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3 T&H Cuantitativas para 3 T&H Cuantitativas para Gestionar la Incertidumbre Gestionar la Incertidumbre
en los Proyectosen los Proyectos
Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMPJulio de 2010
Parte IParte I
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AgendaAgenda
Objetivo El problema de la Incertidumbre Incertidumbre y el PMBOK Fundamentos de Probabilidad
Probabilidad Probabilidad Eventos mutuamente excluyentes e independientes Variables aleatorias Distribuciones de Probabilidad El Teorema Central del Lmite
PERT recargado Anlisis Monte Carlo
Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 2Julio 2010
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ObjetivoObjetivo
Trabajar sobre el tema de la incertidumbre en los proyectos y analizar tcnicas y herramientas cuantitativas (especialmente (especialmente probabilsticas) que nos permitan gestionar la misma
Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 3
You cannot be certain about uncertainty
Julio 2010
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Accidente TERAC 253 pacientes muertos
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 4Atraso > 2 aos
Funciones recortadas
Tnel del Canal de la Mancha
140% sobrecosto
IncertidumbreIncertidumbre
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IncertidumbreIncertidumbre
Uncertainty is therefore imperfect knowledge and risk is uncertain consequences
Hemos concluido que la incertidumbre existente en cada proyecto es la principal causa subyacente
Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 5
cada proyecto es la principal causa subyacente de muchos de los problemas
E. Goldratt. Critical Chain
Julio 2010
YOU CANT IMPOSE CERTAINTY ON UNCERTAINTY
YOU MUST LEARN TO MANAGE THE UNCERTAINTY
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El Cono de Incertidumbre en los Proyectos de TI Las estimacionesLas estimaciones
tempranas en los proyectos son siempreampliamente imprecisas
S. McConnell- 2007
[+50%;-33%]
Julio 2010 6Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP
PMBOK tiene un enfoque similar pero asimtrico; ROM [+75%;-25%]??
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La Incertidumbre y la EstimacinLa Incertidumbre y la EstimacinAs you have no doubt experienced, a projects greatest uncertainty is its completion date (which also affects cost). When the project plan is laid out in black and white with activities and times, it becomes a very deterministic view. The project manager must understand the effects of probability and educate the stakeholders concerning the challenges of accurate estimating
La mayora del esfuerzo en la planificacin de proyectosactualmente se realiza de una forma estrictamente determinista, donde las tareas del proyecto estn asignadas y ejecutadas en un marco de tiempo bien definido
Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 7
concerning the challenges of accurate estimating and its effect on a predetermined schedule
Julio 2010Porqu??
Budd, C., y Budd C.S.. A practical guide to Earned Value Project Management, 2005
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GANTT1910-1915
CPM1946
1981
Breve historia de algunas T&HBreve historia de algunas T&H
GP
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 8
PERT1957
Herramientas pre-PCs
Cadena Crtica1997
Monte Carlo1949
(GP-1963; viable >80s)
Gerente de Proyecto
70% GP
17%GP
17%GP
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Estimaciones Estimaciones como afirmaciones como afirmaciones probabilsticasprobabilsticas
Las estimaciones se expresan normalmente como un solo punto, lo cual no es realista porque es realista porque no se indica la probabilidad asociada al punto
S. McConnell., 2006Todos los puntos estn asociados con una probabilidad, explcita o implcitamente
Julio 2010 9Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP
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Distribuciones de probabilidadDistribuciones de probabilidad
Posible
mas realista
Steve McConnell.2006Julio 2010 10Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP
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Incertidumbre y el PMBOKIncertidumbre y el PMBOK
28 veces aparece la palabra uncertainty (aunque no se define explcitamente) en el PMBOK (sin considerar figuras o el glosario) vinculado principalmente a las siguientes reas de Conocimiento:
Gestin delAlcanceGestin delAlcance
Gestin Gestin de Tiempos Gestin de Costos Gestin de Riesgos Gestin de Calidad Gestin del Alcance
Especficamente vinculadas a las siguientes T&H:Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 11
Gestin deCostos
Gestin deCalidad
Julio 2010
Gestin deRiesgos
GestindeTiempos
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T&HT&H
T
i
e
m
Anlisis de Reservas
Estimacin 3 puntos (PERT)
Costos
Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 12
m
p
o
s
Cadena Crtica
(PERT)
Riesgos
Valor Monetario Esperado
Anlisis de Sensibilidad
SimulacinMonte Carlo (What-If)
Distribuciones de Probabilidad
Julio 2010
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Incertidumbre, Probabilidad y Incertidumbre, Probabilidad y EstadsticaEstadstica
Los GP exitosos son aquellos que rpidamente comprenden la necesidad de evaluar la incertidumbre
La Gestin de Riesgos es el proceso, pero la probabilidad y la estadstica proveen el respaldo
Probability is the language of uncertainty
Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 13
J. Googdpasture. Quantitative Methods in Project Management
J.Schuyler, 2001 Julio 2010
Teorema COX
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Fundamentos de ProbabilidadFundamentos de Probabilidad
Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 14Julio 2010
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Fundamentos de ProbabilidadFundamentos de Probabilidad
1. Probabilidad2. Eventos independientes y
mutuamente excluyentes3. Variables Aleatorias3. Variables Aleatorias4. Distribuciones de Probabilidad5. Teorema Central del Lmite
Julio 2010 15Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP
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Ejercicio clsicoEjercicio clsicoEn la convergencia de caminos del ejemplo adjunto, si las probabilidades de completar las actividades 1,2, y 3 son 50%, 50% y 50%, respectivamente, cules son las chances de comenzar la actividad 4 en el da 6?
