Mira Mihajlović Petković 1
Formule
Jedinični vektor vektora
O T
točke T(x,y)
0 2 2 2 2
1TT
T
r xi y jr xi y j
r x y x y
Radijvektor u koordinatnoj ravnini koji
pripada točki T(x,y)Tr OT xi y j
Vektor AB
ako su:
1 1( , )A x y i 2 2( , )B x y 2 1 2 1( ) ( )ABAB r x x i y y j
Duljinom ili modulom vektora
ABAB r xi y j 2 2( , )
AB d A B x y
Skalarni produkt vektora
1 1a x i y j
i
2 2b x i y j
.
cosa b a b
1 2 1 2a b x x y y
1 1 2 2
2 2 2 21 1 2 2
cos , 0x y x y
x y x y
Mira Mihajlović Petković 2
Pojam vektora
Da bi opisali pojam udaljenosti, površine, volumena, mase …. dovoljno je izreći broj i
mjernu jedinicu da bismo je jednoznačno i zorno opisali i zamislili, pa te veličine zovemo
skalarnim veličinama. A da bismo opisali pojmove vjetra, strujanja, ubrzanja … ubrzo
postajemo svjesni da nam uz broj nedostaje još jedno svojstvo, a to je smjer djelovanja tog
pojma, pa te veličine zovemo vektorske veličine.
Vektor kao skup (klasa) usmjerenih dužina
Neka su A i B dvije točke pravca u ravnini ili prostoru. Dužinu s krajevima A i B
označavamo sa AB , a duljinu dužine sa AB ili ( , )d A B . Ako odredimo koja je početna, a
koja krajnja točka dobili smo uređeni par točaka koji zovemo usmjerena dužina i
označavamo je sa AB
. Za usmjerene dužina AB
i CD
kažemo da su ekvivalentne ako
postoji translacija koja prevodi točku A u C i točku B u D, tj. ako je tako dobiveni četverokut
ABCD paralelogram.
a
Usmjerene dužine AB
i CD
su
reprezentanti vektora a
. Pogledaj
sliku 1.
Slika 1.
Mira Mihajlović Petković 3
Definicija:
Skup svih međusobno ekvivalentnih usmjerenih dužina naziva se vektor.
Dakle vektor se može predočiti pomoću beskonačno mnogo različitih usmjerenih
dužina – reprezentanata ili predstavnika vektora , pa vektor možemo još zvati klasa
usmjerenih dužina. Zbog jednostavnosti ćemo bilo koju usmjerenu dužinu (reprezentantu
vektora) nazivati vektorom i označavani AB
, CD
…. ili a
,b
….
Skup svih vektora nekog prostora označavat ćemo s V. Za naše potrebe V će biti
jednodimenzionalni prostor 1V (pravac), dvodimenzionalni prostor 2V (ravnina) ili
trodimenzionalni prostor 3V
Geometrijski vektor je zadan:
o Pravcem nosiocem na kom je vektor nalazi
o Duljinom ili modulom vektora ( , )AB d A B
o Orijentacijom na pravcu nosiocu.
Ako govorimo o smjeru vektora objedinjujemo pravac nosioc i orijentaciju na njemu.
Primjer 1.
1. Koja od usmjerenih dužina na slici ne pripadaju istoj klasi?
Usmjerena dužina ________ ne
pripada u istu klasu usmjerenih dužina
kao ostale, pa se ne da prikazati kao i
ostale sa istim vektorom.
Slika 2.
Mira Mihajlović Petković 4
2. Podjeli usmjerene dužine u dvije klase
U prvu klasu usmjerenih
dužina spadaju:
____________________
A u drugu klasu :
____________________
Slika 3.
Primjer 2.
a) Imaju li Marko i Pero isti vektor brzine? ____________
Slika 4.
b) Što je zajedničko tim vektorima? ______________________________________
c) A što je različito? __________________________________________________
Mira Mihajlović Petković 5
Operacije s vektorima
c) Zbrajanje vektora
Neka su a i
b bilo koja dva vektora. Zbrajanje vektora je funkcija koja paru vektora
,a b
pridružuje vektor a b .
