Beograd, 2020.Sva autorska prava autora prezentacije i/ili video snimaka su zaštićena. Snimak ili prezentacija se mogu koristiti samo za nastavu na daljinu studenta Građevinskog fakulteta Univerziteta u Beogradu u školskoj 2020/2021 i ne
mogu se koristiti za druge svrhe bez pismene saglasnosti autora materijala.
Univerzitet u Beogradu – Građevinski fakultet www.grf.bg.ac.rs
Studijski program: GRAĐEVINARSTVOModul: KONSTRUKCIJEGodina/Semestar: III godina / V semestar
Naziv predmeta: METALNE KONSTRUKCIJE 1 (B2K3M1)Nastavnik: Prof. dr Zlatko Marković
Naslov predavanja: Aksijalno pritisnuti elementi – deo 1Datum : 14. oktobar 2020. godine
Metalne konstrukcije 1 P5-2
Primena
Metalne konstrukcije 1 P5-3
Oblici poprečnih preseka
Metalne konstrukcije 1 P5-4
Neophodne kontrole graničnih stanja nosivosti - ULS
– Kontrola nosivosti poprečnog preseka (Nc,Rd);– Kontrola nosivosti pritisnutog elementa na izvijanje
(Nb,Rd); – Kod poprečnih preseka klase 4 treba uzeti u obzir i
uticaj izbočavanja na nosivost poprečnog preseka na pritisak (Aeff);
Metalne konstrukcije 1 P5-5
Proračun nosivosti poprečnih preseka na dejstvo sile pritiska
NEd proračunska vrednost sile pritiska,Nc,Rd proračunska nosivost preska na pritisak,A poršina poprečnog preseka,Aeff efektivna poršina poprečnog preseka,fy granica razvlačenja,M0 parcijalni koeficijenti sigurnosti (M0 = 1,0)
4 klase preseke za
3 i 2 1, klase preseke za
0
0
Myeff
MyRdc
fA
fAN
/
/,
RdcEd NN , 01,,
Rdc
Ed
NN
ili
Efektivan poprečni presek (klasa 4)
– Na ovaj način se obuhvata uticaj izbočavanja delova poprečnog preseka (nožica i/ili rebara) usled normalnih napona pritiska;
– Efektivna širina se određuje za svaki pritisnuti deo poprečnog preseka koji je klase 4;
– Kod nesimetričnih poprečnih preseka može da dođe do pomeranja težišta efektivnog u odnosu na bruto poprečni presek – javljaju se dodatni momenti savijanja (M=N e).
Metalne konstrukcije 1 P5-6
Pomeranje težišta efektivnog preseka
Metalne konstrukcije 1 P5-7
Efektivan poprečni presek - savijanje
Metalne konstrukcije 1 P5-8
Efektivne širine pritisnutih delova preseka - beff
– Potrebno je odrediti veličine neefektivnih zona i njihov položaj za svaki pritisnuti deo preseka klase 4;
– U Evrokodu 3 se koriste modifikovane Vinterove krive za određivanje koeficijenta redukcije ;
bbeff
referentna širina dela poprečnog preseka:= cw za rebra i unutrašnje delove nožica= cf za konzolne delove nožica
b
Metalne konstrukcije 1 P5-9
Određivanje koeficijenta redukcije
Metalne konstrukcije 1 P5-10
Određivanje koeficijenta redukcije nastavak
Metalne konstrukcije 1 P5-11
Efektivne širine unutrašnjih delova preseka
Metalne konstrukcije 1 P5-12
Efektivne širine konzolnih delova
Metalne konstrukcije 1 P5-13
Efektivan poprečni presek - Aeff
S275 – Aeff = 8639,2 mm2 A = 10000 mm2
Metalne konstrukcije 1 P5-14
Izvijanje pritisnutih elemenata
– Kod pritisnutih elemenata, usled uticaja II reda, nosivost elementa kao celine, po pravilu je manja od nosivosti poprečnog preseka na pritisak;
– Nosivost elementa na izvijanje zavisi od više parametara (oblika poprečnog preseka, vitkosti elementa, graničnih uslova, načina naprezanja);
– Razlikuju se tri vida izvijanja: fleksiono, torziono i torziono-fleksiono;
Metalne konstrukcije 1 P5-15
Metalne konstrukcije 1 P5-16
Različiti vidovi izvijanja
Metalne konstrukcije 1 P5-17
Metalne konstrukcije 1 P5-18
Linearno-elastična teorija fleksionog izvijanja
Problem stabilnosti pritisnutih elemenata – izvijanje prvi je razmatraoOjler (Euler) 1744. godine;
Osnovne pretpostavke:
– materijal je homogen, izotropan i linearno elastičan
– element je idealno prav (nema geometrijskih imperfekcija),
– element je cenrično pritisnut konstantnom aksijalnom silompritiska (Nc=const.),
– element je zglobno oslonjen na oba kraja,
– poprečni presek elementa je konstantan (I=const) i jednodelan,
– sprečene su torzione deformacije.
