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Trigonometria Pura e Aplicacoes
Israel Meireles Chrisostomo
10 de Janeiro, 2015
1 Introducao
Esse pequeno artigo e um compilacao de demonstracoes que fiz nos ultimos tem-pos envolvendo trigonometria (se desejar utilizar alguma demonstracao, cite afonte).Algumas vezes, e possıvel encontrar demonstracoes mais simples paraos problemas apresentados, mas acredito que e sempre bom ter uma perspec-tiva diferente de qualquer problema.E esse artigo oferece justamente isso, difer-entes formas de se demonstrar relacoes matematicas, o que do ponto de vistamatematico e enriquecedor, ja que ideias diferentes podem ajudar na solucaode outros problemas.Dentro dessa visao, acredito que a demonstracao complexanao pode ser preterida diante de outras demonstracoes mais simples, porem, epreciso analisar sua abrangencia e verificar sua aplicabilidade as mais diversassituacoes.Pela diversidade de solucoes existentes para os problemas desse artigo,aconselho o leitor interessado a tentar demonstrar as desigualdades antes de leras demonstracoes, sugerindo sempre que possıvel novas demonstracoes.Ademais,espero que o leitor goste das demonstracoes e tenha sucesso ao se aventurar emprovar as relacoes que aqui estao.
1
2 Desigualdades e Identidades para angulos deum triangulo
1.cosα+ cosβ + cosγ ≤ senα2
+ senβ
2+ sen
γ
2≤ 3
2
2.senα+ senβ + senγ ≤ cosα2
+ cosβ
2+ cos
γ
2≤ 3√
3
2
3.cosαcosβcosγ ≤ senα2sen
β
2sen
γ
2≤ 1
8
4.senαsenβsenγ ≤ cosα2cos
β
2cos
γ
2≤ 1
8
5.cos2α+ cos2β + cos2γ ≥ sen2α2
+ sen2β
2+ sen2
γ
2≥ 3
4
6.sen2α+ sen2β + sen2γ ≤ cos2α2
+ cos2β
2+ cos2
γ
2≤ 9
4
7.cotα+ cotβ + cotγ ≥ tanα2
+ tanβ
2+ tan
γ
2≥√
3
1.cosα+ cosβ + cosγ = 1 + 4senα
2sen
β
2sen
γ
2
2.senα+ senβ + senγ = 4cosα
2cos
β
2cos
γ
2
3.sen2α+ sen2β + sen2γ = 4senαsenβsenγ
4.sen2α+ sen2β + sen2γ = 2 + 2cosαcosβcosγ
5.tanα
2tan
β
2+ tan
β
2tan
γ
2+ tan
α
2tan
γ
2= 1
6.tanα+ tanβ + tanγ = tanαtanβtanγ
2
3 Desigualdades Trigonometricas
1.Sejam α, β, γ angulos de um triangulo, prove que:
1 < cosα+ cosβ + cosγ ≤ senα2
+ senβ
2+ sen
γ
2≤ 3
2
.Para demonstrarmos a desigualdade acima, considere a, b e c como 3 variaveis
arbitrarias tais que a, b, c > 0 e a+ b+ c = 1.Como o quadrado de todo numeroreal e positivo, podemos dizer que:
(a−b)2 ≥ 0⇒ a2−2ab+b2 ≥ 0⇒ a2+b2 ≥ 2ab⇒ a
b+b
a≥ 2.....Desigualdade I
(a−c)2 ≥ 0⇒ a2−2ac+c2 ≥ 0⇒ a2+c2 ≥ 2ac⇒ a
c+c
a≥ 2.....Desigualdade II
(b−c)2 ≥ 0⇒ b2−2bc+c2 ≥ 0⇒ b2+c2 ≥ 2bc⇒ b
c+c
b≥ 2.....Desigualdade III
Tomando a soma Desigualdade I +Desigualdade II +Desigualdade III,temos que:(a
b+b
a
)+(ac
+c
a
)+
(b
c+c
b
)≥ 6(a
b+c
b
)+
(b
a+c
a
)+
(b
c+a
c
)≥ 6
a+ c
b+b+ c
a+a+ b
c≥ 6
a+ c
b+ 1 +
b+ c
a+ 1 +
a+ b
c+ 1 ≥ 6 + 3
a+ b+ c
b+a+ b+ c
a+a+ b+ c
c≥ 9
3
(a+ b+ c)
(1
b+
1
a+
1
c
)≥ 9
Mas lembre-se que supomos a+ b+ c = 1,logo, vem que:
1
b+
1
a+
1
c≥ 9
bc+ ac+ ab
abc≥ 9
bc+ ac+ ab ≥ 9abcbc+ ac+ ab− 9abc ≥ 0(bc− 3abc) + (ac− 3abc) + (ab− 3abc) ≥ 0bc(1− 3a) + ac(1− 3b) + ab(1− 3c) ≥ 0bc(a+ b+ c− 3a) + ac(a+ b+ c− 3b) + ab(a+ b+ c− 3c) ≥ 0bc(b+ c− 2a) + ac(a+ c− 2b) + ab(a+ b− 2c) ≥ 0bc(b+ c)− 2abc+ ac(a+ c)− 2abc+ ab(a+ b)− 2abc ≥ 0bc(b+ c) + ac(a+ c) + ab(a+ b)− 6abc ≥ 0bc(b+ c) + ac(a+ c) + ab(a+ b) ≥ 6abcbc(b+ c) + ac(a+ c) + ab(a+ b) + 2abc ≥ 6abc+ 2abc(bc(b+ c) + abc) + (ac(a+ c) + abc) + ab(a+ b) ≥ 8abcbc(a+ b+ c) + ac(a+ b+ c) + ab(a+ b) ≥ 8abc(a+ b+ c)(ac+ bc) + ab(a+ b) ≥ 8abc(a+ b+ c)(a+ b)c+ ab(a+ b) ≥ 8abc(ac+ bc+ c2)(a+ b) + ab(a+ b) ≥ 8abc(a+ b)(ac+ bc+ c2 + ab) ≥ 8abc(a+ b)(a(b+ c) + c(b+ c)) ≥ 8abc(a+ b)(a+ c)(b+ c) ≥ 8abc(a+ b+ c− c)(a+ b+ c− b)(a+ b+ c− a) ≥ 8abc(1− c)(1− b)(1− a) ≥ 8abc
