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Ferramentas Matematicas para Sistemas Lineares:
Algebra Linear
Valter J. S. Leite1
1CEFET-MG / Campus V Divinopolis, MG – Brasil
Mestrado em Engenharia Eletrica CEFET–MG / UFSJ
V. J. S. Leite (CEFET–MG / Divinopolis) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares Marco de 2016 1 / 62
O que nos espera?
1 Bases, representacao e ortonormalizacao
2 Equacoes algebricas lineares
3 Transformacao de similaridade
4 Forma diagonal e forma de Jordan
5 Funcoes de uma matriz quadradaTeorema de Cayley-Halmilton
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Algebra Linear
Rever e introduzir conceitos e resultados de algebra linear, tais como:• Bases de espacos vetoriais e representacoes;• Resolucao de equacoes algebricas lineares;• Diagonalizacao de matrizes;• Funcao de matrizes;• Matriz definida positiva;• Formulas usuais de matrizes.
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Bases, representacao e ortonormalizacao
Dependencia linear
• Um conjunto de vetores [x1,x2, . . . ,xm] em Rn e dito linearmente
dependente se existem numeros α1, α2, . . ., αm, nao todos zeros em queα1x1 + α2x2 + . . .+ αmxm = 0.
• Combinacao linear x1 = − 1α1
[α2x2 + α3x3 + . . .+ αmxm] .
• A dimensao de um espaco linear pode ser definido como o numeromaximo de vetores linearmente independentes.
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Bases e representacao
• Todo vetor x em Rn pode ser expresso unicamente como
x = α1q1 + α2q2 + . . . + αnqn.
• O conjunto de vetores linearmente independentes Q = [q1,q2, . . . ,qn] euma base do espaco.
• O conjunto de numeros [α1,α2, . . . , αn] e a representacao do vetor emrelacao a base Q.
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Exercıcio:
Considere os vetores
x =
[13
], q1 =
[31
]e q2 =
[22
].
Determine a representacao de x em relacao a q1 e q2.
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Normas de vetores
Qualquer funcao de valor real de x, denotada por ‖x‖, pode ser definidacomo norma se tem as seguintes propriedades:
1 ‖x‖ ≥ 0 ∀ x e ‖x‖ = 0 se e so se x = 0. ;
2 ‖αx‖ = |α| ‖x‖, para qualquer α real;
3 ‖x1 + x2‖ ≤ ‖x1‖+ ‖x2‖, ∀ x1 e x2 (inequacao triangular);
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Norma um
‖x‖1 =n∑
i=1
|xi| .
Norma Euclideana
‖x‖2 =√x′x =
(n∑
i=1
|xi|2) 1
2
.
Norma infinita‖x‖
∞= maxi |xi| .
Exercıcio:Calcule as normas um, Euclidiana e infinita do vetor x =
[3 −1 4
]′.
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Ortonormalizacao
Um conjunto de vetores e dito ortonormal se
x′ixj =
{0, Se i 6= j,1, Se i = j.
Procedimento de ortonormalizacao de Schmidt
u1 = e1, q1 =u1
‖u1‖,
u2 = e2 − (q′1e2)q1, q2 =
u2
‖u2‖,
um = em −m−1∑
k=1
(q′kem)qk, qm =
um
‖um‖ .
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Exercıcio:
Encontre vetores ortonormais que sirvam como base do mesmo espacodeterminado pelos vetores:
2−31
e
111
.
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Considere o conjunto de equacoes algebricas lineares
Ax = y.
A seguir a condicao de existencia e a forma da solucao geral da equacaoacima sera discutida.
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• O espaco-coluna de A e definido como todas as possıveis combinacoeslineares das colunas de A.• O posto de A e a dimensao do Espaco-coluna.• Um vetor x e chamado vetor nulo se Ax = 0.• A nulidade e definida como o numero maximo de vetores nuloslinearmente independentes de A.• A nulidade pode ser dada pela relacao
Nulidade(A) = numero de colunas de A− posto(A).
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Exercıcio:
Seja a matriz
A =
0 1 1 21 2 3 42 0 2 0
.
Determine o posto, a nulidade e bases para o espaco-coluna e oespaco-nulo.
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Teorema 3.1
1 - Seja uma matriz A m× n e um vetor y m× 1. Uma solucao x daequacao Ax = y existe se e so se y esta no espaco-coluna de A ou,equivalentemente, ρ(A) = ρ([A y]).2 - Seja uma matriz A. Uma solucao de Ax = y existe para todo y se eso se posto(A) = m.