Zbrajanje vektora po pravilu trokuta: A C ACB B
a b
b Slika 5.
a
Zbrajanje vektora po pravilu paralelograma:
B D CA A A
a
b
b Slika 6.
a b
a
Mira Mihajlović Petković 6
Svojstva operacije zbrajanja vektora:
1) Asocijativnost:
a b c a b c
2) Nul vektor je neutralni element za zbrajane:
0 0a a
3) Suprotni vektor kao inverzni element za zbrajanje:
0a a a a
4) Komutativnost
a b b a
Oduzimanje vektora
Oduzimanje vektora definira se kao operacija zbrajanja sa suprotnim vektorom:
a b a b
b
a b Slika 7.
a
b
a b
Mira Mihajlović Petković 7
II. Množenje vektora skalarom (brojem)
Neka je vektor i a
i λ realni broj. Množenje vektora sa skalarom je funkcija koja paru
(a
,λ) pridružuje vektor a
.
Svojstva operacije množenja vektora sa skalarom:
1) Distributivnost
a b a b
( )a a a
2) Asocijativnost
( ) ( )a a a
3) Neutralni element 1 a a
4) Suprotni vektor ( 1) a a
5) Nul vektor 0 0a
Za vektor a
vrijedi:
o a
i a
su kolinearni (imaju isti ili paralelni nosač)
o a a
o 0 a
i a
su isto orijentirani
0 a
i a
su suprotno orijentirani
Primjer 3.
Točke A,B,C,D,E,F su vrhovi pravilnog šesterokuta. Ako je ,AF b AB a
:
a) Nađi i zapiši sve usmjerene dužine koje su ekvivalentne vektora a
ili b
.
b) Prikaži vektore , , , , ,AO BC AC AD AE FC
kao linearnu kombinaciju vektora a i b
,
c) Izračunaj AC AE BC
.
d) prikaži pomoću postignutih rezultata vektore , , ,BD DF CE FB
.
e) Izračunaj: FB BD DF
Mira Mihajlović Petković 8
Rješenje:
a) Pogledaj na slici 8 i pronađi sve usmjerene dužine koje su ekvivalentne vektora a
ili b
.
a
= AB
a
= __________
a
= __________
a
= __________
b AF
b
=__________
b
=__________
b
=__________
Slika 8.
b) Iz trokuta ABO se vidi pa je po definiciji zbrajanja vektora pravilom trokuta:
a b AO
Iz trokuta ABC možemo napisati:
A kako je
BC OA a b
Dobijemo:
2AC a a b a b
Slika 9.
Mira Mihajlović Petković 9
Za vektor AD
je jasno da se sastoji od dva vektora AO
, pa se može zapisati:
2 2 2 2AD AO a b a b
Iz trokuta AEF vidimo da je AF FE AE
Ako zamijenimo AF b
FE a b
Dobivamo: ( ) 2AE b a b a b
Za vektor FC
je jasno da se satoji od dva vektora OC a
, pa možemo napisati:
d) Ako upotrijebimo rezultate iz zadatka b) dobijemo:
(2 ) ( 2 ) ( )AC AE BC a b a b a b
2AC AE BC a b
a
2b a
b
2 2a b
e) Vektore , , ,BD DF CE FB
za vježbu odredite sami.
BD
=________________
______________DF
______________CE
______________FB
Slika 10.
f) Prije računa FB BD DF
pokušaj donijeti zaključak na osnovu slike 10..
Mira Mihajlović Petković 10
Posebni pojmovi
Nul vektor
Vektor duljine 0
Oznaka: 0
Vrijedi: 0 ...AA BB
Duljina (modul) nul vektora: 0 0
Jedinični vektor
Vektor duljine 1
Za zadani vektor a
, duljine a
, jedinični vektor definiran je sa: 0
aa =
a
Vektor 0a
ima isti smjer kao i a
, a duljina mu je 1.
