Download - 100412_244_TrabajoCol (3)
-
7/24/2019 100412_244_TrabajoCol (3)
1/17
ECUACIONES DIFERENCIALES
TRABAJO COLABORATIVO 3
PRESENTADO POR:DIANA CAROLINA ACERO
53133314ANGEL MARIN GARCIA
4375696OSCAR RANGELCOD
JHON FREDY ROBERTOCOD
PRESENTADO A:FRANCISCO FERNANDEZ
141!"44
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAUNAD
NOVIEMBRE DE !15
-
7/24/2019 100412_244_TrabajoCol (3)
2/17
INTRODUCCI#N
Una ecuacin diferencial es una ecuacin que involucra derivadas (o diferenciales) de
una funcin desconocida de una o ms variables. Si la funcin desconocida depende
slo de una variable, la ecuacin se llama una ecuacin diferencial ordinaria. Sinembargo, si la funcin desconocida depende de ms de una variable la ecuacin se
llama una ecuacin diferencial parcial
El siguiente trabajo rene una recopilacin de elementos, organiacin !
representacin de conceptos relacionados sobre la primera unidad del curso
Ecuaciones "iferenciales. Se busca por medio de la solucin de los siguientes
ejercicios, se reconocan los conocimientos m#nimos trabajados en las unidades
temticas ecuaciones diferenciales de primer orden.
DESARROLLO DE ACTIVIDAD
$. %esolver el problema de valor inicial a trav&s del m&todo de series de 'a!lor
S$%&'()*:
dx
dy=
1
x+y+1, y (0)=0
1
-
7/24/2019 100412_244_TrabajoCol (3)
3/17
y'=x+y+1
y'(0 )=C+1
y ' '(0)=C+2
y' ' '(0 )=C+2 ..
y(x )=C+(C+1 )x+(C+2 )x2
2! +
(C+2 )x3
3! + O '
y (x )=C+(C+1 )x+(C+2)(x
2
2 !+
x3
3 !+)
y (x )=C+(C+1 )x+(c+2 )( ex+x )
y(x )= (C+2 ) exx2
dx
dy=
1
x+y+1
y'(x+y+1 )=1
y'x
'+y 'y+y '=0
y=n=0
an Xn
2
-
7/24/2019 100412_244_TrabajoCol (3)
4/17
y '=n=1
an Xn1
y ' '=n=1
n (n1 ) an Xn2
y'x+y 'y+y '=0
n=1
nan Xn1X+n=1
nan Xn1n=1
an Xn+n=0
nan Xn1
n=1
nan Xn+n=1
(nan Xn1)(an Xn)+n=0
nan Xn1
n=1
nan Xn+n=1
n2(an)+n=0
nan Xn1
b
n=0
(n+1 ) an+1Xn+1+n=1
n2 (an )x2n1+n=0
nan Xn1
n=0
(n+1 ) an+1Xn+1+n=1
n2 (an )x2n1+n=0
nan Xn1
1aX '+n=1
nan Xn+n=1
n2 (an )x2n1+n=0
nan Xn1
3
-
7/24/2019 100412_244_TrabajoCol (3)
5/17
. "eterminar por el criterio del cociente el conjunto de convergencia de
n=0
(2)n
(n+1)(x3)n
S$%&'()*:
Comoan=(2)n
(n+1),tenemos :
limn |
an+1
an|= limn |(2)n+1
(n+2)
(2)n
(n+1)|
limn |(2)
n+1(n+1)
(2)n(n+2)|
limn
2|n+1n+2|
2 limn
|n+1
n+2|n+1n+2
es positivo cuando n . Por lotanto|n+1n+2|=n+1n+2
2 limn
( n+1n+2 )
n+1n+2
=n
(1+
1
n )n(1+ 2n )
=(1
n +1)( 2n +1)
4
-
7/24/2019 100412_244_TrabajoCol (3)
6/17
2 limn
( 1n +1)( 2n +1)
limn
2(0+1 )(0+1 )
=2=L
*or el criterio del cociente, el radio de convergencia es
=1
L=
1
2
*or tanto, la serie converge absolutamente para
|x3|< 12
+ diverge cuando
|x3|> 12
l -acer
|x3|=12
Solucionamos
x3=12
y x3=1
2
x3=12 :5
2
5
-
7/24/2019 100412_244_TrabajoCol (3)
7/17
x3=1
2:7
2
Al acer x=52
, la serie se convierte enla serie armnica :
n=0
a(n+1)1=diver"e
l -acer x= 7
2 , la serie se convierte en una serie armnica alternante que
converge.
s#, la serie de potencias converge para cada xen el intervalo semi abierto ( 52 , 72 ] fuera de este intervalo diverge.
/. 0alcule el radio ! el intervalo de convergencia de la siguiente serie de potencia
S$%&'()*:
n=0
(100)n
n ! (x+7)n
6
-
7/24/2019 100412_244_TrabajoCol (3)
8/17
x+7
n+1
(n+1)!