Metalne konstrukcije 1 P5-19
Postavka problema izvijanja – uslovi ravnoteže na deformisanom elementu
Moment savijanja usled sile pritiska)()( xvNxM c
Metalne konstrukcije 1 P5-20
Diferencijalna jednačina izvijanja
v deformacija (ugib) elementa,M moment savijanja,Nc sila pritiska,EI krutost elementa na savijanje,
EIMxvdxvd /)( 2
2Diferencijalna jednačina savijanja
0 )()( xvEINxv c
02 )()( xvkxv EINk c /
)()( xvNxM c
Metalne konstrukcije 1 P5-21
Rešenje diferencijalne jednačine izvijanja –Kritična sila izvijanja
kxBkxAxv cossin)(
00 )(v 0)(Lv
Pretpostavljeni oblik rešenja
Granični uslovi
LnknkLkL 0sin
EINk c /
Kritična (Ojlerova) sila izvijanja22
LEINN Ecr
Metalne konstrukcije 1 P6-22
Definicija dužine izvijanja
Definicija u matematičkom smislu:Dužina izviajnja je dužina između susednih, realnih ili fiktivnih prevojnih tačaka izvijenog oblika štapa;
Definicija u fizičko-mehaničko smislu:Dužina izvijanja je dužina zamenjujućeg, obostrano zglobno oslonjenog štapa, opterećenog koncentrisanim sila pritiska na svojim krajevima, koji ima istu kritičnu silu kao i razmatrani štap;
Dužine izvijanja Lcr (Ojlerovi slučajevi)
22
crcr L
EIN
Metalne konstrukcije 1 P6-23
Metalne konstrukcije 1 P5-24
Kritičan napon izvijanja (Ojlerova hiperbola)
A površina poprečnog preseka elementa, vitkost elementa,i poluprečnik inercije.
iLcr /
AIi /
22
2
2
E
ALEI
AN
cr
crE
Metalne konstrukcije 1 P5-25
Nesavršenosti realnih elemenata
– Sopstveni ili zaostali naponi;– Geometrijske imperfekcije (nesavršenosti);– Nehomogenost osnovnog materijala;– Ekscentričnost opterećenja
Metalne konstrukcije 1 P5-26
Sopstveni (zaostali) naponi
Nastaju kao posledica tehnologije proizvodnje (vrućeg valjanja, ili zavarivanja);Sopstveni naponi su uravnoteženi, odnosno njihov integral po poprečnom preseku je jednak nuli!Utiču na homogenost poprečnog preseka i redosled plastifikacije pri dostizanju graničnih stanja;
Uticaj sopstvenih napona na krutost pritisnutog elementa
Metalne konstrukcije 1 P5-27
Metalne konstrukcije 1 P5-28
Geometrijske imperfekcije
Metalne konstrukcije 1 P5-29
Izvijanje zakrivljenog elementa -postavka problema
Lxxv sin)( 00
Metalne konstrukcije 1 P5-30
Ponašanje zakrivljenog (realnog) elementa
Moment savijanja
Diferencijalna jednačina izvijanja realnog elementa
xL
EILN
xv
c
sin
/
)(12
20
Rešenje diferencijalne jednačine – funkcija deformacije elementa
LxNxvNxvxvNxM ccc sin)())()(()( 00
Lx
EINxvkxv c sin)()( 02
Metalne konstrukcije 1 P5-31
Deformacije realnog elementa
Ukupna deformacija zakrivljenog štapa u sredini raspona
Dodatna deformacija zakrivljenog štapa u sredini raspona
0 početna deformacija štapa u sredini raspona, dodatna deformacija štapa u sredini raspona,tot ukupna deformacija štapa u sredini raspona,Ncr kritična (Ojlerova) sila,Nc sila pritiska.
