

Sappiamo che la convoluzione cic/ica tra xp[n] e yp[n] è la sequenza di periodo

No

(5.6.25)

!.;.

~.

Questa sequenza (periodica) zAn] è in generale diversa dalla sequenza z[n]prodotta dall'operazione di convoluzione lineare (5.6.21). Si può però sceglierel'intervallo di periodicizzazione No in modo che esso risulti non minore delladurata della sequenza z[n)

(5.6.26)

I

itfii

tf

Allora è chiaro che l'operazione di convoluzione ciclica fra le due sequenze

periodicizzate xp[n] e yp[n] dà una sequenza zAn] che all'interno del "periodobase" O~ n ~ No -1 coincide con il risultato della convoluzione aperiodica ameno del fattore l/No:

z[n] ={No zp[n] n=O,1,...,2N-2O altrove

(5.6.27)

D'altronde, dal teorema della convoluzione (5.5.19), sappiamo che la

trasformata discreta di zp [n] è

(5.6.28)

e questo suggerisce un metodo indiretto per il calcolo della convoluzione inambito frequenziale, costituito dai seguenti passi:

. si sceglie per il parametro No il minimo valore che soddisfa la disuguaglianza(5.6.26), cioè No = 2N -1;


. si calcolano mediante FFT le trasformate discrete Xp, e Yp, di ordine Nodelle sequenze periodicizzate xAnfe yAn];

. si calcola la trasformata Zp, della convoluzione ciclica zA n] delle sequenzexp[n]e yp(n]comeprodottodi Xp, e ~,;

. sicalcolamedianteFFTl' antitrasformatadi Zp, ricavandocosì i campionidiun periodo di zp[n];. si ricavanoinfine i campioni non nulli della sequenza z[n] moltiplicando per

No la sequenza zAn].

Cerchiamodi capire quando questo procedimento è più conveniente rispetto allaconvoluzionesecondo definizione. Si può dimostrare che per sequenze reali sipuòeffettuareuna (anti-)FFT di una sequenza di lunghezza No usando opportu-namenteUnaFFT di ordine No/2. Quindi, secondo la (5.6.10), la convoluzionevelocecomporta 2. 8No12 .log2 No12 operazioni per il calcolo delle due FFT dixp[n] e yAn], 6No/2 operazioni (No/2 moltiplicazioni complesse) per il cal-

colo di Zp" 8No12 .log2 No12 operazioni per calcolare l'antitrasformata zp[n]di Zp, con Unalgoritmo di FFT inversa, ed infine No operazioni per recuperareil fattore di scala No. Se No = 2N -l, e trascurando termini lineari in No, SOnOrichieste in totale

(5.6.29)

operazioni(N)> 1). Questo risultato deve essere confrontato Conla (5.6.22): èsufficiente che sia N;;::32 affinché il metodo che fa uso di FFT diventi piùefficientedel calcolo diretto della convoluzione mediante la definizione.

Esempio5.16

Riprendiamoin considerazione le sequenze della Figura 5.41 e cerchiamo diapplicare il metodo della convoluzione veloce senza tener conto della

condizione(5.6.26). Fissiamo allora, in modo errato No =5 (sarebbe richiestoNo~ 7). Le sequenze periodicizzate in questo modo SOnOrappresentate inFigura5.42a. La relativa convoluzione ciclica, scalata del fattore No=5, è poiconfrontatain Figura 5.42b COnla convoluzione lineare che si desidererebbe

ottenere.È chiaro che nOnpuò sussistere l'uguaglianza, segnatamente perché laconvoluzione lineare ha durata pari a 7, mentre la convoluzione cic1ica è

periodica di periodo 5 e nOn può quindi fornire i 7 campioni distinti dellaconvoluzionelineare.

/

282 Capitolo 5

Figura 5.42 Sequenze di Figura 5.41 periodicizzate (a), convoluzione ciclica e lineare (b)

o

Y Riassunto delle caratteristiche delle trasformate di FourierLa Figura 5.43 riassume le caratteristiche delle descrizioni frequenziali (spettri)dei segnali a tempo continuo e a tempo discreto, periodici e aperiodici.

Ogniqualvolta il segnale è periodico nel tempo, esso possiede uno spettro di-

~. Viceversa,~e il segnale è discreto nel tempo, essò {>ossiede_unspettro pe-riodicl!...'Questo è l'ennesimo riflesso della dualità dei domini di tempo e fre-quenza. Da quest'ultimo punto di vista, è interessante notare che il se~nale di-

r

!

~c:eto aperiodico x[~] è in pratica la successione dei coefficienti di Fourier del-'

l

' l'espansione in serie della funzione X(f), periodica nella variabile continua fre-quenza; ciò in piena dualità rispetto al caso del segnaTeperiodico nel tempo

,Icontinuo x(t) con la sua propria successione discreta dei coefficienti di FourierXk:

l 1/2Tx[n] = - JX(J) ej21111[f di

1/ T -1/2T

X(J) = L,x[n]e-j21111[f

(5.7.1)-x(t) = L Xkej21tkfol

k=-

43,,

......

--5 n

-n

(a)

z[n]I. I I /

2

lWlL6 n

(b)


Tempo Frequenza

x(t) X.

... ...

segnalea tempo continuo periodico " -------Spettrodiscretoaperiodico

k

x(t)X(f)

tSegnale a tempo continuo aperiodico Spettrocontinuoaperiodico

x[n] X(f)

... ...

nSegnaleatempodiscretoaperiodico Spettrocontinuoperiodico

x[n]

... ... ... ...

nSegnaleatempodiscretoperiodico

k /

Spettrodiscretoperiodico

Figura 5.43 Tavola sinottica delle caratteristiche di segnali e spettri

Sommario

In questo capitolo sono stati ripresi in considerazione ed estesi ai segnali a tempo

discreto alcuni concetti relativi all'analisi di Fourier già esaminati nei precedenti

284 Capitolo 5

Il

capitoli per i segnali a tempo continuo. Per prima cosa è stata definita latrasformata di Fourier di una sequenza aperiodica X(f), che risulta unafunzione periodica nella frequenza f di periodo pari alla frequenza dicampionamento 1fT, ma che peraltro gode di proprietà molto simili a quelledella trasformata continua di Fourier X(f) per i segnali analogici. Quindi, si èesaminata in dettaglio la questione del campionamento di un segnale analogicox(t), operazione che produce una sequenza di valori x[n]. La trasformata diquesta sequenza si ottiene attraverso periodicizzazione con periodo 1fT dellatrasformata del segnale analogico di partenza. /

L'operazione di interpolazione a mantenimento, cioè la moekIlizzazionedell'operazione svolta in pratica da un convertitore D/A (digitale-analogico),non consente di ricostruire il segnale analogico di partenza. Viceversa, abbiamodimostrato che usando un interpolatore cardinale è possibile ricostruireesattamente un segnale a tempo continuo dalla sequenza dei propri campioni,purché il segnale abbia spettro limitato nella banda B, e la frequenza dicampionamento sia pari almeno a 2B (teorema del campionamento di C.Shannon).

La rappresentazione frequenziale di sequenze è stata poi estesa al caso di se-

quenze periodiche di periodo No definendo la trasformata discreta di FourierXk. Questa sequenza di valori è periodica di periodo No in k, e rappresenta lospettro discreto della sequenza periodica x[n]. La relazione di campionamentoin frequenza mette in relazione i valori della tra'SfoITilatadiscreta di una se-quenza periodicizzata e quelli della trasformata della sequenza-base aperiodica.

Questo consente di .£..alGQl.arelo spettro di una sequenza aperiodica a durata fi-nita attra'Versoil calcolo di una trasformata discreta. L'operazione di iero~pad-

-dmg (riempimento con zeri) permette di aumentare la risoluzione di questa ana-lisi spettrale. Le trasformate discrete insite in tale procedimento possono esserecalcolate in modo efficiente attraverso il cosiddetto algoritmo di FFf (FastFourier Transform) che consente di abbattere la complessità del calcolo di un

trasformata discreta di un fattore No/logz No rispetto al calcolo secondo la de-finizione. Sfruttando la FFT è anche possibile calcolare somme di convoluzionetra sequenze a durata finita in maniera veloce.

Il

...

,

Esercizi proposti

5.1 Ricavarela trasformatadi Fourierdellasequenza

"x[n] = a'nl' , O:5;a<l

5.2 La convoluzione ciclica tra due segnali a tempo continuo periodici diperiodo Toè definita come

l To12

z(t) =T Jx(a)y(t - a) dao -To 12

Noti i coefficienti di Fourier di x(t) e y(t), ricavare i coefficienti Zk diz(t).

5.3 Il segnale

x(t) =sinc2( ~ )

viene elaborato secondo lo sch~<UifFigura 5.44, in cui l'interpolatore è amantenimento. Sapendo che

H(J) = 1ifT rect(jT)sen(1ifT)

determinare l'espressione del segnale di uscita y(t).

nT ~X(~ -I

p(t) M H(f) ~)ì "" Figura 5.44

5.4 Una sequenza periodica a tempo discreto può essere espressa attraverso laserie discreta (antitrasformata) di Fourier

No-I

x[n] = IXkej21Ù<nlNok=O

Trovare l'espressione della trasformata aperiodica XU) della sequenzax[n] per f E [-l/2T,l/2T].

5.5 Applicando il teorema della funzione somma, calcolare la trasformata dellasequenza

{

In Ix[n]= l-li -N'.5.n'.5.N

O altrove

286 Capitolo 5

5.6 Disegnare i segnali ricostruiti con interpolazione a mantenimento e inter-polazione lineare rispettivamente nellea Figure 5.21 e nella Figura 5.29.Ripetere per il segnale di Figura 5.30 (l'espressione della trasformata inquesta figura è del tipo X(f) =(T /2)[1 + cos(2JifT)]rect(fT)).

5.7 Un segnale x(t) periodico di periodo Toviene campionato con periodoT = To/ No ottenendo la sequenza periodica x[n]. Determinare la relazione

tra i coefficienti di Fourier Xk di x(t) e la trasformata discreta di FourierXk di x[n]

5.8 Dire se il sistema monodimensionale a tempo continuo costituito dalla

cascata di campionatore ideale e interpolatore a mantenimento di Figura5.18 è lineare e/o stazionario.

5.9 Da un segnale x(t) periodico di periodo Toviene ricavato il segnale y(t)

aperiodico con una operazione di troncamento in un periodo: --;:

y(t) =x(t)rect(t/To) 7.rt.zEsprin}erela trasformata di FouriJr Y(f) ~ y(t) mediante i coefficienti di

FouI\~r Xk qj;x(t~ e spiegare perché quest'oesercizio è pertinente a questocapitòlo-/ J..

5.10 Il segnale x(t) la cui trasformata di Fourier è

,

X(f) =(1+co{~) }ec{~)

vienecampionatocon frequenzafc = B, e quindi interpolato con un inter-polatore cardinale. Trovare l'espressione del segnale x(t) così ottenuto etracciarne un grafico.

5.11 Calcolare la trasformata di Fourier X (f) della sequenza

16{~J n~4

x[n]=H In I:S;3

n:S;-4

5.12 Determinare e rappresentare lo spettro della sequenza x[n] ottenutacampionando con frequenza 1/T il segnale x(t) =sinc(Bt)sin(nEt) conB:S;1/ T :s;2B. È possibile ricostruire il segnale originario x(t) a partiredai campioni della sequenza x[n]?

5.13 Il segnale x(t) =e-lilla viene campionato con frequenza di campionamento

fc = 1/ T. Disegnare gli spettri di ampiezza e fase della sequenza x[n] cosìottenuta.

5.14 Dimostrarel'uguaglianza

f a/T = l

k=-1 + j2n{f - ;)a 1- e-(~+j21if)T

5.15 Calcolare e rappresentare la somma di convoluzione z[n] tra le sequenzex[n] =u[n+ 1]-u[n -2] e y[n] =u[n+2]- u[n-3].

)T{)

-r-'l~ ~ /T~\

~ 'L ~ l-r~... ~I

,\

4

~

'\

( t - f<1i) )r /

-- '-\. \-

kt+(f

l-:>


5.2 Rappresentazic~medei segnali aperiodici a tempo discreto neldomini~ della frequenza

5.2.1 Trasformata di Fourier di una sequenza

Dai capitoli precedenti risulta chiara l'utilità della rappresentazione dei segnalianalogici nel dominio della frequenza, sia come strumento di analisi e di sintesi,sia in congiunzione con lo studio dei sistemi lineari stazionari. Vogliamo oraestendere la rappresentazione frequenziale anche ai segnali a tempo discreto, eper far questo seguiremo un cammino inverso rispetto a quello percorso per isegnali a tempo continuo: partiremo cioè dalle sequenze aperiodiche. Gli aspettidi carattere concettuale insiti alla rappresentazione dei segnali nel dominiofrequenziale restano i medesimi, e sono ormai patrimonio acquisito del lettore.

La rappresentazione di una sequenza aperiodica x[n] in campo frequenzialeanaloga alla trasformata continua di Fourier di un segnale analogico aperiodico(3.1.9) è la trasformata di Fourier della sequenza x[n] definita da

-X(F):! L,x[n] e-j21C11F (5.2.1)

n=-

Questa trasformata è evidentemente una funzione complessa della variabile Fche è la cosiddetta frequenza normalizzata (si confronti con la (5.1.10)). Lastessa trasformata viene talvolta espressa in funzione di una pulsazionenormalizzata Q =2nF:

-X(Q):! L,x[n] e-jnD. (5.2.2)

n=-

Come vedremo più avanti, la X(F) definita dall'equazione di analisi (5.2.1)continua ad avere il significato di spettro del segnale dato, ma si differenziadalla familiare trasformata continua X(f) per segnali analogici in alcuneproprietà. Osserviamo preliminarmente che la trasformata di una sequenza è unafunzionepe!iE..dicain F di periodo 1:

- -X(F+l)= L,x[n]e-j21C11(F+l) = L,x[n]e-j21C11Fe-j21C11

n=- n=--

= L,x[n] e-j21C11F= X(F) (5.2.3)n=-

Quindi X(F) è completamente nota se è noto il suo andamento in un intervallo

6

Sistemi monodimensionali a tempo discreto

---~

6.1 Caratterizzazione dei sistemi a tempo discreto

La maggior parte delle considerazioni che sono già state fatte nel Paragrafo 4.1 aproposito dei sistemi a tempo continuo possono essere ripetute per i sistemi atempodiscreto. Un sistema monodimensionale a tempo discreto è un dispositivo,un apparato, un programma per calcolatore che elabora una sequenza d'ingressox[n] e genera una sequenza di uscita y[n] (Figura 6.1). L'unica differenzanotevole dal punto di vista concettuale che -abbiamo introdotto rispetto al casodel Paragrafo 4.1 è la menzione esplicita di un programma per calcolatore.Infatti, secondo la discussione del Paragrafo 5.1, i segnali a tempo discretopossono essere elaborati da circuiti elettronici digitali programmabili(microprocessori) il cui funzionamento è regolato da un programma. Si puòallora identificare il sistema che trasforma la sequenza d'ingresso in quella diuscita con il solo programma del circuito, piuttosto che con l'insieme didispositivi e programma (hardware e software) che permette effettivamente direalizzare l'elaborazione stessa.

x[n] J y[n]

?

Figura 6.1 Sistema monodimensionale a tempo discreto

Stanti le fot:tianalogie tra lo studio dei sistemi a tempo continuo già svolto nelCapitolo 4 e quello dei sistemi a tempo discreto, in questo paragrafo passeremo

290 Capitolo 6

brevemente in rassegna quelle definizioni e proprietà che sono già state discussein maniera dettagliata per i sistemi a tempo continuo, limitandoci a sottolinearele (molte) similitudini e le (poche) diversità. Per maggiori dettagli e commentisu queste proprietà, rimandiamo il lettore al Paragrafo 4.1 relativo ai sistemi atempo continuo.

6.1.1 Proprietà dei sistemi monodimensionali a tempo discretoIdentifichiamo dunque un sistema a tempo discreto con la trasformazione che

viene eseguita sull' eccitazione x[n] per fornire la risposta y[n]:

y[ n] = 'T[ x[m ];n] (6.1.1a)

o anche, quando non si corre alcun rischio di ambiguità,

.I

y[ n] = 'T[ x[n]] (6.1.1b)

Un generico sistema monodimensionale a tempo discreto è:.lineare se a esso è applicabile il principio di sovrapposizione degli effetti, cioèse

(6.1.2)

comunque siano fissate le sequenze XI[n] e x2[n] e i coefficienti a e f3 dellaloro combinazione lineare;.stazionario o invariante nel tempo se una traslazione della sequenza in ingresso

comporta una traslazione della stessa entità della sequenza di uscita, cioè

I

(6.1.3)

!I.!

per ogni valore del parametro intero no;. causale se la sequenza di uscita all'istante generico n non dipende dai valoriassunti dalla sequenza di ingresso a istanti successivi a n:

y[n] ='T[x[m],m::; n; n] = 'T[x[m]u[n - m]; n] (6.1.4)

.stabile secondo il criterio BIBO (Bounded-Input, Bounded-Output) se, perqualunque sequenza d'ingresso a valori limitati, tale cioè che

Ix[n]l::;K \In (6.1.5)

si ottiene una sequenza di uscita a sua volta a valori limitati, cioè

,

r /

Sistemi monodimensionali a tempo discreto 291

(6.1.6)

.istantaneo o senza memoria se la sequenza di uscita all'istante generico n

dipende solo dal valore assunto dalla sequenza di ingresso al medesimo istante:

y[n] = <J'[x[m],m = n; n] = <J'[x[m]8[n - m]; n] (6.1.7)

. invertibile se è possibile trovare un secondo sistema <J'-I[.]tale che, perqualunque segnale di ingresso x[n], si abbia

x[n] = <J'-l [y[nJ] (6.1.8)

6.1.2 Sistemi lineari e stazionari a tempo d~etoRivolgiamo adesso la nostra attenzione alla classe dei~temi lineari e stazionari(SLS) a tempo discreto. Come già dimostrato nel Paragrafo 4.1 per i sistemianalogici, un SLS a tempo discreto è caratterizzato completamente dallaconoscenza della risposta impulsiva h[n] definita dalla relazione

h[n] = <J'[8[n]] (6.1.9)

Infatti, nota h[n], la sequenza di uscita y[n] del sistema avente in ingresso lasequenza x[n] è

y[n] = <J'[x[ n]] = <J'[k~X[k] 8[n - k]](6.1.10)

dalla quale, per la proprietà di linearità, si ricava

-y[n] = Lx[k]<J'[8[n-k]] (6.1.11)

Per la stazionarietà del sistema, poi, <J'[8[n - k]] = h[n- k] e la relazione prece-dente diviene

-y[ n] = L x[ k ] h[ n - k] = x[ n ] <8> h[ n ]

k=-(6.1.12)

e cioè la sequenza di uscita di un SLS è la somma di convoluzione fra la se-

quenza di ingresso e la risposta impulsiva del sistema stesso.Sulla falsariga di quanto visto per i sistemi analogici nel Paragrafo 4.2, è pos-

sibile dimostrare che condizione necessaria e sufficiente per la stabilità in sensoBIBO di un SLS è la assoluta sommabilità della sua risposta impulsiva:

292 Capitolo 6

+-

Llh[k]1 <-took;-oo

(6.1.13)

e che inoltre un SLS è causale se e solo se la sua risposta impulsiva è una

sequenza causale:

h[n] = h[n]u[n]

cioè h[n] = O se n<O.

(6.1.14)

Esempio 6.1 '\

Consideriamo il sistema, detto filtro a media mobile, che effettua la seguente

trasformazione sulla sequenza di ingresso x[n]:

l n

y[n]=- Lx[k]N k=n-N+l

(E6.1.I)

con N dato. Si può verificare facilmente che tale sistema è lineare per la linearità

dell' operazione di somma che lo definisce, ed è anche stazionario. Infatti

l n 1 n-fIo

'T [x[ n - no]] = - L x[k - no] = - L x[m ] = y[n - no]N k=n-N+I N m=n-N+l-no

(E6.1.2)

Prima di procedere nell'analisi del sistema, cerchiamo di capire il tipo di fun-zione svolta dallo stesso (e di giustificarne quindi il nome). La Figura 6.2a rias-

sume, per il caso particolare N = 4, le operazioni che si devono compiere sulsegnale di ingresso per ottenere il valore y[n*] della sequenza di uscita al gene-rico istante n * (nella figura, n* =4). Secondo la relazione (E6.1.l ), il valorey[n*] si ottiene come media aritmetica degli ultimi N valori della sequenza diingresso x[n], presi cioè a partire dall'istante n * verso tempi decrescenti. Questicampioni sono i quattro contenuti all'interno della "finestra" ombreggiata inFigura 6.2a. Da questa descrizione e dalla figura si comprende anche che il si-stema è causale; nella Figura 6.2a è pure messo in evidenza il meccanismo se-condo il quale verrà calcolato il valore dell'uscita (indicato a linea tratteggiata)all'istante n *+ l: la "finestra" di N campioni della sequenza d'ingresso vienetraslata di un passo in avanti (linea tratteggiata), e viene calcolata la mediaaritmetica dei nuovi N campioni contenuti nella finestra stessa (media mobile).

Poiché dunque il sistema è lineare e anche stazionario, è possibile calcolarnela risposta impulsiva che, per definizione, è data da

SistellÙ monodimensionali a tempo discreto 293

Osservando che

n

u[n] = I8[k]k=-oo

si può riscrivere la (E6.1.3) nella forma

1h[ n] = - (u[ n ] - u[n - N])N

Figura 6.2 Funzionamento (a) e risposta impulsiva (b) del filtro a media mobile

(E6.1.3)

(E6.1.4)

(E6.1.5)

.x[k]I r--------II I

I

x[n*]I

I I

I I

I I

I I

I

---------

-3 -2 -1 1 2 3 4 k

i+ 1+1

r 4

y[n]

y[n*] Q

------J i .I n* n

(a)

.h[n]

1/N

ffi-1 N N+1 n

294 Capitolo 6

da cui si vede che la risposta impulsiva del filtro a media mobile è l'impulsorettangolare causale di ampiezza 1/N raffigurato in Figura 6.2b. Il lettore può au-tonomamente ricalcolare l'andamento di h[n] senza usare la relazione (E6.1.4),

ma ricavando direttamente la risposta impulsiva attraverso il procedimento de-scritto nella Figura 6.2a. O

Quando due SLS aventi risposte impulsive ~[n] e hz[n] sono connessi incascata o in parallelo, cioè rispettivamente come nelle Figure 6.3a e 6.3b, lerelative risposte impulsive dei sistemi equivalenti sono date da

h[n] = ~[n] <8> hz [n] (sistemi in cascata) (6.1.l5a)

Figura 6.3 Sistemi lineari e stazionari in cascata (a) e in parallelo (b)

6.1.3 Risposta in frequenza di un SLS

La definizione di risposta in frequenza di un SLS a tempo discreto stabile nondifferisce apprezzabilmel).teda quella introdotta nel Paragrafo 4.2 cui si rimandaper ulteriori dettagli. Dunque diremo che:i) la risposta in frequenza di un SLS a tempo discreto è la trasformata di Fourierdella risposta impulsiva h[n] del sistema stesso:

-+-

H(J)= I,h[n]e-j21D1!T (6.1.16)n=-

ii) la risposta in frequenza H(J) è il rapporto fra le trasformate f(J) e X(J)

h[n] = [n]+hz[n] (sistemi in parallelo) (6.1.l5b)

X[h1[n]

I Wlnl.1h2[n]

nl

(a)

Ih1[n]. ,

x[n]

I Ih2[n]

I(b)


rispettivamente della sequenza di uscita y[n] e di quella d'ingresso x[n]:

H(J) = ~(J)X(J)

(6.1.17)

iii) la risposta in frequenza H(J) è data dal rapporto fra la sequenza di uscita

y[n] e quella di ingresso x[n] quando x[n] è una oscillazione complessa allafrequenza f:

y[n]

IH(J) = x[nL[nJ=e}2xnJT

(6.1.18)

La dimostrazione dell'equivalenza fra le diverse es~ressioni della risposta infrequenza di un SLS a tempo discreto è lasciata allettÒfe per esercizio. Data larisposta in frequenza H(J), definiamo anche per i sistemi a tempo discreto larisposta in ampiezza

X(J)= IH(J)I (6.1.19)

che permette di stabilire le caratteristiche di selettività di un SLS, e la suarisposta in fase

(f(J)= LH(J) (6.1.20)

Esempio 6.2

Data la risposta in frequenza H(J) di un SLS, troviamo l'espressione delsegnale di uscita y[n] quando l'ingresso è la sequenza periodica di periodo Nox[n] = x[n + No]'

La sequenza data può essere scomposta in serie discreta (antitrasformata) diFourier (5.5.2):

(E6.2.1)

cioè come somma pesata (combinazione lineare) di No oscillazioni sinusoidalicomplesse a tempo discreto alle frequenze h = k/(NoT), k =O,I,...,No-1.Poiché il sistema è lineare, possiamo applicare il.principio di sovrapposizionedegli effetti, osservando che ciascuna di queste oscillazioni viene modificata dalsistema in ampiezza e fase in ragione del valore della risposta in frequenza in

296 Capitolo 6

corrispondenza della rispettiva frequenza di oscillazione. L'espressione delsegnale d'uscita è dunque

(E6.2.2)

cioè la trasformata discreta di Fourier ~del segnale d'uscita y[n] è

(E6.2.3)

D

La condizione di non distorsione già enunciata nel Paragrafo 4.3 per i segnali a

tempo continuo viene riformulata come segue:

y[n] = K x[n - no] (6.1.21)

ove K ed norappresentano rispettivamente il guadagno e il ritardo del sistema.Nel dominio della frequenza, la condizione (6.1.21) si traduce nei due seguenti

requisiti rispettivamente per la risposta in ampiezza e la risposta in fase:

X(I) =K (6.1.22a)

(6.1.22b)

Come già precisato nel Paragrafo 4.3, è sufficiente che le condizioni (6.1.22)siano verificate nell'ambito della banda del segnale d'ingresso per garantireassenza di distorsioni.

6.1.4 Filtri a tempo discretoIl concetto di SLS selettivo in frequenza, o filtro, viene esteso direttamente alcaso dei sistemi a tempo discreto, con identica nomenc1atura. Naturalmente, lecaratteristiche di selettività di un filtro a tempo discreto con risposta in frequenza

H(I) (che è.una funzione periodica di periodo l/T) sono determinate dall'an-

damento della sua risposta in ampiezza IH(I)I in un solo periodo dellafunzione,ad esempio nell'intervallo [-1/2T, 1/2T). Limitando l'analisi di IH(I)I a questointervallo di frequenze occorre tener conto del fatto che le "basse frequenze"continuano a essere quelle prossime alla frequenza nulla, mentre le "alte fre-


quenze" sOnOquelle prossime al limite superiore dell' intervallo, cioè 1/2T.Queste considerazioni giustificano la classificazione dei filtri ideali riportata inFigura 6.4 per la quale si possono ripetere le stesse osservazioni esposte nellaclassificazione dei sistemi analogici del Paragrafo 4.3, in particolare quelle ri-guardo la causalità.

R (I)LP

-1/2T -B B 1/2T I -1/2T -B B 1/2T I(a) (b)

R (I)BP

BI- B

-1/2T -lo 1/2T I -1/2T - lo lo 1/2T f(c) (d)

Figura 6.4 Filtri ideali a tempo discreto: passa-basso (a); passa-alto (b); passa-banda (c);elimina-banda (d)

Esempio 6.3Riconsideriamo il filtro a media mobile dell'Esempio 6.1.impulsiva è

La sua risposta

lh[n ] = - (u[n] - u[n - NnN

(E6.3.1)

e la sua risposta in frequenza è quindi (si veda l'Esempio 5.2)

N-l

H(J) =Lh[n] e-j21C11rr= e-j1r(N-l)rr sin(rcNfT)n=O N sin( rcjT)

(E6.3.2)

La risposta in ampiezza del filtro è allora

IH(J)I =~I Sin(rcNfT)1N sin( rcjT)

(E6.3.3)

che è rappresentata in Figura 6.5, insieme alla relativa risposta in fase, nel caso

298 Capitolo 6

particolare N = 16. Si nota che IH(O)I= 1, mentre le componenti ad alte fre-quenze (cioè in prossimità di f = 1/2T) sono sensibilmente attenuaterispetto aquesto valore. Il filtro deve quindi considerarsi un passa-basso. Questa caratte-ristica è ulteriormente evidenziata dalla risposta in ampiezza in dB riportata inFigura 6.6.

Figura 6.5 Risposta in ampiezza (a) e in fase (b) di un filtro a media mobile su 16 valori

1.2

S 10

'

l'

IN=161II

ctÌ 0.81- , l' -I INNQ)'5.E 0.6(\j.£(\j 0.4-cnoa.cn

0.2

0.0-0.50 -0.25 0.00 0.25 0.50


1ao I

II

IN=161'6 135 ..9 90---II 45"JQ) ocn(\j-.£ -45(\j-cn -90oa.cn

.135

-180-0.50 -0.25 0.00 0.25 0.50



-0.25 0.00 0.25


0.50

Figura 6.6 Risposta in ampiezza in dB del filtro di Figura 6.5

Il filtro a media mobile viene spesso utilizzato per eliminare le fluttuazioni

rapide di un segnale (cioè per smussare il segnale) senza modificarne l'anda-mento generale di lungo termine. La Figura 6.7a mostra l'andamento dell'indicedella borsa Italiana MIB durante l'anno 1998. La sequenza dei valori dell'indiceMIB alla chiusura è molto frastagliata; per eliminareTe fluttuazioni si può usareun filtro a media mobile con N =16 (cioè quello appena considerato) ottenendo

la curva smussata di Figura 6.7b. O

~

Esempio6.4 (

Calcoliamo la risposta impulsiva dei filtri passa-basso e passa-alto ideale a

tempo discreto di Figura 6.4a-b. La risposta in frequenza del passa-basso idealeè una funzione rect(.) periodicizzata con periodo frequenziale 11T:

- 1 ~

(f-kIT )HLP(J)=- L T'rectT k=- 2B

per cui (si confronti anche con lo svolgimento dell'Esempio 5.7)

(E6.4.1)

hLP[n] = 2BTsinc(2Bt)lt=nT= 2BTsinc(2nBT) (E6.4.2)

Per quanto riguarda il filtro passa-alto, si ha:

5

in o:s.- -5--

II -10

liN -15NQ)'5. -20

E«1 -25

.!:«1 -30....CI)o -35a.CI)a:

-40

-45-0.50

300 Capitolo 6

(E6.4.3)

e quindi

hHP[n]= o[n] - hLP[n]= o[n] - 2BTsinc(2nBT) (E6.4.4)

40000

2000001-01-1998 01-04-1998 01-07-1998

Giorno01-10-1998 31-12-1998

(a)

40000(

2000001-01-1998 01-04-1998 01-07-1998

GiornoOHO-1998 31-12-1998

(b)

Figura 6.7 Andamento dell'indice Mffi nel 1998 senza (a) e con (b) filtraggio a media mobile

l'I

(Ij....::J(j)::J:Ec..>

!:C 30000:2 f- <,Q.)c..>'5 "c: 25000

35000::J(j).:!c..>!:C 30000:2Q.)

I c..>'Cc: 25000

Si noti che entrambe le risposte impulsive sono non nulle per n < O. D

Dall'esempio precedente, e come già anticipato nella discussione generale, sinota che i filtri ideali non sono causali. Questa conclusione si può trarre anchedalla versione per segnali a tempo discreto del criterio di Paley-Wiener. Se la ri-sposta in ampiezza del sistema è a quadrato sommabile sul periodo-base, cioè se

1/2T

T fIH(f)j2di < 00

-1/2T

(6.1.23)

e verifica la condizione

1/2T

flln[IH(f)I]1di < 00

-1/2T

/(6.1.24)

allora esiste una funzione reale 8(J) = 8(J + 1/ T) per cui

(6.1.25)

rappresenta la risposta in frequenza di un sistema a tempo discreto causale.

Esempio 6.SConsideriamo il sistema di Figura 6.8a in cuvk frequenza di campionamento èfc = 48 kHz; il segnale di ingresso è inoltre

x(t) = cos(21%t) (E6.5.1)

con lo =16 kHz. Determiniamo l'espressione del segnale d'uscita y[n] sapendoche il sistema nonlineare (NL) a tempo discreto è senza memoria ed è caratteriz-

zato dalla relazione ingresso-uscita z[n] =X2[n], e che la risposta impulsiva delsuccessivo filtro è

(E6.5.2)

La sequenza in uscita al campionatore è

x[n] = cos(2nnIoT) (E6.5.3)

e, di conseguenza, la sequenza in uscita alla nonlinearità è data da

302 Capitolo 6

f

X(t~ o x[n] ~ ~~[n]NLj -~

(a)

z)

(b)

Figura 6.8 Sistema dell'Esempio 6.5 (a) e risposta in frequenza del relativo filtro h[n] (b)

z[n] = cos2 (2mrfoT) =! [1 + cos( 4rcnfoT)]2 (E6.5.4)

La sequenza z[n] è costituita dalla somma di una costante (componente conti-nua) e di una oscillazione cosinusoidale a frequenza 210=32 kHz. La sequenzay[n] in uscita al filtro h[n] è quindi

y[n]=!H(O)+ !IH(2fo) 1cos(4rcnfoT + LH(2fo))2 2 (E6.5.5)

ove H(1) = .'F[h[n]] è la risposta in frequenza del sistema a tempo discreto.Dall'Esempio 6.4 si trova che h[n] è la risposta impulsiva di un filtro passa-basso ideale di banda B =1/4T =12 kHz la cui risposta in frequenza èrappresentata nella Figura 6.8b. .

Si può verificare immediatamente che H(O)=1 e H(2fo) = O, per cui lasequenza y[n] è

1

y[n]="2(E6.5.6)

o

H(f)

1

... ...

-60 -48 -36 -12


6.2 Cambiamento della frequenza di campionamento

Molto spesso, nella pratica dell'elaborazione numerica dei segnali è opportunocambiare in tempo reale la cadenza con cui i campioni di una sequenza vengonoelaborati. Se ad esempio si considera il campionamento di un segnale audio ad

alta qualità, sappiamo che la frequenza di campionamento le deve esseremaggiore di 40 kHz. Una frequenza standard per queste applicazioni è infatti lagià citata le = 48 kHz. Supponiamo che il segnale campionato a questa velocitàvenga filtrato con un filtro numerico passa-basso ideale di banda B =15 kHz,come in Figura 6.9. È chiaro che per questo nuovo segnale a banda ridotta lacadenza di campionamento di 48 kHz originaria risulta in qualche modo

sovrabbondante. È conveniente allora introdurre un opporJbno sistema percambiare (in questo caso, ridurre) la cadenza di campionamento della sequenzaz[n] in uscitadal filtro,ad esempiopassareda 48 a 32kHz.La sequenzay[m] iningresso al convertitore D/A che chiude la catena di elaborazione può alloraessere convertita con una frequenza f: =32 kHz, usando un convertitore D/A a

32 kHz più semplice e meno costoso di uno alla frequenza originaria le = 48kHz. Si noti che la variabile temporale delle sequenze x[.] e y[.] è stata indicatacon due nomi diversi (rispettivamente n ed m), perché tali variabili devonointendersi riferite a due diverse frequenze di campionamento.

x(t) x[n] z[n] CambiaFrequenza

Campionam.

y[m]A/D

fc=48kHzf c=48kHz f c'=32kHz

Figura 6.9 Cambiamento della frequenza di campionamento

Le operazioni principali di cambiamento della frequenza di campionamento lepossono essere ricondotte a una combinazione di due funzioni base, il sovra-

campionamento e il sottocampionamento. Tali funzioni, opportunamente combi-nate, consentono di modificare le secondo un fattore razionale arbitrario, in

modo da generare una nuova sequenza con cadenza f:=(p / q) . le, p e q interi.

6.2.1 Sovracampionamento con interpolazione numericaL'aumento della cadenza di campionamento secondo un fattore intero M è chia-mato sovracampionamento ed è rappresentato dal blocco illustrato nella Figura6.lOa. Nell'operazione di sovracampionamento, anche quando non esplicita-mente indicata, è sempre compresa una funzione di interpolazione numerica. Per

304 Capitolo 6

capire la necessità di quest'ultima funzione scomponiamo il blocco sovracam-pionatore nei due componenti elementari della Figura 6.10b. Il blocco ZP èquello che materialmente effettua 1'aumento nella velocità di campionamento.Dalla sequenza di ingresso x[n], avente frequenza di campionamento fc, vieneinfatti prodotta la sequenza di uscita xzp[m] avente frequenza J: = M. fc, ov-vero periodo di campionamento T' = T / M. La generazione di questa nuova se-quenza viene effettuata mediante un' operazione di zero-padding, cioè di riem-pimento con zeri, come esemplificato nella Figura 6.11, per M = 4. L'aumentodella frequenza di campionamento viene cioè ottenuto mediante inserimento diM -1 campioni nulli tra ciascuna coppia di campioni consecutivi nella sequenzaoriginaria x[n]:

{

x[n] m=n.M

xzp[m]= .

O altrimenti

(6.2.1)

o, equivalentemente,

+00

xzp[m]= Lx[n]8[m - Mn] (6.2.2)n=-

I nm~fc'=M'fc(a)

x[n]..

c c c(b)

Figura 6.10 Rappresentazione simbolica (a) e realizzazione (b) del sovracampionatore coninterpolazione

È interessante calcolare la trasformata di Fourier della sequenza sovracampio-

nata, che va ovviamente riferita" alla nuova frequenza di campionamento

J:=M.fc:

XZP[m] - y[m]ZP -

Hp (f)f f


-Xzp(f) = ~>zp[m] e-j2mnfT' (6.2.3)

Se si osserva che xzp[m] è diversa da zero solo per m =M. n (nel qual casoxzp[m] =x[n]) e che T' = T / M, la (6.2.3) diventa

- -XZp (f) = L x[ n]e - j2m11'!fTI M = L x[ n ]e - j21D1fT= X (f) (6.2.4)

n=-oo

cioè le trasfonnate delle sequenze x[n] e xzp[m] sono identiche!

x[n]

o 2 3 4 n

M=4

1

o 4 8 12 16 m

Figura 6.11 Riempimento con zeri e sovracampionamento

Questo risultato è solo apparentemente paradossale. Infatti le trasfonnate Xzp(f)e X(f) sono uguali per ogni valore della frequenza, ma presentano una diffe-renza fondamentale, evidenziata nella Figura 6.12 per M =4: il periodo-base diXzp(f) è l'intervallo [-1/2T',l/2T'] che, rispetto al corrispondente periodo-base [-l/2T,l/2T] di X(f), è M volte più grande. Ciò significa che elabo-

rando xzp[m] con un filtro numerico, cioè proprio con il secondo blocco delloschema di Figura 6.lOb, si possono modificare tutte le componenti frequenzialiappartenenti all 'intervallo [-1/ 2T', 1/ 2T']. Se invece elaboriamo direttamentecon un filtro numerico la sequenza originaria'x[n] possiamo agire soltanto sullesue componenti frequenziali relative all'intervallo [-l/2T,l/2T].

306 Capitolo 6

-

/\ f\ /\ /\, I~(:) /\ /\ A /\ .- --T 2T T 2T 2T T 2T T

MT

12T

12T

MT

Figura 6.12\

Trasformate della sequenza x[m] d'ingresso (a) e della sequenza riempita con zeri

xzp[m] (b); risposta in frequenza del filtro interpolatore (c) e trasformata dellasequenza sovracampionata d'uscita y[m] (d).

Al blocco ZP della Figura 6.lOb si fa quindi seguire un Ii/tro passa-basso ideale

Hp(f) , avente banda B = 1I2T = 1I(2MT') e guadagno in continua H/O) =M.Questo filtro, la cui risposta in frequenza è illustrata nella Figura 6.12c, opera

alla frequenza di campionamento I: e ha una funzione ben precisa, che risultachiara esaminando 1'andamento della trasformata Y (f) della sequenza di uscita

y[m] mostrato nella Figura 6.12d. Si nota che il filtro ha cancellato alcune

/\A/\

f)

A/\.A, ,A /\M M M M fT 2T 2T T

-

J I [ I I çP.(Q, I I I IM M 1 1 1 1 M M-- --T 2T T 2T 2T T 2T T

-

M I Y(f)


immagini viciniori presenti nello spettro Xzp(f). Questo spettro è identico aquello che si sarebbe ottenuto campionando direttamente il segnale analogicox(t) di partenza con la frequenza di campionamento t:!

Il filtro passa-basso ideale è chiamato filtro interpolatore. Non si deve con-fondere questo filtro numerico passa-basso con l'interpolatore, introdotto nel

Paragrafo 5.1, che permette di ricostruire un segnale analogico a partire da unasequenza di campioni. Il nome di filtro interpolatore è, tuttavia, di uso comune

per le ragioni seguenti. Se indichiamo con hp[m] la risposta impulsiva del filtroH/f), l'espressione del segnale sovracampionato y[m] è (vedi la (6.2.2))

+00

y[m] =xzp[m] @ hp[m] = Lx[n]8[m - Mn] @ hp[m]

+00

= Lx[n] hp[m - Mn] (6.2.5)

Questa relazione è formalmente analoga alla (5.4.9) che riassume l'elaborazionedel segnale compiuta dall'interpolatore propriamente detto.

La funzione di interpolatore svolta dal filtro digitale diviene ancora più chiara

se si osserva che la risposta impulsiva hp[m] del filtro passa-basso ideale aventebanda 1/(2MT') e guadagno M è

hp[m] = sinc(mj M)

Sostituendo allora la (6.2.6) nella (6.2.5) si trova

(6.2.6)

/+00

y[m] = n~ X[n]Sinc( m ~Mn) (6.2.7\

che ricorda la formula di interpolazione cardinale (5.4.21). La sequenza y[m] è,quindi, una versione interpolata del segnale xzp[m]. In tale versione i campioninulli deliberatameIite introdotti vengono sostituiti da campioni interpolati cheassicurano una maggiore "regolarità" del segnale sovracampionato, come illu-strato nella Figura 6.13.

Esempio 6.6Il segnale

(E6.6.1)

308 Capitolo 6

o 4 8 12 16 m

t y[m]

o 4 8 12 16 m

Figura 6.13 Interpolazione numerica

viene elaborato dai due sistemi illustrati in Figura 6.14, in entrambi i quali lafrequenza di campionamento iniziale è fs = l/T. Le risposte impulsive dei filtrisono

h(t) = ;sinc(~). ~(t)=~sinc(~)

Determiniamo e rappresentiamo gli spettri dei segnali z(t) e Zl(t) e stabiliamoquale di questi ultimi presenta minore distorsione rispetto al segnale x(t).

Cominciamo col considerare la trasformata di Fourier del segnale x(t):

(E6.6.2)

X(f) = 2T(I- 2IfIT)rect(jT) (E6.6.3)

la trasformata X(j) della sequen,za x[n] ottenuta per campionamento saràdunque

Sistemi monodimensionaIi a tempo discreto 309

I y[m].~~ z(t)~~2fT

(a)

X(~/Xln]~1fT

x(~/1fT Xln], r .z,(t)HOLD ~

(b)

Figura 6.14 -Esempio di sovracampionamento

-) 1 ~ - (

k

)X(J =- £..i X f--T k=- T

(E6.6.4)

il cui andamento è illustrato nella Figura 6.15a. La teoria del sovracampiona-mento appena sviluppata ci dice che il dispositivo di sovracampionamento dellaFigura 6.14 cancella dallo spettro di x[n] tutte le immagini di X(J) poste a ca-vallo dei multipli dispari della frequenza l/T. La trasformata f(J) della se-quenza y[m] sarà quella illustrata in Figura 6.15b la cui espressione è

f(J)=! f X(f - 2k)T k=- T

A questo punto è immediato ricavare la trasformata del segnale interpolato q(t):

\(E6.6.5)

Q(J)=f(J) ~sinc( ~}-j1ifT/2(E6.6.6)

ove si è tenuto conto che l'impulso di interpolazione è rettangolare di durata paria T/2 (si ricordi che questo interpolatore opera a frequenza di campionamento2/T). Inoltre, il filtro della Figura 6.14a ha risposta in frequenza

H(J) =2rect(L )2/T

e cancella tutte le immagini di f(J) (vedi la (E6.6.6)). Lo spettro del segnalez(t) all'uscita del sistema della Figura 6.14a è allora

(E6.6.7)

310 Capitolo 6

Z(I) = Q(I)H(I) = ~ X(I) TSinc(~}-j1!fT/2

= X(I) sinc( ~}-j1!fT/2(E6.6.8)

XCI)

-2fT -1/2T 1/2T 2fT

(b)

Figura 6.15 Spettri delle sequenze x[n] (a) e y[m] (b) dell'Esempio 6.6

Dunque, il sistema della Figura 6.14a introduce una distorsione di ampiezza sulsegnale x(t).