Radijvektor (radijus vektor)
Ako je T neka točka prostora, a O ishiodište koordinatnog sustava, vektor OT
nazivamo
radijvektor točke T i zapisujemo ga
Tr .
Svakom vektoru možemo izabrati njegovog predstavnika tako da početna točka bude baš točka O. Na taj se način dobiva radijvektor bilo koje točke prostora.
Kolinearni vektori
Vektori koji leže na istom ili paralelnim pravcima.
Pogledaj sliku 11.
Mira Mihajlović Petković 11
Komplanarni vektori
Vektori koji leže u istoj ili paralelnim ravninama.
Slika 12.
Linearna kombinacija vektora
Za vektor c
kažemo da je linearna kombinacija vektora a i b
, ako vrijedi relacija:
c a b
, pri čemu su i realni brojevi. Pogledati na slici 13. i slici 14.
c
Slika 13.
OC b
OB a
Mira Mihajlović Petković 12
c a b
Slika 14.
OE b
OF a
Projekcija vektora
Ortogonalna projekcija u ravnini na pravac p je funkcija koja svakoj točki A ravnine
pridružuje točku u kojoj okomica na pravac p, koja prolazi točkom A, siječe pravac p.
Ortogonalna projekcija u prostoru na pravac p je funkcija koja svakoj točki A prostora
pridružuje točku u kojoj ravninu koja prolazi točkom A, a okomita je na pravac p, siječe
pravac p.
Slika 15.
Na slici vidimo projekciju vektora
a
a na pravac p, koju smo nazvali
pa
pa
Mira Mihajlović Petković 13
Dakle svaki predstavnik klase paralelnih pravaca predstavlja različiti vektorski prostor 1V
Slika 16.
Na slici 16. vidimo četiri vektorska prostora, a vektori u tim prostorima su prikazani svaki u
drugoj boji.
A svaka predstavnica klase paralelnih ravnina predstavlja različiti vektorski prostor 2V , kako
naš program obuhvaća samo prikaz vektora u koordinatnom sustavu u ravnini pogledajmo
samo tu koordinatnu ravninu:
Slika 17.
Mira Mihajlović Petković 14
Prikaz vektora u koordinatnom sustavu
Kad smo već uveli pojam jediničnog, radijvektora i linearne kombinacije, radi bolje
orijentacije u prostoru i jednoznačnosti uvida prikažimo vektor u koordinatnom sustavu. Ako
jedinici na osi X pridružimo radijvektor i
, a jedinici na osi Y radij vektor j
dobili smo
razumljivu bazu da možemo svaki radij vektor u koordinatnoj ravnini prikazati pomoću ta dva
jedinična vektora. Pogledajmo na slici 18.
Slika 18.
Jasno se vidi na slici 18 da je OJEK pravokutnik, i da je 3OJ i
i 2OK j
. Nadalje jasno
je da je vektor OE
jednak zbroju vektora OJ
i OK
pa ga možemo zapisati kao:
3 2OE OJ OK i j
.
Mira Mihajlović Petković 15
Dakle OE
je linearna kombinacija vektora i
i j
. Pa bez smanjenja općenitosti možemo reći
da se svaki radijvektor u koordinatnoj ravnini koji pripada točki T(x,y) može prikazati kao:
Tr OT xi y j
Pa bi ostale vektore na slici 12 mogli sami napisati kao:
2
2
2 2
OH i j
OG i j
OF i j
Slika 19.
Sad još moramo odgovoriti na pitanje kako bilo koji vektor u koordinatnoj ravnini napisati kao
linearnu kombinaciju jediničnih vektora i
i j
. Pa najprije pogledajmo sliku 19.