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Teorema 3.2 (Parametrizacao das solucoes)
Seja uma matriz A m× n, um vetor y m× 1, uma solucao xp da equacaoAx = y e k a nulidade.Se k = 0 (posto(A) = n) entao a solucao xp e unica.Se k > 0 entao para todo real αi, i = 1, 2, . . . , k, o vetorx = xp + α1n1 + . . . + αknk e uma solucao de Ax = y, sendo{n1, . . . ,nk,} a base do espaco-nulo de A.
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Exercıcio
Calcule uma parametrizacao das solucoes da equacao Ax = y descritaabaixo
0 1 1 21 2 3 42 0 2 0
x1x2x3x4
=
−4−80
.
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Determinantes e inversas de matrizes quadradas
• Se A e triangular ou diagonal entao o determinante e igual ao produtodos elementos da diagonal.• O determinante de qualquer submatriz r × r de A e chamado de menorde ordem r .• Se A tem posto r entao ha no mınimo um menor de ordem r nao nulo etodo menor de ordem maior que r e nulo.• Uma matriz quadrada e dita nao-singular se o determinante e diferentede zero.
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Teorema 3.3
Seja a equacao Ax = y com A quadrada.1- Se A e nao-singular entao a equacao tem solucao unica para todo y e asolucao e igual a A−1y. Em particular a unica solucao de Ax = 0 e x = 0.2- A equacao homogenea Ax = 0 tem solucao nao nula se e so se A esingular. O numero de solucoes linearmente independente e igual anulidade de A.
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Considere uma matriz A n× n que mapeia Rn em R
n.• Se for associado com R
n a base canonica (ortonormal) entao a i-esimacoluna de A e a representacao de Aii com respeito a base ortonormal.• Se for selecionada uma base diferente {q1,q2, . . . ,qn} entao a matriz A
tem uma representacao diferente A.• A i-esima coluna de A e a representacao de Aqi com relacao a base{q1,q2, . . . ,qn}.
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Exemplo de transformacao de similaridade
Seja a equacao Ax = y
sendo A =
3 2 −1−2 1 04 3 1
e y =
213
.
Considere a base Q =[y Ay A2y
]=
2 5 −51 −3 −133 14 25
.
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Exemplo de transformacao de similaridade (continuacao)
O sistema transformado sera Ax = y sendo x = Q−1x,
y = Q−1y =
0,8823−0,29410,0588
e
A = Q−1AQ (transformacao de similaridade) =
0 0 171 0 −150 1 5
.
As matrizes A e A sao chamadas similares .Nesse caso particular, a matriz A e a forma companheira .
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Objetivo:
Introduzir uma transformacao de similaridade na qual a representacao damatriz sera diagonal ou bloco diagonal .
Considere a relacaoAx = λx
A e uma matriz n× n,λ e um numero real ou complexo chamado autovalor ,x e um vetor nao-nulo chamado autovetor .
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Calculo dos Autovalores e Autovetores
Ax = λx = λIx
(A− λI)x = 0
• Para que x seja nao-nulo, a matriz (A− λI) deve ser singular.• Assim, a resolucao da equacao abaixo resulta os autovalores.
∆(λ) = det (A− λI) = 0 (equacao caracterıstica) .
• Calculados os autovalores, os autovetores podem ser obtidos resolvendo(A− λI)x = 0.
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Caso 1: Os autovalores sao distintos
• Nesse caso, a representacao de A sera diagonal
A = Q−1AQ =
λ1 0 0 . . . 00 λ2 0 . . . 00 0 λ3 . . . 0...
......
...0 0 0 . . . λn
.
O conjunto de vetores base que produzirao a diagonalizacao e compostopelos autovetores associados aos autovalores calculados,Q = [v1,v2,v3, . . . ,vn] .
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Exercıcio
Calcule os autovalores e autovetores da matriz
A =
0 0 01 0 20 1 1
.
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Caso 2: Os autovalores sao complexos
Matriz diagonal J(Q−1AQ
)e transformada na forma modal
A = Q−1JQ.
A =
1 0 00 1 10 j −j
λ 0 00 α+ jβ 00 0 α− jβ
1 0 00 0,5 −0,5j0 0,5 0,5j
.
A =
λ 0 00 α β0 −β α
(matriz bloco diagonal).
