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Ferramentas Matematicas para Sistemas Lineares:

Algebra Linear

Valter J. S. Leite1

1CEFET-MG / Campus V Divinopolis, MG – Brasil

Mestrado em Engenharia Eletrica CEFET–MG / UFSJ

V. J. S. Leite (CEFET–MG / Divinopolis) Teoria e Projeto de Sistemas Lineares Marco de 2016 1 / 62

O que nos espera?

1 Bases, representacao e ortonormalizacao

2 Equacoes algebricas lineares

3 Transformacao de similaridade

4 Forma diagonal e forma de Jordan

5 Funcoes de uma matriz quadradaTeorema de Cayley-Halmilton


Algebra Linear

Rever e introduzir conceitos e resultados de algebra linear, tais como:• Bases de espacos vetoriais e representacoes;• Resolucao de equacoes algebricas lineares;• Diagonalizacao de matrizes;• Funcao de matrizes;• Matriz definida positiva;• Formulas usuais de matrizes.


Bases, representacao e ortonormalizacao

Dependencia linear

• Um conjunto de vetores [x1,x2, . . . ,xm] em Rn e dito linearmente

dependente se existem numeros α1, α2, . . ., αm, nao todos zeros em queα1x1 + α2x2 + . . .+ αmxm = 0.

• Combinacao linear x1 = − 1α1

[α2x2 + α3x3 + . . .+ αmxm] .

• A dimensao de um espaco linear pode ser definido como o numeromaximo de vetores linearmente independentes.


Bases e representacao

• Todo vetor x em Rn pode ser expresso unicamente como

x = α1q1 + α2q2 + . . . + αnqn.

• O conjunto de vetores linearmente independentes Q = [q1,q2, . . . ,qn] euma base do espaco.

• O conjunto de numeros [α1,α2, . . . , αn] e a representacao do vetor emrelacao a base Q.


Exercıcio:

Considere os vetores

x =

[13

], q1 =

[31

]e q2 =

[22

].

Determine a representacao de x em relacao a q1 e q2.


Normas de vetores

Qualquer funcao de valor real de x, denotada por ‖x‖, pode ser definidacomo norma se tem as seguintes propriedades:

1 ‖x‖ ≥ 0 ∀ x e ‖x‖ = 0 se e so se x = 0. ;

2 ‖αx‖ = |α| ‖x‖, para qualquer α real;

3 ‖x1 + x2‖ ≤ ‖x1‖+ ‖x2‖, ∀ x1 e x2 (inequacao triangular);


Norma um

‖x‖1 =n∑

i=1

|xi| .

Norma Euclideana

‖x‖2 =√x′x =

(n∑

i=1

|xi|2) 1

2

.

Norma infinita‖x‖

∞= maxi |xi| .

Exercıcio:Calcule as normas um, Euclidiana e infinita do vetor x =

[3 −1 4

]′.


Ortonormalizacao

Um conjunto de vetores e dito ortonormal se

x′ixj =

{0, Se i 6= j,1, Se i = j.

Procedimento de ortonormalizacao de Schmidt

u1 = e1, q1 =u1

‖u1‖,

u2 = e2 − (q′1e2)q1, q2 =

u2

‖u2‖,

um = em −m−1∑

k=1

(q′kem)qk, qm =

um

‖um‖ .


Exercıcio:

Encontre vetores ortonormais que sirvam como base do mesmo espacodeterminado pelos vetores:

2−31

e

111

.


Considere o conjunto de equacoes algebricas lineares

Ax = y.

A seguir a condicao de existencia e a forma da solucao geral da equacaoacima sera discutida.


• O espaco-coluna de A e definido como todas as possıveis combinacoeslineares das colunas de A.• O posto de A e a dimensao do Espaco-coluna.• Um vetor x e chamado vetor nulo se Ax = 0.• A nulidade e definida como o numero maximo de vetores nuloslinearmente independentes de A.• A nulidade pode ser dada pela relacao

Nulidade(A) = numero de colunas de A− posto(A).


Exercıcio:

Seja a matriz

A =

0 1 1 21 2 3 42 0 2 0

.

Determine o posto, a nulidade e bases para o espaco-coluna e oespaco-nulo.