La trasformata del segnale interpolato ql(t) è invece \

(E6.6.9)

poiché stavolta l'impulso-base dell'interpolatore a mantenimento è un impulsorettangolare avente durata T. Il filtro della Figura 6.14b ha risposta in frequenza

HI (I) = rect(fT) (E6.6.1O)

e cancella i contributi di tutte le immagini in )((1). Lo spettro del segnale z\(t)all'uscita del sistema della Figura 6.14b è allora

In analogia con quanto accade con il primo sistema, anche il secondo sistemaintroduce solo una distorsione di ampiezza. Se però si considera la Figura 6.16,

-2fT -1/2T 1/2T 2fT

(a)

+Y(!)


che rappresenta le due situazioni a confronto, si nota che la distorsione speri-mentata nel sistema di Figura 6.l4a (e rappresentata in Figura 6.l6a) è eviden-temente minore che nel caso della 6.l4b poiché la trasformata dell'impulso del-l'interpolatore ha un lobo principale più "largo" che distorce in misura minore.La minore distorsione è evidentemente un effetto benefico del sovracampiona-mento. Chiaramente, con fattori di sovracampionamento ancora più grandi sa-rebbe possibile ridurre maggiormente l'effetto distorcente dell'interpolatore. D

Esempio 6.7Un lettore di Compact Disc (CD) ricostruisce il segnale analogico da inviareall'amplificatore audio di pòtenza a partire dalla sequenza di campioni x[n] cheè stata riletta dal disco medesimo. Come sappiamo, il campionamento in fase diregistrazione (si veda l'Esempio 1.1) avviene alla frequenza fc =44.1 kHz inmodo da rispettare con un certo margine la condizione di Nyquist relativamentealla banda del segnale B =20 kHz. Molti dei lettori comunemente in commercio

usano un circuito di sovracampionamento e interpolazione per meglio effettuarela conversione del segnale da numerico ad analogico.

==== ,/'-2fT -1/2T 1/2T

"-, ;---.2fT f

\ \(a)

-2fT -1/2T 1/2T 2fT

(b)

Figura 6.16 Costruzione degli spettri di ampiezza dei segnali z(t) (a) e Z,(t) (b) dell'Esempio6.6

Se si utilizzasse direttamente, per l'operazione di conversione, un convertitoreD/A (e, quindi, un interpolatore a mantenimento) operante a 44.1 kHz, si verifi-

312 Capitolo 6

cherebbe la situazione rappresentata nella Figura 6.17a. Le immagini presentinello spettro del segnale audio numerico sarebbero molto vicine alle componentiutili dello spettro e il filtro analogico anti-immagine HAf(f), presente necessa-riamente all'uscita del D/A (si ricordi la Figura 5.22), dovrebbe avere una rispo-sta in ampiezza con una transizione estremamente ripida nella banda

[B,l/T-B], cioè 20 kHz-24.l kHz per ben cancellare le immagini. Sfortuna-tamente, un filtro con queste caratteristiche di selettività (ad esempio un filtropassivo con molti poli) presenta anche una risposta in fase estremamente nonlineare non solo nella banda di transizione ma anche in un intervallo di fre-

quenze utili vicine 20 kHz. Questo comporterebbe un' apprezzabile disforsione difase del segnale e un' inaccettabile perdita di qualità per l'ascoltatore.

Usando un circuito di sovracampionamento e interpolazione numerica (fattori

tipici di sovracampionamento sono M =4 o 8) si possono invece già allonta-nare (reiettare) le prime immagini con l'interpolazione digitale, come illustratonella Figura 6.17b. Il filtraggio anti-immagine analogico è quindi moltosemplificato, nel senso. che la zona di transizione dalla banda utile alla bandasoppressa nella risposta in ampiezza del filtro è molto più ampia e le distorsionidi fase sono molto più limitate. Inoltre, la distorsione di ampiezza dovuta alconvertitore D/A è pure ridotta, secondo il meccanismo visto nell'Esempio 6.6.

O

6.2.2 Decimazione o sottocampionamentoL'operazione duale del sovracampionamento è la decimazione rappresentata inFigura 6.l8a-b. La sequenza in uscita y[m] al decimatore è stavoltacaratterizzata da una frequenza di campionamento f; = l/T' = fc / M ed èottenuta dalla sequenza di ingresso x[n], a frequenza fc = l/T, come segue:

I

Il

II

I

y[m] = x[M. m] (6.2.8)

In pratica, si seleziona un campione di x[n] ogni M (si "decimano" i campioni),e necessariamente si aumenta di un fattore M l'intervallo di campionamento:T' = MT.

La trasformata Y(f) della sequenza decimata sarà dunque

+00 +00

Y(f) = Ly[m] e-j2m1JjT'= Lx[Mm] e-j2m1JjMT (6.2.9)IlJ;:;-CQ

1.8

1.6

1.4

1.2

I::: 1.0S 0.8

<X

X(f)

fc=44.1 kHz

I HAI(f)I"'.~-\

'-', \\. ,

.....""-

i\l''''

I \.

: ,"\I ...I .I

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2-100

-0.2-200

-80 -60 -20 60-40 o 40 80 10020

Frequenza (kHz) (a)

M=4, fc'=176.4 kHz

I HAI'(f)I

''''''::':::- -\ I sinc(fT') I""" \

I; "'''" \

""'..\

"';"'",;:

'I ..............., "'", ""'"l, """.\" '..." "j

Y(f)

, - -- ::"~"~Il..>..""""""'" I

./i

"""",,"""':,.,.., ,

"~"""" ", , I,

-150 -50

Frequenza (kHz) (b)

-100 o 150 20050 100

Figura 6.17 Filtraggio anti-immagine senza (a) e con (b) sovracampionamento e interpolazione

D'altronde, il campione x[Mm] può essere inteso come integrale di Fouriersecondo la formula di antitrasformazione (5.2.7):

1B

1

1.4

12

1I:::SM

<XQ6

Q4

Q2k

QO

314 Capitolo 6

1/2T +00

= J X(v)T ,~>-j2ro\1m(f-V)Tdv-1/2T m=-

(6.2.10)

ove l'antitrasformazione usa come di consueto la variabile "muta" v distinta

dalla variabile f della trasformata. La serie di funzioni esponenziali a secondomembro può ora essere riscritta attraverso una formula di Poisson come unpettine difunzioni o:

1/2T +00

(k

)Y(f)= J X(v) L O f-v-- dv-1/2T k=- MT

f+l/2T +00

(k

)= J X(f-a) LO a-- daf-1/2T k=- MT

(6.2.11)

avendodefinito,per semplificarela formula,la variabilea = f - v.

x[n]--..

fe I y[m~fe':f e/M(a)

t x[n]

o 4 8 12 16 n

y [m]

Io 1 2 3 4 m

(b)

Figura 6.18 Simbolo (a) e funzione (b) di decimazione

Osserviamo che la funzione integranda della (6.2.11) è periodica nella variabilea di periodo l/T e l'intervallo di integrazione ha ampiezza pari a un periodo.


Ne segue che il risultato dell'operazione di integrazione è indipendente dallaposizione del periodo di integrazione, cioè dal valore della variabile f.Scegliamo dunque per semplicità l'intervallo di integrazione [O,l/T), eosserviamo che le uniche funzioni 8 il cui punto di applicazione appartiene aquesto intervallo sono quelle corrispondenti ai valori k =0,1,.. .,M -1 (si veda

la Figura 6.19). Applicando la proprietà campionatrice della funzione 8 si puòquindi concludere che ~

M-l

(k

)M-l

f(f)= LX f-- =LX(J-k'f:)k=O MT k=O

(6.2.12)

Si ottiene una somma di M repliche della trasformata della sequenza originaria,ciascuna traslata rispetto alla precedente di una quantità pari alla frequenza dicampionamento "di uscita" f: =1/ MT.

L ~a-k/MT) tk=O 1 M-1

Figura 6.19 Integrazione del pettine di 8 della relazione (6.2.11)

La conclusione di questo calcolo è che l'operazione di decimazione può compor-tare un fenomeno analogo a quello dell' aliasing nel campionamento di un se-

gnale analogico (si confronti la (6.2.12) con la (5.4.7». Infatti se la sequenzax[n] ha una banda B ~ 1/(2MT) (come nella Figura 6.20a) nello spettro f(f)

non si verifica alcuna sovrapposizione fra le repliche spettrali di X(J) (Figura6.20b). Viceversa, se questa condizione (analoga alla condizione di Nyquist peril campionamento dei segnali analogici) non è verificata, si produce aliasing e lospettro della sequenza decimata, nel suo proprio intervallo-base [- fc' /2,fc' /2] èdiverso da quello della sequenza originaria. Per questa ragione è importante chel'operazione di decimazione sia preceduta da un filtraggio numerico passa-bassoanti-aliasing che limiti la banda della sequenza x[n] a un valore minore dellimite 1/(2MT) .

316 Capitolo 6

MT

M2T

M2T

MT

Figura 6.20 Decimazione senza aliasing

Esempio 6.8Descriviamo adesso uno schema per la conversione alla nuova frequenza dicampionamento f:=32 kHz di un segnale audio campionato a frequenzafc = 48 kHz. Osserviamo preliminarmente che le due frequenze stanno in unrapporto razionale, cosicché il problema è risolubile con le tecniche appena vi-ste. In particolare, poiché 1:1fc = 2/3, è necessario disporre in cascata un so-vracampionatore/interpolatore di un fattore 2 (che innalza la frequenza di cam-pionamento a 96 kHz) seguito da un decimatore di un fattore 3 (che la riduce ai32 kHz richiesti), come indicato nella Figura 6.2la. La realizzazione del sistema

richiede, per quanto detto nei paragrafi precedenti, l'impiego di un filtro interpo-latore (nel sovracampionatore) e di un filtro anti-aliasing (nel decimatore). Sia ilprimo che il secondo filtro devono essere dei passa-basso ideali aventi rispetti-vamente banda Bl =20 kHz e banda B2 =15 kHz. Poiché i due si trovano diret-

tamente in cascata, il primo dei due (avente banda più larga) risulta evidente-mente inutile. La disposizione finale del sistema è quindi quella di Figura 6.2lb,in cui

,

h[p] = ~sinc (5P)8 16(E6.8.l)

,(

M=4

f\ f\ r

..1 1 1 1

T 2MT 2MT T

-V(f)


x[n]----.

le

=2.1c/3(a)

ZP h[p]

I f" -I ~ 3 I ~m]-

Figura 6.21 Cambiamento della frequenza di campionamento da 48 a 32 kHz

o

6.3 Cenni alla trasformata Z di una sequenza

6.3.1 Definizione di trasformata Z e zone di convergenza

Le sequenze a energia illimitata non possiedono in generale trasformata diFourier in senso ordinario, poiché la serie (5.2.5) è usualmente non convergente.In stretta analogia a quanto rapidamente accennato nel Paragrafo 3.6 relativa-mente alla trasformata di Laplace per segnali a tempo continuo, si introduce inquesti casi la sequenza

x[n]=x[n]-(~J ' r>O(6.3.1)

che, contrariamente alla sequenza originaria, tende rapidamente a zero quandon ~ 00. Ad esempio, la sequenza x[n]=u[n] non ammette trasformata diFourier ordinaria, mentre la x[n] definita come sopra è una sequenza

esponenziale smorzata che ammette trasformata se r > 1.

Calcoliamo ora la trasformata della nuova sequenza "smorzata" x[n]:

~ ~ ~

X(f) = Lx[n] e-j21C11jr= Lx[n] r-"e-j21C11jr= Lx[n] (rej2rrfTr" (6.3.2)

In analogia con il procedimento che porta dalla trasformata di Founer a quella diLaplace, possiamo anche qui definire un'unica variabile complessa espressa informa polare come segue:

t2z[p]

! 3y[m]

I c"=2.1c I c'=1'/3=

318 Capitolo 6

z~rej2rrjT r=lzl;:::O -7r<L.z:::;7r =} -~:::; f <~, , , 2T 2T

(6.3.3)

e interpretare poi la trasformata di Fourier della sequenza "modificata" x[n]come una diversa trasformata del segnale originario x[n] dipendente appuntodalla variabile complessa z = rej2rrjT:

-X(z) =Z[x[n]]~ L,x[n] Z-n (6.3.4)

Questa relazione definisce la trasformata Z bilatera della sequenza x[n]. La

differenza principale rispetto alla trasformata di Fourier sta evidentemente nelfatto che questa trasformata esiste in senso ordinario anche in molti casi in cui latrasformata di Fourier della sequenza originaria non esiste. Per il segnale gradinoabbiamo infatti

- ~ ~ ~

X(z) =X(f) = L,x[n] e-j2rrn!T= L,u[n] r-ne-j2rrn!T= L, (r-'e-j2rrjTfn=~ n=O n=O

1 1= -I - "2rrjT= :( , r = Izi> 1l-r e] l-z

È chiaro dunque che la sequenza gradino unitario ammette trasformata Z ordi-naria e che questa è U(z) =1/(1- Z-I). Altrettanto chiaro dalla breve discussionesul ruolo del "parametro di smorzamento" r =1z I è che tale risultato deve inten-dersi valido solo per particolari valori di r, in questo caso r > O. Se ad esempioconsideriamo la sequenza x[n] = anu[n], a> 1, il minimo valore di r che garan-tisce smorzamento sufficiente è stavolta r =a, e dunque la trasformata sarà va-lida solo se Iz I>a. Una relazione di questo tipo identifica una zona del pianocomplesso della variabile z in cui la trasformata Z esiste, in cui cioè la serienella (6.3.5) è convergente.

Dal punto di vista squisitamente matematico, l'espressione (6.3.4) della tra-sformata Z rappresenta una serie di potenze o serie di Taylor-Laurent di varia-bile complessa. Come abbiamo anticipato con considerazioni euristiche, la seriedi Laurent converge in un dominio del piano complesso descritto dalla relazione

(6.3.5)

(6.3.6)

ove R, ed lS sono i cosiddetti raggi di convergenza e dipendono dallaparticolare sequenza x[n] di cui si cerca la trasformata. Può accadere inparticolare che si abbia Rl = Oe/o ~ = +00.

Esempio 6.9

Calcoliamo la trasformata Z della sequenza

x[n] = a"u[n] (E6.9.l)

rappresentata in Figura 6.22. Applicando la definizione (6.3.4) si ha

-+<>o -+<>o -+<>o

X(z) = La"u[n]z-" =La" z-"= L (az-Tn=O "=0

(E6.9.2)

1.2

1.0

0.8C's'c:«I 0.6Il

CX

0.4

0.2

0.0-5 O 10 15 20 255

n

Figura 6.22 Sequenza dell'Esempio 6.9

La serie a secondo membro è una serie geometrica di ragione az-l. Affinchéquesta converga è necessario che la sua ragione sia in modulo minore di 1, che siabbia cioè Izl> lal.Sotto questa ipotesi la trasformata cercata è

1

X(z) = 1 -az(E6.9.3)

La zona di convergenza Izl> laldi X(z) è rappresentata in Figura 6.23 quando aè un numero reale positivo. Nel caso particolare a =1, si ottiene la sequenzagradino unitario

x[n]=u[n] (E6.9.4)

la cui trasformataZ è ricavabile come caso particolare dalla (E6.9.3):

320 Capitolo 6

1X(z) = _1 -I-z

con zona di convergenza Izi> 1, come già ricavato dalla discussione preliminarealla definizione di trasformata. D

(E6.9.5)

S[z]Zona di

convergenza

a ~ [z]I

I I

j

I IFigura 6.23 Zona di convergenza della trasformata dell'Esempio 6.9

Esempio 6.10Calcoliamola trasformataZ dellasequenza

y[n] = -anu[-n-l] (E6:1O.l)

rappresentatain Figura 6.24. Applicando la definizione (6.3.4) si ha- ~-Y(z)=- Lanu[-n-l]z-n =- Lan z-n =- L(a-Iz)"

n=- n=-oo n=I

(E6.1O.2)

Di nuovo, la serie a secondo membro della (E6.l0.2) è una serie geometrica diragione a-Iz. Se la ragione è in modulo minore di uno, cioè se Izl< lal, la serie èconvergente, e la trasformata cercata è

11 - -I-az

(E6.1O.3)

cioè esattamente identica a quella della sequenza (completamente differente)

dell'Esempio 6.9! La zona di convergenza, rappresentata in Figura 6.25, è peròIzi< lal,cioè è esattamente complementare a quella dell'esempio precedente.

-4.0-25 -20 -15 -10 -5 o 5

n


g[z] Zona diconvergenza

a9\ [z]

Figura 6.25 Zona di convergenza della trasformata dell'Esempio 6.10

o

I due esempi appena visti indicano alcune proprietà generali della trasformataZbilatera. Come è chiaro, assegnata una trasformata X(z) non è in generale

0.0

-0.5

-1.0

c, -1.5T""..!...:Jc: -2.0CtSIIlc -2.5

-3.0

-3.5

-

-

-

-

-

-

I- la=1.051-

I I I I

322 Capitolo 6

possibile risalire univocamente alla sequenza x[n] se non si specifica la zona diconvergenza. Le sequenze dei due esempi sono infatti differenti, ma possiedonola stessa trasformata, ovviamente con differenti zone di convergenza. I dueesempi sono stati scelti perché casi particolari di tendenze generali. Infatti, lesequenze causali (o comunque destre, cioè semiinfinite verso destra), comequella dell'Esempio 6.9, hanno in generale zone di convergenza date dalla partedi piano esterna a una circonferenza. Viceversa, sequenze anticausali (diverseda zero solo per n < O, o comunque sinistre) hanno come zona di convergenzaun cerchio con centro nell'origine.

Esempio 6.11

Calcoliamo la trasformata Z della sequenza

(E6.11.1)

di Figura 6.26. Essa è costituita dalla somma di una sequenza anticausale e diuna causale analoghe a quelle degli Esempi 6.9-6.10. Possiamo dunqueconcludere immediatamente che

(E6.11.2)

nell'ipotesi che esista una zona di convergenza. Infatti la zona di convergenza èindividuata dalla intersezione fra le regioni di convergenza della parte causale edi quella anticausale di w[n].La zona di convergenza è allora

lal < Izi < Ibl (E6.11.3)

ma solo se questa espressione ha senso, cioè se lal< Ibl, come in Figura 6.27, e

come nell'esempio numerico della Figura 6.26; se viceversa lal~ Ibl latrasformata Z non esiste, perché non esiste nessuna zona del piano z in cuientrambii terminidi w[n]dannoluogoa serieconvergenti. O

Così come succede per la trasformata di Laplace, si definisce anche unaversione monolatera della trasformata Z:

~

X(z) =Lx[n]z-nn=O

(6.3.6)


2


3[z]Zona di

convergenza.

Figura 6.27 Zona di convergenza della trasformata dell'Esempio 6.11

che coincide con la trasformata bilatera già definita quando le sequenze sono

causali. Nel caso di sequenze causali peraltro, la questione delle zone diconvergenza si semplifica, come testimonia il seguente esempio.

C'S'c oro.:t...-Ic: -1...!....::Jc.c

I -2IlC

:!I':

I Ib=1.0sla=0.8..

I-20 -10 o 10 20

n

324 Capitolo 6

Esempio 6.12Calcoliamo la trasfonnata Z della sequenza causale

c[n] = a"u[n]+b"u[n] (E6.12.1)

La sequenza c[n] è costituita dalla somma di due sequenze esponenziali causalie quindi la trasfonnata cercata è, come nell'esempio precedente,

(E6.12.2)

In questo caso la zona di convergenza esiste certamente. Infatti l'intersezione frale regioni di convergenza delle trasfonnate Z delle due componenti causali dic[n] infatti è pari a

Izl> max(lal, Ibl) (E6.12.3)

ed è rappresentata nella Figura 6.28 per a e b reali positivi, b> a.

3[z] Zona diconvergenza

b 9ì[z]

Figura 6.28 Zona di convergenza della trasformata nell'Esempio 6.12

6.3.2 Relazione con la trasformata di Fourier

Confrontiamo le espressioni della trasformatatrasfonnata Z X(z) di una stessa sequenza x[n]:

di Fourier X (f) e della


~ ~ ~

X(z) = Lx[n]z-n , X(f) = Lx[n]e-j2nnjT= Lx[n](e-j21!fT)n (6.3.7)

È chiaro che, formalmente, si può ottenere la trasformata di Fourier dallaconoscenza della trasformata Z semplicemente ponendo

\X(f) = X(z)I,=ej2>iff (6.3.8)

Questo significa valutare la X(z) in tutti i punti del piano della variabile z che si

trovano sulla circonferenza di raggio unitario Izl=1. Quando la frequenza f

varia infatti tra -1/ 2T e 1/ 2T, la quantità ej21!fT"percorre" tale luogo geome-trico a partire dal punto -1 + jO, per ritomarvi dopo una intera rotazione insenso antiorario. Riguardo a questo punto, però, bisogna fare considerazionisimili a quelle viste nel Paragrafo 3.6 a proposito della relazione fra trasformatadi Laplacee di Fouriera tempocontinuo.Affinchéla relazioneX(f) = X(ej21!fT)abbia senso, ci si deve assicurare che la circonferenza Izi=1 sia interamentecontenuta nella zona di convergenza di X(z), come mostra la Figura 6.29, altri-menti la (6.3.8) non è applicabile.

5[z]

Zona diconvergenza

9ì[z]

Figura 6.29 Estrazione, quando lecito, della trasformata di Fourier dalla trasformata Z

326 Capitolo 6

6.3.3 Inversione della trasformata Z

Qual è la relazione che permette di ricostruire una sequenza x[n] a partire dal-l'espressione della sua trasformata Z X(z)? Il problema è equivalente a quelloIdella ricostruzione di coefficienti della serie di Taylor-Laurent (6.3.4) nota lasomma della serie stessa. Questi coefficienti possono essere ricavati attraverso ilteorema di Cauchy applicato alla funzione di variabile complessa zn-I. Seconsideriamo un cammino di integrazione chiuso che circonda il punto z =O (adesempio, la circonferenza 1z 1=1) percorso in senso antiorario, il teorema di

Cauchy stabilisce che

~,(zn-ldZ = 8[n]21rjj

Infatti, la funzione zn-I ha un polo nel punto z = O per n ~ O,ma l'unico caso incui il residuo in questo polo è diverso da zero (e pari a 1) è quello in cui n =O.Consideriamo allora la seguente espressione:

(6.3.9)

(6.3.10)

ove l'integrale è calcolato lungo un cammino chiuso che circonda l'origine,percorso in senso antiorario e appartenente alla zona di convergenza dellafunzione X(z). Se sostituiamo a X(z) l'espressione (6.3.4) si ottiene

~fX(z) zn-Idz= ~f fx[k] z-kzn-Idz= fx[k] ~fzn-I-kdz27rJ 27rJ k=- k=- 27rJ-= LX[k]8[n-k]=x[n]

k=-(6.3.11)

Riassumiamo quindi la relazione (di Cauchy-Riemann) per la antitrasformazionedella trasformataZ:

(6.3.12)

L'importanza di questa relazione si rivela più teorica che pratica, per la difficilevalutazione dell'integrale sul piano complesso.

6.3.4 Proprietà della trasformata ZDalla definizione (6.3.4) segue immediatamente che l'operazione di trasformataZ gode della proprietà di linearità. Enunciamo adesso e dimostriamo alcune

ulteriori proprietà salienti di cui gode tale trasformata..Teorema del ritardo

Data una sequenza x[n] con trasformat\Z X(z), la trasformata della sequenzaritardata di no passi è data da

+00 +00 +00

Lx[n -no] z-n = Lx[n] z-(n+no)= Z-noLx[n] Z-n = Z-noX(Z) (6.3.13)n=-00 n=-00

La zona di convergenza della sequenza x[n] e della sequenza x[n - no] coinci-dono a meno, eventualmente, dell'origine (se no> O) e del punto all'infinito (seno < O).

Esempio 6.13La trasformata Z della sequenza 8[n] è data da ~(z)=l e la sua zona diconvergenza è tutto il piano complesso. In virtù del teorema del ritardo, latrasformata Z della sequenza 8[n-l] è allora Z-I~(z)= Z-I e la sua zona diconvergenza è costituita da tutto il piano complesso esclusa l'origine.Analogamente, la trasformata Z della sequenza 8[ n + 1] è data da z ~(z) = z e la

sua zona di convergenza è costituita da tutto il piano complesso escluso il puntoall'infinito. O

. Teorema della moltiplicazione per il tempo

Data una sequenza x[n] con trasformataZ X(z), la trasformata della sequenza

n.x[n) è data da ~-(Y)t1)/

Z[n. x[n])= In. x[n]Z-n= - z Ix[n](-n) Z-n-I/=-Z d X(Z)n=- n=- dzI

La zona di convergenza della trasformata della sJquenza n. x[n) coincide, ingenerale, con quella della sequenza x[n) (a meno del punto all'infinito).

~ ~ r cl ~-'

Esempio6.14 - l Y. V')-;;T?-1- /Nell'Esempio 6.9 abbiamo dimostrato che la trasfurmata Z delta seqùenzagradino unitario u[n] è ....

j r J-VI

1 Z .- -L C , oc:::;;- V[IA 7'J-U(z)= :j=- L - '~"- "'<-Il' l--(E6.14.l)

l-z z-l cA1=\.V1con Izl> 1. Per il teorema della moltiplicazione per il tempo, la trasformata della

(6.3.14)

328 Capitolo 6

sequenza rampa unitaria x[ n ] = n . u[n] è data da

d U(z) - - !!:..[~

]=~

X(z)=-z~- zdz z-l (z-l)Z-l

(l-z-'t(E6.l4.2)

La zona di convergenza di X(z) coincide con quella di U(z), poiché in entrambi

i casi è presente il solo polo zp =1. O

.Teorema della convoluzione

Date due sequenze x[n] e y[n] con trasformateZ rispettivamente X(z) e Y(z),la trasformata Z della loro somma di convoluzione x[n]@y[n] è

~

Z[x[n]Q9y[n]]=IJx[n]@y[n]}z-n = L Lx[k]y[n-k]z-IIn=-

.....

= Lx[k] Ly[n -k] Z-nk=- n=-

(6.3.15)

Poiché, per il teorema del ritardo, si ha.....

Ly[n-k]z-n =Z-k Y(Z) (6.3.16)n=-oo

la (6.3.15) diviene.....

L {x[n]@ y[n]} Z-n = LX[k] Z-k Y(Z) = X(Z) Y(Z)n=- k=-

(6.3.17)

La trasformata Z della somma di convoluzione tra due sequenze è dunque pari alprodotto delle trasformate Z delle sequenze stesse.

Si osservi che la zona di convergenza della sequenza somma di convoluzioneè data in generale dalla intersezione fra le regioni di convergenza di X(z) eY(z), salvo casi particolari.

6.4 Sistemi a tempo discreto regolati da equazioni alle differenze

6.4.1 Un caso di studio

Introduciamo l'argomento di questo paragrafo attraverso lo studio di un casoparticolare. Consideriamo dunque il circuito R-C di Figura 6.30. Come già di-mostrato nel Capitolo 4, la risposta in frequenza di questo SLS a tempo continuoè espressa da


(6.4.1)

da cui segue:

Y(J)+ j21ifa Y(J)= X(J) (6.4.2)

Se si antitrasformano entrambi i membri della (6.4.2) si ricava la seguenteequazione differenziale che caratterizza il comportamento del sistema neldominio del tempo:

l ly'(t) = --y(t)+-x(t) con y'(t)~dy(t)/ dt

a a(6.4.3)

R

t I t«

I..Figura 6.30 Circuito elettrico R-C

Le caratteristiche di linearità e stazionarietà del sistema sono riflesse nella

struttura dell'equazione differenziale che regola il comportamento del sistemastesso: l'equazione è lineare e presenta coefficienti costanti (nel tempo). Ilsistema in esame è solo un esemplare molto semplice della grande classe disistemi a tempo continuo che sono per l'appunto regolati da equazionidifferenziali lineari a coefficienti costanti. Qual è l'equivalente a tempo discretodi questa grande classe?

Per rispondere a questa domanda, riconsideriamo l'esempio particolare dellasquadraR-C, e cerchiamo di ricavare un sistema a tempo discreto che, ricevendo

in ingresso la sequenza prodotta dal campionamento del se~nale x(t) conperiodo T, fornisca in uscita una sequenza quanto più possibile simile a quellaprodotta dal campionamento di y(t) con lo stesso periodo. Risolviamo cioè unproblema di approssimazione di un sistema a tempo continuo con uno a tempodiscreto (chiamato problema di simulazione) schematizzato nella Figura 6.31.

330 Capitolo 6

x(t)SLS

Tempo Continuo

y(t)

SLSTempo Discreto

y[n]=y(nT)x[n]=x(nT)

Figura 6.31 Simulazione di un SLS a tempo continuo con un SLS a tempo discreto

Cominciamo dunque con il riscrivere l'equazione differenziale (6.4.3) agli istantinT relativi al campionamento dei segnali a tempo continuo:

y'(nT) = -..!..y(nT)+ ..!..x(nT)a a

Approssimiamo adesso il valore della derivata del segnale d'uscita all'istante nTcon il valore del rapporto incrementale all'indietro calcolato su di un intervallodi campionamento:

(6.4.4)

y'(nT) ==y(nT) - y«n -1)T)T(6.4.5)

Se usiamo questa approssimazione nella (6.4.4) e sostituiamo ai valori deisegnali a tempo continuo campionati i valori delle sequenze di ingresso/uscitadel sistema a tempo discreto, otteniamo la seguente equazione:

y[n]- y[n -1] - -..!..y[n] + ..!..x[n]T a a(6.4.6)

Questa relazione caratterizza dunque un sistema a tempo discreto il cuicomportamento, nei limiti di validità dell'approssimazione numerica (6.4.5), èsimile a, cioè simula, quello del sistema analogico di partenza.

La relazione (6.4.6) è una equazione alle differenze, cioè una relazione chelega i valori all'istante corrente n dell'ingresso e dell'uscita del sistema con ledifferenze tra tali valori e i rispettivi valori a istanti diversi (n -1, n - 2 ecc.). Leequazioni alle differenze sono la controparte immediata a tempo discreto delleequazioni differenziali a tempo continuo. La relazione (6.4.6) appena ricavata,che possiamo riformulare come segue,


y[n] = (~ )y[n-l] +(~ )x[n]a+T T+a(6.4.7)

è caratterizzata dalle seguenti proprietà:. è lineare poiché i valori delle sequenze x[n] e y[n] compaiono solo cometermini di una combinazione lineare (su di essi cioè non viene svolta alcuna

operazione nonlineare, come elevazione a potenza ecc.);. è a coefficienti costanti poiché tutti i coefficienti della combinazione linearesuddetta non dipendono dalla variabile temporale n;. è di ordine 1 poiché la sequenza di uscita y[n] compare ritardata al massimo

di 1 passo: y[n -1].

6.4.2 Implementazione con componenti elementari e generalizzazionePossiamo rappresentare con un diagramma a blocchi l'equazione alle differenze(6.4.7), ottenendo, del sistema a tempo discreto, una descrizione che considere-remo analoga allo "schema elettrico" R-C del sistema di partenza, nel senso cheugualmente ne dà una descrizione di tipo grafico. Per costruire questo dia-gramma a blocchi useremo i tre componenti elementari rappresentati in Figura6.32, cioè l'amplificatore ideale, il ritardatore e il sommatore.

x[n] ax[n]. Moltiplicatore per una costante

X[n~n-1]Ritardatore di un passo

X,lnrln"X,ln]

~[n]

Sommatore minimo

Figura 6.32 Componenti elementari a tempo discreto

Lo schema che descrive il comportamento del SLS a tempo discreto in esame èfacilmente ricavabile dall'Equazione (6.4.7) ed è rappresentato in Figura 6.33.L'Equazione (6.4.7) è tipicamente ricorsiva: il valore corrente dell'uscita all'i-

332 Capitolo 6

stante n è ricavabile in funzione del valore dell'uscita al passo precedente n-l,che è ricavabile in funzione del valore dell'uscita al passo precedente n - 2, cheè ricavabile in funzione del valore dell'uscita al passo precedente n - 3... Questaricorsione si traduce dal punto di vista grafico nella "reazione di segnale" visi-bile in Figura 6.33, cioè nel percorso che "riporta" il segnale di uscita, opportu-namente ritardato e scalato, verso l'ingresso.

Cerchiamo adesso di estendere i concetti visti per l'esempio particolare alcaso generale di un SLS a tempo discreto che può essere descritto da unaequazione alle differenze lineare e a coefficienti costanti di ordine N.

Limitandoci a considerare soltanto sistemi causali, il comportamento del sistemaè descritto da un' equazione del tipo

N M

I,am y[n-m]= I,bk x[n-k]m;Q k;Q

(6.4.8)

Senza perdere di generalità possiamo porre aQ=1 nella relazione e trovare laforma normaledell'equazionealledifferenze:

N M

y[n]=-I,am y[n-m]+ I,bk"x[n-k]m;l k;Q

(6.4.9)

y[n]

y[n-1]

Figura 6.33 Schema a blocchi di un SLS del primo ordine

La causalità è adesso evidente: il valore assunto dalla sequenza di uscitaall'istante n è determinato soltanto dai valori dell'ingresso e dell'uscita stessaper istanti non successivi a n. L'ordine dell'equazione coincide in pratica con ilmassimo ritardo con il quale compare la sequenza di uscita.

Utilizzando i componenti elementari di Figura 6.32, possiamo dare la rappre-sentazione generale di questa equazione mostrata in Figura 6.34, che prende il


nome di rappresentazione in forma diretta. Questa comporta la presenza di dueregistri di ritardo (o registri a scorrimento) di ordine M ed N; tali registri per-mettono di ottenere i valori ritardati rispettivamente dell'ingresso e dell'uscitanecessari alla implementazione delle sommatorie nella (6.4.9), per un totale diM + N elementi di ritardo. Il disegno fa riferimento al caso particolare M > N,ma in generale tra questi due parametri non c'è alcuna relazione.

r--- ----I

x[n] :I

- --------

IIII,:x[n-1]III,

:y[n]I

IIII,

r:f0>-11 i+'I,II

I I

y[n-N]

Sottosistema A

II

, IIII'-

III

Sottosistema B :- - - --- -- ---

Figura 6.34 Realizzazione in forma diretta di un SLS causale di ordine N

Nella Figura 6.34 sono stati messi in evidenza due sottosistemi lineari e stazio-nari del SLS nella sua globalità, racchiusi nei riquadri a tratteggio. È allora pos-sibile invertire l'ordine di tali sottosisterni senza che il comportamento globalemuti minimamente: si ottiene così la struttura modificata rappresentata in Figura

6.35. Si nota però che in questa nuova configurazione i due registri di ritardohannoin ingressoil medesimosegnale;essipossonoesseresostituitida un unico

registro che "serve" entrambi i sottosisterni e di lunghezza pari al massimo tra Med N. Si ottiene quindi la realizzazione in forma canonica del sistema mostratain Figura 6.36. La struttura canonica minirnizza il numero di ritardi necessariall'implementazione dell'equazione alle differenze (ovviamente si ha che,max(N,M)::; N + M), ma richiede la considerazione esplicita del segnale w[nJ

334 Capitolo 6

interno al circuito (una sorta di "variabile di stato"). In un programma per calco-latore che implementa l'equazione alle differenze (6.4.9), la lunghezza totale deiregistri di ritardo è pari al numero di locazioni di memoria che si devono riser-vare per i valori ritardati dei segnali di ingresso/uscita necessari per calcolare ilvalore corrente dell'uscita.

III

I

I

x[n] y[n]

Sottosistema B Sottosistema A

Figura 6.35 Modifica della forma diretta di Figura 6.34

6.4.3 Calcolo della risposta impulsivaL'equazione alle differenze (6.4.9) o uno degli schemi a blocchi delle Figure6.34-6.36 descrivono completamente il comportamento del SLS a tempodiscreto nel dominio del tempo. Tuttavia, lo stesso sistema è completamentecaratterizzato anche quando se ne conosce la risposta impulsiva

I

h[n] = 'T(8[n]] (6.4.10)

tl!

r

Il calcolo della sequenza h[n] per il sistema dato può essere effettuato inmaniera ricorsiva utilizzando l'equazione alle differenze in forma normale(6.4.9), con x[n] = 8[n] e y[n] = h[n]:

x[n] y[n]

Figura 6.36 Realizzazione in fonna canonica di un SLS causale di ordine N

N M

h[n ] = - L alli h[n - m] + L bk 8[ n - k]111=1 k=O

(6.4.11)

Questa equazione può essere materialmente risolta con un calcolatore a partiredall' istante n = O e tenendo conto che, per la causalità del sistema, h[n] = Opern<O.

Esempio 6.15

Consideriamo un sistema causale del primo ordine descritto dall'equazione alledifferenze

y[n] =ay[n -1]+ bx[n] (E6.15.1)

la cui realizzazione in forma canonica è mostrata in Figura 6.37. Possiamo anchecaratterizzare il sistema mediante la sua risposta impulsiva utilizzando la rela-zione ricorsiva che si ottiene ponendo x[n] = 8[n] e y[n]= h[n] nella(E6.15.1):

336 Capitolo 6

x[n] y[n]

Figura 6.37 Fonna canonica del sistema dell'Esempio 6.15

h[ n ] = a h[ n -1] + b 8[ n ] (E6.15.2)

In particolare, ricordando che h[n] è causale (e quindi h[-l] =O), per n =O siha

h[O]=b (E6.15.3)

mentre per n > O

h[n ] = a h[n-l] (E6.15.4)

La Tabella 6.1 riassume i calcoli che si devono effettuare per ricavare1'espressione della risposta impulsiva.

Tabella 6.1 Calcolo ricorsivo della risposta impulsiva

Riassumendo i risultati della Tabella 6.1, concludiamo che

(E6.15.5)

D

n 8[n] h[n] = ah[n -1] +b8[n]-1 O OO 1 b1 O a.b+O=ab2 O a.ab+0=a2b3 O a.a2b+0=a3b

n IO I a.al-lb+O=a"b

6.4.4 La funzione di trasferimento

Lafunzione di trasferimento di un SLS avente risposta impulsiva h[n] è definitacome la trasformataZ H(z) della sequenza h[n]:

+<->

H(z)~ ~)[n] Z-II (6.4.12)

Abbiamo dimostrato che, nota la risposta impulsiva di un sistema a tempo

discreto, la sequenza di uscita y[n] è data dalla somma di convoluzione tra larisposta impulsiva stessa e la sequenza di ingresso x[n], cioè

y[ n ] = x[ n ] <8> h[ n ] (6.4.13)

Poiché la trasformata Z di una somma di convoluzione è data dal prodotto delle

trasformate Z dei due segnali (vedi la (6.3.17)), dalla (6.4.13) si ha che

y(z) = X(z) H(z) (6.4.14)

quindi la funzione di trasferimento di un sistema è anche espressa dal rapportofra la trasformata Z della sequenza d'uscita e quella della sequenza d'ingresso:

Y(z)

H(z) = X(z)(6.4.15)

Torniamo ora a considerare i SLS causali descritti da equazioni alle differenze.

L'equazione in forma normale è

N M

y[ n ] = - I, am y[ n - m] + I, bk x[ n - k]m-I k-O

(6.4.16)

Calcolando la trasformata Z di entrambi i membri ricaviamo:

N M N M

Y(z) = - I,am z-my(Z)+ I,bk Z-kX(Z) = -Y(z)I,am Z-m+ X(z)I,bk Z-km-l k-O m-I k-O

(6.4.17)

da cui, con semplici passaggi,

M k

I,bkz-Y(Z) - k-O

H(z) = X(Z) - 1+ 'i:amZ-m",=1

(6.4.18)

338 Capitolo 6

La funzione di trasferimento di un SLS causale descritto da una equazione alledifferenze lineare a coefficienti costanti è quindi una funzione razionale frattanella variabile Z-I.

Esempio 6.16Consideriamo nuovamente il sistema causale descritto nell'Esempio 6.15:

y[n] =ay[n -1] + bx[n] (E6.l6.l)

Esso ricade nella forma generale (6.4.16) con N = 1, M = O, al = -a, bo =b. Si

puòalloraricavaredirettamentela funzionedi trasferimentodel sistema

bbo =- -I

H(z) = l+aoz-I l-az(E6.l6.2)

la cui antitrasformata, con zona di convergenza Izl> Iai. è

h[n] = b a"u[n] (E6.l6.3)

Si osservi che la scelta della zona di convergenza deriva immediatamente

dall'ipotesi di causalità. O

6.4.5 Sistemi a risposta impulsiva finita e infinitaDiscutiamo ora alcuni casi particolari di SLS causali con funzione ditrasferimento razionale fratta. Supponiamo, ad esempio, che sia N =O.L'equazione alle differenze (6.4.16) perde completamente il carattere diricorsività e si semplifica nella equazione non ricorsiva

M

y[n] =~)k x[n-k]k=O

(6.4.19)

e la funzione di trasferimento corrispondente diviene unpolinomio in Z-I:

M

H(z) =L.A Z-kk=O

(6.4.20)

Antitrasformando, si ricava immediatamente la risposta impulsiva del sistema:

{

b 05:n5:MM Il

h[n] =~)k 8[n - k] = O altrimentik=O

(6.4.21)


I sistemi caratterizzati da una equazione alle differenze del tipo (6.4.19), e quindinon ricorsivi, sono chiamati sistemi FIR (Finite Impulse Response) in quanto,come mostra la (6.4.21), hanno una risposta impulsiva di durata finita. La formadiretta o canonica di un sistema FIR è rappresentata in Figura 6.38, ove si notal'assenza di reazione di segnale dovuta alla mancata ricorsività dell'equazionealle differenze.

x[n] y[n]

Figura 6.38 Realizzazione di un filtro FIR

Supponiamo ora che sia N:I; O, come nel caso degli Esempi 6.15-6.16, in cuiN = 1. L'equazione alle differenze comporta un calcolo ricorsivo: il valore dellasequenza di uscita all'istante n è determinato dal valore all'istante precedenteche è determinato dal valore all'istante precedente che è determinato dal valore

all'istante precedente Questa ricorsione dà luogo a una memoria infinita per ilsistema o, equivalentemente, a una risposta impulsiva di durata infinita (si ve-dano ancora gli Es2mpi 6.15-6.16). Per questa ragione i sistemi a tempo discretocaratterizzati da un'equazione alle differenze (6.4.16) con N> O sono detti IIR(Infinite Impulse Response) e la relativa funzione di trasferimento è una funzionerazionale fratta nella variabile Z-I. Si introduce talvolta la nomenc1aturadi pu-

ramente ricorsivo per un sistema avente M = O, cioè caratterizzatodall'equa-zIOne

34~ Capitolo 6

N

y[n] = - Lam y[n -m]+ box[n]m=1

(6.4.22)

corrispondente alla realizzazione di Figura 6.39.

x[n] y[n]

~[~1]

y[n-N]

Figura 6.39 Realizzazione di un sistema puramente ricorsivo

Vogliamo ora evidenziare quali caratteristiche deve avere la funzione di trasfe-rimento di un sistema causale FIR o IIR affinché sia garantita la stabilità se-condo il criterio BIBO. Consideriamo innanzitutto un filtro FIR: poiché la ri-

sposta impulsiva h[n] è costituita da un numerofinito di valori di ampiezza limi-tata, la condizione (6.1.13) di assoluta sommabilità di h[n] è sicuramente verifi-

cata. Segue che tutti i sistemi FIR sono sempre stabili senz' alcuna condizionesul numero dei coefficienti e sui valori (limitati) da essi assunti: per questa ra-gione si usa dire che i sistemi (filtri) FIR sono incondizionatamente stabili.

Per i filtri IIR, invece, la stabilità non è sempre garantita, come si vedefacilmente con un semplice esempio.

Esempio 6.17Consideriamo lo stesso sistema dell'Esempio 6.15, con a = 2 e b = 1:

y[ n ] = 2 y[ n -1] + x[ n ] (E6.17.1)

e ricalcoliamone la risposta impulsiva. Il sistema è chiaramente IIR perché


ricorsivo, e la risposta impulsiva si calcola attraverso la Tabella 6.2.

Tabella 6.2 Calcolo ricorsivo della risposta impulsiva'

Riassumendo i risultati della Tabella 6.2, concludiamo che

h[n] = 2"u[n] (E6.17.2)

che diverge quando n ~ 00 e non è assolutamente sommabile. Il semplice si-stema IIR dunque non è stabile. O

Dobbiamo trovare un criterio che permetta di stabilire se un dato sistema IIRè stabile o meno. Analizziamo quindi il caso generale di un sistema IIR pura-mente ricorsivo con funzione di trasferimento

(6.4.23)

e calcoliamo per prima cosa le N radici dell'equazione in z:

(6.4.24)

cioè i poli zpm' m =1,...,N della funzione di trasferimento.Supponendopersemplicità che i poli siano tutti a molteplicità unitaria, possiamo poi riscrivere la(6.4.23) attraverso la scomposiziondnfratti semplici:

N Alli

H(z) = ~1-ZpmZ, ~1=H(z)(I-zPmz-t=." "Pm

(6.4.25)

Antitrasformando la (6.4.25) si ricava la seguente espressione per la rispostaimpulsiva del sistema:

n I 8[n] h[n] = 2h[n -1]+8[n]

-1 O OO l ll O 2+0=22 O 2.2+0=43 O 2.4+0=8

n O 2.21/-1+ 0= 21/

342 Capitolo 6

N

h[n]=I hm[n]m=l

(6.4.26)

ove

(6.4.27)

Come sappiamo, condizione necessaria e sufficiente per la stabilità BIBO èl'assoluta sommabilità della risposta impulsiva. In questo caso tale condizione èverificata se e solo se

-Ilhm[n]1 < +00, m = l, ..., N (6.4.28)

cioè se e solo se

-+-

IlzpJ < +00, m = l, ..., N11=0

(6.4.29)

li sistema è allora stabile sotto la condizione

IZp...l<I, m=l,...,N (6.4.30)

ovvero sotto la condizione che i poli della funzione di trasferimento siano tutti

interni alla circonferenza di raggio unitario Izl=l del piano z.Per un sistema causale e stabile, dunque, la zona di convergenza è la parte di

piano esterna alla circonferenza Izi= IZP.Maxl,ove Z/!.Maxè quello tra gli N poliaventemodulomassimo.Poichéper la stabilitàdeve essere IZP.Maxl< 1, necessa-riamente la circonferenza di raggio unitario Izi=l è interamente contenuta nella

zona di convergenza della funzione di trasferimento. Dalle considerazioni sullarelazione fra trasformate di Fourier e Z del Paragrafo 6.3, segue che un sistemacausale e stabile ha risposta in frequenza pari a

l

.

