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MARCOS
Los marcos son de las estructuras ms utilizadas en ingeniera civil, sobre todo
en edificacin. Su uso ms extendido es en la estructuracin de edificios de distinta
ndole, aunque tambin existen aplicaciones en naves industriales y puentes, entre
muchas otras.
Los elementos que componen a un marco se clasifican en dos grupos
principalmente:
a) vigas, que son los elementos horizontales del marco y que trabajan
esencialmente a flexin y cortante.
b) Columnas, que trabajan principalmente a flexin, carga axial y cortante.Tanto en vigas como en columnas pueden presentarse efectos de torsin, y en
muchas ocasiones este efecto no es despreciable y debe tomarse en cuenta tanto en
el anlisis como en el diseo.
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ELEMENTO TIPO VIGA-COLUMNA PRISMTICOS
Los elementos viga-columna que se presenta a continuacin se supone que stos
son prismticos, rectilneos y que. Adems, son capaces de resistir el siguiente tipode acciones:
1.- Para elementos bidimensionales, cargas axiales, fuerzas cortantes y momentos
flexionantes en su plano principal de flexin, como se muestra en la figura 3.1. Para
el caso de vigas, las cargas y deformaciones axiales generalmente pueden
despreciarse, trabajando esencialmente a flexin y a cortante, como se muestra en la
figura 3.2.
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2.- Para elementos tridimensionales, cargas axiales, fuerzas cortantes y momentos
flexionantes en los dos ejes principales de flexin con respecto a su seccin
transversal y momentos torsionantes alrededor de su eje centroidal como se
presenta en la figura 3.3.
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Ubicacin y direccin positiva de lasfuerzas actuantes, tambin se indicala direccin positiva de losdesplazamientos asociados a dichasfuerzas.
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La posicin y el sentido del elemento tridimensional en el espacio se define con base
en las coordenadas del extremo 1 del elemento (extremo de partida) y por los cosenos
directores con respecto a los ejes z (que define la direccin del extremo a al extremo
2) y , calculados ambos con respecto a un sistema global de referencia, el cual serequiere para definir las direcciones de los ejes principales de la seccin transversal
del elemento.
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FUERZAS AXIALES
La ecuacin diferencial para el desplazamiento axial ude la viga prismtica que
se muestra en la figura 3.4a es:
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de la figura 3.4(a) tenemos:
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1dz = -du *EA
1 =
1* z = -u* E*A + 1 (3.8)
Aplicando condiciones de borde tenemos lo siguiente:Cuando z = 0, tenemos que 1= C/(E*A)
Cuando z = L, tenemos que 2= 0, ya que se fija ese extremo, tenemos que:
1* L = 0 +1
1* L =1 (3.9)
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reemplazando 3.9 en 3.8 cuando z = 0 se obtiene lo siguiente:
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1= E*A/L *1 ..(3.10)
A partir de las ecuacin de equilibrio axial en la direccin z se obtiene la
reaccin:
1= -2 ..(3.11)
La interpretacin algebraica de las relaciones fuerza-desplazamiento (F=k*u) se
utiliza para la obtencin de los coeficientes. En esenciarepresenta a la fuerza
Fi del elemento asociada a un desplazamiento unitario uj cuando todos los dems
desplazamientos son iguales a cero (es decir, estn restringidos). Por lo tanto:
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Similarmente, a partir de la figura 3.4b, si hacemos1= 0 (lo restringimos de
movimiento) y permitimos que 2 0, a partir de relaciones de simetra o
resolviendo para utenemos que los coeficientes de rigidez axial faltantes son:
MOMENTOS TORSIONANTES
La ecuacin diferencial para un giro torzal(figura 3.5a) en la viga es:
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donde GJ es la rigidez torsional de la seccin transversal de la viga. Integrando la
ecuacin 3.16 se tiene lo siguiente:
resolviendo por condiciones de frontera = 0 para z = L, encontramos el valorde la constante de integracin C1:
resolviendo por condiciones de frontera = 1 para z = 0, se obtiene de lasecuaciones 3.17 y 3.18 que el momento aplicado es:
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a partir de las ecuaciones de equilibrio para momentos torsionantes, se obtiene
que:
Por lo tanto, los coeficientes de rigidez a torsin son:
De forma similar con la figura 3.5 b, si hacemos 1= 0 y2 0, a partir de
relaciones de simetra o resolviendo paratenemos que los coeficientes de rigidez a
torsin faltante son:
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FUERZAS CORTANTES EN EL PLANO PRINCIPAL DE FLEXIN.
La deflexin lateral ven una viga sujeta a fuerzas cortantes y a los momentos
flexionantes asociados a stas (figura 3.6a), est dada por:
v =+ .. (3.25)
dondees la deflexin lateral debida a las deformaciones por flexin yes la
deflexin adicional debida a las deformaciones por cortante, de manera que:
donde representa el rea de la seccin transversal efectiva en cortante,
tambin conocida como rea de cortante. La deflexin de la viga debida a la flexin
que se muestra en la figura 3.6a se obtiene a partir de la siguiente ecuacin
diferencial:
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De la integracin de las ecuaciones 3.26 y 3.27 y su sustitucin en la ecuacin
3.25 se tiene que:
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donde1y2 son constantes de integracin. Considerando las condiciones de
borde de la figura 3.6a, se tiene que:
Por lo tanto, obteniendo el valor de las constantes a partir de resolver las
condiciones de borde, sustituyendo y reduciendo se obtiene, a partir de la ecuacin
3.28:
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Las fuerzas restantes que actan sobre la viga se obtienen a partir de las
ecuaciones de equilibrio. Por lo tanto, la fuerza cortante y el momento flexionante
reactivos son:
Por otra parte, cuando z=0, entonces v=1, por lo que a partir de la ecuacin
3.31 se obtiene que el desplazamiento aplicado es:
A partir de las ecuaciones 3.32 a 3.36 podemos calcular los coeficientes de
rigidez asociados a la aplicacin del desplazamiento 1:
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Similarmente, si se fija o empotra el extremo izquierdo de la viga (figura 3.6b)
entonces, utilizando la ecuacin diferencial para la deflexin de la viga o las
relaciones de simetra, se puede demostrar que los coeficientes de rigidez faltantes
son:
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MOMENTOS FLEXIONANTES EN EL PLANO PRINCIPAL DE FLEXIN
Para definir los coeficientes de rigidez asociados a las rotaciones 1 y2, se
sujeta a la viga a los momentos flexionantes y las fuerzas cortantes asociadas que se
muestran en las figuras 3.7a y 3.7b. Para las deflexiones se calculan a partir de la
ecuacin 3.28:
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Sin embargo, las constantes1 2deben evaluarse ahora para las condiciones
de frontera asociadas a las rotaciones impuestas, que se presentan en la figura 3.7.