Ako pogledamo sliku vidimo da je: OA AB OB
Ako izrazimo AB
pomoću OA
i OB
dobijemo:
AB OB OA
Mira Mihajlović Petković 16
Ako znamo da se radijvektor svake točke T(x,y) može napisati: TOT r xi y j
i
koordinate točke A i B napišemo 1 1( , )A x y i 2 2( , )B x y dobivamo da je:
1 1AOA r x i y j
i 2 2BOB r x i y j
Pa se vektor AB
može napisati:
2 2 1 1( ) ( )B AAB r r x i y j x i y j
Kad oduzmemo vektore dobivamo formulu sa ekvivalentni radijus vektor bilo kom vektoru u koordinatnom sustavu:
2 1 2 1( ) ( )ABAB r x x i y y j
Ako ovu formulu primijenimo na vektore na slici da se izračunati da je:
(6 ( 2)) (5 2) 8 3AB i j i j
A kako čitamo(vidimo) na slici 13. koordinate točke D(8,3), onda vidimo da je vektor
DOD r AB
, radijvektor ekvivalentan vektoru AB
.
Primjer 5.
Očitaj točke u koordinatnom sustavu i izračunaj radijvektore ekvivalentne zadanim
vektorima.
a) A(____,____),
B(____,____),
C(____,____),
D(____,____)
Slika 20.
Mira Mihajlović Petković 17
b) AB
=__________________
CD
=__________________
CA
=__________________
DB
=__________________
c) Mogu li se pronaći dva vektora koji imaju isti radij vektor na ovoj slici? DA NE
Primjer 6.
Zadane su tri točke paralelograma A(-2,-3), B(4,-1), D(-1,2)
I. način
Znamo da su nasuprotne stranice
paralelograma paralelne i
jednake,pa iz toga proizlazi da su
vektori AB
i DC
jednaki i isto
tako AD
i BC
.
Nama je dovoljno upotrijebiti
jednu od jednakost da bi izračunali
koordinate točke D, pa
izaberimo: AB DC
Slika 21.
Da bi izračunali vektor AB
upotrijebimo formulu: 2 1 2 1( ) ( )ABAB r x x i y y j
Kad uvrstimo koordinate točki A i B dobijemo: (4 2 ) ( 1 3 ) 6 2AB i j i j
Mira Mihajlović Petković 18
A vektor CD
, dobijemo tako da nepoznate koordinate vrha D ostavimo kao nepoznanice:
2 2 2 2( 1 ) ( 2) ( 1) ( 2)DC x i y j x i y j
Obadva vektora uvrstimo u početnu jednakost AB DC
i dobijemo:
2 26 ( 1)2 ( 2)i j i yx j
Izjednačimo komponente uz vektor i
i vektor j
jer je to uvjet da su dva vektora jednaka.
2
2
2
1 6
6 1
5
x
x
x
2
2
2
2 2
2 2
4
y
y
y
Pa su kordinate točke C(5,4)
II. način
Znamo da po definiciji zbrajanja vektora po paralelogramu vrijedi: AB AD AC
Da bi izračunali vektor AB
upotrijebimo formulu: 2 1 2 1( ) ( )ABAB r x x i y y j
Kad uvrstimo koordinate točki A i B dobijemo: (4 2 ) ( 1 3 ) 6 2AB i j i j
Da bi izračunali vektor AD
upotrijebimo formulu: 2 1 2 1( ) ( )ADAD r x x i y y j
Kad uvrstimo koordinate točki A i B dobijemo: ( 1 2 ) (2 3 ) 5AD i j i j
Uvrstimo te rezultate u: AB AD AC
i dobijemo:
6 2 5 7 7AC i j i j i j
Vektor AC
izražen pomoću koordinata točaka A i C je:
2 2 2 2( 2 ) ( 3 ) ( 2) ( 3)AC x i y j x i y j
Uspoređivanjem dvje zadnje relacije dobijemo:
2
2
2 7
5
x
x
2
2
3 7
4
y
y
Pa su kordinate točke C(5,4)
Mira Mihajlović Petković 19
Primjer 7.
Pročitaj na slici koordinate točaka A, B i C i pomoću njih izračunaj četvrti vrh paralelograma D.
a) A(____,___)
B(____,___)
C(____,___)
b) __________AB
Slika 22..
__________BC
c) __________AD
__________DC
D(______,______)
Mira Mihajlović Petković 20
Duljina (norma) vektora
Slika 23.