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Caso 2: Os autovalores sao complexos (Continuacao)
A matriz de transformacao P relaciona A e A.
P−1 = [v1,Re (v2) , Im (v2)]
sendo v1 o autovetor associado a λ,Re (v2) a parte real do autovetor associado a α+ jβ,Im (v2) a parte imaginaria do autovetor associado a α+ jβ.
A = PAP−1.
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Exercıcio
Calcule os autovalores e autovetores da matriz
A =
−1 1 10 4 −130 1 0
.
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Caso 3: Autovalores repetidos
• Nesse caso, a matriz A pode ter uma representacao diagonal ou blocodiagonal. Exemplos de matrizes bloco diagonais sao mostrados abaixo.
A1 =
λ1 1 0 00 λ1 1 00 0 λ1 10 0 0 λ1
, A2 =
λ1 1 0 00 λ1 1 00 0 λ1 00 0 0 λ1
,
A3 =
λ1 1 0 00 λ1 0 00 0 λ1 10 0 0 λ1
, A4 =
λ1 1 0 00 λ1 0 00 0 λ1 00 0 0 λ1
.
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• No caso em que nao ha uma representacao diagonal, deve-se empregarcomo base os autovetores generalizados .• Um vetor e chamado autovetores generalizados de grau n se
(A− λI)n v = 0
e
(A− λI)(n−1)v 6= 0.
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Caso 3:Autovalores repetidos (continuacao)
• Calculo dos autovetores generalizados:
(A− λI)v1 = 0,
(A− λI)v2 = v1,
(A− λI)v3 = v2,
(A− λI)v4 = v3.
Os vetores [v1,v2,v3,v4] sao linearmente independentes.
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Exercıcio
Calcule os autovalores e autovetores da matriz
A =
11 −8,5 2,5 −211 −10 4 −215 −19 9 −26 −5,5 1,5 1
.
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• Polinomios de uma matriz n× n:
Ak = AA . . .A, (k vezes) , A0 = I.
• Seja o polinomio f(λ) = λ3 + 2λ2 − 6.⇒ f(A) e definida como f(A) = A3 + 2A2 − 6.
• Pode ser mostrado que f(A) = Pf(A)P−1.• Polinomio monico e um polinomio em que o coeficiente do termo demaior potencia e 1.• Polinomio mınimo e definido como o polinomio monico ψ(λ) de menorgrau tal que ψ(A) = 0.
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• O grau do polinomio mınimo corresponde a ordem do maior bloco deJordan para autovalores repetido.• A nulidade de (A− λI) corresponde ao numero de blocos de Jordan deautovalores repetidos.Exemplo
A1 =
λ1 1 0 00 λ1 1 00 0 λ1 00 0 0 λ1
A2 =
λ1 1 0 00 λ1 0 00 0 λ1 10 0 0 λ1
Polinomio mınimo: (A1 − λ1I)3
Nulidade: 2Polinomio mınimo: (A2 − λ1I)
2
Nulidade: 2
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• Conheca Cayley e Hamilton
Teorema de Cayley-Halmilton
Toda matriz A ∈ Cn×n satisfaz sua propria equacao caracterıstica.
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• Conheca Cayley e Hamilton
Teorema de Cayley-Halmilton
Toda matriz A ∈ Cn×n satisfaz sua propria equacao caracterıstica.
Ou seja, se Q(λ) = det (λI−A) = λn + an−1λn−1 + . . .+ a1λ+ a0λ
0 = 0Entao,
Q(A) = An + an−1An−1 + . . . + a1A+ a0A
0 = 0
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• Conheca Cayley e Hamilton
Teorema de Cayley-Halmilton
Toda matriz A ∈ Cn×n satisfaz sua propria equacao caracterıstica.