-'6.4.31)

6.5 Cenni al progetto di filtri numerici IIRUna delle funzioni elementari di elaborazione dei segnali a tempo discreto che è

frequentemente necessaria in una varietà di problemi pratici è ilfiltraggio. I tipi-base di filtri a tempo discreto sono già stati rapidamente menzionati nelParagrafo 6.3, ma, come nel caso del tempo continuo, conducono a sistemi non

.


fisicamente realizzabili. Sorge quindi la questione di realizzare filtri a tempodiscreto che rispettino specifiche di selettività, ma che risultino di facileprogettazione e implementazione.

Un criterio di progetto semplice e che conduce a risultati in molti casi soddi-sfacenti è quello di realizzare filtri a tempo discreto partendo da prototipi di filtrianalogici, cioè a tempo continuo. In un certo senso, questo è il punto di vistaadottato nel caso di studio del Paragrafo 6.4.1 per ricavare 1'equazione alle diffe-renze di un SLS a tempo discreto, partendo da un SLS a tempo continuo. Letecniche che esporremo sono diverse da quella dell'esempio ma sono accomu-nate da una proprietà importante. Se esse vengono applicate a filtri analogici

causali la cui funzione di trasferimento Ha(s) (intesa come trasformata diLaplace della risposta impulsiva ha(t)) è una funzione razionale fratta in s,danno luogo a filtri causali a tempo discreto la cui funzione di trasferimento èrazionale fratta in Z-I, e quindi implementabile con una delle strutture viste nel

Paragrafo 6.4. Poiché le caratteristiche dei filtri analogici sono ben note, il pro-getto di un filtro a tempo discreto di caratteristiche date diventa quindi uncompito relativamente semplice.

6.5.1 La tecnica dell'invarianza impulsivaIl punto di partenza per la tecnica dell' invarianza impulsiva è rappresentato dalladescrizione di un sistema a tempo continuo attraverso la risposta impulsivaha(t). Noto questo segnale, si ottiene la risposta impulsiva h[n] del SLS a tempodiscreto attraverso il campionamento della risposta a tempo continuo ha(t) conun opportuno periodo T. In altre parole si impone che

(6.5.1)

ove la moltiplicazione per il fattore T viene introdotta, oltre che per motivi dicarattere "dimensionale", per far sì che le risposte in frequenza dei due sistemisiano il più possibile simili. Infatti la risposta in frequenza del filtro a tempo

discreto H(J) è legata alla risposta in frequenza del filtro analogico Ha(J)attraverso la relazione (vedi la (5.4.7))

(6.5.2)

Se il segnale ha(t) è rigorosamente limitato in banda e il periodo di campiona-mento T rispetta la condizione di Nyquist, allora il filtro a tempo discreto ha lestesse caratteristiche di selettività del filtro analogico poiché il campionamento

344 Capitolo 6

non dà luogo ad aliasing. Nel periodo "base" [-1/2T,1/2T], quindi, la risposta infrequenza del filtro a tempo discreto ha esattamente lo stesso andamento diquella del filtro analogico "prototipo", come illustra la Figura 6.40 per un filtropassa-basso ideale.

Per evitare problemi di realizzabilità, i prototipi analogici che si consideranosono filtri causali e la loro risposta in frequenza non può essere rigorosamentelimitata in banda. Un certo ammontare di aliasing sarà comunque presente, comeè esemplificato dalla Figura 6.41 che rappresenta la risposta in frequenza (persemplicità, a valori reali) di un filtro passa-basso analogico reale e quella delcorrispondente filtro a tempo discreto. Per questa ragione, l'andamento di H(J),nell'intervallo frequenziale di interésse [-1/2T,1/2T], risulta diverso da quellodella funzione Ha(J) nel medesimo intervallo. Tuttavia, se la frequenza dicampionamento l/T è sufficientemente grande in rapporto alla "banda" del

segnale ha(t), allora l'effetto dell'aliasing può essere trascurabile, e la funzioneH(J) può risultare molto simile, nella banda di interesse, alla funzione Ha(J).

-8 8

(a)

(b)

Figura 6.40 Risposte in frequenza di un filtro analogico passa-basso ideale (a), e del filtro atempo discreto ricavato con l'invarianza impulsiva econ t = l/T = 48 (b)

-

f

i.

I

aI.1

il

il

I

-H(f)

1

... ...

-1fT -1/2T -8 8 1/2T 1fT f

È importante osservare che la relazione (6.5.2) limita l'applicabilità della tecnicadell'invarianza impulsiva alle classi dei filtri la cui risposta in frequenza ha unlimite superiore di banda, anche inteso in senso approssimato (banda a -3 dB,banda efficace). Non ha quindi senso applicare l'invarianza impulsiva a filtripassa-alto o elimina-banda per i quali l'aliasing è intrinsecamente ineliminabile.

(a)

-H(f)

(b)

-1fT -1/2T 1/2T 1fT

Figura 6.41 Risposte in frequenza di un filtro analogico passa-basso reale (a), e del filtro atempo discreto ricavato con l'invarianza impulsiva (b)

Se il filtro prototipo analogico ha una funzione di trasferimento Ha(s)razionale fratta in s, si può ricavare direttamente la funzione di trasferimentoH(z) del filtro a tempo discreto (che risulta a sua volta razionale fratta in Z-l),senza dover esplicitamente calcolare la risposta impulsiva a tempo continuoha(t). Consideriamo infatti la generica funzione di trasferimento Ha(s) di unsistema analogico descritto da una equazione differenziale lineare a coefficienticostantidi ordine N:

H (s) =N(s) = 130 + 131 s +... + 13M SMa D(s) aO+al s+...+aN SN

con M < N per semplicità. Una volta calcolati i poli si' i = 1,...,N di Ha(s)risolvendo l'equazione D(s) = O, la stessa funzione può essere scomposta infratti semplici:

(6.5.3)

346 Capitolo 6

(6.5.4)

ove Ai è il residuo del polo si' A; = Ha(s){s- s;1=..;(i poli sono a molteplicitàunitaria per semplicità). Antitrasformando questa espressione si ottiene larisposta impulsiva del sistema analogico:

N

ha(t)= LA; é' u(t)i=1

(6.5.5)

e campionando la risposta analogica si ricava la seguente espressione dellarisposta impulsiva h[n]:

N

h[ n ] = L T A; enSi Tu[ n ];=1

(6.5.6)

Tramite trasformata Z, si determina infine la funzione di trasferimento H(z) delfiltro a tempo discreto:

N

H(z) =L TA;i=1 1- eSiT Z-I

(6.5.7)

In conclusione, la funzione di trasferimento H(z) del filtro a tempo discreto èdirettamente ricavabile dai poli e dai residui della funzione di trasferimento delfiltro analogico. Si nota in particolare che i poli Si del filtro analogico sitrasformano nei poli z; = es;Tdel sistema a tempo discreto. Se il sistema dipartenza è stabile, esso ha poli a parte reale negativa e quindi i poli del sistema atempo discreto così ottenuto hanno modulo minore di uno. Anche il filtro atempo discreto progettato con la tecnica dell'invarianza impulsiva è quindistabile.

Esempio 6.18Supponiamo di voler progettare un filtro passa-bassoutilizzando il prototipo analogico di Figura 6.42.

La funzione di trasferimento del filtro analogico è

a tempo discreto

H (s)=~= l/aa sa+l s+lja

ove a = RC rappresenta la costante di tempo del circuito. È facile verificare chela funzione Ha(s) è del tipo (6.5.4) con N = 1, SI = -lja e AI = l/a. Allorala

(E6.18.1)


funzione di trasferimento H(z) del filtro numerico si ricava immediatamentedalla (6.5.7):

H(Z)=(~)l-e-lTlaz(E6.18.2)

R

t I t«

I.Figura 6.42 Filtro R-C prototipo

La struttura diretta del filtro è rappresentata in Figura 6.43. È importanteosservare che, poiché il prototipo analogico non ha banda rigorosamentelimitata, per ridurre l'effetto dell'aliasing è necessario scegliere opportunamenteil valore della frequenza di campionamento 1fT nei confronti della banda delfiltro B_3=1/(2na). Per questo filtro del primo ordine (avente bassa pendenzadi attenuazione), è buona norma usare un valore di f...incrementato di un fattore5+lO rispetto a quello previsto dalla condizione di Nyquist relativamente allabanda B_3(cioè fc = lO + 20B_3)

y[n]

\

Figura 6.43 Filtro a tempo discreto ottenuto con il metodo dell'invarianza impulsiva

o

Facciamo adesso delle ulteriori considerazioni sulla tecnica dell'invarianza

impulsiva con riferimento all'esempio appena esposto. In particolare appli-

348 Capitolo 6

chiamo di nuovo a tale esempio la stessa tecnica di progetto, ma seguendo allalettera il procedimento che prevede il campionamento della risposta impulsivanel tempo. Quest'ultima si ricava facilmente dalla funzione di trasferimento(E6.18.1):

h (t) = .!.e-tla u(t)a a (6.5.8)

Ricaviamo poi la risposta impulsiva h[n] del sistema a tempo discretoapplicando la relazione (6.5.1) che richiede di campionare ha(t) per t = nT,come rappresentato in Figura 6.44. Si nota che l'operazione di campionamentocomporta una ambiguità per t =O poiché, in questo istante, la funzione ha(t) èdiscontinua. Resta quindi incerto il valore da attribuire ad h[O].Nel ricavare la

relazione (6.5.6) abbiamo infatti scelto arbitrariamente il valore h[O] = Tha(O+),cioè il limite destro del segnale. Nell'analisi di Fourier, il valore più opportunoda attribuire a un segnale discontinuo è la semisomma dei limiti destro e sinistronel punto di discontinuità.

ti

- IXh (t)a

<:; f11T h[n]

024

Tempo normalizzato, Va

6

Figura 6.44 Campionamento di una risposta impulsiva con discontinuità

Se riesaminiamo il caso generale alla luce della precedente osservazione, dalla(6.5.5) si ha

(6.5.9)

1.2

1.0

0.8

0.6

0.4I

T=f115I

0.2

0.0Li"-2


N

ha(0+) = LA;;=1

(6.5.10)

per cui si deve scegliere

h[O]= T (ha(O-)+ha(O+))= T ha(O+)= TfA;2 2 2 ;=1

come in Figura 6.44, e si deve correggere il valore in n =O della sequenza h[n]

(6.5.6):

(6.5.11)

(6.5.12)

Quindi, la funzione di trasferimento più appropriata è

N

H(z) =L TA;;=11- es,TZ-I

(6.5.13)

che differisce dalla (6.5.7) per un termine correttivo che tiene conto dell'e-ventuale punto di discontinuità nell'origine.

Esempio 6.19Riconsideriamo il progetto dell'Esempio 6.18 e riprogettiamo il filtro a tempodiscreto tenendo conto della discontinuità nell'origine della risposta impulsivadel filtro analogico. Essendo, come già visto nell'esempio precedente, N = l,SI=-l/a e AI = l/a, le relazioni (6.5.12)-(6.5.13) permettono di scrivereimmediatamente le espressioni della risposta impulsiva e della funzione ditrasferimento del filtro a tempo discreto:

T IIT Th[n] = - e-c; u[n] - - 8[n]a 2a

(E6.19.1)

H(z) = T/a1- e-T/a -IZ(E6.19.3)

La nuova struttura del filtro in forma canonica è rappresentata in Figura 6.45. Sinoti che il fattore T/2a comune ai coefficienti ho e h. è stato messo in evidenza

350 Capitolo 6

davanti al circuito. Per rimarcare il fenomeno dell'aliasing, riportiamo inoltre inFigura 6.46 l'andamento delle risposte in ampiezza e fase del filtro a tempodiscreto (linee a tratto continuo)

(E6.19.4)

confrontate con quelle del filtro analogico prototipo (linee punteggiate). o

y[n]

Figura 6.45 Versione corretta del filtro di Figura 6.43

6.5.2 La tecnica della trasformazione bilineare

L'esempio appena visto evidenzia i limiti di applicabilità della tecnicadell'invarianza impulsiva, che in particolare non è adatta quando è necessariorispettare alcune specifiche. Se ad esempio si vuole realizzare un filtro numericodi banda B data, ma non si può aumentare la frequenza di campionamento,l'effetto dell'aliasing porta una notevole differenza tra la risposta del prototipo equella del filtro discreto, e la specifica non viene rispettata: si deve quindicambiare il criterio di progetto del filtro a tempo discreto.

Supponiamo dunque di voler approssimare con un filtro a tempo discreto ilcomportamento del filtro R-C dell'Esempio 6.18, la cui funzione di trasferi-mento è ('r =RC)

lHa(s)=-l + s'r

Da questa funzione di trasferimento è semplice ricavare l'equazione differenzialeche regola il comportamento del filtro stesso:

(6.5.14)

rII

Y(s)(1+ s'r)=X(s) => y(t) + 'r dy(t) =x(t)dt

(6.5.15)


1.2

-----.-I~ 1~

~~ Q8~~E~ Q6.~

.s 0.4cnoCl.cn~ - Inv:lmpulsiva

Analogico~~

0.2 L.....................................

0.0-1.0 0.0 0.5-0.5


90

"'"

""'"

""

\...~...

45

o

-45

\...:"

.............

........................................................................

~-cnoCl.cn~ - Inv.lmpulsiva

Analogico

-90-1.0 -004 -0.2 0.0 0.2 0.4


0.6 0.8~8 -0.6

Figura 6.46 Risposta in ampiezza (a) e in fase (b) del filtro di Figura 6.45

1~

(a)

1~

(b)

Integrando ambo i membri tra un instante iniziale to e il generico istante t,l'equazione differenziale si trasforma in una equivalente equazione integrale:

t I

fy(a) da + -r[y(t) - y(to)]= fx(a) da (6.5.16)

352 Capitolo 6

Valutiamo adesso questa relazione per to=(n -l)T e t = nT, ove T rappresental'intervallo di campionamento; la (6.5.16) diventa allora

T T

f y(a) da + -r[y(nT)-y(n-1)T)] = f x(a) da(n-I)T (n-I)T

(6.5.17)

A questo punto il nostro scopo è quello di passare da questa relazione tra isegnali analogici in ingresso/uscita al filtro R-C, a una relazione "equivalente"che leghi i segnali discreti x[n] e y[n] in ingresso/uscita a un filtro numerico ilquale simuli il comportamento del filtro analogico. Cerchiamo allora diapprossimare i due integrali che compaiono nella (6.5.17) con una formulanumerica. Ad esempio, l'integrale a secondo membro può essere approssimatocon la regola del trapezio: come è suggerito dalla Figura 6.47, l'area sottesa dalgrafico della curva di x(a) è all'incirca uguale all'area del trapezio ABCD, cioè

nT T

f x(a) da ==2"[x(nT)+x«n-1)T)](n-I)T

(6.5.18)

Applicando questa formula ai due integrali nella (6.5.17) si ottiene

T [y(nT) + y((n -l)T)] + -r[y(nT)- y(n -l)T)] ==T [x(nT) + x((n -l)T) ]2 2

(6.5.19)

Questa equazione, valida quando la regola del trapezio è una buona approssi-mazione, può essere usata per caratterizzare il sistema a tempo discreto equiva-lenteal filtroanalogicodato. Si introduconoquindile sequenze y[n] = y(nT) ex[n] = x(nT) e si trasformala relazioneapprossimatain una uguaglianza,otte-nendo con semplici passaggi:

-r-T/2 T/2y[n]= y[n -1] + [x[n]+ x[n -1]]-r+T/2 -r+T/2

(6.5.20)

che rappresenta l'equazione alle differenze del sistema a tempo discreto cercato.Applicando la trasformata Z all'Equazione (6.5.20), si può ricavare la corri-spondente funzione di trasferimento del sistema:

T/2 (l+z-l)-r+T/2 - 1H(z) = -r-T/2 -I - 2 1-z-1

1- z 1+ =i-r-r+T/2 T l+z

(6.5.21)


x(a)

x«n-1 )T)c

x(nT) ~------

B

nT a

Figura 6.47 Integrazione numerica: regola del trapezio

che, confrontata con la propria controparte analogica H(s) (6.5.14), porta allaconclusione che le due funzioni di trasferimento sono legate dalla relazione

-'

J

2 1-z

H(Z)=Ha(T"l+Z-'(6.5.22)

La relazione, ricavata per il caso particolare del filtro R-C, può essere poi appli-cata in generale per ricavare la funzione di trasferimento H(z) del filtro a tempodiscreto dalla funzione di trasferimento Ha(s) di un qualunque prototipo analo-gico. Questa "sostituzione" di variabile ha il significato che emerge dall' esem-pio: ogniqualvolta nel sistema analogico si deve compiere un'operazione di inte-grazione, essa viene approssimata con la regola del trapezio per ricavare il filtro"simulatore" a tempo discreto. La relazione

2 1- Z-Is=--

TI + Z-I

dal punto di vista matematico istituisce una corrispondenza (trasformazione) frai piani complessi s e z ed è nota come trasformazione bilineare.

Cerchiamo ora di stabilire le caratteristiche più importanti di questa trasfor-mazione. Osserviamo innanzitutto che dalla (6.5.23) segue facilmente la rela-zione di corrispondenza inversa

(6.5.23)

1+sT/2z=

1-sT/2 (6.5.24)

che è a sua volta bilineare. Se poniamo s =(j + jOJ, si ottiene da quest'ultima

354 Capitolo 6

Izl= i(1+CTT/2)2+(roT/2)21 (1- CT T /2)2 + (ro T / 2)2

(6.5.25)

che permette di trarre conclusioni importanti sulla stabilità del sistema a tempodiscreto realizzato attraverso la trasformazione bilineare. Supponiamo infatti che

il sistema analogico Ha(s) sia stabile, quindi possieda poli SPicon parte realenegativa.I poli del sistemaa tempodiscreto ZPi sonochiaramenteottenibiliap-plicando la trasformazione bilineare inversa (6.5.24) ai poli "analogici" Spi'co-

sicchéil modulodei poli Zpi si ottiene dalla (6.5.25). Se allora SPiha parte realenegativa (cioè se CT< O),il modulo del corrispondente polo ZPiè minore di uno,e il sistema a tempo discreto è a sua volta stabile. In termini di trasformazionetra piani complessi, il semipiano a parte reale negativa CT< Odel piano s si tra-sforma nel cerchio di raggio unitario con centro nell'origine 1Zk 1 sul piano z(Figura 6.48).

La risposta in frequenza H(J) del sistema a tempo discreto ottenuto tramitetrasformazione bilineare si ottiene come di consueto valutando la funzione di

trasferimento sui punti della circonferenza di raggio unitario 1z 1= 1:

(6.5.26)

Vediamo di calcolare quali sono i punti del piano s che nella corrispondenza(6.5.23) generano i punti della circonferenza 1z1=1. Sostituiamo quindiZ = ej2rrfTnell'espressione della trasformazione bilineare, ottenendo

2 l-e-j2rrfT 2 e-jrrfTejrrfT-e-jrrfT 2 jsin(7ifT) .2s = T' 1+ e-j2rrfT= T' e-jrrfTejrrfT+ e-jrrfT= T' cos(7ifT) - } T tan(7ifT)

(6.5.27)

ovvero, indicando con fa la frequenza relativa al piano s del sistema a tempocontinuo, si ha

CT+ j21ifa = j ~ tan(7ifT)T(6.5.28)

Questa relazione è verificata per i punti del piano s con (J'=O, cioè giacentisull'asse dei numeri immaginari, per i quali

221ifa= - tan(1ifT)T

(6.5.29)


(O 3[z]

1+sT/2z

1-sT/2 1

9ì[z]

Figura 6.48 Stabilità e trasformazione bilineare

ovvero

1

fa = 1rT tan( JifT)(6.5.30)

Questa relazione stabilisce una corrispondenza diretta tra i valori delle risposte

infrequenza Ha(f;,) del filtro analogico e H(!) del filtro a tempo discreto:

(6.5.31)

Ciò significa che le caratteristiche frequenziali (in particolare la selettività) delfiltro realizzato mediante la trasformazione bilineare sono unicamente determi-

nate dalle caratteristiche frequenziali del prototipo analogico. Confrontiamo que-sta relazione con quella relativa alla tecnica dell'invarianza impulsiva:

H(J) = f Ha(f - ~)k=- T

La prima osservazione è che la trasformazione bilineare non dà luogo ad alia-sing. Infatti, l'andamento della risposta in frequenza del filtro a tempo discreto sipuò ricavare da quella del prototipo analogico attraverso il grafico di Figura 6.49(che rappresenta il legame (6.5.30» e la relazione (6.5.31). I valori della rispostain frequenza analogica H(f) con f che varia da -00 a +00 sono riportati("mappati") sull'intervallo frequ~nziale base [-l/2T,l/2T] della risposta delfiltro numerico H(!), secondo la curva del tipo "arcotangente" di Figura 6.49.La scala delle frequenze subisce cioè una compressione nonlineare (chiamatadistorsione, o con il termine anglosassone warping) nel passaggio dal sistema

(6.5.32)

356 Capitolo 6

analogico al sistema a tempo discreto. In particolare, il valore della risposta infrequenza analogica alla frequenza nulla viene conservato (la curva di distor-sione passa per l'origine), e i valori-limite della risposta analogica per f ---7:!:00vengono riportati rispettivamente alle frequenze f =:!:1/2T sulla risposta delfiltro discreto, come è evidenziato dalla Figura 6.50. Non si può verificarequindi alcuna sovrapposizione di repliche della risposta in frequenza come nelcaso del filtro realizzato attraverso invarianza impulsiva, neanche se il filtro habanda illimitata. La trasformazione bilineare è allora adatta anche a progettarefiltri di tipo passa-alto o elimina-banda non realizzabili attraverso il metodo del-l'invarianza impulsiva.

I;:tU'o";::CI)E:Jc:N.!::!tUE....oc:caNc:CI):JC"~

LL

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

-0.5-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Frequenza normalizzata analogica, faT

2.5 3.0

Figura 6.49 Relazione tra frequenza del sistema analogico f. e frequenza f del corrispondentesistema a tempo discreto

Osserviamo inoltre che la relazione di distorsione dell'asse della frequenza diFigura 6.49 è monotona crescente. Per questa ragione la trasformazione bilineareconserva le proprietà di selettività del prototipo analogico utilizzato nel pro-getto: se, ad esempio, si vuole progettare un filtro passa-alto a tempo discreto, sideve far riferimento a un prototipo analogico passa-alto. L'unico inconvenientedel quale occorre tener conto nell'applicazione di questa tecnica di progetto è ladeformazione della risposta in frequenza conseguente alla nonlinearità dellacurva di distorsione.

Supponiamo adesso di voler progettare un filtro a tempo discreto con limite di


banda B assegnato. Affinché la specifica venga rispettata, il prototipo analogicoche costituisce la base del progetto non deve essere caratterizzato dallo stessolimite di banda, bensì da un limite di banda Ba artificialmente incrementato inmodo che, dopo la trasformazione bilineare, si ottenga effettivamente il limitevoluto:

1Ba= - tan(nBT)1ff

(6.5.33)

H(f)

-H(f)

1/~~4/~~'-1fT -1/2T I

1/2T 1fT

..f

Figura 6.50 Compressione della risposta in frequenza nella trasformazione bilineare

L'operazione di incremento del limite di banda del prototipo viene chiamatapredistorsione (o prewarping). La predistorsione permette di precompensarel'effetto della distorsione dell' asse delle frequenze nel passaggio dal sistemaanalogicoa quello a tempo discreto, e consente quindi di rispettare la specificadibandadel filtro numericò.

Esempio6.20Si vuoIprogettare con la tecnica della trasformazione bilineare un filtro passa-bassodigitale utilizzando come prototipo il filtro R-C degli Esempi 6.18-6.19. In

questo caso però, a differenza di quanto visto con la tecnica ~ell'invarianzaimpulsiva,assegnamo una specifica di progetto richiedendo che il filtro a tempo

-

358 Capitolo 6

discreto (per il quale è assegnata la frequenza di campionamento l/T) abbia unabanda a -3 dB pari a B. Come già visto negli esempi precedenti, la funzione ditrasferimento del sistema analogico è data da

1Ha(s)=-l+m

ove a = RC è la costante di tempo del circuito. La banda a -3dB Ba del filtroanalogico è dunque

(E6.20.l)

1

Ba= 27ra(E6.20.2)

Per rispettare la specifica del filtro a tempo discreto, dobbiamo effettuare lapredistorsione della banda, cioè dobbiamo fissare la banda del filtro analogico alvalore

1Ba= - tan(7l'BT)

1ff(E6.20.3)

da cui

T

1

2 tan(7rBT)(E6.20A)

a--

che permette di calcolare la costante di tempo a del filtro analogico. Fatto ciòpossiamo determinare la funzione di trasferimento del filtro digitale utilizzandola trasformazione bilineare (6.5.22):

1-l

)1 -

1 -I2l-z - 1- 1 ~-- - 2l-z -l

H(Z)=Ha(

Tl+Z-1 l+a :) 1+ tan(7rBT)l+zTl+z

(E6.20.5)

da cui si ricava

H(z) =(

tan(7rBT)

). 1+ Z-l

tan(7rBT) + 1 1+(

tan(7rBT) -1

)Z-I

tan(7rBT) + 1

(E6.20.6)

La realizzazione in forma canonica del filtro a tempo discreto è rappresentata inFigura 6.51, mentre le risposte in ampiezza/fase sono riportate in Figura 6.52 peril caso particolare di B = 1/ 5T . Confrontiamo tali risposte con quelle di Figura


6.46 relative allo stesso filtro realizzato con la tecnica dell'invarianza impulsiva:si nota l'assenza di aliasing, ma anche una distorsione della risposta inampiezza/fase rispetto a quella del prototipo analogico. Naturalmente, la banda a-3 dB del filtro discreto è esattamente quella richiesta.

y[n]

-Figura 6.51 Struttura canonica del filtro a tempo discreto realizzato tramite trasformazionebilineare: ho = tan(1rBT)/(tan(1rBT)+ l), ao = (tan(1rBT)-l)/(tan(1rBT) + l)

Sommario

Molti dei concetti e delle proprietà dei sistemi monodimensionali a tempo conti-ilUOviste nel Capitolo 4 sono state riprese in questo capitolo e adattate al casodei sistemi a tempo discreto. Tutte le proprietà eventualmente possedute dai si-stemi a tempo discreto (linearità, stazionarietà, causalità, stabilità, memoria, in-vertibilità) sono state brevemente discusse, e si è mostrato come non vi siano

sostanziali differenze rispetto al caso a tempo continuo, salvo piccoli adatta-menti. Anche per il caso dei sistemi lineari e stazionari a tempo discreto valgonole stesse considerazioni: i concetti di risposta impulsiva, risposta in frequenza,convoluzione ecc. sono analoghi ai corrispondenti a tempo continuo, e sono statibrevemente richiamati.

Due sistemi caratteristici dell' elaborazione dei segnali a tempo discreto sonoviceversa il sovracampionatore e il decimatore. Il sovracampionatore è costi-tuito dalla cascata di due sistemi: il primo aumenta di un fattore M la frequenzadi campionamento della sequenza d'ingresso inserendo M -1 campioni nulli tradue campioni consecutivi; il secondo è un filtro interpolatore digitale. Lo spettrodella sequenza sovracampionata è identico a quello della sequenza di partenza,ma la sua periodicità è differente, poiché la frequenza di campionamento di

uscita t: è maggiore di un fattore M: t:= Mfc= M IT. È quindi possibilecompiere operazioni di filtraggio numerico su questo spettro, in particolare eli-minare numericamente le M -1 immagini di,un segnale analogico campionato

360 Capitolo 6

nell'intervallo di frequenze [-M /(2T),M /(2T)]. Viceversa, il decimatore è co-stituito da un sistema che preleva un campione di segnale ogni M, riducendo cosìdi un fattore M la frequenza di campionamento, e deve essere preceduto da unfiltro passa-basso numerico anti-aliasing di banda 1/(2MT). Lo spettro della se-quenza decimata è infatti una somma di M repliche dello spettro originario, cia-scuna riportata a cavallo della frequenza k /(MT), k =0,1,...,M-1.

1.2

c;::-II 1.0

ed'~ 0.8CI)'5.Ero 0.6croCi) 0.4oC-ma:

-T.B.Analogico

0.0-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4


0.6 0.8 1.0

(a)

90

CI)mro- o

~.~,

45

.ç:ro-moO-ma:

-45

......................-..........................................

-90-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0


Figura 6.52 Risposte in ampiezza (a) e fase (b) del filtro di Figura 6.51


Molto spesso è conveniente studiare i segnali e i sistemi lineari stazionari (SLS)a tempo discreto attraverso la trasformata Z. Quest'ultima rappresenta l'analogoa tempo discreto della trasformata di Laplace a tempo continuo, e permette ditrattare anche segnali a energia illimitata. Attraverso la trasformata Z inparticolare si analizzano e sintetizzano facilmente i SLS a tempo discretodescrivibili attraverso equazioni alle differenze lineari a coefficienti costanti. Diquesti sistemi si può dare una rappresentazione grafica diretta o canonica che èbasata sui soli tre operatori amplificatore, ritardatore, sommatore, e che aiutamolto nell' implementazione dei medesimi. La funzione di trasferimento delsistema H(z), cioè la trasformata Z della risposta impulsiva, è una funzionerazionale fratta in Z-I, e questo permette di verificare alcune proprietà del

sistema (ad esempio la stabilità) molto facilmente. Sulla base della forma dellaH(z) i SLS descritti da equazioni alle differenze si possono inoltre suddividerein due grandi classi: sistemi FIR a risposta impulsiva di durata finita e IIR arisposta impulsiva di durata infinita.

I sistemi IIR possono essere sintetizzati (progettati) con una certa facilità se siricorre a uno tra i due criteri dell' invarianza impulsiva o della trasformazionebilineare. In entrambi i casi si parte da un filtro prototipo analogico di caratte-ristiche note. Il passaggio al filtro numerico avviene nel primo caso imponendoche la risposta iIp.pulsivadel filtro numerico si ottenga dal campionamento dellarisposta (continua) del filtro prototipo. Nel secondo caso, la funzione di trasfe-rimento H(z) del filtro numerico si ottiene trasformando la funzione di trasferi-mento H(s) del filtro prototipo secondo la relazione s =(2/ T)(1- Z-I)/(1 + Z-I).

L'invarianza impulsiva provoca aliasing nella risposta in frequenza del filtronumerico, ed è quindi utilizzabile solo per filtri in cui l'aliasing possa essere an-nullato o reso trascurabile (non è perciò applicabile per filtri passa-alto o eli-mina-banda). Viceversa, la trasformazione bilineare può essere usata per la sin-tesi di qualsiasi tipo di filtro, ma può comportare (specialmente per piccole fre-quenze di campionamento) sensibili distorsioni della risposta del filtro numericorispetto a quella del prototipo analogico.

Esercizi proposti

6.1 Un sistemaa tempodiscretoha rispostain frequenza

..

Disegnare la realizzazione canonica di tale sistema e determinarne larisposta g[n] al gradino unitario u[n].

I

I

I '

362 Capitolo 6

6.2 Utilizzando la tecnica dell'invarianza impulsiva, progettare il simulatore atempo discreto di un filtro analogico con risposta in frequenza

nei due casi in cui la frequenza di campionamento è pari a:

a) f. = l/T = 2B;

b) f.=l/T=B

Determinare inoltre in entrambi i casi la risposta y[n] del simulatore atempo discreto alla sequenza x[ n ] = u[n] - u[-n ]

6.3 Determinare la sequenza y[n] in uscita al filtro a tempo discreto aventerisposta impulsiva

h[n] = u[n]-u[1i-8]8

sapendo che la sequenza in ingresso a tale filtro è

x[n]=n,n=0,1,...,7, x[n+8]=x[n] \;;In

6.4 Si desidera progettare un filtro passa-basso a tempo discreto a partire dalprototipo di filtro a tempo continuo mostrato in Figura 6.53 (si pongaRC =a). Il filtro a tempo discreto viene realizzato con una frequenza dicampionamento f. =l/T =20 kHz, e la sua banda a -40 dB deve essereB =5 kHz. Rappresentare la struttura canonica di tale filtro e ricavarne la

risposta impulsiva h[n].

III

Figura 6.53

6.5 Si vuole progettare un simulatore a tempo discreto del sistema a tempocontinuo di Figura 6.54. Scegliere a ragion veduta fra la tecnica della tra-sformazione bilineare e la quella dell'invarianza impulsiva. Con la tecnica


scelta, determinare poi la funzione di trasferimento H(z) del simulatorediscreto sapendo che la sua banda a -3 dB deve essere B =8 kHz con unafrequenza di campionamento fs = l/T = 48 kHz, e disegnarne infine lastruttura canonica.

x(t)

-1~(.)0)0dt

y(t)

Figura 6.54

6.6 Nel sistema di Figura 6.55 la frequenza di campionamento è fs = 48 kHz;

il segnale di ingresso è inoltre x( t) =2 + sin(1ffot)con lo =24 kHz. Ilsistema nonlineare (NL) a tempo discreto è caratterizzato dalla relazioneingresso-uscita z[n] = x2[n]. Progettare un filtro FIR h[n] causale a 3coefficienti in modo tale che la sequenza di uscita sia y[n]=sin(nn /2).

I

fs ~X(t~ - "I

NL h[n]~[n]

Figura 6.55

6.7 Progettare il simulatore a tempo discreto del sistema a tempo continuoH(s) raffigurato in Figura 6.56, imponendo che la frequenza di notch fNdel sistema H(z) così ottenuto sia pari a u]l quarto della frequenza dicampionamento del segnale. Determinare inoltre il valore del parametro ain modo che il filtro a tempo discreto risultante (di cui si deve dare rappre-sentazione canonica) sia di tipo FIR.

364 Capitolo 6

x(t) y(t)

1 d

0)0dt (.)

. III

: I

: II I

Figura 6.56

6.8 Considerando il sistema lineare invariante a tempo continuo di Figura6.57, determinare la funzione di trasferimento e la risposta impulsiva h[n]del relativo simulatore a tempo discreto ottenuto mediante il metodo dellatrasformazione bilineare (porre a = LIR). Rappresentareinoltre la formacanonica del simulatore.

I I

L

I/!

iy(t)

I

:\I!

I

Figura 6.57

6.9 Il segnale

x(t) =(1- ~

)rect

(~

)1'0 21'0

viene campionato con la frequenza di campionamento fc = l/T = 4/ 1'0.La

II!il


sequenza x[n] risultante viene poi periodicizzata con periodo No = 4,ottenendo la sequenza periodica y[n] che viene filtrata con un filtro h[n]ottenuto attraverso trasformazione bilineare del circuito rappresentato inFigura 6.58, con RC =T. Determinare l'espressione del segnale z[n] inuscita da tale filtro.

R

Ri

y(t)

I

c

Figura 6.58

6.10 Calcolare la funzione di trasferimento H(z) e la risposta in frequenza

H(J) del SLS a tempo discreto avente la risposta impulsiva h[n] illustratain Figura 6.59, e dire poi se tale sistema èa) causale o meno;b) FIR o IIR;c) passa-basso o passa-alto;d) stabile o instabile.

Determinarne infine la risposta al gradino g[n].

h[n]

2

-2 -1 2

n-1

Figura 6.59

6.11 Progettare il simulatore a tempo discreto del sistema analogico rappresen-tato in Figura 6.60 attraverso il metodo dell'invarianza impulsiva, sapendoche la frequenza di campionamento è fc = l/T = 4/1'0.Determinarequindi

366 Capitolo 6

la risposta y[n] del simulatore alla sequenza x[n] rappresentata in Figura6.61.

x(t)

{ f () daut-T o

y(t)

Il

Figura 6.60

x[n]

1

-1> +

n

-1

Figura 6.61

6.12 Progettare un filtro elimina-banda a tempo discreto con frequenza di notch

FN =12 kHz e frequenza di campionamento f. =1fT =48 kHz. A tal fineutilizzare il prototipo analogico di Figura 6.62, ponendo per comodità

lo =1/(2n.,JLC) e sapendo che 1ifoL/R=1. Rappresentare la forma cano-nica del filtro discreto e determinare la sequenza di uscita y[n] quando in

ingresso è posta l'eccitazione x[n]=2 + 2sin2(2nnJ;T), J; = 6 kHz.

L

II

cR

iy(t)

I

Figura 6.62

6.13 Determinare la risposta y[n] del sistema a tempo discreto rappresentato inFigura 6.63 all'eccitazione


x[ n ] = 2 + sin( ~ )+ cos( 1m )

y[n]

Figura 6.63

6.14 Si consideri il sistema a tempo discreto mostrato in Figura 6.64, dove

al = 4/(4+ -16), az = 4-16/(4 + -16) e K = 1/(4+ -16). Si chiede di:a) determinare 1'equazione alle differenze del sistema; \

b) stabilirese il filtroè passa-basso;c) determinare la risposta y[n] alla sequenza di ingresso x[n] =4 + (-lr.

x[n] y[n]

Figura 6.64

368 Capitolo 6

6.15 Considerando il sistema a tempo continuo di Figura 6.65, determinare laforma canonica e la risposta impulsiva h[n] del relativo simulatore atempo discreto ottenuto mediante il metodo della trasformazione bilinearenel caso (00 = 2/T.

x(t) y(t)

d2d t2

Figura 6.65

6.16 Indicare con g(t) la risposta al gradino del sistema a tempo continuo diFigura 6.66. Determinare la funzione di trasferimento H(z) del simulatorediscreto la cui risposta al gradino g[n l è data da g[n] =g( nT) e rappresen-tarne la struttura canonica.

R

~T) 2C C I.T)

Figura 6.66

7

Richiami di teoria della probabilità

Premessa

Dobbiamo momentaneamente abbandonare lo studio dei segnali in senso stretto

per richiamare alcuni concetti matematici fondamentali alla comprensione dellanatura e delle particolari proprietà dei segnali aleatorioQuesti ultimi infatti ven-

gono studiati attraverso gli strumenti della teoria della probabilità e delle va-riabili aleatorie, che si presuppone già nota al lettore. Lo scopo di questo capi-tolo è soltanto quello di richiamare i risultati principali della teoria della pro-babilità, e di riformularli con le notazioni che saranno poi riprese nel prossimo

capitolo. Il lettore che si ritiene ferrato su questi argomenti può usare questocapitolo soltanto come riferimento, e può proseguire lo studio dei segnali proce-dendo direttamente alla lettura del Capitolo 8.

7.1 Esperimenti deterministici e aleatori

Ogni volta che si devono compiere misurazioni per controllare il verificarsi dicerti avvenimenti, è necessario effettuare un esperimento. La definizione di .esperimento che possiamo dare, così come potrebbe trovarsi su di un vocabola-rio, è appunto quella di una prova pratica intesa alla verifica di una certa ipotesidi lavoro. Supponiamo che si desideri studiare la "caduta di un grave", cioè di

un corpo materiale, lasciato libero a una certa altezza h dal suolo, e in particolareche si desideri verificare la formula galileiana del tempo di caduta to=~2h / g

(g =accelerazione di gravità). Dobbiamo costruire un esperimento che consistenell'effettuare una prova di caduta, misurando con la massima accuratezza pos-

370 Capitolo 7

sibile il tempo impiegato per arrivare al suolo. I dati raccolti in molte provepermetteranno quindi di verificare l'ipotesi che sta alla base dell' esperimentostesso.

Dobbiamo però notare una importante diversità di fondo tra certi tipi di espe-rimenti e altri, che porta alla introduzione di due diverse categorie di esperi-menti. Tornando sull'esempio precedente di caduta di un grave, e supponendo dieffettuare molte prove, notiamo che i risultati che otteniamo in ogni prova sonomolto simili fra loro. Nel limite in cui l'effetto della resistenza dell'aria risulta

trascurabile o può essere a sua volta calcolato (ad esempio, conducendo l'espe-rimento in ambiente controllato al chiuso e usando corpi sferici costruiti conmateriale ad alta densità) otteniamo risultati praticamente identici di volta involta. Possiamo allora dire che l'esperimento condotto è di carattere determini-

stico, nel senso che è possibile prevederne il risultato a priori, cioè prima di ef-fettuare una prova dell'esperimento stesso. Quest'ultimo mostra dunque unacompleta predicibilità: esiste una legge di carattere matematico che rende di fatto

inutile la materiale effettuazione di una prova perché ne predice accuratamente ilrisultato.

Sorvoliamo ovviamente sulle implicazioni che questo concetto di determini-smo ha sulla visione del mondo e della vita umana, e procediamo presentando undiverso tipo di esperimento. Immaginiamo dunque di sederci alla cassa di un su-permercato e di contare il numero di clienti che si presentano nell'intervallo ditempo di un'ora dalle ore 11.00 alle ore 12.00 di ogni giorno. Questo può rite-nersi a buon diritto un esperimento in virtù del quale è possibile verificare il nu-mero di casse che sono necessarie per evitare lunghe code. Sfortunatamente,questo esperimento dà risultati anche molto diversi da prova a prova, e non èpossibile prevedere a priori il risultato di nessuna delle prove effettuate. Il nu-mero di persone osservato di volta in volta cambia in maniera aleatorial, cioècasuale. Bisogna dunque rinunciare a descrivere questo esperimento con unalegge? La risposta fortunatamente è no. Ovviamente, sarà comunque impossibil~trovare una legge che potrà predire in ogni prova il numero di clienti osservato:questo dato è ricavabile solo a posteriori, cioè dopo che la prova stessa è stataeffettuata. Quel che è possibile fare in questo caso però è predire il comporta-mento globale dei dati che si ottengono effettuando molte prove dell'esperi-mento. In quest'ultimo caso, infatti, i dati raccolti mostrano quella che viene

1 L'aggettivo aleatorio deriva dal latino alea, cioè dado, che è ritenuto l'oggetto casuale perantonomasia.

Richiami di teoria della probabilità 371

chiamata regolarità statistica. Nell'esperimento aleatorio per antonomasia, illancio di un dado, nessuno è in grado di predire il risultato di una data prova, ecioè la faccia che si presenta lanciando il dado a un certo istante. L'esperienzaperò suggerisce che se abbiamo la pazienza di effettuare molti lanci del dado,diciamo 6000 (possibilmente con un apposito meccanismo!), osserveremo al-l'incirca 1000 volte la faccia l, all'incirca 1000 volte la faccia 2,..., all'incirca

1000 volte la faccia 6. Questa regolarità permette di ricavare anche per l'esperi-mento aleatorio alcune leggi cui l'esperimento ottempera, però nel senso statI-stico appena accennato.

Come l'analisi matematica tradizionale è lo strumento matematico per eccel-lenza che descrive gli esperimenti deterministici (si pensi alla relazione tra l'ana-lisi infinitesimale e la dinamica dei corpi), così la teoria della probabilità è lostrumento matematico sviluppato appositamente per descrivere gli esperimentialeatorioQuello che un tempo veniva chiamato "calcolo delle probabilità" nasce- --infatti tra il diciassettesimo e il diciottesimo secolo a opera principalmente delmatematico svizzero J. Bemoulli e dei matematici francesi B. Pascal e P.S. de

Laplace per quantificare le vincite di giocatori e gestori dei giochi d'azzardo(dadi, carte, estrazioni di palline ecc.). E a giudicare dai guadagni dei casinò intutto il mondo, è palese che questa teoria funziona alquanto bene!

a.2 Elementi di teoria della probabilità

7.2.1 Esperimento aleatorio, spazio di probabilità e proprietà elementariImmaginiamo dunque di effettuare un esperimento aleatorio. Vediamo come lateoria della probabilità permetta di modellare strettamente questo esperimento, ecome si possano poi ricavare delle leggi applicabili all'esperimento stesso. Percaratterizzare tale esperimento dobbiamo individuare innanzitutto l'insieme ditutti i suoi possibili risultati (ad esempio, le possibili facce del dado, o il numerodi clienti che si possono presentare in un' ora alla cassa): tale insieme è dettospazio campione e si indica, convenzionalmente, con la lettera Q. Se l'esperi-mento prevede un numero finito (dado) o infinito numerabile (clienti alla cassa)di risultati,questiverrannoindicaticon il simboloOJi'i=l, Quindi, con la no-tazione tipica della teoria degli insiemi, possiamo scrivere Q ={OJpOJ2"..}.