Duljina ili norma vektora Tr OT
je usaljenost od točke O do točke T, i označavamo je:
Tr OT
. Vidimo da je dužina OT hipotenuza pravokutnog trokuta OAT, pa možemo
primijeniti pitagorin poučak: 2 2 2
OT OA AT ,
a kao je OA x i AT y ,
možemo napisati da je: 2 2
2 2TOT r x y
.
Odnosno možemo zaključiti da formula za izračunavanje norme radijvektora
Tr OT xi y j
koji pripada točki T(x,y) glasi:
2 2Tr x y
Mira Mihajlović Petković 21
Primjer 8.
Zadani su vektori 2 3a i j
i 3 4b i j
. Izračunaj a b
.
Najprije oduzmemo vektorea
i b
:
2 3 ( 3 4 )a b i j i j
2 3 3 4a b i j i j
5a b i j
Dobili smo kao što se može vidjeti
na slici vektor OC
. Duljina ili norma
vektora a b
je duljina vektora
OC
i dobije se formulom:
2 2 2 25 1 26Tr x y
Slika 25.
Primjer 9.
Neka je točka A(-2,2), odredi nepoznatu koordinatu točke M, ako je zadan modul vektora
AM
.
a) M(x,-1), 5AM
b) M(1,y), 3 5AM
.
Rješenje zadatka pod a)
Nacrtajmo u koordinatni sustav ono što je zadano: točku A i kružnicu koja je zadana
polumjerom r = 5 i središtem u točki A. Kružnicu presiječemo pravcem x = -1, jer je to
Mira Mihajlović Petković 22
koordinata točke M. U točkama presjeka dobili smo dvije točke koje su rješenje zadatka:
1( 1,2)M i 1( 1, 6)M . Pogleda na slici ___.
Slika 26.
Kako taj rezultat dobijemo računski?
Vektor AM
dobijemo formulom: 2 1 2 1( ) ( )AMAM r x x i y y j
Uvrstio u formulu koordinate točki A i M: 1 1( 2, 2)A x y i 1 1( , 1)M x x y
( 2) ( 1 2) ( 2) 3AMAM r x i j x i j
Kako je 5AM
, a formula za 2 2Tr x y
, pa vrijedi:
2 2 2 2( 2) ( 3) 5Tr x y x
2 2
2
2
( 2) ( 3) 25
4 4 9 25 0
4 12 0
x
x x
x x
=> 22
1,2
1 2
4 4 4 1 124 4 8
2 2 1 26, 2
b b acx
ax x
Pa su koordinate točke M: 1 1( 1, 6), ( 1,2)M M
Zadatak b) riješite sami pomoću algoritma iz zadatka a).
Mira Mihajlović Petković 23
Primjer 10.
Zadane su točke A(-2,3), B(2,-1), C(4,2). Izračunajte , ,2 3AC AB AC CB
.
Slika 27.
Vektor AC
dobijemo primjenom formule: 2 1 2 1( ) ( )ACAC r x x i y y j
(4 2) (2 3) 6ACAC r i j i j
A vektor AB
: (2 2) ( 1 3) 4 4ABAB r i j i j
,
A duljinu ili normu vektora AB
formulom: 2 2( , ) AB d A B x y
22( , ) 4 4 32 4 2 AB d A B
A vektor CB
: (2 4) ( 1 2) 2 3CBCB r i j i j
,
Pa je 2 3 2 6 3 2 3 12 2 6 9 18 7AC CB i j i j i j i j i j
Vektor 2CH AC
, 3CB CG
, 2 3AC CB OF
, pa smo time i grafom potvrdili svoj račun.
Mira Mihajlović Petković 24
Jedinični vektor
Već smo spomenuli u prethodnom tekstu da formula za prikaz jediničnog vektora u smjeru
vektora a
glasi: 0
aa =
a
. Pogledajmo sliku 15.
Slika 28.