Ou seja, se Q(λ) = det (λI−A) = λn + an−1λn−1 + . . .+ a1λ+ a0λ
0 = 0Entao,
Q(A) = An + an−1An−1 + . . . + a1A+ a0A
0 = 0
Ax = λx, em que x e um autovetor e λ um autovalor
portanto,
(A− λI)x = 0 ⇒ det (A− λI) = det (λI−A) = 0
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Funcoes de matriz quadrada
• Ideia central:Como A e solucao de sua equacao caracterıstica:
λn = −an−1λn−1 − . . .− a1λ− a0λ
0 (1)
Se multiplicarmos ambos os lados por λ:⇒ Lado direito: λn+1
⇒ Lado esquerdo: λn, λn−1, . . . , λ1.Substituindo λn pelo lado direito de (1), tem-se que
λn+1 pode ser escrito em termos de λn−1, λn−2, . . . , λ1
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Funcoes de matriz quadrada
• Ideia central:Como A e solucao de sua equacao caracterıstica:
λn = −an−1λn−1 − . . .− a1λ− a0λ
0 (1)
Se multiplicarmos ambos os lados por λ:⇒ Lado direito: λn+1
⇒ Lado esquerdo: λn, λn−1, . . . , λ1.Substituindo λn pelo lado direito de (1), tem-se que
λn+1 pode ser escrito em termos de λn−1, λn−2, . . . , λ1
⇒ . . . generalizando
λn+k −→ λn−1, λn−2, . . . , λ1, para qualquer k
V. J. S. Leite (CEFET–MG / Divinopolis) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares Marco de 2016 36 / 62
• Assim, a serie (de Taylor) infinita:
f(λ) = β0 + β1λ+ β2λ2 + . . . =
∞∑
i=0
βiλi
pode ser expressa como
f(λ) = β0 + β1λ+ β2λ2 + . . .+ βn−1λ
n−1 (2)
Resta determinar βi, i = 0, . . . , n− 1.
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Em resumo:
Toda funcao f(A), A ∈ Cn×n, que possa ser expressa como uma serie de
potencias:
f(A) = β0I+ β1A+ β2A2 + . . . =
∞∑
i=0
βiAi
pode ser calculada usando potencias de A menores ou iguais a n− 1:
f(A) = β0I+ β1A+ β2A2 + . . . βn−1A
n−1
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Em resumo:
Toda funcao f(A), A ∈ Cn×n, que possa ser expressa como uma serie de
potencias:
f(A) = β0I+ β1A+ β2A2 + . . . =
∞∑
i=0
βiAi
pode ser calculada usando potencias de A menores ou iguais a n− 1:
f(A) = β0I+ β1A+ β2A2 + . . . βn−1A
n−1
Como calcular βi, i = 1, . . . , n− 1?
V. J. S. Leite (CEFET–MG / Divinopolis) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares Marco de 2016 38 / 62
Encontrando βi
• Suponha n autovalores distintos λ1, . . . , λn. Entao (2) e valida paraesses n autovalores:
f(λ1)f(λ2)
...f(λn)
=
1 λ1 λ21 · · · λn−11
1 λ2 λ22 · · · λn−12
......
.... . .
...1 λn λ2n · · · λn−1
n
︸ ︷︷ ︸Matriz de Vandermonde
β0β1...
βn−1
(3)
O que permite calcular
β0β1...
βn−1
=
1 λ1 λ21 · · · λn−11
1 λ2 λ22 · · · λn−12
......
.... . .
...1 λn λ2n · · · λn−1
n
−1
f(λ1)f(λ2)
...f(λn)
(4)
V. J. S. Leite (CEFET–MG / Divinopolis) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares Marco de 2016 39 / 62
no Matlab. . .
• Veja o comando vander(x), que monta a matriz de Vandermonde⇒x =
[λ1 λ2 · · · λn
]
• Cuidado: Para usar vander(x) e preciso mudar a ordem das incognitas:
f(λ1)f(λ2)
...f(λn)
︸ ︷︷ ︸F(λ)
=
λn−11 λn−2
1 · · · λ1 1
λn−12 λn−2
2 · · · λ2 1...
......
. . ....
λn−1n λn−2
n · · · λn 1
︸ ︷︷ ︸V(λ)
βn−1
βn−2...β0
︸ ︷︷ ︸β(λ)
(5)
• Portanto, β(λ) = V−1(λ)F(λ)
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Exemplo
Sejam
A(t) =
[2t 30 −4e−2t
]e f(A) = sin(A) +A2
⇒ Calculando os autovalores:
det(λI−A(t)) = 0 ⇒ (λ− 2t)(λ+ 4e−2t) = 0
logo: λ1 = 2t e λ2 = −4e−2t
⇒ Monte as matrizes F(λ), V(λ) e β(λ):
F(λ) =
[sin(2t) + (2t)2
sin(−4e−2t) + (−4e−2t)2
]=
[sin(2t) + 4t2
− sin(4e−2t) + 16e−4t
]
V(λ) =
[2t 1
−4e−2t 1
]β(λ) =
[β1β0
]
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⇒ No matlab:
syms L t % L = lambda;
A = [2*t 3; 0 -4*exp(-2*t)];
p = simple(det(L*eye(2)-A)); % p-> pol. caract.