O que provamos e que se a+b+c = 1 ,entao, e valido a seguinte desigualdade(1 − c)(1 − b)(1 − a) ≥ 8abc , observe que supomos que a, b, c > 0 , portanto,
podemos fazer a substituicao x =
√bc
a,y =
√ac
be z =
√ab
c, ao fazer essa
substituicao temos que a = yz,b = xz e c = xy , podemos ver facilmente aoefetuarmos essa substituicao que se xy + xz + yz = 1, entao, e valido que
(1− xy)(1− xz)(1− yz) ≥ 8x2y2z2 .Fazendo x = tanA
2,y = tan
B
2e z = tan
C
2,
temos que se tanA
2tan
B
2+ tan
A
2tan
C
2+ tan
B
2tan
C
2= 1 entao e valido a de-
sigualdade:(1− tanA
2tan
B
2
)(1− tanA
2tan
C
2
)(1− tanB
2tan
C
2
)≥ 8tan2
A
2tan2
B
2tan2
C
2....DesigualdadeIV
Mas observe que se tanA
2tan
B
2+ tan
A
2tan
C
2+ tan
B
2tan
C
2= 1, entao A, B e
4
C sao angulos de um triangulo.Sabendo que A,B e C sao angulos de um triangulo, Vamos trabalhar um
pouco na DesigualdadeIV , veja o que podemos fazer:(1− tanA
2tan
B
2
)(1− tanA
2tan
C
2
)(1− tanB
2tan
C
2
)≥ 8tan2
A
2tan2
B
2tan2
C
2⇒(
cosA2 cosB2 − sen
A2 sen
B2
cosA2 cosB2
)(cosA2 cos
C2 − sen
A2 sen
C2
cosA2 cosC2
)(cosB2 cos
C2 − sen
B2 sen
C2
cosB2 cosC2
)≥
8tan2A
2tan2
B
2tan2
C
2
cosA+B2
cosA2 cosB2
cosA+C2
cosA2 cosC2
cosB+C2
cosB2 cosC2
≥ 8tan2A
2tan2
B
2tan2
C
2
sen(π2 −
A+B2
)cosA2 cos
B2
sen(π2 −
A+C2
)cosA2 cos
C2
sen(π2 −
B+C2
)cosB2 cos
C2
≥ 8tan2A
2tan2
B
2tan2
C
2
sen(A+B+C
2 − A+B2
)cosA2 cos
B2
sen(A+B+C
2 − A+C2
)cosA2 cos
C2
sen(A+B+C
2 − B+C2
)cosB2 cos
C2
≥ 8tan2A
2tan2
B
2tan2
C
2
senC2cosA2 cos
B2
senB2cosA2 cos
C2
senA2cosB2 cos
C2
≥ 8tan2A
2tan2
B
2tan2
C
2
senA2 senB2 sen
C2
cos2A2 cos2B2 cos
2C2
≥ 8tan2A
2tan2
B
2tan2
C
2
1 ≥ 8senA
2sen
B
2sen
C
2
1
2≥ 4sen
A
2sen
B
2sen
C
2
1
2+ 1 ≥ 1 + 4sen
A
2sen
B
2sen
C
23
2≥ 1 + 4sen
A
2sen
B
2sen
C
2
1 + 4senA
2sen
B
2sen
C
2≤ 3
2
Usando a identidade cosA+ cosB + cosC = 1 + 4senA
2sen
B
2sen
C
2, vem que :
cosA+ cosB + cosC ≤ 3
2..........Desigualdade V
Mas ha um problema, a desigualdade que queremos provar e
5
cosα+ cosβ + cosγ ≤ senα2
+ senβ
2+ sen
γ
2≤ 3
2
Se pensarmos um pouco, veremos que esse e um problema facil de resolver, veja
a desigualdade que provamos cosA+ cosB + cosC ≤ 3
2, observe que a desigual-
dade e valida para qualquer valor de A,B,C, desde que A,B,C sejam angulosde um triangulo.Podemos, entao, dizer que A,B,C sao angulos agudos, isto e,
A,B,C <π
2, pois isso nao fere a condicao de que A,B,C sejam angulos de
um triangulo.Mas veja que se A,B,C sao angulos agudos, entao, podemos dizer
que A =π − α
2,B =
π − β2
e C =π − γ
2, com α, β, γ sendo angulos de um
triangulo arbitrario, pois a soma A + B + C continua sendo π e A,B,C <π
2,
isto e, A,B,C sao angulos de um triangulo agudo.Portanto, efetuando essa sub-stituicao na Desigualdade V , vem:
cos
(π − α
2
)+ cos
(π − β
2
)+ cos
(π − γ
2
)≤ 3
2
senα
2+ sen
β
2+ sen
γ
2≤ 3
2......Desigualdade V I
Agora nos resta provar que cosα+cosβ+cosγ ≤ senα2
+senβ
2+sen
γ
2, Para
tanto, tome a desigualdade cosα− β
2≤ 1, e veja o que podemos fazer:
cosα− β
2≤ 1⇒ 2cos
α+ β
2cos
α− β2≤ 2cos
α+ β
2⇒
⇒ cos(α)+cos(β) ≤ 2cosα+ β
2= 2sen
(π
2− α+ β
2
)= 2sen
(α+ β + γ
2− α+ β
2
)=
2senγ
2⇒ cos(α) + cos(β) ≤ 2sen
γ
2.....Desigualdade V II
Podemos aplicar o mesmo raciocınio para os outros lados e chegar a conclusaoque:
cos(α) + cos(γ) ≤ 2senβ
2.....Desigualdade V III
cos(β) + cos(γ) ≤ 2senα
2.....Desigualdade IX
Pegando a somaDesigualdade V II+Desigualdade V III+Desigualdade IX,segue que:
(cos(α) + cos(β)) + (cos(β) + cos(γ)) + (cos(β) + cos(γ)) ≤
2senγ
2+ 2sen
β
2+ 2sen
α
2
6
cosα+ cosβ + cosγ ≤ senα2
+ senβ
2+ sen
γ
2
Unindo a Desigualdade V I a desigualdade acima, vem:
cosα+ cosβ + cosγ ≤ senα2
+ senβ
2+ sen
γ
2≤ 3
2.........Desigualdade X
Agora devemos demonstrar que 1 < cosα + cosβ + cosγ.Considere α, β, γcomo angulos de um triangulo arbitrario, como o cosseno e positivo no primeiroquadrante, segue que as secantes da metade desses angulos sao positivas, o queimplica que o produto dessas secantes tambem o e.Veja como podemos utilizareste fato:
secα
2sec
β
2sec
γ
2> 0
Como senα+ β + γ
2= 1, multiplicando a desigualdade acima por sen
α+ β + γ
2,
vem:
secα
2sec
β
2sec
γ
2sen
α+ β + γ
2> 0
secα
2sec
β
2sec
γ
2
(sen
α+ β
2cos
γ
2+ cos
α+ β
2sen
γ
2
)> 0
secα
2sec
β
2sec
γ
2
((sen
α
2cos
β
2+ cos
α
2sen
β
2
)cos
γ
2+
(cos
α
2cos
β
2− senα
2sen
β
2
)sen
γ
2
)>
0
secα
2sec
β
2sec
γ
2
(sen
α
2cos
β
2cos
γ
2+ cos
α
2sen
β
2cos
γ
2+ cos
α
2cos
β
2sen
γ
2− senα
2sen
β
2sen
γ
2
)>
0
tanα
2+ tan
β
2+ tan
γ
2− tanα
2tan
β
2tan
γ
2> 0
tanα
2+ tan
β
2+ tan
γ
2> tan
α
2tan
β
2tan
γ
2
Multiplicando ambos os lados da desigualdade por 2, vem:
2tanα
2+ 2tan
β
2+ 2tan
γ
2> 2tan
α
2tan
β
2tan
γ
2
7
Vamos fazer uma mudanca de variaveis para contrair as dimensoes da ex-
pressao, fazendo x = tanα
2, y = tan
β
2, z = tan
γ
2, substituindo na desigualdade,
obteremos:
2x+ 2y + 2z > 2xyz
(x+ y) + (x+ z) + (y + z) > 2xyz
(x+ y)xyz + (x+ z)xyz + (y + z)xyz > 2x2y2z2
(xz + yz)xy + (xy + yz)xz + (xy + xz)yz > 2x2y2z2
(xz+yz+xy−xy)xy+(xy+yz+xz−xz)xz+(xy+xz+yz−yz)yz > 2x2y2z2
α+β+γ = π ⇒ tanα
2tan
β
2+tan
α
2tan
γ
2+tan
β
2tan
γ
2= 1⇒ xz+yz+xy = 1
(1− xy)xy + (1− xz)xz + (1− yz)yz > 2x2y2z2
(xy − x2y2) + (xz − x2z2) + (yz − y2z2) > 2x2y2z2
xy + xz + yz > 2x2y2z2 + x2y2 + x2z2 + y2z2
1 > 2x2y2z2 + x2y2 + x2z2 + y2z2
3 > 6x2y2z2 + 3(x2y2 + x2z2 + y2z2)
3 + (x2y2 + x2z2 + y2z2) > 6x2y2z2 + 4(x2y2 + x2z2 + y2z2)
3+(2x2 +2y2 +2z2)+(x2y2 +x2z2 +y2z2) > 6x2y2z2 +4(x2y2 +x2z2 +y2z2)+(2x2 + 2y2 + 2z2)
(1 + x2 + y2 + x2y2) + (1 + x2 + z2 + x2z2) + (1 + y2 + z2 + y2z2) >2z2(1 + x2 + y2 + x2y2) + 2y2(1 + x2 + z2 + x2z2) + 2x2(1 + y2 + z2 + y2z2)
(1 + x2 + y2(1 + x2)) + (1 + x2 + z2(1 + x2)) + (1 + y2 + z2(1 + y2)) >2z2(1 + x2 + y2(1 + x2)) + 2y2(1 + x2 + z2(1 + x2)) + 2x2(1 + y2 + z2(1 + y2))
(1 + y2)(1 + x2) + (1 + z2)(1 + x2) + (1 + z2)(1 + y2) >2z2(1 + y2)(1 + x2) + 2y2(1 + z2)(1 + x2) + 2x2(1 + z2)(1 + y2)
Dividindo ambos os lados da desigualdade por (1 + y2)(1 +x2)(1 + z2), vem:
8
1
1 + z2+
1
1 + y2+
1
1 + x2>
2z2
1 + z2+
2y2
1 + y2+
2x2
1 + x2
Desfazendo a substituicao feita no inıcio, temos que:
1
1 + tan2 γ2+
1
1 + tan2 β2+
1
1 + tan2 α2>
2tan2 γ21 + tan2 γ2
+2tan2 β2
1 + tan2 β2+
2tan2 α21 + tan2 α2
cos2γ
2+ cos2
β
2+ cos2
α
2> 2sen2
γ
2+ 2sen2
β
2+ 2sen2
α
2
cos2γ
2+ cos2
β
2+ cos2
α
2> 2
(1− cos2 γ
2
)+ 2
(1− cos2 β
2
)+ 2
(1− cos2α
2
)cos2
γ
2+ cos2
β
2+ cos2
α
2> 2
Multiplicando ambos os lados da desigualdade por 2 e subtraindo 3, vem:
2cos2γ
2+ 2cos2
β
2+ 2cos2
α
2− 3 > 4− 3
2cos2γ
2− 1 + 2cos2
β
2− 1 + 2cos2
α
2− 1 > 1
cosα+ cosβ + cosγ > 1
Unindo Desigualdade X a desigualdade acima, vem:
1 < cosα+ cosβ + cosγ ≤ senα2
+ senβ
2+ sen
γ
2≤ 3
2Como querıamos provar.