Teorema 3.1

1 - Seja uma matriz A m× n e um vetor y m× 1. Uma solucao x daequacao Ax = y existe se e so se y esta no espaco-coluna de A ou,equivalentemente, ρ(A) = ρ([A y]).2 - Seja uma matriz A. Uma solucao de Ax = y existe para todo y se eso se posto(A) = m.


Teorema 3.2 (Parametrizacao das solucoes)

Seja uma matriz A m× n, um vetor y m× 1, uma solucao xp da equacaoAx = y e k a nulidade.Se k = 0 (posto(A) = n) entao a solucao xp e unica.Se k > 0 entao para todo real αi, i = 1, 2, . . . , k, o vetorx = xp + α1n1 + . . . + αknk e uma solucao de Ax = y, sendo{n1, . . . ,nk,} a base do espaco-nulo de A.


Exercıcio

Calcule uma parametrizacao das solucoes da equacao Ax = y descritaabaixo

0 1 1 21 2 3 42 0 2 0

x1x2x3x4

=

−4−80

.


Determinantes e inversas de matrizes quadradas

• Se A e triangular ou diagonal entao o determinante e igual ao produtodos elementos da diagonal.• O determinante de qualquer submatriz r × r de A e chamado de menorde ordem r .• Se A tem posto r entao ha no mınimo um menor de ordem r nao nulo etodo menor de ordem maior que r e nulo.• Uma matriz quadrada e dita nao-singular se o determinante e diferentede zero.


Teorema 3.3

Seja a equacao Ax = y com A quadrada.1- Se A e nao-singular entao a equacao tem solucao unica para todo y e asolucao e igual a A−1y. Em particular a unica solucao de Ax = 0 e x = 0.2- A equacao homogenea Ax = 0 tem solucao nao nula se e so se A esingular. O numero de solucoes linearmente independente e igual anulidade de A.


Considere uma matriz A n× n que mapeia Rn em R

n.• Se for associado com R

n a base canonica (ortonormal) entao a i-esimacoluna de A e a representacao de Aii com respeito a base ortonormal.• Se for selecionada uma base diferente {q1,q2, . . . ,qn} entao a matriz A

tem uma representacao diferente A.• A i-esima coluna de A e a representacao de Aqi com relacao a base{q1,q2, . . . ,qn}.


Exemplo de transformacao de similaridade

Seja a equacao Ax = y

sendo A =

3 2 −1−2 1 04 3 1

e y =

213

.

Considere a base Q =[y Ay A2y

]=

2 5 −51 −3 −133 14 25

.


Exemplo de transformacao de similaridade (continuacao)

O sistema transformado sera Ax = y sendo x = Q−1x,

y = Q−1y =

0,8823−0,29410,0588

e

A = Q−1AQ (transformacao de similaridade) =

0 0 171 0 −150 1 5

.

As matrizes A e A sao chamadas similares .Nesse caso particular, a matriz A e a forma companheira .


Objetivo:

Introduzir uma transformacao de similaridade na qual a representacao damatriz sera diagonal ou bloco diagonal .

Considere a relacaoAx = λx

A e uma matriz n× n,λ e um numero real ou complexo chamado autovalor ,x e um vetor nao-nulo chamado autovetor .


Calculo dos Autovalores e Autovetores

Ax = λx = λIx

(A− λI)x = 0

• Para que x seja nao-nulo, a matriz (A− λI) deve ser singular.• Assim, a resolucao da equacao abaixo resulta os autovalores.

∆(λ) = det (A− λI) = 0 (equacao caracterıstica) .

• Calculados os autovalores, os autovetores podem ser obtidos resolvendo(A− λI)x = 0.


Caso 1: Os autovalores sao distintos

• Nesse caso, a representacao de A sera diagonal

A = Q−1AQ =

λ1 0 0 . . . 00 λ2 0 . . . 00 0 λ3 . . . 0...

......

...0 0 0 . . . λn

.

O conjunto de vetores base que produzirao a diagonalizacao e compostopelos autovetores associados aos autovalores calculados,Q = [v1,v2,v3, . . . ,vn] .


Exercıcio

Calcule os autovalores e autovetores da matriz

A =

0 0 01 0 20 1 1

.


Caso 2: Os autovalores sao complexos

Matriz diagonal J(Q−1AQ

)e transformada na forma modal

A = Q−1JQ.