a) 10% b) 13% c) 40% d) 50%Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 16
Porqu?
Julio 2010
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FrecuenciaFrecuencia relativarelativa y y ProbabilidadProbabilidad
Supongamos un experimento el cual tiene N posibleresultados. Entonces la probabilidad que un evento A ocurra es igual al nmero de veces que el eventopueda ocurrir, dividido el nmero total de posiblesresultados.
Frecuencia relativa de un evento A = Nmero de veces que aparece A
N
Probabilidad de un suceso es el nmero al que tiende la frecuencia relativa del suceso a medida que el nmero de veces que se realiza el experimento crece
Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 17Julio 2010
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ProbabilidadProbabilidad
La Probabilidad es una forma de expresar el conocimiento o la creencia que un evento va a ocurrir o ha ocurrido
La probabilidad de un evento A es representado porun nmero real en el rango de 0 a 1 y es escrito comoun nmero real en el rango de 0 a 1 y es escrito comoP(A), p(A) o Pr(A). Se asigna una probabilidad de 0 a los eventos que no pueden ocurrir y una probabilidadde 1 a aquellos que tienen certeza
Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 18
Wikipedia,20100P(A)1
Julio 2010
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EjemploEjemplo. . ResultadosResultados del del lanzamientolanzamiento de un dado de un dado
Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 19Julio 2010
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PosiblesPosibles resultadosresultados del del lanzamientolanzamiento de un par de dadosde un par de dados
20Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMPJulio 2010
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ProbabilidadesProbabilidades en el en el lanzamientolanzamiento de de un par de dadosun par de dados
Cul es la probabilidad de obtener 1 y 3?
Cul es la probabilidad de obtener
2/36
1/36 Cul es la probabilidad de obtenerdos 6?
Cul es la probabilidad de quecualquiera de los dos sea un 3?
1/36
11/36
21Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMPJulio 2010
http://gwydir.demon.co.uk/jo/probability/calcdice.htm
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PosiblesPosibles resultadosresultados del del lanzamientolanzamiento de un par de dadosde un par de dados
2/361/3611/36
22Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMPJulio 2010
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DiagramasDiagramas de Vennde Venn
S
AB
S A
B
S
AB
S
AB: interseccin de A y B
S A
AB: unin de A y B
S
A y B mutuamente excluyente
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EventosEventos mutuamentemutuamente excluyentesexcluyentesReglaRegla de la Sumade la Suma
I
I
La interseccin de dos eventos A y B, notados comoA B, es el conjunto de todos los resultados que estntanto en A y en B, por ej, siA = {a, b, c, d} B = {b, d, f, g, h} entoncesA B = {b, d}
Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes o
24Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMPJulio 2010
I
Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes odisjuntos si no tienen ningn resultado en comn, o sea su interseccin es vaca => no pueden ocurrir a la mismavez
Se cumple entonces: si A B = , P(AUB)=P(A)+P(B)
Por ej. la probabilidad de obtener 1 3 en un lanzamiento de un dado es: P(1)+P(3)= 1/6+1/6= 2/6=1/3
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DondeDonde se se usausa??
