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Trigonometria Pura e Aplicacoes

Israel Meireles Chrisostomo

10 de Janeiro, 2015

1 Introducao

Esse pequeno artigo e um compilacao de demonstracoes que fiz nos ultimos tem-pos envolvendo trigonometria (se desejar utilizar alguma demonstracao, cite afonte).Algumas vezes, e possıvel encontrar demonstracoes mais simples paraos problemas apresentados, mas acredito que e sempre bom ter uma perspec-tiva diferente de qualquer problema.E esse artigo oferece justamente isso, difer-entes formas de se demonstrar relacoes matematicas, o que do ponto de vistamatematico e enriquecedor, ja que ideias diferentes podem ajudar na solucaode outros problemas.Dentro dessa visao, acredito que a demonstracao complexanao pode ser preterida diante de outras demonstracoes mais simples, porem, epreciso analisar sua abrangencia e verificar sua aplicabilidade as mais diversassituacoes.Pela diversidade de solucoes existentes para os problemas desse artigo,aconselho o leitor interessado a tentar demonstrar as desigualdades antes de leras demonstracoes, sugerindo sempre que possıvel novas demonstracoes.Ademais,espero que o leitor goste das demonstracoes e tenha sucesso ao se aventurar emprovar as relacoes que aqui estao.

1

2 Desigualdades e Identidades para angulos deum triangulo

1.cosα+ cosβ + cosγ ≤ senα2

+ senβ

2+ sen

γ

2≤ 3

2

2.senα+ senβ + senγ ≤ cosα2

+ cosβ

2+ cos

γ

2≤ 3√

3

2

3.cosαcosβcosγ ≤ senα2sen

β

2sen

γ

2≤ 1

8

4.senαsenβsenγ ≤ cosα2cos

β

2cos

γ

2≤ 1

8

5.cos2α+ cos2β + cos2γ ≥ sen2α2

+ sen2β

2+ sen2

γ

2≥ 3

4

6.sen2α+ sen2β + sen2γ ≤ cos2α2

+ cos2β

2+ cos2

γ

2≤ 9

4

7.cotα+ cotβ + cotγ ≥ tanα2

+ tanβ

2+ tan

γ

2≥√

3

1.cosα+ cosβ + cosγ = 1 + 4senα

2sen

β

2sen

γ

2

2.senα+ senβ + senγ = 4cosα

2cos

β

2cos

γ

2

3.sen2α+ sen2β + sen2γ = 4senαsenβsenγ

4.sen2α+ sen2β + sen2γ = 2 + 2cosαcosβcosγ

5.tanα

2tan

β

2+ tan

β

2tan

γ

2+ tan

α

2tan

γ

2= 1

6.tanα+ tanβ + tanγ = tanαtanβtanγ

2

3 Desigualdades Trigonometricas

1.Sejam α, β, γ angulos de um triangulo, prove que:

1 < cosα+ cosβ + cosγ ≤ senα2

+ senβ

2+ sen

γ

2≤ 3

2

.Para demonstrarmos a desigualdade acima, considere a, b e c como 3 variaveis

arbitrarias tais que a, b, c > 0 e a+ b+ c = 1.Como o quadrado de todo numeroreal e positivo, podemos dizer que:

(a−b)2 ≥ 0⇒ a2−2ab+b2 ≥ 0⇒ a2+b2 ≥ 2ab⇒ a

b+b

a≥ 2.....Desigualdade I

(a−c)2 ≥ 0⇒ a2−2ac+c2 ≥ 0⇒ a2+c2 ≥ 2ac⇒ a

c+c

a≥ 2.....Desigualdade II

(b−c)2 ≥ 0⇒ b2−2bc+c2 ≥ 0⇒ b2+c2 ≥ 2bc⇒ b

c+c

b≥ 2.....Desigualdade III

Tomando a soma Desigualdade I +Desigualdade II +Desigualdade III,temos que:(a

b+b

a

)+(ac

+c

a

)+

(b

c+c

b

)≥ 6(a

b+c

b

)+

(b

a+c

a

)+

(b

c+a

c

)≥ 6

a+ c

b+b+ c

a+a+ b

c≥ 6

a+ c

b+ 1 +

b+ c

a+ 1 +

a+ b

c+ 1 ≥ 6 + 3

a+ b+ c

b+a+ b+ c

a+a+ b+ c

c≥ 9

3

(a+ b+ c)

(1

b+

1

a+

1

c

)≥ 9

Mas lembre-se que supomos a+ b+ c = 1,logo, vem que:

1

b+

1

a+

1

c≥ 9

bc+ ac+ ab

abc≥ 9

bc+ ac+ ab ≥ 9abcbc+ ac+ ab− 9abc ≥ 0(bc− 3abc) + (ac− 3abc) + (ab− 3abc) ≥ 0bc(1− 3a) + ac(1− 3b) + ab(1− 3c) ≥ 0bc(a+ b+ c− 3a) + ac(a+ b+ c− 3b) + ab(a+ b+ c− 3c) ≥ 0bc(b+ c− 2a) + ac(a+ c− 2b) + ab(a+ b− 2c) ≥ 0bc(b+ c)− 2abc+ ac(a+ c)− 2abc+ ab(a+ b)− 2abc ≥ 0bc(b+ c) + ac(a+ c) + ab(a+ b)− 6abc ≥ 0bc(b+ c) + ac(a+ c) + ab(a+ b) ≥ 6abcbc(b+ c) + ac(a+ c) + ab(a+ b) + 2abc ≥ 6abc+ 2abc(bc(b+ c) + abc) + (ac(a+ c) + abc) + ab(a+ b) ≥ 8abcbc(a+ b+ c) + ac(a+ b+ c) + ab(a+ b) ≥ 8abc(a+ b+ c)(ac+ bc) + ab(a+ b) ≥ 8abc(a+ b+ c)(a+ b)c+ ab(a+ b) ≥ 8abc(ac+ bc+ c2)(a+ b) + ab(a+ b) ≥ 8abc(a+ b)(ac+ bc+ c2 + ab) ≥ 8abc(a+ b)(a(b+ c) + c(b+ c)) ≥ 8abc(a+ b)(a+ c)(b+ c) ≥ 8abc(a+ b+ c− c)(a+ b+ c− b)(a+ b+ c− a) ≥ 8abc(1− c)(1− b)(1− a) ≥ 8abc