Na slici 15. vidljivo je da je vektor 0OT
jedinični vektor vektora OT
, pa ako to primijenimo na
formulu: 0
aa =
a
,
dobijemo:0 0 =
T
OTr OT
OT,
pa ako uvrstimo formule iz prethodnog poglavlja o normi vektora dobijemo:
0 2 2 2 2 2 2 2 2
1T
xi y j x yr xi y j i j
x y x y x y x y
Mira Mihajlović Petković 25
Primjer 11.
Izračunaj jedinični vektor radijvektora točke A(-3,3).
Rješenje:
Radij vektor točke A izračuna se formulom: OA xi y j
Pa glasi: 3 3OA i j
A njegov jedinični vektor zadan je formulom: 2 2
1Ar xi y j
x y
Pa ga izračunamo:
2 2
1 1 1 23 3 3 3
23 2 23 3Ar i j i j i j i j
Slika 29.
Vektor 0OA
na slici 29. je jedinični vektor vektora OA
Mira Mihajlović Petković 26
Primjer 12.
Ako su zadani vektori 3 , 2 , 7a i j b i j c i j
. Izrazi vektor c
pomoću vektora a
i
b
.
Rješenje:
Ucrtajmo najprije zadane vektore u koordinatni sustav:
Slika 30.
Sa slike 30. možemo pročitati da je 4c a b
. A kako smo to dobili?
Povukli smo pravac kroz vektor a
i b
, a zatim paralelne pravce kroz točku C na ta dva
pravca. Tamo gdje se paralele sijeku sa tim pravcima dobili smo vrhove paralelograma,
kome je vektor c
dijagonala.
A kako se to dobiva računski?
c a b
je opći zapis linearne kombinacije tri vektora.
Uvrstimo zadane vektore: 7 (3 ) ( 2 )i j i j i j
7 (3 ) ( 2 )i j i j
Mira Mihajlović Petković 27
3 1/ 2
2 7
=>
6 2 2
2
7=>
5 5/ : 5
1
a b b c
=>
3 1
4
Pa smo i računski dobili da je: 4c a b
Primjer 13.
Ako su zadana točka A(-3,6). Odredi točku B tako da:
a) ona leži na osi x i da je 10AB
,
b) ona leži na osi y i da je 5AB
.
Prikazati u koordinatnoj ravnini.
Rješenje zadatka pod a)
Slika 31.
Koordinate točke B, ako leži na osi x možemo zapisati kao B(x,0), pa se vektor AB
može
napisati kao: ( 3) (0 6) ( 3) 6AB x i j x i j
Mira Mihajlović Petković 28
A njegova norma kao: 2 23 6 10AB x
Kvadriranjem jednadžbe dobivamo: 2 23 6 100x
2 6 55 0x x => 22
1,2
6 6 4 1 554 6 16
2 2 1 2
b b acx
a
1 211, 5x x , pa smo dobili dva rješenja: 1 2( 11,0), (5,0)B B
Rješenje zadatka pod b)
Slika 32.
Računski dio zadatka završite sami.
Mira Mihajlović Petković 29
Skalarni produkt vektora ( skalarni umnožak)
Definicija: Neka su a
i b
dani vektori i ,a b
kut između vektora a
i b
, skalarni
produkt (umnožak) vektora a
i b
je funkcija koja paru vektora ,a b
pridružuje broj
(skalar) a b
, a definira se sa formulom:
b
cosa b a b
Slika 33.
a
Svojstva skalarnog množenja:
1) Nenegativnost: 0a a
, a ako je 0 0a a a
2) Homogenost: ( ) ( ) ( )a b a b a b
3) Komutativnost: a b b a
4) Distributivnost: ( )a b c a b a c
Posljedice skalarnog množenja:
1)2
cos0a a a a a a a a
2) Ako je 90 cos 0 0a b a b
ili je bar jedan od vektora nulvektor
3) cos , 0a b
a b
Pomoću skalarnog produkta izračunava se i projekcija vektora na vektor..
Mira Mihajlović Petković 30
Pogledaj slike 31. i 32..