Valor Monetario Esperado. Arboles de Decisin
25Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP
P(1.1)*O1.1+P(1.2)*O1.2+P(1.3)*O1.3
Julio 2010
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EventosEventos independientesindependientesReglaRegla de la de la multiplicacinmultiplicacin
Dos eventos A y B son llamados independientes si la ocurrencia de B no cambia la probabilidad de que A ocurra. Por ej. si se tiran dos monedas la probabilidad de obtener cara en ambas es P(obtenercara en la primera y la segunda)= x =
S
AB
P(AB) = P(A) P(B)
26Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMPJulio 2010
Otra forma de decirlo es que no comparten informacin
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Eventos Independientes y Mutuamente Eventos Independientes y Mutuamente ExcluyentesExcluyentes
50%
Si dos eventos son mutuamente excluyentes, entoncesno pueden ser independientes y viceversa
1. Son mutuamente excluyentes o
Problema planteado (d.17)
Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 27
50%excluyentes o independientes? porqu?
6?
2. Cul es la probabilidad?
P(A1A2 A3)=P(A1).P(A2).P(A3)=0,5x0,5x0,5=0,125 0,13=13%
Julio 2010
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Variables AleatoriasVariables Aleatorias
En matemticas una variable aleatoria (o estadstica o estocstica) es una variable cuyo valor es una funcindel resultado de un experimento estadstico que davalor numrico a cada suceso en (espacio muestral):
Existen dos tipos de variables aleatorias:
fdp discreta
Existen dos tipos de variables aleatorias:discretas y continuas. Nos importan estasltimas.
Una variable aleatoria tiene una distribucinde probabilidad asociada y frecuentemente unafuncin de densidad de probabilidad (fdp)
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 28Wikipedia, 2010
fdp continua
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Variables Aleatorias. EjemploVariables Aleatorias. Ejemplo Supongamos que queremos representar la posibilidad
que maana llueva lo cual puede ser representado porla siguiente variable aleatoria:
X = 1 ; si llueve
0 ; si no llueve
= {llueve, no llueve}Esta variable Esta variable es discreta o
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 29
; si x= 1 ; si x= 00 ; de otra manera
si son igualmente probable cualquiera de los dos eventos se define la funcin de densidad de probabilidad (fdp):
0 ; si no llueve
f(x) =
es discreta o continua?
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Distribuciones de Distribuciones de Probabilidad*Probabilidad*
Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 30*Funciones de Densidad de Probabilidad-fdp Julio 2010
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Referencia en el PMBOKReferencia en el PMBOK
Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 31
PMBOK, 4ta. Ed. ,p. 298Julio 2010
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Qu es un Funcin de Distribucin?Qu es un Funcin de Distribucin?
En teora de la probabilidad, la funcin de densidad de probabilidad, funcin de densidad, o, simplemente, densidad de una variable aleatoria continua es una funcin, usualmente denominada funcin, usualmente denominada f(x) que describe la densidad de la probabilidad en cada punto del espacio de tal manera que la
Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 32
probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor dentro de un determinado conjunto sea la integral de la funcin de densidad sobre dicho conjunto.
Wikipedia, 2010
Julio 2010
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PropiedadesPropiedades La Funcin de Probabilidad tiene las siguientes
propiedades:
Dado que las variables aleatorias continuas estndefinidas sobre un rango continuo de valores (llamadoel dominio de la variable), la grfica de la funcin de densidad deber ser continua sobre ese rangodensidad deber ser continua sobre ese rango
El rea debajo de la curva de la funcin es igual a 1 cuando es calculada sobre el dominio de la variable
La probabilidad que la variable aleatoria asuma un valor entre a y b es igual al rea bajo la funcin de densidaden el rango acotado por a y b
Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 33Julio 2010
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UniformeUniforme
Todos los valores dentro del rango factible tienen la misma densidad de probabilidad
Parmetros : Uniforme (min,max)
Aplicaciones: U(0,1) se usa en la generacin de los valores de todas las dems distribuciones de probabilidad en el muestreo aleatorio
Excel: ALEATORIO.ENTRE(min;max);min +ALEATORIO()(max min )
Julio 2010 34Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP
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EjemplosEjemplos y y UsoUso de de distribucindistribucin uniformeuniforme Lanzamiento de una moneda Lanzamiento de un dado Ruleta Lotera
Ej. min=1;max=3
Julio 2010 35Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP
Uso Cualquier valor entre el mnimo y el mximo tieneigual probabilidad Muchos lenguages de programacin tienen la habilidad de generar nmeros pseudo-aleatorios los cuales se distribuyen de acuerdo a la distribucinuniforme
Ej. min=1;max=3
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TriangularTriangular
La bibliografa sugiere usar esta distribucin cuando la distribucin subyacente se desconce y todo lo quepuede precisarse de la misma es el valor mnimo, el valor mximo y el valor mas probable (an inspired guess as to what the modal value might be)
Parmetros: Triang (min, +prob, max)
Julio 2010 36Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP
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Triangular (cont.)Triangular (cont.)