O que provamos e que se a+b+c = 1 ,entao, e valido a seguinte desigualdade(1 − c)(1 − b)(1 − a) ≥ 8abc , observe que supomos que a, b, c > 0 , portanto,

podemos fazer a substituicao x =

√bc

a,y =

√ac

be z =

√ab

c, ao fazer essa

substituicao temos que a = yz,b = xz e c = xy , podemos ver facilmente aoefetuarmos essa substituicao que se xy + xz + yz = 1, entao, e valido que

(1− xy)(1− xz)(1− yz) ≥ 8x2y2z2 .Fazendo x = tanA

2,y = tan

B

2e z = tan

C

2,

temos que se tanA

2tan

B

2+ tan

A

2tan

C

2+ tan

B

2tan

C

2= 1 entao e valido a de-

sigualdade:(1− tanA

2tan

B

2

)(1− tanA

2tan

C

2

)(1− tanB

2tan

C

2

)≥ 8tan2

A

2tan2

B

2tan2

C

2....DesigualdadeIV

Mas observe que se tanA

2tan

B

2+ tan

A

2tan

C

2+ tan

B

2tan

C

2= 1, entao A, B e

4

C sao angulos de um triangulo.Sabendo que A,B e C sao angulos de um triangulo, Vamos trabalhar um

pouco na DesigualdadeIV , veja o que podemos fazer:(1− tanA

2tan

B

2

)(1− tanA

2tan

C

2

)(1− tanB

2tan

C

2

)≥ 8tan2

A

2tan2

B

2tan2

C

2⇒(

cosA2 cosB2 − sen

A2 sen

B2

cosA2 cosB2

)(cosA2 cos

C2 − sen

A2 sen

C2

cosA2 cosC2

)(cosB2 cos

C2 − sen

B2 sen

C2

cosB2 cosC2

)≥

8tan2A

2tan2

B

2tan2

C

2

cosA+B2

cosA2 cosB2

cosA+C2

cosA2 cosC2

cosB+C2

cosB2 cosC2

≥ 8tan2A

2tan2

B

2tan2

C

2

sen(π2 −

A+B2

)cosA2 cos

B2

sen(π2 −

A+C2

)cosA2 cos

C2

sen(π2 −

B+C2

)cosB2 cos

C2

≥ 8tan2A

2tan2

B

2tan2

C

2

sen(A+B+C

2 − A+B2

)cosA2 cos

B2

sen(A+B+C

2 − A+C2

)cosA2 cos

C2

sen(A+B+C

2 − B+C2

)cosB2 cos

C2

≥ 8tan2A

2tan2

B

2tan2

C

2

senC2cosA2 cos

B2

senB2cosA2 cos

C2

senA2cosB2 cos

C2

≥ 8tan2A

2tan2

B

2tan2

C

2

senA2 senB2 sen

C2

cos2A2 cos2B2 cos

2C2

≥ 8tan2A

2tan2

B

2tan2

C

2

1 ≥ 8senA

2sen

B

2sen

C

2

1

2≥ 4sen

A

2sen

B

2sen

C

2

1

2+ 1 ≥ 1 + 4sen

A

2sen

B

2sen

C

23

2≥ 1 + 4sen

A

2sen

B

2sen

C

2

1 + 4senA

2sen

B

2sen

C

2≤ 3

2

Usando a identidade cosA+ cosB + cosC = 1 + 4senA

2sen

B

2sen

C

2, vem que :

cosA+ cosB + cosC ≤ 3

2..........Desigualdade V

Mas ha um problema, a desigualdade que queremos provar e

5

cosα+ cosβ + cosγ ≤ senα2

+ senβ

2+ sen

γ

2≤ 3

2

Se pensarmos um pouco, veremos que esse e um problema facil de resolver, veja

a desigualdade que provamos cosA+ cosB + cosC ≤ 3

2, observe que a desigual-

dade e valida para qualquer valor de A,B,C, desde que A,B,C sejam angulosde um triangulo.Podemos, entao, dizer que A,B,C sao angulos agudos, isto e,

A,B,C <π

2, pois isso nao fere a condicao de que A,B,C sejam angulos de

um triangulo.Mas veja que se A,B,C sao angulos agudos, entao, podemos dizer

que A =π − α

2,B =

π − β2

e C =π − γ

2, com α, β, γ sendo angulos de um

triangulo arbitrario, pois a soma A + B + C continua sendo π e A,B,C <π

2,

isto e, A,B,C sao angulos de um triangulo agudo.Portanto, efetuando essa sub-stituicao na Desigualdade V , vem:

cos

(π − α

2

)+ cos

(π − β

2

)+ cos

(π − γ

2

)≤ 3

2

senα

2+ sen

β

2+ sen

γ

2≤ 3

2......Desigualdade V I

Agora nos resta provar que cosα+cosβ+cosγ ≤ senα2

+senβ

2+sen

γ

2, Para

tanto, tome a desigualdade cosα− β

2≤ 1, e veja o que podemos fazer:

cosα− β

2≤ 1⇒ 2cos

α+ β

2cos

α− β2≤ 2cos

α+ β

2⇒

⇒ cos(α)+cos(β) ≤ 2cosα+ β

2= 2sen

(π

2− α+ β

2

)= 2sen

(α+ β + γ

2− α+ β

2

)=

2senγ

2⇒ cos(α) + cos(β) ≤ 2sen

γ

2.....Desigualdade V II

Podemos aplicar o mesmo raciocınio para os outros lados e chegar a conclusaoque:

cos(α) + cos(γ) ≤ 2senβ

2.....Desigualdade V III

cos(β) + cos(γ) ≤ 2senα

2.....Desigualdade IX

Pegando a somaDesigualdade V II+Desigualdade V III+Desigualdade IX,segue que:

(cos(α) + cos(β)) + (cos(β) + cos(γ)) + (cos(β) + cos(γ)) ≤

2senγ

2+ 2sen

β

2+ 2sen

α

2

6


+ senβ

2+ sen

γ

2

Unindo a Desigualdade V I a desigualdade acima, vem:


+ senβ

2+ sen

γ

2≤ 3

2.........Desigualdade X

Agora devemos demonstrar que 1 < cosα + cosβ + cosγ.Considere α, β, γcomo angulos de um triangulo arbitrario, como o cosseno e positivo no primeiroquadrante, segue que as secantes da metade desses angulos sao positivas, o queimplica que o produto dessas secantes tambem o e.Veja como podemos utilizareste fato:

secα

2sec

β

2sec

γ

2> 0

Como senα+ β + γ

2= 1, multiplicando a desigualdade acima por sen

α+ β + γ

2,

vem:

secα

2sec

β

2sec

γ

2sen

α+ β + γ

2> 0

secα

2sec

β

2sec

γ

2

(sen

α+ β

2cos

γ

2+ cos

α+ β

2sen

γ

2

)> 0

secα

2sec

β

2sec

γ

2

((sen

α

2cos

β

2+ cos

α

2sen

β

2

)cos

γ

2+

(cos

α

2cos

β

2− senα

2sen

β

2

)sen

γ

2

)>

0

secα

2sec

β

2sec

γ

2

(sen

α

2cos

β

2cos

γ

2+ cos

α

2sen

β

2cos

γ

2+ cos

α

2cos

β

2sen

γ

2− senα

2sen

β

2sen

γ

2

)>

0

tanα

2+ tan

β

2+ tan

γ

2− tanα

2tan

β

2tan

γ

2> 0

tanα

2+ tan

β

2+ tan

γ

2> tan

α

2tan

β

2tan

γ

2

Multiplicando ambos os lados da desigualdade por 2, vem:

2tanα

2+ 2tan

β

2+ 2tan

γ

2> 2tan

α

2tan

β

2tan

γ

2

7

Vamos fazer uma mudanca de variaveis para contrair as dimensoes da ex-

pressao, fazendo x = tanα

2, y = tan

β

2, z = tan

γ

2, substituindo na desigualdade,

obteremos:

2x+ 2y + 2z > 2xyz

(x+ y) + (x+ z) + (y + z) > 2xyz

(x+ y)xyz + (x+ z)xyz + (y + z)xyz > 2x2y2z2

(xz + yz)xy + (xy + yz)xz + (xy + xz)yz > 2x2y2z2

(xz+yz+xy−xy)xy+(xy+yz+xz−xz)xz+(xy+xz+yz−yz)yz > 2x2y2z2

α+β+γ = π ⇒ tanα

2tan

β

2+tan

α

2tan

γ

2+tan

β

2tan

γ

2= 1⇒ xz+yz+xy = 1

(1− xy)xy + (1− xz)xz + (1− yz)yz > 2x2y2z2

(xy − x2y2) + (xz − x2z2) + (yz − y2z2) > 2x2y2z2

xy + xz + yz > 2x2y2z2 + x2y2 + x2z2 + y2z2

1 > 2x2y2z2 + x2y2 + x2z2 + y2z2

3 > 6x2y2z2 + 3(x2y2 + x2z2 + y2z2)

3 + (x2y2 + x2z2 + y2z2) > 6x2y2z2 + 4(x2y2 + x2z2 + y2z2)

3+(2x2 +2y2 +2z2)+(x2y2 +x2z2 +y2z2) > 6x2y2z2 +4(x2y2 +x2z2 +y2z2)+(2x2 + 2y2 + 2z2)

(1 + x2 + y2 + x2y2) + (1 + x2 + z2 + x2z2) + (1 + y2 + z2 + y2z2) >2z2(1 + x2 + y2 + x2y2) + 2y2(1 + x2 + z2 + x2z2) + 2x2(1 + y2 + z2 + y2z2)

(1 + x2 + y2(1 + x2)) + (1 + x2 + z2(1 + x2)) + (1 + y2 + z2(1 + y2)) >2z2(1 + x2 + y2(1 + x2)) + 2y2(1 + x2 + z2(1 + x2)) + 2x2(1 + y2 + z2(1 + y2))

(1 + y2)(1 + x2) + (1 + z2)(1 + x2) + (1 + z2)(1 + y2) >2z2(1 + y2)(1 + x2) + 2y2(1 + z2)(1 + x2) + 2x2(1 + z2)(1 + y2)

Dividindo ambos os lados da desigualdade por (1 + y2)(1 +x2)(1 + z2), vem:

8

1

1 + z2+

1

1 + y2+

1

1 + x2>

2z2

1 + z2+

2y2

1 + y2+

2x2

1 + x2

Desfazendo a substituicao feita no inıcio, temos que:

1

1 + tan2 γ2+

1

1 + tan2 β2+

1

1 + tan2 α2>

2tan2 γ21 + tan2 γ2

+2tan2 β2

1 + tan2 β2+

2tan2 α21 + tan2 α2

cos2γ

2+ cos2

β

2+ cos2

α

2> 2sen2

γ

2+ 2sen2

β

2+ 2sen2

α

2

cos2γ

2+ cos2

β

2+ cos2

α

2> 2

(1− cos2 γ

2

)+ 2

(1− cos2 β

2

)+ 2

(1− cos2α

2

)cos2

γ

2+ cos2

β

2+ cos2

α

2> 2

Multiplicando ambos os lados da desigualdade por 2 e subtraindo 3, vem:

2cos2γ

2+ 2cos2

β

2+ 2cos2

α

2− 3 > 4− 3

2cos2γ

2− 1 + 2cos2

β

2− 1 + 2cos2

α

2− 1 > 1

cosα+ cosβ + cosγ > 1

Unindo Desigualdade X a desigualdade acima, vem:

1 < cosα+ cosβ + cosγ ≤ senα2

+ senβ

2+ sen

γ

2≤ 3

2Como querıamos provar.

9


senα+ senβ + senγ ≤ cosα2

+ cosβ

2+ cos

γ

2≤ 3√

3

2

.Para demonstrarmos essa desigualdade, considere novamente que o quadrado

de todo numero real e positivo, partindo disso, obtemos:

(a− b)2 ≥ 0⇒ a2 − 2ab+ b2 ≥ 0⇒ a2 + b2 ≥ 2ab......Desigualdade I

(a− c)2 ≥ 0⇒ a2 − 2ac+ c2 ≥ 0⇒ a2 + c2 ≥ 2ac....Desigualdade II

(b− c)2 ≥ 0⇒ b2 − 2bc+ c2 ≥ 0⇒ b2 + c2 ≥ 2bc......Desigualdade III

Somando as desigualdades I, II e III, obtemos:

a2 + b2 + c2 ≥ ab+ ac+ bc

Multiplicando a desigualdade acima por 2, obtemos:

2a2 + 2b2 + 2c2 ≥ 2ab+ 2ac+ 2bc

Somando a2 + b2 + c2 em ambos os lados da desigualdade, vem:

3a2 + 3b2 + 3c2 ≥ a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc

3a2 + 3b2 + 3c2 ≥ (a+ b+ c)2

Como a desigualdade e valida para qualquer valor real, podemos substituiras variaveis por qualquer funcao trigonometrica, portanto, fazendo

a = cosα

2, b = cos

β

2e c = cos

γ

2, vem:

3cos2α

2+ 3cos2

β

2+ 3cos2

γ

2≥(cos

α

2+ cos

β

2+ cos

γ

2

)2

.....Desigualdade IV

Observe a desigualdade que provamos anteriormente, isto e,

10

cosα+ cosβ+ cosγ ≤ 3

2, veja as modificacoes que podemos fazer com a mesma:

cosα+ cosβ + cosγ ≤ 3

2

2cos2α

2− 1 + 2cos2

β

2− 1 + 2cos2

γ

2− 1 ≤ 3

2

cos2α

2+ cos2

β

2+ cos2

γ

2≤ 9

4

3cos2α

2+ 3cos2

β

2+ 3cos2

γ

2≤ 27

4

Aplicando a desigualdade acima a desigualdade IV , nao e difıcil ver que:

27

4≥ 3cos2

α

2+ 3cos2

β

2+ 3cos2

γ

2≥(cos

α

2+ cos

β

2+ cos

γ

2

)2

27

4≥(cos

α

2+ cos

β

2+ cos

γ

2

)2

Como o cosseno e positivo no primeiro quadrante, podemos extrair a raiz epreservar o sinal da desigualdade, sendo assim, temos que:

3√

3

2≥ cosα

2+ cos

β

2+ cos

γ

2

cosα

2+ cos

β

2+ cos

γ

2≤ 3√

3

2......Desigualdade V

Agora, devemos provar que senα + senβ + senγ ≤ cosα

2+ cos

β

2+ cos

γ

2.

Podemos aplicar um raciocınio semelhante ao que aplicamos na desigualdade

anterior, para tanto, tome a desigualdade cosα− β

2≤ 1, e veja o que podemos

fazer:

cosα− β

2≤ 1⇒ 2sen

α+ β

2cos

α− β2≤ 2sen

α+ β

2⇒ senα+senβ ≤ 2sen

α+ β

2⇒

senα+senβ ≤ 2cos

(π

2− α+ β

2

)⇒ senα+senβ ≤ 2cos

(α+ β + γ

2− α+ β

2

)⇒

senα+ senβ ≤ 2cosγ

2.....Desigualdade V I

Aplicando a mesma ideia aos outros angulos do triangulo, concluımos que:

senα+ senγ ≤ 2cosβ

2.....Desigualdade V II

11

senβ + senγ ≤ 2cosα

2.....Desigualdade V III

Somando as desigualdades V I, V II e V III, obtemos:


+ cosβ

2+ cos

γ

2

Unindo a desigualdade acima a Desiguadade V , teremos:


+ cosβ

2+ cos

γ

2≤ 3√

3

2

Como querıamos provar.