Oltre che i singoli risultati dell'esperimento, è.spesso importante considerareanche dei gruppi di risultati. Ad esempio, nell'esperimento della cassa delsupermercato è importante considerare tutti i casi in cui il numero di clienti inun'ora è maggiore (ad esempio) di 20, perché essi potrebbero rappresentare un

T

372 Capitolo 7

numero eccessivo per quella cassa. L'interesse nell'esperimento potrebbe essereallora concentrato su questo evento: "numero di clienti in un'ora superiore a 20",cioè su tutti quei risultati dello spazio campione contenuti nel sottoinsieme{21,22,...}. I gruppi di risultati dello spazio campione sono chiamati eventi.Formalmente, gli eventi sono tutti i sottoinsiemi dello spazio campione chesoddisfano le seguenti condizioni:

. se A è un evento, anche il suo complemento A, rispetto all'insieme n, è unevento;

. se A e B sonoeventi,anchela lorounioneA u B è unevento.

Usando queste proprietà si può anche dimostrare che:

. l'intersezione A lì B di due eventi arbitrari A e B è un evento;. dato un evento A, gli insiemi A u 11 e A lì 11 sono eventi: il primo,

coincidente con n (ovvero con tutto lo spazio campione), è detto eventocerto, mentre il secondo, indicato con il simbolo 0 e non contenente alcun

risultato dell'esperimento, è detto evento impossibile.

Le definizioni e proprietà sopra elencate dicono che gli eventi di uno spaziocampione costituiscono una classe S, ovvero un insieme chiuso rispetto alleoperazioni di unione e di intersezione.

A questo punto possiamo introdurre la caratterizzazione completa di unesperimento aleatorio che richiede sostanzialmente tre elementi: i) la descrizione

del suo spazio campione n; ii) l'individuazione della sua classe degli eventi S, einfine iii) la descrizione della sua legge di probabilità Pr{.} che associa ad ognievento una misura della sua probabilità di presentazione. La tema (n, S, Pr{.})che rappresenta la descrizione dell'esperimento è chiamata spazio di probabilità.Qualche volta, con libertà di linguaggio, indicheremo con esperimento aleatoriociò che in realtà è lo spazio di probabilità, identificando cioè l'esperimento conla propria descrizione matematica astratta.

Non è il caso di esaminare qui le varie definizioni e interpretazioni dellaprobabilità di un evento, che sono oggetto di discussione nei testi specificamentededicati alla teoria della probabilità e alla statistica (si veda comunque a questoproposito l'Esempio 7.1). Secondo lo scopo di questo capitolo, ci limiteremo quia richiamare le proprietà base della probabilità la cui conoscenza saràindispensabile allo studio elementare dei processi aleatori nel Capitolo 8.

La probabilità per una classe di eventi può essere definita secondo la teoriaassiomatica la cui forma moderna si può sostanzialmente far risalire al matema-tico russo A.N. Kolmogorov. Secondo questo approccio, assegnato un esperi-


mento aleatorio con uno spazio campione Q e la relativa classe degli eventi S,una legge di probabilità PrO è semplicemente una corrispondenza che associa aogni elemento di S, cioè a ogni evento di interesse in una prova dell'esperi-mento, un numero reale che soddisfa i seguenti assiomi:

Al -la probabilità di un evento arbitrario A è non negativa:

Pr(A);:::O (7.2.1)

A2 -la probabilità dell'evento certo è unitaria (assioma di normalizzazione):

Pr(Q) =l (7.2.2)

A3 - dati due eventi A e B mutuamente esclusivi (o incompatibili, o disgiunti,cioè che non possono verificarsi contemporaneamente), la probabilitàdell'evento unione è data dalla somma delle probabilità di A e B:

A lì B =0 => Pr(Au B) = Pr(A) + Pr(B) (7.2.3)

Da questi assiomi si possono poi ricavare alcune proprietà (cioè dimostrarealcuni teoremi o corollari) che sembrano ovvie, ma che devono comunque esserericondotte ai soli princìpi primi (cioè agli assiorni stessi):

. Dato un evento A, la probabilità dell'evento complementare A è data dalcomplemento a uno di Pr(A):

pr(A) = 1- Pr(A) (7.2.4)

. L'insieme impossibile ha probabilità nulla di verificarsi;. La probabilità di un evento A non può assumere un valore maggiore di uno:

O :::;Pr( A) :::;l (7.2.5)

. Dati due eventi A e B, la probabilità dell' evento unione A u B è espressadall'uguaglianza

Pr(A u B)= Pr(A)+ Pr(B)- Pr(BIì A) (7.2.6)

L'intersezione fra due eventi A e B può anche essere rappresentata con lascrittura A B, così come talvolta l'unione tra eventi viene indicata con la

scrittura A + B. La probabilità dell'evento intersezione fra A e BPr(Blì A)= pr(A B), è chiamata probabilità congiunta degli eventi A e B. Leprobabilità Pr(A) e Pr(B) sono dette, invece, probabilità marginali.

374 Capitolo 7

I I

Data una coppia di eventi A e B, con Pr(B):;i:O, la probabilità Pr(AIB)dell'evento A condizionata al verificarsi dell'evento B è definita dalla relazione

Pr(AIB)~ Pr(AB)Pr(B)

(7.2.7)

Nella teoria della probabilità Pr(A) è detta comunemente probabilità a priori

dell'evento A e pr(AIB) probabilità a posteriori di A dato B. La probabilitàcondizionata (in alcuni testi chiamata anche condizionale) ha un significato im-

portante, che ruota attorno all'evento condizionante B. Infatti, Pr(AIB) è laprobabilità che l'evento A assume una volta che l'evento B si è già verificato. Ladefinizione (7.2.7) suggerisce proprio questo: la probabilità a priori di A vienescalata del fattore IIPr(B) per tenere conto che l'evento B, essendosi già verifi-cato, deve considerarsi come una sorta di "nuovo spazio campione" in quanto aldi fuori di questo niente può verificarsi. In questo senso bisogna rinormalizzaretutte le probabilità rispetto a quella di B (si noti che P(B IB) =1l).

.

Esempio 7.1 (Definizioni della probabilità di un evento)

Cerchiamo di definire un esperimento aleatorio (nel senso della definizione ap-pena vista) che modelli il lancio di un dado non truccato. Evidentemente lo

spaziocampioneQ è costituitoda 6 risultati {co"co2,...,C06},ove Wi corrispondeal presentarsi al termine del lancio della faccia i-esima (cioè quella con un nu-mero di puntini pari ad i). Poiché lo spazio campione Q è finito, la classe deglieventi S è semplicemente costituita dalla collezione di tutti i sottoinsiemi di ilstesso (che sono in numero, come è noto, di 26, inclusi 0 ed Q). La legge diprobabilità degli eventi resta a questo punto definita non appena assegnamo unaprobabilità a ciascuno dei risultati dello spazio Q. Fatto ciò, è possibile calco-lare la probabilità di un qualunque evento A. Infatti, sfruttando la simmetria delproblema, cioè l'ipotesi di dado non truccato, è ragionevole imporre che

/

lPr( (01) = pr( co2) = . . . = pr( (06) = -6 (E7.1.1)

Allora, ad esempio, la probabilità dell'evento A={Lafaccia del dado è dispari}è

Pr(A) = pr( {Wl} U {W3} U {cos}) (E7.1.2)

e quindi, per il terzo assioma,


1 1 1 1Pr(A) =Pr({m(})+ Pr({m3})+ Pr({m5})=-+ - + - =-6 6 6 2 (E7.1.3)

In casi come questo, di esperimento simmetrico e spazio campione finito, Pr(A)può anche essere calcolata attraverso la cosiddetta definizione classica diprobabilità, attribuibile a Laplace. Questa prevede di individuare il numero

NF(A) dei cosiddetti casi favorevoli ad A, e il numero Np dei cosiddetti casipossibili. Quest'ultimo è semplicemente il numero totale di risultati contenuti inQ, mentre il primo è il numero dei risultati elementari contenuti in A stesso. Laprobabilità cercata è allora data dal rapporto

Pr(A) = NAA)Np

Considerando di nuovo A={La faccia del dado è dispari}, è chiaro cheNAA) = 3 ed Np = 6, e quindi, dalla (E7.1.4), Pr(A) = 1/2.

L'ipotesi cruciale alla base della definizione "classica" è la peifetta simmetriadel dado o, in altri termini, l'equiprobabilità di tutti i possibili risultatidell'esperimento. Questa definizione ha il pregio di essere molto semplice, mapuò essere applicata solamente a una classe ristretta di esperimenti. Inparticolare, essa è incapace di modellare il caso in cui il dado risulti "truccato",

cioè le varie facce (intenzionalmente o per imperfezioni di manifattura) nonsianoequiprobabili!

In questi casi è più conveniente dare un'altra definizione di probabilità, chetrova una sua giustificazione in un approccio di tipo sperimentale. Consideriamodi nuovo l'esperimento del lancio del dado ed effettuiamo N prove dell'esperi-mento stesso (cioè lanciamo il dado N volte). Indichiamo poi con NA il numerodi volte in cui, nelle suddette ripetizioni, si verifica l'evento A (cioè la facciauscita mostra un numero dispari). All'aumentare di N, ovvero del numero dilanci, si ottiene una situazione simile a quella riassunta nella Tabella 7.1. Si notauna certa regolarità nella relazione tra il numero di volte in cui si verifica l'e-

ventoA rispetto al numerototale di prove effettuate:il rapporto NA/N, dettofrequenza relativa dell'evento A, approssima il numero 1/2 al crescere di N. Daquesta osservazione discende la definizione di probabilità di Von Mises (ofre-quentista),secondo la quale

(E7.1.4)

Pr(A) = limlNA" ~:~~~~:~-~,r,'-"A1~

N-7~/i[;

Tale definizione, rispetto alla definizione

(E7.1.5)

di Laplace, ha il vantaggio di

376 Capitolo 7

prescindere dalla simmetria del problema e di poter modellare anche il caso del

dado "truccato", ma contiene un'operazione di limite che non si è in grado dieseguire (e che pone anche questioni di esistenza).

Tabella 7.1 Prove di lancio di un dado

È interessante osservare che la definizione "frequenti sta" non è in contrasto conquella assiomatica di Kolmogorov. Infatti la probabilità Pr(A}, espressa dallafrequenza relativa (E7.l.5), è i) una quantità non negativa poiché prodotta dallimite di un rapporto fra quantità positive; se inoltre ii) l'evento A coincide conl'evento certo il, allora banalmente NA =N e quindi Pr(A} = l; se infine iii) Ae B sono due eventi mutuamente esclusivi, una prova dell'esperimento che faverificare A u B dà un risultato che sta o in A o in B, ma che non può stare inentrambi, per cui NAUB= NA+ NB e allora

Pr(AuB}= lim NAuB = lim NA +NBN~~ N N~~ N

= lim NA + lim NA =Pr(A}+Pr(B}N~~ N N~~ N

(E7.1.7)

cioè tutti gli assiorni di Kolmogorov sono automaticamente verificati!I

D

Due eventi A e B sono indipendenti se la probabilità marginale Pr(A} e la

probabilità condizionata pr(AIB) sono identiche, cioè in pratica se il verificarsidell'eventoB nonha alcunainfluenzasull'eventoA:

Pr(A} = pr(AIB) (7.2.8)

o, tenendo conto della definizione di probabilità condizionata (7.2.7):

Pr(AB} = Pr(A}. Pr(B} (7.2.9)

Pertanto, se gli eventi A e B sono indipendenti, la probabilità congiunta

Pr(A B) è pari al prodotto delle probabilità marginali. La relazione (7.2.9) vieneutilizzata spesso per definire l'indipendenza fra due eventi, anche se il suo

N NA

100 471000 49110000 4984100000 50012... ...


significato non è immediatamente comprensibile come per la (7.2.8).Consideriamo ora la coppia di eventi A e B, ciascuno avente probabilità non

nulla. La probabilità condizionata Pr(AIB) può essere ricavata con la relazione

pr(AIB) = pr(BIA)pr(A)Pr(B)

(7.2.10)

nota come teorema (o formula) di Bayes. Se l'evento A è indipendente dall'e-vento B, cioè se la (7.2.8) è verificata, dalla (7.2.10) si ricava immediatamente

l'uguaglianza Pr(BIA)= Pr(B). La relazione di indipendenza tra due eventigode, pertanto, della proprietà di simmetria.

Il teorema di Bayes è spesso usato insieme al teorema della probabilità totaleche esaminiamo di seguito. Costruiamo una partizione dello spazio Q sce-gliendo N eventi Bi' i = 1,2,..., N di S con le seguenti proprietà (si veda laFigura 7.1):

(7.2.11)

N

UBj=Q;=1

(7.2.12)

Q

Figura 7.1 Dimostrazione grafica del teorema della probabilità totale

La probabilità di un evento A può allora essere calcolata (si ricordi il terzoassiomaA.3) come segue:

378 Capitolo 7

Se in questa relazione si esprime poi ciascuna probabilità congiunta Pr(A (ì B;)come prodotto tra la probabilità condizionata pr(AIB;) e la probabilità marginalePr(B;), si ricava la seguente uguaglianza:

N

Pr(A} = L Pr(AIB;) pr(B;);=1

(7.2.14)

che rappresenta appunto l'enunciato del teorema della probabilità totale.

7.2.2 Esperimento aleatorio compostoConsideriamo ora due diversi esperimenti aleatori caratterizzati dagli spazicampione QI e Q2 (ad esempio il lancio di un dado e l'estrazione di una cartada un mazzo di 52). È possibile definire un esperimento composto i cui risultatisono costituiti da una coppia ordinata dei risultati degli esperimenti componenti(ad esempio, C/',2~)). Lo spazio campione Q dell'esperimento composto ècostituito dal prodotto cartesiano degli spazi dei due esperimenti. componenti,cioè Q = QI XQ2' Consideriamo, adesso, un evento AI definito nello spaziocampione QI e un evento ~ definito in Q2; vogliamo calcolare la probabilitàdell'evento A = AIX ~ appartenente allo spazio campione Q. Se i dueesperimenti sono indipendenti, la probabilità dell'evento composto A è

(7.2.15)

ove Prl( . ) e Pr2( . ) rappresentano le leggi di probabilità definite rispettiva-menteper il primoe il secondoesperimentocomponente.È importanteosservareche

. dalla conoscenza delle leggi di probabilità dei singoli esperimenti non èpossibile, in generale, ricavare la legge di probabilità dell'esperimentocomposto;. le considerazioni appena illustrate per una coppia di esperimenti aleatoriindipendenti possono essere immediatamente estese al caso di n esperimentialeatori indipendenti.In questo ambito è utile ricordare il problema delle prove ripetute binarie e

indipendenti (o prove di Bernoulli). In tal caso l'esperimento composto è costi-tuito da n esperimenti identici, indipendenti, e aventi ciascuno uno spazio cam-pione costituito da due risultati soltanto. In questo modello ricadono numerosiesperimenti elementari (testa/croce, vero/falso, 0/1, alto/basso ecc.). Indichiamo

con ma e mi questi risultati e con p =pr{ma} e q =pr{mJ}=1- P le lororispettive probabilità, e definiamo l'evento A = {masi presenta k volte in n prove


ripetute}. Laformula di Bernoul/i (o binomiale) dice che

(7.2.16)

ove compare il coefficiente binomiale

(n

)n!

k = k!(n -k)!(7.2.17)

Esempio 7.2Una scatola contiene due monete: la prima è una moneta "perfetta", la seconda è

una moneta "truccata" avente Pr{Testa} = 0.8. Viene scelta casualmente unadelle due monete, che viene poi lanciata per dieci volte in condizioni indipen-denti, osservando l'uscita di 5 facce Testa e 5 facce Croce. Sulla base di que-st'ultima osservazione, qual è la probabilità che la moneta scelta sia quella "per-fetta"? Cosa può dirsi di questa probabilità se si osservano 5000 facce Testa su10000 lanci?

In questo esempio si deve calcolare la probabilità condizionata pr(AIB), oveB è l'evento osservato {5facce Testa, 5 facce Croce}, mentre A è l'evento {Lamoneta scelta è quella peifetta }. Usando il teorema di Bayes (7.2.10) è possibile

ricavare pr(AIB) dalla conoscenza delle probabilità pr(BIA), pr(A) e Pr(B).Poiché la scelta fra le due monete è casuale, abbiamo facilmente

Pr(A) = pr(X) =!2 (E7.2.1)

\

Supponiamo ora di aver effettivamente scelto la moneta perfetta, cioè che si sia

verificato A. La probabilità condizionata Pr(BJA)può essere calcolata mediantela formula di Bemoulli immaginando che il risultato (00corrisponda al presen-tarsi della faccia Testa, e (0\ al presentarsi della faccia Croce. Applicando la(7.2.16) con n =lO lanci, k =5 uscite di Testa, p = q = 1/2 (le facce della mo-netaperfettasonoequiprobabili),risulta

pr(BIA)=(

IO

)(! )5

(!)5 =(

1O

)! = 252 == 0.246

5 2 2 5 210 1024(E7.2.2)

I .Pr(B) può essere calcolata mediante il teorema della probabilità totale, con lapartizione Q = A u X:

---

380 Capitolo 7

Pr(B) = pr(BIA) Pr(A) + pr( BIA) pr(A) (E7.2.3)

Resta da ricavare la probabilità pr(BIA) (cioè la probabilità di avere 5 volteTesta su lO prove con la moneta truccata), che può di nuovo essere calcolata

mediante la formula di Bernoulli con n =lO. k = 5, p = pr{coo}=0.8q =pr{co1} =0.2 (le facce della moneta truccata non sono equiprobabili):

(E7.2.4)

Usando i valori appena ricavati possiamo finalmente determinare Pr(B):

(

10

)(l

)]0 l

(

lO

)l

Pr(B) = 5 2 .2+ 5 (0.8)5(0.2)5.2'

= 252[ ~ + (0.16)5]

= 0.13632 1024

(E7.2.5)

e infine

(

10

)(l)

205 l

Pr(BIA)Pr(A) = 2~ 2 '2

Pr(~B)~ Pr(B) t~)G) + t~}0.8)' (0.2)'l c =0.903

=1+(2.0.8.2.0.2)(E7.2.6)

Questa probabilità è piuttosto alta. Lanciando infatti la moneta truccata, èabbastanza improbabile ottenere una serie di risultati "equiripartiti" 5-5 comequella richiesta.

Ripetendo i calcoli per il caso in cui B sia l'evento {5000 facce Testa, 5000facce Croce}, si ottiene, in analogia alla (E7.2.6), la seguente espressione per

pr(AIB):

l =15000 -pr(AIB)= 1+(0.8.0.2.4)

(E7.2.7)

e si raggiunge quasi la certezza che la moneta scelta sia effettivamente quellaperfetta. Infatti, la probabilità di ottenere un così preciso bilanciamento dei risul-tati {Testa} e {Croce} con la moneta (pesantemente) truccata è praticamente~~. D


7.3 Variabili aleatorie

7.3.1 Definizione di variabile aleatoria--- -----.---Consideriamo due diversi esperimenti aleatorioIl primo è il familiare lancio deldado (supposto perfetto) il cui spazio campione Q\ è noto. Il secondo consistenello scegliere un qualunque giorno non festivo della settimana, ad esempio perverificare casualmente le presenze del personale di una ditta settimana per setti-mana. Lo spazio campione Q2 = {Lun,Mar,Mer,Gio,Ven,Sab} di questo se-condo esperimento è evidentemente diverso da Ql' In realtà, i due esperimenti

sono solo apparentement~!!~ver~i:in ogni esperimento si tratta di scegliere concompleta casualità uno tra 6 possibili risultati distinti. Cerchiamo dunque ditrovare una maniera di accomunare i due esperimenti, tentando di astrarci (cioèdi allontanarci, di muoverei su di un livello maggiormente concettuale e piùgenerale) dai due casi particolari. Potremmo ad esempio numerare le facce deldado e i giorni della settimana da 1 a 6 e considerare non più i particolaririsultati dell'esperimento (diversi nei due casi), bensì il valore associato aciascunodei possibili risultati. Si ottiene in questo caso una "descrizione" che siattaglia a entrambi gli esperimenti, anche se in realtà essi si riferiscono a casidiversi con spazi campione diversi. In sintesi, abbiamo costruito una quantitànumerica variabile (in questo caso da l a 6) a seconda del risultatodell'esperimento rispettivo, cioè un esempio di ciò che in teoria della probabilitàvienechiamata variabile aleatoria.

~

Cerchiamo adesso di dare una definizione formale di variabile aleatoria piùprecisa di quella colloquiaie appena vista. Consideriamo dunque un esperimentoaleatorio avente uno spazio campione Q, una classe degli eventi S e una legge

di probabilità pr( . ) (per semplicità considereremo uno spazio campione nume-rabile). Definiamo quindi (come sopra accennato) una corrispondenza, indicata

con X(coi), che associa a ciascun risultato coidell'esperimento un unico numeroreale. Tale corrispondenza fra lo spazio Q e l'asse reale è una variabile aleato-ria se l'insieme di risultati dell'esperimento per i quali è verificata la disugua-glianza X(co)::;;a (tale insieme si indica convenzionalmentecon la scrittura{X(co)::;;a}) è un evento, comunque si scelga il valore del parametro reale a.Nelle pagine seguenti le variabili aleatorie saranno sempre rappresentate da let-tere maiuscole omettendo la dipendenza dal risultato co dell' esperimento (adesempioX, Y,Zanziché X(co), Y(co), Z(co) ecc.).

Il concetto di variabile aleatoria è utile ogniqualvolta si deve modellare unesperimento che ha come risultato finale un valore numerico non prevedibile a

382 Capitolo 7

priori. L'esempio per antonomasia è un'operazione di misura con uno strumentoutilizzato ai limiti della precisione ottenibile. In questo caso, anche ripetendo piùvolte l'esperimento, si ottengono valori misurati di volta in volta diversi in ma-niera aleatoria per effetto dell'incertezza della misura. Questo procedimento èdunque immediatamente rappresentabile con una variabile aleatoria, con unagrandezza cioè che varia in maniera non predicibile ogni volta che si ripete l'e-sperienza.

Dobbiamo adesso chiederci: una volta definita la variabile, come è possibiletrasferire la legge di probabilità relativa alla classe S degli eventi dello spaziocampione a insiemi di valori assunti dalla variabile aleatoria stessa? In un pro-blema di misura, su cui è definita una variabile aleatoria X, è spesso significativocalcolare la probabilità che i valori di tale variabile aleatoria si trovino compresiin un intervallo del tipo a < X ~ b, che è di interesse per la misura stessa.Concettualmente, data la corrispondenza istituita (si veda la Figura 7.2), questoequivarrebbe a "ripercorrere la strada all'indietro" e in particolare a identificarein 11 tutti e soli quei risultati che danno valori della variabile aleatoria compresiappunto tra a e b. Questo insieme di risultati, per come è stata costruita lavariabile aleatoria, è sicuramente un evento e a esso è associabile una proba-bilità. Quindi, con estensione di linguaggio, chiameremo direttamente evento an-che l'intervallo di valori sulla retta reale (a,b] perché a esso è comunque asso-

ciabile una probabilità che indicheremo con Pr{a < X ~ b} .

.x

Q

Figura 7.2 Definizione di una variabile aleatoria

L'operazione concettuale di "tracciamento a ritroso" appena descritta diventasuperflua se si introduce la funzione distribuzione di probabilità FAx) (talvoltachiamata anche funzione di ripartizione) di una variabile aleatoria X, definitacome segue:

Richiami di teoria della probabilità. 383

(7.3.1)

In questa definizione, x è un valore reale generico ma fissato (una sorta di valore

di "sonda")che identifical'evento {X::; x} di cui si deve calcolarela probabi-lità. La funzione distribuzione gode delle seguenti proprietà fondamentali:

D.l - essa assume valori appartenenti all'intervallo [0,1], ovvero

(7.3.2)

D.2 - il suo valore limite per x ~ -toovale 1, cioè

lim Fx(x) = Fx( -too) = P{ X::; -too} = 1x ~

(7.3.3)

D.3 - il suo valore limite per x ~ -00 vale O,cioè

lim Fx(x) = Fx(-OO)= P{X::; -oo} = Ox....- (7.304)

DA - essa è monotona non decrescente, ovvero

(7.3.5)

D.5 - essa è continua da destra, cioè

FAx) = lim FAx+h)h O'

(7.3.6)

D.6 - se essa presenta una discontinuità di prima specie nel punto x =x,allora la differenza fra il suo limite destro e il suo limite sinistro in tale puntoè pari alla probabilità dell'evento {X = x}, ovvero

(7.3.7)

D.7 -la probabilità dell'evento {a < X::; b} può essere calcolata mediante larelazione

Pr{a < X::; b} = FAb)- Fx<a) (7.3.8)

A seconda delle caratteristiche della funzione distribuzione di probabilità, le

variabili aleatorie possono essere suddivise in assi: variabili d~,continue e miste. Una variabile aleatoria X è discreta e la sua distribuzione- - -FAx) è una funzione costante a tratti, cioè è del tipo- - ~ -- --- -

FAx) = L,Pr{X = Xk}u(x -Xk)k

(7.3.9)

384 Capitolo 7

Tenendo conto delle proprietà D.6 e D.7, ciò significa che la variabile aleatoriaassume con probabilità diversa da zero un insieme di valori xk discreto (finito o

non). Le quantità Pk =pr{X =Xk} sono le cosiddette masse di probabilità2.

Se, invece, la distr~buzione FAx) è una funzione ovunqu~allora lavariabile ~l:a~~;;-Ùn~ la J2.fob!!bilitàche }f. assuma u~~alor~ Ee~lefissato è identicamente ~

Una variabile aleatoria è mista se non appartiene a nessuna delle due classiora definite. La funzione distribuzione di una variabile aleatoria mista è continua

quasi ovunque, cioè continua salvo in un numero finito (o in una infinità nume-rabile) di punti. Esempi dell'andamento qualitativo di funzioni distribuzione diprobabilità per una variabile aleatoria continua, discreta e mista sono mostrati inFigura 7.3.

7.3.2 Densità di probabilità di una variabile aleatoriaIl comportamento statistico di una variabile aleatoria X è dunque caratterizzatocompletamente dalla conoscenza della sua funzione distribuzione FAx ). Unadescrizione alternativa è anche data dalla funzione densità di probabilità fx(x)della variabile, definita come segue:

(7.3.10)

Da questa definizione si ricava immediatamente la relazione inversa

x

FAx) = ffAu)du (7.3.11)

La funzione densità di probabilità fAx ) gode delle seguenti proprietà:

. essa è non negativa, ovvero

(7.3.12a)

per ogni valore reale della variabile x, poiché la funzione distribuzione èmonotona non decrescente;

2 Per rispettare le proprietà D.6 e D.7, la funzione gradino unitario che appare nella (7.3.9) deve

essere definita in modo leggermente diverso da quanto visto nel Capitolo 3. In particolare, qui si

deve intendere u(O)=1(cioè si deve assicurare la continuità da destra).

i:I

['

II

r:

!I

1 ~- ------------------------------

x(a)

Fx(x)

1 ~-------------------------------_.

X1 x(b)

1 ~-------------------------------_.

x(c)

Figura7.3 Esempio di funzioni distribuzioni di probabilità di una variabile aleatoria continua(a), discreta (b), mista (c)

. la probabilità dell' evento {a < X ::;b} può essere calcolata con la relazione

b

Pr{a < X::; b} = Fx(b)- Fx(a) = ffAx) dx (7.3.12b)a

386 Capitolo 7

II

,/

l

. l'integralesu tuttol'asse realedellafunzionedensitàè unitario,cioè

~

JfAx)dx=l (7.3.l2c)

in quanto questo integrale rappresenta la probabilità dell'evento certo.

Consideriamo ora un intervallo di ampiezza molto piccola & attorno a un puntofissato x. Si ha:

x+/U

Pr{x < X:S;x+&}= J fx(x)dx=fAx).&x

(7.3.13)

ove evidentemente l'approssimazione dell' integrale è valida proprio nell' ipotesidi ampiezza dell'intervallo tendente a O. Riorganizzando questa relazione siottiene

fAx) = Pr{x<X:S;x+&}&(7.3.14)

cioè il valore della densità di probabilità in un certo punto è pari al rapporto tra ilcontributo elementare di probabilità dato dall'intervallino considerato, e l'am-piezza (la misura cioè) dell'intervallino stesso. Questo risultato giustifica pie-namente il nome e il significato di densità che abbiamo attribuito alla funzione

fAx)A questo riguardo, molti testi di probabilità e statistica trattano separatamente

il caso della variabil~ntinu~r la qual~ ~izione ..?2densità secondo la(7.3.10) è ben pos~a,e il caso di una variabile aleatoriardiscreiàyer la quale ladefinizione di densità perde significato in senso ordinario. La distribuzione

FAx) di una variabile aleatoria discreta è infatti discontinua e quindi nonderivabile nei punti di discontinuità. Se però ripensiamo alla soluzione data nelCapitolo 3 al problema della derivata generalizzata di una funzione gradino,osserviamo che con gli strumenti matematici a nostra disposizione non c'èalcuna necessità di questa distinzione. Se infatti riprendiamo l'espressione(7.3.9) della funzione distribuzione di una variabile aleatoria discreta, ne

. ricaviamoimmediatamentela funzionedensitàdi probabilità:

fAx) =L Pk 8(X-Xk)k

(7.3.15)

che contiene naturalmente la funzione generalizzata 8 di Dirac. Questo indica

ancora una volta che per una variabile aleatoria discreta la probabilità èconcentrata nei particolari valori Xk dell'asse reale anziché essere distribuitacon continuità come per una. variabile aleatoria continua. In Figura 7.4 sonoqualitativamente rappresentati alcuni esempi di densità di probabilità per unavariabilecontinua, discreta e mista.

fx<x)

x(a)

XI x(b)

/x

(c)

Figura 7.4 Esempio di funzioni densità di probabilità di una variabile aleatoria continua (a),discreta (b), mista (c)

Esempio 7.3

a) La variabile aleatoria uniforme

Una variabile aleatoria continua Y è uniforme sull' intervallo (a, b) se la sua

densità di probabilità fy(y) è costante in tale intervallo e si annulla al di fuori di

esso. Per motivi di normalizzazione il valore della funzione su (a, b) deve essereevidentementepari a lI(b - a):

- --

388 Capitolo 7

fy(y) = !.-rect (Y - (b + a)/2

)b-a b -a(E7.3.1)

Questo significa in pratica che Y non potrà mai assumere valori all'esterno di(a,b), mentre tutti i valori all'interno di tale intervallo vengono considerati allastessa stregua. Infatti, ogni evento del tipo {x < X ~ x + LU} contenuto in (a,b)ha sempre la medesima probabilità di verificarsi indipendentemente dallaposizione di x. In un certo senso, la variabile aleatoria uniforme è l'analogocontinuo della variabile aleatoria discreta definita su un insieme finito di valori

equiprobabili (come nel caso del dado perfetto). L'insieme delle variabilialeatorie uniformi nell' intervallo (a,b) si denota comunemente con la scrittura'li(a,b). Per indicare l'appartenenza della variabile aleatoria Y a questa classe si

scrive Y E 'li(a,b). La funzione distribuzione Fy(y) si ricava facilmente:

y

{

O

Fy(y) = ffy(a)da= (y-a)f(b-a)- 1

y<a

a~y~b

y>b

(E7.3.2)

L'andamento delle funzioni fy(y) ed Fy(y) è illustrato nella Figura 7.5.

1/(b-a)fy (y)

a b y

Figura 7.5 Funzioni densità e distribuzione di probabilità della variabile aleatoria uniforme

b) La variabile esponenzialeUna variabile aleatoria continua X è esponenziale unilatera se la sua densità di

probabilità fAx) è espressa dalla relazione

fAx) =~exp(-~) u(x)(E7.3.3)


ove TIè un parametro reale positivo il cui significato sarà chiaro in seguito. Lavariabile aleatoria esponenziale è usata comunemente in problemi di affidabilitàe calcolo del rischio. In prima approssimazione, infatti, il cosiddetto tempo divita di un dispositivo o di un apparato anche complesso, ovvero il tempo cheintercorre prima che l'apparato vada per la prima volta fuori servizio, èmodellabile con una variabile aleatoria esponenziale di parametro TIopportuno.La sua funzione distribuzione FAx ) è allora

x

FAx) = JfAa)da =[1-exp(-x/TI)]u(x) (E7.3.4)

L'andamento delle funzioni fAx) ed FAx) è illustrato nella Figura 7.6.

1/11

x

Figura 7.6 Funzioni densità e distribuzione di probabilità della variabile aleatoria esponenziale

c) La variabile di Poisson

Una variabile aleatoria discreta Z con densità di probabilità

(E7.3.5)

è di Poisson con parametro A (A> O). Come si nota, la variabile Z può assu-mere con probabilità diversa da zero solo valori interi non negativi. L'insieme

. delle variabili aleatorie di Poisson con parametro A si indica, comunemente,con la scrittura P(A) e per denotare l'appartenenza della variabile aleatoria Z aquesta classe si scrive Z EP(A). La variabile aleatoria di Poisson è un buonmodello dell'esperimento aleatorio di conteggio dei clienti descritto nel

390 Capitolo 7

Paragrafo 7.1, purché A venga scelto opportunamente. La funzione distribu-zione Fz(z)è

- Ak

Fz(z)= e-A L - u(z - k)k=O k!

L'andamento della massa di probabilità Pk = e-AAk / k! della variabile di Poissonè infine mostrato nella Figura 7.7 per due diversi valori di A. D

(E7.3.6)

7.3.3 Trasformazione di una variabile aleatoria

Nei problemi che coinvolgono una variabile aleatoria, è molto comune dovereseguire operazioni matematiche sui valori assunti dalla variabile stessa.

Supponiamo di voler misurare il valore di una piccolissima corrente elettrica inun resistore. A causa dell'incertezza di misura, il valore misurato viene

modellato come una variabile aleatoria X, di cui si presume di essere in grado diricavare l'andamento della funzione densità di probabilità. Se però si desideraconoscere il valore della potenza dissipata sul resistore per effetto Joule, si devecalcolare la quantità P = r . X2, ove r è il valore della resistenza del resistore.

Nasce dunque il problema di ricavare l~ descrizione statistica completa, e cioèl'andamento della funzione densità di probabilità, di questa nuova variabilealeatoria P ottenuta trasformando la variabile aleatoria originaria X.

Figura 7.7 Massa di probabilità della variabile aleatoria di Poisson

0.25

oro'

'

I A=5

I I I A=100.15

1- 0.10iDIl-'"Q.

0.05

0.00

-0.05o 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

k


Generalizziamo il problema: consideriamo una variabile aleatoria continua X apartire dalla quale viene definita una variabile aleatoria Y mediante la relazione

Y =g(X) (7.3.16)

ove g(x) è una funzione di variabile reale a valori reali. Nota la densità di

probabilità fAx ) della variabile X, è possibile calcolare la densità diprobabilitàfy (y)dellavariabilealeatoria Y mediantela relazione

(7.3.17)

ove l'insieme {Xi} è costituito da tutte le soluzioni dell' equazione g(x) =y.Questo risultato è noto come teorema fondamentale per la trasformazione diuna variabile aleatoria. Naturalmente, la dipendenza da y del secondo membro

della (7.3.17) è "nascosta" nell'espressione degli xi' il cui numero e valore di-pende infatti dal particolare valore di y considerato. Per applicare correttamenteil teorema fondamentale è allora importante avere ben presente quanto segue:

. a seconda del valore di y considerato, {Xi} può essere un insieme vuoto (nelqual caso evidentemente fy(y) =O) o può contenere un numero finito oinfinito numerabile di punti;. se nel punto x =x con y =g(x) la derivata prima g'(x) è nulla si hanno duecasi: i) la trasformazione g(x) ha in x un massimo o un minimo relativi; se

fx(x) è diverso da O, allora la fy(y) tenderà in y a +00; oppure ii) xappartiene a un intervallo I nel quale la funzione g(x) assume un valorecostante. In quest'ultimo caso, la variabile aleatoria Y assume il valorey = g(x) con probabilità

Pr{Y = y} = Pr{X E I} (7.3.18)

e se tale probabilità è non nulla la variabile aleatoria Y è mista.

Esempio 7.4

Nel circuito elettrico di Figura 7.8 il generatore di tensione Voviene collegatoalla squadra R-C all'istante t =O. Il resistore r ha un tempo di guasto aleatorioX in corrispondenza del quale esso interrompe il circuito. L'istante X è unavariabilealeatoria avente densità di probabilità esponenziale:

fxCx)=~ exp(-~ )U(X)2a 2a (E7.4.1)

392 Capitolo 7

con a =re. Vogliamo detenninare la densità di probabilità fv( v) della variabilealeatoria V che rappresenta la tensione ai capi del condensatore dopo il guastodel resistore.

Figura 7.8 Schema della squadra R-C con guasto

L'andamento della tensione v(t) ai capi del condensatore si trova dallarelazione di carica del condensatore e a partire dall'istante t = O:

v(t) = vo[l-exp(-t/a)]u(t) (E704.2)

dalla quale segue immediatamente

V == v(X) =vo[l- exp(-x/a)]u(X) (E704.3)

Abbiamo identificato una legge di trasformazione fra la variabile aleatoria X ela variabile aleatoria V, il cui grafico è rappresentato nella Figura 7.9.Cominciamoconl'osservareche l'equazione v = g(x) nonha soluzionise v~ Voo v< O;quindila densitàdi probabilitàfv( v) è nulla su questi intervalli.Restaquindi da determinare l'espressione di fv(v) per O~ v < vo' Secondo il teoremafondamentale, bisogna per prima cosa trovare il numero e il valore dei punti Xi

che soddisfano v = v(x;). Dalla Figura 7.9 è chiaro che nell'intervallo [O,vo)esiste sempre uno e un solo valore di X che soddisfa la relazione

v = v(x) (E704.4)

e cioè

(E704.5)

Si ricava perciò:


(E7.4.6)

con

v'(x) = Voexp(-x/a)a(E7.4.7)

v=g(x}

a 2a 3a 4a x

Figura 7.9 Legge di trasformazione della variabile aleatoria dell'Esempio 7.4

Riprendendo in considerazione la forma della densità di probabilità (E7.4.1) siottiene infine

1~~ exp(-~ )U(X) la ~1-;;; = l 1 (E7.4.8)2a 2a =

( )

2 Rfv(v) = v Vo -~ Vo l--

I; exp(-x/a~ (0--;,-)a 1 v, v,

per ogni v E [O,vo).L'andamento della fv(v) è illustrato in Figura 7.10. o

7.3.4 Indici caratteristici di una distribuzione

La conoscenza della funzione densità (o distribuzione) di probabilità di unavariabile aleatoria rappresenta il massimo di informazione che si può avere sulcomportamento statistico dei valori assunti dalla variabile stessa. Naturalmente,però, non sempre è possibile arrivare a una conoscenza così completa riguardo aun problema aleatorio che si sta trattando. Molto più spesso, ci si accontentadella conoscenza di alcuni parametri statistici semplificati o indici relativi alla

394 Capitolo 7

distribuzione di probabilità presentata dalla variabile.

f (v)v

1/2vo

v

Figura 7.10 Densità di probabilità ricavata nell'Esempio 7.4

Il valore atteso (chiamato anche valor medio, speranza, attesa) 1Jx di unavariabile aleatoria X con densità di probabilità fAx) è definito dalla relazione

~

1Jx~fxfAx)dx (7.3.19)

e rappresenta in certo senso un valore "baricentrico" attorno al quale si distribui-scono i valori della variabile aleatoria stessa (indice di posizione). Se la variabileè discreta, richiamando la relazione (7.3.15) della relativa densità di probabilità,si ha

~ ~ ~

1Jx ~ f x fAx ) dx = f x L Pk <5(x - Xk) dx =L Pk f x <5(x - Xk )dxk k

(7.3.20)

che coincide con la formula normalmente fornita separatamente per le variabilidiscrete, e dove è stata sfruttata la proprietà campionatrice della funzione <5.

Quando si ha a che fare con un problema di trasformazione di una variabile

aleatoria Y = g(X), si introduceil cosiddetto[ope;dto-;-~l~;medio:!~

E{g(X)}~ f g(x) fAx) dx (7.3.21)


La lettera E nell'operatore valor medio E{.} è l'iniziale della parola ingleseExpectation che traduce l'italiano "aspettativa". Notiamo che anche il valore

atteso ~uò essere risc~2pnalmente usando questp operat2£e:~

17x = Jx fAx) dx = E{X} (7.3.22)

cioè il valore atteso è anche il valor medio della variabile aleatoria stessa! Se una

variabile aleatoria Y è funzione della variabile aleatoria X, Y = g(X), allora ilvaloreatteso 17ydi Y, dato per definizione da

-17y = J y fy(y) dy (7.3.23)

può essere calcolato con la relazione

-17y = E{g(X)} = Jg(x) fAx) dx (7.3.24)

Questo risultato è noto come teorema del valor medio, ed è molto utile in

pratica perché permette di evitare il calcolo esplicito del~~nzi~~Jy_(Y) chesarebbe necessario attraverso la definizione (7.3.23). Notiamo in margine chel'operatore vaTormedro~come è chiaro dalla sua stessa definizione attraverso

un'operazione di integrazione, gode della proprietà di linearità:

E{a. g(X) + f3. h(X)} = a. E{g(X)} + f3. E{h(X)} (7.3.25)

con a e f3 costanti qualunque.

Due variabili aleatorie che pure presentano lo stesso valore atteso possonoavere comportamenti statistici sensibilmente differenti. Nella Figura 7.11 sono

mostrate appunto le densità di probabilità di due variabili aleatorie Xl e X2accomunate dallo stesso valore atteso 17x, ma molto diverse per quel cheriguarda la "larghezza" della relativa curva attorno al valore 17x'La densità

fx,(x) è molto "allargata" attorno al valore atteso; viceversa la fX2(x) è moltopiù "appuntita". Questo suggerisce che per la prima variabile è piuttostoprobabile trovare valori "lontani" dal valore atteso, e quindi molto più dispersi

rispetto a quest'ultimo che per la variabile X2. Per quantificare questo

comportamentocon un singolo parametro statistico si definisce laFaria~ (j'~di una variabile aleatoria X come segue:

396 Capitolo 7

(7.3.26)

Il parametro (jx' radice quadrata della varianza, è la cosiddetta deviazionestandard. A maggiore varianza della variabile aleatoria corrispondono valorimolto dispersi attorno al valor medio, e viceversa. Al limite, una variabilealeatoria che presenta varianza nulla ha valori per niente dispersi attorno al valormedio e la sua densità di probabilità diventa "infinitamente appuntita" attorno aquesto valore:

(7.3.27)

In tal caso la probabilità di trovare valori diversi dal valore atteso è nulla, equindi la variabile aleatoria in pratica "collassa" in un valore certo, precisamentenella quantità costante e non più variabile 1]x.

T/xx

Figura 7.11 Densità di probabilità con ugual valore atteso ma diversa varianza

Il valore quadratico medio (talvolta chiamato anche potenza) di una variabilealeatoria è infine definito come

~

m~~E{X2}= JX2 fAx)dx (7.3.28)

Poiché l'operatore valor medio ED è un operatore lineare, è facile trovare illegame tra la varianza (j~ e il valor quadratico medio m~:

(j~ ~E{(X -1]x )2} = E{X2 + 1]~ - 21]x . X} = E{X2} + E{1]~}- E{21]x. X}

=m~ + 1]~- 21]~ = m~ -1]~ -, ~ - (7.3.29)


Esempio 7.S

Calcoliamo i parametri statistici semplificati per le variabili aleatorie consideratenell'Esempio 7.3. Il valore atteso 17xdi una variabile aleatoria X esponenzialeunilatera, avente densità di probabilità fxCx) espressa dalla (E7.3.3), è dato da(si veda la (7.3.19))

~ ~

17x = fxJxCx)dx= f(x/17)exp(-x/17)dx=17o

(E7.5.1)

Dunque il parametro 17, che abbiamo usato per caratterizzare la variabile

aleatoria esponenziale unilatera, coincide in realtà con il valore atteso 17xdellavariabile aleatoria stessa. Il valor quadratico medio mi della variabile aleatoriaesponenziale X è dato da

~

mi = f( x2 /17) exp( - X/17) dx = 217io

(E7.5.2)

e, quindi, la sua varianza ai è pari a

ai = E{ X2} -17i = 17i = 172 (E7.5.3)

Lasciamo al lettore come esercizio la dimostrazione che il valore atteso, il valor

quadratico medio e la varianza di una variabile aleatoria uniforme Y E 'li(a,b)sono rispettivamente

17y= a + b22

m; =a +ab+b2

(E7.5.4)

2

a; = (b- a/12

(E7.5.5)

(E7.5.6)

Notiamo che all'aumentare dell'ampiezza del campo di variabilità [a,b] per unavariabile uniforme aumenta anche la varianza della variabile, come ci si deve

attendere dal carattere di indice di dispersione che questo parametro riveste.

Consideriamo, infine, una variabile aleatoria discreta di Poisson Z EP(A). Ilsuo valore atteso 17zè dato da

398 Capitolo 7

-A+00 Ak -A A=Ae L-=Ae e =A

k=Ok!