Sus propiedades estadsticas se derivan de su forma, no de una teora subyacente (no modela fenom. reales)
Es de definicin intuitiva y de gran flexibilidad en cuanto Es de definicin intuitiva y de gran flexibilidad en cuantoa geometras posibles
La forma de la distribucin usualmente lleva a sobreestimar la densidad de las colas y a subestimar la densidad en el tronco de la distribucin.
Julio 2010 37Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP
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Funcin Triangular. FrmulasFuncin Triangular. Frmulas
Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 38Julio 2010
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Generacin de una Generacin de una distdist. Triangular . Triangular a partir de una a partir de una distrdistr. Uniforme. UniformeSea p una variable generada a partir de una distribucin Uniforme en el intervalo (0,1), sea G(p) la funcin inversa de F (F-1(p))* con distribucin triangular, se cumple: Excel
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 39
* Mtodo de Transformacin Inversa. Lo explicaremos en detalle en la Parte II
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Triangular. UsoTriangular. Uso
La Distribucin Triangular es tpicamente usada comouna descripcin subjetiva de una poblacin para la cualexiste solamante un conjunto limitado de datos de muestra, y especialmente cuando las relaciones entre las variables es conocida pero son escasos(posiblemente debido al alto costo de recolectarlos)(posiblemente debido al alto costo de recolectarlos)
Es usada tambin cuando se quiere manejar unaestimacin mas pesimista que la Beta (verjustificacin mas adelante)
Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 40Julio 2010
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DistribucinDistribucin BetaBeta
La distribucin Beta es una familia de distribucionesde probabilidad continua definidas en el intervalo (0, 1) con dos parmetros positivos que determinan la forma, tpicamente notados como y
La distribucin Beta puede tomar muchas formas, segn los valores de y
Es generalmente usada cuando no existen datoshistricos slidos en los cuales basar la estimacin de las actividades
Julio 2010 41Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP
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Funcin de Probabilidad (Funcin de Probabilidad (fdpfdp))
Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 42
Wikipedia,2010
Julio 2010
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Formulacin completa de la BetaFormulacin completa de la Beta
Beta genrica
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 43
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Relacin entre la frmula de PERT y Relacin entre la frmula de PERT y la la distribucin Betadistribucin Beta1. Otener las estimaciones para la tarea de los tiempos
optimistas, mas probable y pesimista2. Estimar la media y desviacin estndar usando las
ecuaciones (iii) y (iv):
Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 44
3. Use las ecuaciones (v) y (vi) para calcular los parmetros que son consistentes con la media y desviacin estndar
Julio 2010
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Interpretacin informal (extrado del Interpretacin informal (extrado del Libro Cadena Crtica de Libro Cadena Crtica de E.GoldrattE.Goldratt))
Cunto tiempo le lleva llegar a la Universidad? pregunto
Alrededor de 25 minutos, contesta Brian Qu significa alrededor, pregunta A veces 30 minutos, a veces menos, depende el
trficotrfico
Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 45E. Goldratt- Critical Chain, p. 43-45
Julio 2010
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Cont.Cont.
Precisamente, .5 minutos tiene 0 probabilidad, 25 minutos tiene la mayor probabilidad, pero an 3 horas tienen una probabilidad positiva
Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 46E. Goldratt- Critical Chain, p. 43-45 Julio 2010
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Cont. IICont. II
Cuanto mayor es la incertidumbre, mayor es el largo de la cola de la distribucin
Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 47E. Goldratt- Critical Chain, p. 43-45 Julio 2010
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Aproximacin de la Beta a la NormalAproximacin de la Beta a la NormalEl Teorema Central del LmiteEl Teorema Central del Lmite
"Winwood Reade is good upon the subject," said Holmes. "He remarks that, while the individual man is an insoluble puzzle, in the aggregate he becomes a mathematical certainty. You can, for example, never foretell
Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 48
You can, for example, never foretell what any one man will do, but you can say with precision what an average number will be up to. Individuals vary, but percentages remain constant. So says the statistician.