L1 = 2*t; L2 = -4*exp(-2*t); % autovalores
f1 = sin(L1)+L1^2; f2 = sin(L2)+L2^2;
F = [f1; f2];
V = [L1 1; L2 1];
betas = simple(inv(V)*F)
β(λ) =
sin(2 t)+4 t2+sin(4 e−2 t)−16 e−4 t
2 t+4 e−2 t
2 e−2 t sin(2 t)+8 e−2 tt2−t sin(4 e−2 t)+16 te−4 t
t+2 e−2 t
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⇒ Portanto, f(A) = sin(A) +A2 pode ser calculada como
f(A) =sin (2 t) + 4 t2 + sin
(4 e−2 t
)− 16 e−4 t
2 t+ 4 e−2 tI
+2 e−2 t sin (2 t) + 8 e−2 tt2 − t sin
(4 e−2 t
)+ 16 te−4 t
t+ 2 e−2 tA(t)
⇒ No matlab, para t = π/4:
>> f = betas(1)*eye(2) + betas(2)*A;
>> subs(f,t,pi/4)
resulta:
f(A(π4
))=
[3.2996 3.5073
0 0.4910
]
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E se os autovalores nao sao distintos?
Calcule os autovalores de A ∈ Cn×n;
Faca f(A) = f(λ); (troque A por λ)
Defina h(λ) um polinomio de grau n− 1;
Calcule os coeficientes de h(λ) usando:f (ℓ)(λi) = h(ℓ)(λi), ℓ = 0,1, . . . ,(ni − 1) e i = 0,1, . . . ,m
⇒ f (ℓ)(λi) =dℓf(λ)dλℓ
∣∣∣λ=λi
⇒ h(ℓ)(λi) definido de maneira similar.⇒ Calcule f(A) por meio de h(A).
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Exercıcios (sugestao)
1 Sendo A =
1 0 00 1 0−2 −3 −4
e B =
−2.9474 −1.3158 00.8421 −5.0526 0−1.6842 2.1053 −4
,
calcule via Cayley-Hamilton:
a. e−At;b. At;c. A100;d. 3 sinBt;e. eBt;f. e(A+B)t
2 Quais sao as propriedades do determinante de uma matriz deVandermonde? O que isso implica na solucao dos problemasrelacionados ao teorema de Cayley-Hamilton?
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Exercıcio
Calcule:
a - A100 sabendo que A =
[0 1
−1 −2
].
b - eAt com A =
0 0 −20 1 01 0 3
.
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Serie de potencias
• Assuma que f(λ) possa ser expressa como
f(λ) =
∞∑
i=0
βiλi
com raio de convergencia ρ.• Se todos os autovalores de A tem magnitude menor que ρ entao
f(A) =∞∑
i=0
βiAi.
• Devido a propriedade de nilpotencia, o parametro i sera limitado a umvalor inteiro uma vez que a partir de determinado valor de i as potenciasde (A− λI) sao nulas.
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Resultados importantes
e0 = I
eA(t1+t2) = eAt1eAt2
[eAt]−1
= e−At
deAt
dt= AeAt = eAtA
e(A+B)t 6= eAteBt
L[eAt]= (sI−A)−1 , sendo L [·] a transformada de Laplace.
L
[deAt
dt
]= sL
[eAt]− e0 = AL
[eAt]
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Equacao de Lyapunov
Considere a equacaoAM+MB = C
sendo A n× n, B m×m, e as matrizes C e D n×m.Como exemplo considere n = 3 e m = 4
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
m11 m12
m21 m22
m31 m32
+
m11 m12
m21 m22
m31 m32
[
b11 b12
b21 b22
]
=
=
c11 c12
c21 c22
c31 c32
.
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A equacao pode ser reescrita como AM = C sendo
A =
a11 + b11 a12 a13 b21 0 0a21 a22 + b11 a23 0 b21 0a31 a32 a33 + b11 0 0 b21b21 0 0 a11 + b22 a12 a130 b12 0 a21 a22 + b22 a230 0 b12 a31 a32 a33 + b22
,
M =
m11
m21
m31
m12
m22
m32
e C =
c11c21c31c12c22c32
.