9
2.Sejam α, β, γ angulos de um triangulo, prove que:
senα+ senβ + senγ ≤ cosα2
+ cosβ
2+ cos
γ
2≤ 3√
3
2
.Para demonstrarmos essa desigualdade, considere novamente que o quadrado
de todo numero real e positivo, partindo disso, obtemos:
(a− b)2 ≥ 0⇒ a2 − 2ab+ b2 ≥ 0⇒ a2 + b2 ≥ 2ab......Desigualdade I
(a− c)2 ≥ 0⇒ a2 − 2ac+ c2 ≥ 0⇒ a2 + c2 ≥ 2ac....Desigualdade II
(b− c)2 ≥ 0⇒ b2 − 2bc+ c2 ≥ 0⇒ b2 + c2 ≥ 2bc......Desigualdade III
Somando as desigualdades I, II e III, obtemos:
a2 + b2 + c2 ≥ ab+ ac+ bc
Multiplicando a desigualdade acima por 2, obtemos:
2a2 + 2b2 + 2c2 ≥ 2ab+ 2ac+ 2bc
Somando a2 + b2 + c2 em ambos os lados da desigualdade, vem:
3a2 + 3b2 + 3c2 ≥ a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc
3a2 + 3b2 + 3c2 ≥ (a+ b+ c)2
Como a desigualdade e valida para qualquer valor real, podemos substituiras variaveis por qualquer funcao trigonometrica, portanto, fazendo
a = cosα
2, b = cos
β
2e c = cos
γ
2, vem:
3cos2α
2+ 3cos2
β
2+ 3cos2
γ
2≥(cos
α
2+ cos
β
2+ cos
γ
2
)2
.....Desigualdade IV
Observe a desigualdade que provamos anteriormente, isto e,
10
cosα+ cosβ+ cosγ ≤ 3
2, veja as modificacoes que podemos fazer com a mesma:
cosα+ cosβ + cosγ ≤ 3
2
2cos2α
2− 1 + 2cos2
β
2− 1 + 2cos2
γ
2− 1 ≤ 3
2
cos2α
2+ cos2
β
2+ cos2
γ
2≤ 9
4
3cos2α
2+ 3cos2
β
2+ 3cos2
γ
2≤ 27
4
Aplicando a desigualdade acima a desigualdade IV , nao e difıcil ver que:
27
4≥ 3cos2
α
2+ 3cos2
β
2+ 3cos2
γ
2≥(cos
α
2+ cos
β
2+ cos
γ
2
)2
27
4≥(cos
α
2+ cos
β
2+ cos
γ
2
)2
Como o cosseno e positivo no primeiro quadrante, podemos extrair a raiz epreservar o sinal da desigualdade, sendo assim, temos que:
3√
3
2≥ cosα
2+ cos
β
2+ cos
γ
2
cosα
2+ cos
β
2+ cos
γ
2≤ 3√
3
2......Desigualdade V
Agora, devemos provar que senα + senβ + senγ ≤ cosα
2+ cos
β
2+ cos
γ
2.
Podemos aplicar um raciocınio semelhante ao que aplicamos na desigualdade
anterior, para tanto, tome a desigualdade cosα− β
2≤ 1, e veja o que podemos
fazer:
cosα− β
2≤ 1⇒ 2sen
α+ β
2cos
α− β2≤ 2sen
α+ β
2⇒ senα+senβ ≤ 2sen
α+ β
2⇒
senα+senβ ≤ 2cos
(π
2− α+ β
2
)⇒ senα+senβ ≤ 2cos
(α+ β + γ
2− α+ β
2
)⇒
senα+ senβ ≤ 2cosγ
2.....Desigualdade V I
Aplicando a mesma ideia aos outros angulos do triangulo, concluımos que:
senα+ senγ ≤ 2cosβ
2.....Desigualdade V II
11
senβ + senγ ≤ 2cosα
2.....Desigualdade V III
Somando as desigualdades V I, V II e V III, obtemos:
senα+ senβ + senγ ≤ cosα2
+ cosβ
2+ cos
γ
2
Unindo a desigualdade acima a Desiguadade V , teremos:
senα+ senβ + senγ ≤ cosα2
+ cosβ
2+ cos
γ
2≤ 3√
3
2
Como querıamos provar.