12


cosαcosβcosγ ≤ senα2sen

β

2sen

γ

2≤ 1

8

.O lado direito e trivial, basta aplicarmos uma identidade trigonometrica,

mas o lado esquerdo e um pouco mais complicado, por esse motivo, vamoscomecar com o lado esquerdo.Vamos provar que a desigualdade ao lado esquerdoe valida para um triangulo de angulos agudos, pois no caso de um triangulocom angulo obtuso, apenas um dos cossenos teria o sinal negativo, tornado adesigualdade obvia, pois os senos sao todos positivos (e trivial que uma porcaopositiva seja maior do que uma quantidade negativa).Tomando a desigualdadeprovada anteriormente teremos:

a2 + b2 + c2 ≥ ab+ ac+ bc

Somando 2ab+ 2ac+ 2bc em ambos os lados da desigualdade teremos:

a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc ≥ 3ab+ 3ac+ 3bc

(a+ b+ c)2 ≥ 3ab+ 3ac+ 3bc

Agora, sejam A,B e C angulos agudos, fazendo a = tanA, b = tanB ec = tanC, obtemos:

(tanA+ tanB + tanC)2 ≥ 3tanAtanB + 3tanAtanC + 3tanBtanC

Lembrando da identidade tanA+ tanB + tanC = tanAtanBtanC, e substi-tuindo acima, vem:

(tanAtanBtanC)2 ≥ 3tanAtanB + 3tanAtanC + 3tanBtanC

Multiplicando ambos os lados da desigualdade por cotAcotBcotC, vem

tanAtanBtanC ≥ 3(cotA+ cotB + cotC).....Desigualdade I

13

Vamos guardar a desigualdade acima, tomando a desigualdade provada acima,vem:

(a+ b+ c)2 ≥ 3ab+ 3ac+ 3bc

Sejam α, β, γ angulos de um triangulo arbitrario, entao, substituindo a =

tanα

2, b = tan

β

2e c = tan

γ

2, vem:(

tanα

2+ tan

β

2+ tan

γ

2

)2

≥ 3tanα

2tan

β

2+ 3tan

α

2tan

γ

2+ 3tan

β

2tan

γ

2(tan

α

2+ tan

β

2+ tan

γ

2

)2

≥ 3

(tan

α

2tan

β

2+ tan

α

2tan

γ

2+ tan

β

2tan

γ

2

)

Usando a identidade tanα

2tan

β

2+ tan

α

2tan

γ

2+ tan

β

2tan

γ

2= 1, vem:(

tanα

2+ tan

β

2+ tan

γ

2

)2

≥ 3

tanα

2+ tan

β

2+ tan

γ

2≥√

3

cot(π

2− α

2

)+ cot

(π

2− β

2

)+ cot

(π2− γ

2

)≥√

3

Fazendo a substituicao A =π − α

2,B =

π − β2

e C =π − γ

2, observe que a

soma A + B + C continua sendo π e A,B,C <π

2, isto e, A,B,C sao angulos

de um triangulo agudo, logo, temos que se A,B,C sao angulos de um trianguloagudo, entao, e valido que:

cotA+ cotB + cotC ≥√

3

Multiplicando por 3 obtemos:

3cotA+ 3cotB + 3cotC ≥ 3√

3

Apicando a desigualdade acima a Desigualdade I, teremos:

tanAtanBtanC ≥ 3cotA+ 3cotB + 3cotC ≥ 3√

3

tanAtanBtanC ≥ 3√

3......Desigualdade II

14

Lembremos da desigualdade provada na secao 2, isto e,

senα + senβ + senγ ≤ cosα

2+ cos

β

2+ cos

γ

2≤ 3√

3

2, podemos ver por essa

desigualdade que se A,B,C sao angulos de um triangulo e valido que(tomeangulos agudos):

senA+ senB + senC ≤ 3√

3

2

Multiplicando essa desigualdade por 2, obtemos:

2senA+ 2senB + 2senC ≤ 3√

3

Unindo a desigualdade acima a Desigualdade II, teremos:

2senA+ 2senB + 2senC ≤ 3√

3 ≤ tanAtanBtanC

2(senA+ senB + senC) ≤ 3√

3 ≤ tanAtanBtanC

2(senA+ senB + senC) ≤ tanAtanBtanC

Lembrando da identidade senα+ senβ + senγ = 4cosα

2cos

β

2cos

γ

2e substi-

tuindo na desigualdade acima, vem:

8cosA

2cos

B

2cos

C

2≤ tanAtanBtanC

8cosAcosBcosC ≤ senAsenBsenC

cosA2 cosB2 cos

C2

8cosAcosBcosC ≤2senA2 cos

A2 .2sen

B2 cos

B2 .2sen

C2 cos

C2

cosA2 cosB2 cos

C2

cosAcosBcosC ≤ senA2sen

B

2sen

C

2

Como querıamos demonstrar.Para provar o lado direito e muito facil, bastamultiplicar ambos os lados da desigualdade por 4, somar 1 nos dois lados, aplicaruma identidade e concluir que a desigualdade e equivalente a desigualdadeprovada na secao 1.As outras desigualdades sao faceis de provar, basta fazeralgumas multiplicacoes e aplicar as identidades expostas no inıcio do artigo, anao ser pela desigualdade envolvendo tangentes, mas ja tenho um vıdeo falandosobre essa desigualdade.

15

4 Aplicacoes

1.(IMO/Problemas de alta dificultad-Valeri Pavlovich Suprun )Sejam a,b e c

lados de um triangulo e A sua area, prove que a2 + b2 + c2 ≥ 4√

3A.

