8.スペクトルの平滑化(smoothing)
• 実際のデータには様々なノイズ• 単純なノイズを除去したい• スペクトルの平滑化• 画像処理などにも応用(より鮮明に)• Several kinds of noises in data
• Reducing the noises by smooting the data
• Cutting high frequency component; smoothing the spectrum
• Application to Image Data Processing
合積のフーリエ変換Convolution of Fourier Transform
関数の積Product of functions
関数の合積Convolution of functions
と書く場合もある
合積のフーリエ変換をつくる
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€
f (t) = x(t)y(t)
€
f (t) = x(τ )y(t − τ )dτ−∞
∞
∫
€
= x(t) * y(t)
€
F(ω) = f (t)e− iωtdt−∞
∞
∫ = x(τ)y(t − τ)dτ−∞
∞
∫[ ]e−iωtdt−∞
∞
∫
= x(τ) y(t − τ)e−iωtdt−∞
∞
∫[ ]d−∞
∞
∫ τ
導く
t-τ=zとおくと,dt=dz, t=z+τになり,最終的には,
合積のフーリエ変換は,それぞれの関数のフーリエ変換の積
Fourier transform of convolution is product of Fouriertransform of functions
€
F(ω) = x(τ )Y (ω)e− iωtdτ−∞
∞
∫ = X(ω)Y (ω)
€
x(t)⇔ X(ω)y(t)⇔Y (ω)
€
x(t) * y(t)⇔ X(ω) ⋅Y (ω)のとき
データ・ウインドウData window
地震動の記象つまりデータそのもののギザギザを取り除いて,できるだけなめらかなものにする
移動平均
Moving average
例えば, example€
f b (t) =1b
f (τ)dτt− b2
t +b2∫
€
f b (t) = f (τ )w t − τ( )dτ−∞
∞
∫
€
w(t) =
1b
t ≤ b2
0 t >b2
データ・ウインドウのフーリエ変換Fourier transform of data windows
• 先に説明したように, 合積のフーリエ変換はフーリエ変換の積に等しいからウインドウ幅b(秒)の移動平均を行うことはf(t)のフーリエ変換F(w)に周波数領域でw(f)の関数を乗ずることに等しい。
€
W ( f ) = w(t)e− i2πftdt−∞
∞
∫ =1b
e−i2πftdtt− b2
t+ b2∫
= −1
i2πbfe−i2πft[ ]
−b / 2
b / 2=
1i2πbf
ei2bf − e− i2bf[ ]
=sin πbf( )πbf描こう
スペクトラル・ウインドウSpectral window
• スペクトル地震を周波数領域で平滑化する。• 例えば, パワースペクトルG(f)をW(f)で平滑化するということは
• このような関数W(f)をスペクトラル・ウインドウ(spectral window)という。
• パワーをゆがめては良くないので, • 面積不変性と対称性• Smoothing of spectrum
• Conservation of spectrum
€
G f( ) = G(g)W ( f − g)dg−∞
∞
∫
€
W ( f )df−∞
∞
∫ =1
€
W ( f ) =W (− f )
種々のウインドウ windows function
1. 長方形パルス
Rectagular pulse
2. 長方形ウインドウ
Rectangular window€
w(t) =
1b
t ≤ b2
0 t >b2
3. Bartlet window
4. Parzen window
€
W ( f ) = 2u sin2πuf2πuf
€
W ( f ) = u sinπufπuf
2
€
W ( f ) =34usin πuf
2πuf2
2€
sinπufπuf という形を回折関数(diffraction function)と呼ぶ
€
σ 2 = W 2 f( )−∞
∞
∫ df =1b
2
−b / 2
b / 2∫ df =
1b
€
σ 2 = W 2 f( )−∞
∞
∫ df = 4u2 sin2πuf2πuf
−∞
∞
∫2
df = 4u2 12u