A. Conan Doyle- The Sign of the Four (1890-Sherlock Holmes)
Julio 2010
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Aproximacin Normal a la Beta Aproximacin Normal a la Beta Cuando se trata el tema de la
distribucin Beta, se afirmaque:
68% de los valores2 95% de los valores3 99% de los valores
Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 49
Pero esto aplica a la DistribucinNormal, porqu es vlido?
El uso de las propiedades de la Distribucin Normal est basadoen la aplicacin del Teorema Central del Lmite el cual afirma quela suma (o promedio) de actividades independientes esnormalmente distribuida si el nmero de actividades es grande (no importa cual sea la distribucin de estas variables)
Julio 2010
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Teorema Central del Lmite (TCL)Teorema Central del Lmite (TCL)
muestra
Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 50
El lanzamiento de un dado tiene una Distribucin Uniforme
La suma o promedio de una muestra (por ej. el lanzamiento de 12 dados) tiene una Distribucin Normal
en cambio.
Julio 2010
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Definicin de TCL. Demostracin prcticaDefinicin de TCL. Demostracin prctica
El Teorema Central del Lmite (TCL) expresa que la media y la suma de una muestra suficientemente grande (usualmente n>30 o 25) de una (escencialmente) distribucin arbitraria tiene unadistribucin aproximadamente normal.
Dada una muestra de variables aleatorias X1, . . . ,X n con = E(Xi) y 2= Var(Xi), se cumple:
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 51
Hoja de clculo de Microsoft Office Exce
1. La suma de la muestra: es aprox. normal
2. La media de la muestra: es aprox. normal
A.J. Hildebrand
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Qu distribucin Qu distribucin usar?usar?
1. La distribucin Triangular, tiene una media que esigual al promedio de los 3 parmetros, estos es, (Min+Moda+Max)/3. La media es igualmente sensitivaa cada parmetro.
2. La distribucin Beta tiene una media que es igual a
If you are the expert, the best distribution is the one that completely expresses your belief about the uncertainty, J. Schuyler
2. La distribucin Beta tiene una media que es igual a (Min+4*Moda+Max)/6, en otras palabras es el promedio de los tres parmetros pero con un peso 4 veces mayor en la Moda.
3. a= tiempo optimista P(finalizar a)= .01, 1%=> Percentil 10b = tiempo pesimista P(finalizar b) < .01 => P 90
Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 52Julio 2010
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ContCont I.I.
4. Tener presente que la distribucin Triangular tiene 0 probabilidad en el Mximo, lo cual es improbable (recordar ejemplo de Goldratt)
5. En la vida real, somos capaces de dar una estimacin5. En la vida real, somos capaces de dar una estimacinmas confiable de la Moda (el valor mas frecuente) queel de los extremos. Por ej. si se nos pregunta cul esel costo mximo de este proyecto? empezamos a imaginar todas las cosas que pueden salir mal, lo cualdificulta una respuesta definitiva
Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 53Julio 2010
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Cont. IICont. II6. La distribucin Triangular es mas pesimista que la PERT cuando el
sesgo es positivo y mas optimista en caso que es negativo. En el ejemplo de la izquierda ambas tienen el valor mas probable igual(30), pero el rea a la derecha es 65% para la Beta y 78% para la Triangular. La de la derecha con valor mas probable de 35 tienenun rea de 44% para la Beta y 38% para la Triangular
Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 54Julio 2010
Kyritopolus, K, et al., 2008
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Estadsticas para las Distribuciones Estadsticas para las Distribuciones mas Comunesmas Comunes
Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 55
J. Goodpasture- Quantitative Methods in Project Management, p. 53Julio 2010
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PERT RecargadoPERT Recargado
Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 56Julio 2010
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Estimacin de 3 PuntosEstimacin de 3 Puntos
Media=
Optimista+ 4 *Mas probable + Pesimista________________________________
6
Julio 2010 57Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP
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Aproximaciones a PERT. Limitaciones.Aproximaciones a PERT. Limitaciones. Los valores de media y desvo son aproximacionesvlidas y son exactas nicamente para valoresparticulares de y , especficamente:
=3- 2 1,6 3+2 4,4 =3+ 2 4,4 3-2 1,6
Grubbs, 1962
Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 58
El camino crtico comprende pocas tareas, menos de la que las que el teorema central del lmite requiere (n~25)
Enfoque excesivo en el camino crtico, ignorando caminos casi crticos (near critical path) que pueden volverse crticos (Williams, 2005)
Julio 2010
Grubbs, 1962
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SimulacinSimulacin Monte Carlo para el Monte Carlo para el anlisisanlisis de la de la incertidumbreincertidumbre
We balance probabilities and choose the most likely. It is the
Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 59
likely. It is the scientific use of the imagination
A. Conan Doyle. The Hound of the Baskervilles (1902)
Julio 2010
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Anlisis Monte Carlo en el PMBOKAnlisis Monte Carlo en el PMBOKGestin de Tiempos. Anlisis de Escenarios What-If.