12
3.Sejam α, β, γ angulos de um triangulo, prove que:
cosαcosβcosγ ≤ senα2sen
β
2sen
γ
2≤ 1
8
.O lado direito e trivial, basta aplicarmos uma identidade trigonometrica,
mas o lado esquerdo e um pouco mais complicado, por esse motivo, vamoscomecar com o lado esquerdo.Vamos provar que a desigualdade ao lado esquerdoe valida para um triangulo de angulos agudos, pois no caso de um triangulocom angulo obtuso, apenas um dos cossenos teria o sinal negativo, tornado adesigualdade obvia, pois os senos sao todos positivos (e trivial que uma porcaopositiva seja maior do que uma quantidade negativa).Tomando a desigualdadeprovada anteriormente teremos:
a2 + b2 + c2 ≥ ab+ ac+ bc
Somando 2ab+ 2ac+ 2bc em ambos os lados da desigualdade teremos:
a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc ≥ 3ab+ 3ac+ 3bc
(a+ b+ c)2 ≥ 3ab+ 3ac+ 3bc
Agora, sejam A,B e C angulos agudos, fazendo a = tanA, b = tanB ec = tanC, obtemos:
(tanA+ tanB + tanC)2 ≥ 3tanAtanB + 3tanAtanC + 3tanBtanC
Lembrando da identidade tanA+ tanB + tanC = tanAtanBtanC, e substi-tuindo acima, vem:
(tanAtanBtanC)2 ≥ 3tanAtanB + 3tanAtanC + 3tanBtanC
Multiplicando ambos os lados da desigualdade por cotAcotBcotC, vem
tanAtanBtanC ≥ 3(cotA+ cotB + cotC).....Desigualdade I
13
Vamos guardar a desigualdade acima, tomando a desigualdade provada acima,vem:
(a+ b+ c)2 ≥ 3ab+ 3ac+ 3bc
Sejam α, β, γ angulos de um triangulo arbitrario, entao, substituindo a =
tanα
2, b = tan
β
2e c = tan
γ
2, vem:(
tanα
2+ tan
β
2+ tan
γ
2
)2
≥ 3tanα
2tan
β
2+ 3tan
α
2tan
γ
2+ 3tan
β
2tan
γ
2(tan
α
2+ tan
β
2+ tan
γ
2
)2
≥ 3
(tan
α
2tan
β
2+ tan
α
2tan
γ
2+ tan
β
2tan
γ
2
)
Usando a identidade tanα
2tan
β
2+ tan
α
2tan
γ
2+ tan
β
2tan
γ
2= 1, vem:(
tanα
2+ tan
β
2+ tan
γ
2
)2
≥ 3
tanα
2+ tan
β
2+ tan
γ
2≥√
3
cot(π
2− α
2
)+ cot
(π
2− β
2
)+ cot
(π2− γ
2
)≥√
3
Fazendo a substituicao A =π − α
2,B =
π − β2
e C =π − γ
2, observe que a
soma A + B + C continua sendo π e A,B,C <π
2, isto e, A,B,C sao angulos
de um triangulo agudo, logo, temos que se A,B,C sao angulos de um trianguloagudo, entao, e valido que:
cotA+ cotB + cotC ≥√
3
Multiplicando por 3 obtemos:
3cotA+ 3cotB + 3cotC ≥ 3√
3
Apicando a desigualdade acima a Desigualdade I, teremos:
tanAtanBtanC ≥ 3cotA+ 3cotB + 3cotC ≥ 3√
3
tanAtanBtanC ≥ 3√
3......Desigualdade II
14
Lembremos da desigualdade provada na secao 2, isto e,
senα + senβ + senγ ≤ cosα
2+ cos
β
2+ cos
γ
2≤ 3√
3
2, podemos ver por essa
desigualdade que se A,B,C sao angulos de um triangulo e valido que(tomeangulos agudos):
senA+ senB + senC ≤ 3√
3
2
Multiplicando essa desigualdade por 2, obtemos:
2senA+ 2senB + 2senC ≤ 3√
3
Unindo a desigualdade acima a Desigualdade II, teremos:
2senA+ 2senB + 2senC ≤ 3√
3 ≤ tanAtanBtanC
2(senA+ senB + senC) ≤ 3√
3 ≤ tanAtanBtanC
2(senA+ senB + senC) ≤ tanAtanBtanC
Lembrando da identidade senα+ senβ + senγ = 4cosα
2cos
β
2cos
γ
2e substi-
tuindo na desigualdade acima, vem:
8cosA
2cos
B
2cos
C
2≤ tanAtanBtanC
8cosAcosBcosC ≤ senAsenBsenC
cosA2 cosB2 cos
C2
8cosAcosBcosC ≤2senA2 cos
A2 .2sen
B2 cos
B2 .2sen
C2 cos
C2
cosA2 cosB2 cos
C2
cosAcosBcosC ≤ senA2sen
B
2sen
C
2
Como querıamos demonstrar.Para provar o lado direito e muito facil, bastamultiplicar ambos os lados da desigualdade por 4, somar 1 nos dois lados, aplicaruma identidade e concluir que a desigualdade e equivalente a desigualdadeprovada na secao 1.As outras desigualdades sao faceis de provar, basta fazeralgumas multiplicacoes e aplicar as identidades expostas no inıcio do artigo, anao ser pela desigualdade envolvendo tangentes, mas ja tenho um vıdeo falandosobre essa desigualdade.
15
4 Aplicacoes
1.(IMO/Problemas de alta dificultad-Valeri Pavlovich Suprun )Sejam a,b e c
lados de um triangulo e A sua area, prove que a2 + b2 + c2 ≥ 4√
3A.