Tomando las condiciones de frontera de la figura 3.7a :
Por lo tanto, obteniendo el valor de las constantes a partir de las condiciones de
frontera, sustituyendo en la ecuacin 3.45 y reduciendo se tiene:
adems, la fuerza cortante asociada es:
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Mediante las ecuaciones de equilibrio tenemos:
Sabemos que en z = 0, la condicin de frontera es:
de manera que la rotacin aplicada es:
definiendo los coeficientes de rigidez debido a la aplicacin de la rotacin o giro
1:
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Ahora, si la deflexin en el extremo izquierdo de la viga de la figura 3.7b es igual
a cero, es evidente, a partir de las relaciones de simetra, que los coeficientes de
rigidez restantes son:
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FUERZAS CORTANTE EN EL PLANO SECUNDARIO DE FLEXIN
Los coeficientes de rigidez asociados con los desplazamientos 1 y2 se
obtienen utilizando un planteamiento anlogo al hecho previamente para las
fuerzas cortantes en el plano principal de flexin. Sin embargo, debe observarse que
con la convencin de signos adoptada para el elemento tridimensional (figura 3.3),
la direccin de los momentos flexionantes positivos en los planos yz yxz son
diferentes. En la figura 3.8, se muestra que la direccin positiva de los momentos
flexionantes 1y2es opuesta a la de los momentos1y2, por lo que es
evidente que los coeficientes de rigidez que relacionan a los momentos flexionantes
y las fuerzas cortantes entre uno y otro plano difieran en signo, es decir:
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Se debe observar que en la derivacin de las ecuaciones 3.63 a 3.70 las
deformaciones por cortante son representadas genricamente en funcin del
parmetro adimensional . Las deformaciones por cortante no son iguales en los
planos principal y secundario de flexin, salvo para el caso de secciones transversalesque tienen las mismas propiedades con respecto a ambos planos (por ejemplo
secciones circulares, anular, cuadrada y cajn cuadrado). Por lo tanto, cabe aclarar que
para una seccin transversal cualquiera, las deformaciones por cortante en el plano
principal de flexin deben calcularse, a partir de la ecuacin:
y para el plano secundario de flexin como:
MOMENTOS FLEXIONANTES EN EL PLANO SECUNDARIO DE FLEXIN
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MOMENTOS FLEXIONANTES EN EL PLANO SECUNDARIO DE FLEXIN
Los coeficientes de rigidez asociados a las rotaciones 1 y 2 se obtiene
tambin utilizando un planteamiento anlogo al hecho previamente para los
momentos flexionantes en el plano principal de flexin, pero tomando en cuenta
que la direccin de los momentos flexionantes positivos en los planosyzyxzson
diferentes, como se ilustra en la figura 3.8. Este cambio de direccin positiva en los
momentos origina que los coeficientes de rigidez que relacionan a los momentos
flexionantes y las fuerzas cortantes entre uno y otro plano, difieran en signo. Por lo
tanto, para este caso se tiene que los coeficientes de rigidez son:
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MATRICES DE RIGIDEZ DE ELEMENTOS VIGA COLUMNA
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MATRICES DE RIGIDEZ DE ELEMENTOS VIGA-COLUMNAPRISMTICOS EN COORDENADAS LOCALES
Toda vez que se han obtenido cada uno de los coeficientes de rigidez de cada
uno de los elementos tipo viga-columna que se presentaron en las figuras 3.1 a 3.3,falta definir la matriz de rigidez de cada uno de estos elementos en coordenadas
locales, [k]. Sabemos que el sistema de ecuaciones a resolver en coordenadas locales
es de la forma:
donde {u} y {F} son los vectores de los desplazamientos (directos y por rotacin)
y de fuerzas (directas y momentos) del elemento en coordenadas locales. Si
tomamos en cuenta que cada elemento viga-columna se formula en funcin de los
desplazamientos que experimentan en sus nudos extremos (dos, nudos 1 y 2, figuras
3.1 a 3.8) podemos reescribir la ecuacin 3.81 como:
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donde {1} y {1} son los vectores de desplazamientos y fuerzas en coordenadas
locales del nodo 1 del elemento, {2} y {2} son los vectores de desplazamiento y
fuerzas en coordenadas locales del nodo 2 del elemento, y [11], [12], [21] y [22]
son las submatrices de rigidez del elemento en coordenadas locales, donde [11] y
[22
] contienen los coeficientes de rigidez directamente asociados a los grados de
libertad y fuerzas de los nudos 1 y 2, respectivamente, y [12] y [21] contienen los
coeficientes de rigidez que relacionan a los grados de libertad y fuerzas de los nudos
1 y 2. Por lo tanto, a partir de la ecuacin 3.82 resulta claro que la forma general de la
matriz de rigidez de cada elemento en coordenadas locales es:
) El t i bidi i l
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a) Elemento viga-bidimensional
Sea el elemento viga bidimensional que se presenta en la figura 3.9.
de acuerdo a la figura se tiene:
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A partir de la ecuacin 3.82 se observa que dichas fuerzas y desplazamientos
pueden relacionarse directamente por medio de la matriz de rigidez del elemento en
coordenadas locales, [k], subdividida convenientemente en la ecuacin 3.83. Para el
elemento viga bidimensional, slo requerimos agrupar los coeficientes de rigidez
que relacionan a las fuerzas cortantes y momentos flexionantes en el plano principal
de flexin con los giros y desplazamientos que se experimentan en dicho plano. Por
lo tanto a, partir de las ecuaciones 3.37 a 3.44 y 3.54 a 3.62, se tiene que la matriz de
rigidez del elemento es:
d d i id ( i 6 ) d
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donde, si consideramos que12 =21 (ecuaciones 3.57 y 3.62), podemos ver
que las submatrices de rigidez del elemento son:
d d
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donde:
D l i i l d f i t t d d d
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De la ecuacin 3.95 se aprecia que las deformaciones por cortante dependen de
la relacin entre el radio de giro de la seccin transversal () con respecto a la
longitud del elemento (L), que en el caso de vigas esbeltas es un valor generalmente
pequeo e inferior a la unidad. Por eso generalmente se desprecian lasdeformaciones por cortante en vigas, pero es claro que no debe hacerse en vigas
cortas. Por lo tanto, si se desprecian las deformaciones por cortante ( = 0),
tenemos que los coeficientes de rigidez seran:
b) Elemento viga columna bidimensional
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b) Elemento viga-columna bidimensional
Sea el elemento viga bidimensional que se presenta en la figura 3.10.