La tcnica mas comn es la del Anlisis Monte Carlo (Seccin 11.4.2.2), en el cual se define una distribucin de duraciones 11.4.2.2), en el cual se define una distribucin de duraciones posibles para cada actividad, que es usada para calcular una distribucin de posibles resultados para todo el proyecto (p.156 Ing., p.137 Esp.)
Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 60Julio 2010
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Qu es la simulacin Monte Carlo?Qu es la simulacin Monte Carlo?
Mtodo computacional usado para estudiar el comportamiento de sistemas matemticos, fsicos o de cualquier ndole, a partir del uso de muestreo estadstico, nmeros aleatorios y pseudo-aleatorios.aleatorios y pseudo-aleatorios.
Es iterativo -> requiere clculos por computador.
Las tcnicas de Monte Carlo pueden ser usadas para encontrar soluciones aproximadas a problemas cuantitativos, con o sin incertidumbre.
Julio 2010 61Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP
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Introduccin al Mtodo Monte CarloIntroduccin al Mtodo Monte Carlo El mtodo Monte Carlo bsicamentees una forma de resolver problemascomplejos mediante aproximacionesusando gran cantidad de nmerosaleatorios
Desarrollado por S. Ulam y N. Desarrollado por S. Ulam y N. Metropolis en 1949
Modelo bsico: 1. Un conjunto de variables de entrada
generadas aleatoriamente a partir de determinadas distribuciones de probabilidad
2. Eleccin de un modelo3. Resultado de la simulacin
Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 62
Fuente: http://www.vertex42.com/ExcelArticles/mc/MonteCarloSimulation.html
Julio 2010
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Ejemplo: Aproximacin de Ejemplo: Aproximacin de pipi por el MMCpor el MMC
1
0.5
0
rea Crculo = pi r2 = pi
rea Cuadrado= L2= 4L = 2
rea Crculo = pirea Cuadrado 4
4 * rea Crculo = pirea Cuadrado
r=1
-1 -0,5 0 0,5 1
0
-0.5
-1
rea Cuadrado
Si n es grande podemos pensar que es vlida la aprox.:
4 *puntos_en_el_circulo = pin (total de ptos.)
Referencia: http://twtmas.mpei.ac.ru/mas/Worksheets/approxpi.mcdJulio 2010 63Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP
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Qu podemos deducir?. PasosQu podemos deducir?. Pasos
1. Crear un modelo paramtrico y = f(x1,,x n)
2. Generar un conjunto de nmeros randmicos xi1, .xin
4 *puntos_en_el_circulo = aprox pin
Se generan nros. randmicoscon distribucin uniforme para x => g(xi1) ; g(xi2) ; . g(xin) ;
Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 64
3. Evaluar el modelo y guardar el resultado como yk
4. Repetir los pasos 2 a 3 para i= 1 a n
5. Analizar los resultados usando histogramas, intervalos de confianza, etc.
aprox_pi = yk = f(g(xki))
err= | aprox_pi pi|
Julio 2010
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Resumiendo..Resumiendo..