Demonstracao:Nossa estrategia de demonstracao e provar que a desigualdade
a2+b2+c2 ≥ 4√
3A e equivalente a uma das desigualdades provadas acima.Maisespecificamente, provaremos que essa desigualdade e equivalente a desigualdadecotα + cotβ + cotγ ≥
√3, que e a forma contraıda da desigualdade 7.Para
isso, basta que transformemos a desigualdade que queremos provar na desigual-dade 7, atraves de manipulacoes algebricas e com o uso de transformacoestrigonometricas triviais.Vamos comecar a demonstracao.Para comecar, pode-mos usar a formula de Heron que nos da a area A do triangulo em funcaodo semi-perımetro S do triangulo e de seus lados a,b e c, essa formula e maisconhecida na forma:
A =√S(S − a)(S − b)(S − c)
Substituindo essa formula na desigualdade que queremos provar, obteremos:
a2 + b2 + c2 ≥ 4√
3√S(S − a)(S − b)(S − c)
16
Por definicao, S e o semi-perımetro, isto e, S =a+ b+ c
2, substituindo vem:
a2+b2+c2 ≥ 4√
3
√(a+ b+ c
2
)(a+ b+ c
2− a)(
a+ b+ c
2− b)(
a+ b+ c
2− c)
a2 + b2 + c2 ≥ 4√
3
√(a+ b+ c
2
)(b+ c− a
2
)(a+ c− b
2
)(a+ b− c
2
)
Multiplicando ambos os lados da desigualdade por
√(a+ b+ c
2abc
)2
, obte-
mos:
(a2 + b2 + c2
)√(a+ b+ c
2abc
)2
≥
4√
3
√(a+ b+ c
2
)(b+ c− a
2
)(a+ c− b
2
)(a+ b− c
2
)√(a+ b+ c
2abc
)2
(a2 + b2 + c2
)(a+ b+ c
2abc
)≥ 4√
3
√(a+ b+ c
2
)(b+ c− a
2
)(a+ c− b
2
)(a+ b− c
2
)(a+ b+ c
2abc
)2
(a2 + b2 + c2
)(a+ b+ c
2abc
)≥ 4√
3
√(a+ b+ c)(b+ c− a)
4bc.(a+ b+ c)(a+ c− b)
4ac.(a+ b+ c)(a+ b− c)
4ab
(a2 + b2 + c2
)(a+ b+ c
2abc
)≥
4√
3
√(a+ b+ c)(b+ c− a)
4bc.
√(a+ b+ c)(a+ c− b)
4ac.
√(a+ b+ c)(a+ b− c)
4ab
Vamos chamar a desiguadade acima de Desigualdade i.Agora, observe que,pela lei dos cossenos, se a, b e c sao os lados do triangulo e alpha,beta e gammasao respectivamente os angulos opostos a esses lados, temos:
c2 = a2 + b2 − 2abcos(γ)⇒ cos(γ) =a2 + b2 − c2
2ab⇒
2cos2(γ
2
)− 1 =
a2 + b2 − c2
2ab⇒ 2cos2
(γ2
)=a2 + b2 − c2
2ab+ 1⇒
2cos2(γ
2
)=a2 + b2 − c2 + 2ab
2ab⇒ 2cos2
(γ2
)=
(a+ b)2 − c2
2ab⇒
2cos2(γ
2
)=
(a+ b+ c)(a+ b− c)2ab
⇒ cos2(γ
2
)=
(a+ b+ c)(a+ b− c)4ab
⇒
cos(γ
2
)=
√(a+ b+ c)(a+ b− c)
4ab......Igualdade i
17
Da mesma forma, para os outros lados do triangulo, teremos:
cos(α
2
)=
√(a+ b+ c)(b+ c− a)
4bc......Igualdade ii
cos
(β
2
)=
√(a+ b+ c)(a+ c− b)
4ac......Igualdade iii
Substituindo na Desigualdade i, obtemos :
(a2 + b2 + c2
)(a+ b+ c
2abc
)≥ 4√
3cos(α
2
).cos
(β
2
).cos
(γ2
)(a2 + b2 + c2
)( a
2abc+
b
2abc+
c
2abc
)≥ 4√
3cos(α
2
).cos
(β
2
).cos
(γ2
)(a2 + b2 + c2
)( 1
2bc+
1
2ac+
1
2ab
)≥ 4√
3cos(α
2
).cos
(β
2
).cos
(γ2
)(a2
2bc+
a2
2ac+
a2
2ab
)+
(b2
2bc+
b2
2ac+
b2
2ab
)+
(c2
2bc+
c2
2ac+
c2
2ab
)≥ 4√
3cos(α
2
).cos
(β
2
).cos
(γ2
)(a2
bc+a
c+a
b
)+
(b
c+b2
ac+b
a
)+
(c
b+c
a+c2
ab
)≥ 8√
3cos(α
2
).cos
(β
2
).cos
(γ2
)(ab.a
c+a
c+a
b
)+
(b
c+b
a.b
c+b
a
)+(cb
+c
a+c
a.c
b
)≥ 8√
3cos(α
2
).cos
(β
2
).cos
(γ2
)
Pela Lei dos senos, temos que:
sen(α)
a=sen(β)
b=sen(γ)
c
De onde se conclui que:
sen(α)
sen(β)=a
b;sen(α)
sen(γ)=a
c;sen(β)
sen(γ)=b
c;
Observe que na desigualdade acima todos os termos ao lado esquerdo saofracoes compostas por lados de triangulo e , portanto, podem ser transformadas,pela lei do seno acima, em senos de angulos de um triangulo.E so observar apermutacao que esta ocorrendo com os lados do triangulo nessa desigualdade, isto e, ao inves de aparecerem apenas no denominador, as vezes esses ladosaparecem no numerador, e devemos inverter assim as igualdades do seno e sub-stituir na desigualdade.Por outro lado, temos alguns termos que aparecem nadesigualdade que sao apenas o produto das igualdades que foram extraıdas pelalei dos senos.Veja como podemos efetuar essa substituicao:
18
(sen(α)
sen(β).sen(α)
sen(γ)+sen(α)
sen(γ)+sen(α)
sen(β)
)+
(sen(β)
sen(γ)+sen(β)
sen(α).sen(β)
sen(γ)+sen(β)
sen(α)
)+(
sen(γ)
sen(β)+sen(γ)
sen(α)+sen(γ)
sen(α)
sen(γ)
sen(β)
)≥ 8√
3cos(α
2
).cos
(β
2
).cos
(γ2
)(
sen2(α)
sen(β).sen(γ)+sen(α)
sen(γ)+sen(α)
sen(β)
)+
(sen(β)
sen(γ)+
sen2(β)
sen(α).sen(γ)+sen(β)
sen(α)
)+(
sen(γ)
sen(β)+sen(γ)
sen(α)+
sen2(γ)
sen(α).sen(β)
)≥ 8√
3cos(α
2
).cos
(β
2
).cos
(γ2
)sen3(α) + sen2(α)sen(β) + sen2(α)sen(γ)
sen(α)sen(β)sen(γ)+sen2(β)sen(α) + sen3(β) + sen2(β)sen(γ)
sen(α)sen(β)sen(γ)+
sen2(γ)sen(α) + sen2(γ)sen(β) + sen3(γ))
sen(α)sen(β)sen(γ)≥ 8√
3cos(α
2
).cos
(β
2
).cos
(γ2
)sen2(α)
sen(α)sen(β)sen(γ)(sen(α)+sen(β)+sen(γ))+
sen2(β)
sen(α)sen(β)sen(γ)(sen(α)+
sen(β)+sen(γ))+sen2(γ)
sen(α)sen(β)sen(γ)(sen(α)+sen(β)+sen(γ)) ≥ 8
√3cos
(α2
).cos
(β
2
).cos
(γ2
)
(sen(α)+sen(β)+sen(γ))
(sen2(α)
sen(α)sen(β)sen(γ)+
sen2(β)
sen(α)sen(β)sen(γ)+
sen2(γ)
sen(α)sen(β)sen(γ)
)≥
8√
3cos(α
2
).cos
(β
2
).cos
(γ2
)
(sen(α)+sen(β)+sen(γ))
(sen2(α) + sen2(β) + sen2(γ)
sen(α)sen(β)sen(γ)
)≥ 8√
3cos(α
2
).cos
(β
2
).cos
(γ2
)
4cos(α
2
).cos
(β
2
).cos
(γ2
)(sen2(α) + sen2(β) + sen2(γ)
sen(α)sen(β)sen(γ)
)≥ 8√
3cos(α
2
).cos
(β
2
).cos
(γ2
)sen2(α) + sen2(β) + sen2(γ)
sen(α)sen(β)sen(γ)≥ 2√
3
sen(α).sen(α) + sen(β).sen(β) + sen(γ).sen(γ)
sen(α)sen(β)sen(γ)≥ 2√
3
19
sen(α).sen(π − α) + sen(β).sen(π − β) + sen(γ).sen(π − γ)
sen(α)sen(β)sen(γ)≥ 2√
3
sen(α).sen(α+ β + γ − α) + sen(β).sen(α+ β + γ − β) + sen(γ).sen(α+ β + γ − γ)
sen(α)sen(β)sen(γ)≥
2√
3
sen(α).sen(β + γ) + sen(β).sen(α+ γ) + sen(γ).sen(α+ β)
sen(α)sen(β)sen(γ)≥ 2√
3
sen(α)(sen(β)cos(γ) + sen(γ)cos(β))
sen(α)sen(β)sen(γ)+sen(β)(sen(α)cos(γ) + sen(γ)cos(α))
sen(α)sen(β)sen(γ)+
sen(γ)(sen(α)cos(β) + sen(β)cos(α))
sen(α)sen(β)sen(γ)≥ 2√
3
sen(α)sen(β)cos(γ) + sen(α)sen(γ)cos(β)
sen(α)sen(β)sen(γ)+sen(β)sen(α)cos(γ) + sen(β)sen(γ)cos(α)
sen(α)sen(β)sen(γ)+
sen(γ)sen(α)cos(β) + sen(γ)sen(β)cos(α)
sen(α)sen(β)sen(γ)≥ 2√
3
(cot(γ) + cot(β)) + (cot(γ) + cot(α)) + (cot(β) + cot(α)) ≥ 2√
3
cot(α) + cot(β) + cot(γ) ≥√
3
Que nada mais e do que a desigualdade 7, concluindo assim a demonstracao.
2.(”Simple Trigonometric Substitutions”-Vardan Verdiyan e Daniel Campos
Salas)Sejam x,y e z numeros reais superiores a 1 tais que1
x+
1
y+
1
z= 2 .Prove
que:
√x− 1 +
√y − 1 +
√z − 1 ≤
√x+ y + z
20
Solucao: Essa questao e muito interessante por admitir duas solucoes naotriviais por substituicoes trigonometricas(o autor do artigo ja a resolveu, aquivou apresentar uma segunda solucao muito interessante).Para comecar, vamos
usar a notacao∑cyc
senα = senα+ senβ + senγ
Vamos comecar reescrevendo a condicao, veja o que podemos fazer:
1
x+
1
y+
1
z= 2
Subtraindo 3 nos dois lados da igualdade, obtemos:1
x− 1 +
1
y− 1 +
1
z− 1 = 2− 3
1− xx
+1− yy
+1− zz
= −1
Multiplicando ambos os lados da igualdade por -1, obtemos:x− 1
x+y − 1
y+z − 1
z= 1
Vamos agora fazer uma substituicao de variaveis, fazendo:
a =
√x(y − 1)(z − 1)
(x− 1)yz; b =
√y(x− 1)(z − 1)
(y − 1)xz; c =
√z(x− 1)(y − 1)
(z − 1)xy;
Veja que por essa subtituicao, e facil ver que:
bc =
√y(x− 1)(z − 1)
(y − 1)xz.
√z(x− 1)(y − 1)
(z − 1)xy=x− 1
x
ac =
√x(y − 1)(z − 1)
(x− 1)yz
√z(x− 1)(y − 1)
(z − 1)xy=y − 1
y
ab =
√x(y − 1)(z − 1)
(x− 1)yz.