De acuerdo con la figura 3.10, las fuerzas actuantes y los desplazamientos
correspondientes en los extremos de la viga-columna (nudos 1 y 2) son:
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Para este elemento requerimos agrupar, adems de los coeficientes de rigidez
que relacionan a las fuerzas cortantes y momentos flexionantes en el plano principal
de flexin con los giros y desplazamientos que se experimentan en dicho plano del
elemento viga (figura 3.9), los coeficientes que relacionan a las fuerzas y
deformaciones axiales. Por lo tanto a partir de las ecuaciones 3.12 a 3.15, 3.37 a 3.44 y
3.54 a 3.62, se tiene que la matriz de rigidez del elemento es:
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donde, recordando que 12 = 21 (ecuaciones 3.57 y 3.62), tenemos que las
submatrices de rigidez del elemento son:
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donde los coeficientes , , ,11,12 y22, son los dados por las
ecuaciones 3.91 a 3.95 cuando se incluyen deformaciones por cortante, y 3.96 a 3.99
cuando no se toman en cuenta las deformaciones por cortante, y el coeficiente de
rigidez axial est dado por:
c) Elemento viga-columna tridimensional
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c) Elemento viga columna tridimensional
Sea el elemento viga-columna que se presenta en la figura 3.11:
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De acuerdo con la figura, las fuerzas actuantes y los desplazamientos
correspondientes en los extremos de la vigacolumna (nudos 1 y 2) son:
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Para este elemento requerimos agrupar todos los coeficientes de rigidez, es decir
los que relacionan a las fuerzas cortantes y momentos flexionantes en los planos
principal y secundario de flexin con los giros y desplazamientos que se
experimentan en dichos planos del elemento, as como aquellos que relacionan a
fuerzas y deformaciones axiales y a los giros y momentos torsionantes. Por lo tanto,
a partir de las ecuaciones 3.12 a 3.15, 3.21 a 3.24, 3.37 a 3.44 y 3.54 a 3.80, se tiene que
la matriz de rigidez del elemento es:
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donde considerando nuevamente que 12 = 21 , podemos ver que las
submatrices de rigidez del elemento son:
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donde, para fines de claridad, sabemos que cada uno de los coeficientes de
rigidez involucrados en las ecuaciones 3.110 a 3.114 son, cuando se incluyen
deformaciones por cortante:
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Si se desprecian las deformaciones por cortante (==0), tenemos que los
coeficientes de rigidez asociados a la f lexin en ambos planos seran:
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ELEMENTO TIPO VIGA-COLUMNA DE SECCION VARIABLE
La definicin de elementos tipo viga-columna de seccin variable bidimensional
y tridimensional es relativamente sencilla utilizando el mtodo de flexibilidades.
Aunque en dcadas pasadas el clculo de la matriz de rigidez de elementos de
seccin variable utilizando este procedimiento resulta un poco engorrosos debido a
que se requiere de integracin numrica en la mayora de los casos, hoy en da
resulta muy sencillo implantar este tipo de elementos en paqueteras de anlisis
estructural debido al gran desarrollo que ha tenido el campo de la computacin.
La matriz bsica de flexibilidades de elementos de seccin variablebidimensionales, como el ilustrado en la figura 3.12, se calcula de la siguiente
manera.
Obtencin de matrices de rigidez de elementos no prismticos
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Para elementos tridimensionales, los trminos de la matriz de rigidez se
calculan de la siguiente manera:
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donde:
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En las ecuaciones 3 135 a 3 150 11 a 66 son los trminos de la matriz de
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En las ecuaciones 3.135 a 3.150, 11 a 66 son los trminos de la matriz de
flexibilidades, los cuales son obtenidos por medio de integracin numrica, por
ejemplo, aplicando la regla de Simpson (Danny 1986). A continuacin se
proporcionan las soluciones exactas para los trminos de la matriz de flexibilidadesbsica para elementos de seccin variable de seccin transversal rectangular (figura
3.13b), circular (figura 3.13c) y cuadrada, respectivamente.
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La matriz de rigidez se puede obtener invirtiendo la matriz de f lexibilidades; sin
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embargo, debido a la porosidad de sta y a los coeficientes de flexibilidades estn
desacoplados, la matriz de rigidez se calcula invirtiendo submatrices de
flexibilidades, por lo que sus trminos se definen implcitamente. La matriz de
rigidez global en coordenadas locales de un elemento viga-columna de dos nodos
como los mostrados en las figuras 3.14 y 3.15 se expresan como:
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Para el caso bidimensional, las submatrices de rigidez se calculan de la siguiente
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manera:
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60ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNI Msc Estructuras.
Para el caso tridimensional, las submatrices de rigidez tienen la forma:
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62ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNI Msc Estructuras.
donde:
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63ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNI Msc Estructuras.
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64ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNI Msc Estructuras.
La representacin fsica de los coeficientes de la matriz de rigidez bidimensional se
presenta en la figura 3.16, y de esta figura y la derivacin de los coeficientes de rigidez
para los elementos de seccin prismtica, se puede completar el panorama para los
elementos de seccin variable tridimensionales.
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65ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNI Msc Estructuras.
El sistema de ecuaciones a resolver en coordenadas locales es de la forma:
donde, para el caso bidimensional, se tiene que:
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66ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNI Msc Estructuras.
y para el caso tridimensional se tiene :
Calculo de giros de fijacin y Momentos de Empotramiento.
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67
g j y p
Al aplicar el mtodo de las flexibilidades se pueden determinar los giros
de fijacin y los momentos de empotramiento de elementos prismticos y
de seccin variable ante cualquier condicin de carga que se desee.
Si consideramos una viga de seccin variable doblemente empotrada
que se presenta en la siguiente figura, la cual se encuentra sujeta a una
condicin de carga general en su plano principal de flexin.
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Pw
M2xM1x
a b
La) Viga de seccin variable empotrada ante carga
general.
1x 2x
b) Viga Conjugada
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68ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNI Msc Estructuras.