I. skalarna projekcija
0 cosba a b a
=> skalarna projekcija vektora a
na vektorb
0 cosab b a b
=> skalarna projekcija vektora b
na vektor a
II. vektorska projekcija
0 0 0( )b ba a b a b b
=> vektorska projekcija vektora a
na vektorb
b
ba
Slika 34.
a
0 0 0( )a ab b a b a a
=> vektorska projekcija vektora b
na vektor a
b
Slika 35.
ab
a
Mira Mihajlović Petković 31
Pogledajmo još skalarni produkt vektora prikazanih u koordinatnom sustavu:
Neka su zadana dva vektora 1 1a x i y j
i 2 2b x i y j
. Njihov skalarni produkt
izračunamo:
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( )a b x i y j x i y j x x i i x y i j y x i j y y j j
Kako su i
i j
dva jedinična međusobno okomita vektora vrijedi po svojstvima skalarnog
produkta: 1i i j j
i , 0i j
Formula za skalarni produkt vektora 1 1a x i y j
i 2 2b x i y j
glasi:
1 2 1 2a b x x y y
A formula za kosinus kuta između ta dva vektora:
1 1 2 2
2 2 2 21 1 2 2
cos , 0x y x y
x y x y
Primjer 14.
Ako su zadani vektori: 3 , 2 , 7a i j b i j c i j
izračunaj skalarni produkt vektora
a
i b
, te skalarni produkt vektora b
i c
, te vrijednost izraza: a b b c
.
Slika 36.
Mira Mihajlović Petković 32
I. način
Skalarni produkt dva vektora je: 1 2 1 2a b x x y y
Pa vrijedi: 3 1 1 2 5a b
1 1 2 7 15b c
I konačno, onda je: 5 15 10a b b c
ii.način
Izraz a b b c
primjenom distributivnost možemo napisati kao:
2 3 7 2 2 6 1 2 2 6 10a b b c b a c i j i j i j i j i j
Primjer 15.
Naći vektor v
za koji vrijedi da je 3a v
i 7b v
ako su zadani vektori:
2 , 3 2a i j b i j
.
Rješenje:
Neka je vektor v
zadan sa: v xi y j
, onda se može napisati:
2 1 3a v x y
3 2 7b v x y
I dobivamo sustav dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice:2 3 / 2
3 2 7
x y
x y
=>
4 2x y 6
3 2x y
7 =>
2x y
1
4 1 2 6
2 10/ : 2
5
y
y
y
=> 5v i j
Mira Mihajlović Petković 33
Primjer 16.
Odredi parametar tako da vektori a
i b
budu okomiti ako je:
a) 2 1 2 , 3 1 2a i j b i j
,
b) 1 2 3 , 3 3 1a i j b i j
.
Potom odredi vektore a
i b
i izračunaj modul vektora a
.
Rješenje:
a) Uvjet okomitosti vektora je: 0a b a b
, pa možemo pisati:
2
2 1 3 2 1 2 0
2
a b
6 3 22 2 4 0
10 5 0
1
2
2a 1
2
1 51 2
2 2i j j
=>
22 2 25 5
02 2
a x y
13 1 2
2b i
1
2
5
2j i
Zadatak b) rješavamo po istom algoritmu.
Primjer 17.
Nađi kut između vektora a
i b
ako je zadano:
a) 4 3 , 12 5a i j b i j
,
b) 5 3 , 3 5a i j b i j
.
Mira Mihajlović Petković 34
Rješenje:
a) Formula za kosinus kuta između ta dva vektora: 1 1 2 2
2 2 2 21 1 2 2
cosx y x y
x y x y
Pad uvrstimo komponente vektora a
i b
u nju dobijemo:
22 2 2
4 12 3 5 33cos 0,5076923
654 3 12 5
59 29 23
Slika 37.
Zašto se razlikuje veličina kuta na slici i izračunatog?
Zadatak b) se riješava istim algoritmom. Rješenje pogledaj na slici 38.
Slika 38.
U kom su odnosu vektori a
i b
?