A =

1 0 00 1 10 j −j

λ 0 00 α+ jβ 00 0 α− jβ

1 0 00 0,5 −0,5j0 0,5 0,5j

.

A =

λ 0 00 α β0 −β α

(matriz bloco diagonal).


Caso 2: Os autovalores sao complexos (Continuacao)

A matriz de transformacao P relaciona A e A.

P−1 = [v1,Re (v2) , Im (v2)]

sendo v1 o autovetor associado a λ,Re (v2) a parte real do autovetor associado a α+ jβ,Im (v2) a parte imaginaria do autovetor associado a α+ jβ.

A = PAP−1.


Exercıcio


A =

−1 1 10 4 −130 1 0

.


Caso 3: Autovalores repetidos

• Nesse caso, a matriz A pode ter uma representacao diagonal ou blocodiagonal. Exemplos de matrizes bloco diagonais sao mostrados abaixo.

A1 =

λ1 1 0 00 λ1 1 00 0 λ1 10 0 0 λ1

, A2 =

λ1 1 0 00 λ1 1 00 0 λ1 00 0 0 λ1

,

A3 =

λ1 1 0 00 λ1 0 00 0 λ1 10 0 0 λ1

, A4 =

λ1 1 0 00 λ1 0 00 0 λ1 00 0 0 λ1

.


• No caso em que nao ha uma representacao diagonal, deve-se empregarcomo base os autovetores generalizados .• Um vetor e chamado autovetores generalizados de grau n se

(A− λI)n v = 0

e

(A− λI)(n−1)v 6= 0.


Caso 3:Autovalores repetidos (continuacao)

• Calculo dos autovetores generalizados:

(A− λI)v1 = 0,

(A− λI)v2 = v1,

(A− λI)v3 = v2,

(A− λI)v4 = v3.

Os vetores [v1,v2,v3,v4] sao linearmente independentes.


Exercıcio


A =

11 −8,5 2,5 −211 −10 4 −215 −19 9 −26 −5,5 1,5 1

.


• Polinomios de uma matriz n× n:

Ak = AA . . .A, (k vezes) , A0 = I.

• Seja o polinomio f(λ) = λ3 + 2λ2 − 6.⇒ f(A) e definida como f(A) = A3 + 2A2 − 6.

• Pode ser mostrado que f(A) = Pf(A)P−1.• Polinomio monico e um polinomio em que o coeficiente do termo demaior potencia e 1.• Polinomio mınimo e definido como o polinomio monico ψ(λ) de menorgrau tal que ψ(A) = 0.


• O grau do polinomio mınimo corresponde a ordem do maior bloco deJordan para autovalores repetido.• A nulidade de (A− λI) corresponde ao numero de blocos de Jordan deautovalores repetidos.Exemplo

A1 =

λ1 1 0 00 λ1 1 00 0 λ1 00 0 0 λ1

A2 =

λ1 1 0 00 λ1 0 00 0 λ1 10 0 0 λ1

Polinomio mınimo: (A1 − λ1I)3

Nulidade: 2Polinomio mınimo: (A2 − λ1I)

2

Nulidade: 2


• Conheca Cayley e Hamilton

Teorema de Cayley-Halmilton

Toda matriz A ∈ Cn×n satisfaz sua propria equacao caracterıstica.


http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Cayley.html

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Hamilton.html




Ou seja, se Q(λ) = det (λI−A) = λn + an−1λn−1 + . . .+ a1λ+ a0λ

0 = 0Entao,

Q(A) = An + an−1An−1 + . . . + a1A+ a0A

0 = 0







Ou seja, se Q(λ) = det (λI−A) = λn + an−1λn−1 + . . .+ a1λ+ a0λ

0 = 0Entao,

Q(A) = An + an−1An−1 + . . . + a1A+ a0A

0 = 0

Ax = λx, em que x e um autovetor e λ um autovalor

portanto,

(A− λI)x = 0 ⇒ det (A− λI) = det (λI−A) = 0




Funcoes de matriz quadrada

• Ideia central:Como A e solucao de sua equacao caracterıstica:

λn = −an−1λn−1 − . . .− a1λ− a0λ

0 (1)