Demonstracao:Nossa estrategia de demonstracao e provar que a desigualdade

a2+b2+c2 ≥ 4√

3A e equivalente a uma das desigualdades provadas acima.Maisespecificamente, provaremos que essa desigualdade e equivalente a desigualdadecotα + cotβ + cotγ ≥

√3, que e a forma contraıda da desigualdade 7.Para

isso, basta que transformemos a desigualdade que queremos provar na desigual-dade 7, atraves de manipulacoes algebricas e com o uso de transformacoestrigonometricas triviais.Vamos comecar a demonstracao.Para comecar, pode-mos usar a formula de Heron que nos da a area A do triangulo em funcaodo semi-perımetro S do triangulo e de seus lados a,b e c, essa formula e maisconhecida na forma:

A =√S(S − a)(S − b)(S − c)

Substituindo essa formula na desigualdade que queremos provar, obteremos:

a2 + b2 + c2 ≥ 4√

3√S(S − a)(S − b)(S − c)

16

Por definicao, S e o semi-perımetro, isto e, S =a+ b+ c

2, substituindo vem:

a2+b2+c2 ≥ 4√

3

√(a+ b+ c

2

)(a+ b+ c

2− a)(

a+ b+ c

2− b)(

a+ b+ c

2− c)

a2 + b2 + c2 ≥ 4√

3

√(a+ b+ c

2

)(b+ c− a

2

)(a+ c− b

2

)(a+ b− c

2

)

Multiplicando ambos os lados da desigualdade por

√(a+ b+ c

2abc

)2

, obte-

mos:

(a2 + b2 + c2

)√(a+ b+ c

2abc

)2

≥

4√

3

√(a+ b+ c

2

)(b+ c− a

2

)(a+ c− b

2

)(a+ b− c

2

)√(a+ b+ c

2abc

)2

(a2 + b2 + c2

)(a+ b+ c

2abc

)≥ 4√

3

√(a+ b+ c

2

)(b+ c− a

2

)(a+ c− b

2

)(a+ b− c

2

)(a+ b+ c

2abc

)2

(a2 + b2 + c2

)(a+ b+ c

2abc

)≥ 4√

3

√(a+ b+ c)(b+ c− a)

4bc.(a+ b+ c)(a+ c− b)

4ac.(a+ b+ c)(a+ b− c)

4ab

(a2 + b2 + c2

)(a+ b+ c

2abc

)≥

4√

3

√(a+ b+ c)(b+ c− a)

4bc.

√(a+ b+ c)(a+ c− b)

4ac.

√(a+ b+ c)(a+ b− c)

4ab

Vamos chamar a desiguadade acima de Desigualdade i.Agora, observe que,pela lei dos cossenos, se a, b e c sao os lados do triangulo e alpha,beta e gammasao respectivamente os angulos opostos a esses lados, temos:

c2 = a2 + b2 − 2abcos(γ)⇒ cos(γ) =a2 + b2 − c2

2ab⇒

2cos2(γ

2

)− 1 =

a2 + b2 − c2

2ab⇒ 2cos2

(γ2

)=a2 + b2 − c2

2ab+ 1⇒

2cos2(γ

2

)=a2 + b2 − c2 + 2ab

2ab⇒ 2cos2

(γ2

)=

(a+ b)2 − c2

2ab⇒

2cos2(γ

2

)=

(a+ b+ c)(a+ b− c)2ab

⇒ cos2(γ

2

)=

(a+ b+ c)(a+ b− c)4ab

⇒

cos(γ

2

)=

√(a+ b+ c)(a+ b− c)

4ab......Igualdade i

17

Da mesma forma, para os outros lados do triangulo, teremos:

cos(α

2

)=

√(a+ b+ c)(b+ c− a)

4bc......Igualdade ii

cos

(β

2

)=

√(a+ b+ c)(a+ c− b)

4ac......Igualdade iii

Substituindo na Desigualdade i, obtemos :

(a2 + b2 + c2

)(a+ b+ c

2abc

)≥ 4√

3cos(α

2

).cos

(β

2

).cos

(γ2

)(a2 + b2 + c2

)( a

2abc+

b

2abc+

c

2abc

)≥ 4√

3cos(α

2

).cos

(β

2

).cos

(γ2

)(a2 + b2 + c2

)( 1

2bc+

1

2ac+

1

2ab

)≥ 4√

3cos(α

2

).cos

(β

2

).cos

(γ2

)(a2

2bc+

a2

2ac+

a2

2ab

)+

(b2

2bc+

b2

2ac+

b2

2ab

)+

(c2

2bc+

c2

2ac+

c2

2ab

)≥ 4√

3cos(α

2

).cos

(β

2

).cos

(γ2

)(a2

bc+a

c+a

b

)+

(b

c+b2

ac+b

a

)+

(c

b+c

a+c2

ab

)≥ 8√

3cos(α

2

).cos

(β

2

).cos

(γ2

)(ab.a

c+a

c+a

b

)+

(b

c+b

a.b

c+b

a

)+(cb

+c

a+c

a.c

b

)≥ 8√

3cos(α

2

).cos

(β

2

).cos

(γ2

)

Pela Lei dos senos, temos que:

sen(α)

a=sen(β)

b=sen(γ)

c

De onde se conclui que:

sen(α)

sen(β)=a

b;sen(α)

sen(γ)=a

c;sen(β)

sen(γ)=b

c;

Observe que na desigualdade acima todos os termos ao lado esquerdo saofracoes compostas por lados de triangulo e , portanto, podem ser transformadas,pela lei do seno acima, em senos de angulos de um triangulo.E so observar apermutacao que esta ocorrendo com os lados do triangulo nessa desigualdade, isto e, ao inves de aparecerem apenas no denominador, as vezes esses ladosaparecem no numerador, e devemos inverter assim as igualdades do seno e sub-stituir na desigualdade.Por outro lado, temos alguns termos que aparecem nadesigualdade que sao apenas o produto das igualdades que foram extraıdas pelalei dos senos.Veja como podemos efetuar essa substituicao:

18

(sen(α)

sen(β).sen(α)

sen(γ)+sen(α)

sen(γ)+sen(α)

sen(β)

)+

(sen(β)

sen(γ)+sen(β)

sen(α).sen(β)

sen(γ)+sen(β)

sen(α)