James F. Wright, 2002 65Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMPJulio 2010
ggggiiii(x)(x)(x)(x)
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Ejemplo prcticoEjemplo prcticoActividad A 12
Actividad B 15
Actividad C 10
Actividad D 5
Actividad E 22
Actividad F 6A
B
C
D
d
a
s
distribucin de duraciones posibles para cada actividad
Problema
DE
F
para cada actividad (Uniforme)
una distribucin de posibles resultados para todo el proyecto
0
0,5
1
-300
200
700
Julio 2010 66Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP
Se puede definir la distribucin mas adecuada a la duracin de cada TAREA y no necesariamente al PROYECTO entero
Nota: la cantidad de tareas debe ser >25, recordar TCL, este es un ejemplo simplificado
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Hoja de ClculoHoja de Clculo
Hoja de clculo
de Microsoft Office Excel
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 67
Determinista PERT
Duracin del
Proyecto70 72,50
Monte Carlo
Tamao de la muestra (n) 10.000
Media 73,78Desvo Estndar 4,58
Desvo Estndar de la Media 0,046
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Simulacin con Distribucin TriangularSimulacin con Distribucin Triangular
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 68
Determinista PERT
Duracin del
Proyecto70 72,50
Hoja de clculo
de Microsoft Office Excel
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Preguntas del GP. Lo importantePreguntas del GP. Lo importante
Williams (2003) indica que la simulacin Monte Carlo ayuda al Gerente de Proyectos a responder preguntas tales como: Probabilidad Objetivo
Das Probalidad xito
60 0,0%
62 0,3%
64 1,2%
66 4,2%
Cul es la probabilidad de alcanzar una fecha (duracin) determinada del proyecto?
Julio 2010 Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 69
66 4,2%
68 10,6%
70 21,2%
72 34,7%
74 51,4%
76 67,7%
78 81,1%
80 90,9%
82 96,4%
84 99,0%
86 99,9%
90 100,0%
proyecto?
Cul es duracin del proyecto con un confianza del 90%?
Conociendo la probabilidad de terminar en una fecha determinada el GP puede establecer una reserva en el crono para el proyecto
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Anlisis MC, cuestiones pendientesAnlisis MC, cuestiones pendientes
1. Cmo se simulan distribuciones Beta y Normales?
2. Cundo N es suficiente?
3. Gestin del Riesgo. Tcnicas de Anlisis y Modelacin del Riesgo. Modelacin y Simulacin. del Riesgo. Modelacin y Simulacin.
La simulacin de un proyecto en un modelo que traduce los detalles de incertidumbre del proyecto en su potencial impacto en los objetivos del proyecto. Las simulaciones iterativas son realizadas tpicamente usando la tcnica Monte Carlo (p. 299)
Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 70Julio 2010
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Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 71Julio 2010
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Bibliografa breveBibliografa brevePMBOK. 4th Edition (2008) . Project Management Institute
PMBOK. 4ta. Edicin (2008). Project Management Institute
Goodpasture, J. (2004). Quantitative Methods in Project Management. Ed. J. Ross Publishing
Anbari, F. (1997). Quantitative Methods for Project Management. International Institute forLearning Inc.
Williams, T. (2003). The Contribution of Mathematical Modeling to the Practice of Project Management. IMA Journal of Management Mathematics. 14(1), p.3
Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 72
Management. IMA Journal of Management Mathematics. 14(1), p.3
Referencias de Internet
Priano, M., Ochkov, V. http://www.vertex42.com/ExcelArticles/mc/MonteCarloSimulation.html(consultado 25 de marzo de 2010)
Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Monte_carlo_simulation(consultado 15 de marzo de 2010)
Riskglossary.com. http://www.riskglossary.com/link/monte_carlo_method.htm(consultado 08 de abril de 2010)
Julio 2010
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Bibliografa breve (Bibliografa breve (contcont))Wittwer, J.W., "Monte Carlo Simulation Example: Sales Forecast, http://www.vertex42.com/ExcelArticles/mc/SalesForecast.html(consultado 26 de julio de 2010)
Software Libre
SimTools. http://home.uchicago.edu/~rmyerson/addins.htm(consultado 3 de mayo de 2010)
MonteCarlito. www.montecarlito.com(consultado 13 de mayo de 2010)
Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 73
(consultado 13 de mayo de 2010)
Monte Carlo Analysis for MS Project. http://sourceforge.net/projects/montecarloprj/(consultado 13 de mayo de 2010)
Otras Presentaciones
El Dilema del Prisionero y la GP. http://www.slideshare.net/p.ortiz.bochard/dilema-del-prisionero(Diciembre 2009)
Julio 2010
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Ing. Pablo Ortiz, MSc, PMP 74Julio 2010 El Cono de Incertidumbre