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Considere a equacao AM = ηM:• O escalar η e um autovalor de A.• Pode ser mostrado que ηk = λi + µj sendo λi e µj os autovalores de A
e B respectivamente.• Se λi + µj 6= 0 para todo i e j entao a solucao M existe e e unica.• Se λi + µj = 0 para algum i e j entao a existencia de solucao dependede C. Caso exista nao sera unica.
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Formulas usuais
• Considere matrizes A m× n e B n× p. Tem-se que
ρ(AB) ≤ min(ρ(A),ρ(B)), sendo ρ o posto.
• Sejam as matrizes nao-singulares A m× n, C m× n, D m×m, entaotem-se que
ρ(AC) = ρ(A) = ρ(DA).
• Seja M =
[A 0
C B
]ou M =
[A C
0 B
]assim
det(M) = det(A)det(B).
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Considere matrizes A m× n e B n×m:
• Defina N =
[
Im A
0 In
]
, Q =
[
Im 0
−B In
]
e P =
[
Im −A
B In
]
.
• Pode ser mostrado que
det(QP) = det(NP) = det(P) = det(Im +AB) = det(In +BA).
• Em N, Q e P se In, Im e B sao trocados respectivamente por√sIn,√
sIm e −B obtem-se
sndet(sIm −AB) = smdet(sIn −BA).
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Forma quadratica e definida positiva
• Uma matriz quadrada M e chamada simetrica se M′ = M.• Os autovalores de matrizes simetricas sao todos reais.• Uma matriz quadrada A e chamada ortonormal se A′A = I, ou seja,A−1 = A′.Teorema 3.6Para toda matriz simetrica M, existe uma matriz ortogonal Q tal que
M = QDQ′ ou D = Q′MQ
sendo D a matriz diagonal com os autovalores de M, os quais serao reais.
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Teorema 3.7
Uma matriz simetrica M n× n e definida positiva (ou semidefinida) se esomente se uma das condicoes acontece:
1 Todo autovalor de M e positivo (ou zero);
2 Todos os principais menores de M sao positivos (ou zeros);
3 Existe uma matriz nao-singular N (n× n ou m× n sendo m < n) talque M = N′N.
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Teorema 3.8
1. Uma matriz H m× n com m ≥ n, tem posto n, se e somente se amatriz H′H n× n tem posto n, ou seja, det(H′H) 6= 0.2. Uma matriz H m× n com m ≤ n, tem posto m, se e somente se amatriz HH′ m×m tem posto m, ou seja, det(HH′) 6= 0.
Obs.: Os autovalores nao nulos de HH′ e HH′ sao iguais. A diferencaentre as matrizes esta no numero de autovalores nulos.
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Decomposicao em valores singulares
Seja H uma matriz real m× n. Defina M = H′H. Sabe-se que r e onumero de seus autovalores positivos. Os autovalores de M podem serordenados como
λ12 ≥ λ2
2 ≥ . . . λr2 > 0 = λr+1 = . . . = λn.
Seja n = min(m,n). Entao o conjunto
λ1 ≥ λ2 ≥ . . .λr > 0 = λr+1 = . . . = λn.
e chamado valores singulares de H.
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Teorema 3.9 (decomposicao em valores singulares)
Toda matriz H m× n pode ser reescrita na forma
H = RSQ′
sendo R′R = RR′ = Im, Q′Q = QQ′ = In e S m× n com valoressingulares de H na diagonal.
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Exercıcio
1 - Calcule os valores singulares da matriz
H =
[−4 −1 22 0,5 −1
].
2 - Faca a decomposicao da matriz abaixo em valores singulares
K =
1 10 11 0
.
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Normas de matrizes
• Norma um
‖A‖1 = maxj
n∑
i=1
|aij| = maior soma absoluta das colunas.
• Norma Euclideana
‖A‖2 = maior valor singular de A.
• Norma infinita
‖A‖∞
= maxi
n∑
j=1
|aij | = maior soma absoluta das linhas.
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Norma de matrizes tem as seguintes propriedades:
1 ‖Ax‖ ≤ ‖A‖ ‖x‖;2 ‖A+B‖ ≤ ‖A‖+ ‖B‖;3 ‖AB‖ ≤ ‖A‖ ‖B‖.
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ExercıcioCalcule as normas um, Euclidiana e infinita da matriz
H =
[−4 −1 22 0,5 −1
].
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