)+(

sen(γ)

sen(β)+sen(γ)

sen(α)+sen(γ)

sen(α)

sen(γ)

sen(β)

)≥ 8√

3cos(α

2

).cos

(β

2

).cos

(γ2

)(

sen2(α)

sen(β).sen(γ)+sen(α)

sen(γ)+sen(α)

sen(β)

)+

(sen(β)

sen(γ)+

sen2(β)

sen(α).sen(γ)+sen(β)

sen(α)

)+(

sen(γ)

sen(β)+sen(γ)

sen(α)+

sen2(γ)

sen(α).sen(β)

)≥ 8√

3cos(α

2

).cos

(β

2

).cos

(γ2

)sen3(α) + sen2(α)sen(β) + sen2(α)sen(γ)

sen(α)sen(β)sen(γ)+sen2(β)sen(α) + sen3(β) + sen2(β)sen(γ)

sen(α)sen(β)sen(γ)+

sen2(γ)sen(α) + sen2(γ)sen(β) + sen3(γ))

sen(α)sen(β)sen(γ)≥ 8√

3cos(α

2

).cos

(β

2

).cos

(γ2

)sen2(α)

sen(α)sen(β)sen(γ)(sen(α)+sen(β)+sen(γ))+

sen2(β)

sen(α)sen(β)sen(γ)(sen(α)+

sen(β)+sen(γ))+sen2(γ)

sen(α)sen(β)sen(γ)(sen(α)+sen(β)+sen(γ)) ≥ 8

√3cos

(α2

).cos

(β

2

).cos

(γ2

)

(sen(α)+sen(β)+sen(γ))

(sen2(α)


sen2(β)


sen2(γ)

sen(α)sen(β)sen(γ)

)≥

8√

3cos(α

2

).cos

(β

2

).cos

(γ2

)

(sen(α)+sen(β)+sen(γ))

(sen2(α) + sen2(β) + sen2(γ)


)≥ 8√

3cos(α

2

).cos

(β

2

).cos

(γ2

)

4cos(α

2

).cos

(β

2

).cos

(γ2

)(sen2(α) + sen2(β) + sen2(γ)


)≥ 8√

3cos(α

2

).cos

(β

2

).cos

(γ2

)sen2(α) + sen2(β) + sen2(γ)


3

sen(α).sen(α) + sen(β).sen(β) + sen(γ).sen(γ)


3

19

sen(α).sen(π − α) + sen(β).sen(π − β) + sen(γ).sen(π − γ)


3

sen(α).sen(α+ β + γ − α) + sen(β).sen(α+ β + γ − β) + sen(γ).sen(α+ β + γ − γ)

sen(α)sen(β)sen(γ)≥

2√

3

sen(α).sen(β + γ) + sen(β).sen(α+ γ) + sen(γ).sen(α+ β)


3

sen(α)(sen(β)cos(γ) + sen(γ)cos(β))

sen(α)sen(β)sen(γ)+sen(β)(sen(α)cos(γ) + sen(γ)cos(α))


sen(γ)(sen(α)cos(β) + sen(β)cos(α))


3

sen(α)sen(β)cos(γ) + sen(α)sen(γ)cos(β)

sen(α)sen(β)sen(γ)+sen(β)sen(α)cos(γ) + sen(β)sen(γ)cos(α)


sen(γ)sen(α)cos(β) + sen(γ)sen(β)cos(α)


3

(cot(γ) + cot(β)) + (cot(γ) + cot(α)) + (cot(β) + cot(α)) ≥ 2√

3

cot(α) + cot(β) + cot(γ) ≥√

3

Que nada mais e do que a desigualdade 7, concluindo assim a demonstracao.

2.(”Simple Trigonometric Substitutions”-Vardan Verdiyan e Daniel Campos

Salas)Sejam x,y e z numeros reais superiores a 1 tais que1

x+

1

y+

1

z= 2 .Prove

que:

√x− 1 +

√y − 1 +

√z − 1 ≤

√x+ y + z

20

Solucao: Essa questao e muito interessante por admitir duas solucoes naotriviais por substituicoes trigonometricas(o autor do artigo ja a resolveu, aquivou apresentar uma segunda solucao muito interessante).Para comecar, vamos

usar a notacao∑cyc

senα = senα+ senβ + senγ

Vamos comecar reescrevendo a condicao, veja o que podemos fazer:

1

x+

1

y+

1

z= 2

Subtraindo 3 nos dois lados da igualdade, obtemos:1

x− 1 +

1

y− 1 +

1

z− 1 = 2− 3

1− xx

+1− yy

+1− zz

= −1

Multiplicando ambos os lados da igualdade por -1, obtemos:x− 1

x+y − 1

y+z − 1

z= 1

Vamos agora fazer uma substituicao de variaveis, fazendo:

a =

√x(y − 1)(z − 1)

(x− 1)yz; b =

√y(x− 1)(z − 1)

(y − 1)xz; c =

√z(x− 1)(y − 1)

(z − 1)xy;

Veja que por essa subtituicao, e facil ver que:

bc =

√y(x− 1)(z − 1)

(y − 1)xz.

√z(x− 1)(y − 1)

(z − 1)xy=x− 1

x

ac =

√x(y − 1)(z − 1)

(x− 1)yz

√z(x− 1)(y − 1)

(z − 1)xy=y − 1

y

ab =

√x(y − 1)(z − 1)

(x− 1)yz.