100
x+7n
(100)n+1
limn
x+7
n+1n !
x+7
(100 )n+1
limn
x+7
n n !
x+7
(100 )n(100)
limn
7
-
7/24/2019 100412_244_TrabajoCol (3)
9/17
limn [ (100)(x+7)(n+1) ]
limn [ (100)(x+7)(n+1) ]=0
#= ,
1. 2allar las solucin general de la siguiente ecuacin como una serie de potencial
alrededor del punto 345
S$%&'()*:
2y' '+x y '+y=0 x=0
y=n=0
Cnxn
y '=n=1
nCnxn1
y ' '=n=2
n(n1)xn2
8
-
7/24/2019 100412_244_TrabajoCol (3)
10/17
%eemplaamos
Cn n (n1 )xn2+x
n=1
n Cnxn1+
n=0
Cnxn=0
2
n=2
Cn n (n1 )xn2+
n=1
n Cnxn+
n=0
Cnxn=0
2n=2
n (n1 )Cnxn2+
n=1
n Cnxn+C
0+
n=1
Cnxn=0
4C2+
n=3
$=n2n=$+2
$=n $=n
($+2)($+1)C$+2x$+
$=1
$ C$x$+C
0+
$=1
C$x$=0
4C2+$=1
($+2)($+1)C$+2x$+$ C$x
$+C$x$=0
4C2+C
0+
$=1
C2=0C
0=0
$=1
[( $+2 ) ( $+1 )C$+2+$ C$+C$]x$=0
9
-
7/24/2019 100412_244_TrabajoCol (3)
11/17
y=n=0
CnXn=C
0+C
1X+C
2X
2+C3X
3+
"erivamos la anterior ecuacin
y' '=
n=2
n(n1)CnXn2
%eemplaamos
n=2
n (n1)CnXn2+
n=0
CnXn+2=0
0omparamos ! -allamos el valor de 0
2C2 3 +6C3X+
n=4
n(n1)CnXn2
n=0
CnXn+2=0
*or ultimo
$=n2n=$+2
$=n+2n=$2
2C2 X
+6C3X+
$=2
$+2($+21)C$+2X$
$=2
C$2X$=0
6. %esolver por series la ecuacin diferencial.
10
-
7/24/2019 100412_244_TrabajoCol (3)
12/17
y' '+x2y=0
y=n=0
CnXn
=C0+C1X+C2X2
+C3X3
+
"erivamos la anterior ecuacin
y' '=
n=2
n(n1)CnXn2
%eemplaamos
n=2
n (n1)CnXn2+
n=0
CnXn+2=0
0omparamos ! -allamos el valor de 0
2C2 3 +6C3X+
n=4
n(n1)CnXn2
n=0
CnXn+2=0
*or ultimo
$=n2n=$+2
$=n+2n=$2
2C2 X
+6C3X+
$=2
$+2($+21)C$+2X$
$=2
C$2X$=0
11
-
7/24/2019 100412_244_TrabajoCol (3)
13/17
ACTIVIDAD COLABORATIVA
*lantear con el grupo colaborativo una situacin problema que pueda ser desarrollado
a trav&s de los m&todos vistos, realiando la caracteriacin de la ecuacin diferencial,
m&todo de solucin ! solucin de la situacin.
Supongamos un condensador que tiene una diferencia de potencial 7o entre sus placas
cuando se tiene una l#nea conductora %, la carga acumulada viaja a trav&s de un
condensador desde una placa -asta la otra, estableci&ndose una corriente de
intensidad i intensidad. s# la tensin v en el condensador va disminu!endo
gradualmente -asta llegar a ser cero tambi&n la corriente en el mismo tiempo en el
circuito %0.
#i=v
i=cdv
dt
v'+
1
#Cv=0
8e! de 9irc--off
12
-
7/24/2019 100412_244_TrabajoCol (3)
14/17
0=%#+%C%
8e! de :-m
0=ir+ vc
%
0=dv
dt r+
v
c
%
0=dv
dtr+
v
c
( 1r)%%
0
r=
dv
dt+
1
rcv
dv
dt+
1
rcv
%0
r=0
%0
r +v '+
1
rcv=0
Solucionar por serie de potencias la siguiente ecuacin diferencial.
0uando %4 $;< ! 04 $=>
*or lo cual se toma arbitrariamente,
v=m=1
vmxm=v
0+v
1t+v
2t2+v
3t3
Entonces,
13
-
7/24/2019 100412_244_TrabajoCol (3)
15/17
v &=m=1
mvmxm1=v
1+2 v
2t+3v
3t2+4 v
4t3
%emplaando en la ecuacin original
(v1+2v2t+3v3t2+4 v
4t3 )+(v0+v1 t+v2t
2+v3
t3 )=0
v0+v1+t(2v2+v1 )+t2 (3 v3+v2 )+t
3 (4 v4+v3 )=0
Se igualan t&rminos
v1+v
0=0v
1=v
0
2v2=v
1v2=v1
2 v
2=(
v0
2)v2=v0
2
3v3=v
2v3=( v23)v3=(
v0
2
3)v3=v0
6
4 v4=v3 v4=(v3
4)v4=
(
v0
2
3
)v 4=
v0
24
%espuesta
14
-
7/24/2019 100412_244_TrabajoCol (3)
16/17
v0+t
v0
2+ t2
v0
6+t3
v0
24
CONCLUSIONES
Se identificaron formulas ! procedimientos para la resolucin de ejercicios de
sucesiones ! progresiones de acuerdo con el contenido estudiado en la unidad $ del
curso 0alculo "iferencial aclarando dudas mediante el trabajo en equipo ! la tutor#a.
8a solucin de ejercicios nos a!uda a mejorar la comprensin, aprendiendo a
desarrollar los procedimientos de manera adecuada de la teor#a estudiada, con
-erramientas de ecuaciones.
15
-
7/24/2019 100412_244_TrabajoCol (3)
17/17
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
-ttp??campus5/[email protected]/$-ttps??@@@.!outube.com?@atc-Av4@@l2vCD!ajo
16
http://campus03.unad.edu.co/ecbti02/mod/page/view.php?id=4631https://www.youtube.com/watch?v=wwlHv_9yajohttps://www.youtube.com/watch?v=wwlHv_9yajohttp://campus03.unad.edu.co/ecbti02/mod/page/view.php?id=4631