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Aplicaciones del Clculo Diferencial e
Integral
LIMITES Y CONTINUIDAD
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Normas de
convivencia en elaula:
PuntualidadRespeto
Solidaridad
CompromisoResponsabilidad
Sistema deevaluacin:
Nota Final = 70%PC +30%EF
PC: Practica Califcada
EF: Examen Final
Uso de tecnologas:Calculadora grafcador!"o#$are eoge&ra'
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Clculo de Lmites
x
xLimax +
2
22.
2
1
1.
5
3
1
x
xLimbx
20
22.
x
senxxsenLimc
x
1
1.
21 x
Limdx
2
4.
2
2
+ x
xLimex
2
4.
xLimfx
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Analice las siguientes a!rmacionesen cada caso
Si
"#$Cmo puede ser % el limitecuando el cociente no esta
de!nido en &'
%#$Cmo se puede a!rmar(ue % es el limite )"#************* no'
Si
"#$+, no se -ace.arbitrariamente cercano/a ese n0mero cuando ,
se apro,ima %'
%# $Cmo puede a!rmarse(ue "1 es el lmite )"1#&&&&&&&&&&&&&&&"no'
()u* es el lmite
0010000000000.147xLim2x
2
2xxLim
2
0x=+
x
-
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2,ploracin "3n galn de agua sedivide en partes iguales) se vierte en ta4as det5# Determine la
cantidad en cada ta4a )la cantidad total entodas las ta4as si -a):
a# "& ta4as
b# "&& ta4asc# 6il millones de ta4as
d# 3n n0mero in!nito deta4as#
2n el lengua7e de los lmites:
a# La cantidad de agua encada ta4a se vera as
b# La cantidad de total deagua en un n0mero in!nito
de ta4as galn1)n1(nLim
n=
galn0)
n
1(Lim
n
=
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Lmites ) Continuidad
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Al !nali4ar la sesin el alumno estar encapacidad de:
Calcular el lmite in!nito de una funcin# Anali4ar el comportamiento asinttico A8:
asntota vertical de una funcin9utili4ando los lmites#
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Lmite In!nito
Anali4ar el comportamiento de: "#; "#* "#** "#*** % %#&&" %#&" %#" %#;
f? >@& >@&& >@&&&
@&&& @&& @& ?
2x
3f(x)
=
-
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Calcular los siguientes lmites:
2
2
5)(x
1d)
2x
1xc)
12xx
1xb)
3xxa)
+
+
+
+
+
5
2
1
3
x
x
x
x
Lim
Lim
Lim
Lim
-
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,sntota -ertical:
Para (ue f
-
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Anali4ar el lmite de las siguientesfunciones en 9 e identi!car si es una
asntota vertical#
2
2
1)(x
1f(x)d)
1x
1
f(x)c)
1)(x1f(x)b)
1x
1f(x)a)
=
=
=
=
-
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Asntotas 8erticales
.eorema:
Dado
entonces -
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Propiedades de los lmitesin!nitos
Sean c ) L n0meros reales9 f ) g funcionestales (ue:
entonces
+=
f(x)L!"cx
Lg(x)L!"cx
=
[ ]
[ ]
0f(x)
g(x)Limc)
0L;
0L;g(x)f(x)Limb)
g(x)f(x)Lima)
cx
cx
cx
=
+=
+=+
-
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Al !nali4ar la sesin el alumno estar encapacidad de:
Calcular el lmite en el in!nito de una
funcin# Anali4ar el comportamiento asinttico A:
asntota -ori4ontal de una funcin9
utili4ando los lmites# Aplicar la regla de L-ospital para resolver
indeterminaciones de funciones mascomple7as#
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Lmite en el In!nito
Anali4ar el comportamiento de: >"&& >"& >" & " "& "&&
f
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Calcular los siguientes lmites:
2
2
2)(x
1d)
2x
1x-c)
12xx
1xb)
4xxa)
+
+
+
x
x
x
x
Lim
Lim
Lim
Lim
-
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,sntota /oriontal:Para (ue f
-
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Determinar las asntotas -ori4ontales de lassiguiente funciones si las -a)#
1x
x1f(x)d)
1x
x1f(x)c)
12x
34x
f(x)b)
1-2x
34xf(x)a)
4
2
4
2
+=
++=
+
=
+=
-
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Asntotas ori4ontal
.eorema:Si n es un n0meroracional ) c escual(uier numeroreal9 se cumple:
Determinar:
0x
cLim
nx=
+
13x
xLime)
23x
32x
Limd)
13x
52xLimc)
1x
2xLimb)
x
43Lima)
2
3
x
2
2
x
2x
x
2x
+++
++
++
+
+
+
+
+
6
1
0x
cLim
nx
=
-
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Eunciones con dos asntotas-ori4ontales
Determinar cadalmite: Determinar lasasntotas de cadafuncin:
12x
23xLimb)
12x
23xLima)
2x
2x
+
+
+
12x
29xf(x)d)
2x
53xf(x)c)
3x
8xf(x)b)
54x
6xf(x)a)
2
2
2
2
+
=
+
+=
=
+
=
-
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2sbo4ar las gra!cas de las siguientes funciones9
Indicando el dominio9 Intercepto con los e7escoordenados ) asntotas verticales ) -ori4ontales#
Aplicaciones
2x334xf(x)d)
x1xf(x)c)
4xxf(x)b)2x 1xf(x)a)
2
2
2
==
=
+=
-
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Al !nali4ar la sesin el alumno estar encapacidad de:
Diferenciar los tipos de continuidad (ue
presenta una funcin# Anali4ar la continuidad de una funcin en
un punto o intervalo9 utili4ando los lmites
de una funcin#
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Continuidad de una funcin
3na funcin escontinua en si secumplen las trescondiciones:
"#
(En 1u* 2untos la
#uncin esdiscontinua (2or1u*
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Continuidad de una funcin
D!#co$t!$%!dad
&'"o!b'
D!#co$t!$%!dad
$o &'"o!b'
D!#co$t!$%!dad
&'"o!b'
Nota: los siguientes tipos de funciones son continuos en todosu dominio: Polinomicas9 racionales9 ra49 trigonom5tricas9e,ponenciales logartmicas
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Ejemplo e la g!"fica #e la f$ncinf% #e&e!mine lo' alo!e' #exenlo' $e la f$ncin no e' con&in$a.
2*
1 2 3 4 5 x
1
2
3
4
5
*1*2*3*4*5*6
*1
*2
*3
*4
y
f
-
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Anali4ar la continuidad de lassiguientes funciones#
>+
+=
=
=
+x1,x
+ x-1x(x)c)
1x1xg(x)b)
x
1f(x)a)
2
2
-
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a#a la' g!"fica' #e la' f$ncione' no con&in$a'+
31
,!"fica 3 ,!"fica 4
x
y
a
L
f
x
y
a
L
f
x
y
a
L
f (a)f
Exi'&ef(a)
-$"le' #e la' 'ig$ien&e' con#icione' no 'e
c$mplen/
Exi'&e
)()( afxflimax
=
)(xflimax
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a#a la' g!"fica' #e la' f$ncione' no con&in$a'+
32
Exi'&ef(a)
x
y
a
L
M
f
x
y
a
L
M
f (a)f
-$"le' #e la' 'ig$ien&e' con#icione' no 'e
c$mplen/
,!"fica 1 ,!"fica 2
Exi'&e
)()( afxflimax
=
)(xflimax
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Ejemplo +
e&e!mineAyBpa!a
$ef'ea con&in$a
33
2 2 'i 1
( ) 'i 1
2 'i 1
A x x
f x B x
x A x
+