112 0
2
20
ccr
c
NNEILN
Lxv/
/
)/(
crcccrtot NNNN //
1
11
1 0000
Naprezanja krivog elementa (štapa)
relativna vitkost na izvijanje
bezdimenzionalni koeficijent izvijanja
ycrc
cctotcc fNNW
NAN
WN
AN
/max 1
0
ycru
uu fNNW
NAN
)1(
0
/
11
0
cru
plu
pl
u
NNNN
WA
NN
//
1) )((1
/
crplplu
plu
pl
u
NNNNNN
NN
//
WA 0
pl
u
NN
cr
pl
NN
Nu granična sila izvijanjaNpl plastična nosivost preseka
Metalne konstrukcije 1 P5-32
Ajrton-Perijeva formula
1 1
2
Ajrton-Perijeva formula01 1 222 )(
2
2222
24)1(1
21 2
Φ
2
22
2
22
24)2(2
ΦΦΦΦ22
1
ΦΦ
2 000030 )/(, iL Peri-Robertsonova formula
Metalne konstrukcije 1 P5-33
1) )((1
/
crplplu
plu
pl
u
NNNNNN
NN
//
Smanjanje nosivosti elementa na izvijanje usled imperfekcija
Sopstveni (zaostali) naponi Geometrijske imperfekcije
Metalne konstrukcije 1 P6-34
Metalne konstrukcije 1 P5-35
Evropske krive izvijanja
– Krive izvijanja predstavljaju modifikaciju teorijskih krivih izvijanja (Peri-Robertsonove formule);
– Definišu vezu između relativne vitkosti i bezdimenzionalnogkoeficijenta izvijanja;
– Brojna istraživanja u ECCS-u (70-ih godina); Makua i Rondal (1978) su formulisali faktor kao:
– Proračun nesavršenosti realnih štapova preko ekvivalentnih geometrijskih imperfekcija;
– Zbog složenosti problema uvedena je familija evropskih krivih izvijanja (A0, A, B, C i D) koje su definisane teorijsko-eksperimentalnim putem;
),( 20
Metalne konstrukcije 1 P5-36
Evropske krive izvijanja
Kriva izvijanja a0 a b c d 0,13 0,21 0,34 0,49 0,76
Metalne konstrukcije 1 P5-37
Izbor odgovarajuće krive izvijanja
Zavisi od:
– Oblika poprečnog preseka;
– Odnosa visina/širina;
– Ose oko koje se razmatra izvijanje;
– Debljine lima;
Metalne konstrukcije 1 P5-38
Relativna vitkost na fleksiono izvijanje
crRk NN / relativna vitkost elementa
plastična nosivost preska za klase 1, 2 i 3
)(
22
crcr L
EIN kritična sila izvijanja
12
2
1
y
cr
cr
y
fEAI
L
LEIfA
/
yRk fAN
yeffRk fAN nosivost efektivnog preska za klasu 4
za klase 1, 2 i 3
AAeff /1 za klasu 4
Metalne konstrukcije 1 P5-39
Vitkost na granici razvlačenja - 1
Vitkost štapa na granici razvlačenja je vitkost pri kojoj je Ojlerov kritičan napon jednak naponu na granici razvlačenja!
Za određenu vrstu čelika 1 ima konstantnu vrednost!
993 121
2 ,y
ycr fEfE
yf/235