Se multiplicarmos ambos os lados por λ:⇒ Lado direito: λn+1

⇒ Lado esquerdo: λn, λn−1, . . . , λ1.Substituindo λn pelo lado direito de (1), tem-se que

λn+1 pode ser escrito em termos de λn−1, λn−2, . . . , λ1


Funcoes de matriz quadrada

• Ideia central:Como A e solucao de sua equacao caracterıstica:

λn = −an−1λn−1 − . . .− a1λ− a0λ

0 (1)

Se multiplicarmos ambos os lados por λ:⇒ Lado direito: λn+1

⇒ Lado esquerdo: λn, λn−1, . . . , λ1.Substituindo λn pelo lado direito de (1), tem-se que

λn+1 pode ser escrito em termos de λn−1, λn−2, . . . , λ1

⇒ . . . generalizando

λn+k −→ λn−1, λn−2, . . . , λ1, para qualquer k


• Assim, a serie (de Taylor) infinita:

f(λ) = β0 + β1λ+ β2λ2 + . . . =

∞∑

i=0

βiλi

pode ser expressa como

f(λ) = β0 + β1λ+ β2λ2 + . . .+ βn−1λ

n−1 (2)

Resta determinar βi, i = 0, . . . , n− 1.


Em resumo:

Toda funcao f(A), A ∈ Cn×n, que possa ser expressa como uma serie de

potencias:

f(A) = β0I+ β1A+ β2A2 + . . . =

∞∑

i=0

βiAi

pode ser calculada usando potencias de A menores ou iguais a n− 1:

f(A) = β0I+ β1A+ β2A2 + . . . βn−1A

n−1


Em resumo:

Toda funcao f(A), A ∈ Cn×n, que possa ser expressa como uma serie de

potencias:

f(A) = β0I+ β1A+ β2A2 + . . . =

∞∑

i=0

βiAi

pode ser calculada usando potencias de A menores ou iguais a n− 1:

f(A) = β0I+ β1A+ β2A2 + . . . βn−1A

n−1

Como calcular βi, i = 1, . . . , n− 1?


Encontrando βi

• Suponha n autovalores distintos λ1, . . . , λn. Entao (2) e valida paraesses n autovalores:

f(λ1)f(λ2)

...f(λn)

=

1 λ1 λ21 · · · λn−11

1 λ2 λ22 · · · λn−12

......

.... . .

...1 λn λ2n · · · λn−1

n

︸︷︷︸Matriz de Vandermonde

β0β1...

βn−1

(3)

O que permite calcular

β0β1...

βn−1

=

1 λ1 λ21 · · · λn−11

1 λ2 λ22 · · · λn−12

......

.... . .

...1 λn λ2n · · · λn−1

n

−1

f(λ1)f(λ2)

...f(λn)

(4)


http://en.wikipedia.org/wiki/Vandermonde_matrix

no Matlab. . .

• Veja o comando vander(x), que monta a matriz de Vandermonde⇒x =

[λ1 λ2 · · · λn

]

• Cuidado: Para usar vander(x) e preciso mudar a ordem das incognitas:

f(λ1)f(λ2)

...f(λn)

︸︷︷︸F(λ)

=

λn−11 λn−2

1 · · · λ1 1

λn−12 λn−2

2 · · · λ2 1...

......

. . ....

λn−1n λn−2

n · · · λn 1

︸︷︷︸V(λ)

βn−1

βn−2...β0

︸︷︷︸β(λ)

(5)

• Portanto, β(λ) = V−1(λ)F(λ)


Exemplo

Sejam

A(t) =

[2t 30 −4e−2t

]e f(A) = sin(A) +A2

⇒ Calculando os autovalores:

det(λI−A(t)) = 0 ⇒ (λ− 2t)(λ+ 4e−2t) = 0

logo: λ1 = 2t e λ2 = −4e−2t

⇒ Monte as matrizes F(λ), V(λ) e β(λ):

F(λ) =

[sin(2t) + (2t)2

sin(−4e−2t) + (−4e−2t)2

]=

[sin(2t) + 4t2

− sin(4e−2t) + 16e−4t

]

V(λ) =

[2t 1

−4e−2t 1

]β(λ) =

[β1β0

]


⇒ No matlab:

syms L t % L = lambda;

A = [2*t 3; 0 -4*exp(-2*t)];

p = simple(det(L*eye(2)-A)); % p-> pol. caract.