Per determinare il valor quadratico medio e la varianza di Z, calcoliamo

dapprima ilseguente valor medio:

(E7.5.7)

(E7.5.8)

D'altronde,

E{Z(Z-l)} = E{Z2}- E{Z} = mi -1Jx = mi - A (E7.5.9)

e quindi

mi=A2 + A

La varianza a~ di Z è allora data da

(E7.5.1O)

(E7.5.11)

Dunque il parametro A, che caratterizza una variabile aleatoria di Poisson, nerappresenta sia il valore atteso sia la varianza. O

7.3.5 La variabile aleatoria GaussianaUna variabile aleatoria X è Gaussiana o normale se la sua funzione densità di

probabilità è

J

.;1

(X-1Jx )2l --

fAx) = e 2ai~2nai

ove come di consueto ai e 1Jxindicano rispettivamente la varianza e il valoreatteso della variabile aleatoria stessa. Sinteticamente, scriveremo che

X E 91£(1Jx'ai ). In particolare, una variabile N E91£ (0,1), ovvero una variabilealeatoria Gaussiana con valor medio nullo e varianza unitaria, è detta variabilenormale standard e la sua densità di probabilità è

(7.3.30)

(7.3.31)

il cui andamento è illustrato nella Figura 7.12. Usando il teorema fondamentale

(7.3.17), si vede che una generica variabile X E 9{(1}x'ai) può essereespressacome trasformazione lineare della variabile aleatoria normale standard N:

(7.3.32)

0.6

0.4

0.2

0.0-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5

n

1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

Figura 7.12 Grafico della densità di probabilità normale standard fN(n) e delle funzioni (n)e Q(n)

La funzione distribuzione di una variabile aleatoria Gaussiana non può essereespressa in forma chiusa. Per questa ragione si definisce la funzione distribu-zione (x) per una variabile aleatoria normale standard:

(7.3.33)

Questa funzione, il cui andamento è visibile in Figura 7.12, viene calcolata conmetodi numerici ed è generalmente disponibile nei linguaggi o ambienti diprogrammazionedei calcolatorielettronici.Noti i valoridella funzione(x),èpossibile calcolare quelli della funzione distribuzione FAx) relativa a una

variabile aleatoria X E 9{(1}x,ai) mediante la relazione (ricavabile immediata-mentedalla (7.3.32))

-

400 Capitolo 7

(7.3.34)

La probabilità che una variabile aleatoria Gaussiana assuma valori in un inter-vallo [a,b] è quindi pari a

(7.3.35)

In pratica, quando si deve calcolare numericamente la probabilità (7.3.35) biso-gna ricorrere a una valutazione numerica della funzione <1>.Però, sia nei pro-grammi moderni di matematica assistita dal calcolatore (MatLab, Mathematicaecc.) sia nei linguaggi generali di programmazione ad alto livello (Fortran, CHecc.) è più comune avere a disposizione come funzione di macchina la cosiddettafunzione errore (o error function) erf(x) e lafunzione errore complementare (ocomplementary errorfunction) erfc(x), definite come segue:

d 2 x 2

erf(x)= r= fe-e dO-v~ o

(7.3.36)

d 2 ~ 2

erfc(x)=1- erf(x) = ~ f e-e dOx

(7.3.37)

La Figura 7.13 mostra l'andamento delle due funzioni erf(x) ed erfc(x); si notila proprietà di simmetria dispari della erf( x) attorno al punto x =O. Larelazione fra (x)ed erf(x) è inoltre

l 1

(~ )(x) =2 + 2erf -fi (7.3.38)

e la probabilità di un intervallo è

(7.3.39)

iami di teoria della probabilità 401

2

- erfc(x)

- erf(x)

-xU't:<D

o

-1

-2

-3.0 -2.0 -1.0 0.0

X

1.0 2.0 3.0

Figura 7.13 Andamento delle funzioni erf(x) ed erfc(x)

Nei problemi che coinvolgono le variabili aleatorie Gaussiane è usata talvoltaànchela funzione

" l

(X

)Q(x)=1- <t>(x)= lerfc .J2(7.3.40)

il cui andamento è pure riportato in Figura 7.12 per completezza.

7.3.6 Variabili aleatorie condizionate

Ricordiamoche la definizione della funzione distribuzione di probabilità per una

variabilealeatoria X passa attraverso la definizion~ di un evento Ax = {X ~ x}di cui in pratica la funzione rappresenta la probabilità:

Pr(A) = Pr{X ~ x} = Fx(x) (7.3.41)

Il verificarsidi questo evento può però in generale essere influenzato dell'essersiverificatoun secondo evento B (avente probabilità non nulla). Ha senso quindiporsi il problema della caratterizzazione statistica della variabile aleatoria Xcondizionatamenteal verificarsi dell' evento B considerato. Questa caratterizza-

zionesi effettua definendo lafunzione distribuzione condizionata FXIB(X/B)dellavariabile aleatoria X, ovvero la probabilità dell'evento A condizionato al

402 Capitolo 7

verificarsi di B 3:

FXIB(xIB)Apr{Ax B} = Pr{X:S; x,B}Pr(B) Pr(B)

(7.3.42)

Si definisce, poi, la funzione densità di probabilità condizionata fXIB(xIB)mediante la conseguente relazione

fXIB(xIB)~ dFAxIB)dx(7.3.43)

La funzione Fx,AxIB), essendo pur sempre una funzione distribuzione, gode ditutte le proprietà delle funzioni distribuzione non condizionate; analoghe

considerazioni si applicano alla densità di probabilità condizionata fXIB(xIB).

Esempio 7.6

Risolviamo il problema del tempo di guasto dopo rodaggio. Supponiamo dieffettuare il collaudo di una partita di lampadine, accendendole e lasciandoleaccese fino allo spegnimento per guasto (bruciatura del filamento). In primaapprossimazione, il tempo di guasto così definito è una variabile aleatoria Xesponenziale unilatera, avente densità di probabilità

(E7.6.1)

ove 11è il tempo medio di guasto (MTBF, Mean Time Befare Failure).Alteriamo adesso la modalità di collaudo come segue: attendiamo un tempo

fisso Xodall'accensione, scartiamo le lampadine che a tale istante risultano giàguaste, e ripetiamo il collaudo come in precedenza sulle sole lampadine che a

Xo risultano funzionanti. Questa operazione di rodaggio ha influenza sulladensità di probabilità del tempo di guasto della lampadine rimaste. Ciò che

vogliamo determinare è la densità di probabilità condizionata fx,AxIB), oveB = {X ~ xo}. A tal fine si deve calcolare dapprima la funzione distribuzionecondizionata FXIB(xIB)e quindi (si veda la (7.3.42», le probabilità Pr(B) ePr{ X :s;x, B}.

La probabilità Pr(B) è data da

3 La notazione abbreviata {x::; x, B} significa in realtà {X::; x} Il B, e sarà usata per

semplicità anche in seguito.

(E7.6.2)

ove FAx) è la funzione distribuzione di X. La probabilità congiuntaPr{X =::;x,B}, invece, è espressa da (si veda la Figura 7.14):

(E7.6.3)

ovvero

(E7.6.4)

Sostituendo, si ottiene

(E7.6.5)

e anche

(E7.6.6)

{Xs x}

x<xo{Xsx}

x

Xo

'. j.

{X>x,,}

Figura 7.14 Probabilità di eventi

Questa formula spiega quali sono gli effetti del rodaggio: i) la densità del tempodi guasto delle lampadine sopravvissute è ovviamente nulla per x < Xo(il rodag-gio è infatti stato superato con certezza, e il tempo di guasto è necessariamente

404 Capitolo 7

maggiore di xo); ii) la medesima densità condizionata ha lo stesso andamentodella densità incondizionata per x:2: xo, con l'aggiunta del fattore di scala

(1- FAxo)t per ri-normalizzare a lla probabilità totale di guasto.Nel nostro caso particolare di tempo di guasto esponenziale si trova

(E7.6.7)

che è paragonata con la densità incondizionata nella Figura 7.15. Il lettorespieghi perché, dal punto di vista del fabbricante, non c'è alcuna convenienza dieffettuare il rodaggio in fabbrica per il caso particolare delle lampadineesponenziali.

1/11

x

Figura 7.15 Densità di probabilità di una lampadina prima e dopo il rodaggio

D

7.4 Sistemi di variabili aleatorie

7.4.1 Sistemi di due variabili aleatorie

Nello studiodi un esperimentoaleatoriopuò essere utile associareuna coppia

(x, y) di numeri reali ai risultati dell' esperimento stesso, definendo così un cop-pia (X, Y) di variabili aleatorie. La caratterizzazione delle due variabili aleatorieconsiderate singolarmente si può effettuare come discusso nel paragrafo prece-dente attraverso le funzioni distribuzione (densità) di probabilità Fx(x) e Fy(y)

( fAx ) e fy (y)). Questefunzioniperò non dannoalcunainformazionesulcom-portamento congiunto delle due variabili aleatorie. Consideriamo infatti come


variabili aleatorie il peso e l'altezza di una persona scelta casualmente in unacerta popolazione. È chiaro che sarà molto improbabile trovare una persona.. \ ~ . .molto alta e congiuntamente molto leggera. C'è un'influenza reciproca tra i va- ')'+''. kloriassuntidalleduevariabiliche nonpuò ovviamenteesseredescrittadallesole t"

funzioni FAx) e Fy(Y) che riguardano il solo peso o la sola altezza senza mi-nimamente tener conto dell'altra grandezza. È importante, allora, disporre di unacaratterizzazione statistica congiunta di tali variabili.

Data la coppia (X, Y) di variabili aleatorie, si definisce la funzionedistribuzionedi probabilità congiunta

(704.1)

la quale d~scrive in modo completo il comportamento statistico congiunto delle

due variabili. La funzione Fxy(x,y), come vedremo, determina anche leproprietàstatistiche marginali, cioè relative a una sola variabile della coppia.

Elenchiamo, adesso, alcune proprietà importanti della funzione FXY(x, y):. la funzione Fxy(x,y) assume valori compresi tra Oe l, ovvero

(704.2)

. la funzione Fxy(x,yo), comunque si scelga il valore Yo della variabile y, èmonotona non decrescente nella variabile x e continua da destra in questa

variabile; analogamente, la funzione Fxy(xo,Y), comunque si scelga il valoreXodella variabile x, è monotona non decrescente e continua da destra nellavariabile y;

. la funzione Fxy(x, y) soddisfa le uguaglianze

Fxy(-OO,y)= p{X::; -00, Y::; y} =O (7A.3a)

FXY(x,-oo) = P{X::; x,Y::; -oo} = O (7A.3b)

e naturalmente anche

(7A.3c)

. le funzioni distribuzione marginali delle variabili aleatorie X e Y si ricavanodalla congiunta come segue:

(7AAa)

406 Capitolo 7

(7.4.4b)

. il limite della funzione FXY(x,y) quando sia x sia y ~ +00 è unitario, tioè

(7.4.5)

. la probabilità dell'evento rettangolare R={XI< X::;X2'Y\< Y::;Y2} puòessere calcolata mediante la relazione

Pr{xi < X::; X2 <>'\< Y::; Y2}

= FXy(X2,yJ- Fxy(xpyJ- FXy(X2'YI)+ Fxy(xl'YI) (7.4.6)

Riprendiamo quest'ultima relazione considerando un evento rettangolare dimisura molto piccola, avente cioè "lati" di ampiezza rispettivamente Lit e /),.yprossime a zero. La probabilità di questo evento è dunque

Pr{x < X::; X + Lit,y < Y::; Y + /),.y}

= Fxy(x + Lit,y+ /),.y)- Fxy(x,y + /),.y)- [Fxy(x + Lit,y)- Fxy(x,y)]

== JFXY(x,y+ /),.y)Lit- JFxy(x,y) Lit = J2Fxy(x,y) Lit/),.- ax ax axay y

(7.4.7)

ove naturalmente l'approssimazione è valida nella misura in cui Lit e /),.ysono

"piccoli". Se definiamo la funzione

(7.4.8)

abbiamo allora

Pr{x < X::; x + Lit,y < Y::; y+ /),.y}==fxy(x,y)Lit/),.y (7.4.9)

o anche

f ( ) ==Pr{x<X::;x+Lit,y<Y::;y+/),.y}Xy x,y -LitL\y

(7.4.10)

Quest'ultima relazione giustifica pienamente il nome di funzione densità di

probabilità congiunta che si dà alla fxy (x, y) definita come nella (7.4.8). Si notil'analogia con la definizione (7.3.10) della densità marginale fAx).

La funzione densità di probabilità congiunta fxy(x,y) gode delle proprietàseguenti:. essa assume valori non negativi, ovvero

(7.4.11)

. essa integra a l su tutto il piano:

+<>o +o-

f ffxy(x,y)dxdY=l (7.4.12)

. le densitàmarginali fAx ) ed fy(y) rispettivamentedelle variabilialeatorieX e Y si possonoricavarecomesegue:

+o-

fx(x) = f fxy(x,y) dy (7.4.13a)

+o-

fy(y) = f fxy(x,y) dx (7.4.13b)

. la probabilità di un evento A = {(X,Y)E D} individuato da un dominio Dnel piano cartesiano (x, y) è data da

Pr(A) = ff fxy(x,y) dx dyD

(7.4.14)

. la funzione distribuzione congiunta FXY(x,y) può essere ricavata dallafunzionedensitàdi probabilitàcongiuntafxy(x,y) mediantela relazione

x y

Fxy(x,y) = f f fxy(a,f3) da df3a=- {3=-

(7.4.15)

7.4.2 Funzioni distribuzione e densità di probabilità condizionateConsideriamo una coppia di variabili aleatorie (X, Y) con densità di probabilitàcongiunta fxy(x,y) e supponiamo di aver osservato che la variabile X ha assuntoil particolare valore x; la distribuzione marginale della variabile Y viene modifi-cata da questo condizionamento. Definiamo allora la funzione distribuzione con-

dizionata della variabile aleatoria Y rispetto all' evento {X =x} come segue:

y

F. (ffxy(x,f3)df3

YIXylx)~ {3=- (7.4.16)

La funzione densità di probabilità condizionata fy,Aylx) della variabilealeatoria Y, rispetto all' evento {X = x}, si ricava poi derivandola funzione

408 Capitolo 7

distribuzione condizionata FYlx(ylx) rispetto alla variabile y:

fy,Aylx)! dFy(ylx)dy

fxy(x,y)

fAx )(7.4.17)

Se la densità di probabilità marginale fy(y) della variabile aleatoria X coincide

con la densità di probabilità condizionata fy,x (ylx) il comportamento statisticodella variabile Y non è influenzato dal valore assunto dalla variabile X. In tal

caso le variabili aleatorie X e Y sono indipendenti. Se fYIX(ylx)=fy(y), allora ladensità di probabilità congiunta fxy(x,y) può essere espressa come prodottodelledensitàdi8probabilitàmarginalify (y) ed fAx ), cioè

(7.4.18)

7.4.3 Trasformazione di una coppia di variabili aleatorieDefiniamo, ora, una variabile aleatoria Z come funzione di una coppia di

variabili (X ,Y), averitidensità di probabilità congiunta fxy(x,y):

Z=g(X,Y) (7.4.19)

ove g(.,.) è una funzione reale di due variabili reali. La funzione distribuzione

FAz) della variabile aleatoria Z è

Fz(z) = Pr{Z::; z} = Pr{g(X,y)::; z} (7.4.20)

Il calcolo della funzione Fz(z) può essere effettuato, allora, con la relazione(7.4.14), cioè

FAz) = fffxy(x,y)dxdyR(z)

(7.4.21)

ove R(z) indica la regione del piano cartesiano individuata dall'evento

{g(X,y)::;z}, ovvero l'insieme dei punti (x,y) verificanti la disuguaglianzag(x,y)::; z. Nota la funzione Fz(z) si può ricavare la densità di probabilità fz(z)per derivazione:

(7.4.22)

Ad esempio, se definiamo la variabile Z come somma di X e Y si ha (Figura7.16)

i


+o:> z-x

Fz(z)= fJ fxy(x,y)dx dy= f f f(x,y) dxdy (7.4.23)x+y';;z

e quindi

(7.4.24)

Se infine le due variabili aleatorie X e Y sono indipendenti, la densità diprobabilità congiunta fxy (x, y) può essere fattorizzata e si ottiene

+00 +00

fz(z) = f fxy(x,z -x) dx dy= f fAx)fy(z - x) dx=fAz)0 fy(z) (7.4.25)x=-co

cioè la densità di Z = X + Y è pari alla convoluzione delle due densità marginalidelle variabili X e Y.

Tornando al caso generale, notiamo infine che per il calcolo del valore attesoTlzdella variabile aleatoria Z si può utilizzare la formula

1Jz =E{Z} = E{g(X,y)} = f f g(x,y)fxy(x,y) dx dy (7.4.26)

che rappresenta una generalizzazione del teorema del valor medio (7.3.24).

y

x

x+y:::;z

Figura 7.16 Calcolo della distribuzione della somma di due variabili aleatorie

410 Capitolo 7

Esempio 7.7La Figura 7.17 rappresenta la generica "cella" a corona circolare di un sistema

radio cellulare. La stazione base, posta nel punto S, trasmette al genericoricevitore R situato a una distanza aleatoria D (maggiore di 'i e minore di '2).11ricevitore riceve un segnale di potenza inversamente proporzionale al quadratodella distanza dal trasmettitore (con costante di proporzionalità k nota).Supponendo che la posizione del ricevitore sia uniformemente distribuita

all'interno della cella, determiniamo la funzione densità di probabilità fp(p)della potenza P ricevuta.

La potenza P di segnale ricevuta da R è espressa dalla relazione

P=~D2

La funzione distribuzione della variabile aleatoria P è data, allora, da

(E7.7.1)

(E7.7.2)

II

I

Figura 7.17 Cella di copertura di un sistema radiomobile

Consideriamo, adesso, un riferimento cartesiano ortogonale avente origine nelpunto S e indichiamo con la coppia (X,Y) le coordinate aleatorie del punto incui si trova il ricevitore R. Poiché la posizione di R è uniformemente distribuitaall'interno della cella, la densità di probabilità congiunta fxy (x, y) è pari a

(E7.7.3)

per tutti i punti interni alla corona circolare, e

fxy(x,y) =o (E7.7.4)

al di fuori di essa. La funzione distribuzione di P è allora

(E7.7.5)

ove A(p) è il dominio

(E7.7.6)

ovvero è l'insieme dei punti del piano la cui distanza dall'origine non è inferiorea .,jk/p (si veda la Figura 7.18). Per comodità, identifichiamo le potenzericevute ai bordi della cella: Pt~ k/ r/ e P2~ k/ r22. Svolgendo l'integrale sullacorona circolare di Figura 7.18, si ricava che, quando P2Pl

(E7.7.8)

Derivando la funzione distribuzione Fp(p) si trova infine la seguente

412 Capitolo 7

espressione della densità di probabilità fp (p):

(E7.7.9)

7.4.4 Correlazione e covarianza

Come abbiamo discusso nelle pagine precedenti, il comportamento statistico diuna variabile aleatoria X può essere caratterizzato in maniera incompleta matalvolta sufficiente da alcuni parametri caratteristici, quali il valore atteso T]xe lavarianza ai. Analogamente, per una coppia di variabili aleatorie (X,Y), è pos-sibile determinare alcuni parametri statistici semplificati che rappresentano utiliindicazioni per la comprensione del loro comportamento statistico congiunto.Indici molto importanti sono la correlazione rXYtra le variabili aleatorie X e Y:

--rxy!E{XY} = J Jx yfxy(x,y) dx dy (7.4.27)

e la covarianza cxy tra le due variabili aleatorie stesse:

--cxy!E{(X -T]x)(Y -T]y)} = JJ(x- T]x)(y- T]y)fxy(x,y) dx dy (7.4.28)

Sviluppando la definizione di covarianza CXy,si dimostra facilmente che questaè legata alla correlazione rXYdalla relazione

(7.4.29)

La covarianza è un parametro statistico molto importante che tende ad accertare

se tra le due variabili X e Y esiste una relazione di dipendenza di tipo lineare, e

che comunque misura la tendenza di variazione congiunta (co-varianza) delle

due. Se la covarianza è grande e positiva, le due variabili aleatorie X e Y tendono

a discostarsi dal rispettivo valor medio nella stessa direzione, cioè le due quan-

tità (X- T]x) e (Y - T]y) tendono ad avere lo stesso segno. È questo il caso, adesempio, del peso e dell'altezza di una persona scelta a caso: se l'altezza è mag-giore della media, così sarà anche presumibilmente il peso. Viceversa, cova-

D

rianza negativa indica versi di variazione opposti (ad esempio, età e acuità vi-siva). Se la covarianza tra due variabili aleatorie è nulla, le variabili si diconoincorre late.

Il medesimo significato della covarianza ha il coefficiente di correlazione PXy

fra le variabili aleatorie X e Y:

(7.4.30)

che gode delle proprietà seguenti:

. il suo modulo non può assumere valori maggiori dell'unità:

IPxyl~ 1 (7.4.31)

. esso assume valore nullo se e solo se le variabili aleatorie X e Y sono

incorrelate;. il suo modulo assume valore unitario se e solo se le variabili aleatorie X e Y

(che in tal caso si dicono completamente correlat€) sono linearmentedipendenti, cioè se sono legate da una relazione del tipo

Y=aX+b (7.4.32)

con a> O se PXy=l e a < O se PXy=-1 (si ricordi la discussione sulsignificato del parametro covarianza).

Osserviamoche il coefficiente di correlazione è un valore di covarianza norma-

lizzata, come si vede dalla definizione (7.4.30): le variabili aleatorie X e Y ven-

gono trasformate rispettivamente nelle variabili (X -1Jx)/ (jx e (X -1Jy )/ (jyentrambeaventi valor medio nullo e varianza unitaria per poter definire un para-metro di correlazione universale, cioè omogeneo per coppie di variabili anchemoltodiverse come valori numerici. In conseguenza di questa operazione, PXyèsempre limitato in ampiezza all'intervallo [0,1], e ciò rende ogni coppia di va-riabili "commensurabile" con ogni altra. Se il coefficiente PXyè (in modulo) vi-cino al, le variabili aleatorie X e Y tendono a seguire una relazione lineare divariazionereciproca;viceversa, se pXy = O, le variabili sono incorrelatee latendenzareciproca dei valori delle due variabili aleatorie non è di tipo lineare.

Quando le variabili aleatorie X e Y sono indipendenti, la loro correlazioneè

-- --rXY = E{XY} = J JxYlxy(x,y) dx dy = J Jxy IAx)fy(y) dx dy =

414 Capitolo 7

- -= Jx fx(x)dxJyfAy)dY=1]x1]y (7.4.33)

Si trova quindi cXy = rXY -1]x1]y =O, ovvero due variabili aleatorie indipendenti

sono anche incorrelate. L'implicazione inversa, tuttavia, non è vera. Il lettoreprovi a dimostrare come esempio che le due variabili X E'li [-1,1] e Y = X2, purnon essendo indipendenti, sono incorrelate. In altre parole, l'indipendenza è unacondizione più restrittiva dell'incorrelazione.

7.4.5 Sistemi di n variabili aleatorie e vettori aleatori

Alcuni concetti e risultati relativi a una coppia di variabili aleatorie possono

essere facilmente estesi al caso di un sistema (XpX2,...,Xn) costituito da nvariabili aleatorie, cioè al caso di una variabile aleatoria n-dimensionale. In

perfetta analogia al caso bidimensionale già esaminato in dettaglio, la funzionedistribuzione di probabilità congiunta di tale sistema è definita come segue:

(7.4.34)

e la relativa funzione densità di probabilità congiunta è

I

l,(7.4.35)

Data la densità di probabilità congiunta fX,x2..,x.(X..X2,...,Xn)' è possibile ricava-re la densità marginale di ciascuna variabile o le densità congiunte di unsottoinsieme del sistema mediante relazioni simili a quelle illustrate per lacoppia di variabili aleatorie. Per ricavare, ad esempio, la funzione densità di

probabilità congiunta del (sotto-)sistema (XI,X3,...,Xn) basta integrare la densitàcongiunta (7.4.35) rispetto alla variabile mancante nel sottogruppo:

-fx,x3...x.(XpX3,...,Xn)= J fX,X2X3...X. (XI,X2,X3""Xn) dx2

(7.4.36)

Considerazioni analoghe possono essere ripetute per le funzioni densità diprobabilità condizionate. Per calcolare, ad esempio, la densità di probabilitàcongiunta delle variabili aleatorie XI, X4,..., Xn condizionata rispetto allevariabili aleatorie X2, X3si utilizza la relazione

(7.4.37)


Le variabili aleatorie sono infine indipendenti se la densità di un qualunque sot-togruppo di esse condizionata a un qualunque altro sottogruppo (ovviamente co-stituito da variabili aleatorie distinte dalle prime) è pari alla relativa densitàincondizionata.

Nello studio dei sistemi di variabili aleatorie n-dimensionali si utilizza, di

solito, una notazione più compatta. Le n variabili aleatorie (Xl' X2,...Xn), infatti,vengono disposte in un vettore aleatorio X:

X4[ i:] =[x"x".. .,x.]'

(7.4.38)

ove [J indica l'operatore di trasposizione. Le funzioni distribuzione (7.4.34) e

densità di probabilità (7.4.35) possono essere allora indicate rispettivamente conla scrittura Fx(x) e fx(x). Per semplificare la notazione, anche gli indici carat-teristici delle variabili possono essere rappresentati con una notazione vettoriale.Il vettore valor medio Tlxdel vettore X (7.4.38), ad esempio, è definito dallarelazione

llx ~E{X} = [1Jx" 1Jx2'"'' 1Jx.r (7.4.39)

ed è quindi pari al vettore colonna dei valori attesi delle n variabili. Come nelcaso bidimensionale, utili informazioni sul comportamento statistico del vettorealeatorio possono essere acquisite attraverso la conoscenza del valore dellacorrelazione e/o della covarianza di tutte le coppie di variabili aleatorie estraibili

dal vettore X. Le correlazioni {rXiXj;i, j = 1,..., n} fra tutte le variabili aleatoriedi X possono essere raccolte in una matrice di dimensioni n x n Rx, dettamatrice di correlazione, e definita da

Tale matrice è simmetrica, essendo E{XiXj} = E{XjXi}, e gli elementi dispostilungo la sua diagonale principale sono i valori quadratici medi delle variabili

aleatorie costituenti il sistema, in quanto rx,x;= E{XiX;} = m~,. Si definisce,

rX,x, rx,x" ... rx,x.r rX2X2 '" rx x

RxE{XXT}=1 XXI. I (7.4.40)

rx.x, rx.x2 ... rx.x.

~

416 Capitolo 7

analogamente, la matrice di covarianza Cx del vettore X:

Anche la matrice di covarianza è simmetrica, e ri-esimo elemento della sua

diagonale principale rappresenta la varianza ai della variabile aleatoria Xi,

essendo CXiXi= E{(Xj -T/Xi )2}. La matrice di cov~anza (7.4.41). si può quindiriscrivere come

T... CX2X. 1=Rx -llx llx (7.4.42)

CX.X,

!l'

7.4.6 Trasformazione di un vettore aleatorio

Consideriamo un vettore aleatorio Y n -dimensionale espresso come funzione diun altro vettore aleatorio X di ugual dimensione:

Y =g(X) (7.4.43)

ove g(.) è una funzione reale n-dimensionale di n variabili reali. Perdeterminare la funzione densità di probabilità congiunta fy(y) del vettore Y,nota la densità congiunta fx (x) del vettore X, si può utilizzare il cosiddettoteoremafondamentale generalizzato:

(7.4.44)

ove {x;} è l'insieme di tutte le possibili soluzioni, per un vettore y assegnato,del sistema di equazioni

(7.4.45)

e dove la quantità J(Xj) rappresenta la matrice Jacobiana della trasformazione

CX,X, CX,X2 ... cx,x.

Cx E{(X- T1x)(X-T1x)'} =I cxx,

CX2X2 ... C

xx. I (7.4.41)

cx.x, CX.X2 ... Cx.x.


(7.4.43) calcolata per x =Xi:

agi

dxn

(7.4.46)

X=Xj

Purtroppo il teorema fondamentale è applicabile nella forma appena vista soloquando la dimensione n del vettore aleatorio trasformato Y è uguale a quella delvettore di partenza X. Un altro caso importante è però quello in cui il vettore Xviene trasformato in un' unica variabile aleatoria monodimensionale Z:

Z = g(X) = g(X1,X2,. ..,Xn) (7.4.47)

ove g(-) è una funzione reale monodimensionale di n variabili reali. La densitàdi probabilità fz(z) della variabile aleatoria Z può essere ricavata con il metodoillustrato nel Paragrafo 7.4.3. Si calcola, innanzitutto, la funzione distribuzioneFz{z) (si veda la (7.4.21» mediante la relazione

Fz(z) = J fx(x) dxR(z)

(7.4.48)

ove R(z) indica la regione dello spazio n-dimensionale individuata dall'evento

{g(XI'X2"",Xn)~z}. Nota la funzione F;(z), è possibile poi determinare ladensità di probabilità fz(z) della variabile Z per derivazione.

Esempio 7.8

Troviamo valore atteso e varianza della somma di n variabili aleatorie Xi,i = l,...,n. Convienepensarea questo problemacome la trasformazionedi unvettore aleatorio X in una singola variabile aleatoria Z:

n

Z=IXii=1

(E7.8.1)

Con notazione vettoriale, possiamo scrivere:

(E7.8.2)

418 Capitolo 7

Calcoliamo ora il valore atteso 17z:

n

T/z =E{Z} =E{lTX} = lTE{X} = lT T/x = L17xi;=1

(E7.8.3)

che risulta dato dalla somma dei valori attesi delle n variabili Xi di cui facciamola somma. Per quanto riguarda la varianza ()~ abbiamo:

()~ =E{(Z - T/Z)2}= E{(lTX -lT T/x)(lTX- e T/xt}n n

= lTE{(X-T/x)(X-17xf}l =lTCxl =L LCXiXj;=1j=1

(E7.8.4)

Per ottenere la varianza di Z si devono cioè sommare tutti gli elementi della ma-

trice di covarianza delle variabili aleatorie Xi date. Come caso particolare, se talivariabili sono a due a due incorre/ate (oppure, a maggior ragione, indipendenti),la varianza della loro somma è pari alla somma delle varianze. O

Esempio 7.9

Sono date le variabili aleatorie XI e X2, indipendenti ed entrambe E ?l (O,()2),apartire dalle quali si costruiscono le nuove variabili

(E7.9.1)

y: - XI2-

X2

Dopo aver ricavato la densità di probabilità fy, (y) della variabile aleatoria 1';,dimostriamo che 1';e ~ sono ancora indipendenti.

Per dimostrare l'indipendenza delle variabili aleatorie 1';e ~ basta verificarela validità dell'uguaglianza (si veda la (7.4.18))

(E7.9.2)

(E7.9.3)

ove fr'Y2(YI'Y2) rappresenta la densità congiunta delle variabili aleatorie 1';e ~mentre fy. (YI), fY2(Y2)sono le relative densità marginali. Per ricavare la densitàfr,Y2(Y\,Y2) si può utilizzare il teorema fondamentale multi dimensionale(7.4.44). Si devono quindi per prima cosa ricavare i punti x; risolvendo il si-stema nonlineare

(E7.9.4)

Xl

Y2 = X2(E7.9.5)

nelle incognite XI e X2' Se Yl < O il sistema non ammette alcuna soluzione, equindi la densità congiunta è nulla. Viceversa, se YI> O il sistema (E7.9.4-5)ammette le due soluzioni seguenti:

(E7.9.6)

(E7.9.7)

Il determinante dello Jacobiano della trasformazione è dato da

( )[

2x( 2X2

] [

X2

](

2)det J(Xl'xJ =det / 2 =-2 -t+l =-21+Y2

l/x2 -XI X2 X2(E7.9.8)

e quindi

(E7.9.9)

La densità congiunta !x,x2 (XI'X2) di Xl e X2 si ricava immediatamente tenendoconto dell' indipendenza:

(E7.9.1O)

per cui troviamo il risultato cercato:

(E7.9.11)

La densità (marginale) della sola 1; si ricava subito per integrazione:

(E7.9.12)

ed è quella di una variabile esponenziale. Da questo segue che è possibile

esprimere la densità congiunta !Y'Y2(YI'Y2) come il prodotto di due fattori,

420 Capitolo 7

ciascuno dipendente solo da una variabile:

(E7.9.13)

ove la densità di 1; è di Cauchy (Figura 7.19):

(E7.9.14)

Resta quindi dimostrato che le variabili aleatorie ~ e 1;sono indipendenti.

0.0-5 -4 -3 -2 -1 o

Y2

2 3 4 5

Figura 7.19 Densità di probabilità di Cauchy

7.4.7 Variabili aleatorie congiuntamente Gaussiane (vettori Gaussiani)

Consideriamo un vettore aleatorio X = [X]'X2,. . .,Xnrcostituito da n variabilialeatorie indipendenti. La densità di probabilità congiunta fx(x) del vettore X èespressa, per l'indipendenza delle variabili, dal prodotto delle densità di tutte lecomponenti del vettore stesso, ovvero

n

fx(x) = nfx, (Xi)i=]

(7.4.49)

Se, inoltre, le variabili aleatorie sono Gaussiane, cioè Xi E 9{ (1Jxi,(J'~i),i = 1,2,...,n, la funzionefx(x) diventa

0.5

0.4

0.3.-...C\J

'">--0.2

0.1

(X'-1JX,)2n 1 ---'--=TI e 2crx,

fx(x) = ;=1 J2;rr(J~,

1(7.4.50)n

(2;rrrTI (J~,;=1

Possiamoriscrivere questa densità usando il vettore dei valori medi 11x(7.4.39)e la matrice di covarianza Cx (7.4.41). Quest'ultima, per l'indipendenza (equindi l'incorrelazione due a due) delle n variabili aleatorie, è diagonale:

per cui è facile riscrivere la densità di probabilità congiunta fx(x) nel modoseguente:

(7.4.52)

Usciamo adessodal caso particolare delle variabili indipendenti, e definiamo

Gaussiano un vettore aleatorio X la cui densità di probabilità congiunta èespressadalla (7.4.52) qualunque sia la forma della matrice di covarianza

(purché ovviamente invertibile). Ribadiamo che la matrice Cx è diagonale solose le variabili aleatorie sono incorrelate. Tale caso particolare è solamente

servito a scopo propedeutico, cioè per introdurre e motivare l'espressionegenerale (7.4.52) della densità di probabilità del vettore Gaussiano. Le variabili

aleatorie XI, X2,. . ., Xn che costituiscono tale vettore si dicono congiuntamenteGaussiane (o Gaussiane multivariate).

Un vettore Gaussiano X = [XI, X2,. oo,Xnr gode delle seguenti proprietà:. il suo comportamento statistico è univocamente determinato dal suo vettore

dei valori medi 11xe dalla sua matrice di covarianza Cx;. se le n variabili aleatorie costituenti X sono incorrelate a due a due, allora la

densità di probabilità congiunta fx(x) (7.4.52) può essere espressa come

prodotto delle n densità di probabilità marginali {fx, (x;),i = 1,2,...~n}; in altreparole, ~ un vettore Gaussi~o, l' inç..o[1~lazione tra le variabili ~le_at9rie

implica la loroil1flipende~za; ~ t.. .. -<-T"u.. ~ . ~I...)I~'W ..iooK-

. un qualunque sotto-vettore k-dimensionale ( k < n) di X è ancora un insiemef 4 1,]I .di variabili aleatorie congiuntamente Gaussiane. 'Segue (basta prendere k = 1)

(J2 O ... Ox,O (J2 o..

O I nCx=l:

X2

, detCx = TI(J, (7.4.51)O I

O O O (J2X.

422 Capitolo 7

che tutte le variabili aleatorie che compongono il vettore aleatorio Gaussianosono marginalmente Gaussiane;

. il vettore aleatorio Y = [~ ,1';,.. .,Ymrgenerato a partire del vettore X con latrasformazione lineare

Y=AX+b (7.4.53)

ove A è una matrice reale m x n e b è un vettore reale a n componenti, èanch'esso un vettore aleatorio Gaussiano con vettore dei valori medi

l1v =Al1x +b

e matrice di covarianza

(7.4.54)

. la densità congiunta di un qualunque sottogruppo di k variabili estratte dalvettore (k < n) condizionata a un qualunque (sotto)gruppo di m tra le restantivariabili (m ~ n - k) è congiuntamente Gaussiana con opportuno vettore deivalori medi condizionati e matrice di covarianza condizionata.

Esempio 7.10Il vettore aleatorio Gaussiano V =[X,y,Zrl1v =[0,1,-1 r e matrice di covarianza

ha vettore valori medi

r

1 O 0.5

]

Cv =4 O 1 -0.50.5-0.5 1

(E7.1O.1)

Determiniamo la probabilità che la proiezione di V lungo la direzione

d = [0,1/-fi,1/ -fif sia maggioredi 2. Taleprobabilitàè data da

Pr{V.d > 2} =Pr{(Y + Z)/-fi > 2} = Pr{Y + Z > 2-fi} (E7.10.2)

Essa può essere calcolata in maniera molto semplice se definiamo una nuovavariabile aleatoria W come somma di Y e Z, ovvero

W=Y+Z (E7.10.3)

La probabilità cercata è allora

Pr{V. d >.J2} =pr{ W> 2.J2} (E7.1O.4)

La variabile aleatoria W, essendo combinazione lineare di due variabili aleatorie

congiuntamente Gaussiane, è essa stessa Gaussiana. Il suo valor medio e la suavarianza, inoltre, sono ca1colabili immediatamente attraverso le relazioni(E7.8.3)-(E7.8.4):

17w = 17y + T]z = 1 -I = O (E7.1O.5)

e

O'~ = O'~+ ai + Cyz + CZy = 4(1+ 1- 0.5 - 0.5) =4 (E7.1O.6)

In conclusione, poiché abbiamo dimostrato che W E9£(0,4), la probabilità(E7.1O.4)è pari a

pr{ V . d > .J2} =pr{ W > 2.J2}= 1- <1>(2~) == 0.0787(E7.10.7)

D

7.4.9 n teorema-limitecentrale

Riprendiamoda un altro puntodi vista la situazionedell'Esempio7.8, conside-riamocioèla variabilealeatoria

n

Z=~x.n £.J Ii=]

(7.4.55)

che è ottenuta come somma delle n variabili Xi, i = 1,...,n. Supponiamopoi chele n variabili siano indipendenti e che abbiano tutte uguale funzione densitàfx (x) == f( x) con valore atteso 17x == 17e varianza a~ == 0'2. Dai risultati delm~esimo Esempio 7.8, sappiamo che il valore atteso T]~e la varianza 0'; di Znsono rispettivamente

2 217n =n'17 , an =n'O' (7.4.56)

Se consideriamo un numero n di variabili Xi man mano crescente, vediamo che17ne 0'; crescono progressivamente con n. Definiamo allora, qualunque sia n, laversionenormalizzata della variabile Zn' precisamente la variabile aleatoria

424 Capitolo 7

(7.4.57)

che, indipendentemente da n, ha comunque valore atteso nullo e varianzaunitaria. Abbiamo già incontrato questo procedimento di normalizzazione nelladefinizione della variabile Gaussiana standard (7.3.31).

Un risultato fondamentale ("centrale") della teoria della probabilità è il teo-rema-limite centrale (Lyapunov). Sotto ipotesi relativamente poco restrittive

sulla densità di probabilità fx, (x) ==f( x) delle variabili Xi' si dimostra abba-stanza facilmente che, al tendere di n all'infinito, la densità di probabilità fs.(s)della variabile somma normalizzata Sn (7.4.57) tende a una densità normalestandard:

(7.4.58)

In pratica, questo risultato dice che la somma di un gran numero di variabilialeatorie indipendenti segue con buona approssimazione una legge Gaussiana, aprescindere dalla particolare distribuzione di ciascuna di esse. Useremo il teo-rema-limite centrale nel prossimo capitolo quando modelleremo secondo unastatistica Gaussiana un fenomeno fisico (il rumore termico) composto dalla 80-

vrapposizione (somma) di moltissimi contributi elementari indipendenti.L'ipotesi di equidistribuzione delle variabili Xi permette di condurre una dimo-strazione del teorema particolarmente semplice. Il teorema-limite centrale è peròvalido anche sotto ipotesi diverse e meno restrittive, sebbene la dimostrazionediventi più complessa.

Un'idea della tendenza verso una distribuzione Gaussiana della somma nor-

malizzata (7.4.57) si può avere esaminando la Figura 7.20. Questa mostra le den-sità di probabilità delle variabili SI (a), S2(b), S3(c), SIO(d), SI5(e), S~= N (t),ottenute per ripetute convoluzioni e successiva normalizzazione a partire da unavariabile uniforme:

n-I volte

fz. (z)= fAz)<?9fx(z) Q9... <?9fAz) , fs.(s) =a-Jn.fz. (a-Jn. s + n.1])

(7.4.59)

La tendenza della densità n-esima verso una distribuzione Gaussiana è chiara;

già per n =15 la fs.(s) e la fN(S) sono praticamente indistinguibili.


M I M

0.41- n=1 0.41 1\ n=100.3 0.3

00 00";;;- 0.2 ~~ 0.2- ~

Q1 Q1

0.0 0.0

-0.1 I I -0.14 ~ ~ ~ o 1 234 4 ~ ~ ~ o 1 234

S S

(a) (d)

0.5[ I I I I I I] 0.5

0.4 A n=2 -j 0.41 1\ n=15Q3 03

00 00";é 0.2 ~~ 0.2- ~

Q1 Q1

0.0 0.0

-0.1 -0.14 ~ ~ ~ o 1 234 4 ~ ~ ~ o 1 234

S S

(b) (e)

O't ' , " "j "l"""0.4 n=3 0.4 /"'00. Normale

0.31-- I \ 0.3

00 Ui";8 0.2 Z 0.2- -

0.1 0.1

0.0 0.0

-0.1 -0.1-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4

S S

(c) (f)

Figura 7.20 Dimostrazione grafica del teorema-limite centrale

L~

426 Capitolo 7

Sommario

Contrariamente agli altri capitoli, non riassumeremo qui i risultati delle pagineprecedenti, perché tutto questo capitolo è esso stesso un sommario di risultati econcetti che il lettore deve avere già fatto propri. Lo scopo di questa breve espo-sizione è stato quello di rivedere in modo sintetico i punti principali della teoria

della probabilità, in modo da fissare uno scenario e le notazioni che fanno dasfondo al Capitolo 8 sui processi aleatorio

Esercizi proposti7.1 La stazione radio WXYZ trasmette il segnale orario allo scoccare di ogni

ora. L'ascoltatore-tipo sintonizza il proprio radioricevitore sulla stazioneWXYZ a un istante uniformemente distribuito tra le ore 7.10 e le ore 19.30

nella giornata. Calcolare la probabilità che l'ascoltatore riceva il segnaleorario entro 5 minuti dalla sintonizzazione su WXYZ (Suggerimento: si

adotti il minuto come unità di misura del tempo).

La popolazione di una data regione è affetta dal virus Ebola con una pro-babilità dell' 1%. Il miglior test per il virus ha affidabilità pari all'80%.Una persona viene scelta casualmente dalla popolazione data e risulta posi-tiva al test. Qual è la probabilità che la persona scelta sia effettivamente af-fetta da Ebola? Come si modifica il risultato se l'affidabilità del test tende

allOO%? E al 50%? Giustificare questi ultimi risultati (Suggerimento: si

usi laformula di Bayes).La studentessa XYZ viene sottoposta a un quiz con m risposte possibili.Se ha studiato l'argomento del quiz, ella risponderà certamente in manieraesatta, altrimenti sceglierà una risposta a caso tra le m disponibili.

Supponiamo allora che XYZ abbia studiato l'argomento con probabilità pe che, sottoposta al quiz, abbia scelto la risposta esatta. Sulla base di ciò,qual è la probabilità che XYZ abbia studiato davvero? Se inoltre il numerom delle risposte possibili è grande, cosa si può concludere sullapreparazione di XYZ?La scatolarappresentatain Figura7.21ha il fondoquadratodi lato l =l mal centro del quale è praticato un foro circolare di diametro d =10cm.Nella scatola vengono gettate a caso e indipendentemente lO palline di

piccolo diametro (cioè di diametro «d). Determinare la probabilità che,alla fine della successione di lanci, nella scatola si trovino 7 palline.

7.2

7.3

7.4


Figura 7.21

7.5 È data la variabile aleatoria X con densità di probabilità (esponenziale)

fAx) = exp(-x) u(x)

Determinare e rappresentare la densità di probabilità della variabilealeatoria

+00

Y = L(-l/(X - i) rect(x-(i + 1/2));=0

7.6 È data la variabile aleatoria X E 9{(O,l). Determinare la densità di

probabilità fy(y) e il valor medio 1]ydella variabile aleatoria lognormaleY =e-x.

7.7 Per ottenere con precisione il valore della potenza P dissipata su unresistore di resistenza nota r, si effettuano N operazioni di misura incondizioni indipendenti della tensione ai capi di detto resistore e si

. modellano i risultati di tali operazioni come N variabili aleatorie V;,i = 1,...,N, mutuamenteindipendentie uniformementedistribuitetra -v e+v. Si formaquindiunastimadellapotenzadissipatacomesegue:

Determinare il valore atteso 1]pe l'accuratezza della stima, definitaquest'ultima come la deviazione standard a p della variabile aleatoria P.Commentare l'influenza sui risultati del numero N di misure effettuate.

7.8 In un esperimento aleatorio si fissano in modo indipendente due punti r: ePz su una retta. Le coordinate XI e X2rispettivamente di r: e Pz sonomodellate come variabili aleatorie indipendenti entrambe E9{(O,l).