Aplicando el mtodo de la viga conjugada, se puede determinar los giros de fijacin
(figura 3.17b); los cuales, por equilibrio y tomando en cuenta las deformaciones por
cortante, se calculan como:
Los momentos de empotramiento en la direccin principal de flexin se calculan, de
-
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69ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNI Msc Estructuras.
acuerdo con la figura 3.17c, de la siguiente manera:
Los giros de fijacin y los momentos de empotramiento ante cargas que actan en la
direccin secundaria de flexin, se calculan de la misma manera, suponindose que la
condicin de empotramiento perfecto est dada tambin en esa direccin. Por tanto,para ese caso, las expresiones son:
-
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70ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNI Msc Estructuras.
En todos los casos, las reacciones en los apoyos se obtienen de sumar el diferencial
de cortante debido a los momentos en los extremos al cortante de la viga conjugada.
Carga uniformemente distribuida.
Para una carga uniformemente repartida (figura 3.17a) en el plano principal de
flexin , se sabe que las ecuaciones de momento y de cortante de la estructuraisosttica correspondiente a la viga conjugada (figura 3.17b) son:
Por lo tanto, sustituyendo las ecuaciones 3.189 y 3.190 en las ecuaciones 3.181 y 3.182,
t l i d fij i di t
-
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71ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNI Msc Estructuras.
tenemos que los giros de fijacin correspondientes son:
De manera similar, para carga uniformemente repartida en el plano secundario de
flexin (), lo giros de fijacin son, intercambiandopor en las ecuaciones 3.189 y
3.190 y sustituyendo posteriormente en las ecuaciones 3.185 y 3.186:
La validez de estas expresiones se comprueba para el caso general, que corresponde a
l i i ti T l di i i i l d fl i Si l i i ti
-
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72ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNI Msc Estructuras.
la viga prismtica. Tomemos la direccin principal de flexin. Si la seccin es prismtica,
se sabe que (z) =y que(z) =. Por lo tanto, sustituyendo en las ecuacin 3.191 y
desarrollando, se tiene:
A partir de las ecuaciones 3.192 y 3.197, y desarrollando se tiene:
-
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73ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNI Msc Estructuras.
Sustituyendo las ecuaciones 3.119, 3.120, 3.197 y 3.200 en la ecuacin 3.187 tenemos:
Por lo tanto, el momento de empotramiento en el extremo 1 es:
De manera anloga, a partir de sustituir las ecuaciones 3.119, 3.120, 3.197 y 3.200 en
la ecuacin 3.188 se obtiene:
-
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74ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNI Msc Estructuras.
Por lo tanto, el momento de empotramiento en el extremo 2 es:
Las ecuaciones 3.203 y 3.205 son las soluciones que se presentan en distintas
ayudas de diseo y, como se observa, aunque en su derivacin se incluyeron las
deformaciones por cortante, stas no afectan el valor de los momentos. Por otra parte,
debido a la simetra de la carga. Al hecho de que la seccin es prismtica y a que los
momentos de empotramiento son iguales, las reacciones o cortantes en los apoyos
coinciden en este caso con los de la estructura isosttica, es decir:
Carga Puntual
-
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75ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNI Msc Estructuras.
Para una carga puntual que acta en el plano principal de flexin () cuya posicin
puede variar dentro del claro, como se muestra en la figura 3.17a, se sabe que las
ecuaciones de momento y de cortante de la estructura isosttica correspondiente a la
viga conjugada son:
-
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76ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNI Msc Estructuras.
Por lo tanto, sustituyendo las ecuaciones 3.207 a 3.210 en las ecuaciones 3.181 y 3.182,
tenemos que los giros de fijacin correspondientes son, si se toma el primer trmino de
la igualdad de la ecuacin 3.208:
si se toma el segundo trmino de la igualdad de la ecuacin 3.208, se tiene:
Similarmente, para carga puntual que acta en el plano secundario de flexin ()
i i d i d d l l i bi d l
-
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77ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNI Msc Estructuras.
cuya posicin puede variar dentro del claro, e intercambiando por en las
ecuaciones 3.207 a 3.210 y sustituyendo posteriormente en las ecuaciones 3.189 y 3.190,
tenemos que los giros de fijacin correspondientes son, si se toma el primer trmino de
la igualdad de la ecuacin 3.208:
si se toma el segundo trmino de la igualdad de la ecuacin 3.208 se tiene:
La validez de estas expresiones tambin se comprueba para el caso general, que
d l i i ti T l di i i i l d fl i b
-
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78ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNI Msc Estructuras.
corresponde a la viga prismtica. Tomemos la direccin principal de flexin con base en
las expresiones obtenidas a partir del primer trmino de la ecuacin 3.208. Si la seccin
es prismtica, se sabe que(z) =y que(z) =. Por lo tanto , sustituyendo en la
ecuacin 3.211 y desarrollando, se tiene:
A partir de las ecuaciones 3.212 y 3.223 y desarrollando, se tiene:
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79ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNI Msc Estructuras.
Sustituyendo las ecuaciones 3.119, 3.120, 3.223 y 3.229 en la ecuacin 3.187 tenemos:
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80ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNI Msc Estructuras.
Por lo tanto, el momento de empotramiento en el extremo 1 es:
Si se desprecian las deformaciones por cortante (=0), se llega a:
De manera similar, a partir de sustituir las ecuaciones 3.119, 3.120, 3.223 y 3.229 en la
ecuacin 3.188 se tiene:
-
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81ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNI Msc Estructuras.
Por lo tanto, el momento de empotramiento en el extremo 2 es:
Si se desprecian las deformaciones por cortante (= 0), se llega a :
Las ecuaciones 3.235 y 3.241 son las soluciones que se presentan en distintas ayudas
de diseo, y se observa a partir de las ecuaciones 3.234 y 3.240 que, en este caso, las
deformaciones por cortante s afectan el valor de los momentos de empotramiento.
Las reacciones en los apoyos se obtienen a partir de las ecuaciones de equilibrio,
d l d l d l d f l d
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82ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNI Msc Estructuras.
sumando a las reacciones asociadas a la viga conjugada isosttica el diferencial de
cortante asociado a los momentos de empotramiento, es decir:
Por lo tanto, si tomamos, las expresiones donde se desprecian las deformaciones por
cortante (ecuaciones 3.235 y 3.241) tenemos que:
entonces, la reaccin (cortante) en el apoyo 1 estara dada por:
Por lo que se llega a que la reaccin del apoyo 1 es:
-
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83ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNI Msc Estructuras.
Procediendo de manera similar, la reaccin (cortante) en el apoyo 2 estara dada por:
Por lo que se llega a que la reaccin del apoyo 2 es:
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Modelado de zonas de rigidez infinita
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En el anlisis de estructuras de marcos resulta frecuentemente necesario
modelar la rigidez adicional que se introduce en las uniones viga-columna,
sobre todo cuando las dimensiones de los elementos son grandes y, por
tanto, tienen un impacto significativo en la rigidez global de la estructura.