L1 = 2*t; L2 = -4*exp(-2*t); % autovalores

f1 = sin(L1)+L1^2; f2 = sin(L2)+L2^2;

F = [f1; f2];

V = [L1 1; L2 1];

betas = simple(inv(V)*F)

β(λ) =

sin(2 t)+4 t2+sin(4 e−2 t)−16 e−4 t

2 t+4 e−2 t

2 e−2 t sin(2 t)+8 e−2 tt2−t sin(4 e−2 t)+16 te−4 t

t+2 e−2 t


⇒ Portanto, f(A) = sin(A) +A2 pode ser calculada como

f(A) =sin (2 t) + 4 t2 + sin

(4 e−2 t

)− 16 e−4 t

2 t+ 4 e−2 tI

+2 e−2 t sin (2 t) + 8 e−2 tt2 − t sin

(4 e−2 t

)+ 16 te−4 t

t+ 2 e−2 tA(t)

⇒ No matlab, para t = π/4:

>> f = betas(1)*eye(2) + betas(2)*A;

>> subs(f,t,pi/4)

resulta:

f(A(π4

))=

[3.2996 3.5073

0 0.4910

]


E se os autovalores nao sao distintos?

Calcule os autovalores de A ∈ Cn×n;

Faca f(A) = f(λ); (troque A por λ)

Defina h(λ) um polinomio de grau n− 1;

Calcule os coeficientes de h(λ) usando:f (ℓ)(λi) = h(ℓ)(λi), ℓ = 0,1, . . . ,(ni − 1) e i = 0,1, . . . ,m

⇒ f (ℓ)(λi) =dℓf(λ)dλℓ

∣∣∣λ=λi

⇒ h(ℓ)(λi) definido de maneira similar.⇒ Calcule f(A) por meio de h(A).


Exercıcios (sugestao)

1 Sendo A =

1 0 00 1 0−2 −3 −4

e B =

−2.9474 −1.3158 00.8421 −5.0526 0−1.6842 2.1053 −4

,

calcule via Cayley-Hamilton:

a. e−At;b. At;c. A100;d. 3 sinBt;e. eBt;f. e(A+B)t

2 Quais sao as propriedades do determinante de uma matriz deVandermonde? O que isso implica na solucao dos problemasrelacionados ao teorema de Cayley-Hamilton?


Exercıcio

Calcule:

a - A100 sabendo que A =

[0 1

−1 −2

].

b - eAt com A =

0 0 −20 1 01 0 3

.


Serie de potencias

• Assuma que f(λ) possa ser expressa como

f(λ) =

∞∑

i=0

βiλi

com raio de convergencia ρ.• Se todos os autovalores de A tem magnitude menor que ρ entao

f(A) =∞∑

i=0

βiAi.

• Devido a propriedade de nilpotencia, o parametro i sera limitado a umvalor inteiro uma vez que a partir de determinado valor de i as potenciasde (A− λI) sao nulas.


Resultados importantes

e0 = I

eA(t1+t2) = eAt1eAt2

[eAt]−1

= e−At

deAt

dt= AeAt = eAtA

e(A+B)t 6= eAteBt

L[eAt]= (sI−A)−1 , sendo L [·] a transformada de Laplace.

L

[deAt

dt

]= sL

[eAt]− e0 = AL

[eAt]


Equacao de Lyapunov

Considere a equacaoAM+MB = C

sendo A n× n, B m×m, e as matrizes C e D n×m.Como exemplo considere n = 3 e m = 4

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

m11 m12

m21 m22

m31 m32

+

m11 m12

m21 m22

m31 m32

[

b11 b12

b21 b22

]

=

=

c11 c12

c21 c22

c31 c32

.


A equacao pode ser reescrita como AM = C sendo

A =

a11 + b11 a12 a13 b21 0 0a21 a22 + b11 a23 0 b21 0a31 a32 a33 + b11 0 0 b21b21 0 0 a11 + b22 a12 a130 b12 0 a21 a22 + b22 a230 0 b12 a31 a32 a33 + b22

,

M =

m11

m21

m31

m12

m22

m32

e C =

c11c21c31c12c22c32

.