428 Capitolo 7

Determinare il valor medio della distanza fra F: e ?z .7.9 Due amici si danno appuntamento nella piazza del paese alle ore 0:00.

L'ora di arrivo di ciascuno dei due è una variabile aleatoria uniformemente

distribuita fra le ore 0:00 e le ore l :00. Inoltre, i due amici arrivano

indipendentemente l'uno dall'altro. Il primo arrivato aspetta l'altro per nonpiù di 20 minuti e poi torna a casa. Calcolare la probabilità che i due amicisi incontrino.

7.10 Su di un segmento di lunghezza a vengono scelti due punti casualmente eindipendentemente. Tali punti dividono il segmento dato in tre ulteriorisegmenti di lunghezza ~ a. Calcolare la probabilità che il segmento"centrale" sia più lungo del segmento "a sinistra".

7.11 Sono assegnate due variabili aleatorie indipendenti X e Y, entrambeuniformemente distribuite fra -l e l. Trovare la probabilità che l'equa-zione di secondo grado in a

a2 +2Xa+ Y= O

abbia radici reali.

7.12 Viene fissato a caso un punto su ciascuno dei due lati adiacenti di unquadrato. Calcolare la probabilità che l'area del triangolo formato dai latidel quadrato e dal segmento di retta congiungente i due punti sia minore di1/8 dell'area del quadrato stesso.

7.13 Un libro A di 200 pagine e uno B di 300 vengono aperti indipendente-mente e in modo casuale da due lettori. Determinare la probabilità che il

numero della pagina alla quale il libro A viene aperto sia maggiore dellapagina di apertura di B.

7.14 Per questioni di scarsa accuratezza nella manifattura, i valori .della resi-stenza del resistore e della capacità del condensatore nel circuito di Figura7.22 devono considerarsi come due variabili aleatorie rispettivamente R e

C indipendenti e con densità di probabilità uniforme tra Oe 2 kQ per ilresistore e tra O e 2 Jl.Fper il condensatore. Come indicato in figura, alcondensatore inizialmente scarico viene applicata all'istante t = O unatensione pari a l V attraverso il resistore R. Calcolare la probabilità che latensione ai capi del condensatore C all'istante to= l ms sia inferiore al-l/e V.


V(t)

Figura 7.22

7.15 È data la variabile aleatoria X uniformemente distribuita tra -l e 1, e lavariabile Y indipendente da X e uniformemente distribuita tra O e 1.

Determinare e rappresentare la funzione densità di probabilità fz(z) dellavariabile aleatoria

Z=Y-IXI

7.16 Sono assegnate le due variabili aleatorie indipendenti X e Y, entrambeuniformemente distribuite fra O ed 1. Trovare la funzione densità di

probabilità fz(z) della variabile aleatoria

Z =max(XY,XjY)

7.17 È assegnato un gruppo di variabili aleatorie XI' X2, X3, indipendenti eidenticamente distribuite, con

Dato un generico numero intero n, trovare la probabilità Pn che valgacongiuntamente

{

Xl +X2 +",+Xn-I ~5

XI+ X2+... + Xn-l + Xn > 5

7.18 Un nuotatore deve attraversare il fiume rappresentato schematicamente inFigura 7.23, e quindi si tuffa nel punto A e nuota con velocità di moduloaleatorio Y e direzione ortogonale alle sponde del fiume. Tuttavia, a causadello scorrimento dell'acqua del fiume con velocità di modulo aleatorio X

(e direzione indicata dalla freccia in figura), il nuotatore non approda nelpunto B desiderato, bensì nel punto C. Sapendo che X e Y sono variabilialeatorie indipendenti e identicamente distribuite con densità esponenziale

430 Capitolo 7

unilatera di valor medio 17=1 m/s, e che la distanza fra le due sponde delfiume è d =100 m, ricavare la densità di probabilità della variabile aleato-ria S che rappresenta la distanza fra i punti B e C.

B c

td

~

T 14I /I /

Fiume i /I /1/

A 1/1/

Figura 7.23

7.19 Sono assegnate due variabili aleatorie indipendenti X e Y, entrambeuniformemente distribuite fra O e 1. Si consideri quindi il sistema divariabili aleatorie

{

z = X- YV=X+Y

Trovare la densità di probabilità condizionata fZIA (ZIA), ove A == {V ~ l}.7.20 Dimostrare che la densità di probabilità congiunta di due variabili aleatorie

X e Y congiuntamente Gaussiane si può esprimere come segue:

ove i 5 parametri 17x' 17y,()x' ()Y' pxy sono rispettivamente i due valoriattesi, le due varianze e il coefficiente di correlazione delle due variabilidate.

8

Segnali aleatori

8.1 Dai segnali determinati ai segnali aleatori

Già nel Capitolo l abbiamo introdotto due importanti classi distinte di segnali:determinati o aleatorio L'esempio tipico di segnale determinato è l"'onda

quadra"prodotta da un generatore di forme d'onda elettronico (Figura 8.1): diquesto segnale è possibile conoscere a priori l'andamento, perché è possibile

controllame l'ampiezza picco-picco 2A e il periodo di ripetizione 1'0(o lafrequenzafondamentale io) agendo sui controlli dello strumento.

y(t)

Figura 8.1 Esempio di segnale determinato: l'onda quadra

Consideriamo invece la tensione raccolta tra due elettrodi posti sul corpo di unpaziente per la misura di un elettrocardiogramma. A seconda del paziente e delparticolare stato di salute in cui egli si trova, si ottengono diverse forme d'onda,come quelle mostrate in Figura 8.2.

A

......-To/2

To/2 To t

-A r

432 Capitolo 8

Queste forme d'onda non sono ovviamente predicibili a priori (come l'onda

quadra), né sul breve né sul lungo termine. Sull'andamento di questi segnali sihanno solo informazioni generiche: come si nota dalla Figura 8.2, l'ampiezzadell'elettrocardiogramma è di pochi mV attorno a un valore continuo diverso dazero (informazione sulle ampiezze), e il segnale mostra una certa periodicità conun periodo valutabile all'incirca tra 0.5 e 1 s (informazione sull'evoluzione tem-porale). L'unica maniera di conoscere l'andamento di un elettrocardiogramma è

6.0

:>.s 5.5-:t:.. 5.0X

4.5I. t.. I t. I I l,I. I I. I. I I... I I I. I I I.. I . I. I. I I t I. I I I I. I I I I I. I I I I I Io 1 2 3 4 5 6

1'1" 1'1 I I Il I I I I I I I I Il I I I I I I I I I6.0

:>.s 5.5-:t:.. 5.0

C\JX

4.51,1 l' I... I 1.,. i 1", i I i.. I I.. I. I.. I . I... I l. 1.1 I I l' t I I I l' I I I i. Io 1 2 3 4 5 6

r6.0

:>.s 5.5-:t:.. 5.0'"X

4.51,1 l' I 1.1 I l. .. t I l'' t I,. l' I 1.1.1.1.1 1.1 I I l. I " I.. l' 1,1 t I I I I I I Io 1 2 3 4 5 6

1'1'1 l'''' l'' 1'1'" I I6.0

:>.s 5.5-:t:.. 5.0....X

4.5I.. I I I I 1.1 l. l'' I. i.. 1.1.. I... I I.. l' I I I I I l. i t I I I I. I I 1.1 I I l'' I Io 1 2 3 4 5 6

Tempo, t (s)

Figura 8.2 Esempi di elettrocardiogramma in pazienti affetti da aritmia

ì

Segnali aleatori 433

quella di osservarlo e, come quotidianamente in uso nella pratica medica, regi-strar/o sotto forma di grafico su di una striscia di carta, o, negli ambulatori piùmoderni, sotto forma di un file in uno strumento elettronico digitale. Il segnalenon è dunque determinato, cioè non è predicibile, ed è noto solo a posteriori: inuna parola, abbiamo a che fare con un segnale aleatorio. Nonostante questa im-possibilità di effettuare una predizione, dovremo comunque essere in grado distudiare i segnali aleatori, per poter progettare sistemi che osservano edelaboranocorrettamente tali segnali (ad esempio un buon elettrocardiografo).

Lo strumento matematico per eccellenza che permette di studiare i segnalialeatori è naturalmente la teoria della probabilità, i cui concetti basilari sono

stati rivisti brevemente nel Capitolo 7. La modellizzazione di un segnale aleato-rio viene effettuata attraverso la teoria dei processi aleatori (o stocastici) che in

pratica costituisce l'oggetto di tutto questo capitolo.

8.1.1 DefInizione di processo aleatorioTorniamo dunque all'esempio dell'elettrocardiogramma, e supponiamo di com-piere uno dei soliti "esperimenti ideali". Ammettiamo di essere in grado di rac-cogliere tutti gli esseri umani del mondo in un ambulatorio e di misurare e regi-strare i loro rispettivi elettrocardiogrammi in un "enorme archivio". Dovremmocioè aggiungere ai quattro segnali X.(t),X2(t),X3(t),X4(t) di Figura 8.2, chiamatifunzioni campione, i restanti 5 miliardi circa di funzioni campione di tutti glialtri esseri umani. Ogni volta che in un ambulatorio di cardiologia si presentasseun paziente, l'osservazione del suo elettrocardiogramma si ridurrebbe quindi allaselezione del segnale appropriato nell'archivio. Naturalmente, non sapendo apriori chi si presenterà in ambulatorio, non è possibile sapere che forma avrà ilsegnale finche il paziente non si sarà presentato (cioè finché non sarà stato effet-tivamente misurato l'elettrocardiogramma): in questo senso il segnale è aleato-rio.

Questo che abbiamo chiamato "esperimento ideale" è una definizione un po'romanzata di processo aleatorio. Questa definizione richiede innanzitutto diconsiderare un esperimento aleatorio o, meglio, uno spazio di probabilità

caratterizzatoda uno spaziocampioneQ = {OJj}(quiper semplicitàdiscreto),dauna classe degli eventi S e dalla legge di probabilità PrO definita su S. Si deve

poi individuare un insieme di funzioni del tempo Xj(t) (le funzioni campione) innumero pari a quello dei risultati dell'esperimento OJj'Infine, si deve istituireuna corrispondenza che associa a ciascun risultato OJjdell'esperimento una dellepossibili funzioni campione x;(t):

434 Capitolo 8

(8.1.1)

Questa corrispondenza, rappresentata in Figura 8.3, costituisce appunto il pro-cesso aleatorio. Quando si effettua una prova dell'esperimento (una misura diun elettrocardiogramma), si ha un risultato dello spazio campione (un paziente)cui è associata una funzione campione (un elettrocardiogramma), cioè il segnaleche effettivamente viene osservato, e che prende il nome di realizzazione delprocesso I.

~ro

1 ro2

Figura 8.3 Rappresentazione grafica della defmizione di processo aleatorio

Il processo aleatorio caratterizzato dalla (8.1.1) si indica comunemente con X(t)omettendo per semplicità la dipendenza dal risultato mi dello spazio campioneil. Tale dipendenza, come nel caso delle variabili aleatorie, deve essere sempreconsiderata implicita (si veda il Paragrafo 7.3.1).

Discutiamo adesso le conseguenze di questa definizione. Come è già stato

chiarito, fissare nel processo aleatorio X(mi;t) il risultato dell' esperimento, adesempio mJ' significa selezionare quella tra le varie funzioni campione che si èrealizzata in una data prova; non c'è più alcuna aleatorietà e il processo diventa

a posteriori il segnale determinato X(mJ;t), cioè la funzione campione Xt(t).

I Normalmente, realizzazione viene usata come sinonimo di funzione campione. In realtà, le

funzioni campione sono tutti i possibili segnali del processo, mentre la realizzazione è quello tra

i possibili segnali che viene effettivamente osservato in una data prova dell'esperimento.

lo.


Viceversa, co'sa succede se fissiamo arbitrariamente un certo istante di tempo

ti nel processo X(mi;t)? Questa operazione è rappresentata nella Figura 8.4, incui sono riportate sullo stesso grafico quattro funzioni campione di un processodato e in cui viene evidenziato l'istante temporale t =t). Come si nota dal

grafico, il valore del processo x( mi;t,) per un istante fissato è un insieme di(quattro) valori ottenuti "campionando" le (quattro) funzioni campione aquell'istante. Ogni valore risulta automaticamente corrispondente a un risultatodello spazio campione (ovviamente, quello della relativa funzione campione): inuna parola, il valore del processo a un dato istante è una variabile aleatoria.Questa conclusione si accorda bene con il concetto elementare che si può averedi un segnale aleatorio, cioè di un segnale il cui valore a un dato istante non siaesattamentedeterminabile.

2

-2

-4o 3 4 52

Figura 8.4 Variabile aleatoria estratta da un processo

Tempo. t

8.1.2 Processi parametriciUn semplice esempio di processo aleatorio è il seguente:

X(m;t) = e-A(w)I u(t) (8.1.2)

in cui A(m) è una variabile aleatoria con distribuzione uniforme nell' intervallo

(O,l/T). Omettendo la dipendenza dal risultato m si ha equivalentemente

X(t) =e-AI u(t) (8.1.3)

436 Capitolo 8

Questo è un esempio di processo parametrico: viene definita una classe difunzioni campione il cui andamento dipende dal valore di un numero finito divariabili aleatorie (parametri). Queste variabili aleatorie servono in un certosenso da "intermediario" tra lo spazio campione e le funzioni campione:l'associazione tra i risultati dell'evento e la funzione campione non è direttacome in Figura 8.3, bensì passa attraverso il particolare valore che la variabilealeatoria prende nella prova dell'esperimento, come in Figura 8.5. Alcunefunzioni campione x(m;t) del processo dato corrispondenti a valori diversi dellavariabile aleatoria A sono rappresentate nella Figura 8.6.

(091:

IIIIII

(0921

I

: (O 9I 3iI I

,Q

a

Figura 8.5 Costruzione di un processo parametrico

Come ulteriore esempio di processo parametrico, consideriamo l'oscillazione si-nusoidale prodotta da un generatore di forme d'onda elettronico. Di questa oscil-lazione possono essere controllate l'ampiezza e la frequenza, mentre lo stru-mento non consente in genere di controllarne la fase iniziale. Il modello più ap-propriato di questo segnale è allora il processo parametrico

X(t) =a cos(2J%t + 8) (8.1.4)

in cui a ed io sono quantità note, mentre la fase iniziale 8 è una variabilealeatoria uniformemente distribuita in [O,2n-)(cioè è completamente casuale).


Torneremo su quest'ultimo processo nell'Esempio 8.2.

1.2

:;:;- 1.08-x

~ 0.8o'0.E 0.6roo'Eo 0.4'Nc:::I

U. 0.2

A=O

0.00.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0


Figura 8.6 Funzioni campione del processo parametrico (8.1.4)

8.1.3 Caratterizzazione statistica di un processo aleatorioÈ chiaro a questo punto della discussione che, contrariamente al caso di un se-

gnale determinato, non ha senso parlare dell' andamento di un processo.D'altronde, l' elencazione esaustiva di tutte le funzioni campione del processo e,soprattutto, la loro associazione ai risultati dello spazio campione è un procedi-mento impensabile nella grande maggioranza dei casi (eccezione notevole, i pro-cessi parametrici). Si pone quindi il problema della caratterizzazione delle pro-prietà di un processo dal punto di vista statistico.

Cominciamo con l'osservare che, stante la discussione al paragrafo prece-

dente, se si fissa un arbitrario istante di tempo t = tI,il valore del processo X(tl)a quell'istante è in generale una variabile aleatoria. Come è stato richiamato nelParagrafo 7.3, il comportamento statistico di questa variabile può essere de-scritto mediante la sua funzione distribuzione. È dunque ragionevole, in virtù diqueste considerazioni, definire la funzione distribuzione di probabilità del primoordine del processo mediante la relazione

..

FAx;t,)~Pr{X(t()::; x}...

(8.1.5)

Naturalmente questa funzione dipende anche da una variabile temporale perché

le proprietà statistiche della variabile aleatoria X(t() cambiano, in generale, al

438 Capitolo 8

cambiare dell'istante di tempo tJ al quale si "campiona" il processo.

Potrebbe sembrare che la funzione FAx; tI) sia sufficiente a caratterizzare leproprietà del processo. Per dimostrare che quest'affermazione non è vera, consi-deriamo un esempio elementare. Un tipico caso in cui si ricorre a un processoaleatorio per modellare una serie di osservazioni è la quotazione di un titolo inborsa. L'andamento di questo segnale al variare del tempo non è (sfortunata-mente) prevedibile, e quindi possiamo usare la teoria dei processi per cercare diottimizzare i nostri investimenti in borsa. Chiamata X(t) la quotazione(aIeatoria) del titolo di interesse, un investitore è interessato alla probabilità direalizzare un utile, ossia è interessato alla probabilità dell' evento che la quota-zione del titolo all'istante t2 di vendita sia maggiore della quotazione all'istanteti di acquisto:

(8.1.6)

Questa probabilità non può essere ricavata dalla funzione FAx;tl) (del primoordine) perché richiede la considerazione congiunta di due variabili aleatorieestratte dallo stesso processo in istanti distinti. È quindi necessario introdurreuna descrizione del secondo ordine del processo. Si devono considerare cioè due

istanti di osservazione ti e t2 estraendo, così, due variabili aleatorie X(tl) eX(t2)' Il comportamento statistico di questa coppia di variabili aIeatorieè alloracompletamente descritto dalla loro funzione di distribuzione congiunta, cioèdalla funzione

(8.1.7)

nota come distribuzione di probabilità del secondo ordine del processo.

Come è chiaro, il ragionamento che ha portato a estendere la descrizione dalprimo al secondo ordine può essere iterato a piacere. La conclusione è che la de-scrizione statistica di un processo è completa solo quando si è in grado di carat-terizzare il comportamento statistico congiunto di un numero n arbitrario di va-

riabili aleatorie X(t,),X(t2),...,X(t,,) estratte da X(t) a n istanti diversi, comun-que grande sia il numero intero n, e comunque si scelga la n-upla di istanti(t"t2...,t,,). Ciò richiede, quindi, la conoscenza della funzione distribuzione di

probabilità dell'n-esimo ordine definita dalla relazione:

(8.1.8)


per ogni valore del parametro n e per ogni valore del vettore (tl,t2...,t,,).Unadescrizione completa del tutto equivalente (e anche più usata in pratica) si basasullajùnzione densità di probabilità di ordine n del processo:

(8.1.9)

Riassumendo, la caratterizzazione statistica completa del processo aleatorioX(t) richiede la conoscenza della classe di funzioni densità di probabilità

fX(XI,X2,...,X,,;tl,t2,...,tll)per qualunque numero n di variabili aleatorie X(tl)'X(t2) ,..., X(t,,), cioè di qualunque ordine.

Osserviamo che ciò che è stato introdotto come una caratterizzazione può an-che essere usato come definizione alternativa di processo aleatorio: un processoaleatorio è unafamiglia di variabili aleatorie dipendenti dalla variabile tempo-rale t e caratterizzate dalla classe delle densità di probabilità congiunte

fAxpX2,.",XII;tpt2,...,tll). In questo testo abbiamo preferito introdurre il pro-cesso aleatorio come associazione di funzioni campione ai risultati dello spaziocampione perché tale definizione è più orientata allo studio del processo comesegnale.

È abbastanza chiaro che, assegnato un processo X(t), è impresa disperatapervenire alla sua conoscenza statistica completa. In alcuni casi è sufficiente inrealtà conoscere la distribuzione (o densità) di probabilità del primo ordine, ra-ramente si cerca di misurare o calcolare quella del secondo. Molto più spesso cisi accontenta di parametri statistici semplificati (si veda a questo proposito ilParagrafo7.3.4) che saranno discussi nel prossimo paragrafo.

Esempio 8.1Un punto materiale si muove su una linea retta con moto uniforme. Di questopunto si misurano con incertezza la posizione e la velocità all'istante inizialet =O.Queste due grandezze vengono dunque modellate rispettivamente con una

variabile aleatoria SoE'li (-1,1), e una seconda variabile "o E?£ (°, 4/T2) indi-pendenteda So'Indichiamo con S(t) il processo aleatorio che rappresenta la po-sizione del punto al generico istante t e determiniamo la densità di probabilità

del primo ordine fs(s;tl) di tale processo.n segnale S(t) è un processo aleatorio parametrico, essendo espresso dalla

seguenterelazione:

440 Capitolo 8

(E8.1.1 )

Le funzioni campione di questo processo sono rette di pendenza e intercettasugli assi aleatorie. Fissiamo dunque il particolare istante di tempo t), edestraiamo dal processo la variabile aleatoria

(E8.1.2)

Per determinare la densità fs(s;t)) cominciamo con l'osservare che il prodottoSI=="Vot, è una variabile aleatoria E?£ (0,4t,2/'r2)ancora indipendente da So'Lavariabile estratta dal processo è

(E8.1.3)

e la funzione fs(s;tl) è data, quindi, dalla convoluzione tra la densità di probabi-

lità fso(s) di Soe quella fs, (s) di SI:

-+-

fs(s;tl) = fs.(s) @ fs, (s) = f fso(u )/s, (s - u)du (E8.1.4)

ove naturalmente il parametro ti è "nascosto" in /S, (s)). Ricordando che:

(E8.1.5a)

(E8.1.5b)

dalla (E8.1.4) si ricava che

~ 1

(u

)T (.'-/l)2T2 1 I T (J-/l)2T2

fs(s;tl)= f-rect - I l-J8ne-~du=-fl l-J8ne-~du_2 2 ti 8" 2-I t) 8"

Effettuando il cambiamento di variabile a = (u - s)T / (21t) D si ottiene:

(E8.1.6)

ove cp(x) è la funzione distribuzione di una variabile aleatoria normale standard

(7.3.3). L'andamento della funzione fs(s;t)) è illustrato nella Figura 8.7 per ivalori indicati del parametro t). Il lettore spieghi perché questa funzione tende a


diventare "squadrata" man mano che ti si avvicina a zero.

-0.25-4 -3 -2 -1 o

S

2 3 4

Figura 8.7 Densità di probabilità del primo ordine del processo dell'Esempio 8.1

D

8.2 Indici statistici dello e 20 ordine di un processo aleatorio

8.2.1 Funz.oni valor medio, potenza, varianzaCome già accennato nel paragrafo precedente, la caratterizzazione statisticacompletadel processo aleatorio X(t) richiede la conoscenza della classe di fun-

zioni densità di probabilità fAxl,X2,...,X,,;tpt2,...,tll)' ed è quindi estremamentecomplessada ottenere. Il comportamento del processo è spesso abbastanza bendescrittoda indici statistici semplificati.

Da questo punto di vista, una grandezza particolarmente significativa nelladescrizionestatistica semplificata di un processo aleatorio X(t) è la sua funzionevalor medio statistico 1Jx(t).Per definizione, il valore di questa funzione a unistante assegnato t =t è il valor medio della variabile aleatoria X(t), estratta dalprocesso all'istante stesso:

+00

1JAt) = E{X(t)} = J xfAx;t)dx (8.2.1)

Al variare di t si generano infinite variabili aleatorie, ciascuna con un diversovalor medio. Ripetendo il calcolo nella (8.2.1) per ogni valore della variabile

442 Capitolo 8

~

temporale si ricava l'andamento dellaftmzione T7x(t) definita come segue:

-+<o

T7x(t)~E{X(t)} = f xfx(x,t)dx (8.2.2)

La funzione valor medio (8.2.2) rappresenta una statistica del primo ordine diX(t) poiché il suo calcolo prevede la considerazione di una sola variabile alea-toria estratta dal processo, e quindi richiede la conoscenza della sola densità diprobabilità del primo ordine del processo stesso. La dipendenza della funzioneT7x(t)dallavariabiletempoè dovutaal fattoche la densitàdi probabilitàfAx;t)del primo ordine di X(t) è, usualmente, una funzione di tale variabile perché leproprietà statistiche della variabile aleatoria estratta dal processo cambiano alvariare del tempo (si veda la Figura 8.7).

La funzione T7x(t)rappresentauna sorta di "compendio"dell'andamentoditutte le funzioni campione del processo, pesate ciascuna con la relativa probabi-lità di presentazione, e per questo non necessariamente è una delle funzionicampione del processo X(t) (si veda la Figura 8.8).

....oai>Q)co'Nc:JLL.

o

-2

-4o 2 3 4 5

Tempo. t

Figura 8.8 Funzionevalormediostatistico1Jx(t) di un processo aleatorio X(t)

Esempio 8.2Prendiamo in considerazione una versione modificata del processo aleatorioparametrico introdotto alla fine del Paragrafo 8.1.1:


X(t) =acos(2n.fot + E» (E8.2.1)

ove a ed io sono noti, mentre la fase iniziale stavolta è 8 E'll(O,n). Le funzionicampione del processo sono segnali cosinusoidali aventi la medesima frequenza

lo, ma una diversa fase iniziale 8 appartenente all'intervallo [O,n].Se imma-giniamo di fissare il valore del tempo t, abbiamo una variabile aleatoria

acos(21ifot+ 8) ottenuta come trasformazione della variabile 8. Per ricavare ilvalor medio di tale variabile possiamo quindi usare il teorema del valor medio(7.3.24):

-+-

E{X(t)} = Ee{acos(21ifot+ 8)} = f acos(21ifot+O)fe(O)dO-= !!:.- j cos( 21ifot + O) dO = !!:.-[sin( 21ifot + n) - sin( 21ifot)] = - 2a sin( 21ifot)

no _n n

(E8.2.2)

ove il simbolo Ee{.} rappresenta l'operazione di media statistica rispetto allavariabile E>. La Figura 8.9 mostra alcune funzioni campione del processoinsiemecon la funzione valor medio 17At) appena ricavata:

17At)=- 2a sin(21ifot)n

Il lettore ricavi la funzione valor medio del processo nella versione del Paragrafo8.1.1,in cui cioè 8 E'U(O,2n). O

(E8.2.3)

Un'altra grandezza statistica del primo ordine utile per caratterizzarestatisticamenteil processo X(t) è la funzione potenza media statistica istantanea

PAt) (brevemente,potenza media):

-+-

PAt)!E{ X2(t)} = f X2fAx;t)dx (8.2.3)

che è il diretto analogo, per i segnali aleatori, della potenza istantaneaPx(t)= X2(t) dei segnali determinati. Per i segnali aleatori si definisce anche la

funzione varianza del processo:

-+-

(j~(t)!E{(X(t)- 17At)f} = f (x - 17At))2fAx;t)dx (8.2.4)

ii

444 Capitolo 8

cioè la varianza della variabile aleatoria ottenuta fissando l'istante t. Dalla

(8.2.4) si ricava facilmente l'uguaglianza

(8.2.5)

che esprime la varianza di X(t) in funzione del suo valor medio e della suapotenza media statistica (si veda anche la (7.3.29».

1.5

a=1

1.0

0.5

-~x 0.0t="

-0.5

-1.0

-1.5-2.0 2.0-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

Tempo normalizzato, fot

1.5

Figura 8.9 Funzioni campione e funzione valor medio del processo dell'Esempio 8.2

8.2.2 Funzioni di autocorrelazione e autocovarianza

Introduciamo adesso due parametri statistici del secondo ordine di fondamentaleimportanza per lo studio dei segnali aleatori, rimandando di qualche pagina ladiscussione sul significato e sull'utilità dei medesimi (che apparirà chiara nelcontesto dei processi stazionari).

Fissiamo adesso due istanti di tempo arbitrari ti e t2 sul nostro processo, ot-

tenendo le due variabili aleatorie Y = X(t() e Z =X(t2)' È significativo alloracalcolare la correlazione ryz =E{YZ} (7.4.27) fra queste due variabili. Natu-ralmente, il valore di questa correlazione risulterà funzione dei due istanti ti e t2ai quali le variabili sono state estratte, e potrà essere calcolata solo conoscendola funzione densità di probabilità del secondo ordine del processo:

-RX(tl't2)~E{X(tl)X(t2)}= J

-J XI X2fAXI'X2 ;tl't2 )dxl dX2 (8.2.6)

La RA tI't2) si chiama funzione di autocorrelazione perché le due variabilialeatorie di cui si calcola la correlazione sono estratte dallo stesso processoaleatorio.

Se invece tra le due variabili aleatorie X(tI) e X(t2) calcoliamo la covarianza(7.4.28)otteniamo la funzione di autocovarianza CX(tt,t2)di X(t):

CAtpt2)~E{[ X(tl) - T1Atl)][X(tJ - T1At2)]}-+<o -+<o

= f f[Xt - T1Atl)]'[X2- T1x(tJ]fx(xl'x2;tpt2)dxl dx2 (8.2.7)

Da questa definizione si ricava immediatamente la relazione:

(8.2.8)

che esprime la funzione di autocovarianza di X(t) attraverso le funzioni valormedioe autocorrelazione.

Esempio 8.3

Ricaviamola funzione di autocorrelazione RAtpt2) del processo dell'Esempio8.2:

X(t)=acos(2~t+e) (E8.3.1)

Osservandoil processo aleatorio agli istanti ti e t2 otteniamo rispettivamente le

variabili aleatorie X(tl) =acos(2~tl +e) e X(t2)=acos(2~t2 + e), le qualisonoentrambe trasformazioni della stessa variabile aleatoria E>.La funzione di

autocorrelazione Rx(tI't2) si può calcolare facilmente con il teorema del valormedio:

(E8.3.2)

La funzione Rx(tI't2) è cosinusoidale e dipende dalle variabili ti e t2 attraverso

446 Capitolo 8

la loro differenza, ovvero

(E8.3.3) .

Questa proprietà, come vedremo nel paragrafo successivo, è verificata da unaclasse notevole di processi. O

8.3 Processi aleatori stazionari

8.3.1 Stazionarietà in senso stretto

Una proprietà notevole di alcuni processi aleatori è la stazionarietà. Come ab-biamo già visto nei precedenti paragrafi, gli indici statistici di un processo, adesempio la funzione valor medio 1JAt) o la funzione di autocorrelazione

RAtl't2) e, a maggior ragione, le funzioni densità di probabilità fAXI'X2,...,xn;tl't2,...,t,,) dipendono in generale dalla scelta degli n istanti di tempo tl't2,...,t"in corrispondenza dei quali viene valutato il processo. Cosa succede se spo-stiamo rigidamente tutti gli istanti temporali, cioè consideriamo la nuova n-upladi istanti t, + I1t,t2+ I1t, ,...,t" + 11t,con I1t arbitrario? In generale, otteniamoundiverso valore della funzione densità di probabilità di ordine n. Se, viceversa,ilvalore della funzione densità resta invariato qualunque sia I1t e per ogni ordinen, allora il processo si dice stazionario in senso stretto:

"i/n,'Il/).t

(8.3.1)

La stazionarietà in senso stretto (o in senso forte) richiede dunque che lefunzioni densità di probabilità del processo di qualunque ordine siano invariantirispetto a una traslazione rigida degli istanti temporali. Detto in altre parole,ciòsignifica che i processi X(t) e X(t + I1t) hanno le stesse statistiche, e quindisono equivalenti dal punto di vista statistico. Ciò non significa che X(t + /).t)siauguale a X(t) ; infatti, le funzioni campione di X(t + I1t) sono ottenute da quelledi X(t) per traslazione temporale, e quindi i due processi sono differenti. Seperò X(t) è stazionario in senso stretto, non è possibile distinguerlo daX(t + I1t) con misure statistiche.

Discutiamo ora le conseguenze di questa definizione. Se consideriamo ladensità del primo ordine del processo, la definizione (8.3.1) ci dice che deveva-lere l'uguaglianza


fAx;t)=fAx;t+M) \;fM (8.3.2)

Poiché I1t è arbitrario, se ne conclude che la densità di probabilità del primo

ordine fx(x;t) non dipende dal tempo: fx(x;t) = fAx) (stazionarietà di ordineuno). Questa osservazione porta anche a concludere che tutte le grandezzestatistiche del primo ordine del processo non dipendono a loro volta dallavariabile tempo: tutte le variabili aleatorie estratte da X(t) sono equidistribuite ehanno, in particolare, uguale valor medio e uguali potenza media statistica evananza:

(8.3.3)

Esaminiamo ora le implicazioni della stazionarietà sulle statistiche del secondoordine. Immaginiamo, allora, di osservare il processo aleatorio X(t) a due istanti

arbitrari ti e t2, estraendo da esso le variabili aleatorie X(ti) ed X(t2)' Comesappiamo, il comportamento statistico congiunto di tali variabili aleatorie è

descritto dalla densità di probabilità del secondo ordine fAXI'X2;tl,t2)' Seconsideriamo,poi, la coppia di variabili aleatorie X(tl + I1t) e X(t2 + I1t) estratteagli istanti ti + I1t e t2+ I1t, sappiamo che

(8.3.4)

si ha cioè in particolare la stazionarietà di ordine due. Considerando che anche

in questo caso I1t è arbitrario, è chiaro che la funzione fAx!,X2;tl't2) non puòdipendere da ti e t2 separatamente, ma deve dipendere soltanto dalla differenza

ti - t2 tra gli istanti temporali, che resta appunto invariata in una traslazionerigidadeitempi:

fAx"X2;t],t2) = fAxl,X2;tl - t2)

Tutte le statistiche del secondoautocorrelazione e la funzione di

questa stessa proprietà:

(8.3.5)

ordine, e in particolare la funzione diautocovarianza godono evidentemente di

(8.3.6)

Generalizzando, è chiaro che la densità di probabilità (e tutte le statistiche) diordine n di un processo stazionario in senso stretto dipendono soltanto dalle

(n-l) differenze (distanze) ti -t2,t3 -t3,...,tn-1 -t" tra gli istanti t"t2,...,t",differenze che restano invariate in una traslazione rigida dei tempi:

448 Capitolo 8

(8.3.7)

Attraverso le "regole marginali" (7.4.36) non è difficile verificare che lastazionarietà di ordine n implica tutte le stazionarietà di ordine inferiore, mentrenon vale il viceversa.

Esempio 8.4

Consideriamo il processo aleatorio parametrico

X(t) =A (E8.4.1)

ove A è una variabile aleatoria uniforme nell' intervallo [-1,1] e cerchiamo diverificare se il processo è stazionario in senso stretto. Alcune funzioni campionedi questo processo sono rappresentate in Figura 8.10: esse sono segnali costantiil cui valore è rappresentato dal particolare valore assunto in ogni provadell' esperimento della variabile aleatoria A.

x( oo;t}

t

-1

Figura 8.10 Funzioni campione del processo dell'Esempio 8.4

Evidentemente, il processo è stazionario di ordine uno perché, comunque si fissi

un istante di tempo, la densità di probabilità della variabile aleatoria risultante è

sempre la stessa:

(E8.4.2)

in quanto ovviamente X(t) = A. Ragionandoin questastessamanierasi capisceche il processo è stazionario di ordine n qualunque. Infatti, comunque si fissi lan-upla di istanti t(,t2,...,tn si ottiene sempre la stessa n-upla di variabili aleatorie

X(t() = A,X(t2)= A,. ..,X(tn)= A, e quindi la densità di ordine n non dipende dal


tempo. A maggior ragione, essa non dipenderà da traslazioni temporali. D'al-tronde, guardando le funzioni campione di Figura 8.10, è chiaro che il processoX(t) è invariante rispetto a una traslazione dell' asse dei tempi di D.t,perciòX(t + D.t)ha le stesse statistiche di qualunque ordine di X(t). D

8.3.2 Stazionarietà in senso lato

La verifica della stazionarietà in senso stretto di un processo è, in generale,estremamente difficoltosa (salvo casi particolari come i processi Gaussianistudiati nel Paragrafo 8.5). Di solito nelle applicazioni si considera unadefinizione di stazionarietà molto meno restrittiva e difficile da verificare della

precedente: la stazionarietà in senso lato.Un processo aleatorio X(t) è stazionario in senso lato (o in senso debole) se

la sua funzione valor medio T1At) è costante e la sua funzione di autocorrela-zione RAt"t2) non dipende da t. e t2 separatamente, ma solo dalla differenza(t.-t2):

(8.3.8a)

RAt"t2) = RAt. - t2)-'- - (803.8b)

La definizione di stazionarietà in senso lato coinvolge solo due particolaristatistiche semplificate, una del primo e l'altra del secondo ordine, e nonrichiede alcuna proprietà di invarianza delle densità di probabilità; è quindi unaproprietà molto meno "impegnativa" della stazionarietà in senso stretto. Infatti,un processo stazionario in senso stretto è anche stazionario in senso lato, mentrela stazionarietà in senso lato non implica quella in senso stretto.

Se il processo è stazionario in senso lato, la funzione di autocovarianza vale

é,(t"t,) ~Ell X(t,)- ry,IX(t,)-ryxD=R,(t, - t,)- ry,'(c,(t, - t,) (~~. .....

cioè dipende anch' essa dalla sola diffe renza temporale ti - t2.Anche per le grandezze statistiche semplificate si pone comunque il problema

della misurazione: come si può riuscire in pratica ad avere un'idea dell'anda-mentodella funzione valor medio e della funzione di autocorrelazione di un dato

processo osservato? Questa domanda nasce dalla constatazione che sembra pro-blematico se non impossibile effettuare una misura di media statistica che coin-volge la conoscenza di tutte le funzioni campione del processo! Saremo in gradodi rispondere a questa domanda fondamentale solo dopo lo studio dei processi

450 Capitolo 8

ergodici del Paragrafo 8.7.

Esempio 8.5

Riprendiamo il processo parametrico X(t) degli Esempi 8.2-8.3, ovvero

X(t) = acos(27ifot+ e) (E8.5.I)

ove a ed lo sono noti e e Eu(O,n). Tale processo ha valor medio (si veda la(E8.2.3»

17x ( t ) = - 2a sin( 21%t )n(E8.5.2)

e quindi non è stazionario in senso lato. Consideriamo però lo stesso processo incui stavolta e EU(O,2n). Ripetendo i conti dell'Esempio 8.2 si ottiene imme-diatamente:

2"

E{ X(t)} =..!:.. J cos(21%t + O)dO = ..!:..[sin(21%t + 2n) - sin(21%t)] = O2n o 2n

(E8.5.3)

e, modificando i conti dell'Esempio 8.3:

(E8.5.4)

Quindi la funzione valor medio è costante, e la funzione di autocorrelazione

dipendesolodalladifferenzati - t2:con la nuovasceltadelladistribuzionedellavariabile e il processo è stazionario in senso lato. O

Esempio 8.6Consideriamo il processo aleatorio parametrico

+-

X(t)= IP(t-2nT)k=-

(E8.6.1)

ottenuto attraverso la periodicizzazione del segnale aleatorio


P(t) =(1- J1

)rect(~ )E> 2E>

(E8.6.2)

ove E>è una variabilealeatoriauniformementedistribuitanell'intervallo[O,T],e verifichiamo se X(t) è stazionario in senso lato o meno.

Per studiare la stazionarietà del processo X(t) è utile rappresentare alcune suefunzioni campione, ciascuna delle quali corrisponde a valori diversi dellavariabile aleatoria E>.La rappresentazione è semplice se si considera che ognifunzione è ottenuta dalla periodicizzazione con periodo 2T di un impulsotriangolare P(t) di ampiezza di picco unitaria e durata aleatoria 2E>(Figura8.11). Cominciamo col cercare di capire se la funzione valor medio del processoè costante al variare del tempo.

x!ro;t)

- 9=T

- 9 =T/2

-T T 2T 3T 4T 5T

Figura 8.11 Alcune funzioni campione del processo dell'Esempio 8.6

Come si vede dalla Figura 8.11, tutte le funzioni campione valgono 1 negliistanti 2kT con k intero, e valgono Oper tutti gli istanti 2kT + T. Quindi,

E{X(2kT)} =1 (E8.6.3)

E{X(2kT + T)} =O (E8.6.4)

La funzione valor medio 1JAt) di X(t) non è costante e il processo stesso non èstazionario in senso lato. D

Esempio 8.7 (Segnale dati)Consideriamo un segnale V(t) generato con il seguente procedimento: agliistanti tk =kT,con k = ..,-1,0,1,.., vienelanciataunamonetaideale(inmaniera

452 Capitolo 8

indipendente dai lanci precedenti e successivi) e, nel caso di un risultato "testa",si fa assumere al segnale il valore +l che viene mantenuto per i T secondi suc-cessivi a tk; viceversa, se il risultato è "croce" viene mantenuto il valore-L

Indichiamo, innanzitutto, con v" il valore del segnale nell'intervallo diampiezza T che segue l'n-esimo lancio della moneta:

V(t)=v" ' nTS;t«n+l)T (E8.7.1)

Evidentemente, v" è una variabile aleatoria che assume i valori +l e -1 con pro-babilità 1/2, ed è indipendente da ~, k '* n. Osservando che il valore del segnaleviene mantenuto per tutto un intervallo di ampiezza T, e richiamando l'espres-sione del segnale Sample & Hold (5.4.9)-(5.4.10), si trova immediatamente laforma della generica funzione campione (e quindi del processo in forma parame-trica):

+o-

V(t) = n~v,.rectC- nT; T/2)(E8.7.2)

L'andamento di una funzione campione del processo aleatorio è illustrato nellaFigura 8.12.

Un segnale di questo tipo è un buon modello del segnale dati binario convelocità di clock pari a 1/Tche si può trovare ad esempio nei collegamenti tra unPersonal Computer (PC) e una stampante, su uno dei fili in uscita alla portaseriale del PC. Il livello della tensione rappresenta il valore del segnale binarioche viene scambiato tra il PC e la stampante, e la cadenza 1/T è la "velocità" allaquale funziona la porta del calcolatore. Poiché in generale non è nota lasuccessione di dati che transitano sulla linea seriale, si ammette che i valori del

segnale siano aleatori, e quindi il segnale V(t) è un processo aleatorio.Di questo processo, ci proponiamo di determinare la densità di probabilità del

primo ordine fv(v;t), la funzione valor medio 17v(t) e la funzione diautocorrelazione Rv(tI't2)'

Per determinare la funzione densità di probabilità del primo ordine fv(v;t) siosserva il processo all'istante t estraendo da esso la variabile aleatoria V(t). Se

t E [nT,(n + l)T), la variabile aleatoria V(t) coincide con v" (si veda la (E8.7.1))e, quindi, per le proprietà di ~ abbiamo:

1 1fv(v;t) = -8(v + 1)+ -8(v -1)2 2

(E8.7.3)

... ...T 2T 4T 5T

3T

-1

Figura 8.12 Funzione campione del processo segnale dati binario nell'Esempio 8.7

Questa funzione densità, ricavata per t E [nT,(n + 1)T), è in realtà indipendentedal tempo: il processo aleatorio è stazionario del primo ordine. La funzionevalor medio risulta quindi costante, e vale:

(E8.7.4)

Il calcolo della funzione di autocorrelazione è invece un poco più complicato.Partiamo dalla definizione:

(E8.7.5)

Senza calcolare esplicitamente questa funzione, ci si può accorgere facilmenteche il processo non è stazionario in senso lato. Supponiamo infatti che gli istanti

di osservazione tI e t2 appartengano entrambi all'intervallo (kT,(k + I)T], perun opportuno valore di k (Figura 8.13a):

kT < t"t2 < (k + I)T

Allora è chiaro che V( tI ) = V(t2)= ~, e quindi

(E8.7.6)

(E8.7.7)

in quanto ~2 == 1. Trasliamo ora rigidamente i due istanti (mantenendo cioè ladistanza tra i due) in modo da piazzarli a "cavallo" di due intervalli di c1ock.consecutivi (Figura 8.13b):

kT<tl «k+I)T , (k+I)T<t2 «k+2)T (E8.7.8)

454 Capitolo 8

V(t)

...(k+2)T

...(k+1)T t

(a)

V(t)

...kT (k+2)T

...

(b)

Figura 8.13 Dimostrazione che il processo dell'Esempio 8.7 non è stazionario

Se il processo fosse stazionario in senso lato, il valore della funzione diautocorrelazione non dovrebbe cambiare perché la differenza tra i due istantinon è cambiata. La funzione di autocorrelazione è data però in questo secondocaso da:

(E8.7.9)

che è un valore diverso da quello del primo caso. Il processo non è quindistazionario in autocorrelazione e non è stazionario in senso lato. Questo risultatopuò essere confermato con il calcolo:


~ (ti -nT-T/2 ) (t2 -nT-T/2 )=£..i rect rectn=- T T

Nell'ultimo passaggio, dopo avere sfruttato la linearità dell'operatore valor

medio, abbiamo tenuto conto che E{v,,~} è diverso da zero solo se k =n. Si

vede che la funzione Rv(t"tJ è una funzione periodica in tI e t2 del periodo dic10ck T, ma dipende dai due istanti separatamente.