= 2u
力積応答関数Impulse response function
• 1質点系の減衰(c)のある自由振動(k)• Free oscillation with damping, C
• X=Ceλtとおく
• 解は
• なる衝撃力を与えると
€
m˙ ̇ x + c˙ x + kx = 0˙ ̇ x + 2hω˙ x +ω 2x = 0, c /m ≡ 2hω,k /m ≡ω 2
€
λ2 + 2hωλ +ω 2 = 0, λ1,2 = −hω ± h2 −1
€
x =˙ x 0ωd
e−hωt sinωd t
€
x(0) = 0˙ x (0) = I /m
€
x =I
mωd
e−hωt sinωd t
力積応答関数Impulse response function
• システム応答関数と畳み込み積分による入出力関係式
• Duhamel積分「過渡現象を自由振動の重ね合わせによって表している。」
• Duhamel integration
€
x(t) =F(τ )mωd
0
t∫ e−hω( t−τ )sinωd (t − τ)dτ
€
ς(t) =e−hωt
mωd
sinωd t
€
x(t) = F(τ)ς(t − τ)0
t∫ dτ
€
ς(t) =e−hω(t−τ )
mωd
sinωd t t ≥ 0
0 t < 0
合積
原因より前に結果は起こらないことを意味し, 因果律と言う。
t<0で0になる関数を因果性時間関数という。
T<0 means the laws of causality
ここで,力積応答関数 とおくと
地震動に対する応答Response of earthquake
• 地動加速度y(t)を受けた1質点減衰系の変位応答・速度応答・加速度応答を考える
• まず,運動の式は
• 1質点減衰系の地震動に対する相対変位応答は
€
m(˙ ̇ x + ˙ ̇ y ) + c˙ x + kx = 0m˙ ̇ x + c˙ x + kx = −m˙ ̇ y = F(t)
€
x(t) =1ωd
˙ ̇ y (τ)0
t∫ e−hω( t−τ )sinωd (t − τ )dτ€
−m˙ ̇ y = F(t) としているので
€
x(t) = ˙ ̇ y (τ)ς(t − τ)0
t∫ dτ
˙ x (t) = ˙ ̇ y (τ) ˙ ς (t − τ)0
t∫ dτ
˙ ̇ x (t) + ˙ ̇ y (t) = ˙ ̇ y (τ )˙ ̇ ς (t − τ )0
t∫ dτ
€
ς(t) = −e−hωt
ωd
sinωd tここで
フーリエ変換を用いた応答計算Response analyisis by using Fourier
transform(1) 合積計算法 Convolution method
• 時間刻みΔtのN個の離散値を与えられるとき, も同様なΔtごとの数列として与えられれば, 自己相関・相互相関と同様の要領で
• ただし,この計算は因果性時間関数であることに注意!関数の値を循環的に用いてはならない。⇒この計算は非常に多くの乗算を必要とし, 計算時間が多くかかる。
(2) フーリエ変換法 Fourier transform method
• フーリエ変換の対があるとき, 合積のフーリエ変換はおのおののフーリエ変換の積となる.
合積計算法Convolution method
• y(t)が時間刻みΔtのN個の離散値を与えられるとき,ζ(t), ζ(t)も同様なΔtごとの数列として与えれれば,自己相関,相互相関と同様の要領で,
• によって求められる.因果性時間関数である.• この計算は非常に多くの乗算を必要とし,計算時間が多くかかる.
€
x(t) = ˙ ̇ y (t) *ς(t)˙ x (t) = ˙ ̇ y (t) * ˙ ς (t)
€
x(mΔt) = ˙ ̇ y ( jΔt)j= 0
m
∑ ς (m − j)Δt[ ]Δt
˙ x (mΔt) = ˙ ̇ y ( jΔt)j= 0
m
∑ ˙ ς (m − j)Δt[ ]Δt
フーリエ変換法 Fourier transform method
• のフーリエ変換の対があるとき• 合積のフーリエ変換はおのおののフーリエ変換の積であるので
• ここで
€
x(t)⇔ X(ω), ˙ x (t)⇔ ˙ X (ω)y(t)⇔Yς (t)⇔ Z(ω), ˙ ς (t)⇔ ˙ Z (ω)
€
X(ω) = ˙ ̇ Y (ω) ⋅ Z(ω)˙ X (ω) = ˙ ̇ Y (ω) ⋅ ˙ Z (ω)
€
Z(ω) = −1
ω02 −ω 2 + i2hωω0
˙ Z (ω) = −iω
ω02 −ω 2 + i2hωω0
リンク効果に注意する