Esto se logra modelando cierto porcentaje del nudo como una zona de
rigidez infinita a f lexin, como se ilustra en la figura 3.18, ya que un anlisisque se basa en la geometra entre ejes centroidales de los elementos sin
tomar en cuenta las rigideces de los nudos sobrestima generalmente las
deformaciones laterales.
En general, se supone que en la zona de rigidez infinita no se presentan
deformaciones por cortante o flexin; sin embargo, a partir de anlisis de
estructuras que consideran como longitud efectiva de la zona de rigidez
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infinita al 100% de la distancia existente entre la lnea centroidal de
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referencia y el pao del nudo (figura 3.18), se ha encontrado que en la
mayora de los casos esta hiptesis subestima las deformaciones laterales de
la estructura (Habibullsh, 1995). De hecho, la efectividad del nudo como
zona infinitamente rigida varia con las estructuras, y existen varias
propuestas al respecto; sin embargo, para edificaciones de mediana y gran
altura que van a ser sujetas a cargas laterales importantes, variosdiseadores proponen tomar como zona de rigidez infinita 50% de la
longitud del nudo de unin viga columna para edificios en base en marcos.
Toda vez que se decide el porcentaje de longitud que debe tomarse
como zona de rigidez infinita, se puede determinar cmo modifican estas
zonas rgidas a los coeficientes de rigidez a f lexin de los elementos.
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Sea la viga con zonas de rigidez infinita que se presenta en la figura
b A i d l d d l fl ibilid d li d l d
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3.18b. A partir del mtodo de las flexibilidades aplicado a elementos de
seccin variables (seccin 3.4.2), se pueden calcular los coeficientes de
rigidez del elemento, incluyendo las zonas de rigidez infinita. Sabemos que:
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Si integramos por partes la ecuacin 3.252 tenemos:
se sabe que:
l l d
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Por lo tanto, tenemos que la ecuacin 3.255 se reduce a:
como:
entonces:
A partir de la ecuacin 3.253 tenemos:
-
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95ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNI Msc Estructuras.
se sabe que:
por lo tanto:
A partir de la ecuacin 3.254 tenemos:
se sabe que:
-
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96ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNI Msc Estructuras.
por lo tanto:
Como se present para los elementos de seccin variable, los
coeficientes de rigidez se pueden obtener directamente a partir de los
coeficientes de flexibilidad de la siguiente forma:
donde:
-
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97ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNI Msc Estructuras.
Por lo tanto, de sustituir las ecuaciones 3.263, 3.268 y 3.272 en la
ecuacin 3.276 tenemos:
entonces de la ecuacin 3.273:
-
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De la ecuacin 3.276 se tiene:
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99ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNI Msc Estructuras.
De igual manera, podemos calcular los restantes trminos de rigidez a
partir de:
-
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100ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNI Msc Estructuras.
partir de:
por tanto, de la ecuacin 3.291 se tiene:
de la ecuacin 3.292 se tiene:
-
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101ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNI Msc Estructuras.
de la ecuacin 3.293 se tiene:
Resumiendo, los coeficientes de rigidez a flexin para una barra con
i fi i id i l d l d f i
-
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102ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNI Msc Estructuras.
zonas extremas infinitamente rgidas son, incluyendo las deformaciones
por cortante:
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103ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNI Msc Estructuras.
INCLUSIN DE DEFORMACIONES POR TEMPERATURA.
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Cuando una estructura va a operar o estar sometida
continuamente a temperaturas elevadas, deben incluirse efectos
trmicos en el anlisis puesto que afectan directamente a las
ecuaciones esfuerzo-deformacin.
Si se considera un cuerpo elstico pequeo de longitud dL que es
sujeto a un cambio de temperatura T, bajo la accin de este cambio de
temperatura el elemento se dilatar a una nueva longitud
L=(1+T)*dL, donde es el coeficiente de expansin trmica del
material. Para materiales isotrpicos y homogneos, este coeficientede expansin trmica es independiente de la direccin y posicin del
elemento pero puede depender de la temperatura.
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Para un cuerpo o elemento isotrpico, las expansiones trmicas son
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105ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNI Msc Estructuras.
de la misma magnitud en todas las direcciones, es decir, si hacemos el
diagrama de cuerpo libre de un paraleleppedo (figura 1.2) que pertenece
a un cuerpo isotrpico que es sujeto a un cambio de temperatura, el
paraleleppedo experimentar exclusivamente una expansin uniforme
sin deformaciones angulares, por lo que retendr su forma.
Se puede demostrar que para una partcula tridimensional (figura
1.2) cuyas relaciones constitutivas cumplen con la Ley de Hooke para un
material elstico lineal homogneo e isotrpico, las ecuaciones esfuerzo-
deformacin originales (ecuacin 1.2) pueden reescribirse en trminosde la matriz constitutiva de flexibilidad para incluir los efectos por
temperatura como:
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106ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNI Msc Estructuras.
y, en trminos de la matriz constitutiva de rigidez como:
donde, para el caso de una partcula tridimensional, se tiene que laecuacin 3.307 es:
Para el caso particular de los elementos viga-columna, se puede
demostrar que los efectos de temperatura afectan exclusivamente a las
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107ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNI Msc Estructuras.
demostrar que los efectos de temperatura afectan exclusivamente a las
relaciones existentes entre esfuerzos y deformaciones axiales, as como a
los momentos y giros directos en los planos principal y secundario deflexin (por ejemplo Przemieniecki 1985).
Los momentos se producen como consecuencia de que el gradiente
de temperatura puede ser no uniforme a travs de la seccin transversal
del elemento. Por ejemplo en un da soleado, en una viga al aire libre, su
fibra superior, expuesta directamente al sol, se extender ms que su
fibra inferior, no expuesta directamente al sol, como consecuencia de
que el incremento de temperatura en la fibra superior ser mayor que enla parte inferior. Esto consecuentemente flexionar a la Viga,
producindose un momento.