√y(x− 1)(z − 1)

(y − 1)xz=z − 1

z

Com base nas igualdades acima, veja o que podemos fazer:

bc =x− 1

x⇒ bc = 1− 1

x⇒ x =

1

1− bcac =

y − 1

y⇒ ac = 1− 1

y⇒ y =

1

1− acab =

z − 1

z⇒ ab = 1− 1

z⇒ z =

1

1− ab

Pelas substituicoes efetuadas acima, podemos ver que o que temos que provaragora e que se ab+ ac+ ab = 1 entao√

1

1− bc− 1 +

√1

1− ac− 1 +

√1

1− ab− 1 ≤

√1

1− bc+

1

1− ac+

1

1− ab

21

Agora, vamos aplicar a substituicao trigonometrica, veja o que podemos

fazer, fazendo a substituicao a = tanα

2; b = tan

β

2; c = tan

γ

2, o que temos que

provar e que se tanα

2tan

β

2+ tan

β

2tan

γ

2+ tan

α

2tan

γ

2= 1 entao e valido a

desigualdade:√1

1− tanβ2 tanγ2

− 1 +

√1

1− tanα2 tanγ2

− 1 +

√1

1− tanα2 tanβ2

− 1 ≤√1

1− tanβ2 tanγ2

+1

1− tanα2 tanγ2

+1

1− tanα2 tanβ2

Mas observe que se tanα

2tan

β

2+ tan

β

2tan

γ

2+ tan

α

2tan

γ

2= 1, entao, α, β, γ

sao angulos de um triangulo(ja que a funcao tangente e bijetora), ou seja, o quetemos que provar e que a desigualdade que queremos provar e equivalente a qual-quer desigualdade para angulos de um triangulo.Vamos provar isto com algunsmanipulacoes algebrico-trigonometricas.Comecamos por escrever a desigualdaeque queremos provar em notacao mais curta, veja:

∑cyc

√1

1− tanβ2 tanγ2

− 1 ≤√∑

cyc

1

1− tanβ2 tanγ2∑

cyc

√√√√ cosβ2 cosγ2

cosβ2 cosγ2 − sen

β2 sen

γ2

− 1 ≤

√√√√∑cyc

cosβ2 cosγ2


β2 sen

γ2

∑cyc

√√√√cosβ2 cosγ2 −

(cosβ2 cos

γ2 − sen

β2 sen

γ2

)cosβ2 cos

γ2 − sen

β2 sen

γ2

≤

√√√√∑cyc

cosβ2 cosγ2


β2 sen

γ2∑

cyc

√√√√ senβ2 senγ2


β2 sen

γ2

≤

√√√√∑cyc

cosβ2 cosγ2


β2 sen

γ2∑

cyc

√√√√senβ2 senγ2

cosβ+γ2≤

√√√√∑cyc

cosβ2 cosγ2

cosβ+γ2∑cyc


sen(π2 −

β+γ2

) ≤√√√√∑cyc

cosβ2 cosγ2

sen(π2 −

β+γ2

)∑cyc


sen(α+β+γ

2 − β+γ2

) ≤√√√√∑cyc

cosβ2 cosγ2

sen(α+β+γ

2 − β+γ2

)∑cyc

√senβ2 sen

γ2

senα2≤

√√√√∑cyc

cosβ2 cosγ2

senα2

22

Multiplicando ambos os lados da desigualdade por

√sen

α

2sen

β

2sen

γ

2, obte-

mos:

∑cyc

senβ

2sen

γ

2≤√∑

cyc

cosβ

2cos

γ

2sen

β

2sen

γ

2

Elevando ambos os lados da desigualdade ao quadrado, teremos que:∑cyc

[sen2

β

2sen2

γ

2+ 2sen2

α

2sen

β

2sen

γ

2

]≤∑cyc

cosβ

2cos

γ

2sen

β

2sen

γ

2∑cyc

[sen2

β

2sen2

γ

2+ 2sen2

α

2sen

β

2sen

γ

2

]−∑cyc

cosβ

2cos

γ

2sen

β

2sen

γ

2≤ 0

∑cyc

[sen2

β

2sen2

γ

2− cosβ

2cos

γ

2sen

β

2sen

γ

2

]+ 2

∑cyc

sen2α

2sen

β

2sen

γ

2≤ 0

∑cyc

[sen

β

2sen

γ

2

(sen

β

2sen

γ

2− cosβ

2cos

γ

2

)]+ 2

∑cyc

sen2α

2sen

β

2sen

γ

2≤ 0

−∑cyc

[sen

β

2sen

γ

2

(cos

β

2cos

γ

2− senβ

2sen

γ

2

)]+ 2

∑cyc

sen2α

2sen

β

2sen

γ

2≤ 0

−∑cyc

senβ

2sen

γ

2cos

β + γ

2+ 2

∑cyc

sen2α

2sen

β

2sen

γ

2≤ 0

−∑cyc

senβ

2sen

γ

2sen

(π

2− β + γ

2

)+ 2

∑cyc

sen2α

2sen

β

2sen

γ

2≤ 0

−∑cyc

senβ

2sen

γ

2sen

(α+ β + γ

2− β + γ

2

)+ 2

∑cyc

sen2α

2sen

β

2sen

γ

2≤ 0

−∑cyc

senβ

2sen

γ

2sen

α

2+ 2

∑cyc

sen2α

2sen

β

2sen

γ

2≤ 0

− 3senβ

2sen

γ

2sen

α

2+ 2

∑cyc

sen2α

2sen

β

2sen

γ

2≤ 0

− 3senα

2sen

β

2sen

γ

2+ 2sen

α

2sen

β

2sen

γ

2

∑cyc

senα

2≤ 0

− 3 + 2∑cyc

senα

2≤ 0

2∑cyc

senα

2≤ 3

∑cyc

senα

2≤ 3

2

senα

2+ sen

β

2+ sen

γ

2≤ 3

2

23

Que nada mais e do que a desigualdade 1, finalizando assim a demonstracao.

24

aha.pdf

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