Considere a equacao AM = ηM:• O escalar η e um autovalor de A.• Pode ser mostrado que ηk = λi + µj sendo λi e µj os autovalores de A

e B respectivamente.• Se λi + µj 6= 0 para todo i e j entao a solucao M existe e e unica.• Se λi + µj = 0 para algum i e j entao a existencia de solucao dependede C. Caso exista nao sera unica.


Formulas usuais

• Considere matrizes A m× n e B n× p. Tem-se que

ρ(AB) ≤ min(ρ(A),ρ(B)), sendo ρ o posto.

• Sejam as matrizes nao-singulares A m× n, C m× n, D m×m, entaotem-se que

ρ(AC) = ρ(A) = ρ(DA).

• Seja M =

[A 0

C B

]ou M =

[A C

0 B

]assim

det(M) = det(A)det(B).


Considere matrizes A m× n e B n×m:

• Defina N =

[

Im A

0 In

]

, Q =

[

Im 0

−B In

]

e P =

[

Im −A

B In

]

.

• Pode ser mostrado que

det(QP) = det(NP) = det(P) = det(Im +AB) = det(In +BA).

• Em N, Q e P se In, Im e B sao trocados respectivamente por√sIn,√

sIm e −B obtem-se

sndet(sIm −AB) = smdet(sIn −BA).


Forma quadratica e definida positiva

• Uma matriz quadrada M e chamada simetrica se M′ = M.• Os autovalores de matrizes simetricas sao todos reais.• Uma matriz quadrada A e chamada ortonormal se A′A = I, ou seja,A−1 = A′.Teorema 3.6Para toda matriz simetrica M, existe uma matriz ortogonal Q tal que

M = QDQ′ ou D = Q′MQ

sendo D a matriz diagonal com os autovalores de M, os quais serao reais.


Teorema 3.7

Uma matriz simetrica M n× n e definida positiva (ou semidefinida) se esomente se uma das condicoes acontece:

1 Todo autovalor de M e positivo (ou zero);

2 Todos os principais menores de M sao positivos (ou zeros);

3 Existe uma matriz nao-singular N (n× n ou m× n sendo m < n) talque M = N′N.


Teorema 3.8

1. Uma matriz H m× n com m ≥ n, tem posto n, se e somente se amatriz H′H n× n tem posto n, ou seja, det(H′H) 6= 0.2. Uma matriz H m× n com m ≤ n, tem posto m, se e somente se amatriz HH′ m×m tem posto m, ou seja, det(HH′) 6= 0.

Obs.: Os autovalores nao nulos de HH′ e HH′ sao iguais. A diferencaentre as matrizes esta no numero de autovalores nulos.


Decomposicao em valores singulares

Seja H uma matriz real m× n. Defina M = H′H. Sabe-se que r e onumero de seus autovalores positivos. Os autovalores de M podem serordenados como

λ12 ≥ λ2

2 ≥ . . . λr2 > 0 = λr+1 = . . . = λn.

Seja n = min(m,n). Entao o conjunto

λ1 ≥ λ2 ≥ . . .λr > 0 = λr+1 = . . . = λn.

e chamado valores singulares de H.


Teorema 3.9 (decomposicao em valores singulares)

Toda matriz H m× n pode ser reescrita na forma

H = RSQ′

sendo R′R = RR′ = Im, Q′Q = QQ′ = In e S m× n com valoressingulares de H na diagonal.


Exercıcio

1 - Calcule os valores singulares da matriz

H =

[−4 −1 22 0,5 −1

].

2 - Faca a decomposicao da matriz abaixo em valores singulares

K =

1 10 11 0

.


Normas de matrizes

• Norma um

‖A‖1 = maxj

n∑

i=1

|aij| = maior soma absoluta das colunas.

• Norma Euclideana

‖A‖2 = maior valor singular de A.

• Norma infinita

‖A‖∞

= maxi

n∑

j=1

|aij | = maior soma absoluta das linhas.


Norma de matrizes tem as seguintes propriedades:

1 ‖Ax‖ ≤ ‖A‖ ‖x‖;2 ‖A+B‖ ≤ ‖A‖+ ‖B‖;3 ‖AB‖ ≤ ‖A‖ ‖B‖.


ExercıcioCalcule as normas um, Euclidiana e infinita da matriz

H =

[−4 −1 22 0,5 −1

].


algebralinear.pdf

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