Por lo tanto, para el elemento viga-columna bidimensional de la
figura 3 19 se tiene que las relaciones constituti as estn dadas por
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108ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNI Msc Estructuras.
figura 3.19, se tiene que las relaciones constitutivas estn dadas por:
La ecuacin 3.309 puede reescribirse de manera general como:
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109ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNI Msc Estructuras.
y en funcin de las fuerzas y desplazamientos actuantes en los nudos
1 y 2 como:
donde las submatrices [11 ], [12 ], [21 ] y [22 ] ya han sido
definidas con anterioridad para elementos prismticos y de seccin
variable, as como los vectores {1}, {2} y {1}, {2}, y los vectores {1} y
{2} contienen las fuerzas y los momentos debidos a los efectos de
incrementos (o decrementos) de temperatura y son, a partir de la
ecuacin 3.309:
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110ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNI Msc Estructuras.
donde:
Para el elemento viga bidimensional de la figura 3.20 se tiene, a partir
de las relaciones constitutivas expresadas en la ecuacion 3.311 en funcin de
las fuerzas y desplazamientos actuantes en los nudos 1 y 2, que las
submatrices [11], [12], [21] y [22] son las ya definidas para elementos
prismticos y de seccin variable, que los vectores {1}, {2} y {1}, {2},
estn dados por las ecuaciones 3.84 y 3.85 y los vectores {1} y {2} son en
este caso:
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111ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNI Msc Estructuras.
Para el elemento viga-columna tridimensional de la figura 3.21 se tiene,
a partir de las relaciones constitutivas expresadas en la ecuacin 3.311 en
-
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112ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNI Msc Estructuras.
a partir de las relaciones constitutivas expresadas en la ecuacin 3.311 en
funcin de las fuerzas y desplazamientos actuantes en los nudos 1 y 2, que
las submatrices [11], [12], [21] y [22] son las ya definidas previamentepara elementos prismticos y de seccin variable, los vectores {1}, {2} y
{1}, {2} estn dados por las ecuaciones 3.108 y 3.109, y los vectores {1} y
{2} son en este caso:
donde:
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113ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNI Msc Estructuras.
TRANSFORMACIN DE RIGIDECES AL CAMBIAR DE SISTEMACOORDENADO
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En general, en el anlisis de estructuras por computador los
programas permiten definir al usuario la geometra de la estructura con
respecto a un sistema global de referencia (bidimensional o
tridimensional). Sin embargo, internamente los programas resuelven el
problema obteniendo primero las matrices de rigidez de cada elemento
en coordenadas locales, para posteriormente transformar estas rigideces
con respecto a los ejes globales de referencia y, una vez resuelto el
problema global, obtener los esfuerzos y deformaciones de cada
elemento a partir de las deformaciones globales de la estructura
transformando nuevamente al sistema local de referencia.
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115ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNI Msc Estructuras.
Por tanto, resulta claro que en este procedimiento se requiere
obtener las matrices de transformacin [T] que permitan permutarentre el sistema global de referencia y los sistemas locales de cada
uno de los elementos, tanto en 2D como en 3 D.
Aplicando los fundamentos bsicos de la geometra analtica, la
transformacin geomtrica de cualquier lugar geomtrico puede
darse por: a) traslacin de ejes, b) rotacin de ejes, y c) traslacin y
rotacin de ejes. En general, en anlisis estructural las
transformaciones que se utilizan en la resolucin de problemas sedeben a la rotacin de ejes.
a) Transformacin de vectores de fuerzas, desplazamientos y matrices derigidez en el plano
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rigidez en el plano.
A continuacin se estudia el caso de la rotacin de los ejes en el plano
cartesiano (2-D), como se ilustra en la figura 3.22. El sistema coordenado
est dado por el plano XY, y al experimentar este sistema una rotacin
con respecto al origen O, para a un nuevo sistema coordenado ortogonal
XY. Si las coordenadas que definen la posicin del punto P en el sistemacoordenado original XY (antes de la rotacin) se denominan (x,y) y
referidas en el nuevo sistema coordenadoXY(despusde la rotacin) se
denominan (x,y)y de la figura se define como r al segmento recto OP, se
tiene, a partir de relaciones trigonomtricas que:
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117ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNI Msc Estructuras.
A partir de relaciones trigonomtricas se tiene que la ecuacin 3.318
tambin puede escribirse como:
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p
sustituyendo las ecuaciones 3.320 y 3.321 en 3.322 tenemos:
De manera anloga, a partir de la ecuacin 3.319 tenemos:
sustituyendo las ecuaciones 3.320 y 3.3210 en 3.324 tenemos:
Por lo tanto, la transformacin de coordenadas de un punto P
cualquiera en el plano como consecuencia de rotar los ejes de referenciaun ngulodado, lo podemos expresar a partir de las ecuaciones 3.323 y
3.325, que se pueden reescribir matricialmente como:
-
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119ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNI Msc Estructuras.
o, escrito de manera compacta:
donde:
Desde el punto de vista del anlisis estructural, nos interesa ms la
transformacin inversa, es decir, conociendo la posicin del punto P con
respecto al sistema rotado(x, y),referir ese punto al sistema global (x,y).
A partir de la ecuacin 3.327 se observa que eso se logra premultiplicando
dicha ecuacin por la inversa de la matriz []1, es decir:
A partir de las propiedades de las matrices cuadradas de orden dos,sabemos que si:
-
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entonces:
Por lo tanto, a partir de 3.328 y 3.331 se tiene que:
con lo que se comprueba que la matriz de transformacin en el plano
es ortogonal ya que su inversa es igual a su transpuesta.
Considrese ahora el elemento viga-columna bidimensional de la
figura 3.23, cuyos ejes locales coinciden con el plano YZ. Se pretende
-
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121ING CARLOS EDUARDO RAMOS BRASTEgresado de la Escuela de Post-grado UNI Msc Estructuras.
referir sus propiedades al sistema global definido por el plano YZ.