(E8.7.1O)

D

8.3.3 Proprietà della funzione di autocorrelazione di un processostazionario in senso lato

La funzione di autocorrelazione (8.2.6) può anche essere definita in una manieraalternativa, in cui si mette in evidenza la differenza (distanza) T tra i due istanti

di tempo tI e t2 considerati. Se infatti si pone tI = t, t2= t - T, siha:

(8.3.10)

Se il processo X(t) è stazionario almeno in senso lato, la funzione di autocorre-lazione dipende soltanto dalla differenza T tra i due istanti, e non dall'istanteparticolare t in corrispondenza del quale si "piazza" il primo:

(8.3.11)

Esempio 8.8

Una situazione che capita spesso è quella in cui l'andamento di un segnale ènoto, ma non se ne conosce esattamente la posizione rispetto a un riferimentotemporale. In questi casi il modello appropriato è un processo aleatorio del tipo

X(t)= p(t-8) (E8.8.l)

dove p(t) è un segnale determinato, mentre e è una variabile aleatoria che

modella l'incertezza temporale sulla posizione del segnale (si pensi al problemadell'eco radar dell'Esempio 3.8). Come caso particolare, supponiamo che p(t)sia un segnale determinato periodico di periodo 1'0:

p( t ) = p( t + 1'0) (E8.8.2)

e che 8 E 'l1(O,1'o). Dimostriamo che X(t) è stazionario in senso lato. Lafunzione valor medio del processo è:

456 Capitolo 8

To l l t

T/At) =E{X(t)} = Ee{p(t-8)} =fp(t-O)-dO = - f p(a)dao To To t-To

ove nell'ultimo passaggio abbiamo effettuato il cambio di variabile a= t - O.Osserviamo adesso che la funzione integranda è periodica di periodo To,e che

1'intervallo di integrazione ha proprio ampiezza pari a un periodo. Segue che ilrisultato dell'integrale è indipendente dalla posizione degli estremi di

integrazione, e quindi non dipende da t: il processo è stazionario in valor medio.Scegliendo per comodità t =To/2 si ha:

l To/2

T/At) ==T/x =1; f p(a)dao -To /2

(E8.8.3)

cioè il valor medio statistico del processo X(t) coincide con il valor medio

temporale Pm(2.2.3) del segnale periodico determinato p(t).Per la funzione di autocorrelazione abbiamo:

l'

Il" (E8.8A)

l'

I

i

con la sostituzione a = ti - O. Anche in questo caso la funzione integranda, cheè il prodotto di due segnali periodici di periodo To,è periodica di periodo To.Ilrisultato non dipende dal piazzamento degli estremi di integrazione, per cui sipuò scegliere ti =To/2 e concludere che:

l To/2

RAt"t2) = RAtl - t2) = 1; f p(a)p(a + t2 - t. )dao -To /2

(E8.8.5)

Quindi la funzione di autocorrelazionedipende dalla differenza t. - t2 e ilprocesso X(t) è stazionario in senso lato. Ponendo come di consueto" = t] - t2,

si ha:

(E8.8.6)

e cioè la funzione di autocorrelazione statistica del processo stazionario X(t)coincide con la funzione di autocorrelazione (4.4.33) del segnale periodico

determinato p(t). O

'I


II

I

lLa funzione di autocorrelazione Rx(-r) è una grandezza di fondamentale

importanza nello studio dei processi stazionari. Prima di discutere la ragione diquesta importanza, analizziamo alcune proprietà formali di tale funzione per unprocesso stazionario in senso lato.

. La funzione di autocorrelazione RA -r) è pari:

(8.3.12)

Per dimostrare questa relazione, basta osservare che, per la stazionarietà delprocesso, la correlazione tra le variabili aleatorie X(t) e X(t - -r) assume ilmedesimo valore della correlazione tra le variabili X(t + -r) e X(t) ottenuteper traslazione rigida della quantità -r:

RA-r) =E{X(t)X(t- -r)} =E{X(t+ -r)X(t)} = RA--r) (8.3.13)

. Il valore assuntoda Rx(-r)nell'origineuguagliala potenzamediastatisticadel processo, cioè

(8.3.14)

. RA-r) è massima in modulo nell'origine:

(8.3.15)

Consideriamo infatti la disuguaglianza

(8.3.16)

che è sempre verificata, comunque si scelgano t e -r. Sviluppando il primomembro si ha:

E{[X(t):t X(t - -r)t} = E{[X(t)]2 +[X(t - -r)Y:t 2X(t)X(t - -r)}

= RAO)+RAO):t2RA-r) (8.3.17)

e, sostituendo:

(8.3.18)

dalla quale segue immediatamente la (8.3.15).. Se Rx(-r) non contiene componenti periodiche, il valore limite di RA-r) per-r ~ 00 è pari al quadrato del valore medio:

458 Capitolo 8

(8.3.19)

Per giustificare questa proprietà riscriviamo la relazione (8.3.9) nella forma

(8.3.20)

Al crescere di T, la distanza tra gli istanti t e t - T aumenta e quindi lefunzioni campione del processo hanno "tempo" per variare sensibilmente.Questo comporta che i valori delle variabili aleatorie X(t) e X(t - T) tendonoa diventare incorre lati, cioè la loro covarianza CAT) si riduce. Al limite,quando T -7 +00 la covarianza si annulla e la funzione di autocorrelazionetende a coincidere con il quadrato del valor medio.

Queste proprietà, come già accennato nel Paragrafo 4.4, non sono specifiche deiprocessi, ma sono comuni alle funzioni di autocorrelazione dei segnalideterminati e aleatori, come si può facilmente dimostrare (si veda anchel'Esercizio proposto 4.2).

Esempio 8.9

Riprendiamo in considerazione il segnale dati binario V(t) dell'Esempio 8.7.Come abbiamo già discusso, spesso il riferimento temporale assoluto di unsegnale non è noto, in questo caso perché il segnale di c10ck con il qualevengono prodotti i dati ha una fase iniziale incognita. Allora il modello piùappropriato per il segnale dati, che stavolta chiameremo X(t), è:

X(t) = V(t-e) = n~ v"rec{t-e-;T- T/2)

ove e è la consueta variabile aleatoria uniformemente distribuita sull' intervallo

[O,T], e indipendente dai valori dei dati binari {v,,}. Il calcolo del valor mediodel processo non differisce da quello dell'Esempio 8.7, per cui si conclude:

T/At) = T/x = O (E8.9.1)

Anche il calcolo della funzione di autocorrelazione ricalca sostanzialmente

quello dell'Esempio 8.7, con la differenza che stavolta si deve compiere un'ope-razione di media inpiù rispetto alla variabile "ritardo aleatorio" e:

RAt.,t2) = EeL~ rec{ t)- e -;T - T/2}ec{ t2 - e -;T - T/2)}

~{ (

t-e-nT-T/2) (

t--r-e-nT-T/2)}

=~ Ee rect rectn- T T

~ 1f

T

(

t-O-nT-T/2

) (

t--r-O-nT-T/2

)=~ - rect rect dOn=-To T T

1~ '-

f

nT

(

a-T/2) (

a--r-T/2

)dO=- ~ rect rectTn=-'-nT-T T T

(E8.9.2)

ove nell'ultimo passaggio si è posto a = t - O- nT. La funzione integranda non

contiene la variabile n e, al variare di n, si calcolano integrali della stessafunzione integranda su intervalli di ampiezza T disgiunti che ricoprono tuttol'asse reale di tempi (si veda a questo proposito l'analogo caso rappresentatonella Figura 3.46). La conclusione è che

RAt,t - -r)= RA-r)= ~ j rec{ a -:/2 }ec{ a - -r; T/2)dO(E8.9.3)

cioè il processo è stazionario in senso lato perché la dipendenza dal tempo t èscomparsa. Si vede inoltre che la funzione di autocorrelazione del processo èproporzionale alla funzione di autocorrelazione (4.4.23) del segnale determinato

rect(t - T 12)IT):

RA-r)= ~rec{ -r -;/2)<8> rec{ --r;T/2) =(1-li}ec{2~) (E8.9.4)

Questa funzione è l'impulso triangolare di ampiezza unitaria di Figura 8.14. Illettore verifichi che questa funzione soddisfa le quattro proprietà generali dellefunzioni di autocorrelazione dei processi stazionari.

-T T t

Figura 8.14 Funzione di autocorrelazione del segnale dati stazionario dell'Esempio 8.9

o

460 Capitolo 8

Qualè il significatoe l'utilità dellafunzionedi autocorrelazioneRx('r)di unprocesso stazionario? Per chiarire questo punto partiamo da un esempio. I dueinsiemi di funzioni campione di Figura 8.15a e 8.15b sono relativi a due diversi

processi stazionari, rispettivamente X(t) e Y(t), aventi stesse statistiche delprimo ordine (valor medio, potenza, densità del primo ordine).

I

i,

4

-2

-4o 2 3 4 5

Tempo, t (a)4

2

o

-2

-4O 2 3 4 5

Tempo, t (b)

Figura 8.15 Funzioni campione di due processi con diverse funzioni di autocorrelazione

Evidentemente, però, i due processi differiscono parecchio nella rispettiva velo-cità media di variazione delle funzioni campione. Se fissiamo sul processo Y(t)

ilI

i due istanti alla distanza 'r indicati nella Figura 8.15b, notiamo che le funzioni

campione, piuttosto lente, hanno avuto poco tempo per variare, e quindi i valoridelle variabili aleatorie estratte dal processo a questi istanti sono molto correlati.Viceversa, nello stesso lasso di tempo 'l' le funzioni campione del processoX(t), assai più veloci, sono variate considerevolmente, e i valori delle due va-riabili aleatorie sono molto meno correlati. In conclusione, la funzione Rx('l')decresce velocemente a zero quando 'l'aumenta, come illustrato nella Figura

8.16a, mentre la funzione Ry('l') decresce più lentamente (Figura 8.16b).Dunque la funzione di autocorrelazione misura la rapidità dj variazione <tel

segn~le aleat9rio. Per quantificare con un singolo parametro la "velocità" del se-gnale si introduce il tempo di correlazione 'l'cor'definito come la minima di-stanza che deve intercorrere tra due istanti di osservazione affinché le variabili

aleatorie estratte dal processo siano incorrelate. Evidentemente, il tempo di cor-relazione è pari alla semidurata della funzione di autocorrelazione (Figura 8.16),eventualmente definita in modo convenzionale quando l'autocorrelazione non hadurata rigorosamente limitata (si veda il Paragrafo 4.3.3). A tempo di correla-zione grande corrispondono funzioni campione che variano lentamente, e, vice-versa, a tempo di correlazione piccolo, corrisponde un processo le cui funzionicampione manifestano variazioni veloci.

1:cor 1: 1:cor 1:

(a) (b)

Figura 8.16 Funzioni,di autocorrelazione dei segnali aleatori di Figura 8.15

8.4 Filtraggio di un segnale aleatorio

8.4.1 Relazione ingresso-uscita tra le statistiche semplificateUn caso tipico dell'elaborazione dei segnali è quello in cui l'osservato X(t) ècostituito da una componente determinata s(t) (il segnale "utile") accompagnatada un disturbo aleatorio a valor medio nullo D(t) (chiamato anche rumore):

X(t) = s(t) + D(t) (8.4.1)

462 Capitolo 8

come nell'onda quadra di ampiezza unitaria "rumorosa" in Figura 8.17.Naturalmente, si cercherà di elaborare X(t) in modo da preservare la compo-nente utile s(t) e reiettare il più possibile il disturbo D(t). Quest' operazione puòessere effettuata da un filtro, cioè da un sistema lineare stazionario nel senso delParagrafo 4.3, il cui comportamento riguardo ai segnali determinati è perfetta-mente noto. Resta dunque da studiare la questione del filtraggio di un segnalealeatorio, che è l'oggetto di questo paragrafo.

1.5

-1.5-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

Tempo normalizzato, t/To

1.5 2.0

Figura 8.17 Esempio di segnale determinato con disturbo aleatorioC'

Inviamo dunque un generico processo aleatorio X(t) in ingresso al sistemalineare stazionario rappresentato nella Figura 8.18, e cerchiamo di stabilire lecaratteristiche statistiche del processo aleatorio di uscita Y(t), note quelle diX(t). Osserviamo preliminarmente che il segnale di uscita Y(t) è un nuovoprocesso le cui funzioni campione possono essere facilmente messe incorrispondenza con i risultati dell'esperimento che ha generato X(t). Infatti, datauna funzione campione x(lO;t), scelta in modo arbitrario fra tutte quelle delprocesso X(t), la corrispondente funzione campione y(co;t) di Y(t) è ricavabilefacilmente (si veda la (4.2.6»:

y(co;t) = x(lO;t;)@h(t) (8.4.2)

dove h(t) è la risposta impulsiva del sistema in esame. Questo risultato vale perqualunque realizzazione x(lO;t) del processo X(t), e quindi scriveremo, per

1.0

- 0.5-Q+-- 0.0li)

J!..-X -0.5

-1.0


riassumere questa osservazione:

Y(t) =X(t) C8>h(t) (8.4.3 )

Questa relazione sembra mal posta, perché non abbiamo definito esplicitamenteuna convoluzione per segnali aleatori; essa però va intesa nel senso appenadiscusso, cioè che il legame vale in realtà per la coppia di funzioni campionedeterminate x(m;t) e y(ro;t).

X(t) J Y(t)

h(t)

Figura 8.18 Filtraggio di un processo aleatorio

Purtroppo il problema di ricavare le densità di probabilità del processo di uscita

fY(YI'Y2,...,Yn;t"t2,...,tn) a partire da quelle fAXI'X2,...,Xn;tl't2,...,tn) del pro-cesso d'ingresso è, salvo casi particolari, insolubile. Cerchiamo però più mode-stamente di ricavare la funzione valor medio e la funzione di autocorrelazione

del processo Y(t), supponendo di conoscere le stesse statistiche di X(t), ovvero

le funzioni TJx(t)ed RAtl't2)'Il valor medio TJy(t)di Y(t) è:

~,(t) =E{Y(t)} ~ E{X(t)@ h(t)} - E{Ih(a)X(t- a) da }(8.4.4)

L'ordine delle operazioni di media statistica e di integrazione può essereinvertito per la linearità degli operatori stessi:

+00

TJy(t)= J E{h(a)X(t - a)} da (8.4.5)

In questa relazione, l'operazione di valor medio agisce solo sul segnale aleatorioX(t) e non sul segnale determinato h(t). Possiamo allora scrivere:

+00 +00

TJy(t) = J h(a)E{X(t - a)} da = Jh(a) TJAt - a)da = TJx(t) C8>h(t) (8.4.6)

Dunque, la funzione valor medio del processo aleatorio di uscita è pari allaconvoluzione della funzione valor medio del processo in ingresso con la risposta

464 Capitolo 8

impulsiva del sistema. Interpretiamo questa relazione: se definiamo il processo amedia nulla Xo(t)=X(t) -7JxCt), possiamo pensare il processo d'ingresso X(t)scomposto come la somma di una componente determinata pari alla funzionevalor medio (nota) e una componente puramente aleatoria a valor medio nullo,appunto Xo(t):

(8.4.7)

Allora, la componente determinata del processo viene ovviamente filtrata dal

sistema come un qualunque segnale determinato, per dare la componente de-terminata (cioè la funzione valor medio) del processo d'uscita:

(8.4.8)

Ricaviamo, adesso, la funzione di autocorrelazione Ry(t"t2) di Y(t)

Ry(t"t2) = E{Y(tl)Y(t2)} = EHX(tl) @h(tl)]. [X(t2) @h(t2)]}

~ E{I X(a )h( t, - a) da j X(jJ)h( t, - jJ) djJ}

(8.4.9)

Invertendo le operazioni di media statistica e di integrazione si ricava:

+00 +00

Ry(t"t2)= f fE{X(a)h(tl -a)X(f3)h(t2 - f3)}dadf3a=- {3=-

+00 +00

= f f h(tl-a)h(t2 - f3)E{X(a)X(f3)}dadf3a=-oo/3=-

-+- -+-

= J fRAa,f3)h(tl -a)h(t2 - f3)dadf3(3=-a=-

(8.4.10)

Possiamo riscrivere questo integrale doppio nella forma di una doppia convolu-zione:

-+-

Ry(tl,t2) = J[ RAtl ,13)@ h(tl )]h(t2 - f3)df3= RAtl,t2)@ h(t,) @ h(t2) (8.4.11)

La prima operazione di convoluzione coinvolge solo la variabile ti e, nellosvolgimento di essa, la variabile t2 viene considerata come una costante. Nello

svolgimento del secondo prodotto di convoluzione, invece, i ruoli delle variabili

tI e t2 si scambiano.

I

8.4.2 Filtraggio di un processo aleatorio stazionario in senso lato

Esaminiamo ora il caso particolare in cui il processo d'ingresso al filtro èstazionario in senso lato. Per la funzione valor medio si ha:

-+<>o -+<>0--

17At) 0 h(t) = f h(a) 17x(t- a)da = 17x f h(a) da =~xH(O) == 17y- - l(8.4.12)

Il processo di uscita Y(t) ha, a sua volta, valor medio costante pari a17y=17xH(O),ove naturalmenteH(J) è la rispostain frequenzadel sistema:inquesto caso il processo d'ingresso contiene una "componente continua" cheviene modificata in ragione del guadagno in continua del filtro H(O).

La funzione di autocorrelazione Ry(t,t - -r)è poi:

Ry(t,t - -r)= E{Y(t)Y(t - -r)} = E{[X(t) 0 h(t)]. [X(t - -r)<8>h(t - -r)]}

~ E{Ih(a)X(t - a)da. 7h(P)X(t- <- P)dP}

~ {J }~(p)h(a)X(t-a)x(t-<- p)dPda}-+<>o -+<>o

= f fh(f3)h(a)E{X(t-a)X(t--r-,8)}d,8daa =--00 /3=-

-+<>o +~

= f f h(a)Rx(-r+,8-a)h(,8)d,8da{3=-a=-

-+<>o -+<>o

= fh(,8) fh(a)RA-r+,8-a)dad,8{3=- a=-~

(8.4.13)

Già da quest' espressione si nota che la funzione di autocorrelazione del processo

di uscita non dipende dal tempo t e quindi, tenendo conto della (8.4.12), il pro-cesso Y(t) è stazionario in senso lato. Osservando ora che

-+<>o

f h(a)RA-r+ ,8-a)da = RA-r+ ,8)<8>h(-r+,8) (8.4.14)

la (8.4.14) diventa:

-+<>o

Ry(t,t - -r)= Ry( -r)= f h(,8)[ Rx( -r + ,8) <8>h( -r + ,8)]d,8 (8.4.15)

466 Capitolo 8

Con il cambiamento di variabile r = - f3, si ottiene:

+00

Ry(~) = f h( -r)[ Rx( 'C - r) <8>h( 'C- r)]dr = Rx( 'C) Q9 h( 'C) Q9 h( -'C)(8.4.16)

Riassumendo, la risposta a un processo stazionario in senso lato di un sistemalineare stazionario è un processo anch' esso stazionario in senso lato, confunzione valor medio e funzione di autocorrelazione rispettivamente pari a:

1Jy=1JxH(O) ,\~J-'l'

(8.4.16a)

<;> ..w~ "I

Ry ('C)=Rx ( 'C) <8>h( 'C) <8>h( -'C) = RA 'C)<8>rh( 'C) (" ~

ove rh('C)è la funzione di autocorrelazione della risposta impulsiva del filtro.

Esempio 8.10Consideriamo il processo aleatorio

+00

X(t) = 1:8(t- kT - 8)k=-oo

(E8.1O.1)

ove 8 è una variabile aleatoria uniformemente distribuita in [-T 12,T12).

Determiniamo la funzione valor medio 1Jy(t) del processo Y(t) ottenuto dal

filtraggio di X(t) con un filtro la cui risposta impulsiva h(t) è rappresentatanella Figura 8.19.

Figura 8.19 Risposta impulsiva del filtro dell'Esempio 8.10

La funzione valor medio 1Jx(t) del processo aleatorio X(t) è data da:

h(t)I

1ff

Q-2T -T I T 2T t


- - IT-= Ile(8) Lc5(t-kT -8) d8 = - I Lc5(t-kT -8) d8- k=- T o k=-

1 - T .

= - L Ic5(t-kT-O) d8T k=- o

(E8.1O.2)

Se si effettua il cambiamento di variabile u =t - kT - 8 si ha:

l - t-(k+I)T l - l-kTT]x(t)=-- L Ic5(u)du = - L Ic5(u)du

T k=- t-kT T k=-t-(k+I)T

(E8.1O.3)

L'intervallo di integrazione (t - (k + I)T,t - kT) ricopre, al variare del parametrointero k, tutto l'asse reale senza sovrapposizioni (si veda anche l'Esempio 8.9),per CUI

l _I lT]At) = - c5(u)du =-

T - T(E8.lOA)

TIvalor medio del processo Y(t) è allora:

-T]y(t) == T]y = T]xH(O) = T]x Ih(t)dt =3-r

(E8.10.5)

o

8.5 Densità spettrale di potenza di un processo stazionario

8.5.1 DefInizione e teorema di Wiener-Khintchine

Nel paragrafoprecedenteabbiamoaffrontatoe risoltoil problemadel filtraggiodi un processo aleatorio, almeno per quanto riguarda il calcolo delle statistichesemplificate del primo e del secondo ordine. In particolare, abbiamo usato unadescrizione del sistema lineare stazionario e dei processi aleatori in ambitotemporale. Ogniqualvolta si ha a che fare con questioni di filtraggio però puòessereconvenientecercareuna descrizionefrequenzialedel problema,e questoci porta all' analisi di Fourier dei segnali aleatorio

Ci limiteremo qui ad alcuni cenni di analisi spettrale dei processi aleatori solonel caso in cui questi ultimi siano stazionari in senso lato. L'analisi spettrale deiprocessi non stazionari nori è concettualmente complicata, ma va al di là degliscopi di questo testo.

La caratterizzazione frequenziale dei processi aleatori stazionari in termini di

....

'.

468 Capitolo 8

spettri di ampiezza e fase è poco usuale. Dal punto di vista concettuale, anche unsegnale aleatorio può essere scomposto in una sovrapposizione di oscillazioniarmoniche, le cui ampiezze e fasi variano parimenti in maniera aleatoria alvariare della frequenza. Tuttavia, è più comune è limitarsi alla descrizione dellospettro di potenza di un processo aleatorio, sul quale ci concentreremo.

Cominciamo con l'osservare che le funzioni campione di un processostazionario non possono essere segnali a energiafinita. I segnali a energia finita,infatti, tendono necessariamentea zero quando t ~ 00. Se tutte le funzionicampione del processo tendessero a zero, necessariamente tenderebbe a zeroanche la funzione valor medio del processo, che quindi non potrebbe risultare ingenerale costante (eccetto che per processi a media nulla). Le funzioni campionedi un processo stazionario sono segnali in generale a potenza finita, e perciò ilsegnale aleatorio stesso ammetterà densità spettrale di potenza.

Ciò premesso, la definizione di funzione densità spettrale di potenza SAf)(brevemente, spettro di potenza) per un segnale aleatorio è molto simile a quellarelativa a un segnale determinato a potenza finita x(t) che richiamiamo diseguito:

(8.5.1)

Ricordiamo che XT(J) è la trasformata di Fourier del segnale x(t) troncatosull' intervallo [-T /2, T /2] e quindi ridotto a energia finita. Per un processoaleatorio, si deve pensare di eseguire le stesse operazioni su ciascuna funzionecampione, ottenendo quindi una quantità aleatoria variabile da funzionecampione a funzione campione, ovvero con il risultato dell'esperimento:

(8.5.2)

ove XT(m;f) è la trasformata di Fourier della generica funzione campione tron-cata: XAm;f)~.r[x(m;t)rect(t/T)]. Per ottenere la densità spettrale del pro-cesso, indipendente cioè dalla particolare funzione campione, bisogna aggiun-gere a questa definizione un'operazione di valor medio per compendiare l'an-damento delle particolari St(m;f) delle varie funzioni campione:

(8.5.3)

Segnali aIeatori 469

Questa definizione è una diretta estensione di quella per segnali determinati, ed èutilizzabile anche per processi non stazionari. Sfortunatamente, essa è quasisempre di difficile applicazione pratica (e comporta anche qualche problema dicarattere matematico relativamente all'inversione delle operazioni di valormedio e di limite implicita nella (8.5.3». Per i processi stazionari, si usa allorauna diversa definizione di densità spettrale di potenza. Ricordiamo infatti ilteorema di Wiener-Khintchine (si veda il Paragrafo 4.4.3), secondo il quale ladensità spettrale di potenza per segnali determinati è comunque calcolabile cometrasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione Rx{-r).Questo teorema(la cui dimostrazione è piuttosto lunga e viene omessa) vale anche nel caso diprocessi aleatori stazionari. Possiamo allora definire la funzione densità

spettrale di potenza SAf) di un processo aleatorio X(t) come la trasformata di

Fourier della sua funzione di autocorrelazione RA-r)=E{X(t)X(t - -r)}:

+00 +00

\ --) Sx(J)~ J RA-r)e-j21C/Td-r= 2JRx(-r)cos(21if-r)d-rQ..-,to ,j .~~ ;k..h", -00 o

l "" Li ""~~ Xl"',\ ignorando per brevità l'effettiva (ma più complicata) definizione (8.5.3).

Comunque venga definita, la funzione SAf) gode delle stesse proprietàelencate a suo tempo per i segnali determinati, e che qui ricapitoliamo:

. SAf) è una funzione reale e pari: ovvio dalla (8.5.3), ma anche dalla (8.5.4),visto che SAf) è la trasformata di Fourier della funzione RA-r), anch'essareale e pari.. La potenza media statistica Px del processo X(t) può essere calcolataintegrandoSAf) su tuttol'asse dellefrequenze:

(8.5.4)

+00 +00

Px = E{X2(t)} = JSAf) df = 2 JSAf) dfo

(8.5.5)

Questo è ancora ovvio dalla (8.5.3), ma anche dalla definizione alternativa:come per ogni coppia trasformata-antitrasformata, l'integrale in frequenza

della SAf) è pari al valore per -r =O della propria antitrasformata, che è

appunto il valore della potenza media statistica: RAO) = E{X2(t)}= Px.. SAf) è una funzione non negativa:

(8.5.6)

Questa proprietà discende immediatamente dalla definizione diretta (8.5.3),mentre è di dimostrazione piuttosto complessa (teorema di Bochner) nel caso

~

470 Capitolo 8

nI

I

di definizione secondo il teorema di Wiener-Khintchine. Dimostreremo que-sta proprietà nel prossimo paragrafo riconsiderando in ambito frequenziale ilfiltraggio di un processo stazionario.

8.5.2 Filtraggio di un processo aleatorio e densità spettrale di potenzaRiprendiamo dunque il sistema lineare stazionario di Figura 8.18 e cerchiamo di

mettere in relazione le caratteristiche spettrali dei processi di ingresso X(t) e diuscita Y(t), entrambi stazionari in senso lato. La densità spettrale di potenzaSy(J)di quest'ultimo è

(8.5.7)

Poiché la risposta impulsiva h(t) del sistema è un segnale reale, la sua

trasformata gode della proprietà di simmetria Hermitiana (H* (J)= H(- f)), e la(8.5.7) diventa

(8.5.8)

cioè esattamente la relazione (4.4.22) che vale anche per segnali determinati. Lospettro di potenza del processo di uscita Y(t) può essere ricavato da quello delprocesso d'ingresso note le caratteristiche di selettività in frequenza del sistema,

che sono riassunte nella risposta in ampiezza al quadrato IH(J)12.Ancora unavolta, la ri~~~ in-la!:. nel sistema non influenza il contenuto di potenza delprocesso di uscita. Osserviamo incidentalmente che la potenza media statisticaPydel processo di uscita Y(t)può esserecalcolatain ambitofrequenzialecomesegue:

-+- -+- -+-

Py = Ry(O) = f Sy(J)df = f SAf)!H(Jt df =2 f Sx(J)IH(Jt dfo

(8.5.9)

La relazione del filtraggio (8.5.8) è importante perché permette di dimostrare chei) la densità spettrale di potenza di un processo stazionario è una funzione non

negativa e ii) la funzione SAf), definita come trasformata di Fourier dellaRA 'r), descrive la distribuzione della potenza sulle varie componenti frequen-ziali nello spettro del segnale aleatorio X(t). Riprendendo il ragionamento fattoa questo proposito nel Paragrafo 4.4, filtriamo X(t) con il filtro passa-bandaideale di Figura 8.20. La funzione SAf) del segnale di ingresso è quella rappre-sentata a tratto sottile in Figura 8.21, mentre l'andamento della corrispondenteSy(J) è disegnatoa trattospesso.La potenzadel processodi uscita Y(t) si puòcalcolare come segue:


~ . ~ -J+l;f12

Py = JSy(J)df = JSAf) IH(J)12df = 2 JSAf) df-J-l;f12

(8.5.10)

H(f)

-f f

Figura 8.20 Filtro passa-banda ideale con frequenza centrale l e banda df

H(f)

-1 f

Figura 8.21 Andamento delle funzioni Sx(f) ed Sy(f)

Se si riduce progressivamente la banda passante Àf del filtro, cioè si considera

un filtro estremamente selettivo, si può approssimare Sx(J) all'interno della

banda stessa con una costante di valore pari a Sx(J).Allora la potenza delsegnale d'uscita può essere approssimata da

(8.5.11)

e quindi

sAl) ==.!.Py~.!. ÀPx(l)2Àf 2 Àf

(8.5.12)

472 Capitolo 8

Stante l'arbitrarietà di l, la funzione SA.) deve essere positiva o al limite nullaper tutti i valori della frequenza, in quanto Pyè non negativa. Notiamo, inoltre,che Y(t) è stato ottenuto da X(t) sopprimendo tutte le componenti frequenzialial di fuori di un intorno della frequenza -:tI. Dunque, come suggerisce la nota-

zione nella (4.4.12), Py= M'x(J) rappresenta il contributo alla potenza totale Pxdelle sole componenti del segnale X(t) con frequenze appartenenti all'intervallo

[l-!J.f /2, l+!J.f /2 ] (più il simmetrico sul semiasse negativo), in quanto tuttele altre componenti sono state cancellate dal filtro passa-banda. Allora il partico-

lare valore sAl) alla frequenza l rappresenta il contributo locale alla potenzatotale del segnale X(t) dovuto alle sole componenti di segnale con frequenzaappartenente a un piccolo intorno di l, rapportato all'ampiezza piccola !J.f del-fintervallo stesso. Ciò corrisponde alla classica definizione di densità di unagrandezza fisica (la potenza) rispetto a una misura di estensione (qui l'ampiezzadi una banda), e giustifica il nome con il quale si designa la funzione SAf):densità spettrale di potenza del segnale X(t).

Esempio 8.11Calcoliamo la densità spettrale di potenza del processo parametrico

X(t) = acos(27ifot+ e) (E8.11.l)

ove e E'U(O,2n").Dall'Esempio 8.5 sappiamo che il processo è stazionario insenso lato, e quindi calcoleremo la sua densità spettrale di potenza cometrasformata della relativa funzione di autocorrelazione. Sempre nell'Esempio8.5, abbiamo trovato che

a2RA-r)= -cos(2J%-r)2

per cui la densità spettrale di potenza SAf) di X(t) è (Figura 8.22):

(E8.11.2)

(E8.11.3)

La potenza del processo è quindi concentrata sulle due frequenze -:t.io. D

8.5.3 Processo di rumore bianco

Nel Paragrafo 8.3 abbiamo introdo!to la nozione di tempo di correlazione permisurare la rapidità media di variazione delle funzioni campione di un processo.


La corrispondente grandezza in ambito frequenziale è naturalmente la bandadello spettro di potenza del processo, che dà la stessa indicazione del tempo dicorrelazione. Se la funzione di autocorrelazione di un processo decresce rapida-mente, cioè il tempo di correlazione è piccolo, la densità spettrale corrispondenteha una banda grande, come illustrato nelle Figure 8.23a-8.23b, viceversa se il

tempo di correlazione è grande. Quindi, come era lecito aspettarsi, quanto mag-giore è la rapidità di variazione delle realizzazioni di un processo, tanto piùgrande è la banda del suo spettro di potenza. La Figura 8.24 mostra tre funzionicampione di tre processi aleatori X,(t), X2(t) e X3(t) con banda progressiva-mente crescente; si nota che la rapidità di variazione cresce, così come l'am-piezza delle escursioni del segnale (per effetto dell'incremento della potenza delsegnale stesso).

i/4 i/4

Figura 8.22 Spettro di potenza del processo nell'Esempio 8.11

Cosa succede se consideriamo una situazione come quella di Figura 8.23b, in cuila banda dello spettro di potenza tende a crescere illimitatamente, mantenendo lospettro sempre il medesimo valore per f =O? Evidentemente, la densitàspettrale di potenza del processo X(t) tende a diventare costante (di valore,diciamo, SAO) = ç) mentre il tempo di correlazione 'l'eortende a ridursi semprepiù. Al limite, si arriva a una situazione in cui la funzione di autocorrelazione èimpulsiva (Figura 8.25):

(8.5.13)

Un processo aleatorio stazionario (almeno) in senso lato che presenta queste ca-ratteristiche statistiche viene chiamato 8-correlato o più comunemente, nell'in-gegneria, processo di rumore bianco. L'appellativo bianco deriva dall'analogiadello spettro di potenza di questo processo con quello della luce bianca: il ru-

''l'''''

474 Capitolo 8

more bianco contiene componenti a tutte le frequenze, da -00 a -too, con lastessa intensità, così come la luce bianca "contiene tutti i colori" (si ricordil'esperimento del disco di Newton). Osserviamo inoltre che un processo bianco

ha sempre valor medio nullo essendo, per la (8.3.19), lim RN('l')= 11~= O.T-+~

9''t cor

I

't

(a)

(b)

Figura 8.23 Funzione di autocorrelazione e densità spettrale di potenza

Evidentemente, un processo bianco è solo un' astrazione matematica: lo spettrodi potenza costante (8.5.13) comporta che la potenza di questo segnale sia in-finita, condizione impossibile per un segnale fisico. È anche problematico rap-presentare la funzione campione di un processo bianco, che deve intendersicome "caso-limite" della funzione campione in Figura 8.23c, pensando di au-mentarne ulteriormente (e illimitatamente) l'ampiezza e la velocità di variazione.Nonostante ciò, il rumore bianco è usato molto frequentemente nell'ingegneriacome modello per una varietà di segnali coinv~lti in molti fenomeni fisici, cometestimonia l'esempio seguente.


2

.....

X l:aQ)c::o

"Ci oEaloQ)c::o

";;j -1c::

IL

-2o l 2 3 4 5

(a)2

.....'"

X l:aQ)c::o"Ci

oEaloQ)c::o

";;j .1c::

IL

-2o l 2 3 4 5

(b)2

I

...M

X 1:aQ)c::o"CiE oaloQ)c::o";;j -1c::

IL

-2o 1 2 3 4 5

. Tempo t (ms) (c)

Figura 8.24 Funzioni campione di processi aventi diverse bande dello spettro di potenza

476 Capitolo 8

f

Figura 8.25 Funzione di autocorrelazione e densità spettrale di potenza di un processo bianco

Esempio 8.12Un comune resistore usato nella realizzazione dei circuiti elettronici, oltre a pre-sentare una resistenza R (ohm) al passaggio della corrente, genera anche una de-bole tensione di rumore per il solo fatto di trovarsi a una temperatura TR(kelvin). Questo fenomeno fisico è dovuto alla "agitazione termica" degli elet-troni del materiale con cui il resistore è costruito. Quanto maggiore è la tempera-tura cui si trova il componente, tanto più grande è l'agitazione termica, e tantopiù grande è anche la tensione di disturbo (rumore) generata dal resistore, cheviene chiamata rumore termico. Un modello più realistico del componente è al-lora quello di Figura 8.26, in cui il resistore è ideale (cioè privo di disturbo), e ilgeneratore di tensione in serie al resistore è responsabile della produzione delrumore termico. Quest'ultimo viene a sua volta modellato come un processoaleatorio stazionario N(t) di caratteristiche opportune.

- + R

~Figura 8.26 Resistore con generatore di rumore termico

La descrizione del fenomeno del rumore termico è abbastanza complessa, ecoinvolge considerazioni di meccanica quantistica. Attraverso quest' analisi, siarriva a determinare l'espressione della densità spettrale di potenza dellatensione di rumore termico (H. Nyquist):

SN(J)=2kTRR (1(1(10) (V2/Hz), lo = kTR (Hz)exp 1 lo - 1 h . (E8.I2.l)


ove k è la costante di Boltzmann (k =1.38 .10-23 J/K) e h è la costante di Planck

(h = 6.62 .10-34 J.s). Alla temperatura ambiente (TR =290 K) la frequenza io

caratteristica dello spettro (E8.12.1) è pari circa a .io =6.05 THz, cioè .io = 6050

GHz! L'andamento normalizzato di questa densità spettrale è mostrato in Figura

8.27; si vede che per frequenze molto più piccole di io lo spettro di potenza del

rumore termico è praticamente piatto (costante) e vale

(E8.12.2)

1.25

1.00 T=290 K

IH(f)12

Frequenza (Hz)

Figura 8.27 Densità spettrale del rumore termico piatta nella banda di un filtro

JSupponiamo ora che il rumore termico si trovi all'ingresso di un qualche sistemafiltrante con banda B. Nella grande maggioranza dei casi pratici, la banda B delfiltro sarà di alcuni ordini di grandezza più piccola di .io. Questo spiega perchéil rumore bianco è un modello molto utile: come è suggerito dalla Figura 8.27stessa, per calcolare gli effetti del rumore termico sull' uscita di un qualunquesistema filtrante, l'effettiva densità di potenza (E8.12.1) del rumore termicoN(t) può tranquillamente essere sostituita da quella di un (fittizio) rumorebianco W(t):

(E8.12.3)

In entrambi i casi (reale e fittizio) il sistema "vede" la stessa densità piatta nellasua propria banda, ma, naturalmente, ogni tipo di calcolo è semplificato con

0.75O-Z

0.50:=..

zCf)

0.25

0.00

-0.25108

478 Capitolo 8

questo approccio, perché la densità di potenza del rumore bianco Sw(J)=ç èassai più semplice di quella effettiva del rumore termico SA!). O

Esempio 8.13Nel sistema illustrato nella Figura 8.28, il processo aleatorio N(t) è stazionario

in senso lato con densità spettrale di potenza SN(J)=ç (rumore bianco), e èuna variabile aleatoria indipendente da N(t) e uniformemente distribuita nell'in-tervallo [-n, 1t), e infine il filtro è un passa-banda ideale la cui risposta in fre-quenza H(J) è mostrata nella Figura 8.29. Determiniamo e rappresentiamol'andamento della densità spettrale di potenza del processo di uscita Y(t), nell'i-potesi in cui 10>> 11T.

H(f)~(t)

2cos( 2m ot+E>)

Figura 8.28 Sistema dell'Esempio 8.13

H(f)

+- 2fT -+ +- 2fT -+

f

Figura 8.29 Risposta in frequenza del filtro indicato nello schema della Figura 8.28

Cominciamo con l'osservare che il processo X(t) è stazionario in senso lato,perché risulta dal filtraggio con un SLS di un processo bianco, quindi stazionarioin senso lato. Il sistema integratore a finestra mobile ha risposta impulsiva

hu(t) =~recte-:/2) (E8.13.1)

per cui la funzione valor medio TJx(t)di X(t) è

(E8.13.2)

in quanto la funzione valor medio 17N(t)di N(t) è identicamente nulla (processo

I!


bianco). La funzione di autocorrelazione RA'r) di X(t) è data, invece, dallaseguente relazione:

Rx( 'r) = RN( 'r) Q9ho( 'r) Q9ho( -'r) = ç8( 'r) Q9 Rh ('r) = i.(I-I'rI

)rect(~ )o T T 2T

(E8.13.3)

La corrispondente densità spettrale di potenza è

(E8.13.4)

Chiamiamo ora S(t) il processo

S(t) = 2cos(27ffot + e) (E8.13.5)

in Figura 8.18. Dall'Esempio 8.5 sappiamo che questo processo è stazionario insenso lato con valor medio 1Jsnullo e funzione di autocorrelazione

Rs( 'r) = 2cos(27ffo 'r) (E8.13.6)

Calcoliamo ora la funzione valor medio di Z(t):

1Jz(t) = E{Z(t)} = E{N(t)S(t)} = 2E{ X(t)cos(27ffot+ e)} (E8.13.7)

Notiamo che la variabile aleatoria e, essendo indipendente dal pro~esso N(t), èanche indipendente da X(t). Quindi, fissato il tempo t, anche la variabile

aleatoria cos(27ffot+ e) è indipendente da X(t). In conclusione:

1Jz{t) = E{X(t) }E{S(t)} = O (E8.13.8)

La funzione di autocorrelazione Rz(t,t - 'r) è data da

Rz(t,t - 'r) = E{ Z(t)Z(t - 'r)}

= 4E{ X(t)X(t - 'r)cos(27ffot + e )cos(27ffo(t - 'r) + e)}

=4E{ X(t)X(t + 'r)}E{ cos(27ifot + e )cOS(27ffo(t - 'r) + e)}

=2Rx('r)cos(27ffo'r) = Rz('r) (E8.13.9)

dove abbiamo ancora una volta sfruttato l'indipendenza da e di tutte le variabilialeatorie estratte dal processo X(t).

Il risultato principale di questo calcolo è che il processo Z(t) è stazionario insenso lato, avendo valor medio nullo e funzione di autocorrelazione (E8.13.9)

480 Capitolo 8

che non dipende da t. La densità spettrale di potenza di Z(t) è

Sz(J)=.'T(Rz(-r)J=Sx(J- fo)+SAi+ lo)

= ç {sinc2[(J + fo)T]+sinc2[(J - J;))T]} (E8.13.1O)

Se vale la condizione io» 1/ T, le due repliche della SAi) che compaiononella Sz(J) centrate a Ifo si possono considerare in pratica "isolate", cioè noninterferenti reciprocamente: le "code" di ciascuna delle due funzioni sinc\) sismorzano completamente prima di raggiungere l'altra, come (approssima-tivamente) in Figura 8.30.

Figura 8.30 Densità spettrale di potenza Sz(f) dell'Esempio 8.13

La densità Sy(J)del processo Y(t) si ricava infine dal teorema fondamentale delfiltraggio (8.5.8):

(E8.13.11)

e la condizione lo » 1/T permette di concludere che

S,(J)=+inC'((J - J,)T)recf27; )+sinc'((J +J,)T)recf2~;)](E8.13.12)

1.25

100

II

;g: m Ifo=5rrII 1\ IIH(f)12- I-N

U) 0.75roNcQ)- 0.50oa.'5o 0.25...=Q)a.

CI) 0.00

-0.25-10 -5 o 5 10



L'andamento della densità spettrale di potenza Sy(J)è illustrato nella Figura8.31. Si nota che il filtro H(J) ha selezionato le sole componenti frequenzialirelative ai lobi principali delle funzioni sinc2( .) nello spettro di potenza di Z(t).

-0.25-10 -5 o 5 10


Figura 8.31 Densità spettrale di potenza Sy(f) dell'Esempio 8.13

o

8.6 Processi aleatori Gaussiani,

8.6.1 Definizione e prime proprietàNell'Esempio 8.12 abbiamo esaminato alcune proprietà del rumore termico. Inparticolare, ne abbiamo studiato la densità spettrale di potenza e la funzione diautocorrelazione, cioè le caratteristiche temporali e spettrali, senza specificarnele caratteristiche di distribuzione delle ampiezze. Fissiamo dunque un istante ti

ed estraiamo dal processo la variabile aleatoria X(tl)' Possiamo osservare che ilparticolare valore del rumore termico ottenuto in una prova dell'esperimento aquel dato istante è determinato da un gran numero di contributi elementariindipendenti di tensione di rumore, provocati ciascuno dai singoli elettroni inagitazione termica all'interno del resistore. Questa osservazione giustifical'applicazione del teorema-limite centrale 7.4.9 e permette di concludere che le

statistiche di X(tl) sono con ottima approssimazione Gaussiane. Ma possiamodire anche di più: con considerazioni simili, si trova che la n-upla di variabili

[X(tl),X(t2),...,X(t,,)] estratte agli istanti (tl't2,...,t,,) risulta un sistema di

1.25

;g:1.00--

>-CI) 0.75ttSNc:O>+-' 0.50oCl.::ce 0.25:t:::O>Cl.

CI) 0.00

I I

1\-

-

-

-

J \ I \

I I

l482 Capitolo 8

'II

variabili aleatorie congiuntamente Gaussiane.

Questa proprietà, verificata "sperimentalmente" da un particolare segnale ge-nerato da un altrettanto particolare fenomeno fisico, può essere generalizzata inmodo da definire un'intera classe di processi aleatori che modellano una quantitàdi fenomeni fisici anche diversi dal rumore termico: i processi Gaussiani.

Definizione Un processo aleatorio X(t) è Gaussiano se le n variabili aleatorie

[X(tl),X(tJ,...,X(t,,)] da esso estratte agli istanti (t"t2,...,t,,) risultano congiun-tamente Gaussiane comunque si scelga il valore del parametro intero n e per

qualunque n-upla di istanti (t"t2,...,t,,).

Questa definizione è piuttosto restrittiva: non basta che una variabile aleatoria

X(t.) estratta a un certo istante tI sia Gaussiana per poter dire che il processo èGaussiano. La definizione dice infatti che un vettore aleatorio riempito con unnumero qualunque (diremmo, arbitrariamente grande) di variabili estratte dalprocesso a istanti qualunque deve comunque essere un vettore aleatorioGaussiano (si veda il Paragrafo 7.4.8).

Molti segnali incontrati in altrettanti fenomeni fisici possono essere modellaticome realizzazioni di un processo Gaussiano (segnali sismici, segnali vocali emusicali, segnali radio ecc.). Questo spiega la "centralità" di questa classe diprocessi, e la necessità di studiarne le proprietà in maniera approfondita.