√y(x− 1)(z − 1)
(y − 1)xz=z − 1
z
Com base nas igualdades acima, veja o que podemos fazer:
bc =x− 1
x⇒ bc = 1− 1
x⇒ x =
1
1− bcac =
y − 1
y⇒ ac = 1− 1
y⇒ y =
1
1− acab =
z − 1
z⇒ ab = 1− 1
z⇒ z =
1
1− ab
Pelas substituicoes efetuadas acima, podemos ver que o que temos que provaragora e que se ab+ ac+ ab = 1 entao√
1
1− bc− 1 +
√1
1− ac− 1 +
√1
1− ab− 1 ≤
√1
1− bc+
1
1− ac+
1
1− ab
21
Agora, vamos aplicar a substituicao trigonometrica, veja o que podemos
fazer, fazendo a substituicao a = tanα
2; b = tan
β
2; c = tan
γ
2, o que temos que
provar e que se tanα
2tan
β
2+ tan
β
2tan
γ
2+ tan
α
2tan
γ
2= 1 entao e valido a
desigualdade:√1
1− tanβ2 tanγ2
− 1 +
√1
1− tanα2 tanγ2
− 1 +
√1
1− tanα2 tanβ2
− 1 ≤√1
1− tanβ2 tanγ2
+1
1− tanα2 tanγ2
+1
1− tanα2 tanβ2
Mas observe que se tanα
2tan
β
2+ tan
β
2tan
γ
2+ tan
α
2tan
γ
2= 1, entao, α, β, γ
sao angulos de um triangulo(ja que a funcao tangente e bijetora), ou seja, o quetemos que provar e que a desigualdade que queremos provar e equivalente a qual-quer desigualdade para angulos de um triangulo.Vamos provar isto com algunsmanipulacoes algebrico-trigonometricas.Comecamos por escrever a desigualdaeque queremos provar em notacao mais curta, veja:
∑cyc
√1
1− tanβ2 tanγ2
− 1 ≤√∑
cyc
1
1− tanβ2 tanγ2∑
cyc
√√√√ cosβ2 cosγ2
cosβ2 cosγ2 − sen
β2 sen
γ2
− 1 ≤
√√√√∑cyc
cosβ2 cosγ2
cosβ2 cosγ2 − sen
β2 sen
γ2
∑cyc
√√√√cosβ2 cosγ2 −
(cosβ2 cos
γ2 − sen
β2 sen
γ2
)cosβ2 cos
γ2 − sen
β2 sen
γ2
≤
√√√√∑cyc
cosβ2 cosγ2
cosβ2 cosγ2 − sen
β2 sen
γ2∑
cyc
√√√√ senβ2 senγ2
cosβ2 cosγ2 − sen
β2 sen
γ2
≤
√√√√∑cyc
cosβ2 cosγ2
cosβ2 cosγ2 − sen
β2 sen
γ2∑
cyc
√√√√senβ2 senγ2
cosβ+γ2≤
√√√√∑cyc
cosβ2 cosγ2
cosβ+γ2∑cyc
√√√√ senβ2 senγ2
sen(π2 −
β+γ2
) ≤√√√√∑cyc
cosβ2 cosγ2
sen(π2 −
β+γ2
)∑cyc
√√√√ senβ2 senγ2
sen(α+β+γ
2 − β+γ2
) ≤√√√√∑cyc
cosβ2 cosγ2
sen(α+β+γ
2 − β+γ2
)∑cyc
√senβ2 sen
γ2
senα2≤
√√√√∑cyc
cosβ2 cosγ2
senα2
22
Multiplicando ambos os lados da desigualdade por
√sen
α
2sen
β
2sen
γ
2, obte-
mos:
∑cyc
senβ
2sen
γ
2≤√∑
cyc
cosβ
2cos
γ
2sen
β
2sen
γ
2
Elevando ambos os lados da desigualdade ao quadrado, teremos que:∑cyc
[sen2
β
2sen2
γ
2+ 2sen2
α
2sen
β
2sen
γ
2
]≤∑cyc
cosβ
2cos
γ
2sen
β
2sen
γ
2∑cyc
[sen2
β
2sen2
γ
2+ 2sen2
α
2sen
β
2sen
γ
2
]−∑cyc
cosβ
2cos
γ
2sen
β
2sen
γ
2≤ 0
∑cyc
[sen2
β
2sen2
γ
2− cosβ
2cos
γ
2sen
β
2sen
γ
2
]+ 2
∑cyc
sen2α
2sen
β
2sen
γ
2≤ 0
∑cyc
[sen
β
2sen
γ
2
(sen
β
2sen
γ
2− cosβ
2cos
γ
2
)]+ 2
∑cyc
sen2α
2sen
β
2sen
γ
2≤ 0
−∑cyc
[sen
β
2sen
γ
2
(cos
β
2cos
γ
2− senβ
2sen
γ
2
)]+ 2
∑cyc
sen2α
2sen
β
2sen
γ
2≤ 0
−∑cyc
senβ
2sen
γ
2cos
β + γ
2+ 2
∑cyc
sen2α
2sen
β
2sen
γ
2≤ 0
−∑cyc
senβ
2sen
γ
2sen
(π
2− β + γ
2
)+ 2
∑cyc
sen2α
2sen
β
2sen
γ
2≤ 0
−∑cyc
senβ
2sen
γ
2sen
(α+ β + γ
2− β + γ
2
)+ 2
∑cyc
sen2α
2sen
β
2sen
γ
2≤ 0
−∑cyc
senβ
2sen
γ
2sen
α
2+ 2
∑cyc
sen2α
2sen
β
2sen
γ
2≤ 0
− 3senβ
2sen
γ
2sen
α
2+ 2
∑cyc
sen2α
2sen
β
2sen
γ
2≤ 0
− 3senα
2sen
β
2sen
γ
2+ 2sen
α
2sen
β
2sen
γ
2
∑cyc
senα
2≤ 0
− 3 + 2∑cyc
senα
2≤ 0
2∑cyc
senα
2≤ 3
∑cyc
senα
2≤ 3
2
senα
2+ sen
β
2+ sen
γ
2≤ 3
2
23
Que nada mais e do que a desigualdade 1, finalizando assim a demonstracao.
24