A partir de las ecuaciones de equilibrio se puede demostrar, al igual
que se hizo con las armaduras, que las relaciones existentes entre las
fuerzas actuantes en el elemento referidas al sistema local{F}o al global
{F} estn dadas por:
-
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y a partir de la ecuacin de continuidad en coordenadas locales que:
adems, las relaciones existentes entre las deformaciones en el
elemento referidas al sistema local{u}o al global {u} estn dadas por:
Por lo tanto, a partir de las ecuaciones 3.334 a 3.337 se llega a:
donde [k] es la matriz de rigidez del elemento referida al sistema global
de referencia, [k] es la matriz de rigidez del elemento en coordenadas
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locales, y [T] es la matriz de transformacin del sistema local al sistema
global. De la figura 3.23 se observa que, al rotal el plano YZ al YZ,el eje Xpermanece en la misma posicin; por lo tanto, los giros y momentos que se
aplican en ese plano no sufren transformacin alguna. Entonces, a partir de
la figura 3.23 y de lo expuesto anteriormente, se obtiene que:
por lo que:
-
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y es claro, a partir de las ecuaciones 3.334 y 3.345, que la matriz de
transformacin [T] es:
o, escrito en forma compacta:
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donde [0] es la matriz cero de orden tres y :
Ahora sabemos que la matriz de rigidez del elemento en coordenadaslocales se puede escribir como:
donde cada una de las submatrices de rigidez del elemento viga-
columna de la figura 3.23 tiene la siguiente forma:
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donde i y j son los subndices correspondientes a los extremos y A, B,
C, D y E son los respectivos coeficientes de rigidez de cada una de las
submatrices, donde se ha cambiado de notacin por fines prcticos. A
partir de la ecuacin 3.340 se puede deducir que:
por lo que sustituyendo las ecuaciones 3.346 y 3.348 en la ecuacin
3.349 se tiene que cada submatriz de rigidez del elemento expresada en
coordenadas globales [] est dada por:
de manera anloga, se puede demostrar que la matriz de transformacin[T] del elemento viga bidimensional (figura 3.24) es la misma que para el
[ ]
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elemento viga-columna, por lo que la matriz [] de la ecuacin 3.346 sigue
siendo vlida; la diferencia estriba en que, para este caso, en las matrices
locales de rigidez el trmino que relaciona las fuerzas y deformaciones
axiales tiende a infinito, por lo que en la ecuacin 3.348 el coeficiente A
tiende al infinito.
TRANSFORMACIN DE VECTORES DE FUERZAS, DESPLAZAMIENTOS YMATRICES DE RIGIDEZ EN EL ESPACIO
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Ac se ve el caso de una rotacin ortogonal de los ejes en el espacio (3-
D). El significado de rotar ejes cartesianos en el espacio involucra moverlos
a una posicin nueva tomando como punto de referencia o pivote al origen,
de manera tal que en el nuevo sistema coordenado de los ejes permanecen,
despus de la rotacin, mutuamente perpendiculares entre si ydireccionados de la misma manera unos con respecto a los otros. Tomemos
como referencia la figura 3.25, donde una rotacin de los ejes cartesianos
involucra que el origen permanezca fijo, pero los ejes originales X, Y y Z
toman nuevas posiciones en el espacio, denominadas por el nuevo sistema
de ejesX, YyZ.
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Tomemos como otra referencia fija al punto P, cuya posicin en elespacio se encuentra referida por las coordenadas (x, y, z) en el sistema
coordenado original y por las coordenadas (x y z) en el nuevo sistema
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coordenado original y por las coordenadas (x , y , z ) en el nuevo sistema
coordenado. Denominemos como 1, b1, g1; 2, b2, g2 y 3, b3, g3,
respectivamente, a los ngulos directores de los ejesX, YyZcon respecto a
los ejes originales, segn se muestra en la figura 3.25 y se identifica en la
tabla 3.1.
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Si se lee la tabla 3.1 por filas, se obtienen los ngulos directores de los
nuevos ejes con respecto a los ejes originales, mientras que si se lee por
columnas, se obtienen los ngulos directores de los ejes originales con
respecto a los nuevos ejes.
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A partir de la tabla 3.1 se obtiene que los ngulos directores del eje X con
respecto a los nuevos ejes son 1, 2 , 3. Entonces, dado que el eje X es
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normal al plano YZ se obtiene, a partir de teoremas con respecto a la forma
normal de la ecuacin del plano en el espacio, que la ecuacin del plano YZ
con respecto al nuevo sistema de ejes est dada por:
Se sabe a partir de teoremas relativos a la ecuacin del plano en el
espacio que el miembro de la izquierda de la ecuacin 3.351 representa la
distancia perpendicular del plano YZ con respecto al punto P y, de la figura
3.25, se observa que esta distancia est dada tambin por la coordenada x.
Por lo tanto, a partir de este anlisis, tenemos que la relacin existente entrela coordenada x y el nuevo sistema coordenado est dada por:
Si se procede de manera similar para el eje Y con respecto al plano XZ y
el eje Z con respecto al plano XY, se obtienen las expresiones relativas para
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definir a las coordenadasyyzen funcin de las nuevas coordenadas, lo cual
se puede demostrar que son:
De las ecuaciones 3.352 a 3.354 observamos que existen nueve cosenos
directores o constantes en el sistema; sin embargo, estas constantes no sonindependientes. Recordando que la suma de los cuadrados de los cosenos
directores de cualquier lnea recta en el espacio es igual a la unidad,
tenemos:
Adems, los nuevos ejes X, YyZson perpendiculares entre si. Si sabe
que para dos rectas en el espacio sean mutuamente perpendiculares, la
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suma del producto de sus cosenos directores correspondientes debe ser
igual a cero. Por lo tanto:
Las ecuaciones 3.355 a 3.360 definen las relaciones que existen entre los
ngulos directores de manera que satisfagan las condiciones de
perpendicularidad y unicidad de solucin al experimentar una rotacin en
el espacio con respecto al origen.El sistema de ecuaciones 3.352 a 3.354 define a cada una de las
coordenadas originales de Pcon respecto al nuevo sistema coordenado.
Desde el punto de vista del anlisis estructural, interesa tambin definir
las coordenadas nuevas (locales) del punto P con respecto al sistema
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coordenado original (global), es decir, la transformacin inversa. Esto se
logra procediendo de manera similar, utilizando las ecuaciones de los
planos YZ, XZ y XY con respecto a los ejes originales, de donde
obtenemos:
Resulta claro que los trminos del sistema de ecuaciones 3.352 a 3.354
pueden obtenerse de leer por columnas la tabla 3.1, mientras que el sistema
de ecuaciones 3.361 a 3.363 puede obtenerse leyendo por filas la misma
tabla. De igual manera, las ecuaciones 3.352 a 3.354 pueden escribirse
matricialmente como:
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o, escrito de forma compacta:
donde [ ]1 es la matriz de transformacin. Similarmente, las
ecuaciones 3.361 a 3.363 se pueden escribir como:
o, escrito de forma compacta:
De la observacin de las ecuaciones 3.364 a 3.367 se concluye que:
por lo que, al igual que en el plano, se confirma que la matriz detransformacin en el espacio es ortogonal, ya que su inversa es igual a su
transpuesta
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transpuesta.
Considrese ahora el elemento viga-columna tridimensional de la
figura 3.26, cuyos ejes locales coinciden con los ejes X, Y Z. Se pretende
referir sus propiedades al sistema global definido por los ejes XYZ.