Cominciamo con l'osservare che un processo aleatorio Gaussiano X(t) ècompletamente caratterizzato dal punto di vista statistico quando sono note la

sua funzione valor medio 1JAt) e la sua funzione di autocorrelazione RAt.,t2)'Ricordiamo che la descrizione statistica di un processo X(t) è completa se è notala densità di probabilità di ordine n fAx"X2,...,X,,;tl,t2,...,t,,) (8.1.9), comunquegrande sia il numero intero n e comunque si scelga la n-upla di istanti

(t"t2...,t,,). Indichiamo dunque con X"...,X" le n variabili aleatorie estratte dalprocesso: XI = X(t.),X2= X(tJ,...,X" = X(t,,). Se il processo è Gaussiano, ladensità congiunta di queste n variabili è per definizione Gaussiana, cioè ha laforma (7.4.49):

fAx"X2,...,X,,;t.,t2,...,tn)= L ,.1. - exp[-~(x-T\xf c~.(x-T\x)]

(8.6.1)

ove x = (x"x2,...,x"f. Le grandezzel1xe Cx possonoessereimmediatamenteesplicitate non appena si conosca l'andamento delle funzioni 1Jx(t)e RAtpt2)'Infatti il vettore dei valori medi l1xè dato da

,I


Tlx~[E{ Xt},E{X2},...,E{Xn}r = [E{X(t,)},E{ X(t2)}" ..,E{X(tn)}r

= [l1x(t,),l1x(t2),..., l1x(tn)r (8.6.2)

e quindi (com'è ovvio) i suoi elementi sono i valori deUafunzione valor medio

del processo agli istanti (tI't2..., tn) di estrazione delle variabili aleatorie. Perquanto riguarda la matrice di covarianza Cx, il suo generico elemento C;kè datoda

C;k~E{[ Xj -l1x,][ Xk -l1x,]} = E{[ X(tj) -l1At; )][X(tk) -l1x(tk)]}

= CAt;,tk) = RAtj,tk) -l1Atj )l1Atk) (8.6.3)

ove CA.,.) è la funzione di autocovarianza di X(t). La matrice di covarianza èquindi nota non appena è nota la funzione di autocovarianza del processo o,equivalentemente, la funzione di autocorrelazione e la funzione valor medio. Dalvettore dei valori medi e dalla matrice di covarianza si ricava poi la densità diprobabilità del processo come nella (8.6.1) per qualunque valore di n e di

(tI,t2...,tn): la caratterizzazione del processo è completa.La particolare forma della densità Gaussiana comporta un'ulteriore proprietà

dei processi Gaussiani: se un processo Gaus~a~x.u) è stazionario in s~nsolato, allora è anche stazionario in senso stretto. Se infatti il processo è';i~zfon;:ro ìn senso lato, la funzion~~lo; ~dio è costante (l1At)=l1x) e lafunzione di autocovarianza dipende solo. dalla differenza dei due istanti

considerati (CAtl' t2)= CAtt - t2). In tal caso, il vettore dei valori medi 11x(8.6.2) è

(8.6.5)

e la matrice di covarianza Cx diventa

e quindi

CAtl't,) CAtl't2) ... CAtl'tn)

Cx I CA"t,) CA, ,t,) ... CA, ,t") I

(8.6.4),.

CX(tll,tt) CAtll,t2) ... CAtn,tn)

484 Capitolo 8

Cx(O)

CAt2-ti)CAtl -t2) ... CAtl -t,,)

CAO) ... CAt2-t,,)(8.6.6)

Consideriamo, adesso, la n-upla di istanti (ti + &,t2 + /).t,...,t"+ /).t) ottenuta pertraslazione rigida dalla n-upla originaria, e ricalcoliamo la densità congiunta delprocesso per questi nuovi istanti. Ciò equivale a ricalcolare il vettore dei valorimedi e la matrice di covarianza, perché la densità dipende soltanto da questegrandezze. Il vettore l1x(8.6.5) non dipende dal tempo e resta quindi invariato.La nuova matrice di covarianza è

CAtl +/).t-(t2 +&)) ... CX(tl +/).t...;(t" +/).t))

CAO) ... CX(t2 +&-(t" +/).t))

I:CAO)

CX(t2 - ti)(8.6.7)=

Poiché il vettore dei valori medi e la matrice di covarianza non sono cambiate a

causa della traslazione temporale, concludiamo che anche la funzione densità èinvariata:

(8.6.8)

comunque si scelga la traslazione /).t. Quindi il processo Gaussiano e stazionarioin senso lato X(t) è anche stazionario in senso stretto.

8.6.2 Filtraggio dei processi GaussianiCome abbiamo visto nel Paragrafo 8.4, il problema del filtraggio di un processoaleatorio non è completamente risolubile, nel senso che è in generale impossibile

ottenere la descrizione completa del processo d'uscita Y(t) nota quella delprocesso d'ingresso X(t). Supponiamo però che X(t) sia Gaussiano: all'uscitadel filtro (SLS) avente risposta impulsiva h(t) avremo il processo


-+=

Y(t) =X(t)0h(t) = fX(a)h(t-a)da (8.6.9)

ove la convoluzione è da intendersi come precisato nel Paragrafo 8.4. Questointegrale di convoluzione può essere approssimato con una sommatoria:

-+= -+=

Y(t) = fX(a)h(t-a)da== LX(kL\a)h(t-kL\a)L\ak=-

(8.6.10)

e l'approssimazione è tanto più accurata quanto più piccolo è il periodo dicampionamento L\a del nostro segnale. Fissiamo adesso la consueta n-upla di

istanti (tl't2,...,t,,) e consideriamo le n variabile aleatorie estratte dal processo diuscita a questi istanti:

-+=

Y(tl)==LX(kL\a)h(tl -kL\a)L\ak=--+=

Y(t2)==LX(kL\a)h(t2 -kL\a)L\a (8.6.11)

-+=

Y(t,,)==LX(kL\a)h(t" -kL\a)L\a

Nota la risposta impulsiva del sistema, le varie quantità h(t; - k L\a)L\a con i e kvariabili sono dei coefficienti de te rminati: ajk = h(tj - k L\a )L\a, e quindi la(8.6.11) diventa:

-+=

Y(tl)== LalkX(kL\a)k=-oo

-+=

Y(t2) ==La2kX(kL\a)k=-

=> Y = AX (8.6.12)

-+=

Y(t,,) == La"kX(kL\a)k=-

dove A = {a;k}' Y = [Y( ti ),Y( t2),. . ., Y(t" )r è il vettore delle variabili estratte dal

processo d'uscita e X = [.. .,X((k -1)L\a), X(k L\a),X((k + 1)L\a),..r contienevariabili aleatorie estratte dal processo d'ingresso. Dalla definizione di processoGaussiano, sappiamo che X è un vettore Gaussiano; vediamo inoltre che la(8.6.12) è una trasformazione lineare tra vettori aleatorioLa conclusione è cheanche Y è un vettore Gaussiano qualunque sia la scelta di n e degli istanti

486 Capitolo 8 l(t"t2,...,t,,): il processo Y(t) è esso stesso Gaussiano.

I processi Gaussiani sono l'eccezione che conferma la regola, nel senso cheper questi è possibile dare una descrizione statistica completa del processo all'u-scita di un SLS, quando siano note le caratteristiche del processo d'ingresso. Laproprietà di "conservazione della Gaussianità" che abbiamo dimostrato per unsistema lineare stazionario è valida anche per sistemi lineari ma non stazionari.Come è chiaro, se il processo (Gaussiano) d'ingresso a un SLS è stazionario insenso lato (e quindi anche in senso stretto), allora il processo di uscita è an-ch' esso stazionario. Se il sistema lineare non è stazionario, il processo di uscita èancora Gaussiano ma in generale perde la proprietà di stazionarietà.

Esempio 8.14 (Processo di Ornstein-Uhlenbeck)Calcoliamo la funzione di autocorrelazione, lo spettro di potenza e la densità diprobabilità del primo ordine fy(y;t) del processo Y(t) in uscita alla squadra R-Cdi Figura 8.32 (a =RC) quando il segnale d'ingresso è un processo Gaussiano

bianco X(t) con densità spettrale di potenza SAf) = No /2.

Figura 8.32 Processo Gaussiano bianco in ingresso alla squadra R-C

Dalla definizione generale di processo bianco, sappiamo che X(t) è stazionarioin senso lato e ha valor medio nullo. Essendo anche Gaussiano, è pure staziona-rio in senso stretto. Poiché il sistema è lineare, il processo di uscita sarà a suavolta Gaussiano e anche stazionario, visto che il sistema è anche stazionario.Calcoliamo allora la funzione valor medio e la funzione di autocorrelazione di

Y(t). Si trova facilmente che Y(t) ha media nulla:

T]y = TJxH(O) =O

Lo spettrodi potenzadi Y(t) si calcolaquasialtrettantofacilmente:

(E8.l4.l)

(E8.14.2)


così come la funzione di autocorrelazione:

(E8.14.3)

NoI2

~.....

'>cn

o

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

Frequenza normalizzata, fa.2.0 2.5 3.0

(a)

o

-5 -4 -2 -1 o 1 2Ritardo normalizzato, 't/a.

3 4 5

(b)

Figura 8.33 Densità spettrale di potenza (a) e funzione di autocorrelazione (b) del processo diOrnstein-Uhlenbeck di Figura 8.32

La densità di potenza di Y(t) (rappresentata in Figura 8.33a) viene comune-mente detta Lorentziana. Inoltre, un processo Gaussiano con la futzione di auto-correlazione (E8.14.3) (visibile in Figura 8.33b) è chiamato processo diOmstein- Uhlenbeck.

488 Capitolo 8

È facile trovare la potenza del segnale di uscita:

Py= Ry(O)=No =nNo' B_34a 2

che ovviamente cresce al crescere della banda a -3 dB (B-3) della squadra R-Cusata come filtro passa-basso. Siccome Y(t) ha media nulla, la potenza delprocesso uguaglia la sua varianza: CJ'; =Py =n No . B_3/2. La densità del primo

ordine di Y(t) non dipende dal tempo perché il processo, in quanto Gaussiano estazionario in senso lato, è stazionario in senso stretto. In conclusione:

(E8.14.4)

(E8.14.5)

o

Esempio 8.15

Consideriamo lo schema della Figura 8.34, nel quale il processo N(t) èGaussiano stazionario e ha densità spettrale di potenza

(E8.15.1)

N(t) X(t) X k-Y-t k

ddt (.)


Campionando il processo X(t) agli istanti tk =k/ B, con k = 1,2,...,n si ottieneun insieme di n variabili aleatorie Xk =X(tk)' con k = 1,2,...,n. Determiniamola densità di probabilità congiunta fX(XpX2,..,XN) di tali variabili aleatorie.


Cominciamo calcolando la funzione di trasferimento H(s) del SLS di Figura8.43. Sfruttando l'analogia di questo schema con la realizzazione canonica di unsistema a tempo discreto (Figura 6.36), si trova immediatamente

H(s) =l-sal+sa

Quindi la risposta in frequenza H(J) del sistema è

(E8.15.2)

H(J) =1- j21ifa1+ j21ifa

(E8.15.3)

Il processo d'ingresso N(t) è per ipotesi stazionario. Antitrasformando la fun-zione densità spettrale di potenza se ne ricava la funzione di autocorrelazione:~.

(E8.15.4)

Il valor medio di N(t) è nullo perché limRN('Z')=O. Inoltre, il processo X(t) è,->~anch'esso Gaussiano e stazionario perché è l'uscita di un SLS con un processoGaussiano stazionario in ingresso. Il valor medio di X(t) è nullo, e la sua densitàspettrale di potenza è data da

(E8.15.5)

Questo risultato si spiega osservando che la risposta in ampiezza del filtro dato èovunque pari a 1 (filtro passa-tutto)! I processi di uscita e di ingresso sono sta-tisticamente equivalenti: essi hanno stesso valor medio e funzione di autocorre-

lazione; essendo entrambi Gaussiani, questo comporta che hanno le stesse stati-

stiche di qualunque ordine. Le variabili aleatorie (XI'X2,...,Xn) sono estratte daun processo Gaussiano e sono quindi un sistema di n variabili congiuntamente

Gaussiane. Per determinare la densità di probabilità congiunta !X(X"X2,,,,XN)occorre determinarne il vettore dei valori medi llx e la matric' di covarianzaCX' Le componenti del vettore llx sono tutte nulle poiché X(t) è un processoavalor medio nullo. L'elemento generico della matrice Cx è dato da

cx;x, = E{(Xj -1]x,)( Xk -1]x,)} = E{Xj Xk} = E{X(tj)X(tk)} = Rx(tj - tk)

= Rx( i~ k )= No B sinc2(i - k) = No B 8[i - k]'. (E8.15.6)

La matrice è allora diagonale perché le variabili sono a due a due incorrelate.

490 Capitolo 8

Essendo congiuntamente Gaussiane, esse sono anche indipendenti. Inoltre, tutte

le variabili (a valor medio nullo) hanno stessa varianza a~=NoB. La densità diprobabilità congiunta fX(XI'X2,..,XN)è allora semplificabile come segue:

n

fX(XI,X2,,,,XN)= lIfAx;);=1

(E8.15.7)

ove fAx), la densità di probabilità di ciascuna delle variabili (XO,X1,.."Xn-I)' èdata da

(E8.15.8)

In conclusione,

(E8.15.9)

D

Esempio 8.16

Consideriamo un processo Gaussiano X(t) caratterizzato dalla funzione valor

medio 17x(t)=O e dalla funzione di autocorrelazione

(E8.16.1)

Applichiamo questo processo, che risulta evidentemente non stazionario, alsistema lineare stazionario della Figura 8.35 (con a = LI R) e determiniamo la

densità di probabilità del primo ordine fy(y;t) del processo di uscita Y(t).

L

iX(t)

I

Ri

Y(t)

I


Il processo Y(t) è Gaussiano essendo generato da un sistema lineare avente in


ingresso un processo X(t) Gaussiano. La densità di probabilità fy(y;t) è quindidel tipo

1 [Y-I),(1)]2

fy(y;t) = -J2ii () e- ZO}(I)21r(j y t

ove 1]y(t) e (j~(t) sono rispettivamente le funzioni valor medio e varianza diY(t). Ricordiamo che per un processo non stazionario la funzione (j~(t) è pari a

(E8.16.2)

(E8.16.3)

La funzione 1]y(t) si può ricavare dalla relazione (8.4.6):

(E8.16.4)

ove h(t), la risposta impulsiva del SLS, nel nostro caso è

h(t)= ~exp( - ~)u(t)(E8.16.5)

Poiché per ipotesi 1]At) = O, anche la funzione 1]y(t)è identicamente nulla. Per

determinare la funzione (j~(t) calcoliamo poi la funzione Ry(t"tz) attraverso la(8.4.10):

(E8.16.6)

Sostituendo, si ricava

Svolgendo per prima l'operazione di convoluzione rispetto alla variabile tI (econsiderando tz come una costante) si ha:

Ry(tl'tz)=No[h(tl-tz)+h(tl +tz)]@h(tz) (E8.16.7)

Scrivendo in modo esplicito la convoluzione rispetto alla variabile ~z, si ottiene:

+00

Ry(tl,tz) = No f[h(tl - y) + h(tl + y)] h(tz - y)dy (E8.16.8)

dalla quale si ricava infine:

492 Capitolo 8

+00

a:(t) =Ry(t,t) =Nof[h(t - y)+ h(t + y)] h(t - y)dy+00

=No J[h(p)+ h(2t - P)] h(p)dp-N+oo

(213

)N+oo

( 2t 13+13

)=a~ Lexp -C; u(p)dP+ a~ Lexp - a u(p)u(2t-p)dpN +00

(213

)N

(2t

)2/

=a~ [exp -C; dp+ )exp -a- [ldp.U(t)No 2No (

2t

) ( )=-+-texp -- u t2a a2 a (E8.16.9)

La varianza non è costante perché il processo Y(t) non è stazionario. D

Esempio 8.17

Troviamo la funzione densità di probabilità fz(z) della variabile aleatoria Z inFigura 8.36, nell'ipotesi in cui il processo N(t) sia Gaussiano bianco con densitàspettrale di potenza SN(J)=2T.

XI

~II

I Z

~ VI

J

N(t)t

2~ f () dat-2T

W(t)

t=o


Dallo schema della figura, si vede che la variabile aleatoria Z risulta espressadalla relazione

.

J

Z = X + Y =2W(O)+ W(-T) (E8.17.1)

Il processo W(t) è Gaussiano e stazionario perché è la risposta di un SLS a unprocesso Gaussiano stazionario. Il valor medio di N(t) è nullo (processobianco), e quindi sarà identicamente nulla anche la funzione valor medio diW(t). Osserviamo che quest'ultimo viene generato da un integratore a finestra

mobile la cui risposta impulsiva è

l

(t - T

)h(t)=-rect -2T 2T (E8.17.2)

La funzione di autocorrelazione Rw(r) di W(t) è allora data da (si veda anche la(E8.14.3)):

Rw(r)=RN('X')<29h('X')<29h(-'X')=(I- ~i}ec{4~)(E8.17.3)

Osserviamo poi che le variabili aleatorie W(O) e W(-T), essendo estratte da unprocesso Gaussiano W(t), sono congiuntamente Gaussiane e, quindi, lavariabile aleatoria Z è Gaussiana perché è una combinazione lineare di variabilicongiuntamente Gaussiane. Il valor medio 1]z di Z è pari a

1]z =E{Z} =2E{W(O)} + E{W(-T)} =21]w(O) +1]w(-T) =O (E8.17.4)

mentre la sua varianza (j~ è

()~ = E{(Z _1]Z)2} = E{Z2} = E{[2 W(O)+ W(-T)t}

= 4E{W(Ol} + E{ W(-T)2} + 4E{W(O)W(-T)}

=4Rw(O)+ Rw(O)+.4Rw(T) =4+ l + 4 .1/2 =7 (E8.17.5)

In conclusione, la densità di probabilità 1z(z) della variabile aleatoria Z è

(£8.17.6)

D

8.7 Processi ergodici

8.7.1 Ergodicità del valore medioAbbiamo intenzionalmente ritardato fino a questo paragrafo la discU8sionedi unaspetto molto importante sia dal punto di vista concettuale sia da quello pratico.Come sappiamo, anche nella definizione delle grandezze statistiche semplificate(funzione valor medio, funzione di autocorrelazione) di un processo aleatorio èsempre prevista un'operazione di valor medio relativamente a tutte le possibilifunzioni campione del processo. Abbiamo chiamato quest' operazione valor me-dio statistico, o, in alternativa, valor medio sull'insieme (sottinteso: delle fun-

494 Capitolo 8

,I

zioni campione). Dal punto di vista teorico, quest'operazione non comporta al-cuna difficoltà, supponendo beninteso di conoscere le opportune funzioni densitàdi probabilità del processo che consentono di effettuare le operazioni di mediapreviste (densità del primo ordine per la funzione valor medio, del secondo or-dine per la funzione di autocorrelazione ecc.). In pratica, le funzioni densità diun processo non sono generalmente note, e in molti casi esse non sono neanchericavabili con ragionevole accuratezza attraverso delle misure. Per fare misurestatistiche significative su di un processo dovremmo infatti osservare un numerosignificativo di funzioni campione rispetto a tutte quelle possibili. Molto spesso,di un dato processo viene invece osservata solo una realizzazione, quella cioèche si è verificata in una certa prova dell'esperimento. Sorge allora spontanea la

domanda: è possibile riuscire a effettuare misure su questa particolare realizza-zione e in qualche modo ricavare il comportamento statistico generale del pro-cesso? La risposta a questa domanda ruota attorno alla nozione di ergodicità di

un processo, che dobbiamo discutere in un certo dettaglio2.Supponiamo di sapere con certezza che il processo X(t) sotto osservazione è

stazionario in media, e poniamoci il problema di stimarne il valor medio 17x(costante). Ciò che si ha a disposizione in una prova dell'esperimento è una certarealizzazione del processo x(t;ro) corrispondente al particolare risultato co

dell'esperimento stesso. Di questa certa realizzazione che, una volta osservata, èun segnale determinato, possiamo certamente calcolare il valor medio temporale(1.3.7a)

, , 1 T/2

xm(CO)! lim - fx(ro;t)dtT""'~T

-T/2

(8.7.1)

'I

e possiamo chiederci poi quale sia la relazione di questa quantità con il valormediostatistico(o sull'insieme)17x' Due questionisi pongonoda questopuntodi vista: i) in generale, il valor medio temporale dipende dalla particolare

Il

2 La parola ergodico (dal greco ergodes, laborioso) appare per la prima volta in meccanica

statistica con un'accezione molto simile a quella usata qui. In meccanica statistica, infatti, le

proprietà macroscopiche di un insieme di particelle microscopiche (ad esempio, la pressione di

un gas) vengono ricavate attraverso una media del comportamento sull'insieme delle particelle.

La proprietà di ergodicità del sistema dice però che le stesse proprietà macroscopiche possono

essere anche ricavate seguendo l'evoluzione temporale di una singola particella che è tipica del

comportamento globale dell'insieme.

-


funzione campione e quindi dal particolare risultato dell'esperimento, comesuggerisce la notazione nella (8.7.1). Non è detto quindi che, osservando piùvolte il processo, si ottenga sempre uno stesso valor medio temporale dalle varierealizzazioni; ii) anche se il valore è sempre lo stesso, non è detto che questocoincida con il valor medio statistico 1Jx.

Alcuni processi sono invece tali che i) tutte le funzioni campione hanno lostesso valor medio temporale, e ii) quest'ultimo coincide col valor medio stati-stico 1Jx:sono i processi ergodici in media. Per quanto riguarda il valor medio,ogni funzione campione di un processo ergodico in media "si comporta" come ilprocesso nella sua globalità: il valor medio temporale (di ogni funzionecampione) è uguale al valor medio statistico, come rappresentato sinteticamentenella Figura 8.37. Per il processo ergodico, una grandezza statistica può esseredunque ricavata attraverso una media temporale su una qualunque realizzazionedel processo stesso. È chiaro che un processo non stazionario in media non puòessere ergodico. Infatti, se il valor medio statistico non è costante, non ha sensoporsi il problema dell'uguaglianza tra questo e un valor medio temporale che èun singolo valore per definizione.

Sotto quali condizioni un processo è ergodico in media? Per rispondere aquesta domanda, osserviamo che in generale il valor medio temporale dellefunzioni campione è una quantità numerica che dipende dal risultatodell'esperimento: in sintesi, è una variabile aleatoria. Con la notazione piùappropriata, la (8.7.1) diventa

l T/2XIII~lim- JX(t)dt

T -->~ T-T/2

(8.7.2)

ove abbiamo omesso, come di consueto, la dipendenza dal risultato dell'esperi- '"mento. Le due condizioni sotto cui il processo è ergodico si possono dunqueriassumere dicendo che il valore atteso di questa variabile aleatoria deve essereuguale al valor medio del processo 1Jx'e la varianza della stessa variabile deveessere nulla, dimodoché tutte le funzioni campione presentano sempre (cioè conprobabilità 1) un valor medio temporale pari a 1Jxstesso!

In pratica, non potremo osservare il processo (o una sua funzione campione)su di un intervallo illimitato. Cominciamo allora a considerare la variabilealeatoria

l T/2XT ~- J X(t)dt

T -T/2

(8.7.3)

...

,I

496 Capitolo 8

ottenuta mediando le funzioni campione sull'intervallo limitato [-T/2,-T/2].Evidentemente,

.,

Il,I

!,

,.

17 - lim 17XIII - T XT~

. 2= hmCJXTT ~

(8.7.4)

MEDIE TEMPORALI

-

Valorimeditemporali

o. 2.0

Tempo (5)

4.0 5.0

. . . . . . . . ,. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .'''''''''' ,...... . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. , . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .h "''''''''''''_un..","'". . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .o. 2.0 3.0 4.0 5.0l.

Tempo (5)

Figura 8.37 Rappresentazione sintetica dell'ergodicità del valor medio

La (8.7.3) suggerisce anche un modo per ottenere in pratica le medie temporalirichieste. Il valore XT si può interpretare infatti come l'uscita di un integratore afinestra mobile su di un intervallo temporale di ampiezza T, valutata a un certo


istante, come suggerisce la Figura 8.38. In figura è anche rappresentata larisposta impulsiva di questo filtro:

h(t) = ~rec{t-; /2)(8.7.5)

i=h(t)

1fT

T t

t=T/2

Y(t) /..~X(t)

Figura 8.38 Variabile aleatoria valor medio temporale delle funzioni campione di un processo

L'integratore a finestra mobile con un intervallo di osservazione molto ampio(ricordiamo che in teoria T ~ 00) è un filtro passa-basso a banda molto stretta.

La risposta in ampiezza di tale filtro è infatti H(f) =Isinc(jT)1il cui lobo princi-pale si estende da -1/ 2T a 1/ 2T. La media temporale di una realizzazione delprocesso si può dunque eseguire valutando l'uscita di un filtro passa-basso abanda stretta a un opportuno istante (in pratica, dopo che i fenomeni transitori inuscita al filtro si sono estinti).

Torniamo dunque al sistema di Figura 8.38. Poiché il processo di ingresso èstazionario in senso lato, il valor medio dell'uscita di tale filtro è costante (il

processo Y(t) è ancora stazionario) e vale:

(8.7.6)

e quindi

17x = lim 1Jx =1JxIl/ T +oo T

(8.7.7)

Questo risultato non dipende da alcuna particolare ipotesi sul processo X(t), equindi la prima condizione per l'ergodicità è automaticamente verificata per fogni processo stazionario (in senso lato). Dobbiamo però calcolare la varianza

(j~T' A questo proposito, torna ancora utile la Figura 8.38. Sapendo che Y(t) èstazionario, si può infatti scrivere che

(8.7.8)

dove Cy(r) è la funzione di autocovarianza del processo (stazionario) Y(t).

498 Capitolo 8

l

j

D'altronde:

Cy(O)=Cx(T)Q9 h(t)Q9 h(-T)lr=o = Cx(T) <8>~( l-li)rec{2TT 1=0

= l CAa)~(I-IT;al}ec{T;:)da'r=o(8.7.9)

per cui si conclude che

(8.7.10)

La condizione di ergodicità del valor medio è presto trovata: la varianza 0';. diXmdeve essere nulla e quindi deve valere:

(8.7.11)

L'ergodicità del valor medio, che è una statistica di ordine l del processo, èsubordinata al verificarsi di una condizione su di una statistica di ordine 2, cioè

di ordine superiore.

8.7.2 Ergodicità della funzione di autocorrelazione -Ergodicità in sensostretto

Quando si affrontano questioni di ergodicità dei processi aleatori, è utile definire

un operatore valor medio temporale (.) che si può applicare a un qualunquesegnale determinato x(t):

l T/2(x(t))~ lim - f x(t)dt = Xm

T-+-T -T/2(8.7.12)

La proprietà di ergodicità del valor medio vista nel paragrafo precedente si puòallora esprimere in modo sintetico come segue:

E{X(t)} = (x(co;t)) (8.7.13a)

dove x(t; co)è la generica funzione campione del processo X(t). Con notazioneimpropria, si può riassumere la proprietà di ergodicità del valor medio

E{X(t)} = (X(t)) (8.7.13b)

intendendo in realtà la (8.7.13a). Spesso, la proprietà di ergodicità viene


riassunta nell'uguaglianza (un po' semplicistica) "valor medio statistico=valormedio temporale".

L'operatore valor medio temporale torna utile anche per esprimere la fun-zione di autocorrelazione di un segnale determinato a potenza finita (4.4.31):

1 T/2

R) T) = (x(t)x(t - T))~ lim - f x(t)x(t - T)dtT~~T

-T/2

(8.7.14)

È abbastanza chiaro allora come estendere la proprietà di ergodicità anche allafunzione di autocorrelazione. Un processo si dice ergodico in autocorrelazionese, indipendentemente dalla particolare funzione campione, risulta:

1 T/2Rx( T)~E{X(t)X(t - T)} = (x(ro;t)x(ro;t - T)) = lim - fx(ro;t)x(ro;t - T)dt

T~~T-T/2

(8.7.15)

cioè se la funzione di autocorrelazione statistica del processo è uguale alla fun-zione di autocorrelazione temporale di una qualunque realizzazione. È chiaroche un processo non stazionario in senso lato non può essere ergodico in auto-correlazione in quanto la funzione di autocorrelazione calcolata come mediatemporale dipende soltanto dalla variabile 'C e non da t, e non può quindi ugua-gliare la funzione di autocorrelazione statistica di un processo non stazionario.

L'ergodicità in autocorrelazione è importante perché se è possibile ricavarel'autocorrelazione del processo da una singola funzione campione, allora daquesta è anche possibile ricavare (con semplice trasformata di Fourier) la densitàspettrale del processo stesso. In questo caso, il processo può essere analizzatocon le medesime tecniche (di tipo temporale e non statistico) usate per l'analisidei segnali determinati. Le condizioni per l'ergodicità in autocorrelazione (su cuinon insisteremo per semplicità) coinvolgono grandezze statistiche del quartoordine del processo, e sono di difficile verifica, salvo casi particolari (i processi

Gaussiani). fUn processo ergodico in valor medio e funzione di autocorrelazione si dice

ergodico in senso lato. Se però la proprietà di ergodicità vale per una qualunquegrandezza statistica estratta dal processo, allora il processo è ergodico in sensostretto e gode della proprietà seguente:

E{g[X(t),X(t - TI ),. ..,X(t - Tn-I)]} = (g[x(ro;t),x(ro;t - TI),. ..,x(ro;t - Tn-I)])

(8.7.16)

~

500 Capitolo 8

dove g[.]è una qualunque funzione reale di n variabili e dove evidentemente ilvalor medio temporale non dipende da 01. Si noti che nell'enunciare questaproprietà è stata implicitamente assunta la stazionarietà in senso stretto delprocesso.

Esempio 8.18

Discutiamo l'ergodicità in valor medio del processo parametrico

X(t) =A (E8.l8.l)

dove A è una variabile aleatoria con densità di probabilità fA (a) assegnata. Il

problema è ben posto, perché il processo è stazionario in media:

E{X(t)} = E{A} = 17A (E8.l8.2)

Nell'Esempio 8.4 abbiamo perfino dimostrato la stazionarietà in senso stretto diquesto processo.

Le funzioni campione di X(t), rappresentate in Figura 8.10, sono dellecostanti. Consideriamo una qualunque di queste funzioni: quella, ad esempio,corrispondente al valore a della variabile A:

x(t;01)=a (E8.l8.3)

Il valor medio temporale di questa funzione campione è chiaramente a, che ingenerale è diverso dal valor medio statistico 17Adi X(t): il processo non èergodico in media. Il lettore può dimostrare facilmente che la condizione(8.7.11) per l' ergodicità in media non è verificata. D

Esempio 8.19Dimostriamo che il processo aleatorio

X(t) =acos(27ifot+ e) (E8.l9.1)

ove a ed io sono noti e e Eu(O,2Jl') è ergodico in senso lato. Nell'Esempio8.5 abbiamo già dimostrato che il processo è stazionario in senso lato, e quindi ilproblema è ben posto. Nello stesso esempio, abbiamo trovato

(E8.l9.2)

...


Calcoliamo ora le corrispondenti medie temporali:

1 TI2 1 To/2

(x(co;t)) = lim - f acos(21ifot + E>)dt =- f a cos(21ifot + E>)dtT""'~T L-T12 o -To/2

(E8.19.3)

Sappiamo infatti che la media temporale per un segnale periodico (come tutte lefunzioni campione del processo) può essere valutata su un singolo periodoanziché su tutto l'asse temporale. Proseguendo il calcolo si trova

()I

TO/2

(x(co;t)) =~ acos ~1ifot+ E> =O1'0 1ifo -To12

indipendentemente dal valore di E>,e cioè dalla particolare funzione campione,Il processo è quindi ergodico in media.

Per la funzione di autocorrelazione si ha poi:

(E8.19.4)

1 To 12

(x(co;t)x(co;t - -r)) = 1: f acos(21ifot + E>)acos(21ifo(t - -r)+ E>)dto -To12

2 To/2 2 To/2

= ~ f cos(27ifo-r)dt+ ~ f cos(21ifo(2t- -r)+2E»dt21'0 -To12 21'0 -To12

a2= -coS(21ifo-r) = RA-r)2 (E8.19.5)

Il processo è anche ergodico in autocorrelazione e quindi ergodico in senso lato.O

Sommario

In questo capitolo abbiamo introdotto e discusso i principali concetti necessariallo studio dei segnali aleatorioUn processo aleatorio X(t) (cioè la modellizza-zione matematica di un segnale non noto a priori) è una corrispondenza che as-socia a ogni risultato di un esperimento aleatorio una funzione campione sele-zionata in una certa famiglia. Se si fissa un istante temporale, i vari valori che le ffunzioni campione possono assumere definiscono una variabile aleatoria. La ca-ratterizzazione del processo è allora completa quando è nota la densità di pro-babilità di ordine n del processo, con n qualunque, cioè la densità congiunta

delle n variabili aleatorie X(t(), X(t2)'" " X(tll) estratte dal processo a istanti(tI' t2...,t,,) arbitrari. Poiché la caratterizzazione completa è assi complicata, ci siaccontenta spesso dei parametri statistici semplificati: la funzione valor medio

502 Capitolo 8

I J

1JAt)!E{X(t)} e la funzione di autocorrelazione (oppure quella di autocova-

rianza) RAtl ,t2)!E{ X(t, )X(t2)} (CAtl,t2)!E{[ X(t,) -1JAtl )][X(t2) -1JAt2)]}).Una proprietà importante dei processi aleatori è la stazionarietà. Un processo

è stazionario in senso stretto se tutte le sue grandezze statistiche non varianocambiando l'origine del riferimento temporale (sono cioè invarianti alle trasla-zioni temporali). Questo avviene se e solo se la stessa proprietà di invarianzatemporale è posseduta dalla densità di probabilità del processo di qualunque

ordine: fAxl,X2,...,XIl;tl + I::.t,t2+ I::.t,...,t"+ I::.t)= fAXI'X2,...,X,,;tl't2,...,tll) perogni traslazione I::.t.Un tipo di stazionarietà di più semplice verifica è quella insenso lato, che richiede l'invarianza temporale delle sole funzioni valor medio e

autocorrelazione: 1JAt)=1Jxe RX(tl,t2)= Rx(t,- t2). Indicandodiversamentegli istanti tI e t2, quest'ultima proprietà si riscrive: RAt,t - -r)= Rx( -r), ove -r è

la distanza temporale tra tI e t2. La funzione di autocorrelazione di un processostazionario gode delle stesse proprietà presentate dalla funzione di autocorrela-zione per i segnali determinati già introdotta nel Capitolo 4.

Quando un processo aleatorio X(t) viene filtrato con un SLS avente rispostain frequenza H(J) e risposta impulsiva h(t), non è in generale possibile ricavare

la descrizione completa dell'uscita Y(t) a partire da quella dell'ingresso. È pe~òsemplice mettere in -relazione le statistiche semplificate dei due processi. Nelcaso di processo X(t) stazionario (almeno in senso lato) si ha: 1Jy =1JxH(O)e

Ry(-r) = RA -r)@h(-r)@h(--r).Si definisce poi la densità spettrale di potenza di un processo X(t) staziona-

rio in senso lato come trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione

Rx(-r). Questo implica che lo spettro di potenza di un processo viene modificatodal filtraggio esattamente come lo spettro di potenza di un segnale determinato

(Sy(J)= SAf)IH(Jt) e che ne condivide le stesse proprietà. In particolare, unprocesso aleatorio stazionario si dice bianco quando possiede una densità spet-trale di potenza costante per tutte le frequenze.

Molti fenomeni naturali possono essere modellati come processi Gaussiani.Un processo aleatorio X(t) è Gaussiano se n variabili aleatorie da esso estratte

agli istanti (tl,t2,...,t,,) risultano congiuntamente Gaussiane comunque si scelgail valore del parametro intero n e per qualunque n-upla di istanti (tl't2,...,t,,).Questa definizione comporta che il processo è completamente descritto dallesole funzioni valor medio e autocorrelazione, che è stazionario in senso stretto se

lo è in senso lato, e che resta Gaussiano quando viene elaborato con un sistemalineare (non necessariamente stazionario).

La possibilità di ricavare grandezze statistiche di un processo a partire dal-

'(

i

, I

,I

l,I

.Io__:-


l'osservazione di una sola realiZzazione è infine garantita dalla proprietà di er-godicità: un processo è ergodico se le grandezze medie statistiche (ad esempiolafunzione di autocorrelazione) possono essere ricavate come valor mediotemporale della corrispondente grandezza, valutato su una qualunque funzionecampione del processo stesso. Ciò significa che ogni realizzazione è tipicadell'andamento globale del processo, e che non è necessario osservare tutte lefunzioni campione del processo per ricavare l'andamento delle varie grandezzestatistiche.

Esercizi proposti

8.1 La Figura 8.39 mostra il grafico delle cinque funzioni campione che

compongono un processo aleatorio X(t). Tenendo conto che questefunzioni sono associate ai cinque risultati di un esperimento simmetrico

(cioè t~tte le funzioni sono equiprobabili), dire qual è il particolare valoredella funzione distribuzione del secondo ordine FAO,3;2,O).

8.2 È assegnato un processo aleatorio X(t) stazionario in senso stretto.Spiegare perché, in generale, il processo Y(t) = X(t)u(t) non può esserestazionario.

-4o 2 3 4 5

Tempo, t

Figura 8.39

8.3 È dato il processo aleatorio

X(t) =XI cos(21t.fot) - X2 sin(21tfot)

ove XI e X2 sono due variabili aleatorie indipendenti Gaussiane a valor

.81

504 Capitolo 8

medio nullo e varianza (j~ = (j~ =4. Questo processo è l'ingresso dei, 2

due SLS di Figura 8.40 aventi le risposte in frequenza indicate. Ricavare ladensità di probabilità del primo ordine fy(y;t) del processo Y(t) nei duecasi.

X(t)H (f)

-4.Y(t)

X(t) Y(t)

Figura8.40

8.4 Calcolare e rappresentare la densità spettrale di potenza del processoaleatorio segnale dati binario stazionario dell'Esempio 8.9.

8.5 Premessa: Data una coppia di processi aleatori Y(t) e Z(t) si definisce la

funzione di correlazione mutua Ryz(t,t - -r)=E{Y(t)Z(t - -r)}. I processiY(t) e Z(t) si dicono congiuntamente stazionari se Ryz(t,t - -r) dipendesolo dalla variabile -r, cioè se Ryz(t,t--r)=Ryz('l'). Se i processi sonocongiuntamente stazionari è possibile calcolare la densità spettrale di

potenza mutua Syz(l) =.'F[Ryz(-r)].Nello schemadella Figura8.41 X(t) è un segnalealeatoriostazionarioinsenso lato con densità spettrale di potenza Sx(l) =ç e i due filtri hannorisposta impulsiva

1 1~(t) = -exp(-at)u(t) , ~(t) = -exp( -{3t)u(t)

a {3

Dimostrare che i processi t;(t) e Yz(t) sono congiuntamente stazionari e

calcolare la funzione di correlazione mutua RY'Y2(-r) e la densità spettrale dipotenza mutua SY'Y2(I). [Trovare la forma generale di RY'Y2(-r) e SY'Y2(I)per lo schema della Figura 8.41, prescindendo dal caso particolare, eapplicare poi tale risultato al caso particolare indicato.]

J

IJI

J


h1(t)Y1(t)

X(t)

Figura 8.41

8.6 Con la stessa premessa dell' esercizio precedente, calcolare l'espressionegenerale della correlazione mutua Rrx(-r) tra un processo aleatoriostazionario X(t) in ingresso a un SLS e il rispettivo processo di uscitaY(t).

Una tensione costante Voviene disturbata da rumore bianco additivo N(t)avente densità spettrale di potenza SN(J)=ç. Per reiettare tale disturbo siusano i due sistemi in cascata mostrati nella Figura 8.42, in cui B = 1/2T .Determinare i valori dei coefficienti a, b e c che minimizzano l'errore

quadratico medio

8.7

c =E{[Y(t) - vof}

tra l'uscita Y(t) e il valore costante Vo.

T -dÌ-B B f

c

N(t)

Y(t)

Figura 8.42

8.8 Determinare e rappresentare la densità spettrale di potenza Sx(f) delprocesso aleatorio X(t) =2sin(2nFt + E», ove F è una variabile aleatoriauniformemente distribuita in [10,210] e E> è una seconda variabile

506 Capitolo 8

indipendente da F e uniformemente distribuita in [-1C,1C].8.9 Nello schema della Figura 8.43 il processo aleatorio N(t) è Gaussiano con

densità spettrale di potenza SN(J) = No/2. Campionando agli istantitk =2kT(k = 1,2,.. .,n) il processo X(t) in uscita al filtro H(J) (di bandaB =1/T) si ottiene un sistema di n variabili aleatorie {Xk ==X(2kT)}.

Determinare la densità di probabilità congiunta !X(X),X2,..,XII)di talesistema.

T

H(f)

-ili-IX(t)-8 8 f

N(t)

IlFigura 8.43

8.10 Nello schema di Figura 8.44 il processo di rumore W(t) è stazionario insenso lato e ha densità spettrale di potenza Sw(J)=No/2. Il segnale s(t) è

Si indichi con N(t) il processo di rumore in uscita al filtro di banda B econ x(t) la risposta del filtro a s(t) e si definisca il rapporto segnale-rumore in uscita al filtro come

dove Ex rappresenta l'energia del segnale x(t). Ricavare il valore dellabanda B che massimizza il valore di SNR.

W(t)

!~..,+ -di-8 8 f

x(t)+ N(t)s(t)

Figura 8.44 II

~


8.11 Nella Figura 8.45 il processo SSL N(t) è Gaussiano e ha densità spettrale

di potenza SN(j) =No/l. Determinare la probabilità che la variabilealeatoria X assuma un valore maggiore di quello della variabile Y.

8.12 È dato il processo aleatorio Gaussiano stazionario X(t) caratterizzato dallafunzione densità spettrale di potenza

No

SAi) = l + (lliff3)2

Tale processo è applicato in ingresso al SLS della Figura 8.34 (a, f3> O).Determinare la densità di probabilità del primo ordine fr (y;t) del processo

di uscita Y(t).

X(t) Y(t)

dCfi (.)

Figura 8.46

U_x1/3

II

T/2 T t

N(t)

I I

U_YT/2T t

I

Figura 8.45

508 Capitolo 8

8.13 Nello schema della Figura 8.47, il processo N(t) è Gaussiano con densitàspettrale di potenza SN(J) =ç. Dire se il processo di uscita X(t) èGaussiano e determinarne la funzione valor medio 17At) e la funzione diautocorrelazione RAt, -r).

N(t) ~illl W(t)-1/2T 1/2T f

Interpolatorecardinale

X(t)

kT

Figura 8.47

8.14 Considerare il sistema della Figura 8.48 nel quale il processo Gaussianod'ingresso X(t) è caratterizzato dalla funzione di autocorrelazione

Rx(-r) =NoBsinc(B-r)

Ricavare la densità di probabilitàdel primo ordine fy(y;t) del processoaleatoriod'uscita Y(t) nei duecasi seguenti:

a) H(J)=1b) H(J) = rect(J / B)

X(t)

Figura 8.48

8.15 Premessa: Due processi X(t) e Y(t) si dicono indipendenti se qualunque

insieme di variabili aleatorie estratte da X(t) è indipendente da qualun-

que insieme di variabili aleatorie estratte da Y(t).

Sono dati due processi stazionari in senso lato e indipendenti X(t) e Y(t)

con funzione di autocorrelazione RA -r)= Ry Cr)=(j2sinc2 (B-r). Costruito

il processo

Z(t) =X(t)cos(4JrBt) - Y(t)sin( 4nBt)

~J


dimostrare che 2(t) è stazionario in senso lato. Determinare e rappresen-tare poi la densità spettrale di potenza SAI) di 2(t).

8.16 Sono assegnati due processi aleatori X(t) e Y(t) stazionari in senso lato,indipendenti (si veda l'Esercizio 8.15), e aventi le densità spettrali dipotenza rispettivamente SAI) ed Sy(J) rappresentate nella Figura 8.49.Trovare (almeno) un valore del parametro K per il quale 2(t) in Figura8.50 risulta stazionario in senso lato e, con tale valore di K, calcolare la

potenza media statistica Pw del processo W(t) in uscita al filtro dellaFigura 8.51.

8.17 Dimostrare che condizione sufficiente per l' ergodicità del valor medio diun processo stazionario in senso lato X(t) è che valga

1 Tlim- fICA-r)ld-r= OT-+- T -T

8.17 È assegnato un segnale determinato periodico p(t) di periodo 1'0.Dire seil processo aleatorio X(t)=p(t-e), con ee'l1(-n,n), è ergodico insenso lato.

-8 I 8T-8I

8

Figura8.49

X(t)

COS(41tS:)Y Z(t)

sin(41tBt)

Y(t)

Figura8.50

510 Capitolo 8

H(f)

Z(t) W(t)

-58/2 58/2

Figura 8.51

8.18 Dato un processo X(t) ergodico in senso stretto con statistiche diqualunque ordine note, calcolare

1 T/2lim- Ju[a-X(t)]dtT~-T -T/2

con a costante assegnata.

m. luise, g. m. vitetta - teoria dei segnali

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