Se sabe, a partir de secciones anteriores, que:
donde [k] es la matriz de rigidez del elemento referida al sistema
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donde [k] es la matriz de rigidez del elemento referida al sistema
global de referencia, [k] es la matriz de rigidez del elemento en
coordenadas locales, y [T] es la matriz de transformacin del sistema
local al sistema global. De las figuras 3.25 y 3.26 se observa que en la
rotacin de los ejes en el espacio, todos sufren transformacin, por lo
que en este caso tanto las fuerzas como los momentos se transforman alcambiar de sistema coordenado. Se puede demostrar que, para este caso,
recordando que la matriz [T] relaciona las fuerzas y desplazamientos
referidas al sistema local con respecto al global, es decir:
entonces, las relaciones existentes entre las fuerzas est dada por:
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donde resulta claro que la matriz de transformacin [T] es, en este
caso:
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donde,yson los cosenos directores que definen al eje Zconrespecto al sistema coordenado ZYX, , y son los cosenos
directores que definen al eje Y con respecto al sistema coordenado original
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directores que definen al eje Y con respecto al sistema coordenado original
ZYX, y, y son los cosenos directores que definen al eje Xcon
respecto al sistema coordenado ZYX, respectivamente. La matriz [T] se
puede escribir en forma compacta como:
donde [0] es la matriz cero de orden tres y [] es, a partir de la
ecuacin 3.373:
la notacin utilizada en la transformacin de ejes para cada uno de losngulos directores segn se presenta en la figura 3.25 y en la ecuacin 3.366,
tomando en cuenta el cambio de orden que involucran los ejes, las acciones y
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to a do e cue ta e ca b o de o de que o uc a os ejes, as acc o es y
los grados de libertad de la figura 3.26, se tiene que, en este caso , la
transformacin de ejes se puede escribir matricialmente como:
por lo que, de 3.375 y 3.376 se tiene que:
en este caso se procede de manera similar a como se hizo para los
elementos bidimensionales para obtener las submatrices de rigidez del
elemento referidas al sistema global (6x6) a partir de las submatrices de rigidez
del elemento en coordenadas locales (6x6) y de las submatrices de
transformacin de cada nudo (6x6).
El resultado resulta algo tedioso y, en este caso, es preferible calcular
numricamente cada uno de los coeficientes que llegar a soluciones cerradas
l i t t l b t i lt t
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que lo nico que mostraran en este caso es que las submatrices resultantes se
acoplan como consecuencia de la rotacin. Sin embargo, con fines ilustrativos,
se mostrar tambin como lucen para el caso tridimensional. Recordando que
la matriz de rigidez del elemento en coordenadas locales se puede escribir
como:
donde cada una de las submatrices de rigidez del elemento viga-columna
de la figura 3.26 tiene la siguiente forma:
donde i y j son los subindices correspondientes a los extremos y A, B, C,
D, E, F, G, H, I y J son los respectivos coeficientes de rigidez de cada una de
l b t i d d h bi d d t i fi ti S
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las submatrices, donde se ha cambiado de notacin por fines prcticos. Se
sabe adems que la matriz de transformacin de cada nudo est dada por:
y que:
por lo que sustituyendo las ecuaciones 3.377, 3.379 y 3.380 en la ecuacin
3.381 se tiene que cada submatriz de rigidez del elemento expresada en
coordenadas globales [] est dada por:
ENSAMBLE
La matriz de rigidez global del sistema [K] se define utilizando
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algoritmos de ensamble, similar a lo explicado en armaduras.
En la seccin anterior fue posible manipular los ndices de las matricesutilizando una matriz de permutacin que denominamos []. Las columnas
de [] tienen correspondencia uno a uno con los elementos de la estructura,
mientras que los renglones de [] tienen correspondencia uno a uno con los
grados de libertad de cada elemento en coordenadas globales. El elemento
representa al nmero de grados de libertad global que corresponde al
grado de libertad local i (referido en coordenadas globales) del elemento j.
Por ejemplo, sea el marco bidimensional de la figura 3.27. Para este ,arco
tomando en cuenta que cada elemento i corresponde al elemento viga-
columna bidimensional, se tendra que la matriz [] estara dada por:
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Otro ha utilizar es ensamblar la matriz de rigidez por medio de las
submatrices de rigidez de los elementos en coordenadas globales, con base en:
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1) identificar los nudos con grados de libertad.
2) liberando simultneamente a cada nudo libre, identificar las submatrices de
cada elemento que se suman para ese nudo, adems de identificar las
submatrices que pasan informacin a los nudos libres vecinos que se
encuentren directamente conectados al nudo liberado. Para ello esimportante la orientacin de los elementos.
Sea el marco de figura 3.27. Si liberamos el nudo 1, al que se encuentran
conectados los elementos 1 y 2, observamos que para el elemento 1, el nudo 1
es nudo de llegada (o un nudo B o 2 local), por lo que los coeficientes de
rigidez que se deben sumar para este nudo se encuentran en la submatriz [221 ]
Al encontrarse el nudo de partida del elemento 1 restringido, no pasainformacin a la matriz de rigidez de los grados de libertad (pero si a las de los
grados restringidos, lo cual no nos ocupa en este caso). Para el elemento 2, el
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g g p
nudo 1 es nudo de partida, por lo que los coeficientes de rigidez que se deben
sumar para este nudo se encuentran en las submatriz [112 ].
El nudo de llegada del elemento 2 se conecta al nudo libre 2, por lo que en
este caso la barra 2 pasa informacin entre los nudos 1 y 2 por medio de los
coeficientes de rigidez que se encuentran en la submatriz [122
].De manera similar, se tiene que cuando se libera el nudo 2, los elementos
conectados son 2 (viga) y 3 (columna). Para el elemento 3, el nudo 2 es de
llegada, por lo tanto, ah se suma [223 ]. Para el elemento 2, el nudo 2 es de
llegada, por lo tanto, ah se suma [222 ]. Como el elemento 2 conecta a los nudos
libres 1 y 2, en este caso pasa la informacin del nudo 2 al 1 mediante la matriz
[212 ].
Por lo tanto, el ensamble de la matriz de rigidez global del marco de la
figura 3.27 utilizando el concepto de submatrices, estara indicado por la
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ecuacin 3.384:
Este procedimiento no es prctico para programar estructuras complejas
que contengan distintos elementos con diversos grados de libertad, pero si
muy ilustrativo para afianzar los conceptos de topologa y de conectividad
estructural, y para ejemplos pequeos es muy didcticos.
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